人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案空间向量及其加减运算

空间向量及其运算
3．1.1 空间向量及其加减运算
预习课本P84～85，思考并完成以下问题
1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？
2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？
[新知初探] 1．空间向量的有关概念
(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．
(3)表示法：⎩⎪⎨⎪⎧
①几何表示法：空间向量用有向线段表示.
②字母表示法：用字母表示，若向量a
的起点是A ，终点是B ，则向量a 也
可以记作AB ，其模记为|a |或|AB |.
2．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0
单位向量 模为1的向量
|a |＝1或|AB |＝1
相反向量
与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量
－a
相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或AB＝CD
3.空间向量的加法和减法运算
空间向量的运算
加法OB＝OA＋AB＝a＋b
加法Z CA＝OA－OC＝a－b
运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()
(2)零向量没有方向()
(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致()
答案：(1)√(2)×(3)√
2．化简PM－PN＋MN所得的结果是()
A．PM B．NP
C．0 D．MN
答案：C
3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状一定是() A．平行四边形B．菱形
C．矩形D．正方形
答案：A
4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．
答案：球面
空间向量的概念辨析
[典例]
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC
[解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|
＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故选B.
[答案] B
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
[活学活用]
给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝A C11；
③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确；②正确，因为AC与A C
11
的大小和方向均相同；③错误，当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同；④错误，单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同．综上可知，正确命题为①②.
答案：①②
空间向量的加法、减法运算[典例]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简A F11－EF＋DF＋
AB＋CC
1
，并在图中标出化简结果的向量．
[解]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，
所以A F
11
＝AF.
同理AB＝ED，CC
1＝DD
1
，DF＝D F
11
，
所以A F
11－EF＋AB＋CC
1
＋DF＝AF＋FE＋ED＋DD
1
＋
D F
11＝AF
1
，如图．
[一题多变]
1．[变设问]若本例条件不变，化简AB＋CC1＋DE＋B D
11
，并在图中标出化简结果的向量．
解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，
所以BB
1＝CC
1
，DE＝D E
11
，所以AB＋CC
1
＋DE＋B D
11
＝AB＋BB
1
＋
D E
11＋B D
11
＝AB＋BB
1
＋B D
11
＋D E
11
＝AE
1
.
2．[变条件、变设问]若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简AF 1－AB ＋BC，并在图中标出化简结果的向量．
解：因为六边形ABCDEF是正六边形，
所以BC∥EF，BC＝EF，
又因为E1F1∥EF，E1F1＝EF，
所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，
所以BCE1F1是平行四边形，
所以AF
1－AB＋BC＝BF
1
＋BC＝BE
1
.
在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．
层级一学业水平达标
1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD＝() A．2DB B．3MG
C．3GM D．2MG
解析：选B MG－AB＋AD＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG.
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD 是()
A．平行四边形B．空间四边形
C．等腰梯形D．矩形
解析：选A∵AO＋OB＝DO＋OC，∴AB＝DC.
∴AB∥DC且|AB|＝|DC|.
∴四边形ABCD为平行四边形．
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量AC1的共有()
①(AB＋BC)＋CC
1；②(AA
1
＋A D
11
)＋D C11；
③(AB＋BB
1
)＋B C11；④(AA1＋A B11)＋B C11.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选D根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．
4．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()
A．EB＋BF＋EH＋GH＝0
B．EB＋FC＋EH＋GE＝0
C．EF＋FG＋EH＋GH＝0
D．EF－FB＋CG＋GH＝0
解析：选B由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中EH＝FG，且FC＝BF，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有EB＋FC＋EH＋GE＝0.
5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有()
①OA＋OD与OB
1＋OC
1
是一对相反向量；
②OB－OC与OA
1－OD
1
是一对相反向量；
③OA＋OB＋OC＋OD与OA
1＋OB
1
＋OC
1
＋OD
1
是一对相反向量；
④OA
1－OA与OC－OC
1
是一对相反向量．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：选C利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
6.如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，AC与A C''是
________向量，AB与B A''是________向量(用“相等”“相反”填空)．
答案：相等相反
7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A B1＝________.
解析：如图，
A B 1＝B B
1
－B A
11
＝B B
1－BA＝－CC
1
－(CA－CB)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
8．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．
答案：④
9．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体
ABCD-A1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为5的所有向量；
(3)试写出AA1的相反向量．
解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA
1，A A
1
，BB
1
，B B
1
，
DD 1，D D 1，CC 1，C C 1共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位
向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1，D A 1，C B 1，
BC 1，B C 1，CB 1，A D 1，DA 1.
(3)向量AA 1的相反向量为A A 1，B B 1，C C 1，D D 1，共4个． 10.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1＝a ，AB ＝b ，AD ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：
(1) AP ；(2) A N 1；(3) MP . 解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，
∴AP ＝AA 1＋A D 11＋D P 1＝a ＋AD ＋1
2D C 11
＝a ＋c ＋12AB ＝a ＋c ＋1
2b .
(2)∵N 是BC 的中点，
∴A N 1＝A A 1＋AB ＋BN ＝－a ＋b ＋1
2BC
＝－a ＋b ＋12AD ＝－a ＋b ＋1
2c .
(3)∵M 是AA 1的中点，
∴MP ＝MA ＋AP ＝1
2A A 1＋AP
＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋1
2
b ＋
c . 层级二 应试能力达标
1．下列命题中，正确的个数为( ) ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
②|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；
③AB ＝CD 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选C ①正确，∵a ＝b ，∴a ，b 的模相等且方向相同．∵b ＝c ，∴b ，c 的模相等且方向相同，∴a ＝c .②正确，a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .③不正确，由AB ＝CD ，知|AB |＝|CD |，且AB 与CD 同向．故选C.
2．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA ＋CD －CB 等于( )
A ．D
B B ．AB
C ．AC
D ．BA
解析：选D 法一：DA ＋CD －CB ＝(CD ＋DA )－CB ＝CA －CB ＝BA . 法二：DA ＋CD －CB ＝DA ＋(CD －CB )＝DA ＋BD ＝BA . 3．如果向量AB ，AC ，BC 满足|AB |＝|AC |＋|BC |，则( ) A ．AB ＝AC ＋BC B ．AB ＝－AC －BC C ．AC 与BC 同向 D ．AC 与CB 同向
解析：选D ∵|AB |＝|AC |＋|BC |， ∴A ，B ，C 共线且点C 在AB 之间， 即AC 与CB 同向．
4．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB ＝b ，AD ＝c ，则CD 等于( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c
D ．－a ＋b －c
解析：选C CD ＝CB ＋BA ＋AD ＝CB －AB ＋AD ＝b －a ＋c ＝－a ＋b ＋c . 5．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，CC 1＝c ，E 是A 1B 的中点，则CE ＝________.(用a ，b ，c 表示)
解析：CE ＝1
2(CA 1＋CB )
＝1
2(CA ＋CC 1＋CB ) ＝1
2(a ＋b ＋c )． 答案：1
2
(a ＋b ＋c )
6．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A B 11＝a ，A D 11＝b ，A A 1＝c ，用a ，b ，c 表示D M 1，则D M 1＝________.
解析：D M 1＝D D 1＋DM ＝A A 1＋1
2(DA ＋DC )
＝c ＋1
2
(－A D 11＋A B 11)
＝1
2a－
1
2b＋c.
答案：1
2a－
1
2b＋c
7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AB＋BC－C C1；
(2)AB－DA－A A1.
解：(1)AB＋BC－C C
1＝AB＋BC＋CC
1
＝AC＋CC
1
＝
AC
1
(如图)．
(2)AB－DA－A A 1
＝AA
1
＋(AB＋AD)
＝AA
1＋(A B
11
＋A D
11
)
＝AA
1＋A C
11
＝AC
1
(如图)．
8.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分
别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．
(1)AB＋BC－DC；
(2)AB－DG－CE.
解：(1)AB＋BC－DC＝AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD，如图中向量AD.
(2)AB－DG－CE＝AB＋GD＋EC＝AB＋BG＋EC＝AG＋GF＝AF，如图中向量AF.。