2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案
2015年全国高中数学联赛试题及解答(一试、加试)
2
2
f (2) 4 2a b 4 ．
2. 若实数 满足 cos tan ，则 1 cos4 的值为
．
sin
答案：2．
解：由条件知， cos2 sin ，反复利用此结论，并注意到 cos2 sin2 1 ，得
1 cos4 cos2 sin2 sin2
sin
解：由条件知，点 F1 、 F2 的坐标分别为 (1, 0) 和 (1, 0) ．
设直线 l 的方程为 y kx m ，点 A 、 B 的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2 ) ，则 x1, x2 满 足方程 x2 (kx m)2 1，即
2
(2k 2 1)x2 4kmx (2m2 2) 0 ．
(t
)
(2
t)
(1)
(t
1)
t
2
t
1
tHale Waihona Puke 1 223 4
3 4
．
当 t 1 时， PA PQ 3 ．
2
min 4
5. 在正方体中随机取 3 条棱，它们两两异面的概率为
．
答案： 2 ． 55
解：设正方体为 ABCD EFGH ，它共有 12 条棱，从中任意取出 3 条棱的方法共有
C132 220 种．
2015 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次．
2015年福建省高中数学竞赛暨数学联赛福建赛区预赛
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷(考试时间：2015年5月24日上午9: 00— 11: 30,满分160分)、填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上)1设集合A = {x l3>® }，从集合A 中随机抽取一个元素变量的数学期望E 二 _____________________2. 已知f(x) = x • g(x)，其中g(x)是定义在R 上，最小正周期为2的函数。
若f (x)在区间 2,4上的最大值为1,则f (x)在区间10 ,12上的最大值为 _____________________________ 。
2 23. F 1、F 2为椭圆C :笃•与"(a b 0 )的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使a b得PR _ PF 2，则椭圆离心率e 的取值范围为 _____________ 。
【答案】I —，〔2丿【解答】设A 为椭圆C 的上顶点，依题意有.F 1AF 2 - 90cF 2AO _45，1。
b4. ________________________________________________________________________ 已知实数x ， y ， z 满足x 2 2y 2 3z^ 24，则x 2y 3z 的最小值为 ________________________________5.已知函数 f(x)=x 2cos‘ ，数列｛ a * ｝中，a n = f( n) + f( n+1)( N )，则数列｛ a * ｝2的前100项之和S.00二 ______________6. 如图，在四面体 ABCD 中，DA =DB =DC =2，DA _ DB ，DA _ DC ，且 DA 与平面 ABC 所成角的余弦值为 —。
则该四面体外接球半径R = ________________________________ 。
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考标准答案
２015年福建省高中数学竞赛暨２０15年全国高中数学联赛(福建省赛区）预赛试卷（考试时间:2０15年５月２4日上午9:0０-11：3０，满分16０分）一、填空题(共10小题,每小题6分，满分6０分。
请直接将答案写在题中的横线上）1.设集合403x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，,从集合A 中随机抽取一个元素x ,记2x ξ=,则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。
2．已知()()f x x g x =+,其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。
若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。
3.1F 、2F 为椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点,若椭圆C 上存在一点P ,使得12PF PF ⊥,则椭圆离心率e 的取值范围为 。
4.已知实数x ,y ,z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。
5.已知函数2()cos 2xf x x π=,数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++(*n N ∈），则数列{}n a 的前１0０项之和100S = 。
6．如图,在四面体ABCD 中,2DA DB DC ===,DA DB ⊥，DA DC ⊥,且DA 与平面ABC 所成角的余弦值为63R = 。
７.在复平面内,复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。
若122z z ==120OZ OZ ⋅=，1231z z z +-=,则3z 的取值范围是 。
８.已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x (12x x <），则a 的取值范围为 。
９．已知2()2x f x m x nx =⋅++,若{}{}()0(())0x f x x f f x φ===≠,则m n +的取值范围为 。
全国高中数学联赛福建赛区
李毅
福州一中
陈德燕
许恭瀚
泉州五中
赵清木
三
等
奖
（67名）
三
等
奖
（67名）
陈楷民
厦门双十中学
王成焱
翁智荣
莆田一中
吴天然
彭钦一
龙岩一中
方秦金
陈雨薇
泉州五中
杨苍洲
叶智恺
福州一中
丘远青
叶韫盛
福建师大附中
连信榕
许晓毅
安溪一中
陈荣海
苏楠淇
厦门双十中学
赵祥枝
陈明豪
长乐一中
刘宇璋
黄一帆
泉州十一中
柳明全
卢皓川
福州一中
苏文新
郑文俊
福州一中
宋梅玉
傅坤隆
泉州七中
赖艳红
蔡崇泽
晋江养正中学
周彩瑛
陈炳森
漳州一中
冯真丽
丁嘉靖
泉州五中
李晖
黄垚开
永定一中
李辉
包迪
福州三中
耿熹
连庭
泉州五中
苏建民
郑思鹏
福州一中
宋梅玉
陈轶伦
厦门一中
李寅童
留永信
晋江季延中学
陈煌图
黄泽龙
厦门一中
张帆
洪世鑫
南安一中
梁淮森
江旭
厦门外国语学校
周志伟
陈晓灿
永春一中
2012年全国高中数学联赛福建赛区
获奖学生及指导教师名单
奖次
姓名
所在学校
指导教师
一
等
奖
（41名）
李君诚
龙岩一中
方秦金
陈景林
2015年全国高中数学联合竞赛的通知 (1)
关于组织我省中学生参加2015年全国高中数学联合竞赛的通知各设区市教研室、数学会根据中国数学会高中数学联赛组织委员会通知以及江西省教育厅基教处学科竞赛立项文件，我会继续承办2015年高中数学联赛组织工作。
现将2015年我省高中数学联赛有关事项通知如下：一、竞赛日期和考点设置1．预赛日期定于2015年6月14日，考试时间8：30-11：00。
以地（市）为单位，集中设置考点；由省里统一命题、制卷。
2．决赛日期定于2015年9月13日（星期日），分二试进行；一试：北京时间8：00-9：20；加试：北京时间9：40-12：10。
二、参赛对象和报名在校高中学生（历届生不能参赛），坚持自愿原则。
预赛：5月25日前各校将参赛名单报各设区市，并由各设区市安排考场，6月1日前各设区市将预赛人数报省竞赛组委会黄根发处，6月10日-13日派专人来领取试卷，7月30日前将决赛名单及试卷一并报黄根发处。
三、命题要求1．预赛按全国联赛一试要求命题，8个填空题（每题7分），4道综合大题（其中增加的一道为平面几何试题，分值为14,15,15,20分）全卷满分120分。
2．“决赛一试”命题范围以现行高中数学教学大纲为准，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。
试卷包括8道填空题（每题8分）和3道解答题（分别为16分，20分，20分），全卷满分120分。
3．“决赛加试”命题范围与中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。
试卷包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。
前2题每题40分，后2题每题50分，全卷满分180分。
四、查卷为提高阅卷的质量，保证考试的公平公正性。
决赛成绩公布后，考生认为得分有误差，可在规定的时间内通过学校向各设区市提出查卷申请，由设区市竞赛负责人统一查卷（概不接待考生个人的查卷）并转告查卷结果。
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案
2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷及参考答案2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2015年5月24日上午9：00—11: 30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）*JC +4I1 .设集合^ = J x∖—≤0,x∈Z ,从集合』中随机抽取一个元素，记W,则随机x-3 J '变量J的数学期望^ _____________________ 。
2 •已知∕fχ）= χ4g（jc）,其中g（x）是定义在R上，最小正周期为2的函数。
若/衣）在区间上的最大值为1 ,则幷）在区间［10,12）上的最大值为___________________ OJ L Z3 . ! ■、为椭圆：［∙I （—7 ）的左、右焦点，若椭圆「上存在一点/ ,使a b得门一宀；，则椭圆离心率J的取值范围为_______________ O4 •已知实数X, y, Z满足^ .,贝U - 2；- - 的最小值为_________________ o5•已知函数,数列-；•中，, ∙ n（―「「），则数列的前100项之和；O6 •如图，在四面体中二」，占畳1；L ］, "― L山—L∙L ,且川与平面二L所成角的余弦值为"。
则该四面体外接球半径H ______________________________________ O37•在复平面内，复数召、4、百的对应点分别为Z］、&&、。
若I=ISiM,OZ1［OZ^=0, I石4勺-® I二1,则I I的取值范围是 ________________________ o 8•已知函数恰有两个极值点［,［（H.）,则'.L的取值范围为__________________ O9•已知.;■!<- T ,若卜」Q —j — b I「「11 - + ij ,则：'■■；■ λ 的取值范围为_____________________ O亠兀2兀n兀 1 4兀 a ,亠10.若Sin Sin -∙ Sin tan ,则正整数lr:的最小值为。
。2015福建高一数学预赛题及答案(WORD)
第 15 题 图
∴
AF
CD 。
AC CP
……………… 4 分
∵ CF AB ， D 为 BC 中点，
∴
FD
1 BC DC
DB ， DFB
2
DBF 。
∴ AF FD 。于是， FA CA 。
AC CP
FD CP
又∵ AFD 180 DFB 180 ∴ △ AFD ∽△ ACP 。
ABC ACP 。 ……………… 8 分
f ( 1) g( 1) 1 1 3 。由 f (x) 为奇函数， g ( x) 为偶函数，得 f (1) g (1) 3 。… ②
2
2
2
① ②，得 2 f (1) 3 3 ， f (1) 3 。
2
4
8 ． 已 知 直 线 l ： x By 1 0 的 倾 斜 角 为
为
。
， 若 45
120，则 B 的取值范围
∴ f ( x) 的最小值是 f ( 3) 与 f (3) 中较小者。 ∵ f ( 3) 2 3 ， f (3) 6 。 ∴ f ( x) 的最小值是 6 。
11．已知函数 y a2x 5a x 4 （ a 0 ，且 a 1 ）在区间 1，1 上的最小值为
y a2x 5a x 4 在区间 【答案】 10
4
2
24
a 1 时， t
1 ，a ， y
(t
52 )
41 在 1 ，a 上为增函数。
a
24 a
5 ，则
4
4
∴
ymin
1 (
5 )2
41
a2 4
5 ，a
2 。 ymax
(2
5)2
41 10 。
全国高中数学联合竞赛福建省预赛试题
2013福建省高中数学竞赛２014年福建省高中数学竞赛暨20１4年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案（考试时间：２014年5月17日上午９:00-11：30,满分160分)一、填空题(共1０小题，每小题6分,满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）１.已知直线1l :260ax y ++=,2l :2(1)10x a y a +-+-=,若12l l ⊥，则a = 。
【答案】 23【解答】12212(1)03l l a a a ⊥⇔⨯++-=⇔=。
2.函数23()3sin sin cos 2f x x x x =+-(122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，)的值域为 。
【答案】 112x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 【解答】1cos 21313()3sin 2sin 2cos 2sin(2)222223x f x x x x x π-=⨯+-=-=-。
由122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知，22633x πππ-≤-≤，1sin(2)123x π-≤-≤。
3．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥,BC CD ⊥,DA AB ⊥，60CDA ∠=︒。
则三棱锥D ABC -的体积为 。
【答案】 43【解答】如图,作DE ABC ⊥面于E ，连EA 、EC 、ED 。
∵ BC CD ⊥，DA AB ⊥，∴ EC CB ⊥，EA AB ⊥，四边形EABC 为矩形。
由AB BC =知,四边形EABC 为正方形,且DA DC =。
又60CDA ∠=︒，因此,DAC △为正三角形，DA AC =。
∴2222EA ED EA EC +=+。
于是,2ED EC ==。
∴ 三棱锥D ABC -的体积为114(22)2323⨯⨯⨯⨯=。
4．已知1F 、2F 为双曲线C ：22124y x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且点P 在第一象限。
若1243PF PF =，则12PF F △内切圆半径为 。
全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解
2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2014年5月17日上午9: 00—11: 30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1 .已知直线h : ax2y 6=0 , I2: x（a-1）y a -1=0，若h_l2，则a =___________________ 。
2. 函数f（x） = ..3sin2x sinxcosx-的值域为。
2 M2 2」3. 在三棱锥D - ABC 中，AB = BC =2，AB _ BC，BC _ CD，DA _ AB，CDA = 60。
则三棱锥D - ABC的体积为________________ 。
24 .已知F1、F2为双曲线C : x2-丄1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在24第一象限。
若］卩匸I =4，贝U △ PF1F2内切圆半径为_____________ 。
| PFJ 35.已知集合A = {x x2+2x—8>0 }, B={ x|x2—2ax + 4 兰0}。
若a>0,且Ac B 中恰有1个整数，则a的取值范围为___________________ 。
6 .若分数P（p，q为正整数）化成小数为卫=0.198||（，则当q取最小值时，q qp q = _______________ 。
7.随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为^ 。
T t8 .已知点A（1,1），B（4 ,0），C（2,2）。
平面区域D由所有满足AP — AB AC（1 ：：：■ _a , 1 ：：：」_b ）的点P（x, y）组成的区域。
若区域D的面积为8,则a b的最小值为_____ 。
9. A = 8 L & 8 8 被63除的余数为。
（符号〔X1表示不S」［9」［9」［9」超过x的最大整数。
）10 .若a , b , c为关于x的方程x3-x2-x，m = 0的三个实根，则m的最小值为。
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2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1．设集合403x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，从集合A 中随机抽取一个元素x ，记2x ξ=，则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。
2．已知()()f x x g x =+，其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。
若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。
3．1F 、2F 为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率e 的取值范围为 。
4．已知实数x ，y ，z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。
5．已知函数2()cos2xf x x π=，数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项之和100S = 。
6．如图，在四面体ABCD 中，2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，且DA 与平面ABC 所成角的余弦值为63R = 。
7．在复平面内，复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。
若122z z ==，120OZ OZ ⋅=uuu r uuu r，1231z z z +-=，则3z 的取值范围是 。
8．已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），则a 的取值范围为 。
9．已知2()2x f x m x nx =⋅++，若{}{}()0(())0x f x x f f x φ===≠，则m n +的取值范围为 。
10．若214sinsinsin tan 99929n ππππ+++=L ，则正整数n 的最小值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。
要求写出解题过程） 11．求函数2y x =12．已知过点(01)P ，斜率为k 的直线l 交双曲线C ：2213y x -=于A 、B 两点。
（1）求k 的取值范围；（2）若2F 为双曲线C 的右焦点，且226AF BF +=，求k 的值。
13．如图，I 、D 分别为ABC △的内心、旁心，BC 与圆I 、圆D 相切，切点分别为E 、F ，G 为AD 与BC 的交点。
（1）求证：AI GEAD GF=； （2）若M 为EF 中点，求证：AE DM ∥。
（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。
）14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。
求以点(201572015)I ⨯，为内心且直角顶点在坐标原点O 的整点直角三角形OAB 的个数。
15．若对任意的正整数m ，集合{}1299m m m m +++L ，，，，的任意n （3n ≥）元子集中，总有3个元素两两互素，求n 的最小值。
B2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1．设集合403x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，从集合A 中随机抽取一个元素x ，记2x ξ=，则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。
【答案】 5【解答】{}4321012A =----，，，，，，，随机变量ξ的取值为0，1，4，9，16。
易得，ξ的概率分布列为∴ 12211014916577777E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。
2．已知()()f x x g x =+，其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。
若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。
【答案】 9【解答】依题意，有(2)(2)(2)()2()2f x x g x x g x f x +=+++=++=+。
∵ ()f x 在区间[)24，上的最大值为1，∴ ()f x 在区间[)46，上的最大值为3，在区间[)68，上的最大值为5，在区间[)810，上的最大值为7，在区间[)1012，上的最大值为9。
3．1F 、2F 为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率e 的取值范围为 。
【答案】12⎫⎪⎪⎣⎭， 【解答】设A 为椭圆C 的上顶点，依题意有1290F AF ∠≥︒。
∴ 245F AO ∠≥︒，1c b≥。
222c a c ≥-，2212c a ≥，12e ≤<。
4．已知实数x ，y ，z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。
【答案】 12-【解答】由柯西不等式，知22222222(23)(1)1(23)144x y z x x y z ⎡⎤++=⋅≤++⋅++=⎣⎦。
∴ 2312x y z ++≥-，当且仅当23123x y y==，即2x y z ===-时等号成立。
∴ 23x y z ++的最小值为12-。
5．已知函数2()cos2xf x x π=，数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项之和100S = 。
【答案】 10200【解答】依题意，有1002222221001()2468981004(3799)n T f n ===-+-+--+=+++∑L L39942551002+=⨯⨯=。
∴ 1001002(1)(101)251000010200S T f f =-+=⨯-+=。
6．如图，在四面体ABCD 中，2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，且DA 与平面ABC 所成角的余弦值为6。
则该四面体外接球半径R = 。
【答案】 3【解答】如图，作DO ABC ⊥面于O ，连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结DE 。
则DAE ∠是DA 与平面ABC 所成的角，6cos 3DAE ∠=。
∵ 2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，∴ DA DBC ⊥面，O 为ABC △的外心，且22AB AC ==。
∴ DA DE ⊥，E 为BC 中点，结合6cos DAE ∠=知，6AE =，22862BE AB AE =-=-=。
∴ 222BC BE ==，DB DC ⊥。
∴ DA 、DB 、DC 两两互相垂直，四面体外接球半径R =3。
7．在复平面内，复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。
若122z z ==，120OZ OZ ⋅=uuu r uuu r，1231z z z +-=，则3z 的取值范围是 。
【答案】 []13，【解答】设111z x y i =+，222z x y i =+（i 为虚数单位）， ∵ 122z z ==，120OZ OZ ⋅=uuu r uuu r，∴ 222211222x y x y +=+=，12120x x y y +=，122z z +===。
设复数12z z +对应的点为P 。
由1231z z z +-=知，点3Z 在以P 为圆心，1为半径的圆上。
又2OP =，因此，32121OZ -≤≤+，即3z 的取值范围是[]13，。
8．已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），则a 的取值范围为 。
【答案】 1(0)2，【解答】()()(1)(12)x x x x x x f x e x ae e ae x ae e '=-+-=+-。
依题意，()(12)0x x f x x ae e '=+-=有两个不同的实根。
设()12x g x x ae =+-，则()12x g x ae '=-，()0g x =有两个不同的实根。
若0a ≤，则()1g x '≥，()g x 为增函数，()0g x =至多1个实根，不符合要求。
若0a >，则当1ln2x a <时，()0g x '>；1ln 2x a>时，()0g x '<。
∴ ()g x 在区间1ln 2a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上为增函数，1ln 2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上为减函数。
∴ ()g x 的最大值为111(ln)ln 11ln222g a a a=+-=。
又x →-∞时，()12x g x x ae =+-→-∞；x →+∞时，()12x g x x ae =+-→-∞。
∴ 当且仅当11(ln)ln 022g a a=>，即102a <<时，()0g x =恰有2个不同的实根。
设()0g x =的两根为1x ，2x （12x x <）。
则1x x <时，()0g x <，()0f x '<；12x x x <<时，()0g x >，()0f x '>；2x x >时，()0g x <，()0f x '<。
∴ 1x 为()f x 的极小值点，2x 为()f x 的极大值点。
102a <<符合要求。
∴ a 的取值范围为1(0)2，。
9．已知2()2x f x m x nx =⋅++，若{}{}()0(())0x f x x f f x φ===≠，则m n +的取值范围为 。
【答案】 [)04，【解答】设{}1()0x x f x ∈=，则12111()20xf x m x nx =⋅++=。
∴ 1(())(0)0f f x f m ===。
∴ 2()f x x nx =+，222222(())()()()()()f f x f x nx x nx n x nx x nx x nx n =+=+++=+++。
由{}{}()0(())0x f x x f f x ===知，方程20x nx n ++=的解集A 是方程20x nx +=的解集B 的子集。
若A φ=，则240n n =-<△，04n <<。
若A φ≠，设0x A ∈，则2002000x nx n x nx ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得0n =。