一次函数图象性质1
专题20.2 一次函数的图像与性质(第1课时)(解析版)
第二十章一次函数专题20.2 一次函数的图像与性质（第1课时）基础巩固一、单选题（共6小题）1.直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是（﹣3，0），以下各点在直线y＝kx上的是（）A．（﹣4，0）B．（0，3）C．（3，﹣4）D．（﹣4，3）【答案】C【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．【解答】解：直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后的解析式为y＝kx﹣4，把x＝﹣3，y＝0代入y＝kx﹣4中，﹣3k﹣4＝0，解得：k＝﹣，所以直线y＝kx的解析式为：y＝﹣x，当x＝3时，y＝﹣4，当x＝﹣4时，y＝，当x＝0时，y＝0，故选：C．【知识点】一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征2.一个正比例函数的图象经过点（1，﹣2），它的表达式为（）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x【答案】C【分析】利用待定系数法求正比例函数解析式即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），把（1，﹣2）代入得﹣2＝k×1，解得k＝﹣2，所以正比例函数解析式为y＝﹣2x．故选：C．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求正比例函数解析式3.已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m≤﹣B．m≥﹣C．m＜﹣D．m＞【答案】C【分析】根据一次函数的性质解题，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k＜0．【解答】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0，解得m＜﹣．故选：C．【知识点】一次函数图象与系数的关系4.下列四点中，在函数y＝3x+2的图象上的点是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（2，0）D．（0，﹣1.5）【答案】B【分析】只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边＝右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可．【解答】解：A、把（﹣1，1）代入y＝3x+2得：左边＝1，右边＝3×（﹣1）+2＝﹣1，左边≠右边，故A 选项错误；B、把（﹣1，﹣1）代入y＝3x+2得：左边＝﹣1，右边＝3×（﹣1）+2＝﹣1，左边＝右边，故B选项正确；C、把（2，0）代入y＝3x+2得：左边＝0，右边＝3×2+2＝8，左边≠右边，故C选项错误；D、把（0，﹣1.5）代入y＝3x+2得：左边＝﹣1.5，右边＝3×0+2＝2，左边≠右边，故D选项错误．故选：B．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征5.小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数y＝|x|﹣2的四条性质，其中错误的是（）A．当x＝0时y具有最小值为﹣2B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞0C．当﹣2＜x＜2时，y＜0D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积是4【答案】B【分析】画出函数y═|x|﹣2的大致图象，即可求解．【解答】解：函数y═|x|﹣2的大致图象如下：A．当x＝0时y具有最小值为﹣2，正确；B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣2，故B错误；C．当﹣2＜x＜2时，y＜0，正确；D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积＝×4×2＝4，正确，故选：B．【知识点】一次函数的性质、两条直线相交或平行问题6.如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别相交于点A（﹣3，0），B（0，2），则不等式kx+b＞2的解集是（）A．x＞﹣3B．x＜2C．x＞0D．x＜2【答案】C【分析】根据图象和B的坐标得出即可．【解答】解：∵直线y＝kx+b和y轴的交点是B（0，2），∴不等式kx+b＞2的解集是x＞0，故选：C．【知识点】一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式二、填空题（共8小题）7.已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A（2，y1）和B（﹣1，y2），则y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＞﹣1即可得出y1＞y2．【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【知识点】一次函数的性质8.已知一次函数y＝﹣x+3，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是．【分析】由﹣＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1≤x≤4，即可求出y的最大值．【解答】解：∵﹣＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣1≤x≤4，∴当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值＝﹣×（﹣1）+3＝．故答案为：．【知识点】一次函数的性质9.如图直线a，b交于点A，则以点A的坐标为解的方程组是．【分析】先利用待定系数法求出直线a、b的解析式，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【解答】解：直线a的解析式为y＝kx+m，把（0，1）和（1，2）代入得，解得，∴直线a的解析式为y＝x+1，易得直线b的解析式为y＝﹣x+3，∵直线a与直线b相交于点A，∴以点A的坐标为解的方程组为．故答案为（答案不唯一）．【知识点】一次函数与二元一次方程（组）10.一次函数y1＝﹣x﹣1与y2＝x+4的图象如图，则﹣x﹣1＞x+4的解集是．【答案】x＜-2【分析】结合函数图象，写出一次函数y1＝﹣x﹣1图象在函数y2＝x+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵一次函数y1＝﹣x﹣1与y2＝x+4的图象的交点的横坐标为﹣2，∴当x＜﹣2时，y1＞y2，∴﹣x﹣1＞x+4的解集为x＜﹣2．故答案为x＜﹣2．【知识点】一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式11.一次函数y＝kx+3的图象过点A（1，4），则这个一次函数的解析式．【答案】y=x+3【分析】把点A的坐标代入一次函数解析式，列出关于系数k的方程k+3＝4，通过解该方程可以求得k的值．【解答】解：由题意，得k+3＝4，解得，k＝1，所以，该一次函数的解析式是：y＝x+3，故答案为y＝x+3【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征12.已知一次函数y1＝kx﹣2和y2＝2x+3，当自变量x＞﹣1时，y1＜y2，则k的取值范围为．【答案】-3≤k≤2且k≠0【分析】解不等式kx﹣2＜2x+3，根据题意得出k﹣2＜0且≤﹣1且k≠0，解此不等式即可．【解答】解：∵一次函数y1＝kx﹣2和y2＝2x+3，当自变量x＞﹣1时，y1＜y2，∴kx﹣2＜2x+3，∴kx﹣2x＜5，∴k﹣2＜0且≤﹣1且k≠0，解得﹣3≤k＜2且k≠0；当k＝2时，也成立，故k的取值范围是：﹣3≤k≤2且k≠0．故答案为：﹣3≤k≤2且k≠0．【知识点】一次函数与一元一次不等式13.在一次函数y＝（k﹣5）x+2中，y随x的增大而减小，则k的取值范围为．【答案】k＜5【分析】根据已知条件“一次函数y＝（k﹣5）x+2中y随x的增大而减小”知，k﹣5＜0，然后解关于k 的不等式即可．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣5）x+2中y随x的增大而减小，∴k﹣5＜0，解得，k＜5；故答案是：k＜5．【知识点】一次函数图象与系数的关系14.一次函数的图象过点（0，3）且与直线y＝﹣x平行，那么一次函数表达式是．【答案】y=-x+3【分析】一次函数的图象过点（0，3）且与直线y＝﹣x平行，则一次项系数相等，设一次函数的表达式是y＝﹣x+b，代入（0，3）即可求得函数解析式．【解答】解：设一次函数的表达式是y＝﹣x+b．则3把（0，3）代入得b＝3，则一次函数的解析式是y＝﹣x+3．故答案是：y＝﹣x+3．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题拓展提升三、解答题（共6小题）15.正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣1，3），B（a，a+1），求a的值．【分析】由点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，a的方程组，解之即可求出a的值．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣1，3），B（a，a+1），∴，∴．答：a的值为﹣．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征16.已知y与x+2成正比例，且当x＝1时，y＝6；（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）当x＝﹣3时，求y的值．【分析】（1）根据正比例函数的定义，设y＝k（x+2），然后把已知的对应值代入求出k即可；（2）把x＝﹣3代入（1）中的解析式中可计算出对应的函数值．【解答】解：（1）设y＝k（x+2），把x＝1，y＝6代入得6＝3k，解得k＝2，∴y＝2（x+2）＝2x+4，即y与x之间的函数关系式为y＝2x+4；（2）当x＝﹣3时，y＝2×（﹣3）+4＝﹣2．【知识点】一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式17.已知一次函数y＝kx+5的图象经过点A（2，﹣1）．（1）求k的值；（2）在图中画出这个函数的图象；（3）若该图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，试确定△OBC的面积．【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式中，即可求出k的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，连接点A，C并双向延长，即可画出一次函数y＝kx+5的图象；（3）由点B，C的坐标可得出OB，OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△OBC的面积．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+5的图象经过点A（2，﹣1），∴2k+5＝﹣1，∴k＝﹣3．（2）当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，∴点C的坐标为（0，5）；当y＝0时，﹣3x+5＝0，解得：x＝，∴点B的坐标为（，0）．由点A，C可画出一次函数y＝kx+5的图象，如图所示．（3）∵点B的坐标为（，0），点C的坐标为（0，5），∴OB＝，OC＝5，∴S△OBC＝OB•OC＝．【知识点】一次函数的图象、一次函数图象上点的坐标特征18.已知：如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A和点B．（1）点A坐标是，点B的坐标是；（2）△AOB的面积＝；（3）当y＞0时，x的取值范围是．【答案】【第1空】（-6，0）【第2空】（0，3）【第3空】9【第4空】x＞-6【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；（2）根据三角形面积公式求解；（3）根据图象直接求解．【解答】解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0）；当x＝0时，y＝x+3＝3，则B（0，3）；故答案为（﹣6，0），（0，3）；（2）△AOB的面积＝×6×3＝9，故答案为9；（3）由图象得：当y＞0时，x的取值范围是x＞﹣6，故答案为x＞﹣6．【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质19.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B．（1）求该一次函数的解析式；（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．【分析】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）在y＝2x中，令x＝1，解得y＝2，则B的坐标是（1，2），设一次函数的解析式是y＝kx+b，则，解得：．则一次函数的解析式是y＝﹣x+3；（2）当a＝4时，y＝﹣1，则C（4，﹣2）不在函数的图象上；（3）一次函数的解析式y＝﹣x+3中令y＝0，解得：x＝3，则D的坐标是（3，0）．则S△BOD＝OD×2＝×3×2＝3．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征20.已知一次函数y＝﹣2x﹣2．（1）根据关系式画出函数的图象．（2）求出图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标，（3）求A、B两点间的距离．（4）在坐标轴上有点C，使得AB＝AC，写出C的坐标．【分析】（1）根据函数解析式，可以画出相应的函数图象；（2）令x＝0求出y的值，再令y＝0求出x的值，即可得到点A和点B的坐标；（3）根据（2）中点A和点B的坐标，即可得到A、B两点间的距离；（4）根据题意，可以得到点C的坐标．【解答】解：（1）函数图象如右图所示；（2）∵y＝﹣2x﹣2，∴当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝﹣1，∴图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2）；（3）∵点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，∴AB＝＝，即A、B两点间的距离是；（4）由（3）知，AB＝，∵点C在坐标轴上，AB＝AC，∴当C在x轴上时，点C的坐标为（﹣1﹣，0）或（﹣1+，0），当点C在y轴上时，点C的坐标为（0，2），由上可得，点C的坐标为：（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）或（0，2）．【知识点】一次函数的性质、一次函数的图象。
【课件】一次函数的图像和性质1
例1.画正比例函数 y=2x 的图象.
把一个函数的自变量x 与对应的因变量y的值分别 作为点的横坐标和纵坐标， 在平面直角坐标系中描出它 的对应点，所有这些点组成 的图形叫做该函数的图象。
y=2x
x
1 23
想一想
1. 下列哪些点在正比例函数y= - 5x的 图象上？
（1,5） ， （-1，5），
（0.5，-2.5），（-5,1）。 2.点（-6，a)在正比例函数y= - 2x的图 象上,求a .
y=-3x y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
y=2x
x
1 23
画正比例函数的图象时，怎样画最简便？为什么？
两点法
经过原点与（１，k）的直线是正比例函数
y=kx (k是常数，k 0)的图象，由于两点确定
一条直线，画正比例函数图象时，我们只需描 点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
做一做
在同一坐标系内用你认为最简单的 方法画出下列函数的图象
y=x， y=3x， y= - 4x， y= - 1/2x
解析式 y = kx (k＞0)
y = kx (k＜0)
图象 y 0
y 0
图象位置
经过第 x 三、一象限
第二、四 x 象限
增减性 y随着 x的增大 而增大
y随着 x的增大 而减少
数学方法：观察，实验，猜想，归纳
数学思想：类比，分类讨论
经过点（0， 0 ）与点（1， 7 ），
y随x的增大而__增__大___。
一次函数的性质1
例1、已知函数y=(m+1)x-3 (1)当m取何值时，y随x的增大而增大？ (2)当 m取何值时，y随x的增大而减小？
解（ ： 1）当m+1>0即m>-1时y随x的增大而增大; (2)当m+1<0即m<-1时y随x的增大而减小。
1 例2、已知点(2,m) 、(-3,n)都在直线 y 6 x 1 上， 试比较 m和n的大小。你能想出几种判断的
一次函数的性质(1)
卓山中学 谢汝荡
说一说：
1、一次函数的一般式。 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
2、一次函数的图象是什么？
一条直线。
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质。
2 y x 1 3
y
0 1
3 2
0
y 3x 2
2 y x 1 3
y增大 x增大
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升；
y x 2
y x 2
（2） 当k＜0时，y随x的 减小 ，这时函数 增大而_____ 下降 的图象从左到右 _____．
y减少
x增大
概括
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
方法?
解：方法一 把两点的坐标代入函数关系式
1 4 当 x=2 时, m= 当 x= -3 时, n= 2 3
所以 m > n。 1 所以函数y随x增大而增大。 方法二因为 K= 6 >0，
从而直接得到 m > n。
小结
经过本节课的学习，你有哪些收获？
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( 4) y 5 x 1
第8课 一次函数的图象与性质(1)
19. 一等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y cm，腰长 为x cm. (1)求出底边长y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式. (2)求出自变量x的取值范围.
解：(1)y＝20－2x (2)∵x－x＜y＜2x ∴x－x＜20－2x＜2x ∴5＜x＜10 ∴自变量x的取值范围为5＜x＜10
谢谢！
2. (例1)在同一直角坐标系中画出y＝2x，y＝2x＋1和
y＝2x－1的图象
解： x
－2 －1 0 1 2
y＝2x －4 －2 0 2 4
y＝2x＋1 －3 －1 1 3 5
y＝2x－1 －5 －3 －1 1 3
发现： y＝2x 的图象向___上____平移___1___个单位得到 y＝2x＋1 的 图象，向___下____平移_______个单位得到 y＝2x－1 的图象.
(1)y＝12x＋3 和 y＝12x－5：__平__行____ (2)y＝－5x＋2 和 y＝4x＋1：__相__交____
11. (1)直线y＝8x－4和y＝8x＋3的位置关系是__平__行____.
(2)若直线y＝－4x＋5和y＝kx＋7平行，则k＝___－__4___.
三、过关检测
第1关 12.(1)一次函数y＝－ 1 x＋5中，y随x的增大而___减__小___；
PPT课程 第8课 一次函数的图象与性质(1) 主讲老师:
一、知识储备
1. (1)正比例函数y＝2x的图象从左到右__上__升____，即 y随x的增大而__增__大____. (2)正比例y＝－2x的图象从左到右__下__降____，即y 随x的增大而___减__小___．
二、新课学习
提出问题：正比例函数y＝kx的图象是一条经过____原____ 点的直线，且k决定直线的升降，那一般的一次函数y＝kx ＋b中的b有什么作用呢？一次函数y＝kx＋b的图象与正比 例函数y＝kx的图象有什么关系呢？
一次函数的图象和性质教案(1)
一次函数的图象和性质4.3.2（教案）德雅中学黄维教学目标：1.知识与技能（1）、理解直线y=kx+b与y=kx之间的位置关系;（2）、会利用两个合适的点画出一次函数的图象；（3）、掌握一次函数的性质及k、b对图像的影响2.过程与方法（１）主要是培养学生的看图、识图.动手实践能力。
（２）通过对一次函数的图象和性质的探究，培养学生数形结合思想方法。
3.情感态度价值观通过对一次函数的图象和性质的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验，从而增强学习数学的热情。
教学重点：会用两点法画出一次函数的图象，并由图象得出函数的性质。
及对函数性质的理解与应用。
教学难点：由函数图象得出函数的性质，及对函数性质的理解与应用。
教学过程：【复习引入】一、出示学习目标1．能画出正比例函数、一次函数的图象．2．能根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0或k＜0时，图象的变化情况．3．通过对一次函数图象和性质的探究，体会数形结合思想，并能运用函数的性质、图象和数形结合法解决一些简单的问题．二、复习正比例函数、一次函数的概念：1、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？2、正比例函数的图象是什么？3、正比例函数 y=k x（k是常数，k≠0）中，k的正负性质对函数图象有什么影响?4、既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？一次函数又有什么性质呢?【自学指导】阅读教材P124至P125议一议止，完成下面内容。
一、在平面直角坐标系中，先画出函数y = 2x 和y = 2x+3 的图象，猜测y = 2x+3的图象与y = 2x的图象有什么关系？（复习前面所学“三步法”）二、探讨规律：横坐标相同，y = 2x+3的点的纵坐标比y = 2x的点的纵坐标大3，于是将y = 2x的图象向上平移3 个单位，就得到y = 2x+3的图象。
由于平移把直线变成与它平行的直线，因此y = 2x+3的图象是与y = 2x平行的一条直线.三、学习用“两点法”画一次函数图像。
人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第19讲一次函数的图象及性质(1)(有答案)
人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第19讲一次函数的图象及性质（1）（有答案）〔1〕形如y=kx ＋b (k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.由于当b=0时，y=kx ，那么y 叫做x 的正比例函数，所以〝正比例函数是特殊的一次函数〞。
〔2〕正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而失掉〔当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,〕普通地，形如y=kx (k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数普通方式 y=kx 〔k 不为零〕① k 不为零； ② x 指数为1； ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx 〔k 是常数，k≠0〕(2) 必过点：〔0，0〕、〔1，k 〕(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限； k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴普通地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.注：一次函数普通方式 y=kx+b (k 不为零)① k 不为零； ②x 指数为1； ③ b 取恣意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过〔0，b 〕和〔－kb ，0〕两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度失掉.〔当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移〕〔1〕解析式：y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)〔2〕必过点：〔0，b 〕和〔-kb ，0〕 〔3〕走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 〔4〕增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.〔5〕倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.〔6〕图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.考点1、一次函数〔正比例〕的定义例1、在糖水中继续放入糖x 〔g 〕、水y 〔g 〕，并使糖完全溶解，假设甜度坚持不变，那么y 与x 的函的函数关系一定是〔 〕A 、正比例函数B 、正比例函数C 、图象不经过原点的一次函数D 、二次函数例2、直角三角形两个锐角∠A 与∠B 的函数关系是〔 〕A 、正比例函数B 、一次函数C 、正比例函数D 、二次函数 例3、假定y=〔m －3〕x+1是一次函数，那么〔 〕A 、m=3B 、m=－3C 、m≠3D 、m≠－3例4、以下效果中，是正比例函数的是〔 〕A 、矩形面积固定，长和宽的关系B 、正方形面积和边长之间的关系C 、三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D 、匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系例5、假定函数y=－2x m+2+n －2是正比例函数，那么m 的值是_____，n 的值为_____． 例6、我们知道，海拔高度每上升1km ，温度下降6℃．某时辰测量我市空中温度为20℃．设高出空中xkm 处的温度为y ℃，那么y 与x 的函数关系式为 ，y_____x 的一次函数〔填〝是〞或〝不是〞〕．例7、y=〔k －1〕x IkI +〔k 2－4〕是一次函数．〔1〕求k 的值； 〔2〕求x=3时，y 的值； 〔3〕当y=0时，x 的值．例8、红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量y 〔吨〕与烧煤天数x 〔天〕之间的函数表达式，指出y 是不是x 的一次函数，并求自变量x 的取值范围． 例9、举一反三：1、以下函数中，是一次函数的有〔 〕A 、xy 2 B 、X －1=0 C 、y=2〔x －1〕 D 、y=x 2+1 2、y=〔m －1〕x |m|+3m 表示一次函数，那么m 等于〔 〕A 、1B 、－1C 、0或－1D 、1或－13、假定函数y=〔k －1〕x+k 2－1是正比例函数，那么k 的值是〔 〕A 、－1B 、1C 、－1或1D 、恣意实数4、当自变量x= 时，正比例函数y=〔n+2〕x n 的函数值为3．5、函数y=3x+1，当自变量添加3时，相应的函数值添加______。
一次函数的图象和性质(第1课时)PPT课件
7.若一次函数y=kx+4的图像经过点(1，2).
(1)求k的值；
(2)在所给直角坐标系中画出此函数的图像;
(3)根据图像回答:当x
时，y>0.
解析:(1)把点(1,2)代入函数解析式,利用方程来求得k的值;(2)由 两点确定一条直线进行作图;(3)根据图像解答即可.
解:(1)依题意,得2=k+4,解得k=-2,即k的值是-2.
A.x<-2
B.x>-2
C.x<2
D.x>2
解析:由图像可得一次函数的图像与x轴的 交点为(-2,0),当y<0时,x<-2.故选A.
6.连降6天大雨,某水库的蓄水量随时间的增加而直线上升.若
该水库的蓄水量v(万米3)与降雨的时间t(天)的关系如图所示,
则下列说法正确的是
( B)
A.降雨后,蓄水量每天减少5万米3
达成共识. 1.图像为一条直线. 2.由画图过程,知一次函数y=2x-1的图像是由所有满足关系式y=2x-1 的点(x,y)连线而得到的.因此,凡满足关系式y=2x-1的x,y的值所对应 的点都在一次函数y=2x-1的图像上.
因为一次函数的图像是一条直线,所以也把一次函数y=kx+b 的图像称为直线y=kx+b.
为(0,2),与x轴的交点为
2 3
，0
.故选C.
4.函数
yk x
的图像经过点(1,-1),则函数y=kx-2的图像是
图中的
(A)
解析:∵
y
k x
的图像经过点(1,-1),∴k=xy=-1,∴函数解析式
为y=-x-2,所以函数图像经过(-2,0)和(0,-2).故选A.
一次函数的图象课件(1)高一上学期数学北师大版
0
1
-1
1
1
0.5
y
1
-1 O
-1
y＝2x－1
1
x
y＝－0.5x＋1
一次函数的图像是直线，所以选择其上合适两点即可．
一般选择
b k
， 0
，（0，b）．
探究新知
此图片是动画缩略图，本动画资源给出平面直角坐标系中的一条 直线，通过构造不同的一次函数的解析式，观察函数图象特征， 适用于一次函数的教学.若需使用，请插入【数学探究】探究一 次函数的性质.
一次函数的图象
学习目标
1.会画一次函数的图像． 2.能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系． 3.能根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b（k≠0） 理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况，从而理解 一次函数的增减性．
复习导入
正比例函数的图像与性质： 一般地，正比例函数 y＝kx（k是常数，k≠0）的图像是一 条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx． 当 k＞0时，直线 y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升， 即随着x 的增大y也增大； 当 k＜0时，直线 y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降， 即随着 x 的增大 y 反而减小．
课堂练习
2．分别说出满足下列条件的一次函数y＝kx＋b （k，b是常数，k≠0）的图像过哪几个象限？ （1）k＞0，b＞0；（2）k＞0，b＜0； （3）k＜0，b＞0；（4）k＜0，b＜0．
解：（1）一、二、三； （2）一、三、四；
（3）一、二、四； （4）二、三、四
课堂练习
3．在同一直角坐标系中画出下列函数图像，并归纳 y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）中b对函数图像的影响． （1）y＝x－1，y＝x，y＝x＋1； （2）y＝－2x＋1，y＝－2x，y＝－2x－1．
17.3.3一次函数图象性质(1)
1-2m＜0，解得 m-1＜0，
1 2
m
1.
∴ m的取值范围为 1 m 1. 2
随堂即练
6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴的交
点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为
整数，求m的值 .
解:
由题意，得
3m 1 m
8 0， 0，
解得 1 m 8. 3
又∵m为整数，
（C ）
A
B
C
D
2. 一次函数 y 2x 4 的图象经过 一、二、四 象限。y随x的增大
而 减小,它的图象与x轴、y轴的坐标分别为___（2，0），（__0__，_。4）
3．函数y=(k-1)x+2，当k＞1时，y随x的增大而__增___大_,当k＜1时，y随x 的增大而_减__小__。
新课讲解
随堂即练
1.下列函数中，y随x的增大而增大的函数是 （ C ） A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2
2. 一次函数y=(m2+1)x-2的大致图象可能为（ C ）
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
随堂即练
3.点A(-1，y1)、B(3，y2)是直线y=kx+b(k<0)上 的两点，则y1-y2 > 0.(填“>”或“<”)
解：由题意，得2k-1＞0，解得k＞0.5. 故当k＞0.5时，y随x的增大而增大.
(2)当k满足什么条件时，y=(2k-1)x+(2k+1)的图象经过原点？
由题意，得2k+1=0，解得k=-0.5. 故当k=-0.5时，y=(2k-1)x+(2k+1)的图象经过原点.
一次函数的图象和性质(1)
正比例函数 解析式 y =kx（k≠0）
一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0）
图象：经过原点和
（1，k）的一条直线
k＞0
k＜0
？
y
y
Ox
Ox
？
性质：k＞0，y 随x 的 增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
针对函数 y =kx+b，大家 想研究什么？应该怎样研究？
研究函数 y =kx+b（k≠0）的性质； 研究方法：
(4)y 5x
3.一次函数y=2x-3的图象( c )
A.第一、二、三象限. B.第一、二、四象限. C.第一、三、四象限. D.第二、三、四象限.
4、一次函数y=4x-3的大致图象为
（ c）
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
5、如何简便的画出函数y=2x-1与
y=-0.5x+1的图象
6、直线y=3x-2可由直线y=3x向下___ 平移__2____个单位得到。
k>0,b>0→_一__、_三__、_二__ k<0,b>0→二___、_四__、_一__
k>0,b<0→一___、_三__、_四__ k<0,b<0→二__、_ 四___、_三__
（3）与坐标轴交点来看：
直线y=kx+b与y轴交于(0，b)与x轴交（-
b k
，0）
练一练： 1、已知一次函数y=2x+1,则y随x的
增大而（ 增大 ）
2.下列一次函数中，y的值随x的增
大而减小的是_（__1_）__（__4）
16.2.2.一次函数的图象和性质1课件
16、2、2一次函数的图像与性质
1.什么是一次函数？什么是正比例函数？ 如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0），那么y 叫做x的一次函数。特别的，当b=0时， y=kx+b就成为y=kx，这时，y叫做x 的正比例函数。 2、画函数图象的一般步骤： （1）列表 （2）描点 （3）连线
7
有什么特点?
y 3x 2
y 3x
2.归纳：这两个函数的图象形 相同 状都是直线 ，并且倾斜程度__ _函数y=x的图象经过原点，函 数y=x+2的图象与y轴交于点 ____ ，即它可以看作由直线 （0，2） y y=x+2 上 y=x向__平移 2 个单位长度而 . 得到．函数y=x-2的图象与y轴 3 . . . y=x . . . . y=x-2 交于点_ __，即它可以看 （0，-2） .. . 2 作由直线y=x向下 平移____ 2 .0 . x . 个单位长度而得到． .
从图中可以看 出:k<0时,y随x 的增大而减小.
2 3 4
5
x
y=-2x+3
-2 -3 -4 -5
y=-2x-3
12
13
随堂练习
根据图象确定k,b的取值
K＞
0
K ＜ 0 b＝ 0
K ＜0 b＞ 0
b＝
0
K＜ 0
K ＞0 b＜ 0
b＜
0
K＞ 0 b＞ 0
14
随堂练习
1 一次函数y=x-2的图象不经过的象限为( B (A) 一 (B) 二 (C) 三 (D) 四 2 不经过第二象限的直线是 （ B ）
6
在同一个平面直角坐标系 中画出下列函数的图象: 1 1 1. y 2 x y 2 x 2
第8课 一次函数的图象和性质(1)
10. 已知，函数 y＝(1－3k)x＋2k－1，试回答： (1)k 为何值时，图象过原点？ (2)k 为何值时，y 随 x 增大而增大？
1 (1)由 2k－1＝0 得 k＝ 2 1 (2)由 1－3k>0 得 k＜ 3
11. 已知某函数的全部图象如图所示，根据图象回答下列问 题： － 4≤x≤4； (1)确定自变量 x 的取值范围： ________ (2)当 x＝－4 时，y 的值是________ ； 2 (3)当 y＝0 时，x 的值是______________ －3，－1，4 ； 1.5 －2 时， 2≤x≤1.5 时， (4)当 x＝________ y 的值最大， 当 x＝－ ___________ y 的值最小；
(2)d(O，P)＝ 0－x ＋ 0－y ＝ x ＋ y ＝2 ∴图形如图所示
PPT课程 第8课 一次函数的图象和性质(1) 主讲老师:
1. 将函数 y＝2x 的图象向上平移 3 个单位后，所得图象对 应的函数表达式是( A ) A .y＝2x＋3 B .y＝2(x＋3) C ．y＝2x－3 D ．y＝2(x－3)
1 y＝ x 1 2. 直线 y ＝ x ＋ 4 可由一条经过原点的直线 ________ 向 2 2 4 上 ________ 平移________ 个单位得到． 减小 ． 3. 函数 y＝ax＋b 的图象如图， 则 y 随 x 的增大而________
(6)当 x 的值在什么范围内时 y＜0？答________________ ． －3<x<－1
1．两个一次函数 y1＝ax＋b 与 y2＝bx＋a，它们在同一直角 坐标系中的图象可能是( ．如图，平面直角坐标系中，点 P 的坐标是(3，4)，直线 l 经过点 P 且平行于 y 轴，点 Q 从点 A(3，10)出发，以每 秒 1 个单位长度的速度沿 AP 方向匀速运动．回答下列问 题：
一次函数的图象和性质复习(1)
一次函数图象和性质复习（1）【教学目标】1.理解一次函数的概念，会用待定系数法确定一次函数表达式．2.能利用一次函数图象和表达式理解其性质.3.会根据表达式求其图象与两坐标轴的交点坐标.4.在解题的过程中，真正体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合与分类讨论的思想方法.5.培养学生交流合作的意识，提高观察和分析问题的能力，使学生养成良好的学习习惯.【教学重点】一次函数的图象和性质的运用【教学难点】根据表达式和图象解决一些与三角形的面积有关的综合问题.【教学过程】一、自查学习：1.在下列函数中，是一次函数是（ ） A.y=kx+2 B.31+=xy C.y=-x 2+6 D.y=3x-2 2.一次函数26y x =-+的图象是一条 ,经过第 象限。
一次函数26y x =-+的图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。
3.在一次函数y=kx+3中，y 的值随着x 的增大而增大，请你写出符合条件的k 的一个值：k=____4.将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得的直线解析式是___________．5.已知一次函数的图象与y=x 平行，且过点（0，1），则这个一次函数的解析式为___________．二、知识梳理1.一次函数概念一般地，解析式形如___________(k,b 是常数，且k____0)的函数叫做一次函数。
当b=0时，y=_______（k___0）是正比例函数。
2.一次函数的图象和性质3.直线的平移：（1）上下平移：上加下减直线y=kx+b(k ≠0)向上平移m （m ＞0）个单位长度得到的解析式为y=kx+b+m;直线y=kx+b(k ≠0)向下平移m （m ＞0）个单位长度得到的解析式为y=kx+b-m(2) 左右平移：左加右减直线y=kx+b(k ≠0)向左平移n （n ＞0）个单位长度得到的解析式为y=k(x+n)+b直线y=kx+b(k ≠0)向右平移n （n ＞0）个单位长度得到的解析式为y=k(x-n)+b4.求一次函数解析式：待定系数法步骤： （1）设：设出一次函数解析式 ；（2）代：把已知条件代入y=kx+b 中，得到关于k 、b 的方程（组）；（3）求：解方程（组），求_______、________；（4）写：写出一次函数解析式．5.两条直线的位置关系： 对于两条直线222111y b x k y b x k +=+=与（1k ，2k ≠0）（1） 当1k 2k 且 1b 2b 时，两直线平行，即21y ∥y ；（2） 当1k 2k 且 1b 2b 时，两直线重合；（3） 当1k 2k 时，两直线相交；（4） 当 时，两直线互相垂直，即21y ⊥y ；三、精析精练例1：已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m 的值：（1）函数值y 随x 的增大而增大；（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；（3）函数的图象过原点；（4）函数的图象过第二、三、四象限；点评：熟练运用一次函数的概念、图象和性质，及数形结合思想的运用，特别注意概念中的条件k ≠0。
八年级数学一次函数的图象和性质1
22.5 = 3.5k + b
解得
k = −5 b = 40
Q 40
解析式为： ＝－ ＝－５ 解析式为：Q＝－５t+40
(0≤t≤8)
图象是包括 两端点的线段
），B（ ， ） （２）取点Ａ（０，40）， （8，0）, 取点Ａ（０ Ａ（ ）， 线段AB,即是所求的图形。 即是所求的图形。 然后连成 线段 即是所求的图形
y y y y
O O
Ａ．
x
B．
x
O
C．
x
O
Ｄ．
x
• 5.如果点 在直线 如果点M在直线 如果点 在直线y=x-1上，则M点的坐标可以是 上 点的坐标可以是 （ C） A．（－ ，0） B．（ ，1） ．（－1， ） ．（ ．（0， ） ．（－ C．（ ，0） D．（ ，－ ） ．（1， ） ．（ ，－1） ．（1，－ ．（
解：（1） P点在整个的移动过程中△ABP的面积 点在整个的移动过程中△ 点在整个的移动过程中 的面积 先逐渐从0增大到 增大到30，然后在3分钟内保持 分钟内保持30不变 先逐渐从 增大到 ，然后在 分钟内保持 不变 再从30逐渐减小 逐渐减小； ，再从 逐渐减小； （2）BC=10; ） (3)a=30. a的值表示点 在CD边上运动时， 的值表示点P在 边上运动时 边上运动时， 的值表示点 的面积; △ABP的面积 的面积
点评:画函数图象时， 点评 画函数图象时，应根据函数自变量的 画函数图象时 取值范围来确定图象的范围，比如此题中， 取值范围来确定图象的范围，比如此题中， 因为自变量0≤t≤8，所以图像是一条线段。 0 图像是一条线段。 因为自变量 ，所以图像是一条线段
8
t
能力提升2 能力提升
一次函数图象(1)—正比例函数的图像
情景引入 下图反映了摩天轮上一点的高度h(米)与旋转 时间t(秒)之间的关系，这个图象是怎样绘制而成 的？
1、自主学习： 函数的图象：把一个函数中（ 自变量x ）的值作 为横坐标，（ 因变量y）的值作为纵坐标在平面直 角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的 图形就叫该函数的图象 点拨：数形结合 X的值
x y
0 0
1
-2
(-2,4)
y 随 着
k＜0
时
· ·(1,-2)
X的值增大
x
的 增 大 而 减 小
y 2 x
当k＜0时，图象从左向右是下降的，即 y随x的增大而减小。
（1）正比例函数的图象有什么共同点？它们是怎样分 布的，这样分布是由什么值决定的？ （2）什么情况下函数图象越靠近y轴？（即增加或减少的更快）
x
-2
-3 -4 -5
y=-2x
作以下正比例函数的图象
画 一 画
1 y x 3
1 y x 3
y x
y=3x
y x
y = -3x
（1）正比例函数的图象有什么共同点？它们是怎样分 布的，这样分布是由什么值决定的？ （2）什么情况下函数图象越靠近y轴？（即增加或减少的更快）
y=-2x
y x
y
y=3x
y x
边 看 边 想
2 1 -1 0 -1 1 2
1 y x 3
x
（1）正比例函数的图象有什么共同点？它们是怎样分 布的，这样分布是由什么值决定的？ （2）什么情况下函数图象越靠近y轴？（即增加或减少的更快）
y=-2x
y x
y
边 看 边 想
1 y x 3
2 1 -1 0 -1 1 2
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3、上下移动c改变c的大小，看抛物线怎样变化？
4、分别改变a、b的大小，看抛物线的对称轴是否发 生变化？由3和4可知，抛物线的对称轴与什么有关？ 与什么无关？
5、保持a不变，改变b、c时，抛物线的形状如何变化？
6、c保持不变时，抛抛线总是经过哪一点？
7、探讨一下，抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的符 号的关系。
数学活动课
用几何画板学数学
2019/11/10
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 进
1
活动目标：
1、在几何画板里通过一次函数和 二次函数参数的变化，验证并进一 步地研究它们的性质。
2、在几何画板里，从变化的几何 图形中，发现不变的几何规律。
3、学会作简单代数式的轨迹，并 作初步了解。
2019/11/10
2019/11/10
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 进
3
练习一
条件
k的 符号
b的 符号
函数的增减
图象经过一、二、三象
限
+
+
y随x的增大 而增大
图象经过一、三、四象
限
+
-
y随x的增大 而增大
图象经过一、二、四象
限
-
+
y随x的增大 而减少
Hale Waihona Puke 图象经过二、三、四象限
-
-
y随x的增 大而减少
2019/11/10
2019/11/10
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 进
12
讲述内外分点
A
CB
点C在线段AB上，将AB分成两条线段CA和CB，点C叫做线 段AB的内分点。
A
BC
点C在线段AB的延长线上，将AB分成从这点分别到两个端 点的两条线段CA和CB，点C叫做线段AB的外分点。
于是相交弦定理可以叙述成：
2、点击“图表”菜单中的“建立坐标轴”；
3、在横坐标轴上任找一点，用“文本工具”，加上标签“C”， 选中C点，单击“度量”菜单中的“坐标”命令，得度量值，
C：（-2.80,0.00）,再用“选择工具”选择它。（度量值变黑）
4、点击“度量”菜单中的“计算”命令，出现计算器；
5、点击“数值”下拉式菜单中的“点C”的“x”值，按“确定”
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一次函数图象的性质
操作步骤和要求:
1、点击“工作”菜单下的文件：hstx1.gsp
2、拖动点E或点F，分别满足表中的条件，同时 观察直线解析式中k和b的符号变化，并把它填入 下表。（或双击动画1，需要停止动画，单击左 键，双击动画1，动画又继续）
3、双击显示按钮后，分k>0和k<0两种情况，拖 动点P沿直线运动（或按动画按钮），观看y怎样 随x的变化而变化，并把它填入下表。
圆的弦相交于圆内一点，各弦被这点内分成的两条线段长的 乘积相等。
切割线定理及其推论可以叙述成：
圆的弦延长相交于圆外一点，各弦被这点外分成两条线段长 的乘积相等。
2019/11/10
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作函数的图象
1、击“文件”菜单中“新绘图”命令，建立新的绘图板；
步骤：
①点击“文件”菜单中的“新绘图”命令；
②点击“绘图”菜单中的“建立坐标轴”命令；
③用“直尺工具”中的直线工具，在坐标系内画一直 线，并用文本工具给直线上的两点加上标签；
④点击“度量”菜单中的“方程”命令，得直线的方 程；
然后，再进行以下操作并回答问题：
（1）用鼠标拖动直线进行平移，看k和b如何变化？说 明什么？
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思考题：
1、拖动F点，使直线绕点E旋转，k和 b如何变化？
2、在整个图象变化的过程中，按逆时 针方向，x轴与直线的夹角的大小与k 的大小有什么关系？
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作一次函数图象（或单击”工作“菜单中的
hstx2.gsp)
2xc+1=14.45.
7、用“选择工具”，分别选中 键盘上的“shift”键不放）；
Xc=-2.80
选中第二个对象要按
201989/1、、1/10点分击别“选图中表点”E和菜点单C中学，贵的有点疑“击，绘小“疑出进则作小（进图x，，”大疑y菜则）大单”中，的得“到轨点迹“”E”，。14得
思考题： 1、 拖动点C，改变它的大小，观 C: (-2.80,0.00) 看点D的位置，x[C]等于多C少:(-2.80,时0.00) ， 函数值有最大值还是最小值？是 多少？ 2、 你能不能画出其它函数的图 象？
到两交点的两条线段之积是否变化？如果不变，它 是多少？
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圆幂定理
于是，我们把相交弦定理、切割线定理及推论统一为 一个定理：即
过一定点P向⊙O作一直线交⊙O于两点，则自定点P到 两交点的两条线段之积为常数。（，其中R为⊙O的半 径）
因为OP2-R2叫做点P对⊙O的幂，所以这几个定理统称 为圆幂定理。
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和圆有关的比例线段 •练习二：
双击显示按钮后
1 、 拖 动 控 制 点 H ， 使 弦 AB 通 过 圆 心 。 （只要使∠BRA=90度，弦AB即为直径。）
2、拖动控制点G，使弦CD垂直于AB，发 现什么结论？CP与圆的半径和OP之间有 什么关系？由此设想一下：过圆内一定点 P向⊙O作一直线交⊙O于两点，则自定点 P到两交点的两条线段之积是否变化？如 果不变，它是多少？
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（2）当直线通过原点时，k和b如何变化？
（3）拖动控制点D，使直线分别垂直于坐标轴，则直
2线019方/11/1程0 如何变化？
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二次函数图象的性质 操作步骤：
1、点击“工作”菜单下的文件：hstx3.gsp
2、上下移动a改变a的大小，观看抛物线的开口方向 和张口程度。
按纽，得Xc=-2.80再用“选择工具”选择它。（度量值变黑）
6、点击“度量”菜单中的“计算”命令，出现计算器，再点
击“数值”下拉式菜单中的“x[c]”，分别按计算器上的“∧”、
“2”、“-”、“2”、“*”、“数值”下拉式菜单中的“x[c]”、
“ +” 、 “ 1” 、 “ 确 定 ” 按 纽 。 得 到 代 数 式 的 值 ： xc2-
8、探讨一下，抛物线y随x的增大将怎样变化？
2901、9/11当/10 a=0时，函数的图学贵象有疑是，小什疑进则么小进？，大疑则大
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和圆有关的比例线段 练习一：
打开画板文件：ymdl.gsp，一边拖动控制 点，一边看上面相关的度量值。
1、拖动控制点H，可使弦AB绕点P旋转。 2、拖动控制点G，可使弦CD绕点P旋转。 3、拖动控制点E，可改变圆的大小。 4、在圆内拖动控制点P，可改变OP的大小。 从上面的变化中你发现什么结论？
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和圆有关的比例线段 练习三：
双击隐藏按钮后，再完成下列操作： 从圆内把点P拖到圆外，重复上面的操作，
其结论是否成立？
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和圆有关的比例线段 练习四：
打开文件ymdl2.gsp 拖动点F，使点F和E重合，可得什么结论？ 过一定点P向⊙O作一直线交⊙O于两点，则自定点P