第一讲 等差数列基础篇
新高考 核心考点与题型 数列 第1讲 等差数列及其前n项和 - 解析
第1讲 等差数列及其前n 项和[考情分析] 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).考点一 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例1】在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.【变式1】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析 (1)S 8＝4a 3⇒8(a 1＋a 8)2＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.【变式2】已知数列{}{},n n a b 为等差数列，若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_______思路：条件与所求都是“n n a b +”的形式，由{}{},n n a b 为等差数列可得{}n n a b +也为等差数列，所以()33a b +为()()1155,a b a b ++的等差中项，从而可求出55a b +的值解：{}{},n n a b 为等差数列{}n n a b ∴+也为等差数列 ()()()3311552a b a b a b ∴+=+++()()553311235a b a b a b ∴+=+-+= 答案：35【变式3】等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( )A.3B.4C.log 318D.log 324∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列，∵log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )， ∵log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去). ∵等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∵公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∵数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.【例2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45.【变式1】在等差数列{a n }中．若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和S n ＝286，则n ＝________.解析 (1)依题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67.由等差数列的性质知a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22. 又S n ＝n (a 1＋a n )2，即286＝n ×222，∴n ＝26.【变式2】在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________． 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.【例3】 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.解 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3，∴S 2 019＝3×2 019＝6 057. 【变式1】在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若121021210S S -=，则2008S 的值等于（ ） A. 2007- B. 2008- C. 2007 D. 2008 思路：由121021210S S -=观察到n S n 的特点，所以考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的性质，由等差数列前n 项和特征2n S An Bn =+可得nS An B n=+，从而可判定n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且可得公差1d =，所以()1120091n S S n d n n =+-=-，所以()2009n S n n =-，即20082008S =-，答案：B【变式2】设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解 由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝a 5b 5＝2，故选A.【变式3】等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.考点二 等差数列的判定与证明典例迁移【例1】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1）， 所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【变式1】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝－23＋(－1)n2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋（－1）n·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.【变式2】 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n .设b n ＝a n －2n3n .证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1， ∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0.∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n . 考点三 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17解∵a 1＝29，S 10＝S 20，∵10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∵S n ＝29n ＋nn －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∵当n ＝15时，S n 取得最大值． 规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【变式1】 等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5【变式2】已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn ＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.【变式3】在等差数列{}n a 中，10a >，若其前n 项和为n S ，且148S S =，那么当n S 取最大值时，n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【变式4】在等差数列{}n a 中，10a >，054>+a a ，054<a a ，使前n 项和0n >S 成立的最大正整数n 的值为________3、从n S 的图像出发，由148S S =可得n S 图像中11n =是对称轴，再由10a >与148S S =可判断数列{}n a 的公差0d <，所以n S 为开口向下的抛物线，所以在11n =处n S 取得最大值，答案：D4、思路：0n >S 成立的最大正整数n ，即001<>+n n s s 且此时成立。
2011年三年级奥数春季班第一讲 等差数列基础
第一讲等差数列基础一、等差数列的相关概念定义：任意相邻两个数的差是相等的一列数项：首项、中项、末项项数：就是等差数列一共有多少个数公差：相邻两数之间的差通项：数列中每一项的通用表示二、基本公式1.通项公式：已知首项和公差，求第n项第n项=首项+（n-1）×公差辅助记忆：五指法（指头是项，空是公差，公差个数比项数少1，第2项是第1项加1个公差，第3项是第1项加2个公差，第5项是第一项加4个公差……）2.项数公式：已知首项、末项及公差，求项数项数=（末项-首项）÷公差+1辅助记忆：青蛙跳荷叶（荷叶数代表项数，青蛙从第一片荷叶开始跳，先算共跳了几次，在看跳到第几片荷叶上。
）【注】：此公式为求和公式的基础3.求和公式：任何等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷2【注】：高斯求和，皮鞋定理4.中项定理：对于容易找到中项的等差数列求和较方便和=中间数×项数（1）求和公式和中项公式的联系：和=（首项+末项）×项数÷2=（首项+末项）÷2×项数= 中间数×项数【注】中间数为平均数（2）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项）如：一个等差数列共有5个数，和是100。
那么中项就是100÷5=205、等差数列中任意两项的差第n项-第m项=公差×（n-m）26.常用熟记公式: 从1开始连续奇数列求和=项数即：1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2图示：1 3 5 7 9二例题解析1、直接运用公式进行计算例1 1+2+3+……+1992+1993的和。
解析：题目告诉的是一个等差数列，那就看问的是什么，用相应的公式求解即可。
问上述等差数列的和，直接利用求和公式：原式=（1+1993）×1993÷2=1994÷2×1993=997×1993=1000×1993-3×1993=1993000-5979=1987021【注】：计算是基础，利用巧算方法更省力。
等差数列初步
等差数列【知识概要】1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 1）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；2）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差；3）常数d 可以等于0，此时等差数列为常数列.2. 等差中项若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项1）不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；2）A=2ba +是a, A,b 成等差数列的充要条件； 3）对任意两个实数的等差中项是唯一的.3. 等差数列的通项公式及递推公式 1）等差数列的通项公式①d n a a n )1(1-+= ； ②=n a d m n a m )(-+ 注：d m a a m )1(1-+= ，即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 ： =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a nm --2）等差数列的递推公式*11()n n a a d n N a a +⎧-=∈⎨=⎩3）等差数列的单调性① {}0;n a d ↑⇔> ② {}0;n a d ↓⇔<4. 等差数列前n 项和公式 1）公式1：2)(1n n a a n S +=公式2：2)1(1dn n na S n -+=注：公式1 n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=公式2 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1dn n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用）2）数列的通项公式n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩5. 等差数列前n 项和公式n S 的性质 1）项数（下标）的“等和性”：2)(1n n a a n S +=1()2m n m n a a -++=2）项的个数的奇偶性：等差数列{}n a 中，公差为d ，则有① 若共有2n 项，则211();;:.n n n n n S n a a S S nd S S a a -+=+-==偶奇偶奇： ② 若共有21n +项，则2111(21);;:(1).n n n S n a S S a S S n n +++=+-=-=+偶奇偶奇： 3）“片段和性质”：依次取出等差数列的连续几项的和也构成一个等差数列。
第一讲 等差数列
第一讲等差数列1、已知{a n}为等差数列，a15 =8，a60 =20，求a75 。
2、设数列{a n}的前n项和为Sn=na+n（n-1）b（n=1,2,3，…），a，b是常数，且b≠0。
证明{a n}是等差数列。
3、在等差数列{a n}中，公差为1/2，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=_______。
4、等差数列{a n}中，a1=-5，前11项的算术平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的算术平均值为4，则抽取的是第几项？5、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数。
6、三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数。
7、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）8、已知等差数列{a n}的前n项和为Sn，若S12 =21，则a2+a5+a8+a11=________。
9、已知{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和Sn=10，则其公差d=_________。
10、设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=_____。
11、在等差数列{a n}中，a1+a2=100，a3+a4=80，那么a5+a6的值是（）12、设{a n}是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为（）13、在等差数列{a n}中，a12=23，a42=143，且a n=263，则n的值为（）14、若x是a，b的等差中项，x2是a2，-b2的等差中项，则a，b的关系为（）15、在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100，则3a9-a13的值为___________。
16、已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a1≠a2，a m，a k，a h都是数列{a n}中满足a h-a k=a k-a m的任意项。
等差数列讲义 (1)
12、(2008 宁夏理)已知数列 {an } 是一个等差数列，且 a2 1， a5 5 . （1）求 {an } 的通项 an ； （2）求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.
S 13、 （2010 全国）设 a n 为等差数列， S n 为数列 a n 的前 n 项和，已知 S7 7 ， S15 75 ，T n 为数列 n n
2ap .
a2 an1 a3 an2
（1）若 an 、 bn 为等差数列，则 an b， 1an 2bn 都为等差数列。 （2）若{ an }是等差数列，则 Sn , S2n Sn , S3n S2n ，„也成等差数列。 （3）数列 {an } 为等差数列,每隔 k (k N ) 项取出一项 (am , amk , am2k , am3k , ) 仍为等差数列。
n a1 an n n 1 d． ；② Sn na1 2 2
a1 a2 an ).
5、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系
s1 , n 1 an ( sn sn1 , n 2
二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差 d 0 时，
4
等差数列前 n 项和的最值问题 4. 已知等差数列 an ，且满足 an 40 4n ，前多少项的和最大，最大值为多少
课堂总结
课后作业 1、(2007 安徽)等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 a2 1, a3 3, 则S 4＝（ A．12 B．10 C.8 D．6 ）
*
5、前 n 项和的性质 设数列 an 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的和， S n 是前 n 项的和. ①当项数为偶数 2n 时，则
高考数学：专题三 第一讲 等差数列与等比数列课件
题型与方法
例 1
第一讲
已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}
的前 n 项和 Sn.
本 讲 栏 目 开 关
解 设{an}的首项为 a1，公差为 d， a ＋2da ＋6d＝－16， 1 1 则 a1＋3d＋a1＋5d＝0，
a2＋8da ＋12d2＝－16， 1 1 即 a1＝－4d， a ＝－8 a ＝8， 1 1 解得 或 d＝2 d＝－2，
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
c1 而当 n＝1 时， ＝a2，∴c1＝3. b1 3，n＝1， ∴cn＝ － 2×3n 1，n≥2.
∴c1＋c2＋…＋c2 011＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 010 6－6×32 010 ＝3＋ ＝3－3＋32 011＝32 011. 1－3
即 2a1＋d＝a1＋2d， 1 又 a1＝2，
1 所以 d＝2，
故 a2＝a1＋d＝1.
答案 1
题型与方法
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
题型一 题型概述
等差数列的有关问题 等差数列是一个重要的数列类型， 高考命题主要考
查等差数列的概念、 基本量的运算及由概念推导出的一些重 要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的.
则 c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.
答案 35
考点与考题
第一讲
1 5.(2012· 北京)已知{an}为等差数列， n 为其前 n 项和.若 a1＝ ， S 2 S2＝a3，则 a2＝________.
本 讲 栏 目 开 关
解析
设{an}的公差为 d，
由 S2＝a3 知，a1＋a2＝a3，
故 a7＝0.
等差数列的概念
等差数列的概念等差数列是数学中常见的一种数列，它的概念以及相关性质在数学领域中有着重要的地位。
本文将对等差数列进行详细的介绍和讨论。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
也就是说，如果一个数列满足每一项与其后一项之间的差值都为同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
常数d称为等差数列的公差，用字母d表示。
例如：1, 3, 5, 7, 9, 11, ...这个数列中相邻两项之间的差值都是2，所以它是一个公差为2的等差数列。
二、等差数列的通项公式等差数列可以用一个通项公式来表示，通项公式可以根据等差数列的首项和公差来确定。
通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1是第一项，d是公差。
通过这个公式，我们可以直接求出等差数列的任意一项。
三、等差数列的性质1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和，a1是第一项，an是第n项，n为项数。
这个公式可以用来计算等差数列的前n项和，方便进行数值计算。
2. 等差数列的性质（1）等差数列的项数奇偶性对于一个等差数列，如果首项、公差和末项已知，我们可以根据等差数列的性质来判断该数列的项数是奇数还是偶数。
- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an > a1，项数n为奇数；如果公差d为负数，则an < a1，项数n为偶数。
- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an < a1，项数n为偶数；如果公差d为负数，则an > a1，项数n为奇数。
（2）等差数列的中项对于一个项数为奇数的等差数列，我们可以根据等差数列的性质求出它的中项。
中项可以通过以下公式计算：中项 = (首项 + 末项) / 2四、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用。
它不仅在数学领域中有重要作用，也在其他学科和实践中得到广泛的应用。
等差数列的讲义
麟子教育一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 则这个 数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差•通常用字母 d 表示。
2、等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 晋 或2A a b 推广：2a n 乳 a n i (n 2) 2a “ 1 a “ a “ 23、等差数列通项公式若等差数列 a n 的首项是a i ，公差是d ，则耳6 n 1 d . 推广：a n a m (n m)d ，从而d 4、等差数列的前n 项和公式5、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系环 n 1a n(数列｛a n ｝的前n 项的和为S n 印a ? L a n ).$需川2二、等差数列的性质 1、 等差数列的增减性若公差d 0，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列, 若公差d 0，则为常数列。
2、 通项的关系当 m n p q 时，则有 a m a “ a p a q ， 特别地，当m n 2p 时，则有a m On 2a p .注：a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法：(1)定义法：若a n a n 1 d 或a n 1 a n d (常数n N ) a n 是等差数列；a n a mn m等差数列的前n 项和的公式：①5n s i a n2n n 1② 5 g 丁 d .(2)等差中项：数列a n是等差数列2a n a^ a n1(n 2) 2a n1 a n a n 2 :练习、选择题1、等差数列a n中，S0 120，那么aA. 12B.24C. 362、已知等差数列a n1的公差d ，a22A. 80 B . 120 C . 1353、已知等差数列a n 中，a2a5a9A. 390B. 195 c.1804、在等差数列a n 中，a2 6 ,a81 a io ( )D. 48a4 a ioo 80，那么S ioo D. 160.a i2 60 ,那么S13D. 1206，若数列a n的前n项和为S n ,则( )A. S4S5B.S4S5二.填空题1、等差数列a n中，若a62、等差数列a n中，若S n c.S6 S5 D.S6 S5 a3a8 ,则S q3n22n，则公差d3、已知等差数列｛a n｝的公差是正整数，且a3 a712,a4 a64，则前10项的和S10= 三•解答题1、在等差数列a n中，a4 0.8，an 2.2，求a51 a52 L a8°.2、设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3 12，S2>0, Sn<0,①求公差d的取值范围；②S,S2丄，S2中哪一个值最大？并说明理由.3、设等差数列｛a n｝的前n项的和为S n ,且S 4 = —62, S 6 = —75,求：(1) ｛a.｝的通项公式 a n 及前n 项的和S n ; (2) |a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+ ……+|a 14 |.。
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理第一讲 等差数列与等比数列1．等差数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N *，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 3．等差中项．若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝x ＋y2，其中A 为x ，y 的等差中项．4．等差数列的前n 项和公式．若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2．1．等比数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．3．等比中项．若x ，G ，y 成等比数列，则G 2＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝1－b51－b.(×)1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故S 5＝（a 1＋a 5）×52＝6×52＝15.2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．3．(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21 B．42C．63 D．84解析：∵ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴ 3＋3q2＋3q4＝21.∴ 1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.4．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A．90 B．100C．145 D．190解析：设公差为d，则(1＋d)2＝1·(1＋4d)．∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.一、选择题1．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3＋a9＝6，则S11＝(B)A．12 B．33 C．66 D．99解析：∵{a n}为等差数列且a3＋a9＝6，∴a 6＋a 6＝a 3＋a 9＝6. ∴a 6＝3. ∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 6＋a 62×11＝11a 6＝11×3＝33.2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则数列{a n }的前6项和S 6＝(B ) A ．120 B ．140 C ．160 D ．180 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6为等比数列． ∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)． 即a 5＋a 6＝（a 3＋a 4）2a 1＋a 2＝40220＝80.∴S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝20＋40＋80＝140.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17＝(C ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 解析：∵S n ＝n 2－2n －1， ∴a 1＝S 1＝12－2－1＝－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n －1－[(n －1)2－2(n －1)－1] ＝n 2－(n －1)2＋2(n －1)－2n －1＋1 ＝n 2－n 2＋2n －1＋2n －2－2n ＝2n －3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.∴a 3＋a 17＝(2×3－3)＋(2×17－3)＝3＋31＝34. 4．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 解析：由a n ＋a n ＋12＜a n ⇒a n ＋1＜a n ⇒{a n }为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{a n }为递减数列，则a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋；若{a n }为递减数列，则a n ＋1＜a n ，即a n ＋a n ＋12＜a n ，所以逆命题为真；否命题：若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N ＋，则{a n }不为递减数列；由a n ＋a n ＋12≥a n ⇒a n ≤a n ＋1⇒{a n }不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题． 故选A.5．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为(C )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m ＝9，因此选C.二、填空题6．(2015·安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.7．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝32． 解析：将S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2，两式作差得：a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即：2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．8．(2014·广东卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5．解析：由题意知a 1a 5＝a 23＝4，且数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2， ∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 三、解答题9．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2 ＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解析：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．10．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.。
专题三 第1讲 等差数列、等比数列
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1. (3)等差数列的求和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn－ 2 1d.
(4)等比数列的求和公式： Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.(2022·济宁模拟)在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a6＋a8＝－32，则aa105＋ ＋aa172
等于
A.－8
B.16
C.32
√D.－32
设等比数列{an}的公比为q， 则a6＋a8＝(a1＋a3)q5＝1×q5＝－32，所以q5＝－32， 故aa105＋ ＋aa172＝aa5＋5＋aa77q5＝q5＝－32.
∴S14＝14a12＋a14＝14a42＋a11>0， S15＝15a12＋a15＝15×2 2a8<0，
∴当Sn>0时，n的最大值为14，D正确.
考点三
等差数列、等比数列的判断
核心提炼
定义法 通项法 中项法
等差数列 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)
是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的
石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项
1＝6
√B.{an}的公差为9
C.a6＝3a3
√D.S9＝405
设{an}的公差为d.由a4＋a6＝90， 得a5＝45，又a2＝18， 联立方程组aa11＋＋d4＝d＝184，5， 解得ad1＝＝99，， 故 A 错误，B 正确；
完整版)等差数列知识点总结
完整版)等差数列知识点总结等差数列是一种数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
可以用递推公式表示为an - an-1 = d（d为常数）（n≥2）。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d = dn + a1 - d（首项为a1，公差为d，末项为an）。
另外，等差数列还有等差中项，即an - am / (n-m)。
如果a、A、b成等差数列，那么A 叫做a与b的等差中项，即A = (a+b) / 2 或 2A = a + b。
等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an) / 2 = n / 2 (2a1 + (n-1)d) = (2a1 + (n-1)d)n / 2.等差数列的证明方法有定义法、等差中项法、通项公式法和前n项和公式法。
等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d…（公差为2d）。
等差数列的性质有：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d = dn + a1 - d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn = n(a1 + an) / 2 = n / 2 (2a1 + (n-1)d) = (2a1 + (n-1)d)n / 2是关于n的二次函数且常数项为a1.的通项公式和第一项。
根据已知条件，可以列出以下方程组：a1d a2110d33解得：d3，a18所以，{an的通项公式为an83(n1)，第一项为a18.2.若等差数列{an的前6项依次为2，5，8，11，14，17，求该数列的通项公式和第100项。
等差数列知识总结(基础)
等差数列知识总结
1、定义
1(2)n n a a d n --=≥ 1(1)n n a a d n +-=≥
注意：
①数列{}n a ，{}n b 是等差数列，数列{}n n ma kb +也是等差数列 ②若0d >，数列{}n a 为递增数列，若0d <，数列{}n a 为递减数列，若0d =，数列{}n a 为常数列
2、等差中项
若,,a A b 成等差数列，则2a b A +=；
若112(2)n n n a a a n -+=+≥，数列{}n a 是等差数列.
3、等差数列的通项公式
1(1)n a a n d =+-
①推导方法：归纳法、累加法
②公式的变形：()n m a a m n d -=-
③公式的形式（可以用来判断等差数列）：n a pn q =+（,p q 为常数） ④若p q s t +=+，则p q s t a a a a +=+
4、等差数列的前n 项和
1(+)2n n n a a S =，1(1)2
n n n S na d -=+ 注意：
①推导方法：倒序相加法
②“片段和”性质：数列{}n a 是等差数列，则232,,m m m m m S S S S S --也是等差数列
③公式的形式（可以用来判断等差数列）：2n S An Bn =+（,A B 为常数）
④n S 的最值问题
⑤数列{||}n a 的求和问题。
知识点什么是等差数列
知识点什么是等差数列知识点：什么是等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，其中每个相邻的数字之间的差值都是相等的。
在等差数列中，一个数字称为首项，差值称为公差。
等差数列可用于解决各种实际问题，也在数学推理中扮演重要角色。
本文将介绍等差数列的定义、性质和应用。
一、等差数列定义及基本性质等差数列的定义是：如果一个数列满足每个相邻的数字之间的差值都相等，则称该数列为等差数列。
等差数列一般用字母a、d和n来表示，其中a表示首项，d表示公差，n表示数列的项数。
等差数列的基本性质包括：1. 公差性质：等差数列中，任意两个相邻数字的差值是相等的。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可由首项和公差推导得出。
通项公式通常表示为an = a + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a表示首项，d表示公差。
3. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n/2)(2a+ (n - 1)d)来计算，其中n表示项数，a表示首项，d表示公差。
二、等差数列的应用等差数列在数学中的应用非常广泛，以下介绍几个常见的应用情况。
1. 数学问题：等差数列可用于解决各种数学问题，如求和、找规律、推测等。
通过等差数列的性质和通项公式，可以轻松计算数列的各项数值、求和以及验证数列中的规律。
2. 数字序列：在实际问题中，常会遇到一组数字按照一定规律排列的情况。
如果这组数字满足相邻数字之差相等，那么可以认定它们构成了一个等差数列。
通过识别等差数列，我们可以更好地理解和解决实际问题。
3. 金融领域：等差数列在金融领域的应用十分广泛。
例如银行的利率、投资计划的收益等都可能涉及等差数列。
通过等差数列的性质，我们可以对这些金融问题进行分析和计算。
4. 物理学问题：在物理学中，等差数列可以用于描述一些连续变化或周期性变化的现象。
例如，匀速运动中的位移、速度和加速度等都可以通过等差数列来表示和计算。
三、等差数列的例题解析为了更好地理解等差数列的应用，我们来看一个例题：例题：一个等差数列的首项是3，公差为4，求前10项的和。
《等差数列的概念》课件
实例分析
1
应用等差数列的概念解决实际问题
通过实际案例，展示如何使用等差数列的概念解决实际问题。
2
求解等差数列中的未知数
根据已知条件和等差数列的特性，推导计算出未知数的值。
3
计算等差数列的前n项和
利用等差数列的求和公式，计算前n项的总和。
总结
等差数列的概念和特 征
2 应用
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的 前n项和，从而解决实际问题。
等差数列的常见问题解答
1 如何判断一个数列是否为等差数列？
通过计算数列中相邻项的差值，若差值相等，则为等差数列。
2 如何求等差数列中的未知数？
利用等差数列的公式和已知条件，可从中解出未知数。
3 等差数列中的前n项和如何求解？
等差数列求和公式及 应用
等差数列常见问题的 解答
练习题
等差数列练习题1
计算等差数列的第n项。
等差数列练习题2
找出等差数列中的错误项。
等差数列练习题3
计算等差数列的前n项和。
更多资源
参考书籍
推荐一些关于
介绍一些可以在线学习等差数列的优秀平台。
等差数列的概念
本节课我们将学习等差数列的基本概念，包括定义、特征、求和公式以及常 见问题的解答，以及实际问题的应用。
什么是等差数列
定义
等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相 等的数列。
特征
等差数列具有固定的公差，并且每一项与它的 前一项之差都相等。
等差数列的求和公式
1 推导过程
通过对等差数列进行变形和求和，可推导出 等差数列的求和公式。
等差数列基础 第1讲
第一讲等差数列基础关于第一讲等差数列，是中年级学习的一个重点。
高年级的很多题虽不是直接考察等差数列，但往往中间的某一步需要用到等差数列的知识。
等差数列这讲公式繁多，但希望孩子们千万不要死记硬背这些公式，一定要理解着记忆。
死记硬背公式不易记牢，往往容易出错，考试中一旦出现，背错公式，分数就得不到了；在在我总结的知识点解析里每个公式，我都讲了理解的方法。
可以在做题时反复理解几次，就不容易出错了。
关于计算这里，再啰嗦几句。
很多孩子的计算基本功不过关，所以往往上课时算式列出来了，但不会算，算得慢或算不准，这样就太可惜了。
所以希望孩子们能够每天坚持练几道大数乘除法。
乘法可以按照三位数×一位数，两位数×两位数，三位数×两位数，四位数×两位数，三位数×三位数，四位数×三位数。
除法可以从三位数÷一位数，四位数÷一位数，三位数÷两位数，四位数÷一位数，五位数÷一位数，五位数÷三位数等等这样的顺序练起。
一、通项公式知识点解析：⒈第n项=首项+（n-1）×公差理解方法：可以对比植树问题来理解等差数列，第二项比第一项多一个公差，第三项比第一项多两个公差，……第n项比第一项多（n-1）个公差。
辅助练习：等差数列5、8、11……求这个数列的第2011项是多少？答：5+（2011-1）×3=6035这个公式含有四个量首项，第n项，项数n，公差，这四个其实是知三求一的。
⒉首项=第n项-（n-1）×公差理解方法：同1，第n项比第一项多（n-1）个公差，用第n项剪去多出的即可。
辅助练习：等差数列……91,95,99共17项，求第一项是多少？分析：已知第17项是99，项数n为17，公差95-91=4答：99-（17-1）×4=35（此公式本讲没有涉及）⒊项数n=（第n项－首项）÷公差+1理解方法：对比植树问题，第n个数与第一个数之间共差了第n项－首项，那么间隔数应为（第n项－首项）÷公差，项数n应该比间隔数多1，所以，项数n=（第n项－首项）÷公差+1此公式为求和公式的基础，往往一道题第一步需要孩子判断一下共有多少项，第二步利用求和公式求和。
等差数列
等差数列
一、知识点精讲
（一）等差数列概念
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
d a a n n =--1(n ≥2) d m n a a m n )(-+=
2.等差中项：a, b, c 成等差数列，那么b 叫做a 和c 的等差中项。
2b=a+c
m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+ 特别地,若m+n=2p, 则a m +a n =2a p
（二）等差数列的通项公式
d n a a n )1(1-+= (n ≥1)
（三）等差数列前n 项和公式
1.等差数列前n 项和：123n n S a a a a =++++ .
2.等差数列前n 项和公式：2
)(1n n a a n S +=或2)1(1d n n na S n -+=. 3.等差数列前n 项和的最值问题：
结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：
（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.
（2）由n )2
d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值.
（四）判断等差数列的常用方法
定义法，中项法，通项公式法
（五）等差数列与等差数列各项的和有关的性质
二、考点分析
考点一（等差数列及其性质）
考点二（等差数列前n项和最值问题的解法）。
第一讲(等差数列基础)学而思
第一讲：等差数列基础一、 等差数列的相关概念1、 判断等差数列⑴ 数列同向变化（越来越大，或越来越小）⑵ 每相邻两项之间的差都相等2、基本概念项：通项、首项、中项、末项项数（n）：就是等差数列一共有多少个数公差（d）：相邻两数之间的差二、基本公式1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项第n 项=首项+公差×（n-1）a n =a 1+d(n-1)辅助记忆：小白兔跳远：第n 个脚印也是从第一个脚印一步一步跳过去的。
问第7个脚印，那是从第1个脚印开始，连跳了6步到达的。
所以a 7= a 1+d （7-1）=2+3×6=202、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数项数=（末项-首项）÷公差 + 1n=（a n -a 1）÷d + 1辅助记忆：五指法（指头是项，空是公差，项数比公差个数多1）小兔子一共跳了多少米？23-2=21（米）小兔子一共跳了多少步？21÷3=7（步）脚印比步数多1:7+1=8（个）综合算式：n=（23-2）÷3+1=83、求和公式（1）高斯公式：什么时候用？——任何一个等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷22 5 8 11 23 …一共有几个脚印呢？ 2 5 8 11 ？（2）中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和和 = 中项×项数注：中项就是该数列的平均数注意：（1）对于项数为奇数的等差数列，很好用如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 8×7 = 56（2）对于项数为偶数的等差数列，可以假设出一个中间数如：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 9×8 = 72假设出中间数是（8+10）÷2= 9（3）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项） 如：一个等差数列共有5个数，和是100。
课件9：§2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式
探究二 等差中项及其应用 [典例 2] (1)在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成 等差数列，求此数列． (2)已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q 为常数)， 且 x1、x4、x5 成等差数列，求：p，q 的值．
解 (1)法一：设 a1＝－1，a5＝7. ∴7＝－1＋(5－1)d⇒d＝2. ∴所求的数列为－1,1,3,5,7. 法二：∵－1，a，b，c,7 成等差数列， ∴b 是－1 与 7 的等差中项． ∴b＝－12＋7＝3. 又 a 是－1 与 3 的等差中项，∴a＝－12＋3＝1.
探究三 等差数列的判定与证明 [典例 3] (1)已知等差数列{an}的公差为 d，数列{bn}中，bn＝3an＋4， 试判断{bn}是否为等差数列？并说明理由． (2)已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－an4－1(n>1)，记 bn＝an－1 2.求证： 数列{bn}是等差数列．
解 (1){bn}是等差数列，理由如下： 因为{an}是公差为 d 的等差数列， 所以 an＋1－an＝d(n∈N*)， 又 bn＝3an＋4，所以 bn＋1＝3an＋1＋4， 则 bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4) ＝3(an＋1－an)＝3d(常数)(n∈N*)． 由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列．
【解析】由等差中项的定义知：x＝a＋2 b， x2＝a2－2 b2， ∴a2－2 b2＝a＋2 b2，即 a2－2ab－3b2＝0. 故 a＝－b 或 a＝3b. 【答案】C
4．已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，则 an＝________. 【解析】根据等差数列与一次函数的关系可知，公差 d＝k＝53－－11＝2. 又知 a1＝1，所以 an＝2n－1. 【答案】2n－1