高中数学课件必修三第三章3.3几何概型
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答案：π6
课堂训练 巩固新知
与区间长度成比例
(1)在区间[0，10]内的所有实数中随机取一个实数 a ，
则这个实数 a 7 的概率为 0.3 0.；7
与面积成比例
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着
石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率为 0.004.
与体积成比例
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL 水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率为 0.002 .
[错解] 在 AB 上取点 C′，使 AC′＝AC. 在∠ACB 内作射线 CM 看作在线段 AC′上任 取一点 M，过 C、M 作射线 CM，则概Hale Waihona Puke Baidu为AACB′
＝AACB＝
2 2.
[错因分析] 虽然在线段AC′上任取一点M是等可能的，但过点C和 任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作 射线，尽管点与射线是一一对应的，因此在确定基本事件时，一定要注 意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性．
拓展一：时间相遇问题
例. 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，求乘客候 车不超过3分钟的概率.
A
B
C
D
E
F
0
1
2
3
4
5
解:设事件A={乘客候车时间不超过3分钟},
事件A发生对应的时间长度为3分钟, 基本事件的全体Ω对应的时间长度为5分钟，
由几何概型的概率公式得
P( A)＝ m( A) 3 0.6
一、复习旧知 巩固旧知
1.古典概型的特点 （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等；
2.古典概型的概率公
式
P( A)
A 所包含的基本事件 的个数 基本事件 的总数
n m
一、课堂引入
一、课堂引入
能不能转到我 擅长的歌呢？
思考：
①转动一次转盘指针停的位置有多少种结果？
特征：（1）无限性：基本事件的个数无限
（2）等可能性：基本事件出现的可能性相同
几何概型的概率公式：
P(A)=
构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积) 试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
记为：
P
A
m A m
二、提出问题 引入课题
口答1：在区间[0，9]上任取一个整数a，
则a [0，3] 的概率为 2/5
[正解] 在∠ACB 内的射线 CM 是均匀分布的，所以射线 CM 在任何位置都是等可能的．在 AB 上取 AC′＝AC，则∠ACC′＝ 67.5°，故满足条件的概率为6970.5＝0.75.
课堂总结
古典概型的特征 几何概型的特征
异
（1）试验中所有可能出 （1）试验中所有可能出 现的基本事件有有限个； 现的基本事件有无限个；
B.13
C.23
D.45
(1)(2013·湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足
|x|≤m
的概率为5，则 6
m＝___3_____.
练习．利用计算机产生0-1之间的均匀随机数a，则使得“ ”
发生的概率为___2__/3___
题型二：与面积有关的几何概型
2. 【2013 高考陕西版理第 5 题】如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信
（2）每个基本事件出现 （2）每个基本事件出现 同
的可能性相等.
现的可能性相等.
两种概型、概率公式的联系
1.古典概型的概率公式:
P(A)
m
n
事件 A 所包含的基本事件数 试验的基本事件总数
2.几何概型的概率公式:
P（A
）=
构成事件A 的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
设它表示的平面区域为
Ω，如右图，
即直角边长为 1 的等腰直角三角形 MON.要能构成三角形须满足
x＋y>1－x－y， 1－x>x， 1－y>y，
设它表示的平面区域为 A，即图中阴影区域，
则能构成三角形的概率为1212××121××121＝14.
拓展三：估测概率
【2014福建,文13】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子， 有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________.
m()
5
拓展一：时间相遇问题
• 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应 等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
• [解析] 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地 点的时间，则两人能够会面的条件是|x－y|≤15.在如 图所示的平面直角坐标系下(x，y)的所有可能结果是 边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面” 的可能结果由图中阴影部分表示．
2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内 随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的 面积约为________．
答案：23 5
2020/11/3
拓展四：与角度有关的几何概型
• 例：等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线 CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．
内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( C )
1
A．
4
1
B．
3
1
C．
2
2
D．
3
题型三：与体积有关的几何概型
例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒 的概率是多大？
P( A)
取出的水的体积 所有水的体积
.
1 5
0.2.
练习．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体 ABCDA1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 ________．（ V 球＝43πR3）
由几何概型的概率公式得 P(A)＝SSA＝6026－02452＝36003－ 6020025＝176.
所以两人能会面的概率是176.
拓展二：线性规划问题
例：把长度为1的线段随机分为三段，求这三段能构成三角形 的概率．
[解析] 设分得的两段长分别为 x，y，
则第三段长为 1－x－y，需满足
0<x<1， 0<y<1， 0<1－x－y<1，
3
)B
A. 4
B. 8
3
3
C. 2 , 3
D.无法计算
3.在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB
于M,求|AM|>|AC|的概率.
1/6
预测选中擅长歌
曲的概率?
②指针停在任何位置的可能性是否一样？
二、创设情境 构建概念
问题1：图1中转盘选中擅长歌曲的概率是多少？
擅长 不擅长
不擅长 擅长
擅长
不擅长
不擅长 擅长
图1
P（擅长）=1/2
三、创设情境 构建概念
问题2:换成下图的转盘(蓝红区域面积比为3:2)， 选中擅长歌曲的概率是多少? P（擅长）=3/5
几何概型可以看作是古典概型的推广
课堂小测：
1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为 ( )D A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成
的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影
区域内的概率为 则2阴影区域的面积为(
提出问题2：在区间[0，9]上任取一个实数a ，
则a [0，3] 的概率为 3
题型一：与长度有关的几何概型
例一：(2)(2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一
点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩
形面积小于 32 cm2 的概率为( C )
A.16
不擅长 不擅长
加加油油
擅长
擅长
不擅长
不擅长 不擅长
擅长
加不油擅长
加油
4擅00长元
面积
图2
图3
选中擅长歌曲的概率与所在扇形区域的位置无关，
只与擅长歌曲所在扇形区域的面积有关。
几何概型
• 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的 概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信
号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( A )．
A．1 π 4
B． π 1 2
C．2 π 2
D． π 4
练习. 【2011 福建,理 4】如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点．若在矩形 ABCD
课堂训练 巩固新知
与区间长度成比例
(1)在区间[0，10]内的所有实数中随机取一个实数 a ，
则这个实数 a 7 的概率为 0.3 0.；7
与面积成比例
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着
石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率为 0.004.
与体积成比例
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL 水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率为 0.002 .
[错解] 在 AB 上取点 C′，使 AC′＝AC. 在∠ACB 内作射线 CM 看作在线段 AC′上任 取一点 M，过 C、M 作射线 CM，则概Hale Waihona Puke Baidu为AACB′
＝AACB＝
2 2.
[错因分析] 虽然在线段AC′上任取一点M是等可能的，但过点C和 任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作 射线，尽管点与射线是一一对应的，因此在确定基本事件时，一定要注 意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性．
拓展一：时间相遇问题
例. 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，求乘客候 车不超过3分钟的概率.
A
B
C
D
E
F
0
1
2
3
4
5
解:设事件A={乘客候车时间不超过3分钟},
事件A发生对应的时间长度为3分钟, 基本事件的全体Ω对应的时间长度为5分钟，
由几何概型的概率公式得
P( A)＝ m( A) 3 0.6
一、复习旧知 巩固旧知
1.古典概型的特点 （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等；
2.古典概型的概率公
式
P( A)
A 所包含的基本事件 的个数 基本事件 的总数
n m
一、课堂引入
一、课堂引入
能不能转到我 擅长的歌呢？
思考：
①转动一次转盘指针停的位置有多少种结果？
特征：（1）无限性：基本事件的个数无限
（2）等可能性：基本事件出现的可能性相同
几何概型的概率公式：
P(A)=
构成事件A的测度 (区域长度、面积或体积) 试验的全部结果所构成的测度 (区域长度、面积或体积)
记为：
P
A
m A m
二、提出问题 引入课题
口答1：在区间[0，9]上任取一个整数a，
则a [0，3] 的概率为 2/5
[正解] 在∠ACB 内的射线 CM 是均匀分布的，所以射线 CM 在任何位置都是等可能的．在 AB 上取 AC′＝AC，则∠ACC′＝ 67.5°，故满足条件的概率为6970.5＝0.75.
课堂总结
古典概型的特征 几何概型的特征
异
（1）试验中所有可能出 （1）试验中所有可能出 现的基本事件有有限个； 现的基本事件有无限个；
B.13
C.23
D.45
(1)(2013·湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足
|x|≤m
的概率为5，则 6
m＝___3_____.
练习．利用计算机产生0-1之间的均匀随机数a，则使得“ ”
发生的概率为___2__/3___
题型二：与面积有关的几何概型
2. 【2013 高考陕西版理第 5 题】如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信
（2）每个基本事件出现 （2）每个基本事件出现 同
的可能性相等.
现的可能性相等.
两种概型、概率公式的联系
1.古典概型的概率公式:
P(A)
m
n
事件 A 所包含的基本事件数 试验的基本事件总数
2.几何概型的概率公式:
P（A
）=
构成事件A 的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
设它表示的平面区域为
Ω，如右图，
即直角边长为 1 的等腰直角三角形 MON.要能构成三角形须满足
x＋y>1－x－y， 1－x>x， 1－y>y，
设它表示的平面区域为 A，即图中阴影区域，
则能构成三角形的概率为1212××121××121＝14.
拓展三：估测概率
【2014福建,文13】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子， 有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________.
m()
5
拓展一：时间相遇问题
• 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应 等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
• [解析] 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地 点的时间，则两人能够会面的条件是|x－y|≤15.在如 图所示的平面直角坐标系下(x，y)的所有可能结果是 边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面” 的可能结果由图中阴影部分表示．
2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内 随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的 面积约为________．
答案：23 5
2020/11/3
拓展四：与角度有关的几何概型
• 例：等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线 CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．
内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( C )
1
A．
4
1
B．
3
1
C．
2
2
D．
3
题型三：与体积有关的几何概型
例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒 的概率是多大？
P( A)
取出的水的体积 所有水的体积
.
1 5
0.2.
练习．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体 ABCDA1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 ________．（ V 球＝43πR3）
由几何概型的概率公式得 P(A)＝SSA＝6026－02452＝36003－ 6020025＝176.
所以两人能会面的概率是176.
拓展二：线性规划问题
例：把长度为1的线段随机分为三段，求这三段能构成三角形 的概率．
[解析] 设分得的两段长分别为 x，y，
则第三段长为 1－x－y，需满足
0<x<1， 0<y<1， 0<1－x－y<1，
3
)B
A. 4
B. 8
3
3
C. 2 , 3
D.无法计算
3.在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB
于M,求|AM|>|AC|的概率.
1/6
预测选中擅长歌
曲的概率?
②指针停在任何位置的可能性是否一样？
二、创设情境 构建概念
问题1：图1中转盘选中擅长歌曲的概率是多少？
擅长 不擅长
不擅长 擅长
擅长
不擅长
不擅长 擅长
图1
P（擅长）=1/2
三、创设情境 构建概念
问题2:换成下图的转盘(蓝红区域面积比为3:2)， 选中擅长歌曲的概率是多少? P（擅长）=3/5
几何概型可以看作是古典概型的推广
课堂小测：
1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为 ( )D A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成
的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影
区域内的概率为 则2阴影区域的面积为(
提出问题2：在区间[0，9]上任取一个实数a ，
则a [0，3] 的概率为 3
题型一：与长度有关的几何概型
例一：(2)(2012·辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一
点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩
形面积小于 32 cm2 的概率为( C )
A.16
不擅长 不擅长
加加油油
擅长
擅长
不擅长
不擅长 不擅长
擅长
加不油擅长
加油
4擅00长元
面积
图2
图3
选中擅长歌曲的概率与所在扇形区域的位置无关，
只与擅长歌曲所在扇形区域的面积有关。
几何概型
• 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的 概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信
号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( A )．
A．1 π 4
B． π 1 2
C．2 π 2
D． π 4
练习. 【2011 福建,理 4】如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点．若在矩形 ABCD