最新2021高考数学分类汇编 考点07 导数的运算及几何意义(答案解析版)
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．2B．C．D．4【答案】D【解析】因为曲线在点处的切线方程为，所以；由可得所以曲线在点处切线的斜率为.【考点】导数的几何意义.2.函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且（x－1）f ′（x）>0，a＝f（0），b ＝f（），c＝f（3），则a，b，c的大小关系是A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a【答案】B【解析】由于函数，因此，，当，，函数在区间为增函数，因此，所以.【考点】函数的导数与单调性.3.曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）.A．y=x+1B．y=﹣2x+1C．y=2x﹣1D．y=2x+1【答案】D.【解析】，，则切线斜率，切线方程为，即.【考点】导数的几何意义.4.已知曲线（1）求曲线在点处的的切线方程；（2）过原点作曲线的切线，求切线方程．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）求导，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程写出切线方程，再化成一般式即可；（2）设切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，代入（0,0）求即可．规律总结：利用导数的几何意义求的切线方程：．注意点：要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”．试题解析:(1)，，则，所以曲线在点处的的切线方程为，即；设切点为,切线斜率；则切线方程，又因为切线过原点，所以，即，所以，即切线斜率为，切线方程为，即．【考点】导数的几何意义．5.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。
【答案】或。
【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.6.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．7.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）实数的取值范围是；（3）实数的取值范围．【解析】（1）求的导数，找出处的导数即切线的斜率，由点斜式列出直线的方程即可；（2）求出函数的定义域，在定义域内利用导数与函数增减性的关系，转化为恒成立问题进行求解即可；(3)讨论在定义域上的最值，分情况讨论的增减性，进而解决存在成立的问题即可．（1）当时，函数，，曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为，即 3分（2）令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是 7分（3）∵在上是减函数∴时，；时，，即①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数当时，，因为，所以，此时，在内是减函数故当时，在上单调递减，不合题意②当时，由，所以又由(Ⅱ)知当时，在上是增函数∴，不合题意 12分③当时，由(Ⅱ)知在上是增函数，又在上是减函数，故只需，而，即，解得所以实数的取值范围是 15分．【考点】1．导数的几何意义；2．函数的单调性与导数；3．二次函数的图像与性质；4．分类讨论的思想．8.已知．（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；（2）当时，求的单调区间．【答案】（1）；（2）单调递增区间为，；单调递减区间为【解析】（1）先求导，由直线方程可知此直线斜率为2，则曲线在处的切线的斜率也为2.由导数的几何意义可知。
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.曲线f(x)＝·e x－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．【答案】y＝ex－【解析】因为f′(x)＝·e x－f(0)＋x，故有即原函数表达式可化为f(x)＝e x－x＋x2，从而f(1)＝e－，所以所求切线方程为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.2. [2014·辽宁模拟]曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1【答案】D【解析】由题意得y＝1＋，所以y′＝，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由直线的点斜式方程得所求切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.3.已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，∵，∴，代入，解得，故选．【考点】导数求切线方程.4.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是，选B5.设函数的定义域是,其中常数.(1)若,求的过原点的切线方程.(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.(3)证明当时,对任何,有.【答案】(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.【解析】(1)一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对恒成立.注意到,所以如果在单调增,则必有对恒成立.下面就通过导数研究的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.又,故切线方程为.综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)令,则,,显然有,且的导函数为：.若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.综上所述,所求的最大值是.（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对恒成立.又，故，即对恒有：，在此不等式中依次取，得：，，，，，…………………………，将以上不等式相加得：，即.【考点】导数及其应用.6.已知函数(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)(2)详见解析(3)【解析】(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.试题解析：(1)由已知， 1分，所以斜率， 2分又切点，所以切线方程为)，即故曲线在处切线的切线方程为。
高一数学导数的运算及其几何意义分析总结归纳
信号处理：导 数在信号处理 中用于提取信 号特征，提高 信号处理效果
力学分析：导 数在力学分析 中用于描述物 体运动状态， 分析力学问题
导数在科学计算中的应用
物理中的运动学：描述物体运动的速度、加速度等 化学中的反应速率：描述化学反应的速度和反应程度 生物学中的生长曲线：描述生物体生长过程中的变化规律 经济学中的边际分析：描述经济活动中的边际成本、边际收益等
弹性分析：通过导数计算价格弹性、需求弹性等，分析市场供需关系 经济增长模型：通过导数建立经济增长模型，分析经济增长速度、趋势 等 投资决策：通过导数计算投资回报率、风险等，分析投资决策合理性
导数在工程学中的应用
优化设计：通 过导数计算， 优化工程设计 参数，提高效
率和性能
控制理论：导 数在控制理论 中用于描述系 统动态响应， 实现精确控制
导数等于无穷大的点表示函 数图像的尖点
导数正负决定函数图像的增 减性
导数是函数在某一点的切线 斜率
导数等于零且二阶导数大于 零的点表示函数图像的极小
值
导数等于零且二阶导数小于 零的点表示函数图像的极大
值
导数的运算总结归纳
导数的四则运算法则
加法法则：导数相加等于 导数之和
减法法则：导数相减等于 导数之差
高一数学导数的运 算及其几何意义分 析总结归纳
WPS,a click to unlimited possibilities
汇报人：WPS
导数的概念和 运算
导数的几何意 义分析
导数的运算总 结归纳
导数的应用实 例分析
导数的综合练 习题解析
导数的概念和运算
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜 率
导数是函数在某一点的变化率
导数及其应用考点梳理讲解总结,导数及其应用的高考题型解析及答案
考点43导数及几何意义、导数的运算【命题解读】导数及几何意义、导数的运算是高考中经常出现的知识点，在高考中常以选择或者填空的形式出现，整体难度以中档为主，偶尔在解答题中出现导数的几何意义，求解切线，重点还是考查计算能力。
【命题预测】预计2021年的高考导数的几何意义还是必考知识点，复习中要注重知识点的相互联系，在导数的运算方面要加强计算能力。
【复习建议】1.掌握导数的概念及几何意义；2.会计算函数的导数以及运用导数求切线方程。
考向一导数的概念及几何意义1.导数的概念(1)在点x0处的导数lim Δx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记为f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx(2) 区间(a,b)上的导数当x∈(a,b)时,f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx叫作函数在区间(a,b)内的导数2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的斜率.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).1.【2020全国高三课时练习（理）】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.2. 【2020山东高三其他】已知函数()ln ln xxf x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ） A ．e - B ．eC ．1e e ---D ．1e -【答案】A 【解析】()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e af x e x e x x'=+-+，()1f a '=，所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点， 则a e -=，解得a e =-，故选A.考向二 导数的运算1.常用导数公式 （1） C'=0(C 为常数) （2）(x n )'= nx n -1 (n ∈Z)（3） (sin x )'= cos x (cos x )'= -sin x （4）(a x )'= a x ln a (a>0,且a ≠1) （5） (log a x )'= 1xlna (a>0,且a ≠1)（6） (e x )'=e x（7） (ln x )'=1x ,(ln |x|)'=1x 2.导数的运算法则[f (x )±g (x )]'= f'(x )±g'(x ) [f (x )·g (x )]'= f'(x )·g (x )+f (x )·g'(x )[f (x )g (x )]'=f '(x )g (x )-g '(x )f (x )[g (x )]2复合函数y=f [g (x )]的导数与函数y=f (u ),u=g (x )的导数之间具有关系y'x = y'u ·u'x 这个关系用语言表达就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”1. 【2020全国高三课时练习（理）】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()ln f x xf e x '=+，则()f e '等于（）A ．1B ．1e-C ．1-D ．e -【答案】B【解析】()()1'2'f x f e x =+，所以()()1'2'f e f e e =+，得()1'f e e=-，故选B. 2. 【2020河南高三其他（理）】已知函数()2e (0)sin x f x f x '=-，则(0)f '=______. 【答案】1【解析】由()2e (0)sin x f x f x '=-，得()2e (0)cos x f x f x ''=-，则(0)2(0)f f ''=-，解得(0)1f '=. 故答案为：1.题组一（真题在线）1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+2. 【2020年高考全国III 卷理数】若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +123. 【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________．4. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-5. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为___________．6. 【2020年高考北京】已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．题组二1. 【2020陕西西安高三二模（理）】已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-2. 【2020全国高三课时练习（理）】若曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．13. 【2020邢台市第二中学高二期末】已知函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y +-=，则(1)(1)f f '+=（ ）A ．32B ．1C ．12D ．04. 【2020陕西西安高三三模】函数()cos xf x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 5. 【2020山东师范大学附中高二月考】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e 等于（ ）A ．e -B ．1-C ．1e-D ．16. 【2020全国高三课时练习（理）】函数()sin x f x e x =⋅在点(0，f (0))处的切线方程是___________.7. 【2020福建高三其他（理）】设曲线1x y e x -=+在1x =处的切线与直线2y ax =+平行，则实数a 的值为_______.8. 【2020山东莱阳一中高三月考】已知()2123f x x xf ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，则1()3f '-=_____．9. 【2020河南开封高三二模（理）】已知函数()()2ln f x x x =-．则函数()f x 在1x =处的切线方程为___________．10. 【2019山东聊城】如图，()y f x =是可导函数,直线l 是曲线()y f x =在2x =处的切线，令()()f x g x x=，则)'(2g =___________.题组一1.B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B ． 2.D【解析】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D ． 3. ①②③ 【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③ 4. D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．5. 30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 6. 见解析【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅰ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 题组二1.D【解析】ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 2.D【解析】由曲线()cos f x a x =，得()sin f x a x =-'，则(0)sin 00f a '=-=， 由曲线2()1g x x bx =++，得()2g x x b =+'，则(0)g b '=，因为曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 出有公切线， 所以(0)(0)f g ''=，解得0b =， 又由(0)1g =，即交点为(0,1)，将(0,1)代入曲线()cos f x a x =，得cos 01a a ==，所以1a b +=，故选D ． 3.D【解析】切点(1,(1))f 在切线220x y +-=上，∴12(1)20f +-=，得1(1)2f =， 又切线斜率1(1)2k f '==-，∴(1)(1)0f f '+=. 故选：D 4.B【解析】()cos sin xx e x x e x f =-'，则()01k f '==，则倾斜角为4π． 故选：B ． 5.B 【解析】()()2ln f x xf e x '=+,∴1()2()f x f e x''=+, 令x e =，则(e)2(1ee)f f ''=+， 解得1()f e e'=-，2()ln f x x x e ∴=-+，2()ln 1f e e e e∴=-⨯+=-，故选：B 6. y x =【解析】∵()sin x f x e x =⋅， ∴'()(sin cos )x f x e x x =+, f (0)＝0, ∴'(0)1f =∴函数f (x )的图像在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x . 故答案为：y x = 7. C【解析】 2(2i)34i z =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C ． 8. 2【解析】因为1x y e x -=+ 所以11x y e -'=+ 所以111|12x y e-='=+=又因为曲线1x y e x -=+在1x =处的切线与直线2y ax =+平行， 所以2a = 故答案为：2 9. 10x y +-= 【解析】()()2ln f x x x =-2()x f x lnx x-'∴=+， ()11f '∴=-，()10f =故切线方程为：(1)y x =--，即10x y +-=． 故答案为：10x y +-=．10. 12-【解析】由图像可知，(2)3f =，切线过(2,3)、(0,2)，'321(2)==202f k -=-切 ()()f xg x x =，求导'''22()()1()()()f x x f x f x x f x g x x x ⋅-⋅⋅-== 2'(2)2(2)1(2)22f fg ⋅-∴==- 故答案为：12-考点44导数与函数的单调性【命题解读】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，在高考中经常出现的是含参数的函数的导数求解问题，难度以中高难度为主，主要出现在解答题中，命题形式灵活多变，主要考查分析能力和解答计算能力，对数学思维要求高。
高考数学专题《导数的概念、运算及导数的几何意义》习题含答案解析
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义1.（2021·浙江高三其他模拟）函数312x y +=在0x =处的导数是（ ）A ．6ln 2B ．2ln 2C ．6D ．2【答案】A 【解析】利用符合函数的求导法则()()()()()()f g x '''f g x g x =⋅，求出312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅，代入x =0，即可求出函数在x =0处的导数.【详解】312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅,故当x =0时，'62y ln =.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线2cos sin y x x =+在(,2)π-处的切线方程为（）A ．20x y π-+-=B ．20x y π--+=C ．20x y π++-=D ．20x y π+-+=【答案】D 【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.【详解】'2sin cos y x x=-+当x π=时,2sin cos 1k ππ=-+=-所以在点(),2π-处的切线方程,由点斜式可得()21y x π+=-⨯- 化简可得20x y π+-+=故选:D练基础3．（2021·全国高三其他模拟（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（ ）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=C ．10ex y e ---=D ．20x y --=【答案】D 【解析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】因为12sin()2x y ex π-=-，所以1cos()2x y e x ππ-'=-，当1x =时，1y '=，所以曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线的斜率1k =，所以所求切线方程为11y x +=-，即20x y --=.故选：D4．（2021·山西高三三模（理））已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ）A ．(0,2)B ．(1,0)C ．(1,1)a +D ．(,1)e 【答案】A 【解析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2)故选：A5．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线()xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ）A ．0B ．πC ．2-D ．3【答案】D 【解析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果.【详解】()x f x ae '= ，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.6.（2021·重庆高三其他模拟）曲线()ln f x ax x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a 的方程，解方程可得所求值．【详解】解：()f x ax xlnx =-的导数为()1f x a lnx '=--，可得在点()()1,1f 处的切线的斜率为()11k f a '==-，由切线与直线0x y +=垂直，可得11a -=，解得2a =，故选：D ．7．（2021·重庆八中高三其他模拟）已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足ln a fx x =-，若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线斜率为2，则()1f =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】C 【解析】先由换元法求出()f x 的解析式，然后求导，利用导数的几何意义先求出a 的值，然后可得出()1f 的值.【详解】设t =，则()22ln t f t t a =-，()22at tf t '=-．由()2212a f =-='，解得0a =，从而()10f a =-=，故选: C ．8．（2018·全国高考真题（理））设函数f (x )=x 3+(a ―1)x 2+ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点(0 ， 0)处的切线方程为( )A ．y =―2xB ．y =―xC ．y =2xD ．y =x 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a =1，进而得到f (x )的解析式，再对f (x )求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数f (x )是奇函数，所以a ―1=0，解得a =1，所以f (x )=x 3+x ，f′(x )=3x 2+1，所以f′(0)=1,f (0)=0，所以曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ―f (0)=f′(0)x ，化简可得y =x ，故选D.9.（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线2xy x =-在点()3,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a 等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B 【解析】利用导数求出曲线 2xy x =-在点()3,3处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a 的值.【详解】对函数2x y x =-求导得()()222222x x y x x --'==---，由已知条件可得32x a y ='-==-，所以，2a =.故选：B.10．（2020·河北高三其他模拟（文））已知曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为2，则a =___________.【答案】1【解析】求导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程即可求解.【详解】解：()xax e f x x =+的导数为()()1xf x a x e =++'，可得曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为12a +=，解得1a =.故答案为：1.1．（2021·浙江金华市·高三三模）已知点P在曲线y =θ为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范围.【详解】因为y =='，由于124xxe e ++≥，所以[y ∈'，根据导数的几何意义可知：tan [θ∈,所以2[,)3πθπ∈，故选：D.练提升2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数()2xf x ae x =+的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是()22y e x b =++，那么ab =（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D 【解析】根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.【详解】因为()2xf x ae x =+，所以()2x f x ae x '=+，因此切线方程的斜率(1)2k f ae '==+，所以有222ae e +=+，得2a =，又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)e b ++，将切点代入()f x 中，有(1)2122f e e b =+=++，得1b =-，所以2ab =-.故选：D.3．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是（ ）A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,0C ．(),1π-D ．()1,π-【答案】C 【解析】利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可.【详解】'cos cos sin 2cos sin y x x x x x x x =+-=-,22x y ππ==-',又 当2x π=时，1y =，所以切线的方程为122y x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,对于A,当2x π=时，1y =，故点,12π⎛⎫⎪⎝⎭在切线上；对于B,当2x =时，2921π11 3.2502244y πππππ⎛⎫=--+=-++>-++=-> ⎪⎝⎭，故点()2,0在切线下方；对于C,当x π=时，2π91111,2512244y πππ⎛⎫=--+=-+<-+=-<- ⎪⎝⎭，故点(),1π-在切线上方；对于D,当x =1时，211122242y ππππππ⎛⎫=--+=-++>->- ⎪⎝⎭,故点()1,π-在切线下方.故选：C.4．（2021·甘肃高三二模（理））已知函数()ln f x x x =，()2g x x ax =+()a ∈R ，若经过点()0,1A -存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则a =（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-1或3【答案】D 【解析】先求得过()0,1A -且于()f x 相切的切线方程，然后与()()2g x x ax a =+∈R 联立，由0∆=求解.【详解】设直线l 与()ln f x x x =相切的切点为(),ln m m m ，由()ln f x x x =的导数为()1ln f x x '=+，可得切线的斜率为1ln m +，则切线的方程为()()ln 1ln y m m m x m -=+-，将()0,1A -代入切线的方程可得()()1ln 1ln 0m m m m --=+-，解得1m =，则切线l 的方程为1y x =-，联立21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩，可得()2110x a x +-+=，由()2140a ∆=--=，解得1a =-或3，故选：D .5．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】由已知可知曲线2ln 1y x x =--在点P 处的切线与直线3y x =-平行，利用导数求出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线3y x =-平行时，点P 到直线的3y x =-的距离最小，因为直线3y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数12y x x'=-，令1y '=，可得1x =或12x =-（舍去），所以在曲线2ln 1y x x =--与直线3y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,0，所以点P 到直线3y x =-的最小距离为d .故选：C.6．（2021·安徽省舒城中学高三三模（理））若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（ ）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A 【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，求出函数的导函数，根据0()2f x '=求出切点坐标与切线方程，设函数()21x m g x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，根据1()2g x '=，得到211244m x x =-+，再由1112211x mx x --=-，即可求出1x ，从而得解；【详解】解：设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =， 所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A7．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y ＝2x 与函数f （x ）＝﹣2lnx +xe x +m 的图象相切，则m ＝_________.【答案】2ln 4-+【解析】设出切点()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，根据切线方程的几何意义，得到()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，解方程组即可.【详解】因为()2ln xf x x xe m =-++，所以()()21x f x x e x-'=++设切点为()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，所以切线的斜率为()()000021x k f x x e x -'==++又因为切线方程为y ＝2x ，因此()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，由()000212x x e x -++=，得()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为010x +≠，所以02x ex =，又00ln 2ln x x =-，所以()000022ln 2ln 2ln x x m x x -+⋅+=-，得2ln 4m =-+.故答案为：2ln 4-+.8．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y ＝x 2+1与y ＝a ln x +1存在公切线，则正实数a 的取值范围是_________．【答案】（0，2e ]【解析】设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，然后分别求出切线方程，对应系数相等，可以得到122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，然后转化为﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，，然后参变分离得到a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，进而构造函数求值域即可.【详解】解：设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，对于y ＝x 2+1，y ′＝2x ，所以与曲线y ＝x 2+1相切的切线方程为：y ﹣（x 12+1）＝2x 1（x ﹣x 1），即y ＝2x 1x ﹣x 12+1，对于y ＝a ln x +1，y ′＝ax，所以与曲线y ＝a ln x +1相切的切线方程为y ﹣（a ln x 2+1）＝2a x （x ﹣x 2），即y ＝2ax x ﹣a +1+a ln x 2，所以122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，即有﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，由a ＞0，可得a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，记f (x )＝4x 2﹣4x 2ln x （x ＞0），f ′(x )＝8x ﹣4x ﹣8x ln x ＝4x （1﹣2ln x ），当x时，f ′(x )＞0，即f (x )在（0x时，f ′(x )＜0，即f (x )，+∞）上单调递减，所以f (x )max ＝f）＝2e ，又x →0时，f (x )→0，x →+∞时，f (x )→﹣∞，所以0＜a ≤2e ．故答案为：（0，2e ]．9．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：()12f x x x'=+，()0x >，与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x ==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1，此时点P 到直线34y x =-的距离为d 当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为d =>10．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）已知1P ，2P 是曲线:2|ln |C y x =上的两点，分别以1P ，2P 为切点作曲线C 的切线1l ，2l ，且12l l ⊥，切线1l 交y 轴于A 点，切线2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.【答案】44ln 2-【解析】由两切线垂直可知，1P ，2P 两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标111222(,),(,)P x y P x y ，表示出两条切线方程，根据两切线垂直，可得124x x =，又两切线分别与y 轴交于1(0,22ln )A x -，2(0,22ln )B x -+，则可求出44ln 2AB =-.【详解】曲线2ln ,01:2ln ,1x x C y x x -<<⎧=⎨≥⎩ ，则2,012,1x x y x x⎧-<<⎪⎪=⎨'⎪≥⎪⎩，设111222(,),(,)P x y P x y ，两切线斜率分别为1k ，2k ，由12l l ⊥得121k k =-，则不妨设1201,1x x <<³，111(,2ln )P x x \-，112k x =-，11112:2ln ()l y x x x x +=--，令0x =，得1(0,22ln )A x -222(,2ln )P x x ，222k x =，22222:2ln ()l y x x x x -=-，令0x =，得2(0,22ln )B x -+由121k k =-，即12221x x -×=-，得124x x =，则1242ln()44ln 2AB x x =-=-.故答案为：44ln 2-.1.（2021·全国高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a<B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<【答案】D【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；练真题解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tt y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.2.（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.3．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】43()2f x x x =-(1(1))f ，21y x =--21y x =-+23y x =-21y x =+()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-()121y x +=--21y x =-+设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =的导数为y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.4.（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.5．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．6．（2020·全国高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.e ()xf x x a =+(1)4e f '=()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++()241ae e a =+2210a a -+=1a =123()e x y x x =+(0,0)30x y -=/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++/0|3x k y ===23()e x y x x =+(0,0)3y x =30x y -=【答案】2y x=【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x =++'=+，00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.故答案为：2y x =.。
第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测
(0 +ℎ)−(0 −ℎ)
(, )，则 lim
ℎ
ℎ→0
）
A．′ 0
B．2′ 0
C．−2 ′ 0
D．0
【答案】B
0 +ℎ − 0 −ℎ
【解析】由题意知， lim
ℎ
ℎ→0
0 +ℎ − 0 −ℎ
ℎ→0 0 +ℎ − 0 −ℎ
= 2lim
故选：B
= 2′ 0 ．
变化率为（ ）
3
A．
300
cm/s
6π
3
B．
3
300
cm/s
5π
C．
150
cm/s
3π
3
D．
150
cm/s
2π
【答案】C
2
1
1
【解析】设注入溶液的时间为（单位：s）时，溶液的高为ℎcm，则 π ⋅ ℎ
3
5
因为ℎ′ =
1 3 150
，所以当
3 π 2
= π时，ℎ′ =
1 3 150
3
π3
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为
1
【解析】() = ′(1) −1 − (0) + 2 2 ⇒ ′() = ′(1) −1 − (0) +
令 = 1得： (0) = 1
() =
′(1) −1
−+
1 2
2
⇒ (0) = ′(1) −1 = 1 ⇔ ′(1) =
1
得：() = − + 2 2
则 ′ (0) = 1且(0) = 0，即切线的斜率为 = 1，切点坐标为(0,0)，
所以切线方程为 = ．
高考数学必做题--函数与导数 (后附参考答案与详解)
1 23 4 56 7 8 9 10 1112 13 14 15 1617 18 19 20 212223，且关于的方的取值范围是．24252627 28 29 30123，4．567解析式最值奇偶性二次函数二次函数的概念、图象和性质导数及其应用导数概念及其几何意义导数的运算数列数列的应用数列与不等式数列的概念数列的递推公式数列的前n项和89恒成立,则有即恒成立,，令,解得．得:,,或，时矛盾．函数的模型及其应用导数及其应用利用导数研究函数的单调性10如图点在的下方，∴得．再根据当与相切时，设切点坐标为，则，∴，此时，此时与有个交点，∴．故选．函数与导数函数分段函数图象函数与方程方程根的个数函数图象的交点11函数与导数函数单调性函数与方程函数的零点导数及其应用导数与零点导数与分类讨论导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式1213解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率14又图象可知交点为∴解得．∵，∴，由（）知，当时，在故要证原不等式成立，只需要证明：当时，令，则，∴在上为增函数，∴，即，∴，即．函数与导数函数与方程函数图象的交点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率直线的方程15对应的点坐标的最高点为最低点为，此两点也是函数的最高和最低点，由此可知．同理可得时，取得最大值．依理，当时，取得最小值，即．16在上至少有三个零点可化为少有三个交点，在上单调递减，则，解得：．函数与导数函数奇偶性二次函数二次函数的概念、图象和性质对数函数对数函数的概念、图象及其性质函数与方程方程根的个数函数的零点B. C.，关于的不等式只有两个整数解，则实数17C函数的定义域为，则，当得，即即，即，由得，得即，即，即当时，函数取得极大值，同时也是最大值即当时，有一个整数解当时，有无数个整数解，若，则得若，则由得或当时，不等式由无数个整数解，不满足条件．当时，由得当时，没有整数解，则要使当有两个整数解，∵，，∴当时，函数有两个整数点，∴要使有两个整数解，则，即．故选．函数与导数二次函数二次型函数导数及其应用导数与零点导数的运算利用导数研究函数的单调性18单调性19复合函数20易知共有个交点．函数与导数函数分段函数奇偶性周期性函数与方程函数图象的交点2122，则，恰好是正方形的面积，所以23，且关于的方的取值范围是．，如图所示，2425函数与导数导数及其应用导数与恒成立导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式不等式与线性规划解不等式分式不等式2627正弦函数的图象与性质282930。
【2021新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)
等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
三.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′(x)＝ex f′(x)＝axlna
f′(x)＝1 x
f′(x)＝ 1 xln a
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f（x） (3) g（x） ′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0).
[g（x）]2
四.复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′.
【举一反三】
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．㺀 ʒ산 ᙰ ʒ ʒ
B．㺀 ʒ산 ᙰ ʒ（其中 e 为自然对数的底数）
C．㺀ʒ ͳ ʒ 산 ᙰ ʒ ͳ ʒ 【答案】B
D．㺀
ʒ cosʒ
산
ᙰ
cosʒ ʒsinʒ cos ʒ
【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．
详解：㺀 ʒ산 ᙰ ʒln ，㺀 ʒ산 ᙰ 㺀 ʒ산 ᙰ
ᙰ
；②若
ʒ
ᙰ
ʒ，则
ᙰ
⚪㺀ʒ산 ᙰ ʒ，则 ⚪ 㺀 산 ᙰ ，其中正确的个数是________________．
ʒ；③若 ᙰ ʒ ，则 ᙰ
2021年高考数学函数与导数解析版
函数与导数【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的.对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧.【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值.函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.对于理科类导数类题目，对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在.含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：一 双变量常见解题思路：1双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；二含参不等式常见解题思路：1参数分离；2通过运算化简消参（化简或不等关系）；3将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参.那么两种结构的解题思路理顺了，那么我们来看这道题.这是含参的双变量问题，一般来说，含参双变量问题我们一般是不采用转化为构造新函数，我们最好就双变量化为单变量，这就是我们解这道题的一个非常重要的思路：① 寻找双变量之间的关系并确定范围，并且确定参数的取值范围；②化简和尝试消参；③双变量化为单变量.④证明函数恒成立（求导、求极值……）（经典题型2018年全国一卷理21题）【考查题型】选择题，填空，解答题21题【限时检测】一、单选题1．（2021·北京高三期末）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且(1)0f =，当(0,1)x ∈时，()2x f x x =+．设(5)a f =，1()3b f =，5()2c f =-，则,,a b c的大小关系为（ ） A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A 解：因为定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，且()00f =，又(0,1)x ∈，()2x f x x =+，因为2xy =与y x =在(0,1)x ∈上单调递增，所以()2x f x x =+在(0,1)x ∈上单调递增，根据奇函数的对称性可得()f x 在()1,1-上单调递增，所以()()(5)100a f f f ====，2152c f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1()3b f =因为11032>>-，所以()11032f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c >> 故选：A2．（2021·海南高三二模）设2364log 3log 6log log (28)m m ⋅⋅=+，则m =（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．-2或4【答案】B【分析】条件中的等式左边224ln3ln 6ln log log ln 2ln3ln 6mm m =⨯⨯==， 所以228m m =+， 解得4m =或2m =- (舍去). 故选：B3．（2021·全国高三专题练习（理））将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移π4个单位后得到函数()g x 的图象，()g x 的图象在π6x =处切线垂直于y 轴，且()ππ04g g ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则当ϕ取最小正数时，不等式()12g x ≥的解集是（ ）A ．()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()ππ,π3k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()2ππ,ππ3k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()ππ,π2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】C【分析】将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移π4个单位后，得到函数()()πsin 2cos 22g x x x ϕϕ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭的图象， ()g x 的图象在π6x =处切线垂直于y 轴，即()g x 的图象在π6x =处切线斜率为零， 由()()'2cos 2g x x ϕ=-+ 得ππ2sin 2066g ϕ⎛⎫⎛⎫'=-⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,3k k Z πϕπ+=∈ 若取ϕ=2π3，此时，()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．此时，()π1π0422g g ⎛⎫+=--<⎪⎝⎭，不满足条件．若取π3ϕ=-，()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()π1π0422g g ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭， 满足条件．则当ϕ取最小正数5π3时，不等式()5π1cos 232g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥，即5π1cos 232x ⎛⎫+⎪⎝⎭≥，故5π5π7π2π22π333k x k +≤+≤+，求得πππ3k x k ≤≤+． 由于函数()f x 的周期为π，故πππ3k x k ≤≤+，即2ππππ3k x k -≤≤-． 故不等式的解集为2ππππ,3x k x k k ⎧⎫-≤≤-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 故选：C ．4．（2021·浙江台州市·高三期末）已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是（ ）A．B． CD【答案】D【分析】由()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 得()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 即2cos 26x x m π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭， 令()2cos 26g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()4sin 216g x x π⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ≤+≤ ，则24sin 246x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以54sin 2136x π⎛⎫-≤+-≤- ⎪⎝⎭，即()0g x '<， 所以()g x 在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调递减函数，max ()(0)g x g ≤得m ≥，m故选：D.5．（2021·江苏常州市·高三期末）函数()x x f x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】 设())lng x x =，对任意的x ∈Rx x >≥-0x >，则函数()g x 的定义域为R ，())ln xxg x x-==)()lnx g x ==-=-，所以，函数())ln g xx =为奇函数，令())lng x x ==1x =1x =-，所以，10x -≥，可得1x ≤1x =-可得()2211x x +=-，解得0x=.所以，函数()x x f x -=的定义域为{}0x x ≠，()()()()2222x x x xf x f xg x g x --++-==-=--，所以，函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，)ln ln10x >=，220x x -+>，所以，()0f x >，排除C 选项.故选：A.6．（2021·北京高三期末）对于定义在R 上的函数()y f x =，若存在非零实数0x ，使函数()y f x =在0(,)x -∞和0,)x +∞（上均有零点，则称0x 为函数()y f x =的一个“折点”.下列四个函数存在“折点”的是（ ） A ．1()32x f x -=+B ．()lg(2021)x f x =+C ．3()13x f x x =--D ．2()21f x x mx =--【答案】D【分析】因为1()322x f x -=+>恒成立，所以函数()f x 不存在零点，所以函数()f x 不存在折点，故A 错误；因为20212021x +≥，所以函数()lg(2021)x f x =+不存在零点，即不存在折点，故B 错误；对函数3()13x f x x =--，2()1(1)(1)f x x x x '=-=+-，()0f x '>时，1x <-或1x >；()0f x '<时，11x -<<，所以函数3()13x f x x =--在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又1(1)03f -=-<，所以函数3()13x f x x =--只有一个零点，所以函数不存在折点，故C 错误；对于函数()222()211f x x mx x m m =--=+--，由于2()11f m m -=--≤-，结合图像可知该函数一定有折点，故D 正确；故选：D.7．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））若函数31()ln 3f x x a x =-在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(,4]-∞C ．(,8)-∞D ．(8],-∞【答案】D【分析】因为31()ln 3f x x a x =-，所以2()a f x x x'=-； 又因为31()ln 3f x x a x =-在(2,)+∞上单调递增， 所以20ax x-≥在(2,)+∞上恒成立， 即3a x ≤在(2,)+∞上恒成立，只需要()min3a x≤，(2,)x ∈+∞因为3y x =在(2,)+∞单调递增，所以3328y x =>=，所以8a ≤. 故选：D ．8．（2021·宁夏固原市·高三期末（理））已知定义在0,上的函数()f x ，fx 是()f x 的导函数，满足()()0xf x f x '-<，且()2f ＝2，则()0x x f e e ->的解集是（ ） A ．()20,eB ．()ln2+∞,C ．()ln2-∞,D ．()2e +∞,【答案】C【分析】因为2()()()0f x xf x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x x 在区间0,上单调递减不等式()0xxf ee->可化为()(2)2x xf e f e >，即2xe <，解得ln 2x <故选：C9．（2021·北京顺义区·高三期末）已知函数()13xaxf x x+=-.若存在()0,1x ∈-∞-，使得()00f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()130xax f x x +=-=，可得13x a x =-，令()13x g x x=-，其中(),1x ∈-∞-，由于存在()0,1x ∈-∞-，使得()00f x =，则实数a 的取值范围即为函数()g x 在(),1-∞-上的值域.由于函数3xy =、1y x=-在区间(),1-∞-上为增函数，所以函数()g x 在(),1-∞-上为增函数.当(),1x ∈-∞-时，()1143313xg x x -=-<+=，又()130x g x x=->， 所以，函数()g x 在(),1-∞-上的值域为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.因此，实数a 的取值范围是40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.10．（2020·烟台市福山区教育局高三期中）已知函数()3ln ,393x f x x x <≤=⎨<≤⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．1,32⎫⎪⎪⎣⎭B ．ln 311,932e ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭C．1ln 31,,3923e ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎢⎪⎢⎪⎣⎭⎣⎭D．ln 3110,9332e ⎫⎛⎫⎧⎫⋃⋃⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎣⎭【答案】D【分析】函数()()g x f x ax =-有两个不同的零点等价于方程()f x a x=有两个不同的根，3,()ln3,39,x x f x x x x x<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，令()u x =，∴''()u x == ''()012,()023,u x x u x x >⇒<<<⇒<< ∴()u x 在(1,2)递增，在(2,3)递减，∴1(1)0,(2),(3)23u u u ===∴()(0,]3u x ∈，且 令lnln33()33x xv x x x ==⨯，39x <≤，令3xt =，则1ln ()3t y v x t ==，13t <≤，'211ln 3t y t-=⋅，当'0y t e =⇒=，'01y t e >⇒<<，'03y e t <⇒<<，∴y 在(1,)e 递增，在(,3)e 递减，且1ln 3(1)0,(),(3)39y y e y e === ∴1()(0,]3v x e∈， 所以直线y a =与3,()ln3,39,x f x x x x x<≤⎪=⎨⎪<≤⎪⎩有两个交点， 可得a的取值范围为：ln 3110,9332e ⎫⎛⎫⎧⎫⋃⋃⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎣⎭. 故选：D.11．（2020·吉林长春市实验中学高三期中（理））已知函数()()ln 1xf x ex =-，1,2x ⎡⎤∈+∞⎢⎥⎣⎦若存在[]2,1a ∈-，使得21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,+∞C ．2,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】'1()ln 1xf x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x=+-，则'22111()x g x x x x -=-=，故当112x <<时，)'(0g x <，()g x 单调递减，当1x >时，'()0,()g x g x >单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，'()0f x ≥，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.设()()222314h a a a e a e =+--=+--，则()h a 在[]2,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，()max ()1h a h e ==-，存在[]2,1a ∈-，使21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，等价于()121f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭.1211122m m ⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤.故选：D.12．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x -'=+-(e 是自然对数的底数)，且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[),0e - B ．)2,0e ⎡-⎣C ．(],0e -D ．(2,0e ⎤-⎦【答案】C【分析】()()23xx f x f x e+'=-即()()23xe f x f x x '+=+⎡⎤⎣⎦， 所以()23xe f x x '⎡⎤=+⎣⎦，则()23x e f x x x c =++，所以()23xx x c f x e ++=，因为()01f =，所以()001cf c e===，所以()231xx x f x e ++=，()()()()()()2222331221x x xxx x e e x x x x x x f x e e e+-++-+--+-'===，由()0f x '>得21x -<<，此时()f x 单调递增， 由()0f x '<得2x <-或1x >，此时()f x 单调递减， 所以1x =时，()f x 取得极大值为()51f e=， 当2x =-时，()f x 取得极小值()220f e -=-<，又因为()10f e -=-<，()010f =>，()330f e -=>，且1x >时，()0f x >，()0f x m -<的解集中恰有两个整数等价于()231xx x f x e++=在y m=下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得： 则()10f m -<≤，解得0e m -<≤，所以0e m -<≤时，()0f x m -<的解集中恰有两个整数1,2--， 故实数m 的取值范围是(],0e - 故选：C13．（2020·全国高三专题练习（理））定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，当[)0,x ∈+∞时，()2sin cos 0x x f x '⋅->且x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=.则下列说法一定正确的是（ ）A ．15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】令()()2sin F x x f x =-，x R ∀∈，()()cos21f x f x x -++=，所以，()()()()()()()222sinsin 2sin F x F x x f x x f x x f x f x -+=---+-=--+⎡⎤⎣⎦()1cos21cos20x x =---=，()()F x F x ∴-=-，所以，函数()F x 为R 上的奇函数， ()()sin 2F x x f x =-''，当[)0,x ∈+∞时，()2sin cos 0x x f x '⋅->，即()sin 2x f x >'，()0F x '∴>， 所以，()()2sin F x x f x =-在[)0,+∞上单调递增，由奇函数的性质可知，函数()F x 在(],0-∞上单调递增， 所以，函数()F x 在R 上单调递增.对于A 选项，5263ππ-<-，则5263F F ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即15324643f f ππ⎛⎫⎛⎫--<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项错误；对于B 选项，5463ππ->-，5463F F ππ⎛⎫⎛⎫∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即15344643f f ππ⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确； 对于C 选项，334ππ<，334F F ππ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3134324f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，343ππ-<，343F F ππ⎛⎫⎛⎫∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1332443f f ππ⎛⎫⎛⎫--<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误. 故选：B.14．（2021·江苏省新海高级中学高三期末）已知函数2()31f x x x =---，()e g 2x exx ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A．1 BC ．D【答案】A 【分析】()()()()'22222222214222xx x x x x x e e ex e ex eex e e e x e e x g x e e x ex exex +⋅-+⋅⋅-⋅⋅--====⋅， 所以当01x <<时，()()'0,g x g x <递减；当1x >时，()()'0,g x g x >递增. 所以在区间()0,∞+上，()g x 的最小值为()112e eg e+==. ()23524f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，故()f x 在32x =-时取得最大值54.画出()()0f x x <和()()0g x x >图象如下图所示， 令()1f x =，解得2x =-或1x =-.依题意，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，由图可知，n m -的最大值为()121---=. 故选：A二、填空题15．（2020·罗山县楠杆高级中学高三月考（文））已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 2f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是__________．【答案】10x y ++=【分析】令0x >，则0x -<，因为当0x <时，()()ln 2f x x x =-+，所以()ln 2-=-f x x x ，又()f x 为偶函数，所以()()ln 2=-=-f x f x x x ， 所以当0x >时，()ln 2f x x x =-，所以12f ，又()12f x x'=-，所以()11f '=-， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()21y x +=--，即10x y ++=. 故答案为：10x y ++=16．（2020·海口市第四中学高三期中）已知k 为常数，函数2,0()1ln ,0x x f x x x x +⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的函数()()2g x f x kx =--有4个零点，则实数k 的取值范围为________. 【答案】310,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】因为函数()()2g x f x kx =--有4个零点， 所以()y f x =与2y kx =+有4个不同的交点，在同一坐标系中作出()y f x =与2y kx =+的图象，如图所示：当0x ≤时，311y x =+-单调递减， 与2y kx =+有一个交点，则0k >； 所以当0x >时，有3个交点，求出2y kx =+与|ln |y x =相切时的k 值， 当1x >时，设切点为()00,ln x x ，所以1y x'=，则01k x =，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又因为点()0,2在切线上，所以则()00012ln 0x x x -=-， 解得30x e =，所以31k e =， 由图像知()()2g x f x kx =--有4个零点，则310k e <<， 故答案为： 310,e ⎛⎫⎪⎝⎭17．（2021·北京高三期末）已知函数()4,0,0x x e x f x e x x+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是______. 【答案】24,0e ⎡⎤-⎣⎦【分析】因为()()12f x f x =，所以2124x e x e x +=，所以2124x e x e x =-， 因为10x ≤，所以224x e e x ≤， 当0x >时，()x e f x x =，22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==， 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，所以()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得最小值e ，所以224x e e e x ≤≤， 所以()12x f x 22224x x e e e x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222224x x e e e x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令22x e t x =，则4e t e ≤≤，所以()12x f x 24t et =-()2224t e e =--，所以当2t e =时，12()x f x 取得最小值24e -，当4t e =时，12()x f x 取得最大值0， 所以12()x f x 的取值范围是24,0e ⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：24,0e ⎡⎤-⎣⎦18．（2021·江西新余市·高三期末（理））已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______.【答案】(,]e -∞∵()(ln )xe f x k x x x =+-，∴22(1)1(1)()()(1)x x x e x e kx f x k x x x'---=+-= ∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点，0x x e k ∴-=在(0,)x ∈+∞上无解，或有唯一解x =1，①当x =1为其唯一解时，k =e ，令()(0)xh x e ex x =->，()xh x e e '=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，即h (x )的单调递减区间为(0,1)，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 的单调递增区间为(1,)+∞，∴()h x 在x =1处，取得极小值，∴k =e 时，x =1是f (x )的唯一极值点；②当xe k x =在(0,)x ∈+∞上无解，设()x e g x x=则2(1)()x e x g x x '-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，即g (x )的单调递减区间为(0,1)，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 的单调递增区间为(1,)+∞，∴()g x 在x =1处，取得极小值，也是其最小值，min ()(1)g x g e ==，又k xe x=在(0,)x ∈+∞上无解，e k ∴<，综上k e ≤故答案为：(,]e -∞.19．（2020·湖北高三月考）若10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，关于x 不等式32ln 0ax ax e x +≤恒成立，则实数a 的最大值是______. 【答案】2e【分析】当0a ≤，10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，x 不等式32ln 0ax ax e x +≤显然恒成立. 当0a ≥时，32ln 0ax ax e x +≤ 32ln ax ax e x ∴≤-.由于10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22ln ax x axe x --∴≤，即22l ln n ax ax x e e x --∴≤.所以原不等式32ln 0ax ax e x +≤恒成立，等价于22ln ln ax ax e x x e --≤恒成立. 构造函数()ln f x x x =，()'1ln f x x =+.易知()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.则原不等式等价于要证2(())ax f f x e -≤.因为22(,)x e -∈+∞，要使实数a 的最大，则应2ax e x -≤.即2ln x a x -≤. 记函数2ln 1()(0)x g x x x e -=<<，则22(1ln )'()x g x x --=.易知10x e <<，22(1ln )'()0x g x x--=<.故函数()g x 在1(0,)e 上单调递减，所以1()()2g x g e e<=. 因此只需2a e ≤.综上所述，实数a 的最大值是2e . 故答案为：2e三、解答题20．（2021·浙江台州市·高三期末）已知a ，b R ∈，函数()2f x axe b =+，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =-.（Ⅰ）求a ，b 的值及()f x 的最小值；（Ⅱ）设函数()ln g x x x =，若对于任意的()0,x ∈+∞，()()21f x g mx +≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1a =，1b =-；()min 11f x e=--；（Ⅱ）(]0,2e . 【分析】（Ⅰ）()e xf x a x b =⋅+，()0f b =，()()1xf x a x e '=+，()0f a '=， 故切线方程为1y ax b x =+=-，得1a =，1b =-；()1x f x xe ∴=-，()()1x f x x e '∴=+，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以，()()min 111f x f e=-=--； （Ⅱ）()()21f x g mx +≥即()22ln xx emx mx ⋅≥⋅，因为0,0x m >>,即22ln ln 0x e x m m--≥对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，设()22ln ln xh x e x m m=--，0x >，0m >， ()241x h x e m x'=-， 因为2xy e =和1y x=-在()0,x ∈+∞时为单调增函数 则函数()h x '在()0,∞+上单调递增，当0x →时，()0h x '<，当x →+∞时，()0h x '>，则存在()00x ∈+∞,，使得()0200410x h x e m x -'==， 当()00,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 故()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()02000min 021ln ln ln ln 02x h x h x e x m x m m x ∴==--=--≥； 由020410x e m x -=，得0204x m x e =， ()0000122ln 2ln 202h x x x x ∴=---≥， 因为122y x x=-和2ln y x =-在()0,x ∈+∞上单调递减， 所以函数()0000122ln 2ln 22h x x x x =---，在()00x ∈+∞,上单调递减，且102h ⎛⎫=⎪⎝⎭，故010,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 因为4y x =和2xy e =在()0,x ∈+∞上单调递增.所以函数0204x m x e=在010,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，02m e ∴<≤，因此，实数m 的取值范围是(]0,2e .21．（2020·北京高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【分析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 22．（2021·北京顺义区·高三期末）已知函数2()ln (0)f x x a x a =->.（1）若2a =，求曲线()y f x =的斜率等于3的切线方程；（2）若()y f x =在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）322ln 20x y ---=；（2）2(2,)e e ．【分析】由已知函数()f x 定义域是(0,)+∞，（1）2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x'+-=-=，由2()23f x x x'=-=解得2x =（12x =-舍去），又()422ln 2f =-，所以切线方程为(42ln 2)3(2)y x --=-，即322ln 20x y ---=；（2）222()2x x a x a f x x x x x⎛-+ -⎝⎭⎝⎭'=-==，易知()f x()f x有两个零点，则1e e<<，即2222a e e<<，此时在1e ⎛ ⎝上()0f x '<，()f x递减，在e ⎫⎪⎪⎭上()0f x '>，()f x 递增， ()f x在x =2a f a =-所以22111ln 0()ln 002f a e ee f e e a e a f a ⎧⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭⎪=->⎨⎪⎪=-<⎪⎩，解得22e a e <<．综上a 的范围是2(2,)e e ．23．（2020·天津高考真题）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【分析】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x=-+-， 整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t tt t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 24．（2020·全国高考真题（理））设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）34b =-；（2）证明见解析 【分析】（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭则34b =-； （2）由（1）可得33()4f x x x c =-+， '2311()33()()422f x x x x =-=+-，令'()0f x >，得12x >或12x <-；令'()0f x <，得1122x -<<， 所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+， 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <，即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0'x ， 即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点， 此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.25．（2020·全国高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-，由于()20x f x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----，记()32112x e x x g x x ---=-，()()231212xx e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21102x e x x h x x ---≥=，则()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=， 由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立， 故当()0,2x ∈时，0g x，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减； 因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若曲线处的切线平行于直线,则点的坐标是_______.【答案】（１,０)【解析】设P点的横坐标为，因为=，所以，解得=1，所以P(1,0).考点:导数的几何意义2.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，【解析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值；（2）由（1）的结果知于是可用导函数求的单调区间；试题解析：解：（1）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；（2）由（1）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.【考点】1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.3.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于A．B．C．2D．1【答案】C．【解析】对求导，得，由导数的几何意义，得所求切线的斜率，故选C．【考点】导数的几何意义．4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处有极值10，求b的值；(2)若对于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．【答案】（1）b＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．所以b＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．因为x≥0，所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，即b≥(－3x2＋8x)max对任意x∈[0,2]都成立，又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，所以当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥.所以b的最小值为.5.记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x)(b－a)成立，则称x为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数为________．【答案】2【解析】设函数f(x)的“中值点”为x0，则f′(x)＝＝＝1，即3x2－3＝1，解得x＝±＝±∈[－2,2]，故函数y＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数是2．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx．(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求的取值范围．【答案】（1）（2）(－∞，－2)∪[1，＋∞)【解析】(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有，即解得，∴f′(x)＝3x2－5x－2．由f′(x)＜0，得－＜x＜2．∴y＝f(x)的单调递减区间是．(2)由，得不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由，得∴Q点的坐标为(0，－1)．设z＝，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线的斜率．∵k＝1，由图可知z≥1或z＜－2，PQ即∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．7.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是，选B8.如图，是函数图像上一点，曲线在点处的切线交轴于点，轴，垂足为. 若的面积为，则与满足关系式（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，由导数的几何意义知点处的切线方程为．令，则，即．又的面积为，∴，即，∴，即，故选B．【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性．9.已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】，，切线方程，即【考点】导数切线10.已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）试讨论函数的单调性；（3）证明：对任意，都有成立。
2021版新高考数学：导数的概念及运算含答案
CD
(2)已知y＝f(x)是可导函数、如图、直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线、令g(x)＝xf(x)、g′(x)是g(x)的导函数、则g′(3)＝________．
(1)B(2)0[(1)由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知、函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小、故选B.
＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′
＝ ·(2x－1)′－ ·(2x＋1)′
＝ － ＝ .
考点2导数的几何意义
导数几何意义的应用类型及求解思路
(1)已知切点A(x0、f(x0))求斜率k、即求该点处的导数值：k＝f′(x0).
(2)若求过点P(x0、y0)的切线方程、可设切点为(x1、y1)、由 求解即可．
2．曲线y＝x3＋11在点P(1、12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()
A．－9B．－3
C．9D．15
C[因为y＝x3＋11、所以y′＝3x2、所以y′|x＝1＝3、所以曲线y＝x3＋11在点P(1、12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0、得y＝9.故选C.]
3．函数y＝f(x)的图象如图、则导函数f′(x)的大致图象为()
(2)解答题一般都是两问的题目、第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等、属于基础问题．第二问利用导数证明不等式、已知单调区间或极值求参数的取值范围、函数的零点等问题．
3．备考策略
(1)熟练掌握导数的运算公式、重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题．
ABCD
B[由导数的几何意义可知、f′(x)为常数、且f′(x)＜0.]
4．[一题两空]在高台跳水运动中、ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10、则运动员的速度v＝______m/s、加速度a＝_______m/s2.
高考考点 考点七 导数的概念、几何意义及定积分 含答案
考点7 导数的概念、几何意义及定积分两年高考真题演练1．(2021·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．2．(2021·新课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．3．(2021·新课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．4．(2021·湖南)⎠⎛02(x －1)d x ＝________． 5．(2021·山东)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．6．(2021·山东)执行下边的程序框图，输出的T 的值为________.7．(2021·广东)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．8．(2021·广东)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．9．(2021·安徽)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x10．(2021·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．1．(2021·陕西西安模拟)曲线f(x)＝x 3＋x －2在p 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则p 0点的坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，8)C ．(1，0)和(－1，－4)D ．(2，8)和(－1，－4)2．(2021·四川雅安模拟)曲线f(x)＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 3．(2021·山东潍坊模拟)已知f(x)＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x)为f(x)的导函数，f ′(x)的图象是( )4．(2021·河南洛阳模拟)曲线y ＝1x (x>0)在点P(x 0，y 0)处的切线为l.若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的周长的最小值为( )A ．4＋2 2B ．2 2C ．2D ．5＋275．(2021·黑龙江绥化模拟)已知函数f(x)＝x n ＋1(x ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为( )A ．－1B ．1－log 2 0132 012C ．－log 2 0132 012D ．16．(2021·山东日照模拟)定积分⎠⎛04π(16－x 2)d x 等于( ) A.128π3 B ．52π C.64π3 D.8π37．(2021·江西新余模拟)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329 B ．2－ln 3C ．4＋ln 3D ．4－ln 38．(2021·广东模拟)设球的半径为时间t 的函数r(t)，若球的体积以均匀速度12增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________．9．(2021·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝⎩⎨⎧lg x （x>0），x ＋⎠⎛0a 3t 2d t （x ≤0），若f(f(1))＝1，则a ＝________．10．(2021·山东日照模拟)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围成的图形的面积是________．11．(2021·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝ax 2＋x ＋ln x(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设a ＝0，求证：当x >0时，f (x )≤2x －1；(3)若函数y ＝f (x )恰有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求实数a 的取值范围．考点7 导数的概念、几何意义及定积分【两年高考真题演练】1．(1，1) [∵(e x)′⎪⎪x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′⎪⎪x ＝x 0＝－1x 20＝－1，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故P 的坐标为(1，1)．] 2．1 [f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)．将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1.]3．8 [由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.]4．0 [⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫12x 2－x 20＝12×22－2＝0.] 5.16 [曲线y ＝x 2与直线y ＝x所围成的封闭图形如图，由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1，1)，面积S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 2d x ＝12x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪10－13x 210＝12－13＝16.] 6.116 [当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋⎪⎪⎪12x 210＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋⎪⎪⎪13x 310＝32＋13＝116； 当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.]7．5x ＋y ＋2＝08．5x ＋y －3＝09．①③④10．(1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4.由题设知1－k ＞0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k ＞0，g (x )上单调递增，g (－1)＝k －1＜0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x ＞0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x ＞h (x )． h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )＞h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx－2只有一个交点．【一年模拟试题精练】1．C [设p 0(x 0，y 0)，则3x 20＋1＝4，所以x 20＝1，所以p 0点的坐标为(1，0)和(－1，－4)．故选C.]2．D [因为f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2，所以f ′(0)＝－2，故在x ＝0处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，故选D.]3．A [因为f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<0，故选A.] 4．A5．A [f ′(x )＝(n ＋1)x n ，f (1)＝1，∴P (1，1)，k ＝f ′(1)＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)与x 轴相交，∴x n ＝n n ＋1， ∴log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 013(x 1x 2…x 2 012)＝log 2 013⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×2 0122 013＝log 2 01312 013＝－1.] 6．A [⎠⎛04π(16－x 2)d x ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫16x －13x 3|40＝64π－64π3＝128π3，故选A.] 7．D8．1 [设球的体积以均匀速度c 增长，由题意可知球的体积为V (t )＝43πR 3(t )，则c ＝4πR 2(t )R ′(t )，则c R （t ）R ′（t ）＝4πR (t )，则球的表面积的增长速度为V 表＝S ′(t )＝(4πR 2(t ))′＝8πR (t )R ′(t )＝2c R （t ） 即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为V 表·R (t )＝2c ＝1.]9．1 [由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x >0）x ＋⎠⎛0a 3t 2d t （x ≤0）＝⎩⎨⎧lg x （x >0），x ＋a 3（x ≤0），所以f (1)＝0，f (f (1))＝f (0)＝a 3＝1，所以a ＝1.] 10．2ln 2 [由定积分的几何意义，得围成的面积∫2121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪212＝ln 2－ln 12＝ln 4＝2ln 2.] 11．(1)解 当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x ＋ln x ，f ′(x )＝2x ＋1＋1x ， ∴f (1)＝2，f ′(1)＝4，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －2＝4(x －1) 即4x －y －2＝0.(2)证明 当a ＝0时，设g (x )＝f (x )－(2x －1)＝ln x －x ＋1(x >0)，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.因此，函数g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上是单调递减得g (x )≤g max (x )＝g (1)＝0，即f (x )≤2x －1.(3)解 由f (x )＝ax 2＋x ＋ln x (x >0)得f ′(x )＝2ax ＋1＋1x ＝2ax 2＋x ＋1x. 当a ≥0时f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是单调递增， 因此函数f (x )至多只有一个零点，不符合题意．当a <0时，由2ax 2＋x ＋1＝0得x 3＝－1－1－8a 4a>0， 因此，f (x )在(0，x 3)上是单调递增，在(x 3，＋∞)上是单调递减， 所以f max (x )＝f (x 3)．一方面，当x 从右边趋近于0时，f (x )→－∞；当x →＋∞时，f (x )＝ax 2＋x ＋ln x ≤ax 2＋x ＋x －1＝ax 2＋2x －1(a <0)，因此，f (x )→－∞，另一方面，由f ′(x 3)＝0得2ax 23＋x 3＋1＝0，即ax 23＝－x 3＋12， 因此，f (x 3)＝ax 23＋x 3＋ln x 3＝－x 3＋12＋x 3＋ln x 3＝x 3－1＋2ln x 32， 很明显f (x 3)在(0，＋∞)上是单调递增且f (1)＝0，根据题意得f (x 3)>0＝f (1)，∴x 3>1即方程2ax 2＋x ＋1＝0有且只有一个大于1的正实数根． 设h (x )＝2ax 2＋x ＋1，由a <0且h (0)＝1>0，得h (1)>0解得a >－1，所以，实数a 的取值范围是(－1，0)．。
文科数学高考真题分类汇编 导数的计算与导数的几何意义答案
l1
的方程分别为
y
−
ln
x1
=
1 x1
(
x
−
x1
)
，
切线 l2 的方程为 y + ln x 2 = −
1 x2
(x
−
x2
)
，即
y
−
ln
x1
=
−
x1
x
−
1
x1
．
分别令 x = 0得 A(0 , −1+ ln x1) , B (0 ,1+ ln x1) . 又 l1 与 l2 的交点为
P( 2 x1 1 + x1x f ( x) )在 R 上单调递增，∴ f (x) = 2−x 具有 M 性质．对于选项 B， f (x) = x2 ，
ex f ( x) = exx2 ，[ex f (x)] = ex (x2 + 2x) ，令 ex( x 2 + 2 x) 0 ，得 x 0 或 x −2 ；
,
ln
x1
+
1 1
− +
x12 x12
) ．∵
x1
1，
∴ S PAB
=
1 2
|
y
A
−
yB
|
|
xP
|=
2 x1 1+ x12
1 + x12 1+ x12
=1，∴ 0 SPAB
1 ，故选 A．
5．B【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[ − 1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函
数值在[− 1,0]递增，即原函数在[− 1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，
2021年高考数学高分秘籍导数及其应用含解析202103241127
导数及其应用1．已知曲线y=lnx 的切线过原点，则此切线的斜率为（ ）A ．eB ．﹣eC ．1eD ．﹣1e【答案】C【解答】解：设切点坐标为（a ，lna ）， ∵y=lnx ，∴y′=1x ， 切线的斜率是1a ，切线的方程为y ﹣lna=1a （x ﹣a ）， 将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e ， ∴切线的斜率是1a =1e ； 故选：C ．求曲线y ＝f (x )的切线方程的类型及方法（1）已知切点P (x 0, y 0)，求y ＝f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k ，求y ＝f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y ＝f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k ＝f ′(x 0)求出切点坐标(x 0, y 0)，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．2．y=12x 2﹣lnx 的单调递减区间为（ ） A ．[﹣1，1] B ．（0，1）C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）【答案】B【解答】解：函数的定义域为x ＞0,y′=x ﹣1x ， 令x ﹣1x ＜0，由于x ＞0，从而得0＜x ＜1，∴函数y=12x 2﹣㏑x 的单调递减区间是（0，1）． 故选：B ．函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a ,b )内：①如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; ②如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; ③如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．3．函数321()3f x ax x a =-+在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．1a >B ．1aC ．2a >D ．2a 【答案】D【解答】解：对()f x 求导：2()2f x ax x '=-；函数321()3f x ax x a =-+在[1，2]上单调递增，即导函数()f x '在[1，2]上恒有()0f x '；()f x '为一元二次函数，其对称轴为：1x a=，由选项可知0a >，开口朝上， 故()f x '在[1，2]上为单调递增函数；故只需满足：(1)011f a '⎧⎪⎨⎪⎩，解得：2a ；或(2)012f a'⎧⎪⎨⎪⎩无解，故选：D ．由函数f (x )的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4．设函数()ln mf x x x=+，m ∈R . （1）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （2）若()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求m 的取值范围. 【解析】（1）当e m =时，e ()ln f x x x =+，则2e()x f x x-='（0x >）， 当(0,e)x ∈，()0f x '<，()f x 在(0,e)上单调递减； 当(e,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增， 故当e x =时，()f x 取得极小值，为e(e)lne 2ef =+=， ∴()f x 的极小值为2.（2）因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以2()0x mf x x='-≥在(0,)+∞上恒成立， 即m x ≤对于(0,)x ∀∈+∞恒成立，则0m ≤， 故m 的取值范围是(,0]-∞.函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数f (x )极值的方法①确定函数f (x )的定义域． ②求导函数f ′(x )． ③求方程f ′(x )＝0的根．④检查f ′(x )在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果f ′(x )在这个根的左右两侧符号不变，则f (x )在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f ′(x )，求方程f ′(x )＝0的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的值或取值范围.5．函数331f x ax x =-+（）对于x ∈[﹣1，1]总有f （x ）≥0成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2，+∞）B ．[4，+∞）C ．{4}D ．[2，4]【答案】C【解答】解：①当x=0时，f （x ）=1≥0，对于a ∈R 皆成立．②当0＜x ≤1时，若总有f （x ）≥0，则331ax x -+≥0，∴a ≥3x 2−1x 3， 令g （x ）=3x 2−1x 3，g′（x ）=−6x 3+3x 4=−6(x−12)x 4，令g′（x ）=0，解得x=12．当0＜x ＜12时，g′（x ）＞0；当12＜x ≤1时，g′（x ）＜0． ∴g （x ）在x=12时取得最大值，g （12）=4，∴a ≥4．③当﹣1≤x ＜0时，若总有f （x ）=0，则331ax x -+≥0，∴a ≤3x 2−1x 3． 令h （x ）=3x 2−1x 3，则h′（x ）=−6(x−12)x 4≥0，∴h （x ）在[﹣1，0）上单调递增，∴当x=﹣1时，h （x ）取得最小值，h （﹣1）=4，∴a ≤4．由①②③可知：若函数f （x ）=331ax x -+对于x ∈[﹣1，1]总有f （x ）≥0成立，则a 必须满足{a ∈Ra ≥4a ≤4，解得a=4．∴a 的取值范围为{4}． 故选：C ．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.6．曲线4y x=与直线5y x =-围成的平面图形的面积为( ) A ．152 B ．154 C ．15424ln - D ．15822ln -6.【答案】D【解答】解：如图：联立45y x y x⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 解得，两曲线的交点坐标为(1,4)，(4,1)，所以两曲线围成的图形的面积为42144115(5)(54)|82122S x dx x x lnx ln x =--=--=-⎰． 故选：D ．7.由曲线2y x =和直线0x =，1x =，2y t =，(0,1)t ∈所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为( )A ．14 B ．13C ．12 D ．237.【答案】A【解答】解：根据题意，可得122220()()ttS t x dx x t dx=-+-⎰⎰23321011()|()|33t tt x x x t x =-+- 32333221141()()33333t t t t t t =+---=-+记3241()33F t t t =-+，可得2()422(21)F t t t t t '=-=-当1(0,)2x ∈时，()0F t '<，当1(2x ∈，1)时，()0F t '>()F t ∴在1(0,)2上为减函数；在1(2，1)上为增函数因此，()F t 的最小值为141111()238434F =-+=，即围成的图形面积的最小值为14故选：A ．利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略（1）利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．（3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.1．设()f x '为定义在*R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x x'->恒成立，则( ) A ．3f （4）4f >（3） B ．3f （4）4f <（3）C ．3f （3）4f >（4）D ．3f （3）4f <（4） 【答案】A【解答】解：()()0f x f x x '->，即()()0xf x f x x'-> 设()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x'-'=， 当0x >时，()0g x '>恒成立， 即()g x 在(0,)+∞上单调递增，g ∴（4）g >（3）∴(4)(3)43f f > 3f ∴（4）4f >（3），故选：A ．利用导数研究函数综合问题的一般步骤（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点． （2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导．（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论． （4）利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论． （5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性．2．函数321()3f x x x =-在[1，3]上的最小值为( )A ．2-B ．0C ．23-D ．43- 【解答】解：函数321()3f x x x =-在[1，3]上所以2()2(2)f x x x x x '=-=-，所以2()2(2)0f x x x x x '=-=-=时，0x =（舍去），或2x =， 当(1,2)x ∈时，()0f x '<，函数321()3f x x x =-在(1,2)上单调递减，当(2,3)x ∈时，()0f x '>，函数321()3f x x x =-在(2,3)上单调递增，所以函数的极小值为：f （2）84433=-=-；f （1）12133=-=-，f （3）0=，所以：函数321()3f x x x =-在[1，3]上的最小值为f （2）84433=-=-；故选：D ． .求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在[a ,b ]内有极值，先求出函数f (x )在[a ,b ]上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.3．定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1,且2f′(x)<1,当x ∈[0,2π]时,不等式f(2cosx)<2cos 2x2−12的解集为 A ．(−π6,π6)B ．(−π3,π3)C ．[0,π6)∪(5π6,2π] D ．[0,π3)∪(5π3,2π]【答案】D【解析】由题意得f(2cosx)<2cos 2x2−12=cosx +12, 令t =2cosx ,则f (t )<t2+12，构造函数g (t )=f (t )−t2−12,则g (1)=f (1)−12−12=0,g′(t )=f′(t )−12， 因为2f′(x)<1,所以g′(t )=f′(t )−12<0,即函数g (t )单减，不等式转化为g (t )=f (t )−t2−12<0=g (1),所以t =2cosx >1,得cosx >12, 而x ∈[0,2π],求得x ∈[0,π3)∪(5π3,2π].即不等式f(2cosx)<2cos 2x2−12的解集为[0,π3)∪(5π3,2π]. 选D ．4．已知函数 f （x ）=2x ﹣alnx （a ∈R ），g （x ）=e xx ．（I ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）当a=2时，证明：g （x ）＞f （x ）．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x ）=2﹣a x =2x−ax，当a ≤0时，f′（x ）＞0恒成立，即f （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当a ＞0，则当0＜x ＜a2时，f′（x ）＜0，当x ＞a2时，f′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，a2）上为减函数，在（a2，+∞）上为增函数， 综上可得，当a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上是增函数，当a ＞0时，f （x ）在（0，a2）上为减函数，在（a2，+∞）上为增函数， 证明（Ⅱ）a=2时，令h （x ）=g （x ）﹣f （x ）=e xx ﹣2x+2lnx ，x ＞0，∴h′（x ）=xe x −e x x 2﹣2+2x =e x (x−1)−2x(x−1)x 2=(e x −2x)(x−1)x 2，令m （x ）=e x ﹣2x ，（x ＞0），得m′（x ）=e x ﹣2，当0＜x＜ln2时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，当x＞ln2时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，∴m（x）≥m（ln2）=2﹣2ln2＞0，∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴当x=1时，h（x）的取最小值h（1）=e﹣2＞0，∴当a=2时，g（x）＞f（x）．5．已知函数f(x)=ax−be x，且函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为a−1.(1)求b的值，并求函数f(x)的最值；(2)当a∈[1,1+e]时，求证：f(x)≤x.【解析】(1)由题得，f′(x)=a−b e x，根据题意，得f′(0)=a−b=a−1，∴b=1，∴f′(x)=a−e x.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减，f(x)没有最值；当a>0时，令f′(x)<0，得x>lna，令f′(x)>0，得x<lna，∴f(x)在(−∞,lna)上单调递增，在(lna,+∞)上单调递减，∴f(x)在x=lna处取得唯一的极大值，即为最大值，且f(x)max=f(lna)=alna−a.综上所述，当a≤0时，f(x)没有最值；当a>0时，f(x)的最大值为alna−a，无最小值.(2)要证f(x)≤x，即证(a−1)x≤e x，令F(x)=e x−(a−1)x，当a=1时，F(x)=e x>0，∴(a−1)x≤e x成立；当1<a≤1+e时，F′(x)=e x−(a−1)=e x−e ln(a−1)，当x<ln(a−1)时，F′(x)<0；当x>ln(a−1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(−∞,ln(a−1))上单调递减，在(ln(a−1),+∞)上单调递增，∴F(x)≥F(ln(a−1))=e ln(a−1)−(a−1)ln(a−1)=(a−1)[1−ln(a−1)].∵1<a≤1+e，∴a−1>0，1−ln(a−1)≥1−ln[(1+e)−1]=0，∴F(x)≥0，即()1e xa x -≤成立， 故原不等式成立.用导数证明不等式的方法（1）利用单调性：若f (x )在[a ,b ]上是增函数，则①∀x ∈[a ,b ]，则f (a )≤f (x )≤f (b )，②对∀x 1，x 2∈[a ,b ]，且x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2).对于减函数有类似结论.（2）利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值M (或最小值m )，则对∀x ∈D ，则f (x )≤M (或f (x )≥m ).（3）证明f (x )<g (x )，可构造函数F (x )=f (x )-g (x )，证明F (x )<0.6．已知函数()sin f x x =和()g x =的定义域都是[π-，]π，则它们的图象围成的区域面积是( )A ．πB ．22π C ．32π D ．3π 【答案】C【解答】解：()g x =的图象为圆心为O 半径为π的圆的上半部分，sin y x =是奇函数，()f x ∴在[π-，0]上与x 轴围成的面积与在[0，]π上与x 轴围成面积相同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积32122S πππ==， 故选：C ．作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法是解决本题的关键1．已知函数3()(2)x f x x x e =-，则0(1)(1)limx f x f x→+-的值为( ) A ．e - B ．1 C ．e D ．0 2．函数()(1)x f x a xlna a =->的单调递减区间为( )A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞3．若函数32()231f x mx x x =+--存在单调递增区间，则实数m 的值可以为A ．23-B ．C ．D ．4．已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为( )A ．(0,1)和(4,)+∞ B ．(0,2) C ．(,0)-∞和(1,4) D ．(0,3)5．已知函数()y f x =的导函数为()f x '，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且f （1）e =，则不等式()f lnx x >的解集为( ) A ．(,)e +∞ B ．(1,)+∞C ．(0,)eD ．(0,1) 6．设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x ='的图象的一部分如图所示，则正确的是( )A ．()f x 的极大值为f ，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为f （3）D ．()f x 的极大值为f （3），极小值为(3)f -7．设a R ∈，若函数y x alnx =+在区间1(e ，)e 有极值点，则a 取值范围为( )A ．1(e ，)eB ．1(,)e e --C ．(-∞，1)(e e ⋃，)+∞ D ．(-∞，1)(e e --⋃，)+∞8．函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣bx+a 2在x=1处有极值10，则点（a ，b ）为（ ）A ．（3，﹣3）B ．（﹣4，11）C ．（3，﹣3）或（﹣4，11）D ．不存在9．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知实数a ，b 满足0≤a ≤1，0≤b ≤1，则函数f （x ）=x 3﹣ax 2+bx+1存在极值的概率为（）A ．19B ．13C ．25D ．8911．已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(3)((1)f f '-=' )A ．1-B ．2C ．5-D ．3- 12．已知函数()f x x xlnx =+，且对于任意2x >，总有函数()f x 的图象在函数(2)y k x =-图象的上方，则当k N ∈时，k 的最大值为() A ．3B ．4C ．2D ．5 13．设()f x '为定义在*R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x x '->恒成立，则( ) A ．3f （4）4f >（3） B ．3f （4）4f <（3）C ．3f （3）4f >（4）D ．3f （3）4f <（4）14．若42()6f x ax bx =++满足f '（1）2=，则(1)f '-= A ．4- B ．4 C ．2- D ．215．若函数321()(1)253f x x f x x '=-++，则f '（2）=16．已知函数32()17(f x ax bx cx a =++-，b ，)c R ∈的导函数为()f x '，()0f x '的解集为{|23}x x -，若()f x 的极小值等于98-，则a 的值是__________．17．若函数f(x)=ln (e x +1)+ax 为偶函数，则e11d x x x a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰__________． 18．函数2()74ln f x x x x =--的最小值为___________.19．若函数2()f x lnx x x=++在区间[t ，2]t +上是单调函数，则t 的取值范围是___________. 20．若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，1]上的最大值与最小值的和为．21．已知函数3()3f x x x =-的图象与直线y a =有三个不同的交点,则a 的取值范围是___________. 22．若函数()sin()(06f x A x A πω=->，0)ω>的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为23．已知定义在R 上的函数()f x 满足15(()2)22x x f f x -+=，()f x '为函数()f x 的导函数，且()y f x '=无零点，则11(())d f x x x -+=⎰___________.24．已知函数f （x ）=2x 3﹣3（m +1）x 2+6mx ，m ∈R ．（Ⅰ）若m=2，写出函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若对于任意的x ∈[﹣1，1]，都有f （x ）＜4，求m 的取值范围．25．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+++，a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数2())f x x ax -．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为23-，求a ．27．已知函数f(x)＝x －1＋xa e (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点，求k 的最大值．28．已知函数f(x)＝aln x －bx 2.(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值；(2)当b ＝0时，若不等式f(x)≥m ＋x 对所有的3a 0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，x ∈2(1,]e 都成立，求实数m 的取值范围．1.【答案】D【解答】解：3()(2)x f x x x e =-，32()(322)x f x x x x e ∴'=+--，∴0(1)(1)lim (1)x f x f f x→+-='(1322)0e =+--=， 故选：D ．2.【答案】D【解答】解：函数()(1)x f x a xlna a =->()(1)x x f x a lna lna a lna '=-=-；令()0f x '=，得：0x =当1a >时，0lna >，若0x <，则(1)0x a -<，所以有()0f x '<若0x >，则(1)0x a ->，所以有()0f x '>综上可知，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，故选：D ．3.【答案】D【解答】解：函数32()231f x mx x x =+--，所以2()343f x mx x '=+-，当0m <时导函数是开口向下的抛物线，要使()f x '在R 上存在子区间使()0f x '>，只需△16360m =+>，解得409m >>-， 当0m 时，导函数存在满足()0f x '>的x 的区间，所以m 的取值范围是4(9-，)+∞．因为49>-，所以D 正确；故选：D ． 4.【答案】A【解答】解：结合图象：(0,1)x ∈和(4,)x ∈+∞时，()()0f x f x '-<，而()()()x f x f x g x e ''-=，故()g x 在(0,1)，(4,)+∞递减，故选：A ． 5.【答案】A【解答】解：令t lnx =，则()()t f lnx x f t e >⇔>，令()()x f x g x e =，则()()()0xf x f xg x e '-'=>， 因为：满足x R ∀∈，()()f x f x '>,()g x ∴在R 上单调递增，∴()()1()t tf t f t eg t g e >⇔>⇔>（1）11t lnx x e ⇔>⇔>⇔>， 故选：A ．6.【答案】D【解答】解：观察图象知，3x <-时，()0y x f x ='>，()0f x ∴'<．30x -<<时，()0y x f x ='<，()0f x ∴'>．由此知极小值为(3)f -．03x <<时，()0y x f x ='>，()0f x ∴'>．3x >时，()0y x f x ='<，()0f x ∴'<． 由此知极大值为f （3）．故选：D ．7.【答案】B【解答】解：函数()y f x x alnx ==+在区间1(e ，)e 有极值点0y ⇔'=在区间1(e ，)e 有零点．()1ax af x x x +'=+=．(0)x >．∴1()()0f f e e ''<，∴1()()0a e a e ++<，解得1e a e -<<-．a ∴取值范围为1(,)e e --．故选：B ．8.【答案】B【解答】解：对函数f （x ）求导得 f′（x ）=3x 2﹣2ax ﹣b ，又∵在x=1时f （x ）有极值10，∴{f′(1)=3−2a −b =0f(1)=1−a −b +a 2=10，解得{a =−4b =11或{a =3b =−3，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选：B ．9.【答案】B【解答】解：由f （x ）的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减，即有导数小于0，可排除C ，D ；再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f （x ）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A ；则B 正确．故选：B ．10.【答案】A【解答】解：对f （x ）=x 3﹣ax 2+bx+1求导数可得f′（x ）=3x 2﹣2ax+b ，由函数有极值可得△=4a 2﹣12b ＞0，即b ＜13a 2， ∴满足0≤a ≤1，0≤b ≤1的点（a ，b ）的区域为边长为1正方形，∴满足0≤a ≤1，0≤b ≤1且b ＜13a 2的点（a ，b ）的区域为正方形内曲线b=a 2下方的部分， 由定积分可得S=∫1013a 2da =19a 3|01=19，而正方形的面积为1， ∴所求概率为P=19，故选：A ．11.【答案】C【解答】解：由三次函数的图象可知，2x =函数的极大值，1x =-是极小值，即2，1-是()0f x '=的两个根，32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c ∴'=++，由2()320f x ax bx c '=++=，得22(1)13b a -+-==，1223c a-⨯==-，即6c a =-，23b a =-， 即22()323363(2)(1)f x ax bx c ax ax a a x x '=++=--=-+， 则(3)3(32)(31)5(2)5(1)3(12)(11)2f a f a '----+-⨯-===-'-+-， 故选：C ．12.【答案】B【解答】解：函数()f x x xlnx =+，且对于任意2x >，总有函数()f x 的图象在函数(2)y k x =-图象的上方，()f x x xlnx =+，所以(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立， 即2x xlnx k x +<-对任意2x >恒成立． 令()2x xlnx g x x +=-，224()(2)x lnx g x x --'=-， 令()24(2)h x x lnx x =-->，则22()10x h x x x-'=-=>，所以函数()h x 在(2,)+∞上单调递增． 因为h （8）4620ln =-<，h （9）5430ln =->，所以方程()0h x =在(2,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足0(8,9)x ∈．当02x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，所以函数()g x 在0(2,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增． 所以000000004(1)2[()](0)222min x x x x lnx x g x g x x x -++====--． 0(8,9)x ∈，09422x ∴<<所以019[()](4,)22min k g x x <=∈． 故整数k 的最大值是4．故选：B ．13.【答案】A 【解答】解：()()0f x f x x '->，即()()0xf x f x x'-> 设()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x'-'=，当0x >时，()0g x '>恒成立，即()g x 在(0,)+∞上单调递增， g ∴（4）g >（3），∴(4)(3)43f f >，3f ∴（4）4f >（3）， 故选：A ．14.【答案】C【解答】解：42()6f x ax bx =++，3()42f x ax bx ∴'=+此函数是一个奇函数，又f '（1）2=，故(1)2f '-=-故选：C ．15.【答案】2 【解答】解：由321()(1)253f x x f x x '=-++，得2()2f x x f '=-'（1）2x +． 取1x =得：f '（1）212f =-'（1）2+，所以f '（1）1=．则2()22f x x x '=-+，所以f '（2）222222=-⨯+= 16.【答案】2【解答】解：依题意得2()320f x ax bx c '=++的解集是[2-，3]， 于是有30a >，2233b a -+=-，233c a -⨯=，解得32a b =-，18c a =-， 函数()f x 在3x =处取得极小值，∴有f （3）27931798a b c =++-=-， 2a ∴=17．【答案】e 2【解析】∵f (x )=ln (e x +1)+ax 为偶函数，∴f (1)=f (−1)，ln (e +1)+a =ln (1e+1)−a ，解得a =−12， 则∫(1x −xa )e 1dx =∫(1x+2x)dx e 1=(lnx +x 2)|1e=e 2.18．【答案】8ln212--【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，4(4)(21)()27x x f x x x x-+=--='， 令()0f x '=，解得4x =或12x =-（舍去）， 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(4,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为2(4)4744ln48ln212f =-⨯-=--．19.【答案】[1，)+∞【解答】解：由2()f x lnx x x =++，得222122()1x x f x x x x +-'=+-=，由函数2()f x lnx x x=++在区间[t ，2]t +上是单调函数，得2()2g x x x =+-在[t ，2]t +上恒大于等于0或恒小于等于0． 则2020t t t >⎧⎨+-⎩，①或22020(2)220t t t t t >⎧⎪+-⎨⎪+++-⎩，② 解①得1t ；解②得t ∈∅． 综上，t 的取值范围是[1，)+∞ 20.【答案】-3【解答】解：函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点， ()2(3)f x x x a ∴'=-，(0,)x ∈+∞，①当0a 时，()2(3)0f x x x a '=->，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，(0)1f =， ()f x 在(0,)+∞上没有零点，舍去；②当0a >时，()2(3)0f x x x a '=->的解为3a x >，()f x ∴在(0,)3a 上递减，在(3a，)+∞递增， 又()f x 只有一个零点，3()10327a a f ∴=-+=，解得3a =，32()231f x x x =-+，()6(1)f x x x '=-，[1x ∈-，1]，()0f x '>的解集为(1,0)-，()f x 在(1,0)-上递增，在(0,1)上递减， (1)4f -=-，(0)1f =，f （1）0=， ()(1)4min f x f ∴=-=-，()(0)1max f x f ==，()f x ∴在[1-，1]上的最大值与最小值的和为：()()413max min f x f x +=-+=-21．【答案】()2,2-【解析】令2()330f x x -'==，得1x =±，可得极大值为(1)2f -=，极小值为(1)2f =-.()y f x =的大致图象如图所示，观察图象，得当22a -<<时恰有三个不同的交点.22.【答案】 【解答】解：依题意1A =，2()233T πππ=--=，2T π∴=，212πωπ==，()sin()6f x x π∴=-，故当6x π=时，()0f x =．∴阴影面积为6600(())sin()cos()|16660f x d x x dx x πππππ'-=--=-=⎰⎰23．【答案】2【解析】由()y f x '=无零点，知函数()f x 为单调函数，由15(()2)22x x f f x -+=知1()22xxf x -+为常数，设1()22x x f x t -+=，则可得1()22x x f x t =-+且5()2f t =152122t t t t ⇒-+=⇒=，故1()212x x f x =-+，则1111111111(())d (21)d (2)d |222x x x x f x x x x x x x x ----+=-++=-++=⎰⎰⎰. 24.【解答】解：（Ⅰ）若m=2，则f （x ）=2x 3﹣9x 2+12x ， ∵f ′（x ）=6x 2﹣18x+12=6（x 2﹣3x+2）=6（x ﹣1）（x ﹣2）， 令f ′（x ）＞0，则x ＜1或x ＞2，故函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）； （Ⅱ）f （x ）=2x 3﹣3（m+1）x 2+6mx ， f ′（x ）=6（x ﹣1）（x ﹣m ），①当m ≥1时，f （x ）在（﹣1，1）递增， f （x ）max =f （1）=3m ﹣1＜4，故m ＜53，∴1≤m ＜53；②当﹣1＜m ＜1时，f （x ）在（﹣1，m ）递增，在（m ，1）递减， f （x ）max =f （m ）=﹣m 3+3m 2＜4，即m 3﹣3m 2+4＞0，（m+1）（m ﹣2）2＞0恒成立，∴﹣1＜m ＜1； ③当m ＜﹣1时，f （x ）在（﹣1，1）递减， f （x ）max =f （﹣1）=﹣9m ﹣5＜4， 综上，m 的范围是﹣1＜m ＜53．25．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，212(2)1(21)(1)()22ax a x x ax f x ax a x x x+++++'=+++==，令()1g x ax =+，0x >，当0a ≥时，()0g x >，()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，1(0,)x a ∈-时，()0g x >，()0f x '>，则()f x 在1(0,)a-上单调递增；1(,)x a ∈-+∞时，()0g x <，()0f x '<，则()f x 在1(,)a-+∞上单调递减.综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减.（2）由（1）可知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)220f a =+>，不可能满足题意，舍去. 当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 若()0f x ≤恒成立，则max 111()()1ln()0f x f a a a=-=--+-≤，令1t a=-，则max ()()1ln 0f x f t t t ==-+≤， 解得01t <≤，即101a<-≤，故1a ≤-，综上，实数a 的取值范围是(,1]-∞-.26.【解答】解：（1）当1a =时，2())f x x x =-，则5322()(0)f x x x x '=->，令()0f x '=，则35x =，∴当305x <<时，()0f x '<；当35x >时，()0f x '>． ()f x ∴的单调递减区间为3(0,)5，单调递增区间为3(,)5+∞；（2）312253()(02)22f x x ax x '=-，令()0f x '=，则35a x =，当0a 时，()0f x '>，()f x ∴在[0，2]上单调递增，∴2()(0)03min f x f ==≠-，不符合条件；当1003a<时，3025a <，则当305a x <<时，()0f x '<；当325ax <<时，()0f x >， ()f x ∴在3(0,)5a 上单调递减，在3(,2)5a上单调递增，∴53223332()()()()5553min a a a f x f a ==-=-，53a ∴=，符合条件； 当103a >时，1023>，则当02x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,2)上单调递减，∴2()(2)2)3min f x f a ==-=-，a ∴=，不符合条件．()f x ∴在区间[0，2]的最小值为23-，a的值为53．27.解析：(1)由f(x)＝x －1＋x a e ，得f ′(x)＝1－xae . 又曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x)＝1－x a e， ①当a ≤0时，f ′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x)＝0，得e x＝a ，x ＝ln a.x ∈(－∞，ln a)，f ′(x)＜0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f(x)在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f(x)无极值；当a ＞0时，f(x)在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值 (3)当a ＝1时，f(x)＝x －1＋1x e .令g(x)＝f(x)－(kx －1)＝(1－k)x ＋1x e， 则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点， 等价于方程g(x)＝0在R 上没有实数解．假设k ＞1，此时g(0)＝1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝－1＋111k e -＜0.又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在性定理，可知g(x)＝0在R 上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1. 又k ＝1时，g(x)＝1x e＞0，知方程g(x)＝0在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1.28. 解析： (1)由题知，f (x )＝2ln x －12x 2，f ′(x )＝2x －x ＝2－x2x，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )＞0得1e ≤x ＜2；令f ′(x )＜0，得2＜x ≤e ，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，2上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，x ∈(1，e 2]都成立，则a ln x≥m ＋x 对所有的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，x ∈(1，e 2]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，x ∈(1，e 2]都成立，令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min .∵x ∈(1，e 2]，∴ln x ＞0，∴h (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上单调递增，∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2]都成立． ∵1＜x ≤e 2，∴－e 2≤－x ＜－1，∴m ≤(－x )min ＝－e 2. 即m 的取值范围为m ≤－e 2.。
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3年高考2年模拟 考点07 导数的运算及几何意义2、理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法则求简单的导数；导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填空题中也体现在大题大题的第一问中。
多数都是以送分题的形式出现。
在高考复习中要注意以下几点：1、解决在点处的切线问题要抓住两点：（1）切点即在曲线上也在曲线的切线上。
（2）切线l 的斜率2、求函数的导数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则，在求导的过程中，要仔细分析函数解析式的结构特点，紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形，正确求导。
3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线，挖掘切线的价值，在有些问题中，可利用切线求两个曲线上的点的之间距离或求参的范围。
1、【2020年全国1卷】.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =-D. 21y x =+2、【2020年全国3卷】.若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +123、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =5、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.6、(2019年江苏卷)..在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.7、【2020年山东卷】已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；8、【2020年天津卷】.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.10、【2020年北京卷】已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．11、【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．题型一 导数的几何意义1、（2010届北京西城区第4中学期中）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-2、（北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b 等于（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．123、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为y kx b =+，则实数b =______.4、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)x y ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________.5、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．6、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________..7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e xy =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 9、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数()2()()xf x x bx b e b =++∈R . （Ⅰ）若1b =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；10、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．题型二 函数图像的切线的综合问题1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32、（北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题）已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围为（） A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(1ln 2,)--+∞ C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞3、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点()00,x P x e处的切线与x轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数.若点()0,0B x ，PAB ∆的面积为3，则0x 的值是______.4、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知P 为指数函数()x f x e =图象上一点，Q 为直线1y x =-上一点，则线段PQ 长度的最小值是_______ 5、(2019苏锡常镇调研）已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ． 6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-.（1）求a ；（2）讨论函数)0(2)()(>-=x x x f x g ；)0(122)()(>+-=x x xx f x h 的单调性； （3）设521=a ，)(1n n a f a =+，求证：)2(0212251≥<-<-+n an nn答案解析三年高考真题1、【2020年全国1卷】.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.2、【2020年全国3卷】.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D.5、(2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4.【解析】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2411y x'=-=-，得2(2)x =舍，32y = 即切点2,32)Q ，则切点Q 到直线0x y +=22232411+=+，故答案为：4．6、(2019年江苏卷)..在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .7、【2020年山东卷】已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【解析】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; 8、【2020年天津卷】.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；【解析】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线． 10、【2020年北京卷】已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32.【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==.11、【2019年高考北京理数】已知函数32()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->；当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.二年模拟试题题型一 导数的几何意义1、（2010届北京西城区第4中学期中）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．2、（北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b 等于（ ）A ．14-B ．12-C ．14D ．12【答案】A【解析】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+ 直线l 与曲线2y x 相切，1'212y x x，切点为11(,)24 代入直线方程解得：14b =- 故选：A3、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为y kx b =+，则实数b =______. 【答案】1；【解析】因为()xy f x e x ==+，所以()1x f x e '=+，所以()01f =，()02f '=，故曲线在0x =处的切线过()0,1且斜率2k =，故切线方程为21y x =+ 所以1b = 故答案为：14、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________. 【答案】2-【解析】,((1)1)xxy y ax e ax a e '=+=++，011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2.5、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+6、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与曲线()2ln y x m =+相切，则m =__________. 【答案】22ln 2-【解析】函数()2ln y x m =+的导函数2y x m'=+， 设切点坐标00(,)x y ，则()0002ln 21x x m x m=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，解得：02ln 2,22ln 2x m ==-. 故答案为：22ln 2-.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .【答案】1【解析】函数f (x )=ax −ln x ,可得()1'f x a x=-,切线的斜率为：()'11k f a ==-，切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y −a =(a −1)(x −1)， l 在y 轴上的截距为：a +(a −1)(−1)=1. 故答案为1.8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e xy =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】①【解析】直线12y x b =+的斜率为k ＝12， 对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意；对于③xy e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意；故答案为：①9、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数()2()()xf x x bx b e b =++∈R . （Ⅰ）若1b =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； 【解析】（Ⅰ）解：2()(2)2xf x x b x b e '⎡⎤=+++⎣⎦， 当1b =时，(0)1f =，(0)2f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12y x -=，即21y x =+； 10、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()32112f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()1f x x =在处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）210x y -+=；（2）4927. 【解析】（1）当2a =时，321()212f x x x x =-++，2()32f x x x '=-+，所以(0)2f '=，又(0)1f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为12y x -=，即210x y -+=. （2）因为2()3f x x x a '=-+，因为函数()1f x x =在处有极小值，所以(1)202f a a '=+=⇒=-， 所以2()32f x x x '=-- 由()0f x '=，得23x =-或1x =， 当23x <-或1x >时，()0f x '>， 当213x -<<时，()0f x '<， 所以()f x 在22,3⎛⎫--⎪⎝⎭，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数， 因为249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最大值为249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 题型二 函数图像的切线的综合问题1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1 由题意可知：定点()1,1是曲线()325:03E y ax bx b =++≠的对称中心， 51313a b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线3215:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， f′（x ）=22x x - ，设切点M （x 0，y 0）， 则M 纵坐标y 0=32001533x x -+，又f′（x 0）=2002x x -， ∴切线的方程为：()()322000015y 233x x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭又直线过定点113⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()322000011521333x x x x x ⎛⎫∴--+=--- ⎪⎝⎭，得30x ﹣03x -2=0，()()300210xx x --+=，即()()2000120x x x +--=解得：021x =-或 故可做两条切线 故选C2、（北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考数学试题）已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围为（） A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(1ln 2,)--+∞ C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞【答案】A【解析】∵211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x => ∴()()11022f x x x '=+<，()()10g x x x'=>，函数()f x 在点()()11,A x f x 处的切线方程为：()2111111114222y x x a x x x ⎛⎫⎛⎫-++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()g x 在点()()22,B x f x 处的切线方程为：()2221ln y x x x x -=-， 两直线重合的充要条件是1211122x x +=①，2121ln 14x a x -+=-②， 由①及120x x <<得21102x <<，故22222211111ln 1ln 122a x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令21t x =，则102t <<，且21ln 12a t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 设()21ln 12h t t t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()()221112121t t t t h t t t t t+---'=--==， 当102t <<时，()0h t '<恒成立，即()h t 单调递减， ()11ln 22h t h ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，0x →时，()h t →+∞，即a 的取值范围为(1ln 2,)-++∞，故选A.3、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点()00,x P x e处的切线与x轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数.若点()0,0B x ，PAB ∆的面积为3，则0x 的值是______. 【答案】ln 6【解析】由题，e xy '=，∴切线斜率0x k e =，则切线方程为()000-=-x x y e e x x ，令0y =，解得01A x x =-，又PAB ∆的面积为3，01132x PAB S e ∆∴⨯⨯==，解得0ln 6x =. 故答案为：ln 64、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知P 为指数函数()xf x e =图象上一点，Q 为直线1y x =-上一点，则线段PQ 长度的最小值是_______【解析】设()f x 图象上斜率为1的切线的切点是00(,)P x y ，由()x f x e '=，00()1'==x f x e ，00x =，(0)1f =，即(0,1)P ．P 到直线1y x =-的距离是d ==．5、(2019苏锡常镇调研）已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ．【答案】..1 【解析】设)21,(2t t P ，因为x y ='，所以切线l 的斜率t k =，且0≠t ，则直线)(121:2t x tt y PQ --=-，即12112++-=t x t y令⎪⎩⎪⎨⎧=++-=22211211x y t x t y ，消y 得：02232=--+t t x tx ，设),(11y x Q ，则t t x 21-=+，即t t x 21--=，又因为点Q 在曲线C 上，所以2222112221)2(2121t t t t x y ++=--==，故)2221,2(22tt t t Q ++--因为OQ OP ⊥，所以0=⋅，即0)2221(21)2(222=++⨯+--⨯tt t t t t ，化简得44=t ，则22=t ，所以点P 的纵坐标为.16、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数()()2(,)1xf x ae x a Rg x x =--∈=.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a >时，若曲线()1:1C y f x x =++与曲线()2:C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值;【解析】(1)()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()'0f x <恒成立，()f x 在()-∞+∞，上单调递减， 当0a >时，由()'0f x =，解得x lna =-，由于0a >时，导函数()1xf x ae '=-单调递增，故 ()x lna ∈-∞-，，()()0,f x f x '<单调递减， ()()(),,0,x lna f x f x '∈-+∞>单调递增. 综上，当0a ≤时()f x 在()-∞+∞，上单调递减; 当0a >时， ()f x 在()lna -∞-，上单调递减，在,()lna -+∞上单调递增. . (2)曲线11:x C y ae =与曲线222:C y x =存在唯一公切线，设该公切线与12,C C 分别切于点()()12122,,,xx ae x x ，显然12x x ≠.由于12','2xy ae y x ==，所以11222122x x ae x ae x x x -==-，1222212222222x x x x ae x x x -=-=- ， 2122222x x x x ∴-=由于0a >，故20x >，且21220x x =-> 因此11x >，此时()111214(2 1)1x x x x a x e e -==>， 设()()1 4()1xx F x x e =>-问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个公共点， 又()4(2 )xx F x e-'=，令()'0F x =，解得2x =， 则()F x 在()1,2上单调递增，(2,)+∞上单调递减， 而()()242,10F F e ==，当x →+∞时，()0F x → 所以()F x 的值域为240,e ⎛⎤⎥⎝⎦.故24a e=. 7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-.（1）求a ；【解析】（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a'=+.因此2(1)2f a'=+.又因为(1)ln(2)f a =+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为2ln(2)(1)2y a x a -+=-+， 即22ln(2)22y x a a a=++-++. 由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+.3年高考2年模拟21 显然1a =，适合上式. 令2()ln(2)2a a a ϕ=+-+(0)a >， 求导得212()02(2)a a a ϕ'=+>++， 因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.。