初三数学-浙教版九年级数学上册4.4《相似三角形的性质及应用》同步测试1 最新

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2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《相似三角形的性质及应用》同步练习1及答案.docx

4.5 相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶162．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(C)A. 4B. 125C.203D. 63．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(A)A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶ 2(第3题) (第4题)4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED 的面积的比为(B)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶15．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28 ，则△ABC 的面积为__36__．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，求S 1S 2的值．(第7题)【解】 ∵AD AB ＝12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC ＝5a.∵BF ⊥AC ，四边形ABCD 为矩形， ∴易得△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ， ∴BC 2＝CE ·AC ，AB 2＝AE ·AC ，∴a 2＝CE ·5a ，(2a)2＝AE ·5a ，∴CE ＝5a 5，AE ＝4 5a 5，∴CE AE ＝14.易得△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AE 2＝116.8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB.若AECE ＝23，S △ABC ＝25，求S ▱BFED.(第8题)【解】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AE AC 2，S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AC 2. ∵AECE ＝23，∴AE AC ＝25，CE AC ＝35. ∵S △ABC ＝25，∴S △ADE ＝4，S △CEF ＝9， ∴S ▱BFED ＝25－4－9＝12.9．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为(D)(第9题)A. 13B. 14C. 19D. 116【解】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4. ∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE AC 2＝116. 10．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝2－1．(第10题)【解】设BC 与A ′C ′交于点E. 易知AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ，∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B 2∶AB 2＝1∶2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.11．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 交于点F ，则△AEF 的面积等于3－34(结果保留根号).(第11题)【解】过点F 作FG ⊥AE 于点G.∵△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC S △ADE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB AD 2＝4， ∴S △ADE ＝34，∴正三角形ADE 的边长为1.∵∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，∴FG ＝AG.在Rt △EGF 中，设EG ＝x ，则易得FG ＝3x ，∴3x ＋x ＝1，∴x ＝3－12，∴FG ＝3－32.∴S △AEF ＝12AE ·FG ＝3－34.12．如图，已知A 是反比例函数y ＝6x 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B ，以AB 为边向右作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在反比例函数y ＝kx 上运动，则k 的值是－3__6．(第12题)(第12题解)【解】 ∵反比例函数y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB. 连结OC ，如解图．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°.∴AC ＝2OA.∴OC ＝3OA.过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F. ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO ＝∠OFC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO ，且相似比OCOA＝3，∴S △OFC S △AEO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OC OA 2＝3. 设点A 的坐标为(a ，b)．∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ·OF ＝3 62.设点C 的坐标为(x ，y)．∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y.∴FC ·OF ＝x ·(－y)＝－xy ＝3 6.∵点C 在双曲线y ＝kx上，∴k ＝xy ＝－36.(第13题)13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成面积分别为S 1，S 2，S 3的三块．若S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10，BC ＝15，求DE ，FG 的长．【解】 ∵DE ∥FG ∥BC ， ∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE BC 2，S △AFG S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG BC 2，即S 1S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152. 设S 1＝k ，则S 2＝4k ，S 3＝10k ，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝kk ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝k ＋4k k ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152， ∴DE ＝15，FG ＝53.14．已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的点P 处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC 相交于点O. ①求证：△OCP ∽△PDA.②若△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，求边AB 的长． (2)若图①中的P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP.动点M 在线段AP 上(点M 不与点P ，A 重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且BN ＝PM ，连结MN 交PB 于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E.试问：在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF 的长度．【解】 (1)①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，DC ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°. 由折叠的性质，得∠APO ＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴∠POC ＝90°－∠CPO ＝∠APD. 又∵∠C ＝∠D ，∴△OCP ∽△PDA.②∵△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，△OCP ∽△PDA ，∴OC PD ＝OP PA ＝CP DA ＝14＝12，∴PD ＝2OC ，PA ＝2OP ，DA ＝2CP. ∵AD ＝8，∴CP ＝4，BC ＝8. 设OP ＝x ，则OB ＝x ，OC ＝8－x.在Rt △PCO 中，∵∠C ＝90°，CP ＝4，OP ＝x ，OC ＝8－x ， ∴x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5，∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，∴边AB 的长为10. (2)∵P 是CD 边的中点，∴DP ＝12DC.∵DC ＝AB ，AB ＝AP ，∴DP ＝12AP.∵∠D ＝90°，∴∠DAP ＝30°. ∵∠DAB ＝90°，∠OAP ＝∠OAB ， ∴∠OAB ＝30°.(3)过点M 作MQ ∥AN 交PB 于点Q. ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠MQP ， ∴∠APB ＝∠MQP ，∴MP ＝MQ. ∵ME ⊥PQ ，∴PE ＝QE ＝12PQ.∵BN ＝MP ，MP ＝MQ ，∴BN ＝MQ.∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF.又∵∠QFM ＝∠BFN ，QM ＝BN ，∴△MFQ ≌△NFB(AAS)，∴QF ＝BF ，∴QF ＝12QB ， ∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12PB. 由(1)中的结论，得CP ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝4 5，∴EF ＝12PB ＝2 5，∴在(1)的条件下，在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度不变，为2 5.。

度浙教新版九年级数学上第4章相似三角形 4.4两个三角形相似的判定同步练习(有答案)-精选文档

浙教新版数学九年级上学期《4.4两个三角形相似的判定》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=3．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA 5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（）A．B．C．D．．6．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②④B．①③C．①②④D．②③④7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD 的长为（）A．1B．C．2D．9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．B．2C．3D．10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A．1：B．1：3C．1：8D．1：911．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：112．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．14．如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP 相似时，DP=．18．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．19．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若BD=1，AD=3，则CD=．三．解答题（共8小题）21．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．23．如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？25．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？26．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．27．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，M是AD的中点，N，E是BC的三等分点，P是AB上一动点．（1）当MP∥BD时，求MP的长；（2）是否存在点P，满足△AMP与一点B，N，P为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．28．已知：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC=BC时，且CE=EA时，则有EF=EG；（1）如图乙①，当AC=2BC时，且CE=EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF EG；（2）如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC=mBC时且CE=nEA时，则线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．D．4．D．5．C．6．A．7．C．8．C．9．A．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．2或4.5．14．4．15．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时16．﹣1，0）；（1，0）．17．1或4或2.5．18．．19．12．20．9三．解答题21．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴或，解得：BP=2或12或，即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形．22．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．23．解：根据题意，可分为两种情况：①若△EFC∽△ACD，则=，所以=，解得t=3，即当t=3时，△EFC∽△ACD．②若△FEC∽△ACD，则=，所以=，解得t=1.2，即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．24．解：①若△POQ∽△AOB时，=，即=，整理得：12﹣2t=t，解得：t=4．②若△POQ∽△BOA时，=，即=，整理得：6﹣t=2t，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．25．解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．27．解：（1）∵PM∥BD，AM=MD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵BD==10，∴PM=5．（2）存在点P使得两三角形相似．∵BN=4，设AP=x，则PB=8﹣x，当△MAP∽△NBP时，解得x=．当△MAP∽△PBN时，解得x=2或6，∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为或2或4．28．图甲：连接DE，∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=EC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF=EG．（1）EF=EG；（2）解：EF=EG．证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，即EF=EG；（3）由（1）当AC=2BC时，且CE=EA时，EF=EG，当AC=2BC时，且CE=2EA时，EF=EG，可以得出：当AC=mBC时且CE=nEA时，EF=EG．。

4.4 两个三角形相似的判定浙教版九年级数学上册同步练习(含答案)

4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共9小题）1. 如图所示，如果 ∠BAD =∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 △ABC ∽△ADE 的是 ( )A. ∠B =∠DB. ∠C =∠AEDC. AB AD =DEBCD. AB AD =ACAE2. 如图所示，在方格纸中，△ABC 和 △EPD 的顶点均在格点上，要使 △ABC ∽△EPD ，则点 P 所在的格点为 ( )A. P 1B. P 2C. P 3D. P 43. 如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC =14BC ，则图中的相似三角形共有 ( )A. 4 对B. 3 对C. 2 对D. 1 对4. 如图所示，在等边三角形 ABC 中，点 D ，E 分别在 AC ，AB 上，且 ADAC =13，AE =BE ，则有 ( )A. △AED∽△BEDB. △AED∽△CBDC. △AED∽△ABDD. △BAD∽△BCD5. 如图所示，已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是( )A. ∠APB=∠EPCB. ∠APE=90∘C. P是BC的中点D. BP:BC=2:36. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=8，AD=3，BC=4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如图所示，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为( )A. 3B. 253C. 3或5 D. 3或2538. 如图所示，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC，DE交于点O．下列四个结论：①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A，O，C，E四点在同一个圆上．一定成立的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图所示，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中，错误的是( )A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD⋅CDD. CD⋅AB=AC⋅BD二、填空题（共5小题）10. 如图所示，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．11. 如图所示，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90∘，AC=6，AD=2，当AB=时，这两个直角三角形相似．12. 如图所示，已知，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且E为AB边中点，则图中有对相似三角形．13. 如图所示，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60∘，P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC交于点E，设AP=x，当x=时，△ABP与△EBC相似．14. 如图所示，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．三、解答题（共7小题）15. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2=DB⋅CE．求证：△ADB∽△EAC．16. 如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由．17. 如图所示，AB=3AC，BD=3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE．（2）如果AC=BD，AD=22BD，设BD=a，求BC的长．18. 如图所示，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=1，连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．19. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90∘，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1所示，DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2所示，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除（1）中的一对相似三角形外，再找出一对相似三角形并证明你的结论．20. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC，BD交于点E，DC2=CE⋅CA．（1）求证：BC=CD．（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=22，求DF的长．21. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方问移动．点E，G的速度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t(s)时，△EFG的面积为S(cm2)．（1）当t=1(s)时，S的值是多少?（2）写出S关于t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似?请说明理由．答案1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. D10. △APB∽△CPA11. 3或3212. 313. 814. 4或915. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ABD=∠ACE．∵AB2=DB⋅CE，∴ABCE =DBAB．∴ABCE =DBAC．∴△ADB∽△EAC．16. （1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE．（2）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．∴ABAD =ACAE．∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．17. （1）因为BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，因为 ABAC =BDAE =3，所以 △ABD ∽△CAE ．（2）因为 AB =3AC =3BD ，AD =22BD ，所以 AD 2+BD 2=8BD 2+BD 2=9BD 2=AB 2．所以 ∠D =90∘．因为 △ABD ∽△CAE ，所以 ∠E =∠D =90∘．因为 AE =13BD ，EC =13AD =232BD ，AB =3BD ，所以BC 2=(AB +AE )2+EC 2=3BD +13BD2+BD 2=12BD 2=12a 2.所以 BC =23a ．18. （1） ∵ △ABC ≌△DCE ≌△FEG ，∴ BC =CE =EG =13BG =1，FG =AB =3．∴ BG =3． ∴ FGEG =BGFG =33=3．∵ ∠BGF =∠FGE ， ∴ △BFG ∽△FEG ． ∵ △FEG 是等腰三角形， ∴ △BFG 是等腰三角形． ∴ BF =BG =3．（2）问题：求证 BP =PR ．证明：∵ ∠ACB =∠REB ， ∴ AC ∥DE ．又 ∴ BC =CE ， ∴ BP =PR ．19. （1） ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠MBE =45∘．∴ ∠BME +∠MEB =135∘． ∵ △DEF 是等腰直角三角形， ∴ ∠DEF =45∘．∴ ∠NEC +∠MEB =135∘．∵ ∠B =∠C =45∘， ∴ △BEM ∽△CNE ．（2） △ECN ∽△MEN ．证明：与（1）同理得 △BEM ∽△CNE ， ∴ BECN =EMNE ． ∵ BE =EC ， ∴ ECCN =EMNE ．∵ ∠ECN =∠MEN =45∘， ∴ △ECN ∽△MEN ．20. （1）因为 DC 2=CE ⋅CA ，所以 DCCE =CADC ．所以 △CDE ∽△CAD ．所以 ∠CDB =∠DAC ．所以 BC =CD ．所以 BC =CD ．（2）如图所示，连接 OC ，过点 O 作 OG ⊥CD 于点 G ．因为 BC =CD ，所以 ∠BAD =∠BOC ．所以 OC ∥AD ．所以 △PCO ∽△PDA ．所以 PCPD =POPA ．因为 PB =OB ，CD =22，所以 PCPC +22=23．所以 PC =42．因为 OG ∥AF ，所以 △PGO ∽△PFA ．所以 PGPF =POPA ．所以 PC PD =PGPF ．所以 4242+22=42+242+22+DF，解得 DF =322．21. （1）当 t =1(s) 时，AE =2(cm)，EB =10(cm)，BF =4(cm)，FC =4(cm)，CG =2(cm)，S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×(10+2)×8―12×10×4―12×4×2=24(cm 2). （2） ①如图1所示，当 0 s ≤t ≤2 s 时，点 E ，F ，G 分别在边 AB ，BC ，CD 上移动，此时 AE =2t (cm)，EB =(12―2t )(cm)，BF =4t (cm)，FC =(8―4t )(cm)，CG =2t (cm)， S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×8×(12―2t +2t )―12×4t (12―2t )―12×2t (8―4t )=8t 2―32t +48. ②当点 F 追上点 G 时，4t =2t +8，解得 t =4(s)．如图2所示，当 2 s <t ≤4 s 时，点 E 在边 AB 上移动，点 F ，G 都在边 CD 上移动，此时 CF =(4t ―8)(cm)，CG =2t (cm)，FG =CG ―CF =2t ―(4t ―8)=8―2t (cm)，S =12FG ×BC =12(8―2t )×8=―8t +32.∴S =8t 2―32t +48,0≤t≤2―8t +32.2<t ≤4．（3）如图1所示，当点F在矩形BC上移动时，0≤t≤2．在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90∘．①若EBFC =BFCG，即12―2t8―4t =4t2t，解得t=23．当t=23时，△EBF∽△FCG．②若EBGC =BFCF，即12―2t2t =4t8―4t，解得t=32．当t=32时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t=23或t=32时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似．。

浙教版九年级数学上册同步练习(PDF版) 4.4 两个三角形相似的判定

4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图所示，有点光源S在平面镜上方，若点P恰好在点光源S的反射光线上，并测得AB=10cm，BC=20cm，PC⊥AC，且PC=12cm，则点光源S到平面镜的距离SA的长度为( )A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm2. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )A. B.C. D.3. 如图所示，D是△ABC边AB上一点，则下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是 ( )A. ∠B=∠ACDB. ∠ADC=∠ACBC. ACCD =ABBCD. AC2=AD⋅AB4. 如图，在△ABC中，点P在边AC上，连接BP．下列条件中，能说△ABC∽△APB的条件是( )A. ABAP =BCABB. ABAP=BPBCC. ABAP=ACABD. ABAP=BPAB5. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是 ( )A. B.C. D.6. 如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为 ( )A. 4:1B. 3:1C. 2:1D. √2:17. 如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD；①∠ADC=∠ACB；①ACCD =ABBC；①AC2=AD⋅AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14CD，下列结论：① ∠BAE=30∘；② △ABE∽△AEF；③ AE⊥EF；④ △ADF∽△ECF，其中正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为( )A. 15B. 10C. 152D. 510. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABCC. AB2=AD⋅ACD. ADAB =ABBC二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，点D在边AB上，已知∠ACD=∠B，则△ACD∽△．12. 如图所示，在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是．13. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点分别为A，C，那么线段CE的长应等于．14. △ABC的三边长分别为2，√2，√10，△A1B1C1的两边长分别为1，√5，当△A1B1C1的第三边长为时，△ABC∽△A1B1C1．15. 如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴上的一点，且点D坐标为(4,0)，过点D的直线l⊥x轴，点A为直线l上的一动点，连接OA，OB⊥OA交直线于点B，则1OA +1OB的值为．16. 如下图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F．（1）当点P恰好为BC的中点时，折痕EF的长度为；（2）设BP=x，要使折痕始终与边AB，AD有交点，x的取值范围是．17. 已知△ABC的三边长分别为√，√6，2，△A①B①C①的两边长分别为1和√3，要判定△ABC∽△A①B①C①，那么△A①B①C①的第三边长应为．18. 在△ABC中，∠B=25∘，AD是BC边上的高，并且AD2=BD⋅DC，则∠BCA的度数为．19. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，⋯，M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，⋯，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，⋯△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P，Q分别从点B，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t=秒时，点P，C，Q所构成的三角形与Rt△ABC相似．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．三、解答题（共3小题；共39分）21. 如图，已知△ABC，∠BAC=90∘．请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似三角形．（保留作图痕迹，不写作法）22. 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A①B①C①中，∠C=∠C①=90∘，ABA①B①=ACA①C①．求证：Rt△ABC∽Rt△A①B①C①．23. 如图①，△ABC，∠ACB=90∘，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB①C①，设旋转的角度是β．Ⅰ 如图②，当β=（用含α的代数式表示）时，点B①恰好落在CA的延长线上；Ⅱ 如图③，连接BB①，CC①，CC①的延长线交斜边AB于点E，交BB①于点F．请写出图中两对相似三角形，．（不含全等三角形，用现有字母表示）．答案第一部分1. C2. B3. C4. C5. A6. D7. C8. B9. D 10. D第二部分11. ABC12. ∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或ADAC =ACAB．13. 15414. √15. 11616. （1）12524；（2）6−2√5≤x≤417. √218. 65∘19. 14(2n−1)20. 6；5√5第三部分21. 如图，直线AD即为所作．22. 设ABA①B①=ACA①C①=k，则AB=kA①B①，AC=kA①C①．∵BC=√AB2−AC2=√k2A①B①2−k2A①C①2=k√A①B①2−A①C①2=kB①C①,，∴ABA①B①=ACA①C①=BCB①C①=k．∴Rt△ABC∽Rt△A①B①C①．23. （1）∠90∘+α（2）① △ACC①∽△ABB①，② △BEF∽△CEA．。

度浙教新版九年级数学上第4章相似三角形 4.4两个三角形相似的判定同步练习(有答案)

度浙教新版九年级数学上第4章相似三角形4一．选择题〔共12小题〕1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个2．以下条件不能判定△ADB∽△ABC的是〔〕A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=3．如图，点P在△ABC的边AC上，假设添加一个条件后可以失掉△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的选项是〔〕A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么以下结论不一定正确的选项是〔〕A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA 5．如图，在△ABC中，点D、E、F区分在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将以下四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是〔〕A．B．C．D．．6．以下说法：①一切等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是〔〕A．②④B．①③C．①②④D．②③④7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE 相似，还需满足以下条件中的〔〕A．=B．=C．=D．=8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，那么CD 的长为〔〕A．1B．C．2D．9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，那么线段AC的长为〔〕A．B．2C．3D．10．如图，在△ABC中，点D，E区分在边AB，AC上，且==，那么S△ADE：S四边形BCED的值为〔〕A．1：B．1：3C．1：8D．1：911．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，衔接AE交BD于点F，那么△DEF的面积与△BAF的面积之比为〔〕A．3：4B．9：16C．9：1D．3：112．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，假定∠APD=60°，那么CD的长是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共8小题〕13．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．14．如图，：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB 与△ADC相似．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．〔只需写出一种〕16．如图，在平面直角坐标系中有两点A〔4，0〕、B〔0，2〕，假设点C在x轴上〔C与A不重合〕，当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似〔至少找出两个满足条件的点的坐标〕．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP 相似时，DP=．18．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，衔接DF．假=1，那么S△ADF的值为．定S△AEF19．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，那么平行四边形ABCD的面积为．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，假定BD=1，AD=3，那么CD=．三．解答题〔共8小题〕21．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，〔1〕求证：AC2=AB•AD；〔2〕求证：△AFD∽△CFE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B末尾向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C末尾向点D以每秒4个单位长度的速度运动，假设E、F同时动身，用t〔0≤t≤6〕秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，在平面直角坐标系中，OA=12厘米，点P从点O末尾沿OA边向点A 以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B末尾沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．假设P、Q同时动身，用t〔秒〕表示移动的时间〔0≤t≤6〕，那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？25．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A动身，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时动身，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应中止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？26．如图，△ABC是等边三角形，点D、E区分在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．〔1〕试说明△ABD≌△BCE；〔2〕△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．27．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，M是AD的中点，N，E是BC的三等分点，P是AB上一动点．〔1〕当MP∥BD时，求MP的长；〔2〕能否存在点P，满足△AMP与一点B，N，P为顶点的三角形相似？假定存在，求出AP的长；假定不存在，说明理由．28．：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC=BC时，且CE=EA时，那么有EF=EG；〔1〕如图乙①，当AC=2BC时，且CE=EA时，那么线段EF与EG的数量关系是：EF EG；〔2〕如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2EA时，请探求线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；〔3〕当AC=mBC时且CE=nEA时，那么线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论〔不用证明〕．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．D．4．D．5．C．6．A．7．C．8．C．9．A．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．2或4.5．14．4．15．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时16．﹣1，0〕；〔1，0〕．17．1或4或2.5．18．．19．12．20．9三．解答题21．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴或，解得：BP=2或12或，即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形．22．〔1〕证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；〔2〕证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．23．解：依据题意，可分为两种状况：①假定△EFC∽△ACD，那么=，所以=，解得t=3，即当t=3时，△EFC∽△ACD．②假定△FEC∽△ACD，那么=，所以=，解得t=1.2，即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．24．解：①假定△POQ∽△AOB时，=，即=，整理得：12﹣2t=t，解得：t=4．②假定△POQ∽△BOA时，=，即=，整理得：6﹣t=2t，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均契合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．25．解：设运动了ts，依据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，那么AQ=AC﹣CQ=16﹣3t〔cm〕，当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．26．〔1〕证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；〔2〕答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．27．解：〔1〕∵PM∥BD，AM=MD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵BD==10，∴PM=5．〔2〕存在点P使得两三角形相似．∵BN=4，设AP=x，那么PB=8﹣x，当△MAP∽△NBP时，解得x=．当△MAP∽△PBN时，解得x=2或6，∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为或2或4．28．图甲：衔接DE，∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=EC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG〔ASA〕，∴EF=EG．〔1〕EF=EG；〔2〕解：EF=EG．证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，即EF=EG；〔3〕由〔1〕当AC=2BC时，且CE=EA时，EF=EG，当AC=2BC时，且CE=2EA时，EF=EG，可以得出：当AC=mBC时且CE=nEA时，EF=EG．。

【易错题】浙教版九年级上《第四章相似三角形》单元试卷(教师用)

【易错题解析】浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.已知= ，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵= ，∴= ．故选：B．【分析】直接利用比例的性质将原式变形求出答案．2.如图1，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】C【考点】相似三角形的判定，等腰直角三角形【解析】根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形。

【解答】∵△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=∠C=∠FAG=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°∵∠ADC=∠ADE，∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△EDA△EDA∽△EAB△ADC∽△EAB∴共有3对．故选C．3.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A. 点PB. 点OC. 点MD. 点N【答案】A【考点】位似变换【解析】【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．4.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A.40°B.60°C.80°D.100°【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵，∴∠B与∠D是对应角，故∠B=∠D=60°．故答案为：B．【分析】根据题意，得知∠B与∠D为对应角，求出∠D的度数。

5.如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】根据∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，易证△BDO∽△BEA，同理可证△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，从而可以得到结果．【解答】∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，∴△BDO∽△BEA，∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO∽△CEO，∵∠CEO=∠CDA=90°，∠ECO=∠DCA，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．故选B．【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6.如图，在平行四边形ABCD中，AE：AD=2：3，连接BE交AC于点F，若△ABF和四边形CDEF的面积分别记为S1，S2，则S1：S2为（）A. 2：3B. 4：9C. 6：11D. 6：13【答案】C【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AE：AD=2：3，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AEF∽△BCF，∴= ，∴S△BCF= S1∴S四边形ABCD=2（S1+ S1）=5S1，S△AEF= S1，∴S2= S四边形ABCD﹣S△AEF= S1，∴S1：S2= ．故选C．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，根据相似三角形的性质得到= ，求得S△BCF= S1，S2= S1，即可得到结论．7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，C的中点，则S△ADE：S△ABC=（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：5【答案】C【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、C的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE= BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（）2= ；故选：C．【分析】证出DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE= BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．8.（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC= = =10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴= ，即= ，解得：DF= ，则EF=DF﹣DE= ﹣2= ，故答案为：C．【分析】根据三角形角平分线的定理得出ED=EH=EG，再根据正方形的判定和性质得出全等三角形△DAE≌△HAE，同理△CGE≌△CHE，再根据勾股定理得出AD=4，再由△ADF∽△ABC得出EF的长.9.如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果，那么=（）A. B. C. D.【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C，且∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB，如果∴∵，∴AD=x，CD=3x，∴AB2=AC•AD，∴AB=2x∴故答案为：A【分析】先证得△ABD∽△ACB，再利用对应线段成比例及所设出AD与CD的长，可表示出AB长，从而可求得的值.10.如图，Rt△ABC中，BC=2 ，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质，探索数与式的规律，探索图形规律【解析】规律型．【分析】首先由Rt△ABC中，BC=2 ，∠ACB=90°，∠A=30°，求得△ABC的面积，然后由D1是斜边AB 的中点，求得S1的值，继而求得S2、S3、S4的值，即可得到规律：S n=S△ABC；继而求得答案．【解答】∵Rt△ABC中，BC=2 ，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，∴S△ABC=AC•BC=6 ，∵D1E1⊥AC，∴D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，∵D1是斜边AB的中点，∴D1E1=BC，CE1=AC，∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；∴S n=S△ABC；∴S2013=×6= ．故选：C．【点评】此题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意得到规律S n=S△ABC是解此题的关键．注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（共10题；共30分）11.如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=4，CD=3，OD=2，那么线段OA的长为________．【答案】【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴OA：OD=AB：CD，即OA：2=4：3，∴OA= ．故答案为：．【分析】根据平行线分线段成比例定理求解。

浙教版九年级数学上学期《4.5 相似三角形的性质及其应用》同步练习

4.5 相似三角形的性质及其应用一．选择题1．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a 等于（）A．B．C．1D．22．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm，面积为1cm2，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（）A．①B．②C．一样大D．无法判断3．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m5．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m7．如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）A．2B．2C．D．28．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3m，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（）A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m9．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN 折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2B．3C．D．10．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步B．270步C．180步D．90步二．填空题11．如图，△ABC为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD＝10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为cm2．12．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小红在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小红又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小红的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝8m，C1E1＝4m，则电线杆AB的高度为m．13．如图，正方形EFGH内接于△ABC，设BC＝（表示一个两位数），EF＝c，三角形中高线AD＝d，已知a，b，c，d恰好是从小到大的四个连续正整数，则△ABC的面积为．14．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是．三．解答题15．20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．17．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．18．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC 上．（1）当矩形的边PN＝PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．19．西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120cm，高AP＝90cm，现在要把它加工成长方形零件DFHE，且满足FH＝2DF，F、H在BC上，D、E分别在AB、AC上，求短边DF的长．21．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，当EF为多少cm 时，矩形EGHF的面积最大，最大值为多少？22．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？23．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8cm，底边BC长10cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上，AH交DG于M．（1）求证：AM•BC＝AH•DG；（2）加工成的矩形零件DEFG的面积能否等于25cm2？若能，求出宽DE的长度；否则，请说明理由．24．如图，一个油漆桶高75cm，桶内还有剩余的油漆，一根木棒长1m，小明将木棒从桶盖小口斜插入桶内，一端触到桶底边缘时，量得木棒露在桶外的部分长10cm．抽出小棒，又量得木棒上沾了油漆的部分长36cm，请计算桶内油漆的高度．参考答案一．选择题1．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∴＝，∴CA2＝CD•CB，∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，∴CB＝1+a，∴a2＝1•（1+a），∴a2﹣a﹣1＝0，∴a＝或（舍弃），故选：A．2．解：由AC长为1cm，△ABC的面积为1cm2，可得BC＝2cm，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴＝，即＝，解得：x＝（cm）；如图②，设加工桌面的边长为ycm，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1cm，BC＝2cm，∴AB＝＝，∵△ABC的面积为1cm2，∴CM＝cm，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝cm，∵x2＝＝，y2＝，∴x2＞y2，即S1＞S2，故选：A．3．解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；第2个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；第4个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；故选：D．4．解：由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故＝，即＝，解得：BC＝3，则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.2（m），故选：A．5．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．设DE＝x，则有：＝，解得x＝，故选：D．6．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．7．解：∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6m，∴AB＝＝＝2（m），∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF＝AB＝（m）．故选：C．8．解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，∴△CBE∽△AFB，∴＝＝，∵BC＝2.6m，BE＝1m，∴EC＝2.4（m），即＝＝，解得：FB＝，AF＝，∵△CDF∽△CEB，∴＝，即＝解得：DF＝，故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），答：此时点A离地面的距离为2.2m．故选：A．9．解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故选：D．10．解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴＝，即＝，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．二．填空题11．解：设QM＝xcm，则PN＝xcm，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴＝，即＝，则AE＝x，故DE＝10﹣x，则矩形PQMN面积为：x（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25，∴矩形PQMN面积的最大值为25cm2．故答案为：25．12．解：∵DC⊥AE，D1C1⊥AE，BA⊥AE，∴DC∥D1C1∥BA，∴△F1D1N∽△F1BG．∴＝．∵DC∥BA，∴△FDM∽△FBG．∴＝．∵D1N＝DM，∴＝，即＝．∴GM＝10m．∵＝，∴＝．∴BG＝9m．∴AB＝BG+GA＝10.5（m）．答：电线杆AB的高度为10.5m．故答案是：10.5．13．解：a、b、c、d为连续四个整数故可设为a，a+1，a+2，a+3，∵BC＝，∴BC＝11a+1，∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，解关于a的方程，得a1＝1，a2＝5，经检验1和5是原分式方程的解，∴S△ABC＝BC×AD＝24，或S△ABC＝BC×AD＝224，故答案为：24或224．14．解：由题意得：CD∥AB，∴＝，∵AB＝3.5cm，BE＝5m，DE＝3m，∴，∴CD＝2.1cm，故答案为：2.1cm．三．解答题15．解：设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，21.6km/h＝21.6×＝6m/s，∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴，∴＝，∴x＝30，∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．16．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：出南门步恰好看一到位于A处的树木．17．解：根据题意得，△EDC∽△EBA，∴，∵DC＝HG，∴，∴，∴CA＝40（米），∵，∴＝，∴AF＝61.92米，∴＝，∴AB＝64.5米，答：古塔的高度AB为64.5米．18．解：（1）设矩形零件PQMN的边PN＝a，PQ＝x，则AE＝80﹣a．∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．∴＝．因此，，解得a＝120﹣x．∴120﹣x＝x，解得：x＝48所以长方形PQMN的面积S＝xa＝x（120﹣x）＝﹣x2+120x＝﹣×482+120×48＝2304mm2所以矩形零件PQMN的面积为2304mm2．（2）由S＝﹣x2+120x，当x＝﹣＝40时，a＝60．S最大值＝40×60＝2400（mm2）．所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2．19．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：大雁塔的高度AB为55米．20．解：设DF＝xcm，则DE＝2xcm，AD＝（90﹣x）cm，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴x＝36，∴DF的长为36cm．21．解：设EG＝xcm，∵四边形EFHG是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴，解得EF＝（20﹣x）．∴S矩形EFHG＝EG•EF＝（20﹣x）•x．即S＝﹣x2+30x．∴当x＝﹣＝﹣＝10时，矩形EGHF的面积最大，此时EF＝（20﹣x）＝15cm，最大面积为＝＝75cm2．22．解：（1）∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∵QM＝PN＝x，MN＝ED＝y，AE＝150﹣y，∴，∴y＝150﹣x∴S＝xy＝﹣x2+150x；150﹣x＞0，解得：x＜200，则0＜x＜200；（2）设矩形的面积为S，则S＝﹣x2+150x＝﹣（x﹣100）2+7500．故当x＝100时，此时矩形的面积最大，最大面积为7500mm2．23．（1）证明：∵四边形DEFG为矩形，∴DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴AM•BC＝AH•DG；（2）解：加工成的矩形零件DEFG的面积不能等于25cm2，理由如下：当加工成的矩形零件DEFG的面积等于25cm2时，设宽DE的长度为xcm，则AM＝（8﹣x）cm，DG＝cm．∵高线AH长8cm，底边BC长10cm，AM•BC＝AH•DG，∴（8﹣x）×10＝8×，整理得x2﹣8x+20＝0，∵△＝64﹣4×20＝﹣16＜0，∴x无实数根，故加工成的矩形零件DEFG的面积不能等于25cm2．24．解：∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：CE＝30∴桶内油漆的高度为30cm．。

数学：4.4《相似三角形的性质及其应用》同步练习1(浙教版九年级上)

数学：4.4《相似三角形的性质及其应用》同步练习1（浙教版九年级上）一、运用新知，解决问题1、已知两个三角形相似，请完成下列表格2、如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AG AF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；（3）△ADE 与△ABC 的面积之比. 二、加强训练，巩固新知1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是，对应中线的比是，对应角平分线的比是，周长比是，面积比是。

2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是，周长是。

3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？4、在△ABC 中，DE ∥BC ，E 、D 分别在AC 、AB 上，EC=2AE ，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的比为______5、如图， △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ＝DF ＝FB ，则S △ADE :S 四边形DFGE :S 四边形FBCG =______A BCDE FG ABCDE FFEDCBA三、变式训练，拓广研究1、过E 作EF//AB 交BC 于F ，其他条件不变，则ΔEFC 的面积等于多少？四边形BDEF 面积为多少？2.若设S S ABC =∆，1S S ADE =∆，2S S EFC =∆请猜想：S 与S 1、S 2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？3、类比猜想如图，DE//BC ，FG//AB ，MN//AC ，且DE 、FG 、MN 交于点P 。

若记S S ABC =∆，1S S ADE =∆，2S S EFC =∆请猜想：S 与S 1、S 2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？A BCDE F G MNPS 1S 2S 3。

2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《相似三角形的性质及应用》检测题及答案解析.docx

4．5 相似三角形的性质及其应用(2)1．已知两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的面积比是(A) A ．4∶9 B ．2∶3 C ．3∶2 D ．9∶42. 已知△ABC ∽△DEF ，对应边AB ∶DE ＝1∶2，则△ABC 和△DEF 的周长比为(A) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶13．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD.如果S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3，那么S △ODC ∶S △ABC 等于(B)A ．1∶5B ．1∶6C ．1∶7D ．1∶9,(第3题)) ,(第4题))4．如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分的四边形EOFB ，GHMN 是正方形的花圃．一只自由飞翔的小鸟随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为(C)A.1732B.12C.1736D.17385．用3倍的放大镜照一个面积为1的三角形，放大后的三角形面积是__9__．(第6题)6. 如图，圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)．已知桌面的直径为1.2 m ，桌面距地面1 m ，若灯泡距离地面3 m ，则地上阴影部分的面积为0.81πm 2.7．两个相似三角形的一组对应边长分别为15 cm 和27 cm ，它们的周长之差为36cm ，则较小三角形的周长是__45__cm.(第8题)8．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 交于点H ，则S △EFH ∶S △ADH 的值是__116__．(第9题)9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2BD. (1)若△ADE 的周长为6，求△ABC 的周长； (2)若S 梯形BCED ＝20，求S △ADE . 【解】 (1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.又∵AD ＝2BD ，∴AD AB ＝23，∴△ADE 与△ABC 的相似比为2∶3. ∵△ADE 的周长为6， ∴△ABC 的周长为9.(2)∵S △ADE S △ABC ＝S △ADES △ADE ＋S 梯形BCED ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，∴S △ADES △ADE ＋20＝49，∴S △ADE ＝16.(第10题)10. 如图，在一次台球比赛中，小红将球从A 处射出，经球台挡板CD 反射，恰好落入球袋B.若球台板长CD ＝2.4 m ，宽BD ＝1.5 m ，AC ＝0.3 m ，则点E 距点C 多远？【解】 ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠C ＝∠D ＝90°.根据物理中的反射规律，知∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE ， ∴EC DE ＝AC BD. 代入数据，得CE2.4－CE ＝0.31.5，解得CE ＝0.4.∴点E 距点C 有0.4 m 远．11．如图，要在一个△ABC 的花坛中种植花草，工作人员沿与AB 平行的方向画一条直线，将原花坛分割出一个三角形的地块(△CDE)，测出△CDE 的面积为10 m 2，CE ＝4 m ，BE ＝6 m ．请你根据测得的数据计算出花坛△ABC 的面积．(第11题)【解】 ∵DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CAB ， ∴S △CDE S △CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE CB 2. ∵S △CDE ＝10，CE ＝4，EB ＝6，∴CB ＝10，∴10S △CAB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4102＝425， ∴S △CAB ＝1252(m 2)．答：花坛△ABC 的面积是1252m 2.(第12题)12．如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC ，AB 于点E ，F.设△CDE ，△BDF ，四边形DEAF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，求证：S 3＝2S 1S 2.【解】设S △ABC 的面积为S. ∵DE ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ， ∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CE CA 2，∴S 1S ＝CE CA. 同理，S 2S ＝DF AC. ∵DF ∥AC ，DE ∥AB ，∴四边形DEAF 为平行四边形，∴DF ＝AE ，∴S 2S ＝AE AC， ∴S 1＋S 2S ＝CE CA ＋AE CA ＝CE ＋AE CA＝1， ∴S 1＋S 2＝S ，∴(S 1＋S 2)2＝S ，∴S －(S 1＋S 2)＝2 S 1S 2，即S 3＝2S 1S 2.(第13题)13．如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连结EF.(1)求证：EF ∥BC ；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积．【解】 (1)∵DC ＝AC ，CF 是∠ACB 的平分线，∴AF ＝DF.又∵AE ＝BE ，∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥BC.(2)∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD. ∵EF ＝12BD ，∴S △AEF S △ABD ＝14.∵S 四边形BDFE ＝6，∴S △AEF6＋S △AEF ＝14，∴S △AEF ＝2，∴S △ABD ＝8.(第14题)14. 如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，OD ∥AB 交BC 于点D ，OE ∥AC 交BC 于点E.求证：BC 2＝DE(AB ＋BC ＋AC)．【解】 ∵OD ∥AB ，∴∠ODE ＝∠ABC ，∠ABO ＝∠BOD.又∵∠ABO ＝∠DBO ，∴∠DBO ＝∠BOD.∴BD ＝OD. 同理，OE ＝CE.∵OE ∥AC ，∴∠OED ＝∠ACB.∴△ODE ∽△ABC ，∴OD ＋DE ＋OE AB ＋BC ＋AC ＝DEBC .∴BD ＋DE ＋CE AB ＋BC ＋AC ＝DE BC ，即BC AB ＋BC ＋CA ＝DE BC ， ∴BC 2＝DE(AB ＋BC ＋AC)．。

浙教版九年级上册同步检测试卷十二：相似三角形(4.1~4.3)(含答案)

浙教版初中九年级同步检测卷（含答案）卷十二：相似三角形(4.1~4.3)一、选择题(每小题3分,共30分) 1．已知34x y =，则yx的值为……（） A ．34 B ．43 C ．43- D ．以上都不对 2．若实数a 是4和6的比例中项，则a 的值为 ……（）A ．5B ．5± C．± D ．12±3．已知dcb a =，则下列各式中不正确的是……（） A ． ad bc = B ．d b c a = C ．c d a b = D ．bdb c c a +=+ 4． “相似的图形”是（）A ．形状相同的图形B ．大小不相同的图形C ．能够重合的图形D ．大小相同的图形5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AE =6，则EC 等于…… ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．在比例尺为1∶150 000的某城市地图上，若量得A 、B 两所学校的距离是4．2cm ，则A 、B 两所学校的实际距离是……（）A ．630米B ．6300米C ．8400米D ．4200米7．直角三角形的两条直角边长为6和8，则斜边上的高线长为……（） A ．125 B ．165 C ．245 D ．4858．若△ABC 与∽△A′B′C′，且∠A =55°,∠B =100°，那么∠'C 的度数是……（）A ．55°B ．100°C ．25°D ．不能确定C9．如图，已知AB CD EF∥∥，那么下列结论正确的是……（）A．AD BCDF CE=B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE=D．CD ADEF AF=10．已知a b ckb c a c a b===+++,则一次函数y kx k=+的图象必经过…… ()A．第一和第二象限B．第二和第三象限C．第三和第四象限D．第一和第四象限二、填空题（每小题4分,共24分）11．已知:23ba=,则2b aa+=．12．点P是线段AB的一个黄金分割点,且PA PB>,若AB=6,则P A=．13．若⊿ABC的周长为12,则⊿ABC的三条中位线围成的三角形周长为．14．若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的周长是________．15．如图,已知DE∥AB,FD∥BC,59ADAC=．若AB=9,BC=7．2,则四边形BEDF的周长为．16．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么BP AP三、解答题(共46分)17．（本题6分）已知a cb d=判断下列比例式是否成立,并简要说明理由．(1) a b c d a c --=(2)22a a bb c d+=+B第15题图32l 118．(本题6分)如图,在ABCD 中,AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F ． (1)若∠B =α,用含α的代数式表示∠DAF ； (2)写出一组比例线段,并简要说明理由． DF19．(本题6分)如图，已知l 1∥l 2 ∥l 3,AB mBC n=, 求证：1DF nDE m=+20．（本题6分）如图，在⊿ABC 中，点D 和点E 分别是AB 和AC 上的点,且DE ∥BC ，EF ∥AB ．已知AD =5，DB =2，DE =4．（1）求AEAC的值；（2）求BC 的长．第20题图ED B第18题图CEF21．(本题6分)如图，⊿ABC ∽⊿ACD ，点D 在AB 上，已知AC =3，AD =2 （1）求AB 的长；（2）若BC =4，求CD 的长．22．（本题8分）如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，⊿ABE ∽⊿DEF ．（1）填空：∠BEF ＝ °；（2）已知692AB AE DE ===，，，求EF 的长．23．(本题8分)如图,点P 是正方形ABCD 的边AB 的中点,以P 为圆心,DP 长为半径画圆与BA 的延长线交于点F ,再以AF 为边作正方形EFEM ,使点M 在边AD 上． (1)若AB =4,DP 和AM 的长；(2)说明点M 是线段AD 的一个黄金分割点．附加题（本题10分）24．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x=+与2y x m=-+相交轴于x轴上的点A,两直线与y轴分别交于点B,C．(1)求m的值并证明AB⊥AC；(2)在y轴上找出不同于点C的点P,使⊿AOP与⊿AOB相似,并求出AP的长．第24题图参考答案一、选择题二、填空题 11．5612． 313．6 14．56cm 15．1616．三、解答题17．（1）成立；（2）不成立18．（1）(90)α-︒；(2)BC CDDF AE=，理由略 19．因为,1DF m DF DE EF nEF n DE DE m+===+所以20．(1)57AE AC =；(2) 284BC =21．（1）90°；（222．（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，设AH ＝1，则AB ＝2，AC ∴ABAC（2）设AH ＝x 3x +=+3x =，∴AB ＝623．（1）2；（2）计算证明，具体略 24．（1）4m =-，多次利用勾股定理和逆定理证明；（2）AP =。

秋九年级数学上册第4章相似三角形4.14.4同步测试题(新版)浙教版

4.1 ～[ 测试范围： 4.1 ～时间：40分钟分值：100分]一、选择题 ( 每题 4 分，共 24 分)1．以下线段中，能成比率的是()A． 3 cm， 6 cm， 8 cm ， 9 cmB． 3 cm， 5 cm， 6 cm ， 9 cmC． 3 cm， 6 cm， 7 cm ， 9 cmD． 3 cm， 6 cm， 9 cm ， 18 cm2．如图 G－ 4－1，若AB∥CD∥EF，则图中相像的三角形有 ()A．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对3．已知△ABC的三边长分别为2，5，6，若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长能够是()A． 3，6， 7 B. 6，15，18C． 3，8， 9 D ． 8， 10，12图 G－ 4－1图 G－4－24．如图 G－ 4－2，已知DE∥BC，EF∥AB，现获得以下结论：①AE BF AD AB EF ＝；②＝；③AB EC FC BF BC＝DE CE EA；④＝ .BC CF BF此中正确的结论有()A．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．如图 G－ 4－ 3 为一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板 DE的长为m，支撑点A 到踏脚 D的距离为0.6 m ，本来捣头点 E 着地，此刻踏脚 D 着地，则捣头点E上涨了()A． 1.2 m B．1 mC． 0.8 m D ． 1.5 m图 G－4－3图 G－4－46．如图 G－ 4－ 4，⊙O的弦AB，CD订交于点P，若 PA＝2， PB＝5， PC＝4，则 PD的长为()A．2.5 B．5 C．7 D．9二、填空题 ( 每题 5 分，共 30 分)7．若线段a，b，c，d是成比率线段，则它们应知足的表达式是________．若a＝5 cm，c＝4 cm， d＝6 cm，则 b＝________．8．在比率尺为1∶2700000 的地图上测得A， B 两地间的图上距离约为 5 cm ，则A，B两地间的实质距离约为________km.9．如图 G－ 4－ 5，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB， AC于点 D， E.若 AD＝3， DB＝2，BC＝6，则 DE的长为________．图 G－4－5图 G－ 4－610．如图 G－ 4－6，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB于点D，若AD＝ 1，BD＝2，则BC＝________．11．如图 G－4－ 7，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D.给出以下结论：①DF＝CF；②∠ AFC＝∠ C；③△ ADE∽△ FDB；④∠ BFD＝∠ CAF.此中正确的结论是______． ( 填序号 )图 G－4－7图 G－4－812．有一张等腰三角形纸片，AB＝ AC＝5，BC＝3，小明将它沿虚线PQ剪开，获得△ AQP和四边形 BCPQ两张纸片(如图G－4－8所示)，且知足∠ BQP＝∠ B，则以下五个数据15 4，3，165， 2，中能够作为线段A·Q·长的有 ________个．53．．三、解答题 ( 共 46 分)13．(10 分) 如图 G－4－ 9，在 ?ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延伸线上，且DF＝ BE， EF与 CD订交于点 G.(1)求证： BD∥ EF；DG 2(2)若＝， BE＝4，求 EC的长．GC 3图 G－ 4－9︵14．(10 分 ) 如图 G－4－ 10，在⊙O中，A是CD的中点，弦CD，AB订交于点E，连接 AD，AC， BC.求证： AC· AD＝AB· AE.图 G－4－1015．(12 分 ) 如图 G－ 4－ 11，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A＝ 36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°.求证： (1) AD＝BD＝BC；(2) 点D是线段AC的黄金切割点．图 G－4－1116． (14 分 ) 如图 G－ 4－ 12，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC均分∠BAD，P是AC延伸线上一点，且 PD⊥ AD.(1)求证：∠ BDC＝∠ PDC；(2)若 AC与 BD订交于点 E， AB＝1， CE∶ CP＝2∶3，求 AE的长．图 G－4－12详解详析1． D [ 分析 ] 依据成比率线段的定义可知所给选项中，只有D 切合， 3× 18＝6×9. 故选 D.2． C [ 分析 ]△ DCO ∽△ FEO ∽△ ABO .3． B [ 分析 ] 若要使△ DEF ∽△ ABC ，则两三角形的三边一定对应成比率，经过验算即可得答案为 B.4． B5．C [ 分析 ] 依据题意，可将其转变为如下图的几何模型，易得△ DAB ∽△ DEF ，即可得出对应边成比率．∵ AB ∥EF ，∴△ DAB ∽△ DEF ，∴ AD ∶DE ＝ AB ∶EF ， ∴ 0.6 ∶ 1.6 ＝0.3 ∶ EF ，则 EF ＝ 0.8(m) ．∴捣头点 E 上涨了 0.8 m.6． A [ 分析 ] 连接 AD ，CB ，证△ APD ∽△ CPB .a c7. b ＝d 7.5 cm8． 135 [ 分析 ] 由比率尺的定义可知152700000＝实质距离，1∴实质距离＝ 5÷ 2700000＝ 13500000(cm) ＝135 km.18 9.5BC BD则＝，AB BC2∴ BC ＝ AB · BD ，∴ BC ＝ AB · BD ＝ 3×2＝ 6.AB ＝ AE ，11．②③④[ 分析 ] 在△ ABC 和△ AEF 中，∠ B ＝∠ E ，BC ＝ EF ，∴△ ABC ≌△ AEF ，∴ AC ＝AF ，∴∠ AFC ＝∠ C . 故②正确；由∠ B ＝∠ E ，∠ ADE ＝∠ FDB ，可知△ ADE ∽△ FDB .故③正确；∵∠ EAF ＝∠ BAC ，∴∠ EAD ＝∠ CAF .由△ ADE ∽△ FDB ，可得∠ EAD ＝∠ BFD ，∴∠ BFD ＝∠ CAF .故④正确．综上可知，②③④正确．12．3 [ 分析] 由题意可知，要使∠＝∠ B 恒建立，只好平移直线. ①当点 Q 与点BQPPQ A 重合时，＝ 0；②当点 P 与点 C 重合时，由于∠ ＝∠ ，因此△ 为等腰三角形，在 AQ BQP B BPQ 等腰三角形 ABC 中，由于∠ ＝∠ ，且∠ ＝∠ ，因此∠ ＝∠ . 又由于∠ ＝BACBBQP BACBPQBABC∠PBQ ，因此△ ABC ∽△ PBQ ，因此 AB BC5 399 16＝，即＝，解得 BQ ＝，AQ ＝ AB － BQ ＝ 5－＝ .PB BQ3 BQ 555 综上所述，若获得△和四边形，则 0< 165< ，因此切合条件的的长有 3，2，，AQP BCPQ AQ 5AQ3一共有 3 个．13．解： (1) 证明：在 ?ABCD 中， AD ∥ BC ，∴ DF ∥BE .∵ DF ＝BE ，∴四边形 DBEF 为平行四边形，∴BD∥EF.(2)∵ DF∥ BE，∴△ DFG∽△ CEG，DGDF2∴＝＝.GCEC3∵DF＝BE＝4，∴ EC＝6.︵14．证明：∵A是CD的中点，︵︵∴AC＝AD，∴AC＝AD，∠ B＝∠ ACD.又∵∠ CAE＝∠ BAC，∴△ CAE∽△ BAC，AC AE∴＝，AB AC2∴ AC＝ AB· AE.又∵ AC＝ AD，∴AC·AD＝ AB·AE.15．证明： (1) ∵∠A＝ 36°，∠C＝ 72°，∴∠ ABC＝180°－∠ A－∠ C＝72°.∵∠ A＝36°，∠ ADB＝108°，∴∠ ABD＝180°－∠ A－∠ ADB＝36°，∠BDC＝180°－∠ ADB＝72°，∴∠ A＝∠ ABD，∠ C＝∠ BDC，∴ AD＝BD＝ BC.(2) ∵∠BDC＝∠ABC＝ 72°，∠C＝∠C，∴△ BDC∽△ ABC，∴DC∶BC＝ BC∶AC.又∵ BC＝ AD，∴DC∶AD＝ AD∶AC，∴点 D是线段 AC的黄金切割点．16．解： (1) 证明：∵AB＝AD，AC均分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ ACD＋∠ BDC＝90°.∵AC＝AD，∴∠ ACD＝∠ ADC.∵PD⊥AD，∴∠ ADC＋∠ PDC＝90°，∴∠ BDC＝∠ PDC.(2)如图，过点 C作 CM⊥PD于点 M，∵∠ BDC＝∠ PDC， CE⊥ BD， CM⊥ PD，∴CE＝CM.∵∠ CMP＝∠ ADP＝90°，∠ P＝∠ P，∴△ CPM∽△ APD，CM PC∴＝.AD PA设 CM＝ CE＝ x，∵ CE∶CP＝2∶3，3∴PC＝2x.秋九年级数学上册第4章相像三角形4.14.4同步测试题(新版)浙教版 11 / 11 ∵ AB ＝AD ＝ AC ＝1，3x 2x∴ 1＝3 ，2x ＋ 11解得 x ＝ 3，1 2∴ AE ＝AC － CE ＝1－＝ . 3 311。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形相似多边形同步测试(含解析)

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形相似多边形同步测试（含解析）1.将一个五边形改成与它相似的五边形，假设面积扩展为原来的9倍，那么周长扩展为原来的( )A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍2.一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，那么这个多边形的最短边长为〔〕A.6B.8C.12D.103.假设五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是〔〕A.2：3B.3：2C.6：4D.9：44.四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长区分为24、36，那么它们对角线AC与A′C′的比为〔〕A.2：3B.3：2C.4：9D.9：45.将一个菱形放在2倍的缩小镜下，那么以下说法中不正确的选项是〔〕A.菱形的边长扩展到原来的2倍B.菱形的角的度数不变C.菱形的面积扩展到原来的2倍D.菱形的面积扩展到原来的4倍6.如下图，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形〔图中阴影局部〕，假设剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是〔〕A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm7.如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，失掉四边形A1B1C1D1，那么四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为〔〕A.2：1B.3：1C.4：1D.5：18.两个相似多边形的一组对应边区分为3cm和4cm，假设它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为〔〕A.36cmB.42cmC.48cmD.54cm9.下面的图形都可以看作某种特殊的〝细胞〞，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，那么相似比为〔〕A.1：4B.1：3C.1：2D.1：10.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F区分是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，那么a:b等于〔〕A.:1B.1:C.:1D.1:二、填空题11.假定两个相似多边形的对应边之比为5：2，那么它们的周长比是________．12.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________13.假定如下图的两个四边形相似，那么∽α的度数是________.14.有一张矩形景色画，长为90cm，宽为60cm，现对该景色画停止装裱，失掉一个新的矩形，要求其长、宽之比与原景色画的长、宽之比相反，且面积比原景色画的面积大44%．假定装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、左边衬的宽都为bcm，那么ab=________cm2 15.有一张矩形景色画，长为90cm，宽为60cm，现对该景色画停止装裱，失掉一个新的矩形，要求其长、宽之比与原景色画的长、宽之比相反，且面积比原景色画的面积大44%．假定装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、左边衬的宽都为bcm，那么ab=________16.假定两个相似多边形的面积比是16：25，那么它们的周长比等于________．17.假设两个相似多边形面积的比为1：5，那么它们的相似比为________18.假定用一个2倍缩小镜去看∽ABC，那么∽A的大小________；面积大小为________三、解答题19.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE∽AD，GF∽AB，垂足区分为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．20.如图，A n系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以失掉两张A2纸，A2纸对裁后可以失掉两张A3纸，…，A n纸对裁后可以失掉两张A n+1纸．〔1〕填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；〔2〕依据A n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽〔长大于宽〕之比；〔3〕设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．〔用含a的代数式表示〕21.一个矩形ABCD的较短边长为2．〔1〕如图①，假定沿长边对折后失掉的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；〔2〕如图②，矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．四、综合题22.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，AB＝4.〔1〕求AD的长；〔2〕求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．23.一个矩形ABCD的较短边长为2．〔1〕如图①，假定沿长边对折后失掉的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；〔2〕如图②，矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．答案解析局部一、单项选择题1.【答案】B【考点】相似多边形的性质【解析】【剖析】依据面积扩展为原来的9倍可得边长扩展为原来的3倍，即可判别周长的变化。

浙教新版数学九年级上学期《相似三角形的性质及其应用》同步练习

浙教新版数学九年级上学期《相似三角形的性质及其应用》同步练习一．选择题〔共12小题〕1．如图，小颖同窗用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF坚持水平，并且边DE与点B在同不时线上，纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离空中的高度AC=1.5m，CD=7m，那么树高AB=〔〕m．A．3.5B．4C．4.5D．52．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目的点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如下图，假定测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，那么这条河的宽AB等于〔〕A．120m B．67.5m C．40mD．30m3．如图，一路灯B距空中高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D动身，沿A→H的方向行走至点G，假定AD=6m，DG=4m，那么小红在点G处的影长相关于点D处的影长变化是〔〕A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m 4．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m，当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B降低〔〕A．2m B．4 m C．4.5 m D．8 m5．如图，小明在空中上放了一个平面镜，选择适宜的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．假定小明的眼睛与空中距离为1.5m，那么旗杆的高度为〔单位：m〕〔〕A．B．9C．12D．6．如下图，一架投影机拔出胶片后图象可投到屏幕上．胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，假定需求投影后的图象DE高1.9米，那么投影机光源离屏幕大约为〔〕A．6米B．5米C．4米D．3米7．如图，小明想应用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C 处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，那么旗杆的高度是〔〕A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m 8．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边从下到上依次裁剪宽度均为3cm的矩形纸条〔如下图〕，那么裁得的纸条中恰为张正方形的纸条是〔〕A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张9．如图，有一块锐角三角形资料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其他两个顶点区分在AB、AC上，那么这个正方形零件的边长为〔〕A．40mm B．45mm C．48mmD．60mm10．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰恰落在空中的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为〔〕A．5m B．7m C．7.5m D．21m 11．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB〔顶端A到水平空中BD的距离〕，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE〔DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线〕，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG前进到点E处，这时恰恰在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，那么凉亭的高度AB约为〔〕A．8.5米B．9米C．9.5米D．10米12．在某一时辰，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为〔〕A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题〔共6小题〕13．如下图，D、E之间要挖建一条直线隧道，为计算隧道长度，工程人员在线段AD和AE上选择了测量点B，C，测得AD=100，AE=200，AB=40，AC=20，BC=30，那么经过计算可得DE长为．14．如图，物理课上张明做小孔成像实验，蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，那么蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛cm的中央．15．如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，应用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．假设小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为m．16．«九章算术»是中国传统数学最重要的著作，在〝勾股〞章中有这样一个效果：〝今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？〞用明天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步〔〝步〞是现代的长度单位〕的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰恰看到位于A处的树木〔即点D在直线AC上〕？请你计算KC的长为步．17．如图，小明在测量学校旗杆高度时，将3米长标杆插在离旗杆8米的中央，旗杆高度为6米，小明眼部以下距空中 1.5米，这时小明应站在离旗杆米处，可以看到标杆顶端与旗杆顶端重合．18．如图是测量河宽的表示图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=m．三．解答题〔共5小题〕19．如图，小明想用镜子测量一棵松树的高度，但树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是小明两次应用镜子，第一次他把镜子放在C点，人在F 点正好在镜子中看见树尖A；第二次把镜子放在D点，人在H点正好在镜子中看到树尖A．小明的眼睛距离空中的距离EF=1.68米，量得CD=10米，CF=1.2米，DH=3.6米，应用这些数据你能求出这棵松树的高度吗？试试看．〔友谊提示：∠ACB=∠ECF，∠ADF=∠GDH〕20．图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平空中，其表示图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞渐渐撑开时，动点P由A向B移动；当点P抵达点B时，伞张得最开．伞在撑开的进程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．﹙1﹚求AP长的取值范围；﹙2﹚在阳光垂直照射下，伞张得最开时，求伞下的阴影﹙假定为圆面﹚面积S ﹙结果保管π﹚．21．如图，如图用一根铁丝分红两段可以区分围成两个相似的五边形，它们的面积比是1：4，其中小五边形的边长为〔x2﹣4〕cm，大五边形的边长为〔x2+2x〕cm〔其中x＞0〕．求这这根铁丝的总长．22．小明和几位同窗做手的影子游戏时，发现关于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们以为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．〔1〕如图1，垂直于空中放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离空中的高度为．〔2〕不改动图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？〔3〕有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离空中的距离．〔写出解题进程，结果用含a，b，n的代数式表示〕23．如图〔1〕是一种广场三联散步机，其正面表示图如图〔2〕所示，其中AB=AC=120cm，BC=80cm，AD=30cm，∠DAC=90°．求点D到空中的高度是多少？参考答案一．选择题1．D．2．A．3．A．4．B．5．C．6．B．7．C．8．C．9．C．10．B．11．A．12．C．二．填空题13．150．14．815．5.1．16．．17．12．18．100．三．解答题19．解：依据反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH，∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，设AB=x，BC=y解得：．答；这棵松树的高约为7米．20．解：〔1〕∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，∴AB=AC﹣BC=10分米．∴设AP=x，那么AP的取值范围是：0≤x≤10；〔2〕衔接MN、EF，区分交AC于B、H．设AP=x分米，∵PM=PN=CM=CN，∴四边形PNCM是菱形．∴MN与PC相互垂直平分，AC是∠ECF的平分线，PB=．在Rt△MBP中，PM=6分米，∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣〔6﹣x〕2=6x﹣x2．∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，∴EH=HF，EF⊥AC．∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，∴△CMB∽△CEH．∴=〔〕2=∴EH2=9•MB2=9•〔6x﹣x2〕．∴S=π•EH2=9π〔6x﹣x2〕，即S=﹣πx2+54πx，∵x=﹣=12，0≤x≤10，π×100+54π×10=315π〔平方分米〕．∴x=10时，S最大=﹣21．解：∵相似五边形的面积比是1：4，∴它们的相似比为1：2，即〔x2﹣4〕：〔x2+2x〕=1：2，整理得x2﹣2x﹣8=0，解得x1=4，x2=﹣2〔舍去〕，当x=4时，x2﹣4=12，x2+2x=24，∴这根铁丝的总长=5×12+5×24=180〔cm〕．22．解：〔1〕设灯泡离空中的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．依据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，解得x=180．〔4分〕〔2〕设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；〔3分〕〔3〕记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．依据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得〔1分〕〔直接得出三角形相似或比例线段均不扣分〕设灯泡离空中距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=〔1分〕．23．解：过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H．∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF=FC=BC=40cm．依据勾股定理，得AF===80〔cm〕，∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90°，∴∠DAH+∠FAC=90°，∠C+∠FAC=90°，∴∠DAH=∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AH=10cm，∴HF=〔10+80〕cm．答：D到空中的高度为〔10+80〕cm．。

浙教版九年级上第四章相似三角形同步练习4.5相似三角形的性质及其应用(1)

4.5 相似三角形的性质及其应用（1）第1课时相似三角形的性质1基础题知识点1 相似三角形中对应角平分线、中线之比等于相似比1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶5，则对应角的平分线的比等于（）A ．3∶5B ．5∶3C ．9∶25D ．25∶92．两个相似三角形对应高之比为3∶1，那么它们对应角平分线之比为（）A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶4D ．1∶83．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD 长4 cm ，则△A ′B ′C ′的A ′B ′边上的中线C ′D ′长为（）A ．2 cmB ．8 cmC ．1 cmD ．16 cm4．已知相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm 和5 cm ，那么这两个三角形的相似比是；如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是4 cm ，那么较长的中线是．5．如图，△ABC ∽△BDC ，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，已知AC ＝6，BC ＝4，BE ＝3，求DF 的长．知识点2 三角形重心及性质6．三角形的重心是（）A ．三条边的中点B ．三条高线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条中线的交点7．如图，D 是△ABC 的重心，则下列结论正确的是（）A ．2AD ＝DEB ．AD ＝2DEC ．3AD ＝2DE D ．AD ＝3DE8．如图，E 为△ABC 的重心，ED ＝3，则AD ＝．9．如图，已知等边三角形边长为2，点O 是△ABC 的重心，AO 的延长线交BC 于点D ，求AO ，OD 的长．10．已知在△ABC 中，中线AD ，BE 相交于点O ，若△BOD 的面积为2，则△ABC 的面积为（）A ．8B ．10C ．12D ．1411．如果三角形的重心在它的一条高线上，那么这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形12．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，G 是△ABC 的重心，则BG 的长为（）A .53 cmB .103 cmC .153 cmD .203cm 13．已知直角三角形的斜边为5 cm ，则此直角三角形的重心与外心之间的距离是．14．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥BC ，BC ＝12，则GE ＝．15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，CF ，EG 分别是△ABC 与△ADE 的中线，已知AD ∶DB ＝4∶3，AB ＝18 cm ，EG ＝4 cm ，求CF 的长．16．如图，△ABC 中，G 为重心，DF ∥BC ，求FG AE的值．17．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB·AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求ACAF的值．。

浙教版九年级上册同步检测卷十三：相似三角形(4.4_4.5)(含答案)

浙教版初中九年级同步检测卷（含答案）卷十四：相似三角形(4.6~4.7)一、选择题(本大题共十题，每题3分，共30分)1. 两个多边形相似的条件是………………………………………………………………（） A ．对应角相等 B ．对应边相等C ．对应角相等，对应边相等D ．对应角相等，对应边成比例2. 下列图形是相似多边形的是………………………………………………………………（） A ．所有的平行四边形 B ．所有的矩形 C ．所有的菱形 D ．所有的正方形3. 如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是…………………………………………（） A ．甲和乙 B ．甲和丙 C ．乙和丙 D ．甲、乙和丙丙乙甲1.511.52.5324．下列说法不正确的是……………………………………………………………………（） A ．位似图形一定是相似图形 B. 相似图形不一定是位似图形C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行5.如图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是…………………………………（） A ．点PB ．点OC ．点MD ．点N6．如图，点D E F ，，分别是()ABC AB AC >△各边的中点，下列说法中，错误．．的是（） A.AD 平分BAC ∠ B.12EF BC =C.EF 与AD 互相平分D.△DEF 是△ABC 的位似图形第6题图第5题图第8题图第10题图7. 将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法中不正确的是……………………（）A．菱形的边长扩大到原来的2倍B．菱形的角的度数不变C．菱形的面积扩大到原来的2倍D．菱形的面积扩大到原来的4倍8. 如图，O是△ABC内任意一点，AD=13AO，BE=13BO，CF=13CO，则△ABC与△DEF的周长比为………………………………………………………………………………（）A．1：3 B．3：2 C．3：1 D．2：39. 把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的较长边与较短边之比为…………（）A．2：1 B．4：1 C：1 D．32：110. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，4）、B（2，0），将△OAB以O为中心缩小一半，则A对应的点的坐标（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）二、填空题(每题4分,共24分)11. 若两个相似多边形面积比为4:9，则它们的周长比是．12.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为 .13. 如图，点O 是四边形ABCD 与A B C D ''''的位似中心，则A B AB ''=1k ,则''OC CC =_______.14. 若五边形ABCDE ∽五边形MNOPQ ，且AB =12，MN =6，AE =7，则MQ = ． 15. 在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD =3S △ABD ，则AB ∶AC 等于________.16. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD =90°， CO =CD ．若B （1，0），则点C 的坐标为____ __________.三、解答题(共46分)17.(本题6分) 周末时，小明帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹笑鱼”，个个都长得非常相似，现在根据大小有两种不同的价格，如图所示，鱼长10cm 的每条10元，鱼长18cm 的每条15元，小明不知道买哪条更合算些，说说你的看法.第17题图第13题图第15题图第18题图18. (本题6分)如图,图片的长(水平方向)为18cm,宽为10cm,在图片四周镶上等宽的花边,得到一个大矩形框,内外两个矩形是否相似？请简要说明理由.19.(本题6分) 如图，已知△ABC中，AB=12，BC=8，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，且相似比为13．（1）根据题意确定D、E的位置，画出简图；（2）求AD的长．20.(本题6分) 正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB =6，AE:EC = 2:1．求四边形AFEG的面积．21. (本题6分)如图，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，已知△ADE和△EFC的面积分别是24cm 和29cm,求四边形DEFB的面积．22.(本题8分) 四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，若S△DCE=4,∶S△ADE=6.(1)求CDAB的值(2)求四边形ABCD的面积.G第18题图第19题图A第22题图23.(本题8分) △ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求正方形材料的边长.附加题24.将正方形ABCD纸片折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC 于F，边AB折叠后与BC交于点G.⑴如果M为CD的中点，求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5．⑵如果M为CD上任一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关，请用含DM的长x（即DM=x）的代数式表示△CMG的周长；若无关，请用含a的代数式表示其周长．答案：一、选择题B' E第24题图一、填空题 11.2：3 12.50cm13. 11k - 14. 7215.316. (1,1) 三、解答题 17.大点的合算18.不相似，规范的解题要设边框宽为x ，列方程，而原方程除0x =外无解，这与小学里的分数具有相同的性质，如3355x x +=+时，只有0x = 19.（1）图略；（2）4或2 20.1621.四边形 DEFB 为平行四边形，面积为1322.(1)23CD CE AB AE ==； (2) 6,9ADE BCE ABE S S S ∆∆∆===，四边形面积为25 23.设正方形的边长为x ，由相似三角形的对应边上高线之比为相似比得：8128x x-=，解得：245x = 24.(1)设正方形的边长为2a ，AE ＝t ，可得方程：222(2)a t a t -+=，54t a =，∴34DE a =∴DE ∶DM ∶EM =3∶4∶5；（2）无关，周长为4a。

初中数学浙教版九年级上册45相似三角形的性质及应用(2)同步练习

初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（2）同步练习一、单选题（共10题；共20分）1. 两个相似三角形，其面积比为16:9，则其相似比为（）A.16:9B.4:3C.9:16D.3:42. 若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（）A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶163. 已知ΔFHB∽ΔEAD，它们的周长分别为30和15，且FH=6，则EA的长为()A.3B.2C.4D.54. 已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1 4.若BC＝1，则EF的长是（）A.2√2B.2C.4D.165. 已知△ABC∼△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2:3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为()A.60B.70C.80D.906. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是()A.8B.10C.12D.147. 如图，△OAB∼△OCD，OA:OC=3:2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()A.OBCD =32B.αβ=32C.S1S2=32D.C1C2=328. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为点D，如果C△ADCC△CDB =32，AD=9，那么BC的长是（）A.4B.6C.2√13D.3√109. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有()个．①AE⊥BF；②QB＝QF；③；④S ECPG＝3S△BGEA.1B.4C.3D.210. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE // BC，EF // AB，若AB＝3BD，则S△ADE:S△EFC的值为（）A.4:1B.3:2C.2:1D.3:1二、填空题（共5题；共5分）如图，已知△ABC∽△DBE，AB=6，DB=8，则S△ABCS△DBE=________．公园中儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2:3，其中大三角形地块面积为27，则小三角形地块的面积是________．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE // BC，若△ADE与△ABC 的周长之比为2:3，AD=4，则DB=________．如图，在▱ABCD中，点E是CD中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1．则四边形ABCE的面积为________．如图，图①是一块边长为1，面积记为S1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，剪下的正三角纸板面积记为S2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12后，得图③、④，…，记剪下的第2019块小正三角形纸板的面积为S2019，则S2019−S2020等于________.三、解答题（共3题；共35分）已知ΔABC和ΔDEF中，有ABDE =BCEF=CAFD=23,且ΔABC和ΔDEF的周长之差为15厘米，求ΔABC和ΔDEF的周长.△ABC∽△A`B`C`，ABA′B′=12,边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64cm2，求：（1）A`B`边上的中线C`D`的长；（2）△A`B`C`的周长（3）△ABC的面积如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(−2, 0)，点B(4, 0)，与y轴交于点C(0, 8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．参考答案与试题解析初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（2）同步练习一、单选题（共10题；共20分）1.【答案】B【考点】相似三角形的性质相似多边形的性质多边形内角与外角【解析】根据两个相似多边形的面积比为16:9，面积之比等于相似比的平方．【解答】根据题意得√169=43．即这两个相似多边形的相似比为4:3故选：B．2.【答案】D【考点】相似三角形的性质相似多边形的性质轴对称图形【解析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【解答】：两个相似三角形的周长之比为1:4…它们的面积之比为1:16故选D．3.【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解．【解答】解：∵4FHB和4EAD的周长分别为30和15，∴．4FHB和4EAD的周长比为2：1△FHB−△EADμH EA =2，即6EA=2解得，EA=3故答案为：A．4.【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解．【解答】解：．△ABC−△DEF，4ABC与ΔDEF的面积之比为1:4(BC:EF)2=1:4解得BC:EF=1:2∵ BC=1∴ EF=2.故答案为：B．5.【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】直接利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两三角形面积比，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∼△DEF，且相似比为2:3，∴△ABC的面积与△DEF的面积比为：4:9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90.故选D.6.【答案】C【考点】三角形中位线定理【解析】首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=12AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．【解答】解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE // BC且DE=12AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2(BD+BE+DE)，即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选C.7.【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△OAB∼△OCD，OA:OC=3:2，∠A=α，∠C=β，∴OBOD =32，A错误；∴S1S2=94，C错误；∴C1C2=32，D正确；不能得出αβ=32，B错误.故选D.8.【答案】C【考点】相似三角形的性质勾股定理【解析】先根据相似三角形边长比等于周长比求出CD，再根据三角形射影定理求出BD，在直角三角形BCD中用勾股定理求出BC的长．【解答】解：∠ACB=90∘CD⊥AB∴ ∠ACD+∠BCD=90∘∠BCD+∠CBD=90∘∴ ∠ACD=∠CBD,{∠ADC=∠CDB=90∠ACD=∠CBD∠ACD=∠CBD△ACD∼△CBDAD CD = 3 2AD=9∵ D=6x(CD2=AD⋅BD∴ BD=4在F△BCD中，根据勾股定理得：BC=√BD2+CD2=√42+62=√52=2√13;故答案为：C．9.【答案】C【考点】翻折变换（折叠问题）正方形的性质全等三角形的性质【解析】○首先证明△ABE=ΔBCF，再利用角的关系求得么BGE=90∘，即可得到AE1BF；②ΔBCF沿BF对折，得到ΔBPF，利用角的关系求出QF=OB③证明ΔBEG∼△ABC5∼△AEB，得出GEBG =BGAG=BEAB=12，设GE=x，则BG=2x，AG=4x，所以E3F=AE=AG+GE=5x，所以FG=BF−BG=3x，得出AGFG =43，即可得出结论；④可证△BGE与ΔBMC相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积关系即可求解．【解答】解：①：四边形ABCD是正方形，∴．4BC=2CD=90∘，AB=BC=CD，ABIICD，：E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CF=BE在△ABE和△BCF中，{AB=BC∠ABE=∠BCF BE=CF．△ABE=△BCF(SA5)，．LBAE=LCBF，AE=BF，又·LBAE+zBEA=90∘，…2CBF+∠BEA=90∘.2BGE=90∘，：AE1BF，故①正确；②由折叠的性质得：FP=FC，4PFB=∠BFC，LFPB=90∘：CDIIAB，∴ ________CFB=∠AA3F，∠ABF=∠PFB…OB=OF，故②正确；③：AELBF，LABE=90∘，…．ΔBEG∼ΔABG−ΔAEB，∴GEBG =BGAG=BEAB=12设GE=x，则BG=2x，A心·A−−x，∴3F=AE=AG+GE=5x，．．FG=BF^−BG=^3x，∴AGFG =43，故③正确；④如图所示：PCIBF，AELBF，．．PClIAE，ΔBGE−ΔBMC，：E是BC的中点，．．BE=CE，…ΔBGE的面积：△BMC的面积=1∶4，∴△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则ΔPGM的面积=ΔCGM的面积=2ΔCGE的面积=2ΔBGE的面积，…四边形ECPG的面积：ΔBGE的面积=5∶1，…四边形{Ec FG= 5S_{\triangleBGE}}，故④错误．综上所述，共有{3}个结论正确．故选：{C}$．10.【答案】A【考点】相似三角形的性质与判定【解析】由题意可证四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，AD＝2EF，通过证明△ADE∽△EFC，可求解．【解答】∵AB＝3BD，∴AD＝2BD，∵DE // BC，EF // AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，∴AD＝2EF，∵DE // BC，EF // AB，∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，∴△ADE∽△EFC，∴S△ADE:S△EFC的＝(ADEF)2＝4:1，二、填空题（共5题；共5分）【答案】916【考点】相似三角形的性质【解析】先求出△ABC与△DBE的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质解答．【解答】解：∵AB=6，DB=8，∴△ABC与△DBE的相似比=6:8=3:4，∴S△ABCS△DBE =916．【答案】12【考点】相似三角形的性质三角形的面积轴对称图形【解析】根据两个三角形相似，面积比等于相似比的平方，列出比例式计算即可．【解答】根据题意，设小三角形地块的面积为x，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，则x:27=4:9解得：x=12故答案为：12．【答案】2【考点】相似三角形的性质与判定【解析】由DE // BC，易证△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出AB的长，进而可求出DB的长．【解答】解：∵DE // BC，∴△ADE∽△ABC.∵△ADE与△ABC的周长之比为2:3，∴AD:AB=2:3.∵AD=4，∴AB=6，∴DB=AB−AD=2.故答案为：2．【答案】3【考点】相似三角形的性质与判定平行四边形的性质【解析】根据▱ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF−S△CEF=3．【解答】解：∵在▱ABCD中，AB // CD，点E是CD中点，∴EC是△ABF的中位线；在△ABF和△CEF中，∠B=∠DCF，∠F=∠F（公共角），∴△ABF∽△ECF，∵ECAB =EFAF=CFBF=12，∴S△ABF:S△CEF=1:4；又∵△ECF的面积为1，∴S△ABF=4，∴S四边形ABCE=S△ABF−S△CEF=3．故答案是：3．【答案】3√324040【考点】相似三角形的性质【解析】本题关键在于寻找规律，得出剪掉的三角形的面积与第几次被剪掉的次数之间的关系．【解答】解：第1块正三角形纸板的面积为s1=√32⋅1⋅12=√34=√322：第2块被剪掉的正三角形纸板的边长为第1块的12，根据相似三角形定律，可知相似三角形面积比等于边长比的平方，可知S2=14S1=√34⋅14=√316=√324，同理可知：S3=14S2=√326S4=14S3=√328S n=√3 22,S2019=√322019=√32403S2020=√322020=√324040Sa019−S2020=√324038−√324040=√324038(1−14)=√324038⋅34⋅3√324040三、解答题（共3题；共35分）【答案】解：设ΔABC和ΔDEF的周长分别是x厘米和y厘米.∵ABDE =BCEF=CAFD=23∴AB+BC+CADE+EF+FD =xy=23①..由题意可得：y−x=15②由①式得x=23y③将③式代入①式得：y−23y=15y=45将y=45代入②式得：x=30∴x=30, y=45答：ΔABC和ΔDEF的周长分别是30厘米和45厘米【考点】相似三角形的性质【解析】设△ABC和ADEF的周长分别是x厘米和y厘米．根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出xy =23①，由题意可得：y−x=15②，解①②组成的方程组即可求出x0的值，从而得出答案．【解答】此题暂无解答【答案】解：∵△ABC∽△A′B′C′, ABA′B′=12，AB边上的中线CD=4cm，∴CDC′D′=12，∴C′D′=4cm×2=8cm，∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm解：∵△ABC∽△A′B′C′, ABA′B′=12，△ABC的周长为20cm，∴C△ABCC△A′B′C′=12，∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，∴△A′B′C′的周长为40cm解：∵△ABC∽△A′B′C′, ABA′B′=12, △A′B′C′的面积是64cm2，∴S△ABCS△A′B′C′=(12)2=14，∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，∴△ABC的面积是16cm2.【考点】相似三角形的性质【解析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解．【解答】此题暂无解答【答案】故抛物线的表达式为：y＝−x2+2x+8；∵点A(−2, 0)、C(0, 8)，∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90∘，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时AECO =PEAO，即：AE8=PE2，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k−2，将点P坐标(4k−2, k)代入二次函数表达式并解得：k＝0或2316（舍去0），则点P(154, 2316)；在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90∘，∵l // y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴S△PFDS△BOC =(PDBC)2，∴S△PDF=(PDBC)2⋅S△BOC，而S△BOC=12OB⋅OC=12×4×8=16，BC=√CO2+BO2=4√5，∴S△PDF=(PDBC )2⋅S△BOC=15PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝−2x+8，设点P(m, −m2+2m+8)，则点D(m, −2m+8)，则PD＝−m2+2m+8+2m−8＝−(m−2)2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF=15PD2=165．【考点】二次函数综合题【解析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，可得：PE＝4AE，设点P坐标(4k−2, k)，即可求解；（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得：S△PFDS△BOC =(PDBC)2=15PD2，再求出PD的最大值，即可求解．【解答】故抛物线的表达式为：y＝−x2+2x+8；∵点A(−2, 0)、C(0, 8)，∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90∘，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时AECO =PEAO，即：AE8=PE2，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k−2，将点P坐标(4k−2, k)代入二次函数表达式并解得：k＝0或2316（舍去0），则点P(154, 2316)；在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90∘，∵l // y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴S△PFDS△BOC =(PDBC)2，∴S△PDF=(PDBC)2⋅S△BOC，而S△BOC=12OB⋅OC=12×4×8=16，BC=√CO2+BO2=4√5，∴S△PDF=(PDBC )2⋅S△BOC=15PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝−2x+8，设点P(m, −m2+2m+8)，则点D(m, −2m+8)，则PD＝−m2+2m+8+2m−8＝−(m−2)2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF=15PD2=165．。

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4.4相似三角形的性质及其应用同步练习
一、运用新知，解决问题
1、已知两个三角形相似，请完成下列表格
2、如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点
G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AG AF
；
（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；（3）△ADE 与△ABC 的面积之比. 二、加强训练，巩固新知
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是，对应中线的比是，对应角平分线的比是，周长比是，面积比是。

2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是，周长是。

3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2
，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？
4、在△ABC 中，DE ∥BC ，E 、D 分别在AC 、AB 上，EC=2AE ，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的比为______
5、如图， △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ＝DF ＝FB ，则S △ADE :S 四边形DFGE :S 四边形FBCG =______
A B
C
D
E F
G A B
C
D
E F
F
E
D
C
B
A
三、变式训练，拓广研究
1、过E 作EF//AB 交BC 于F ，其他条件不变，则ΔEFC 的面积等于多少？四边形BDEF 面积为多少？
2.若设S S ABC =∆，1S S ADE =∆，2S S EFC =∆
请猜想：S 与S 1、S 2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？ 3、类比猜想
如图，DE//BC ，FG//AB ，MN//AC ，且DE 、FG 、MN 交于点P 。

若记
S S ABC =∆，1S S ADE =∆，2S S EFC =∆
请猜想：S 与S 1、S 2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？
A B
C
D
E F G M
N
P
S 1
S 2
S 3。

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