理科数学习题：第十三篇选修1-1第11节应用第一课时导数与函数的单调性含解析
人教版高中数学选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数 课件 (共15张PPT)
函数的单调性概念: 直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x) y 在区间(a,b)上是增函数;
从b到c曲线是下降的,
y f ( x)
说函数f(x)在区间(b,c)上
是减函数.
a
0
b
c
x
严格地说,对于给定区间上的函数f(x), 如果对于属 于这个区间的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时， (1)若f(x1)<f(x2), 那么f(x)在这个区间上是增函数.
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子
区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数 的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范 围时,要与定义域求两者的交集.
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y f ( x) 的定义域D
(2)求导数 f ( x ).
(3)解不等式: f ' ( x) 0 或解不等式f ' ( x) 0 .
由上我们可得以下的结论:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导 数,如果在 这个区间内 f ( x ) >0,那么函数y=f(x) 在这 个区间内单调递增;如果在这个区间内 f ( x ) <0,那么函 数y=f(x) 在这个区间内单调递减. y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
的大致形状。
y
y=f(x)
临界点
O 1 4 x
例2、判断下列函数的单调 性，并求出单调区间： (1) f ( x) x 3 3x; (2) f ( x) x 2 x 3; (3) f ( x) sin x x, x (0, )
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第四章 1.1 导数与函数的单调性
取值范围时,应用f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a,b)上恒成立,解出参数
的取值范围,然后检验参数的取值能否使f'(x)在(a,b)的任意子区间
内恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去.
-23-
1.1 导数与函数的单调性
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思维辨析
变式训练 3 已知函数 f(x)=x2 +(x≠0,常数 a∈R),若函数 f(x)在
[2,+∞)上是增加的,求 a 的取值范围.
解
f'(x)=2x-2
=
23 -
.
2
要使 f(x)在[2,+∞)上是增加的,
则 f'(x)≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立,
数的正负.
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变式训练1设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则
y=f(x)的图像最有可能的是 (
)
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变式训练已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1),a>0,若f(x)在(0,1)上是增
人教A版高中数学选修1-1课件183.3.1《导数在研究函数中的应用-单调性》(新)
确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间 是减函数。
y 解：函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
∴当x∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。
o
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
作业布置：
书本P107A1.（1）（2）,2.（2）(4). 第二教材A
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y
y
o
x
1
o
x
y
1
o
x
在（－∞，0）和（0,＋∞ ）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－∞，1）上是减函 数，在（1,＋∞）上是 增函数。
在(－∞,＋∞)上 是增函数
概念回顾
单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时 ，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
2020版理科数学习题： 导数及其应用(选修1-1) 第11节 导数在研究函数中的应用 导数与函数的单调性
第11节 导数在研究函数中的应用第一课时 导数与函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号判定函数的单调性、求单调区间2,5,6,8由单调性理解导函数图象1比较大小或解不等式3,10,11由单调性求参数的取值范围4,7,12由导数研究函数单调性的综合问题9,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( B )解析:由导函数的图象知,在[-1,1]上f′(x)>0,故函数f(x)在[-1,1]上是单调递增的.又因为在[-1,0]上f′(x)的值逐渐增大,在[0,1]上f′(x)的值逐渐减小,所以在[-1,0]上,f(x)的增长率逐渐增大,在[0,1]上 f(x) 的增长率逐渐变小.故选B.2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为( A )(A)(0,1)(B)(0,+∞)(C)(1,+∞)(D)(-∞,0)∪(1,+∞)解析:函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0<x<1.所以单调递减区间是(0,1).3.已知f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是( D )(A)f(2)>f(3)>f(π)(B)f(3)>f(2)>f(π)(C)f(2)>f(π)>f(3)(D)f(π)>f(3)>f(2)解析:因为f(x)=1+x-sin x,所以f′(x)=1-cos x,当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2).4.(2018·山东淄博桓台二中月考)若函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( B )(A)(-∞,-2](B)[,+∞)(C)[2,+∞)(D)(-∞,)解析:f′(x)=k-,因为函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.所以k≥,而y=在区间(2,+∞)上单调递减,所以k≥,所以k的取值范围是[,+∞).5.(2018·湖南长沙长郡中学月考)求形如y=f(x)g(x)的函数的导数,我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得ln y=g(x)ln f(x),再两边同时求导得·y′=g′(x)ln f(x)+g(x)··f′(x),于是得到y′=f(x)g(x)[g′(x)ln f(x)+g(x)··f′(x)],运用此方法求得函数y=的单调递增区间是( C )(A)(e,4)(B)(3,6)(C)(0,e)(D)(2,3)解析:由题设,y′=·(-·ln x+)=·(x>0).令y′>0,得1-ln x>0,所以0<x<e.所以函数y=的单调递增区间为(0,e).故选C.6.已知函数f(x)=(-x2+2x)e x(x∈R,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区间为 .解析:因为f(x)=(-x2+2x)e x,所以f′(x)=(-2x+2)e x +(-x 2+2x)e x=(-x 2+2)e x .令f′(x)>0,则(-x 2+2)e x >0,因为e x >0,所以-x 2+2>0,解得-<x<,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,).答案:(-,)7.若函数f(x)=ax 3+3x 2-x 恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围是 .解析:由题意知f′(x)=3ax 2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax 2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以实数a 的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).答案:(-3,0)∪(0,+∞)8.已知函数f(x)=x 3+ax 2-x+c,且a=f′().(1)求a 的值;(2)求函数f(x)的单调区间.解:(1)由f(x)=x 3+ax 2-x+c,得f′(x)=3x 2+2ax-1.所以a=f′()=3×()2+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x 3-x 2-x+c,则f′(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1),令f′(x)>0,解得x>1或x<-;令f′(x)<0,解得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);f(x)的单调递减区间是(-,1).能力提升(时间:15分钟)9.(2017·山东卷)若函数e x f(x)(e=2.718 28…,是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( A )(A)f(x)=2-x(B)f(x)=x2(C)f(x)=3-x(D)f(x)=cos x解析:若f(x)具有M性质,则[e x f(x)]′=e x[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.对于选项A,f(x)+f′(x)=2-x-2-x ln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合题意.经验证,选项B,C,D均不符合题意.故选A.10.(2018·惠州调研)已知函数f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式f(lnx)+f(ln )<2f(1)的解集为( D )(A)(e,+∞) (B)(0,e)(C)(0,)∪(1,e)(D)(,e)解析:f(x)=xsin x+cos x+x2是偶函数,所以f(ln )=f(-ln x)=f(ln x),所以f(ln x)+f(ln )<2f(1)可变形为f(ln x)<f(1).f′(x)=xcos x+2x=x(2+cos x),因为2+cos x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以f(ln x)<f(1)等价于-1<ln x<1,所以<x<e.11.(2018·重庆市一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(x) <f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( A )(A)f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0)(B)f(ln 2)>2f(0),f(2)>e2f(0)(C)f(ln 2)<2f(0),f(2)>e2f(0)(D)f(ln 2)>2f(0),f(2)<e2f(0)解析:令g(x)=,则g′(x)=<0,故g(x)在R上递减,而ln 2>0,2>0,故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即<,<,即f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0).12.(2018·安徽江南十校联考)设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 .解析:f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=x-.由f′(x)=x-<0,解得0<x<3.因为f(x)=x2-9ln x在[a-1,a+1]上单调递减,所以解得1<a≤2.答案:(1,2]13.(2018·天津滨海新区八校联考)设函数f(x)=x2e x.(1)求在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当x∈[-2,2]时,求使得不等式f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围.解:(1)因为f′(x)=x2e x+2xe x,所以k=f′(1)=3e,切点(1,e).切线方程为3ex-y-2e=0.(2)令f′(x)>0,即x(x+2)e x>0,得f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调递减.(3)由(2)知,f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,f min(x)=f(0)=0.当x∈[-2,2]时,不等式f(x)≤2a+1能成立,须2a+1≥f min(x),即2a+1≥0,故a≥-.故a的取值范围为[-,+∞).14.已知函数f(x)=e x ln x-ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+1垂直,求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.解:(1)f′(x)=e x ln x+e x·-ae x=(-a+ln x)e x,f′(1)=(1-a)e,由(1-a)e·=-1,得a=2.(2)由(1)知f′(x)=(-a+ln x)e x,若f(x)为单调递减函数,则f′(x)≤0在x>0时恒成立,即-a+lnx≤0在x>0时恒成立.所以a≥+ln x在x>0时恒成立.令g(x)=+ln x(x>0),则g′(x)=-+=(x>0),由g′(x)>0,得x>1;由g′(x)<0,得0<x<1.故g(x)在(0,1)上为单调递减函数,在(1,+∞)上为单调递增函数,此时g(x)的最小值为g(1)=1,但g(x)无最大值(且无趋近值).故f(x)不可能是单调递减函数.若f(x)为单调递增函数,则f′(x)≥0在x>0时恒成立,即-a+lnx≥0在x>0时恒成立,所以a≤+ln x在x>0时恒成立,由上述推理可知a≤1.故实数a的取值范围是(-∞,1].。
高中数学选修1-1 导数 ：函数的单调性与导数
f (x)在(0,)上单调递增， f '(x) 0，x 0恒成立. m 1 2x，x 0恒成立，
x m 2 2.
练习2、已知函数（f x）
2ax
1 x2
Hale Waihona Puke ，x(0,1],若（f x）在x (0,1]上是增函数，
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
例2、判断下列函数的单调性，并求出
单调区间：
y
(1) f(x)=x3+3x ;
解： f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
当 f (x) <0，
y
即 1 17 x 1 17 时，
2
2
函数单调递减； 图象见右图。
o
x
利用导数确定函数的单调性的步骤：
（1）确定函数 f(x)的定义域； （2）求出函数的导数； （3）解不等式 f (x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式 f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 2 2 x 4; (2) f ( x) e x x;
(3) f (x) 3x x3;
(4) f (x) x3 x2 x.
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
数学选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 越大 越小 函数的图象 比较 _______ (向上或向下) “陡峭” 比较“平缓” _______ (向上或向下)
【解析】
1 (1)y′＝3x －2x－1，令 y′>0，得 x<－3或 x>1，所以函数的单调
2
1 递增区间为－∞，－3和(1，＋∞).
1 π (2)令 f′(x)＝1－2cos x>0，则 cos x<2，又 x∈(0，π)，解得3<x<π，所以函数
π 的单调增区间为3，π.
(2)函数的定义域为(0，＋∞). 3x2－1 2 f′(x)＝6x－x ＝2· x . 3x2－1 令 f′(x)＞0，即 2· x ＞0， 3 3 解得－ 3 ＜x＜0 或 x＞ 3 .
3x2－1 3 又 x＞0，∴x＞ 3 ；令 f′(x)＜0，即 2· x ＜0， 3 3 解得 x＜－ 3 或 0＜x＜ 3 ， 3 又 x＞0，∴0＜x＜ 3 .
利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 的 解集.如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)是常函数；如果在某个区间内只有 有限个点使 f′(x)＝0，其余点恒有 f′(x)＞0(f′(x)＜0)，则 f(x)仍为增函数(减函数).
∴f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为 0， 3 ，＋ ∞ ， 3
3 . 3
a (3)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋x . a ①当 a＞0 时，f′(x)＝x＋x ＞0 恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋ ∞)； a a ②当 a＜0 时，由 f′(x)＝x＋x ＞0，得 x＞ －a；由 f′(x)＝x＋x ＜0，得 0＜x ＜ －a，所以当 a＜0 时，函数的单调递增区间是 －a，＋∞ ，单调递减区间 是(0， －a). 综上，当 a＞0 时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当 a＜0 时，单调递增区间为( －a，＋∞)，单调递减区间为(0， －a).
高考数学一轮复习第十三篇导数及其应用选修11第10节导数的概念及运算习题理含解析
高考数学一轮复习第十三篇导数及其应用选修11第10节导数的概念及运算习题理含解析【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,3,7导数的几何意义2,4,5,6,9,10,12简单综合问题8,11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.下列求导数的运算中错误的是( C )(A)(3x)′=3x ln 3(B)(x2ln x)′=2xln x+x(C)()′=(D)(sin x·cos x)′=cos 2x解析:因为()′=,C项错误.2.(2018·江西重点中学盟校第一次联考)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为( C )(A)y=x (B)x=0(C)y=0 (D)不存在解析:函数y=x3的导数为y′=3x2,则在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0.3.(2018·达州测验)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是( B )(A)a<f′(2)<f′(4) (B)f′(2)<a<f′(4)(C)f′(4)<f′(2)<a (D)f′(2)<f′(4)<a解析:由题中图象可知,在[2,4]上函数的增长速度越来越快,故曲线上点的斜率随x的增大越来越大,所以(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率=a,在点(2,f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f′(4)之间,所以f′(2)<a<f′(4),故选B.4.(2018·河南适应性测试)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则的值为( D )(A)(B)(C)-(D)-解析:由题意,y′=3x2,当x=1时,y′|x=1=3,所以×3=-1,即=-.5.(2018·鹰潭一模)已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,f(x0))处的瞬时变化率为-8,则点M的坐标为.解析:因为f(x)=2x2+1,所以f′(x)=4x,令4x0=-8,则x0=-2,所以f(x0)=9,所以点M的坐标是(-2,9).答案:(-2,9)6.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:17.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=k x+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=x f(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)= .解析:由图形可知,f(3)=1,f′(3)=-,因为g′(x)=f(x)+xf′(x),所以g′(3)=f(3)+3f′(3)=1-1=0.答案:08.函数g(x)=ln x图象上一点P到直线y=x的最短距离为.解析:设与直线y=x平行且与曲线g(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x0,ln x0),因为g′(x)=(ln x)′=,则1=,所以x0=1,则切点坐标为(1,0),所以最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,即为=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·广东广州第一次调研)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为( D )(A)ln 2 (B)1 (C)1-ln 2 (D)1+ln 2解析:由y=xln x得y′=ln x+1,设切点为(x0,y0),则k=ln x0+1,因为切点(x0,y0)既在曲线y=xln x上又在直线y=kx-2上,所以所以kx0-2=x0ln x0,所以k=ln x0+,所以ln x0+=ln x0+1,所以x0=2,所以k=ln 2+1.故选D10.(2018·广东东莞二调)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax.因为曲线在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,所以或当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.所以点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).11.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是( A )(A)y=sin x (B)y=ln x(C)y=e x (D)y=x3解析:若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则f′(x1)·f′(x2)=-1.对于A:y′=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,则当x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;对于B:y′=,若有·=-1,则x1x2=-1,因为x1>0,x2>0,所以不存在x1,x2,使得x1x2=-1;对于C:y′=e x,若有·=-1,即=-1.显然不存在这样的x1,x2;对于D:y′=3x2,若有3·3=-1,即9=-1,显然不存在这样的x1,x2.故选A.12.(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为.解析:由题意,知f(2)=2×2-1=3,所以g(2)=4+3=7,因为g′(x)=2x+f′(x),f′(2)=2,所以g′(2)=2×2+2=6,所以曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.答案:6x-y-5=013.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 解析:因为f(x)=x2-ax+ln x,所以f′(x)=x-a+(x>0).因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以f′(x)存在零点,即x+-a=0有解,所以a=x+≥2(当且仅当x=1时取等号).答案:[2,+∞)14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于.解析:设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.答案:-1或-。
高中数学选修导数与函数的单调性课件
XX
REPORTING
2023 WORK SUMMARY
THANKS
感谢观看
2021年全国卷导数大题
结合函数的单调性和周期性，考查学生的综合分析能力。
2020年全国卷导数大题
考查导数在解决实际问题中的应用，如最值问题和优化问题。
高考命题趋势预测
函数与导数的综合应用
01
结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质，考查学生的综合
分析能力。
导数在实际问题中的应用
02
如经济学中的边际分析和最优化问题，物理学中的速度和加速
PART 02
导数计算方法
基本初等函数导数公式
幂函数
若f(x) = x^n（n为实数），则 f'(x) = nx^(n-1)
对数函数
若f(x) = log_a x（a > 0，a ≠ 1），则f'(x) = 1 / (x ln a)
常数函数
若f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = 0
指数函数
若f(x) = a^x（a > 0，a ≠ 1 ），则f'(x) = a^x ln a
三角函数
如sin x, cos x, tan x等，它们 的导数可以通过相应的公式求 得。
导数四则运算法则
01
加法法则
(u + v)' = u' + v'
02
减法法则
(u - v)' = u' - v'
03
乘法法则
04
多做练习，掌握不同类 型题目的解题技巧和方 法，提高解题速度和准 确性。
数学北师大版高中选修1-1导数与函数的单调性
1.1 导数与函数的单调性班级_________ 姓名____________【学习目标】：1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【重点难点】重点：了解数学归纳法的原理 ,数学归纳法证明基本步骤难点：应用2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【自主检测】1：用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有，那么函数f(x)就是区间I上的函数. 2：常用导数公式C=；()'n x=；(sin)'x=；(cos)'x=；'x=；(log)'(ln)'x=；()'x e=；()'x a=；a【知识点拔】1.函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()=y f x=的切线的斜率就是函数()y f x的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.2.一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数. 如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间内为常数函数3.用导数求函数单调区间的步骤：（1） 确定函数f (x )的定义域；求函数f (x )的导数f ′(x ).（2） 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间【经典体验】例1.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）2()24f x x x =-+； （2）()x f x e x =-；（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+.例2. 设函数f (x x 3a x 2ax ，其中a ∈R.若f (x )在∞,0)上为增函数，求a 的取值范围。
北师大版高中数学选修1-1课件1.1导数与函数的单调性
§1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性
观察图 1 表示高台跳水运动员的高度 h随时 间变化的函数 h t 4.9t 6.5t 10的图像,
2
图 2 表示高台跳水运动员的速度v随时间t变 化的函数v t h
'
t 9.8t 6.5的图像.运动员
探究点2
y
利用导数讨论函数单调性
单调函数的图像特征
y
f ( x ) 0
o a b x o a b
f ( x ) 0
x
若 f(x) 在G上是增加的或减少的则G称为f(x)的单调
区间.
用单调性定义及函数图像讨论函数单调性虽然可行，
但比较麻烦，利用导数讨论函数单调性更方便.
思考：观察图中的函数y=f(x)的图像，对f′(2)， f′(3)，f(3)-f(2)与0的大小进行排序. 提示：f′(2)，f′(3)是x分别为 2，3时对应图像上点的切线斜率，
应地v（t）=
h(t ) >0.
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减小，即h（t）在定义域上是减少的，相 应地v（t）=
h(t ) <0.
这种情况是否具有一般性呢？
1.正确理解利用导数判断函数单调性的原理.
2.会利用导数判断函数单调性，并求函数单调区间.
（重点）
3. 探索导数特征与函数性质之间的关系.（难点）
加的；
当x∈(-∞,0)时, f (x) 2x 0,
函数y=x2在区间(-∞,0)上是
o
1 1 -1
x
减少的.
思考：通过上面三个实例思考导函数的符号与函数的单 调性之间具有什么关系？ 提示：如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数_______ f (x) 0 , 则在这个区间上，函数y=f(x)是_______; 增加的 个区间上，函数y=f(x)是_______. 减少的
高中数学 选修1-1 27.函数的单调性与导数
27.函数的单调性与导数教学目标 班级____姓名________1.掌握函数单调性与导数的关系.2.能够利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间.教学过程一、函数单调性与导数（正负）的关系.（函数单调性是局部性质）1.（1）函数递增的充分条件：0)('>x f ；（2）函数递减的充分条件：0)('<x f .2.（1）函数递增的充要条件：①0)('≥x f ，②0)('=x f 不连续；（2）函数递减的充要条件：①0)('≤x f ，②0)('=x f 不连续.3.求函数的单调区间.（1）求定义域；（①分式：分母0≠；②偶次根式：被开方数0≥；③对数式：真数0>）（2）求导函数；（3）解不等式；（利用函数递增（递减）的充要条件列不等式）（4）下结论.（若单调区间不止一个，不能用“ ”连接，只能用“逗号”或“和”字连接.）二、函数变化快慢与导数（增减）的关系.1.若)('x f 递增，则函数)(x f y =为凹函数；（“越增越快”或“越减越慢”）2.若)('x f 递减，则函数)(x f y =为凸函数.（“越增越慢”或“越减越快”）三、例题分析.1.求函数单调区间.例1：求下列函数的单调区间：（1）x x x f 3)(3-=； （2）)0(ln )(2>-=a x a x x f .练1：（1）求函数a x x y +-=42的单调区间；（2）求函数)0(ln >-=a ax x y 的单调区间.2.函数的变化快慢与导数的关系.例2：如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．练2：已知)('x f 是)(x f 的导函数，)('x f 的图象如图所示，则)(x f 的图象只可能是( )作业：求函数x x y -=ln 的单调区间.。
数学选修1-1导数在研究函数中的应用练习题含答案
数学选修1-1导数在研究函数中的应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数y=(3−x2)e x的单调递增区间是( )A.(−∞, 0)B.(0, +∞)C.(−∞, −3)D.(−3, 1)2. 若曲线y=ax−ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=3x，则a=( )A.1B.2C.3D.43. 已知f(x)=(e x−a)(eax+1)，若f(x)≥0(x∈R)恒成立，则满足条件的a的个数有( )A.1B.2C.3D.44. 若函数f(x)=ax3−2x2在x=−1时取得极值，则f(1)等于（）A.−103B.−23C.0D.135. 已知函数f(x)=13x3+12ax2−bx+a2−2(a,b∈R)，若f(x)在x=−1处有极值53，则a−b的值是()A.−4或3B.3C.−4D.−16. 函数f(x)＝ln x过点(0, 0)的切线方程为（）A.y＝xB.y=2e x C.y=12x D.y=1ex7. 设定义在(0, +∞)的函数f(x)的导函数是f′(x)，且x4f′(x)+3x3f(x)=e x，f(3)=e381，则x>0时，f(x)()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既无极大值，又无极小值D.既有极大值，又有极小值8. 已知f(x)=x3−ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（）A.a>72B.a≥72C.a<72D.a≤729. 已知函数f(x)＝−x 3+ax 2−4在x ＝2处取得极值，若m, n ∈[−1, 1]，则f(m)+f ′(n)的最小值为() A.−13 B.−15 C.10 D.1510. 已知函数f(x)=x ln x 的图象上有A 、B 两点，其横坐标为x 1，x 2(0<x 1<x 2<1)且满足f(x 1)=f(x 2)，若k =5(x 1+x 22+√x 1x 2)，且k 为整数时，则k 的值为（ ）（参考数据：e ≈2.72） A.1 B.2 C.3 D.411. 函数f(x)=12x −sin x 在[−π2,π2]上的最小值是________.12. 函数f(x)=ax 2−2x −9在x =1处取得极值，则实数a =________．13. 给出函数①y =x 3，②y =x 4+1，③y =|x|，④y =√x ，其中在x =0处取得极值的函数是________（填序号）．14. 函数f(x)＝e x cos x 的图象在x =π2处的切线斜率为________−e π2 ．15. 函数f(x)=12x −x 3在区间[−3, 3]的最小值是________．16. 已知函数f(x)=x 3−ax 2+3x ，a ∈R ．若x =3是f(x)的一个极值点，则f(x)在R 上的极大值是________．17. 定义在(0, +∞)上的函数f(x)，总有f′(x)>f(x)+ex −ln x 成立，且f(2)＝e 2−2，则不等式f(x)≥e x −2的解集为________．18. 若直线y =kx +b 是曲线y =e x−2的切线，也是曲线y =e x −1的切线，则b =________.19. 若函数f (x )={e x −a,x >1−x 3+3x 2,x ≤1有最小值，则实数a 的取值范围为________.20. 若直线y ＝12x +m 与曲线y ＝x 3−2相切，则m ＝________．21. 已知函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，求a的取值范围．22. 已知函数f(x)=−x3+3x2+9x+a，求f(x)的单调递减区间．23. 已知函数f(x)=x3−x2+x+2.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求经过点A(1,3)的曲线f(x)的切线方程．24. 已知函数f(x)=x2−2(a+1)x+2a ln x(a≠0).(1)当a=1时，求函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．25. 已知函数f(x)=x ln x−ae x+a，其中a∈R.(1)当a=0时，求函数在(e,f(e))处的切线方程；(2)若函数f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．26. 已知f(x)=(3e x−2a)⋅√x，其中a∈R，e=2.718⋯为自然对数的底数．（Ⅰ）若x=1为函数f(x)的极值点，求a的值．（Ⅱ）若f(x)≤6e在x∈[0,2]上恒成立，求a的取值范围．27. 已知函数f(x)=ln x−ax2+(a−2)x.(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.28. 已知：函数f(x)=ln(x+a)+x2，当x=−1时，f(x)取得极值，求：实数a的值，并讨论f(x)的单调性．29. 已知函数f(x)=e ax ⋅(ax +a +1)，其中a ≥−1．(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．30. 已知函数f(x)=13x 3+ax +b ，(a, b ∈R)在x =2处取得极小值−43．求a +b 的值．31. 已知函数g(x)=x 2−(2a +1)x +a ln x . (1)当a =1时，求函数g(x)的单调增区间；(2)求函数g(x)在区间[1, e]上的最小值；32. 已知函数f (x )=x −a ln x +1(a ∈R ).(1)若a =1，求函数f(x)在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．33. 已知函数f(x)=x(x −c)2（其中c 为常数，c ∈R ） （1）若函数f(x)在定义域内有极值，求实数c 的取值范围；（2）若函数f(x)在x =2处取得极大值，求实数c 的值．34. 已知函数f(x)＝x −ln x ． （1）求f(x)的最小值；（2）证明：对于任意正整数n ，(1+12)×(1+13)×⋯×(1+1n )<e ．35. 已知函数f(x)=x 3+3bx 2+3cx 的两个极值点为x 1，x 2，x 1∈[−1, 0]，x 2∈[1, 2]．证明：0≤f(x 1)≤72，−10≤f(x 2)≤−12．36. 已知函数f(x)=−x 2+ax −ln x(a ∈R)． (1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f(x)在[12, 2]上单调时，求a的取值范围．37. 已知函数f(x)=x(x−a)2+b在x=2处有极大值．（1）当[−2, 4]时，函数y=f(x)的图象在抛物线y=1+45x−9x2的下方，求b的取值范围．（2）若过原点有三条直线与曲线y=f(x)相切，求b的取值范围．38. 已知函数f(x)=13ax3−12a2x2+2x+1，其中a∈R．（1）若f(x)在x∈R时存在极值，求a的取值范围；（2）若f(x)在[−1,12]上是增函数，求a的取值范围．39. （山东省济宁市2019届高三二模）已知函数f(x)=ln x−xe x+ax(a∈R)．若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；若a=1，求f(x)的最大值．40. 已知函数f(x)=x+1x+a ln x的图象上任意一点的切线中，斜率为2的切线有且仅有一条．（1）求实数a的值；（2）求函数g(x)=f(x)+2x的极值．参考答案与试题解析数学选修1-1导数在研究函数中的应用练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数的导数，令导函数大于0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：y′=(3−x2)e x+(−2x)e x=−(x+3)(x−1)e x，令y′>0，解得：−3<x<1，故函数的单调递增区间是(−3, 1).故选D．2.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决．【解答】解：∵y=ax−ln(x+1)，∴y′=a−1，x+1′=a−1=3，当x=0时，k=y x=0∴a=4.故选D．3.【答案】B【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查了利用导数研究函数的最值和不等式恒成立问题．【解答】解：∵ f(x)=(e x−a)(eax+1)，f(x)≥0(x∈R)恒成立，∴ (e x−a)(eax+1)≥0在R上恒成立．当a<0时，e x−a≥0恒成立，而eax+1≥0在R不成立，∴ a≥0，当a=0时，f(x)=e x≥0成立，当a >0时，由f (x )≥0恒成立，有{e x −a ≥0eax +1≥0或{e x −a ≤0eax +1≤0，由e x −a =0，得x =ln a ；由eax +1，得x =−1ea ， 设g (a )=ln a +1ea，则g ′(a )=1a−1e ⋅1a 2，∴ g(a)在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增，∴ g (x )min =g (1e )=ln 1e +1e⋅1e=0，∴ 方程ln a =−1ea 有一个解，即有一个a 值使得f (x )≥0恒成立， ∴ 满足条件的a 的解有2个． 故选B ． 4.【答案】 A【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】对函数求导，因为x =−1是极值点，则该处导数为0，故可求出a 的值，即可求出f(1)． 【解答】解：由已知得f′(x)=3ax 2−4x ， 又因为在x =−1处有极值， 所以f′(−1)=0，即3a +4=0，即a =−43， 所以f(1)=−43−2=−103． 故选：A ． 5.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】对函数f(x)求导，根据函数f(x)=13x 3+12ax 2−bx +a 2−2(a,b ∈R)在−1处有极值53，可知f′(−1)=0和f(−1)=53，得到{f′(−1)=0f(−1)=53，解方程组得到a 与b 的值，注意验证，可求得答案． 【解答】解：由函数f(x)=13x 3+12ax 2−bx +a 2−2(a,b ∈R )，由于f(x)在x =−1处有极值53，则f′(−1)=0和f(−1)=53， 故{f′(−1)=0，f(−1)=53，即{1−a −b =0，−13+12a +b +a 2−2=53，解得 {a =2，b =−1，或{a =−32,b =52,当a =2，b =−1时，f′(x)=x 2+2x +1=(x +1)2≥0， 故f(x)在R 上为增函数，不满足f(x)在x =−1处有极值53， 则a =−32，b =52，故a −b =−4． 故选C . 6.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，把原点代入，求出切点坐标，则答案可求． 【解答】由f(x)＝ln x ，得f′(x)=1x ， 设切点为(x 0, ln x 0)，则f′(x 0)=1x 0，∴ 过切点的切线方程为y −ln x 0=1x 0(x −x 0)，代入(0, 0)，可得ln x 0＝1，即x 0＝e ．∴ 函数f(x)＝ln x 过点(0, 0)的切线方程为y −1=1e (x −e)， 即y =1e x ．7.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的极值即可． 【解答】 解：f′(x)=e x −3x 3f(x)x 4，则ℎ′(x)=e x−3[f′(x)x3+3f(x)x2]=e x−3x[f′(x)x4+3f(x)x3]=e x−3x ⋅e x=e x⋅x−3x，所以ℎ(x)≥ℎ(3)=e3−81f(3)=0，即f′(x)≥0，因此f(x)在(0, +∞)递增，既无极大值，又无极小值，故选：C．8.【答案】A【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】求导函数，利用f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，可得f′(x)=0的两个根中：x1∈(0, 1)，x2>1，由此可得结论．【解答】解：由题意，f′(x)=3x2−2ax+4∵f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，∴f′(x)=0的两个根中：x1∈(0, 1)，x2>1∴f′(0)=4>0，f′(1)=7−2a<0，解得a>72故选A．9.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】试题分析：f(x)=−3x2+2ax函数f(x)=−x3+ax2−4在x=2处取得极值．−12+ 4a=0解得|a=3.f(x)=−3x2+6∴ n=[−1,1]时，f(n)=−3n2+6n当n=−时，f(n)最小，最小为−9当m∈[−1,1)时，f(m)=−m3+3m24,f(m)=−3m2+6m令f(m)=0得m=0,m=2所以m=0时，f(m)最小为−4，故f(m)+f(n)的最小值为−9+(−4)=−13，故选A．【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】推导出f′(x)=1+ln x，x>0，由f′(x)=0，得x=1e，由x1ln x1=x2ln x2，得0<x1<1e <x2<1，由由x1+x22>1e，x2>2e−x1，得到x1+x22+√x1x2<2e，由此能求出k为整数时，k的值．【解答】解：∵f(x)=x ln x，∴f′(x)=1+ln x，x>0，由f′(x)=0，得x=1e，∵函数f(x)=x ln x的图象上有A、B两点，其横坐标为x1，x2(0<x1<x2<1)且满足f(x1)=f(x2)，∴x1ln x1=x2ln x2，(0<x1<1e<x2<1)，如图所示，由x1+x22>1e，x2>2e−x1，x1+x22+√x1x2<x1+(2e−x1)2+√x1(2e−x1)=1e+√2ex1−x12，∵t=1e +√2ex1−x12关于x1单调递减，0<x1<1e，∴x1+x22+√x1x2<2e，∴5(x1+x22+√x1x2)<10e≈3.7，∴k≤3．∴k为整数时，则k的值为3．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】π6−√32【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f(x)=12x−sin x，∴f′(x)=12−cos x，x∈[−π2,π2].令f′(x)=0得，x=−π3或x=π3.当x∈[−π2,−π3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈[−π3,π3]时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(π3,π2]时，f′(x)>0，f(x)单调递增.而f(−π2)=−π4+1，f(π3)=π6−√32.∵f(−π2)>f(π3)，∴函数的最小值为f(π3)=π6−√32.故答案为：π6−√32.12.【答案】1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】先求导，令导数为0，可求出a的值．【解答】解：f′(x)=2ax−2；∵函数f(x)=ax2−2x−9在x=1处取得极值，∴f′(1)=2a−2=0∴a=1．故答案为：1．13.【答案】②③【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】由函数取极值的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项①对y=x3求导数可得y′=3x2≥0，函数R上单调递增，故不能在x=0处取得极值，错误；选项②对y=x4+1求导数可得y′=4x3，函数在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，故在x=0处取得极小值，正确；选项④y=√x的定义域为[0, +∞)，不满足在x=0处取得极值，错误．故答案为：②③14.【答案】−e π2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，然后求解图象在x=π2处的切线斜率．【解答】函数f(x)＝e x cos x，可得f′(x)＝e x cos x−e x sin x，函数f(x)＝e x cos x的图象在x=π2处的切线斜率为：f′(π2)=−eπ2．15.【答案】−16【考点】利用导数研究函数的最值【解析】求出函数在该区间上的极值，函数在端点处的函数值，其中最小的即为最小值．【解答】解：由f′(x)=12−3x2=0，得x=−2或x=2，又f(−3)=−9，f(−2)=−16，f(2)=16，f(3)=9．所以函数f(x)在区间[−3, 3]上的最小值是−16．故答案为：−16．16.【答案】1327【考点】利用导数研究函数的极值【解析】f′(x)=3x2−2ax+3，当x=3时有极值，所以f′(3)=0，解得a=5，确定函数的单调性，由此能求出f(x)在R上的极大值【解答】解：f′(x)=3x2−2ax+3，∵当x=3时有极值，所以f′(3)=0，即27+3−2a×3=0，解得a=5．这时，f′(x)=3x2−10x+3，令f′(x)=3x2−10x+3=0，得x1=13，或x2=3．当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：由表可知：f(x)的极大值为f(13)=1327， 故答案为：1327． 17.【答案】 [2, +∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由题意构造辅助函数g(x)＝ex −ln x −2，求导，g′(x)<0，函数单调递减，g′(x)>0，函数单调递增，求得g(x)的最小值，再构造辅助函数ℎ(x)=f(x)+2e x，求导，求得ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在(0, +∞)上递增，即f(x)≥e x −2，由f(2)＝e 2−2，得ℎ(x)≥ℎ(2)，即可求得不等式的解集． 【解答】令g(x)＝ex −ln x −2，则g′(x)＝e −1x ，∴ g(x)在(0, 1e)时，g′(x)<0；g(x)在(1e, +∞)时，g′(x)>0，∴ g(x)在(0, 1e )上单调递减，在(1e , +∞)上单调递增， ∴ x ∈(0, +∞)时，g(x)≥g(1e )＝0， 再令ℎ(x)=f(x)+2e x，则ℎ′(x)=f ′(x)−f(x)−2e x>ex−ln x−2e x=g(x)e x≥0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上递增， ∴ f(x)≥e x −2，即f(x)+2e ≥1，ℎ(x)≥ℎ(2)，∴ x ≥2，∴ 解集为：[2, +∞)， 18. 【答案】12ln 2−12 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设直线 y =kx +b 与曲线 y =e x−2 切于点 P 1(x 1,e x 1−2) ,与曲线 y =e x −1 切于点 P 2(x 2,e x 2−1)，从而x1−2=x2，k=12,e x2=12,x2=−ln2，所以切线方程为y=12(x+ln2)+e x2−1=12x+12ln2−12,于是b=12ln2−12.故答案为：12ln2−12.19.【答案】a≤e【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：当x≤1时，f(x)=−x3+3x2，f′(x)=−3x2+6x,令f′(x)=0，得x=0或x=2，当x∈(−∞,0),f(x)单调递减，当x∈(0,1]，f(x)单调递增，又f(0)=0，则可得到f(x)图象如下：如图，x>1部分，是f(x)=e x−a的图象，x≤1部分，是f(x)=−x3+3x2的图象，当图中点A不在x轴下方时，函数f(x)有最小值，即e1−a≥0，解得a≤e.故答案为：a≤e.−18或14【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得y＝x3−2的导数，设切点为(s, t)，可得切线的斜率，由切线方程可得s，m的方程组，解方程可得m的值．【解答】y＝x3−2的导数为y′＝3x2，直线y＝12x+m与曲线y＝x3−2相切，设切点为(s, t)，可得3s2＝12，12s+m＝s3−2，即有s＝2，m＝−18；s＝−2，m＝14．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：f′(x)=3ax2−2x+1；∵函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，∴{a≠0△=4−4×3a≤0，解得，a≥13．【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】由题意求导f′(x)=3ax2−2x+1，从而可得{a≠0△=4−4×3a≤0，从而求a的取值范围．【解答】解：f′(x)=3ax2−2x+1；∵函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，∴{a≠0△=4−4×3a≤0，解得，a≥13．22.【答案】解：∵f(x)=−x3+3x2+9x+a，∴f′(x)=−3x2+6x+9，由f′(x)=−3x2+6x+9<0，即x2−2x−3>0，解得x>3或x<−1，即函数的单调递减区间为(3, +∞)，(−∞, −1)．【考点】利用导数研究函数的单调性解：∵f(x)=−x3+3x2+9x+a，∴f′(x)=−3x2+6x+9，由f′(x)=−3x2+6x+9<0，即x2−2x−3>0，解得x>3或x<−1，即函数的单调递减区间为(3, +∞)，(−∞, −1)．23.【答案】解：(1)函数f(x)=x3−x2+x+2的导数为f′(x)=3x2−2x+1，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3−2+1=2，切点为(1,3)，即有曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=2(x−1)，即为2x−y+1=0.(2)设切点为(m,n)，可得n=m3−m2+m+2，由f(x)的导数f′(x)=3x2−2x+1，可得切线的斜率为3m2−2m+1,切线的方程为y−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(x−m)，由切线经过点(1,3)，可得3−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(1−m)，化为m(m−1)2=0，解得m=0或m=1.则切线的方程为y−2=x或y−3=2(x−1)，即为y=x+2或y=2x+1.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；（2）设切点为（m，n），代入f（x），求得切线的斜率和方程，代入点A（1，3），解m的方程可得m=0或1，即可得到所求切线的方程．【解答】解：(1)函数f(x)=x3−x2+x+2的导数为f′(x)=3x2−2x+1，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3−2+1=2，切点为(1,3)，即有曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=2(x−1)，即为2x−y+1=0.(2)设切点为(m,n)，可得n=m3−m2+m+2，由f(x)的导数f′(x)=3x2−2x+1，可得切线的斜率为3m2−2m+1,切线的方程为y−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(x−m)，由切线经过点(1,3)，可得3−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(1−m)，化为m(m−1)2=0，解得m=0或m=1.则切线的方程为y−2=x或y−3=2(x−1)，即为y=x+2或y=2x+1.则f′(x)=2x−4+2x，∴f(1)=−3，f′(1)=0，所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+3=0.(2)由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2(a+1)+2ax =2[x2−(a+1)x+a]x=2(x−1)(x−a)x.当a<0时，由f′(x)<0得x∈(0,1)，由f′(x)>0得x∈(1,+∞)，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，当0<a<1时，由f′(x)<0得x∈(a,1)，由f′(x)>0得x∈(0,a)∪(1,+∞)，所以f(x)在(0,a),(1,+∞)单调递增，在(a,1)单调递减；当a=1时，f′(x)=2(x−1)2x≥0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>1时，由f′(x)<0得x∈(1,a)，由f′(x)>0得x∈(0,1)∪(a,+∞)，所以f(x)在(0,1),(a,+∞)单调递增，在(1,a)单调递减.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−4x+2ln x，则f′(x)=2x−4+2x，∴f(1)=−3，f′(1)=0，所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+3=0.(2)由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2(a+1)+2ax =2[x2−(a+1)x+a]x=2(x−1)(x−a)x.当a<0时，由f′(x)<0得x∈(0,1)，由f′(x)>0得x∈(1,+∞)，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，当0<a<1时，由f′(x)<0得x∈(a,1)，由f′(x)>0得x∈(0,a)∪(1,+∞)，所以f(x)在(0,a),(1,+∞)单调递增，在(a,1)单调递减；当a=1时，f′(x)=2(x−1)2x≥0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>1时，由f′(x)<0得x∈(1,a)，由f′(x)>0得x∈(0,1)∪(a,+∞)，所以f(x)在(0,1),(a,+∞)单调递增，在(1,a)单调递减.f ′(x )=ln x +1 ，f ′(e )=2 ，∴ 切线方程为：y −e =2(x −e )即2x −y −e =0 ． (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ln x +1−ae x ，∵ f (x )在(0,+∞)内是减函数，∴ f ′(x )=ln x +1−ae x ≤0在(0,+∞)内恒成立， ∴ a ≥ln x+1e x在(0,+∞)内恒成立， 令g (x )=ln x+1e x，g ′(x )=1x−ln x−1e x，ℎ(x )=1x −ln x −1在(0,+∞)单调递减，且ℎ(1)=0， ∴ x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，x ∈(1,+∞)时，g ′(x )<0， g (x )在(0,1)单调递增，g (x )在(1,+∞)单调递减， g (x )max =g (1)=1e ， ∴ a ≥1e ，∴ 当f (x )在定义域内是减函数时，a 的取值范围为[1e ,+∞)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当a =0时，f (x )=x ln x ，f (e )=e ， f ′(x )=ln x +1 ，f ′(e )=2 ，∴ 切线方程为：y −e =2(x −e )即2x −y −e =0 ． (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ln x +1−ae x ，∵ f (x )在(0,+∞)内是减函数，∴ f ′(x )=ln x +1−ae x ≤0在(0,+∞)内恒成立， ∴ a ≥ln x+1e x在(0,+∞)内恒成立， 令g (x )=ln x+1e x，g ′(x )=1x−ln x−1e x，ℎ(x )=1x −ln x −1在(0,+∞)单调递减，且ℎ(1)=0， ∴ x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，x ∈(1,+∞)时，g ′(x )<0， g (x )在(0,1)单调递增，g (x )在(1,+∞)单调递减， g (x )max =g (1)=1e ，∴ 当f (x )在定义域内是减函数时，a 的取值范围为[1e ,+∞)．26.【答案】 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 27.【答案】解：(1)∵ f(x)=ln x −ax 2+(a −2)x ， ∴ 函数的定义域为(0,+∞), ∴ f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x.∵ f(x)在x =1处取得极值， 即f ′(1)=−(2−1)(a +1)=0， ∴ a =−1.当a =−1，在(12,1)内f ′(x)<0，在(1,+∞)内f ′(x)>0,∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点. ∴ a =−1.(2)∵ a 2<a, ∴ 0<a <1，f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x −1)(ax +1)x∵ x ∈(0,+∞), ∴ ax +1>0 , ∴ f(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，①当0<a ≤12时f(x)在[a 2,a ]单调递增， ∴ f max (x)=f(a)=ln a −a 3+a 2−2a ； ②当{a >12a 2<12，即12<a <√22,f(x)在(a 2,12)单调递增，在(12,a)单调递减， ∴ f max (x)=f (12)=−ln 2−a4+a−22=a4−1−ln 2 ；③当12≤a 2，即√22≤a <1时，f(x)在[a 2,a ]单调递减， ∴ f max (x)=f (a 2)=2ln a −a 5+a 3−2a 2，综上所述，当0<a ≤12时，函数y =f(x)在[a 2,a ]上最大值是ln a −a 3+a 2−2a ；当√22≤a <1时,函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是2ln a −a 5+a 3−2a 2.【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的极值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f(x)=ln x −ax 2+(a −2)x ， ∴ 函数的定义域为(0,+∞), ∴ f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x.∵ f(x)在x =1处取得极值， 即f ′(1)=−(2−1)(a +1)=0， ∴ a =−1.当a =−1，在(12,1)内f ′(x)<0，在(1,+∞)内f ′(x)>0,∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点. ∴ a =−1.(2)∵ a 2<a, ∴ 0<a <1，f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x −1)(ax +1)x∵ x ∈(0,+∞), ∴ ax +1>0 , ∴ f(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，①当0<a ≤12时f(x)在[a 2,a ]单调递增，∴ f max (x)=f(a)=ln a −a 3+a 2−2a ； ②当{a >12a 2<12，即12<a <√22 ,f(x)在(a 2,12)单调递增，在(12,a)单调递减， ∴ f max (x)=f (12)=−ln 2−a4+a−22=a4−1−ln 2 ；③当12≤a 2，即√22≤a <1时，f(x)在[a 2,a ]单调递减，∴ f max (x)=f (a 2)=2ln a −a 5+a 3−2a 2，综上所述，当0<a ≤12时，函数y =f(x)在[a 2,a ]上最大值是ln a −a 3+a 2−2a ；当12<a <√22时，函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是a4−1−ln 2.当√22≤a <1时,函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是2ln a −a 5+a 3−2a 2. 28.解：由题意可得：f′(x)=1x+a+2x，因为当x=−1时，f(x)取得极值，所以有f′(−1)=0，解得：a=32，…可得f(x)=ln(x+32)+x2，定义域为(−32, +∞)，…所以f′(x)=2x 2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32，…所以当−32<x<−1时，f′(x)>0；当−1<x<−12时，f′(x)<0；当x>−12时，f′(x)>0．所以可得下表：从而得到f(x)分别在区间(−32，−1)，(−12,+∞)单调递增，在区间(−1,−12)单调递减．【考点】函数在某点取得极值的条件利用导数研究函数的单调性【解析】先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′(−1)=0，代入可求a，代入a的值，分别解f′(x)>0，f′(x)<0，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：f′(x)=1x+a+2x，因为当x=−1时，f(x)取得极值，所以有f′(−1)=0，解得：a=32，…可得f(x)=ln(x+32)+x2，定义域为(−32, +∞)，…所以f′(x)=2x 2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32，…所以当−32<x<−1时，f′(x)>0；当−1<x<−12时，f′(x)<0；当x>−12时，f′(x)>0．所以可得下表：从而得到f(x)分别在区间(−32，−1)，(−12,+∞)单调递增，在区间(−1,−12)单调递减．29.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x⋅(1x+2)，f′(x)=e x⋅(1x +2−1x2)．由于f(1)=3e，f′(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex−y+e=0．(2)f′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x2，x≠0．①当a=−1时，令f′(x)=0，解得x=−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a≠−1时，令f′(x)=0，解得x=−1或x=1a+1.②当−1<a<0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a=0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．（2）对字母a进行分类讨论，再令f′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x⋅(1x+2)，f′(x)=e x⋅(1x +2−1x2)．由于f(1)=3e，f′(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex−y+e=0．(2)f′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x2，x≠0．①当a=−1时，令f′(x)=0，解得x=−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a≠−1时，令f′(x)=0，解得x=−1或x=1a+1.②当−1<a<0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a=0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)．30.【答案】解：求导函数，可得f′(x)=x2+a∵函数在x=2处取得极小值−43∴f′(2)=0，f(2)=−43∴83+2a+b=−43，4+a=0∴a=−4，b=4∴a+b=0【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】求导函数，利用函数在x=2处取得极小值−43，建立方程，可求a、b的值，从而可求a+b的值．【解答】解：求导函数，可得f′(x)=x2+a∵函数在x=2处取得极小值−43∴f′(2)=0，f(2)=−43∴83+2a+b=−43，4+a=0∴a=−4，b=4∴a+b=031.【答案】解：(1)当a=1时，g(x)=x2−3x+ln x，∴g′(x)=2x2−3x+1x>0，解得x>1或x<12．∴函数f(x)的单调增区间为(0, 12)，(1, +∞)．(2)g(x)=x2−(2a+1)x+a ln x，g′(x)=2x−(2a+1)+a x=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x.当a≤1时，x∈[1, e]，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=−2a. 当1<a<e时，x∈(1, a)，则g′(x)<0，g(x)单调递减．x∈(a, e)，则g′(x)>0，g(x)单调递增．g(x)min=g(a)=−a2−a+a ln a，当a≥e时，x∈[1, e]，g′(x)≤0，g(x)单调递减，g(x)min=e2−(2a+1)e+a．∴g(x)min={−2a，a≤1，−a2−a+a ln a，1<a<e，e2−(2a+1)e+a，a≥e.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(1)由g′(x)=2x2−3x+1x>0，能求出函数f(x)的单调增区间．(2)g′(x)=2x−(2a+1)+ax =(2x−1)(x−a)x=0，由此根据a的取值范围分类讨论，能求出g(x)min．【解答】解：(1)当a=1时，g(x)=x2−3x+ln x，∴g′(x)=2x2−3x+1x>0，解得x>1或x<12．∴函数f(x)的单调增区间为(0, 12)，(1, +∞)．(2)g(x)=x2−(2a+1)x+a ln x，g′(x)=2x−(2a+1)+a x=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x.当a≤1时，x∈[1, e]，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=−2a. 当1<a<e时，x∈(1, a)，则g′(x)<0，g(x)单调递减．x∈(a, e)，则g′(x)>0，g(x)单调递增．g(x)min=g(a)=−a2−a+a ln a，当a≥e时，x∈[1, e]，g′(x)≤0，g(x)单调递减，g(x)min=e2−(2a+1)e+a．∴g(x)min={−2a，a≤1，−a2−a+a ln a，1<a<e，e2−(2a+1)e+a，a≥e.32.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x−ln x+1，f(1)=2，∴f′(x)=1−1x，∴f′(1)=0，∴切线方程为y=2.(2)∵f′(x)=1−ax =x−ax，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>0时，令f′(x)=0⇒x=a，∴当x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；当a>0时，f(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞).【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=x−ln x+1，f(1)=2，∴f′(x)=1−1x，∴f′(1)=0，∴切线方程为y=2.(2)∵f′(x)=1−ax =x−ax，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>0时，令f′(x)=0⇒x=a，∴当x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；当a >0时，f(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞). 33.【答案】 解：（1）依题意得f ′(x)=3x 2−4cx +c 2… 若f(x)有极值，则△=4c 2>0，∴ c ≠0… （2）f ′(x)=3x 2−4cx +c 2=0得x =c 或c3， 因为函数f(x)在x =2处取得了极大值，故 x =2是f ′(x)=0的一个实根，故c >0 ∴ c >c3…所以函数f(x)在(−∞,c3)上递增，在(c3,c)上递减，(c,+∞)上递增，f(x)在x =c3处取得极大值； … ∴ c3=2⇒c =6…【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】（1）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系求c 的取值范围． （2）利用函数f(x)在x =2处取得极大值，求实数c 的值． 【解答】 解：（1）依题意得f ′(x)=3x 2−4cx +c 2… 若f(x)有极值，则△=4c 2>0，∴ c ≠0… （2）f ′(x)=3x 2−4cx +c 2=0得x =c 或c3，因为函数f(x)在x =2处取得了极大值，故 x =2是f ′(x)=0的一个实根，故c >0 ∴ c >c3…所以函数f(x)在(−∞,c3)上递增，在(c3,c)上递减，(c,+∞)上递增， f(x)在x =c3处取得极大值； … ∴ c3=2⇒c =6… 34. 【答案】 f ′(x)=1−1x =x−1x，当x ∈(0, 1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0, 1)单调递减； 当x ∈(1, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)单调递增； 故f(x)≥f(1)＝1，故f(x)的最小值为1．由（1）可得，f(x)＝x −ln x ≥1即ln x ≤x −1，所以ln(1+1k )≤1k<1k(k−1)=1k−1−1k，k∈N∗，n≥2，则ln(1+122)+ln(1+132)+⋯+ln(1+1n2)<1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1，即ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<1，所以ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<e．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；（2）结合（1）对x进行赋值，然后结合数列的裂项求和及不等式的放缩法即可证明．【解答】f′(x)=1−1x =x−1x，当x∈(0, 1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0, 1)单调递减；当x∈(1, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)单调递增；故f(x)≥f(1)＝1，故f(x)的最小值为1．由（1）可得，f(x)＝x−ln x≥1即ln x≤x−1，所以ln(1+1k2)≤1k2<1k(k−1)=1k−1−1k，k∈N∗，n≥2，则ln(1+122)+ln(1+132)+⋯+ln(1+1n2)<1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1，即ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<1，所以ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<e．35.【答案】证明：f′(x)=3x2+6bx+3c，由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]，则有f′(−1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0．即满足下列条件2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0∴有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点(b, c)的区域．∴−2≤c≤0由题设知f′(x1)=3x12+6bx1+3c=0，则bx1=−12x12−12c，∴f(x1)=−12x13+3c2x1，由于x1∈[−1, 0]，c≤0，∴0≤f(x1)≤12−3c2，∵−2≤c≤0，∴0≤f(x1)≤72．f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0，bx2=−22x22−22c，∴f(x2)=−12x23+3c2x2，由于x2∈[1, 2]，c≤0，∴−4+3c≤f(x2)≤−12+32c．∵−2≤c≤0，∴−10≤f(x2)≤−12．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】f(x)得f′(x)=3x2+6bx+3c由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]则由根的分布得有2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0，可得−2≤c≤0，用消元法消去参数b，利用参数c表示出f(x1)和f(x1)的值域，再利用参数c的范围能证明0≤f(x1)≤72，−10≤f(x2)≤−12．【解答】证明：f′(x)=3x2+6bx+3c，由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]，则有f′(−1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0．即满足下列条件2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0∴有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点(b, c)的区域．∴−2≤c≤0由题设知f′(x 1)=3x 12+6bx 1+3c =0，则bx 1=−12x 12−12c ， ∴ f(x 1)=−12x 13+3c 2x 1，由于x 1∈[−1, 0]，c ≤0， ∴ 0≤f(x 1)≤12−3c 2，∵ −2≤c ≤0， ∴ 0≤f(x 1)≤72．f′(x 2)=3x 22+6bx 2+3c =0， bx 2=−22x 22−22c ， ∴ f(x 2)=−12x 23+3c 2x 2，由于x 2∈[1, 2]，c ≤0， ∴ −4+3c ≤f(x 2)≤−12+32c ．∵ −2≤c ≤0， ∴ −10≤f(x 2)≤−12．36. 【答案】解：(1)∵ f′(x)=−2x +a −1x=−2x 2+ax−1x(x >0)，∴ f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2． ∴ {a2>0,Δ=a 2−4×2×1>0, ∴ a >2√2，∴ 函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a >2√2． （2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x (x >0)， 则g′(x)=2−1x 2，由g′(x)<0结合题意得：12<x <√22,∴ g(x)在[12, √22)上递减，由g′(x)>0结合题意得：g(x)在(√22, 2]上递增． 又g(12)=3，g(2)=92，g(√22)=2√2，∴ g(x)max =92，g(x)min =2√2．若f(x)在[12, 2]单调递增，则f′(x)≥0即a ≥g(x)， ∴ a ≥92．若f(x)在[12, 2]单调递减，则f′(x)≤0，即a ≤g(x)， ∴ a ≤2√2．所以f(x)在[12, 2]上单调时，则a ≤2√2或a ≥92．【考点】函数在某点取得极值的条件 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）f′(x)=−2x +a −1x=−2x 2+ax−1x(x >0)，由题意可得f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2；于是由{a 2>0△=a 2−4×2×1>0即可求得a 的取值范围；（2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x ，结合题意可得g(x)在[12, √22)上递减, g(x)在(√22, 2]上递增；从而可求得当x ∈[12, 2]时，g(x)max =92，g(x)min =2√2．于是得，若f(x)在[12, 2]单调递增，f′(x)≥0即a ≥g(x)，从而求得a 的取值范围；同理可求，若f(x)在[12, 2]单调递减时a 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f′(x)=−2x +a −1x =−2x 2+ax−1x(x >0)，∴ f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2． ∴ {a2>0,Δ=a 2−4×2×1>0, ∴ a >2√2，∴ 函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a >2√2． （2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x (x >0)，则g′(x)=2−1x 2，由g′(x)<0结合题意得:g(x)在[12, √22)上递减，由g′(x)>0结合题意得：g(x)在(√22, 2]上递增． 又g(12)=3，g(2)=92，g(√22)=2√2，∴ g(x)max =92，g(x)min =2√2．若f(x)在[12, 2]单调递增，则f′(x)≥0即a ≥g(x)， ∴ a ≥92．若f(x)在[12, 2]单调递减，则f′(x)≤0，即a ≤g(x)， ∴ a ≤2√2．所以f(x)在[12, 2]上单调时，则a ≤2√2或a ≥92．37.【答案】 解：（1）f(x)=x(x −a)2+b =x 3−2ax 2+a 2x +b ⇒f ′(x)=3x 2−4ax +a 2，f ′(2)=12−8a +a 2=0⇒a =2或a =6， 当a =2时，函数在x =2处取得极小值，舍去；当a =6时，f ′(x)=3x 2−24x +36=3(x −2)(x −6)， 函数在x =2处取得极大值，符合题意，∴ a =6．∵ 当x ∈[−2, 4]时，函数y =f(x)的图象在抛物线y =1+45x −9x 2的下方， ∴ x 3−12x 2+36x +b <1+45x −9x 2在x ∈[−2, 4]时恒成立，即b <−x 3+3x 2+9x +1在x ∈[−2, 4]时恒成立，令ℎ(x)=−x 3+3x 2+9x +1， 则ℎ′(x)=−3x 2+6x +9=−3(x −3)(x +1)，由ℎ′(x)=0得，x 1=−1，x 2=3． ∵ ℎ(−2)=3，ℎ(−1)=−4，ℎ(3)=28，ℎ(4)=21， ∴ ℎ(x)在[−2, 4]上的最小值是−4，b <−4．（2）f(x)=x 3−12x 2+36x +b ，设切点为(x 0，x 03−12x 02+36x 0+b)，则切线斜率为f′(x)=3x 02−24x 0+36，切线方程为y −x 03+12x 02−36x 0−b =(3x 02−24x 0+36)(x −x 0)，即 y =(3x 02−24x 0+36)x −2x 03+12x 02+b ，∴ −2x 03+12x 02+b =0⇒b =2x 03−12x 02．令g(x)=2x 3−12x 2，则g ′(x)=6x 2−24x =6x(x −4)， 由g ′(x)=0得，x 1=0，x 2=4． 函数g(x)的单调性如下：y =f(x)相切．【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】（1）其中一个函数的图象在另一个函数图象的下方，转化为两个函数的“差函数”在相应区间内恒小于0的问题；（2）求切线主要还是抓住切点，因此既然有三条切线，因此应该有三个切点，也就是利用切点表示的方程将原点代入后，得到关于切点横坐标x的方程有三个不同的实数根．再结合导数研究函数的图象求解．【解答】解：（1）f(x)=x(x−a)2+b=x3−2ax2+a2x+b⇒f′(x)=3x2−4ax+a2，f′(2)=12−8a+a2=0⇒a=2或a=6，当a=2时，函数在x=2处取得极小值，舍去；当a=6时，f′(x)=3x2−24x+36=3(x−2)(x−6)，函数在x=2处取得极大值，符合题意，∴a=6．∵当x∈[−2, 4]时，函数y=f(x)的图象在抛物线y=1+45x−9x2的下方，∴x3−12x2+36x+b<1+45x−9x2在x∈[−2, 4]时恒成立，即b<−x3+3x2+9x+1在x∈[−2, 4]时恒成立，令ℎ(x)=−x3+3x2+9x+1，则ℎ′(x)=−3x2+6x+9=−3(x−3)(x+1)，由ℎ′(x)=0得，x1=−1，x2=3．∵ℎ(−2)=3，ℎ(−1)=−4，ℎ(3)=28，ℎ(4)=21，∴ℎ(x)在[−2, 4]上的最小值是−4，b<−4．（2）f(x)=x3−12x2+36x+b，设切点为(x0，x03−12x02+36x0+b)，则切线斜率为f′(x)=3x02−24x0+36，切线方程为y−x03+12x02−36x0−b=(3x02−24x0+36)(x−x0)，即y=(3x02−24x0+36)x−2x03+12x02+b，∴−2x03+12x02+b=0⇒b=2x03−12x02．令g(x)=2x3−12x2，则g′(x)=6x2−24x=6x(x−4)，由g′(x)=0得，x1=0，x2=4．函数g(x)的单调性如下：y= f(x)相切．38.【答案】解：由f(x)=13ax3−12a2x2+2x+1得：f′(x)=ax2−a2x+2(1)①当a=0时，f′(x)=2>0∴f(x)单调递增，∴f(x)不存在极值②当a≠0时，△=a4−8a≤0，即0<a≤2，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立∴f(x)不存在极值a的范围为0≤a≤2∴f(x)存在极值a的范围为a<0或a>2．（2）由题意f′(x)≥0在(−1, 12]恒成立①当a=0时f′(x)=2>0恒成立∴a=0合题意。
高中数学新人教A版选修1-1函数的单调性与导数
3. 3.1函数的单调性与导数预习课本P89〜93,思考并完成以下问题1.函数的单调性与导数的正负有什么关系?2•利用导数判断函数单调性的步骤是什么?3•怎样求函数的单调区间?［新知初探］1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a , b)内的函数y = f(x):f ' (x)的正负 f(x)的单调性 f ' (x)>0 单调递增 f ' (x)V 0单调递减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数 y = f(x),在区间(a , b)上导数的 绝对值 函数值变化函数的图象越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小慢比较“平缓”(向上或向下)33导数在研究函数中的应用煤前fl 花学刀•基稳才隧樓高2,⑴若在某区间上有有限个点使 f ' (x)= 0,在其余的点恒有 f ' (x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)•(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x € (a , b)都有f ' (x)A 0且在(a , b)内的任一非空子区间上f ' (x)不恒为0.［小试身手］1. 判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 函数f(x)在定义域上都有f ' (x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增( ) (2) 函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”() (3) 函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大 ()答案：(1)x (2)x ⑶V2. 函数f(x) = (x — 3)e x 的单调递增区间是( )A .(―汽 2)B . (0,3)C . (1,4)D . (2 ,+s )答案：D3.设f(x)= *x + x (x v 0)，则f(x)的单调递减区间为( )A . ( — rn,— 2) C .(-汽-2) 答案：D4.函数f(x) = sin x — 2x 在(— 8,+^ )上是 ____________ (填“增”或“减”)函数.答案：减［典例］已知函数f(x)= ax 3 — 3x 2 + 1 — 3,讨论函数f(x)的单调性. a2 令 f ' (x)= 0，得 X 1= 0 , X 2= 2. a 当 a>0 时，若 x € (—8, 0)，贝y f ' (x)>0.B . (— 2,0) D . (— .2, 0)课堂讲绦设计*举一能通类題判断或讨论函数的单调性［解］由题设知 a 丰2 (x)= 3ax— 6x = 3ax••• f(x)在区间(一8, 0)上为增函数.2,若 x € 0, 2，则 f ' (x)<0,• f (x)在—g, a 上是减函数.若 x€ 2，0,则 f ' (x )>°.• f (x )在区间a , 0上为增函数. 若 x € (0, + g )，则 f ' (x)<0. • f(x)在区间(0, + g )上为减函数.利用导数证明或判断函数单调性的思路卡f,则月⑷耀 圖上单调迎增［若尸⑷乜加 打匈在@上止单调谨斓 申恒有f 閔=0血S 出常救咁数;不具宥单瑪性［活学活用］2.证明：函数y = xsin x + cosx 在 于，竽上是增函数. 证明： y ' = sin x + xcosx — sin x = xcosx.T x € 32n ,乎，• cosx >0, • y ' > 0.即函数 y = xsin x + cosx 在 竽，宁 上是增函数.••• f(x)在区间 0, 2上为减函数.若x a ，+g ,则 f ' (x)>0 ,••• f(x)在区间a ,+g 上是增函数.当a<0时，若x € —g, a ,贝y f ' (x)<0. 1下列函数中，在(0, )上为增函数的是(A . y = sin x3C . y = x — x解析：选 B y ' = (xe x )' = e x + xe x =e x (x + 1) > 0 在(0 , + g )上恒成立，• y = xe x 在(0 , + g )上为增函数.对于B.)xy = xey = In x — xA 、C 、D 都存在x >0,使y ' v 0的情况.［典例］求下列函数的单调区间.2⑴f(x) = 3x — In x ;1 3 2⑵ f(x) =— §ax + X + 1(a W 0).［解］(1)函数f(x)的定义域为(0,+^),■/ x > 0 ,••• 6x 2— 1 > 0,二 x >•- 0V x v J.f(x)的单调递增区间为 6间为0,中.⑵①当a = 0时，f(x)= x 2+ 1,其单调递减区间为(一R, 0),单调递增区间为(0, ).②当 a v 0 时，f ' (x)=— ax 2 + 2x ,f ' (x)> 0? (— ax + 2)x >0? x — | x > 0? x >0 或 x v f ； f ' 故f(x)的单调递增区间为一a,2和(0,+s )，单调递减区间为2 0.利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤(1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求导数f ' (x);⑶在函数f(x)的定义域内解不等式f ' (x)>0和f '(X)V0 ;⑷根据⑶的结果确定函数f(x)的单调区间.［注意］如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用U”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.［活学活用］求下列函数的单调区间.32题型求函数的单调区间f (x)= 6x —-= x6x 2— 1 .令 f (x)>0, 即6x 2— 1> 0,令f ' (x)v 0，即 6x 2— 1V 0,■/ x > 0, • 6x 2— 1 V 0, 2(x) v 0? - v x v 0.a单调递(1) f(x) =—x + 3x ;x e (2) f(x) = 口.解：⑴函数f(x)的定义域为R.2f (x)=—3x + 6x =—3x(x—2).令f' (x)> 0，解得O v x v 2,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2);令f' (x)v 0，解得x v 0 或x> 2,所以函数f(x)的单调递减区间为(一R, 0)和(2,+ °°).⑵函数f(x)的定义域为(一a, 2) U (2 ,+^).因为x € (—a , 2) U (2, + a)，所以e x> 0, (x—2)2> 0.令f' (x)> 0，解得x> 3 ,所以函数f(x)的单调递增区间为(3 , + a)；令f' (x)v 0,解得x v 3,又x € ( —a , 2) U (2 , + a), 所以函数f(x)的单调递减区间为(一a,2)和(2,3).1 3 1 2［典例］若函数f(x)=尹3—2ax2+ (a—1)x + 1在区间(1,4)内单调递减，在(6 , +a )上单利用导数求参数的取值范围调递增，求实数a的取值范围.［解］［法一直接法］f' (x)= x2—ax+ a —1,令f' (x) = 0 得x= 1 或x = a —1.当a —1< 1,即a w 2时，函数f(x)在(1, + a)内单调递增，不合题意.当a —1>1,即a>2时，f(x)在(一a, 1)和(a—1, +a)上单调递增，在(1 , a —1) 上单调递减，由题意知(1,4)? (1, a—1)且(6 , + a)? (a—1, + a),所以4w a —1 w 6,即5w a w 7. 故实数a的取值范围为［5,7］.［法二数形结合法］如图所示,f' (x) = (x—1)［x—(a— 1)］.•••在(1,4)内f' (x)w 0 ,在(6 , + a )内f' (x) > 0 ,且f' (x)= 0有一根为1 ,•••另一根在［4,6］上.••• {f' 4 w 0 , f' 6 > 0,即{3X 5—a w 0, Jx 7—a > 0, /. 5w a w 7. 故实数a的取值范围为［5,7］［法三转化为不等式的恒成立问题］f' (x)= x2—ax+ a —1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f' (x)< 0在(1,4)上恒成立.即a(x —1) > x2—1在(1, 4)上恒成立，所以a> x+ 1,因为2<x+ 1<5，所以当a > 5时，f' (x)< 0在(1, 4)上恒成立，又因为f(x)在(6, )上单调递增，所以f' (x) > 0在(6, )上恒成立，所以a< x+ 1,因为x+ 1>7,所以a< 7时，f' (x)A 0在(6,+g)上恒成立.综上知5W a< 7.故实数a的取值范围为［5,7］.1•利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f' (x) > 0(或f'(X)W 0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意.⑵先令f' (x)>0(或f' (x)v0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.2.恒成立问题的重要思路(1) m> f(x)恒成立？m> f(x)max.(2) m< f(x)恒成立？m W f(x)min.［活学活用］已知f(x)= ax3+ 3x2—x + 1在R上是减函数，求实数a的取值范围.解：函数f(x)的导数f' (x) = 3ax2+ 6x—1.由题设知f(x)在R上是减函数，••• f' (x) W 0 对x € R 恒成立，即3ax2+ 6x—1 W 0在R上恒成立，• {avQ △= 36 + 12a W 0, a w —3.当 a =—3 时，f' (x)=—9x2+ 6x—1 = —(3x —1)2W 0,有且仅有f' 1= 0,故a的取值范围是(―^，― 3］.谍后层层级一学业水平达标1.函数f(x) = xln x的单调递增区间是()A. (0,1)B. (1 ,+s )C 10 - \D i? +8:C. 0，eD. e ，+解析：选D 由f ' (x)= lnx + 1>0，可得x >•函数f(x)的单调递增区间为 £，+ ^ /12•已知函数f(x) =1— x ,贝V f(x)在(0,+8 )上的单调性为( )A • f(x)在(0, +8 )上是增函数B. f(x)在(0,1)上是增函数，在(1, +8 )上是减函数C. f(x)在(0, +8 )上是减函数D. f(x)在(0,1)上是减函数，在(1, +8 )上是增函数 1解析：选 C 因为 f ' (x)=— -2— 1V 0 , 所以f(x)在(0,+ 8)上是减函数.3.若函数y = x 3 + x 2 + mx + 1是R 上的单调函数, A 3,+8〕A. 3、1 m 》3.4.如图为函数y = f(x)的导函数y = f ' (x)的图象，那么函数y = f(x)的图象可能为()解析：选A 由导函数y = f ' (x)的图象，可知当一1v x V 3时，f ' (x)v 0,所以y = f(x)在(一1,3)上单调递减.当 x > 3或x v — 1时，f ' (x)> 0,所以y = f(x)在(一 8,一 1)和(3, + 8)上单调递增，故排除B 、C 、D ,选A.5.函数f(x) = x 3 + ax + b 在区间(一1,1)上为减函数，在(1, +8 )上为增函数，则( )C . a =— 3, b = 3D . a =— 3, b € R 解析：选 D f ' (x)= 3x 2 + a.••• f(x)在(—1,1)上为减函数，在(1, + 8)上为增函数，则实数 m 的取值范围是(B.一 8,c.3，+8D. ——8，3解析：选C y ' = 3x 2 + 2x + m ,由条件知 y '》0在R 上恒成立，• △= 4 — 12m < 0, A . a = 1, b = 1B . a = 1, b € R• f' (1) = 3+ a= 0,「.a=—3, b€ R.36. ___________________________________________ 函数f(x)= COSX+ QX的单调递增区间是__________________________________________________ .3解析：因为f'(X)— sin x+ 2 > 0,所以f(x)在R上为增函数.答案：(— 8,+^ )7. ___________________________________________ 函数f(x) = x+ b(b> 0)的单调递减区间为____________________________________________________ .解析：函数f(x)的定义域为(一8, 0) U (0, +8), f(x)= jx+X) =1-卡，令f' (x)v 0，则^(x + , b)(x—b) v 0,•••—b v x v b,且X M 0.•••函数的单调递减区间为(一.b, 0)和(0, b).答案：(一b, 0)和(0, b)1 18. ________________________________________________________________________ 若函数y= rax3—Tax2—2ax(a^ 0)在[ —1,2]上为增函数，贝V a的取值范围为____________3 2解析：y' = ax2—ax —2a= a(x + 1)(x —2)>0,•/当x € (—1,2)时，(x + 1)(x —2)<0 ,• a<0.答案：(—8, 0)9. 已知函数f(x) = 3X3+ ax2+ bx,且f' (—1) = —4, f' (1) = 0.(1)求a和b; (2)试确定函数f(x)的单调区间.解：(1) ■/ f(x)= 3x3+ ax2+ bx,3•f' (x) = x2+ 2ax + b,由｛f' —1 =—4, f' 1 = 0,得｛1 —2a+ b=—4, 1 + 2a + b= 0.解得 a = 1, b=—3.1 3 2⑵由(1)得f(x) = 3X + x —3x.f' (x)= x2+ 2x —3 = (x —1)(x + 3).由f' (x)>0 得x>1 或x< —3;由f' (x)<0 得一3<x<1.•f(x)的单调递增区间为(一8,—3), (1, +8)，单调递减区间为(一3,1).10 .已知函数f(x) = In x—ax2+ (2 —a)x，讨论f(x)的单调性.解：f(x)的定义域为(0, + 8),一，..1 亠、(2x+1 fax—1 \f' (x)=——2ax+ (2 —a)=—.x xx+r < 0,只需y ' < 0,艮卩a > 0.4.已知函数f(x)=— 2x 2 + 8ax + 3在(—g, 3］上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.B.①若 a w 0,贝U f (x)>0,所以f(x)在(0,+ g )上单调递增.且当 x € 0, 时，f ' (x)> 0,层级二应试能力达标3n 5nC.2 , 2解析：选 By ' = cosx + x( — sinx)— cosx =— xsin x ,用排除法知 B 正确.12.已知函数 f(x)= x +~(x > 1),A . (0 ,+g )D .(0,1) 解析：选 A y ' = a(3x 2— 1) = 3a x —〒 x +于.n 3 n2 , 2B . ( n 2 n) A. 1.函数y = xcosx — sin x 在下列哪个区间内是增函数 ()②若a >0,则由f ' (x)= 0，得 1 x =a ,当€ -, + g,f ' (x)< 0,所以f(x)在0, a 上单调递增，在 £,+ g 上单调递减.D . (2 n 3 n)则有(A . f(2) < f(e)< f(3)B .f(e)< f(2) < f(3) C . f(3) < f(e)< f(2)f(e) < f(3) < f(2)解析：选A 因为在定义域(1, 1f ' (x) = 1— -2> 0，所以 f(X)在(1 , +g )上是增函数，所A.3.若函数y = a(x 3— x)的单调减区间为 —于，于，则a B . (— 1,0)C . (1 ,+g )要使y = a-33, 子上单调递减,解析：选B ••• f(x)在(―乂, 3］上是增函数，••• f' (x) =—4x+ 8a> 0 对于x € (—, 3］恒成立.x即a > Q对于x € (—a, 3］恒成立.x令g(x) = x, x€ (—a, 3］,贝y a>g(x)max.x•/ g(x) = 2在(—a, 3］上是增函数，3 3二g(x)max= g(3)= 3，即a>2 选B.5. _____________ 已知函数f(x)的定义域为R, f(—1) = 2，对任意x€ R, f' (x)>2,贝U f(x)>2x + 4 的解集为 __________ .解析：设g(x)= f(x)—2x —4,则g' (x)= f' (x)—2.T对任意x€ R, f' (x)>2, • g' (x)>0.•g(x)在R上为增函数.又g(—1) = f(—1) + 2 —4 = 0,•x>—1 时，g(x) > 0.•••由f(x)>2x+ 4，得x>—1.答案：(一1,+a )4 36. 若函数y= —+ ax有三个单调区间，贝V a的取值范围是.解析：T y' =—4x2+ a,且y有三个单调区间，•方程y' =—4X2+ a = 0有两个不等的实根，•- △= 02 —4x (—4) x a>0, • a>0.答案：(0 ,+a )a7. 设函数f(x) = ax —x —2ln x.(1) 若f' (2) = 0,求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.解：(1)因为f' (x) = a+ 马—2,且f' (2) = 0,所以a + a—1 = 0，所以a= 4.4 5所以f' (x)= 5+ 5?-2=魚2x2-5x+ 2). 令f' (x)》0，解得x< 1或x>2;1令f'(X)W 0，解得x< 2,所以f(x)的递增区间为i —g, 2和［2 , + m )，递减区间为?, 2⑵若f(x)在定义域上是增函数，则 f '(X)A 0恒成立,所以需ax 2— 2x + a > 0恒成立， 所以｛a > 0, A= 4 — 4a 2< 0,解得 a > 1.所以a 的取值范围是［1 ,+m ).8.已知函数 f(x)= aln x — ax — 3(a € R). (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 当 a =— 1 时，证明：当 x € (1 ,+m )时，f(x) + 2>0. 解：(1)根据题意知，f ' (x) = a 1 — x (x>0),当 a>0 时，则当 x € (0,1)时，f ' (x)>0，当 x € (1, + m )时,f ' (x)<0，所以 f(x)的单调 递增区间为(0,1),单调递减区间为(1, + m )；同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1 , + m )，单调递减区间为(0,1)； 当a = 0时，f(x) = — 3，不是单调函数，无单调区间. (2)证明：当 a =— 1 时，f(x) = — In x + x — 3, 所以 f(1) =— 2,由(1)知f(x)=— In x + x — 3在(1,+ m )上单调递增, 所以当 x € (1 ,+ m )时，f(x)>f(1). 即 f(x)> — 2,所以 f(x) + 2>0.因为f '(x)=a +X 2-22ax — 2x + a。
专题3.3.1函数的单调性与导数 2018-2019学年高二数学(文)人教版(选修1-1)Word版含解析
1．函数的单调性与其导数的关系在某个区间内，如果___________，那么函数在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数在这个区间内单调递减．注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．2．函数图象与之间的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．K知识参考答案：1．2．大利用导数判断函数的单调性（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下：①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论．（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．求下列函数的单调区间：（1）；（2）．【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）函数的定义域为．．令，解得；令，解得．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【名师点睛】由于在某区间上，个别点使导数为零不影响函数的单调性，故单调区间也可以写为闭区间的形式．已知函数其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间．【答案】（1）；（2）的单调递增区间是，，单调递减区间是．（2），令，解得或．因为，所以分两种情况讨论：①若，则．当变化时，，的变化情况如下表：+ –+所以的单调递增区间是，;的单调递减区间是．②若，则．当变化时，，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，；的单调递减区间是．函数与导函数图象之间的关系判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为A B CD【答案】D【名师点睛】常见的函数值变化快慢与导数的关系为：对于①，函数值增加得越来越快，且越来越大；对于②，函数值增加得越来越慢，且越来越小；对于③，函数值减少得越来越快，且越来越小，绝对值越来越大；对于④，函数值减少得越来越慢，且越来越大，绝对值越来越小．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是【答案】D【解析】当时，在上的函数值非负在上，故函数在上单调递增；当时，在上的函数值非负在上，故在上单调递减，观察各选项可知选D．导数在解决单调性问题中的应用（1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题．（2）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．已知函数，．若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围．【答案】．方法2：函数的定义域为，，∴．方程的根的判别式为．①当，即时，，此时，对都成立，故函数在定义域上是增函数．②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，只需对都成立．设，则，得．故．综合①②得的取值范围为．【名师点睛】函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．求解时一定要注意．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）．（2）因为在上为减函数，且，所以在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以，于是，故实数a的取值范围为．设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．（2）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．故c的取值范围为．（3）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点的必要条件．当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．【名师点睛】此题综合了导数、零点、充要条件等知识，这就要求同学们在学习时，要注意与前面的知识综合，做到知识的灵活运用．第（3）问在证明必要而不充分条件时，一定分清谁是条件，谁是结论．求函数单调区间时忽略函数的定义域函数的单调递增区间为________________．【错解】由得，令，得或，则或．故函数的单调递增区间为，．【错因分析】错解中忽略了函数的定义域为．【正解】由得，且，令，得，则．故函数的单调递增区间为．【名师点睛】讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，一定要在函数的定义域范围内求解，即要遵循定义域优先的原则．1．函数的单调递增区间是A．B．C．D．2．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A．B．C．D．3．函数的图象如图，则导函数的图象可能是4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是5．函数的单调递增区间是A．B．C．D．6．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是A．B．C．D．7．函数为上增函数的一个充分不必要条件是A．B．C．D．8．函数为上的减函数，则实数的取值范围为________________．9．函数的单调递增区间为________________．10．已知函数，求函数的单调区间．11．已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．12．若，则A．B．C．D．13．函数在上单调递增，则实数的取值范围是A．B．C．D．14．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是A．B．C．D．15．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是A．B．C．D．16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为A．B．C．D．17．已知，若在区间上为增函数，则实数的取值范围是________________．18．已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是________________．19．已知函数．（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间．20．（2018新课标全国Ⅲ文）函数的图象大致为A B CD21．（2018新课标全国Ⅱ）函数的图象大致为A B C D 22．（2017浙江）函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是23．（2017新课标全国II文）函数的单调递增区间是A．B．C．D．24．（2017新课标全国I文）已知函数，则A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称D．的图像关于点（1，0）对称25．（2017山东文）若函数(e=2.71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是A．B．C．D．26．（2017新课标全国I文节选）已知函数，讨论的单调性．27．（2017新课标全国II文节选）设函数，讨论的单调性．28．（2017新课标全国III文节选）已知函数，讨论的单调性．29．（2018新课标全国Ⅲ文）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．30．（2018新课标全国Ⅱ文）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．31．（2018浙江）已知函数f(x)=−ln x．（1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（2）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．32．（2016新课标全国I文）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．1．【答案】C【解析】因为，所以，令，解得．故选C．2．【答案】D【解析】因为，所以，解得，故选D．3．【答案】D【解析】由图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于，再小于，最后大于．故选D．4．【答案】B5．【答案】D【解析】，由，可得，所以函数的单调递增区间为．故选D．6．【答案】B【解析】函数的定义域为，，由，得．根据题意，可得且，解得，故实数的取值范围是．故选B．7．【答案】B【解析】函数为上增函数的充分必要条件是在上恒成立，所以恒成立，因为，所以，观察各选项可知函数为上增函数的一个充分不必要条件是，故选B．8．【答案】【解析】，因为函数为上的减函数，所以在上恒成立，即恒成立．因为，所以，故实数的取值范围为．9．【答案】【解析】函数的定义域为，令，解得或（舍去），所以函数的单调递增区间为．10．【答案】单调增区间为，，单调减区间为．11．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，则，所以．又，所以所求切线方程为，即．所以曲线在点处的切线方程为．（2）由题可得，令，即，解得或．当时，恒成立，不符合题意．当时，函数的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得．当时，函数的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得．综上所述，实数的取值范围是．12．【答案】B【解析】设，则，所以当时，，当时，，则函数在上单调递减，因为，所以．故选B．13．【答案】D14．【答案】B【解析】因为，所以，因为函数在区间内是增函数，所以，解得，故实数的取值范围是．故选B．15．【答案】C【解析】由可得，，因为函数在上为“凸函数”，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，因为在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围是，故选C．16．【答案】C【解析】由题可得，若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，当时，，所以在区间上恒成立．又当时，取得最大值为，所以，故实数的取值范围为．故选C．17．【答案】【解析】由题意可知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为且，所以，故实数的取值范围是．18．【答案】119．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）当时，，所以，，，所以函数的图象在点处的切线方程为．（2）易知函数的定义域为，，令，解得，，①当时，恒成立，则函数的单调递增区间是．②当，即时，在区间和上，在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．③当，即时，在区间和上，；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．④当，即时，在区间上，在区间上，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是．综上，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．20．【答案】D【解析】当时，，排除选项A、B；因为，所以当时，，排除选项C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的图象，考查了特殊值排除法，导数与函数图象的关系，属于中档题．21．【答案】B【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．22．【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．23．【答案】D【解析】要使函数有意义，则，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为．故选D．【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．24．【答案】C25．【答案】A【解析】对于A，令，，则在R上单调递增，故具有M性质，故选A．26．【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．【分析】分，，分别讨论函数的单调性即可．【解析】函数的定义域为，，①若，则，在上单调递增．②若，则由得．当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增．③若，则由得．当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．【名师点睛】本题主要考查函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间．27．【答案】在和上单调递减，在上单调递增．【分析】先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间即可．28．【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【分析】先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【解析】函数的定义域为，故.若，则当时，，故在上单调递增.若，则当时，；当时，.故函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．29．【答案】（1）；（2）证明见解析．30．【答案】（1）在（–∞，），（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减；（2）证明见解析．【分析】（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得．【解析】（1）当a=3时，f（x）=，=．令=0，解得x=或x=．当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，>0；当x∈（，）时，<0，故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．【名师点睛】（1）用导数求函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数．（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证．31．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故，即．【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．32．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），（i）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．（ii）设，由得或．①若，则，所以在上单调递增．②若，则，故当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．③若，则，故当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．。
数学北师大版高中选修1-1导数与函数的单调性ppt课件
a f ( x) 2 x 2 0对任意x [2, )恒成立. x 2x3 a 0对任意x [2, )恒成立.
3
a 变式：已知函数f ( x) x (a R)在x (, 2] x 上是单调递减的，求a的取值范围. a 16
2
2x a对任意x [2, )恒成立. 3 (2x )min a对任意x [2, )恒成立.
（法二：图像法）y=x2－4x＋3 y
0
2
x
递增区间：（２，+∞）. 递减区间：(－∞，２).
那么如何判断下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
(2) y x ln x 1;
(3) y e x 1.
x
问题：用单调性定义讨论函数 单调性虽然可行，但比较麻烦; 如果函数图象也不方便作出来时.. 是否有更为简捷的方法呢？
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
y f ( x)
y A
B
o
2
3
x
y f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
引例：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
（法一：定义法）解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
高中数学人教B版选修1-1利用导数判断函数的单调性课件
1，1
f x ax3 3x 1
a
(2)
当a
0
时，
f
x
的单调递减区间为
a a
，a a
，
所以区间 1，1
为
解得0 a 1.
a a
，a a
的子区间，即
1
a， a
综合(1)、(2)知：a 的取值范围为 a ，1 .
1，1
f x ax3 3x 1
a
解：方法2：由题意可知，f x 3ax2 3 0 对任意 x 1，1 恒成立. (1)当a 0 时，f x 3ax2 3 0 显然恒成立，所以
f x x3 3x 1 f x
解： f x 3x2 3，
令 3x2 3 0，
解此不等式，得 x 1 或 x 1 .
因此，f x在区间 , 1 和 1，+ 内是增函数.
f x x3 3x 1 f x
解： f x 3x2 3，
令 3x2 3 0，
解此不等式，得 1 x 1 .
a
a
所以
f
x
的递增区间为
，
a
a
和
a a
，
.
(3)当a
0
时，f
x
3ax2
3
3a
x
a a
x
a a
，
令 f x 0，解得 a x a ，
a
a
所以
f
x
的递减区间为
a a
，a a
.
综上所述：
(1) 当a 0 时， f x 在 ， 上单调递减.
(2)
当a
0
时，
f
x
的单调递增区间为
2020版高中数学高二选修1-1教案及练习归纳整理66知识讲解导数的应用单调性基础
导数的应用一---函数的单调性编稿:赵 雷【学习目标】1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。
3. 会利用导数求函数的单调区间。
【要点梳理】要点一、函数的单调性与导数的关系我们知道,如果函数()f x 在某个区间是增函数或减函数,那么就说()f x 在这一区间具有单调性,先看下面的例子:函数2()43y f x x x ==-+的图象如图所示。
考虑到曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()f x 的导数,从图象可以看到:在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,即'()0f x >时,()f x 为增函数；在区间(－∞,2)内,切线的斜率为负,即'()0f x <时,()f x 为减函数。
导数的符号与函数的单调性:一般地,设函数)(x f y =在某个区间内有导数,则在这个区间上, ①若()0f x '>,则()f x 在这个区间上为增函数； ②若()0f x '<,则()f x 在这个区间上为减函数； ③若恒有0)(='x f ,则()f x 在这一区间上为常函数.反之,若()f x 在某区间上单调递增,则在该区间上有()0f x '≥恒成立(但不恒等于0)；若()f x 在某区间上单调递减,则在该区间上有()0f x '≤恒成立(但不恒等于0).要点诠释:1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率,故当在某区间上()0f x '>,即切线斜率为正时,函数()f x 在这个区间上为增函数；当在某区间上()0f x '<,即切线斜率为负时,函数()f x 在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使'()0f x =,在其余点恒有'()0f x >,则()f x 仍为增函数(减函数的情形完全类似)。
2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《导数与函数的单调性》课后考点练习及解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1第4章 1.1 导数与函数的单调性一、选择题(每小题5分，共20分)1．当x ＞0时，f(x)＝x ＋2x ，则f(x)的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析： f ′(x)＝1－2x 2，当f ′(x)＜0时，－2＜x ＜0，或0＜x ＜2，又∵x ＞0，∴0＜x＜2，故选D. 答案： D2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝lnxC ．y ＝1x －2D ．y ＝sinx解析： 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.答案： C3．函数y ＝xcosx －sinx 在下列哪个区间内是增函数( )A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)解析： 由y ′＝－xsinx ＞0，则sinx ＜0，则π＋2k π＜x ＜2π＋2k π，k ∈Z. 答案： B4．(2，＋∞)为函数y ＝2x －ax 的单调递增区间，则a 的值为( )A ．a ≥－8B ．－8＜a ＜0C ．a ＜－8D ．a ＞0解析： y ′＝2＋ax 2≥0对x ＞2恒成立，∴a ≥－2x 2，∴a ≥－8. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2009江苏高考)函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 解析： f ′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当x<－1或x>11时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当－1<x<11时，f ′(x)<0，f(x)单调递减． 答案： (－1,11)6．若函数y ＝(a －1)lnx ＋2x －1在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围为________．解析： y ′＝(a －1)·1x ＋2>0在(0，＋∞)上恒成立即：a －1>－2x ，而x>0，∴a －1≥0，∴a ≥1. 答案： a ≥1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x 2－2x ＋1； (2)f(x)＝x 3－2x 2＋x ； (3)f(y)＝x －ln x(x>0)；解析： (1)f ′(x)＝6x －2.令6x －2>0，解得x>13.因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞时，f(x)是增函数；其单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.再令6x －2<0，解得x<13.因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13时，f(x)是减函数．其单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13.(2)f ′(x)＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1>0，解得x>1，或x<13.因此，y ＝x 3－2x 2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13.再令3x 2－4x ＋1<0，解得13<x<1.因此，y ＝x 3－2x 2＋x的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(3)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x，令y ′＝1－1x >0，则x>1，因此，函数y ＝x －ln x 在(1，＋∞)上是增函数；令y ′＝1－1x<0，则0<x<1，因此，函数y ＝x －ln x 在(0,1)上是减函数， 所以函数y ＝x －ln x 的单调区间是(0,1)和(1，＋∞)．8．讨论函数f(x)＝bxx 2－1(－1<x<1，b ≠0)的单调区间．解析： f(x)的定义域为(－1,1)，易知函数f(x)是奇函数，故只需讨论函数在(0,1)内的单调性．因为f ′(x)＝b ·x ′(x 2－1)－x (x 2－1)′(x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2，当0<x<1时，x 2＋1>0，(x 2－1)2>0，所以－x 2＋1(x 2－1)2<0.所以若b>0，则f ′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)内是减函数；若b<0，则f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,1)内是增函数．又函数f(x)是奇函数，而奇函数图象关于原点对称，所以当b>0时，f(x)在(－1,1)内是减函数；当b<0时，f(x)在(－1,1)内是增函数．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]．若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围．解析：f′(x)＝2a＋2x3. ∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－1x3在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝－1x3在(0,1]上单调递增．∴g(x)max＝g(1)＝－1.∴a≥－1，即a的取值范围是[－1，＋∞)．。
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第11节导数在研究函数中的应用
第一课时导数与函数的单调性
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( B )
解析:由导函数的图象知,在[-1,1]上f′(x)>0,故函数f(x)在[-1,1]上是单调递增的.
又因为在[-1,0]上f′(x)的值逐渐增大,在[0,1]上f′(x)的值逐渐减小,所以在[-1,0]上,f(x)的增长率逐渐增大,在[0,1]上f(x) 的增长率逐渐变小.故选B.
2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为( A )
(A)(0,1) (B)(0,+∞)
(C)(1,+∞) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:函数的定义域是(0,+∞),且f′令f′(x)<0,解得0<x<1.
所以单调递减区间是(0,1).
3.已知f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是( D )
(A)f(2)>f(3)>f(π) (B)f(3)>f(2)>f(π)
(C)f(2)>f(π)>f(3) (D)f(π)>f(3)>f(2)
解析:因为f(x)=1+x-sin x,所以f′(x)=1-cos x,
当x∈(0,π]时,f′(x)>0,
所以f(x)在(0,π]上是增函数,
所以f(π)>f(3)>f(2).
4.(2018·山东淄博桓台二中月考)若函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( B )
(A)(-∞,-2] ∞)
(C)[2,+∞) (D)(-∞
解析:f′
因为函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,
所以f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.
所以k而(2,+∞)上单调递减,
所以k
所以k的取值范围是∞).
5.(2018·湖南长沙长郡中学月考)求形如y=f(x)g(x)的函数的导数,我们常采用
以下做法:先两边同取自然对数得ln y=g(x)ln f(x),y′=g′(x)ln
f(x)+g(x)f′(x),于是得到
y′=f(x)g(x)[g′(x)ln f(x)+g(x)f′(x)],运用此方法求得函数
区间是( C )
(A)(e,4) (B)(3,6)
(C)(0,e) (D)(2,3)
解析:由题设,y′
令y′>0,得1-ln x>0,所以0<x<e.
所以函数(0,e).故选C.
6.已知函数f(x)=(-x2+2x)e x(x∈R,e为自然对数的底数),则函数f(x)的单调递增区间为.
解析:因为f(x)=(-x2+2x)e x,
所以f′(x)=(-2x+2)e x+(-x2+2x)e x。