人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案空间向量及其加减运算

空间向量及其运算

3．1.1 空间向量及其加减运算

预习课本P84～85，思考并完成以下问题

1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？

2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？

[新知初探] 1．空间向量的有关概念

(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．

(3)表示法：⎩⎪⎨⎪⎧

①几何表示法：空间向量用有向线段表示.

②字母表示法：用字母表示，若向量a

的起点是A ，终点是B ，则向量a 也

可以记作AB ，其模记为|a |或|AB |.

2．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0

单位向量 模为1的向量

|a |＝1或|AB |＝1

相反向量

与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量

－a

相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或AB＝CD

3.空间向量的加法和减法运算

空间向量的运算

加法OB＝OA＋AB＝a＋b

加法Z CA＝OA－OC＝a－b

运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()

(2)零向量没有方向()

(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致()

答案：(1)√(2)×(3)√

2．化简PM－PN＋MN所得的结果是()

A．PM B．NP

C．0 D．MN

答案：C

3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状一定是() A．平行四边形B．菱形

C．矩形D．正方形

答案：A

4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．

答案：球面

空间向量的概念辨析

[典例]

A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC

[解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|

＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故选B.

[答案] B

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．

(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．

[活学活用]

给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；

②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝A C11；

③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

④空间中任意两个单位向量必相等．

其中正确命题的序号是________．

解析：①正确；②正确，因为AC与A C

11

的大小和方向均相同；③错误，当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同；④错误，单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同．综上可知，正确命题为①②.

答案：①②

空间向量的加法、减法运算[典例]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简A F11－EF＋DF＋

AB＋CC

1

，并在图中标出化简结果的向量．

[解]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，

所以A F

11

＝AF.

同理AB＝ED，CC

1＝DD

1

，DF＝D F

11

，

所以A F

11－EF＋AB＋CC

1

＋DF＝AF＋FE＋ED＋DD

1

＋

D F

11＝AF

1

，如图．

[一题多变]

1．[变设问]若本例条件不变，化简AB＋CC1＋DE＋B D

11

，并在图中标出化简结果的向量．

解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，

所以BB

1＝CC

1

，DE＝D E

11

，所以AB＋CC

1

＋DE＋B D

11

＝AB＋BB

1

＋

D E

11＋B D

11

＝AB＋BB

1

＋B D

11

＋D E

11

＝AE

1

.

2．[变条件、变设问]若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简AF 1－AB ＋BC，并在图中标出化简结果的向量．

解：因为六边形ABCDEF是正六边形，

所以BC∥EF，BC＝EF，

又因为E1F1∥EF，E1F1＝EF，

所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，

所以BCE1F1是平行四边形，

所以AF

1－AB＋BC＝BF

1

＋BC＝BE

1

.

在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．

层级一学业水平达标

1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD＝() A．2DB B．3MG

C．3GM D．2MG

解析：选B MG－AB＋AD＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG.