2014版陕西北师版数学文复习方略课件：第三章 第八节正弦定理、余弦定理的应用举例

答案： 10 7
5.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得 塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视 塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_______米.
【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面 平行，E在线段BC上， 设塔高为h, 因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60, 则 AE＝ BE
4=c2+a2-2accos B=4a2+a2-a2=4a2,则a=1，c=2，
1 1 15 2 S acsin B 1 2 1 cos B ， 2 2 4 即 S 15 . 4
考向 2
测量距离问题
【典例2】（1）（2013·聊城模拟）如图,设A，B两点在河的 两岸，一测量者在A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离 是50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两 点的距离为( )
【解析】由 AB AC 2 得cbcos A=2. 又 BAC ,
1 cos BAC , 2 3
∴bc=4,
S 1 ＝ bcsinBAC 3. ABC 2
又∵O为△ABC中线AD的中点,
故 S OBC
1 S 2
ABC
3 . 2
【拓展提升】三角形的面积公式
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
1 1 1 2 2 2 面积公式 S 1 ah 1 bh 1 ch (h为相应边上的高)的变形.( 2 2 2 (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0, ］ ) .( 2
(1)面积公式中 S bcsin A absin C acsin B， 其实质就是 )
2 2
（2）错误.俯角是视线与水平线所构成的角. （3）正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点方向顺时针转到目标方向线的水平
角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可
知为［0, ） .
2
(5)正确.由仰角、俯角、方位角的定义知，仰角、俯角是相对 于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的 . 答案：(1)√ （2）× (3)√ (4)√ (5)√
2
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，
灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，
则灯塔A在灯塔B的方向为(
(A)北偏西5° (B)北偏西10° (C)北偏西15° (D)北偏西20°
)
【解析】选B.由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，
又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，
60 120 60 3, tan 15 2 3
在Rt△AEC中，
CE＝AEtan 30 120 60 3


3 60 40 3, 3
所以塔高为 60 40 3 60 (120 40 3) 米. 答案： 120 40 3
考向 1
与三角形面积有关的问题
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，ha,hb,hc分别
为边a,b,c上的高.
（1）已知一边和这边上的高:
1 1 1 S ah a bh b ch c . 2 2 2
（2）已知两边及其夹角：
1 1 1 S absin C acsin B bcsin A. 2 2 2
【规范解答】(1)选A.由∠ACB=45°，∠CAB=105°,
得∠ABC=30°,
由正弦定理得
AB AC ＝ ， sinACB sinABC
AB＝
ACsinACB sinABC
50 1 2
2 2 ＝50 2 m .
(2)选A.如图，设经过t h甲船航行到C处， 乙船航行到D处.在△ACD中，AC=10-4t, AD=6t,由余弦定理得CD2=(10-4t)2+(6t)22·(10-4t)·6t·cos 120°=28t2-20t+100. 故当 t 20 5 (h) 时,CD2有最小值，
cos B b
bcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a b c a c b a c b 由余弦定理可得 ， 2c a a 2c 整理可得c=2a.由正弦定理可得 sin C c 2. sin A a (2)由c=2a及 cos B 1 , b 2 可得 4
第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例
1.三角形的面积公式 （1） S 1 ah（h表示边a上的高）.
2
（2）S 1 bcsin A 1 absin C 1 acsin B .
2 2 2
（3）S 1 r(a b c) (r为三角形的内切圆半径).
2
2.实际问题中的有关概念
（3）已知三边：
abc 其中 p . S p p a p b p c , 2
（4）已知三边和外接圆半径R，则 S abc .
4R
【变式备选】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
cos A 2cos C 2c a . cos B b (1)求 sin C的值. sin A (2)若 cos B 1 ，b 2, 求△ABC的面积S. 4
2.在△ABC中, AC 5,AB 2,S
5 A 5
2 5 B 5
ABC

5 C 5
2 ， 则cos A等于( 2 2 5 D 5
)
【解析】选D.由已知得 AC b 5,AB c 2,
2 得， 1 bcsin A 2 , S ABC 2 2 2 1 2 5 即 5 2 sin A , 故 sin A . 2 2 5 2 5 cos A 1 sin A . 5
1.在△ABC中, A , AB 1, AC 2, 则S△ABC的值为(
3
)
3 D 3 2 【解析】选C.由已知得 A , AB c 1, AC b 2, 3
A
1 2
B 1
C
S
ABC
1 1 3 3 bcsin A 2 1 . 2 2 2 2
（2）选B.由 S 1 (b 2 c 2 a 2 ) 得
4 1 1 bcsin A 2bc cos A, 2 4
∴tan A≤1, 又 0 A , 0 A ,
4 ∴角A的最大值为 . 4
（3）①从已知条件得 2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B. ∵sin B≠0,
(1)仰角和俯角:
上方 的角叫仰 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____
角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.
(2)方位角: 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角 为α (如图②).
(3)方向角:
相对于某一正方向的水平角(如图③)
(i)北偏东α °即由指北方向顺时针 旋转α °到达目标方向； (ii)北偏西α °即由指北方向逆时针 旋转α °到达目标方向； (iii)南偏西等其他方向角类似.
A
5 h 14
B
15 h 7
C 2 h
D 2.15 h
(3)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，
∠CBA=60°,则A，C两点之间的距离为______千米.
【思路点拨】（1）先求得∠ABC，再利用正弦定理可解. （2）画出图形，利用余弦定理求出两船间的距离，再用二次 函数知识求最值即可. （3）利用已知条件求得∠ACB，再利用正弦定理求解.
4
的最大值是(
)
4
A
6
B
C
3
D
2
（3）（2013·龙溪模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且2bcos A=acos C+ccos A. ①求角A的大小; ②若 a 7,b c 4, 求△ABC的面积.
【思路点拨】（1）先确定O点的位置，可知O为△ABC的重心， 再利用向量关系求得△ABC面积即可求得S△OBC. （2）由余弦定理及面积公式可得tan A的范围，再求最大值. （3）利用正弦定理得角A，再利用余弦定理得bc，从而可求面 积.
则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B ， sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=π，则sin C=2sin A， 即 sin C 2.
sin A
方法二：在△ABC中，由 cos A 2cos C 2c a 可得，
∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.
4.已知A，B两地的距离为10 km,B，C两地的距离为20 km,现测 得∠ABC=120°，则A，C两地的距离为______km. 【解析】如图所示， 由余弦定理可得： AC2=100+400-2×10×20 ×cos 120°=700，
AC 10 7 km .
1 cos A ， 又0°＜A＜180°,∴A=60°. 2
②由余弦定理得， 7=a2=b2+c2-2bccos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc， 代入b+c=4，得bc=3.
故△ABC的面积为 S 1 bcsin A 3 3 .
2 4
【互动探究】若将本例题(1)中“ OA OB OC 0 ”改为“O 为△ABC中线AD的中点”，其他条件不变，则△OBC的面积又 该如何求解?