精品高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理新人教B版

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高考数学一轮复习专练45 两条直线的位置关系及距离公式(含解析)文新人教版-新人教版高三全册数学

专练45 两条直线的位置关系及距离公式命题X 围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离[基础强化]一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12 B.32C.14D.343．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝07．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝( )A．0 B．1C．－2 D．－18．[2020·某某某某一中高三测试]三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值X围是( )A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10D．k∈R且k≠±5，k≠19．直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )A．3x－2y－4＝0B．x＝2或3x－2y－4＝0C．x＝2或x－2y＝0D．x＝2或3x－2y－8＝0二、填空题10．若曲线y＝a x(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________．11．若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________.12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________.[能力提升]13．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为( )A．1 B．2C．2 2 D．2 314．[2020·某某某某高三测试]当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m 的值为( )A. 2 B．0C．－1 D．115．已知直线l过点(5,10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程为________．16．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线方程是____________．专练45 两条直线的位置关系及距离公式1．A 设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1,0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．D ∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．A 由两条直线平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1＝6，27－a ≠2a －1a ，得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12， ∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．B 由点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋32＝|4＋C |2＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A 过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线即y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．C ∵l 1∥l 2，∴12＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0∴|m ＋3|12＋－22＝|m ＋3|5＝5，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．B 解法一当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，依题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，因为P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，所以|4k －2＋1－2k |＝|4＋1－2k |，解得k ＝32，则直线l 的方程为3x －2y －4＝0，故选B.解法二由题意知，所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点或与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行．当所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x＝2；当所求直线与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行时，由k PQ ＝－4－20－4＝32，得直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0，故选B. 10. 2解析：由题意得A (0,1)，由点A (0,1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12＝ 2.11．2或－1解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且2(a 2－1)＋6(a －1)≠0，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.12. 2 解析：由题意可知，k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1，故|AB |＝5－42＋b －a 2＝ 2. 13．B 因为直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，所以(b 2＋1)－ab2＝0.又因为b >0，所以ab ＝b ＋1b≥2，当且仅当b ＝1时等号成立．故选B. 14．C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q (2,1)，所以点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，PQ 垂直直线，即m ·2－13－2＝－1，∴m ＝－1，故选C. 15．x －5＝0或3x －4y ＋25＝0解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.16．2x ＋y ±5＝0解析：设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠1)，∵直线2x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，∴圆心(0,0)到直线的距离为5，∴|m |5＝5，∴m ＝±5，∴所求的直线方程为2x ＋y ±5＝0.。

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章两条直线的位置关系

√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0，直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32，所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为
解析由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1，由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k，解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

高考数学一轮总复习课时规范练39两条直线的位置关系北师大版

课时规范练39两条直线的位置关系基础巩固组1.(2021四川资阳中学月考)若直线l1:(a+2)x+(1-a)y-3=0与l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，则实数a的值为()A.1B.-1C.±1D.-322.(2021北京昌平模拟)直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a2=0平行，则实数a的值为()A.1或-1B.0或-1C.-1D.13.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直，垂足为点(1，p)，则m+n-p等于()A.24B.20C.4D.04.与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为()A.2x+3y+1=0B.2x+3y-1=0C.3x-2y+1=0D.3x+2y+1=05.直线l0:4x-y-4=0与l1:x-2y-2=0及l2:4x+3y-12=0所得两交点间的距离为()A.32√17 B.314√17C.914√17 D.3√176.直线l1，l2是分别过A(1，1)，B(0，-1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为()A.x+2y-3=0B.x-2y-3=0C.2x-y-1=0D.2x-y-3=07.三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则实数a的取值可以是()A.-1B.1C.-1或1D.58.若a>0，点A(2，a)到直线l:x-2y+3=0距离为√5，则a=.9.已知M(-1，2)，直线l:2x+y-5=0，点M关于直线l的对称点Q的坐标是.综合提升组10.(2021北京高三二模)点P(cos θ，sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()A.[125,17 5]B.[75,12 5]C.[75,17 5]D.[125,24 5]11.等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标是()A.(0，0)B.(0，2)C.(4，6)或(2，0)D.(6，4)12.已知直线l1:ax-y+1=0，l2:x+ay+1=0，a∈R，以下结论错误的是()A.不论a为何值，直线l1与直线l2都互相垂直B.当a变化时，直线l1，l2分别过定点A(0，1)，B(-1，0)C.不论a为何值，直线l1与l2都关于直线x+y=0对称D.若直线l1与l2交于点M，则|MO|的最大值为√213.(2021河北高三二模)直线l1:x+ay-2=0(a∈R)与直线l2:y=34x-1平行，则a=，l1与l2的距离为.创新应用组14.已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P，使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的有.x;④直线y=2x+1.①直线y=x+1;②直线y=2;③直线y=43课时规范练39 两条直线的位置关系1.C 解析:因为直线l 1:(a+2)x+(1-a )y-3=0与l 2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，所以(a+2)(a-1)+(1-a )(2a+3)=0，得a 2=1，解得a=±1.故选C .2.C 解析:因为直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a 2=0平行，所以{1×1−a ×a =0,1×2a 2-a ×2≠0即{a =±1,a ≠0,a ≠1, 所以a=-1.故选C .3.D 解析:由两直线垂直得2m+4×(-5)=0，解得m=10，所以原直线为10x+4y-2=0.又因为垂足(1，p )同时满足两直线方程，所以代入得{10×1+4p -2=0,2×1−5p +n =0,解得{p =−2,n =−12,所以m+n-p=10-12+2=0.故选D .4.B 解析:设点M (x ，y )是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点M'(-x ，y )在直线l :2x-3y+1=0上，所以-2x-3y+1=0，即2x+3y-1=0.故选B .5.C 解析:由{4x -y -4=0,x -2y -2=0,得{x =67,y =−47,即直线l 0与l 1的交点A 的坐标为(67,-47)，由{4x -y -4=0,4x +3y -12=0,得{x =32,y =2,即直线l 0与l 2的交点B 的坐标为(32,2)，所以|AB|=√(67-32)2+(-47-2)2=9√1714. 故选C .6.A 解析:当两条平行直线与直线AB 垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为k AB =1−(−1)1−0=2，所以k 1=-12，所以直线l 1的方程为y-1=-12(x-1)，即x+2y-3=0.故选A .7.D 解析:由题意可得直线x+y=0与x-y=0都过原点，而无论a 为何值，直线x+ay=3不过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a ≠±1.故选D . 8.5 解析:由点到直线的距离公式可得√5=√5=√5，即|5-2a|=5.又因为a>0，所以a=5.9.(3，4) 解析:设Q (x 0，y 0).因为点M (-1，2)关于直线l 的对称点是点Q ，所以{y 0-2x 0-(-1)×(−2)=−1,2×x 0-12+y 0+22-5=0,解得{x 0=3,y 0=4,即Q (3，4). 10.C 解析:点P 到直线的距离为d=√32+42=|5sin(θ+φ)-12|5，其中sin φ=35，cos φ=45. 由三角函数性质易知，5sin(θ+φ)-12∈[-17，-7]，故d ∈[75,175].故选C .11.C 解析:设B (x ，y ).根据题意可得{k AC k BC =−1,|BC|=|AC|,即{3−43−0·y -3x -3=−1,√(x -3)2+(y -3)2=√(0-3)2+(4−3)2,解得{x =2,y =0或{x =4,y =6,所以B (2，0)或B (4，6). 故选C .12.C 解析:对于A ，因为a ×1+(-1)×a=0恒成立，所以不论a 为何值，直线l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确;对于B ，易知直线l 1恒过点A (0，1)，直线l 2恒过点B (-1，0)，故B 正确;对于C ，在直线l 1上任取点(x ，ax+1)，其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1，-x )，代入直线l 2的方程x+ay+1=0，可知左边不恒等于0，故C 不正确;对于D ，由{ax -y +1=0,x +ay +1=0,解得{x =-a -1a 2+1,y =-a+1a 2+1, 所以M -a -1a 2+1,-a+1a 2+1，所以|MO|=√(-a -1a 2+1) 2+(-a+1a 2+1) 2=√2a 2+1≤√2，所以|MO|的最大值为√2，故D 正确.故选C .13.-4325解析:l2方程可化为3x-4y-4=0.因为l1∥l2，所以13=a-4≠-2-4，解得a=-43，所以直线l1:x-43y-2=0，即3x-4y-6=0，所以它们之间的距离为d=√32+(−4)2=25.14.②③解析:①点M到直线y=x+1的距离d=√2=3√2>4，故该直线上不存在点P，使|PM|=4，该直线不是“切割型直线”;②点M到直线y=2的距离d=2<4，故该直线上存在点P，使|PM|=4，该直线是“切割型直线”;③点M到直线y=43x的距离d=4，故该直线上存在点P，使|PM|=4，该直线是“切割型直线”;④点M到直线y=2x+1的距离d=√5=11√55>4，故该直线上不存在点P，使|PM|=4，该直线不是“切割型直线”.故答案为②③.。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《两条直线的位置关系》课件ppt

命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为
A.3x－2y－4＝0
B.2x＋3y－6＝0
√C.2x－3y－4＝0
D.3x－2y－6＝0
设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为
M′(x1，y1)，
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × ) (3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k ，
第
二部分
探究核心题型
题型一两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0 是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
√C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.

新高考新教材一轮复习人教B版第八章第二节两条直线的位置关系作业

第八章第二节两条直线的位置关系基础夯实练1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1aB ．AC ．－1aD ．－1a或不存在解析：选D 设直线l 1，l 2的斜率分别是k 1，k 2，当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1， ∴k 2＝－1a；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合， ∴直线l 2的斜率不存在．故直线l 2的斜率为－1a或不存在．2．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，且4a ＋1≠0，即a 2＋a －2＝0，a ≠－12，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0D ．10解析：选A 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得p ＝－2， ∴垂足坐标为(1，－2)．又垂足在直线2x －5y ＋n ＝0上，得n ＝－12.4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A ． 2 B ．823C ． 3D ．833解析：选B 因为a ＝0或a ＝2时，l 1与l 2均不平行，所以a ≠0且a ≠2. 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.5．(多选题)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析：选BCD 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 2不一定与l 垂直，错误；对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．6．(多选题)点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2，－1)D ．(－2,1)解析：选AC设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－1，所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选AC ．7．(多选题)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( ) A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是 2解析：选ABD 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确．对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x )，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0得2ax ＝0，不满足不论a 为何值时，2ax ＝0恒成立，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1，所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2，所以|MO |的最大值是2，故D 正确．故选ABD ．8．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是________.解析：在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝09．设光线l 从点A (－4， 3 )出发，经过x 轴反射后经过点B ⎝⎛⎭⎫0，33，则光线l 与x轴的交点为________，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________.解析：由点B ⎝⎛⎭⎫0，33关于x 轴的对称点为B ′⎝⎛⎭⎫0，－33，可得直线AB ′的斜率为3＋33－4＝－33，方程为y ＝－33x －33，令y ＝0，可得x ＝－1，即光线l 与x 轴交点的横坐标为－1；由入射光线AB ′可得入射角为90°－30°＝60°，则折射角为30°，折射光线的斜率为k ＝tan(30°＋90°)＝－3，折射光线的方程为y －0＝－3(x ＋1)，令x ＝0，可得y ＝－3，则折射光线所在直线的纵截距为－ 3. 答案：(－1,0) － 3综合提升练10．(2021·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在的直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2，4)．故选C ． 11．(2021·福建福州期末)已知点A (－2,1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( )A ．3或13B ．0C ．13D ．3解析：选B设点B (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得x ＝0，y ＝3，则B (0，3)，设直线m 的方程为y －1＝k (x ＋2)，与方程l ：x ＋y －1＝0联立，解得x ＝－2kk ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1.因为直线AB 的方程为y ＝x ＋3，且|AB |＝22，点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32＝|2－2k |2|k ＋1|，所以12×22×|2－2k |2|k ＋1|＝2，得|1－k |＝|k ＋1|，得k ＝0.故选B ．12．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5解析：选A 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离 d ＝ m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5 ≥ 5，当n ＝－2，m ＝－1时取等号． ∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.13．(多选题)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：选AD 设C (x ，y )，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的外心为欧拉线方程x －y ＋2＝0与直线y ＝－x 的交点M (－1,1)， ∴|MC |＝|MA |＝10， ∴(x ＋1)2＋(y －1)2＝10，① 由A (－4,0)，B (0,4)，△ABC 重心为⎝⎛⎭⎪⎫x －43，y ＋43，代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x －y －2＝0，② 由①②可得x ＝2，y ＝0或x ＝0，y ＝－2. 故选AD ．14．已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5. 则点M 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，2 B ．⎝⎛⎭⎫13，3718 C ．⎝⎛⎭⎫19，2D ．⎝⎛⎭⎫19，3718解析：选D 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，不符合题意；联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718.故选D ．15.(多选题)如图所示，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．下列四个命题中正确的有( )A ．若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个B ．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个D ．若p ＝q ，则点M 的轨迹是一条过点O 的直线解析：选ABC 若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，A 正确．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(0，q )(q ≠0)或(p,0)(p ≠0)，因此满足条件的点有且仅有2个，B 正确．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个，如图所示，C 正确．若p ＝q ，则点M 的轨迹是两条过O 点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此D 不正确．故选ABC ．创新应用练16．在平面直角坐标系内，已知A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________.解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求点．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．答案：25 (2,4)17．已知点A (4，－1)，B (8,2)和直线l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|P A |＋|PB |的最小值为________.解析：设点A 1与A 关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点， ∴|P 0A 1|＝|P 0A |， |P A 1|＝|P A |.|P A 1|＋|PB |≥|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |， ∴|P A |＋|PB |≥|P 0A |＋|P 0B |＝|A 1B |.当P 点运动到P 0时，|P A |＋|PB |取得最小值|A 1B |.设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4·1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0,3)．∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝ 82＋(－1)2＝65.答案：65。

2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第8章8.2 两条直线的位置关系

§8.2两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )．(4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )．(5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为()A ．25 B.55C.5D.255答案C解析点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．若直线2x ＋my ＋1＝0与直线3x ＋6y －1＝0平行，则m 等于()A ．4B ．－4C ．1D ．－1答案A解析因为直线2x ＋my ＋1＝0与直线3x ＋6y －1＝0平行，所以23＝m6≠1－1，解得m ＝4.3．直线x －2y －3＝0关于x 轴对称的直线方程为________．答案x ＋2y －3＝0解析直线x －2y －3＝0的斜率为k ＝12且与x 轴交于点(3,0)，故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)，其方程为y ＝－12(x －3)，即x ＋2y －3＝0.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件．(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a 的值是()A．0或－1B．－1或1C．－1D．1答案A解析由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是()A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合答案B解析由题意可知，直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的斜率分别为－sin A a，b sin B，又在△ABC中，asin A＝bsin B，所以－sin Aa·bsin B＝－1，所以两条直线垂直．(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.答案3或－21 7解析因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝17，经检验符合题意．题型二两直线的交点与距离问题例2(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为() A．a＝6，d＝63B．a＝－6，d＝63C．a＝－6，d＝53D．a＝6，d＝53答案D解析依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，所以两直线间的距离d＝|9－4|62＋32＝53.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为()A．y＝1B．x＝3C．y＝0D．x＝2答案AB解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B.－1＝k x－3 ，＋y＋1＝0，得－1＝k x－3 ，＋y＋6＝0，得由|AB|＝5，得＝52，解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1.综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．跟踪训练2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()A．2x－3y＋5＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－2＝0D．3x＋2y＋1＝0答案D解析x－y＋3＝0，＋2y－1＝0，＝－1，＝1，所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x ＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.(2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3B．4C．2D．6答案B解析由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方，得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝4.题型三对称问题命题点1点关于点的对称问题例3直线3x－2y＝0()A．2x－3y＝0B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0D．2x－3y－2＝0答案B解析方法一设所求直线上任一点为(x，y)x，－x，－3x－2y＝0上，所以2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.方法二在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，设点O，MO′，M′，则OM－43，－所以所求直线方程为y－－30－－3＝x23－即3x－2y－2＝0.命题点2点关于直线的对称问题例4(2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．213B．9 C.74D．10答案C解析依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，1，＝m＋22＋1，＝3，＝3，∴B′(3,3)，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，如图，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与C′重合时取等号，∴(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝－4－3 2＋ 8－3 2＝74，故|AC|＋|BC|的最小值为74.命题点3直线关于直线的对称问题例5两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为() A．3x－2y－4＝0B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0D．3x－2y－6＝0答案C解析设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，y－y1x－x1＝－1，x＋x1 2－y＋y12－2＝0，x1＝y＋2，y1＝x－2，(*)∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得1，3×y－22＋1＝0，＝－3313，＝413.∴A －3313，(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则3×b ＋02＋1＝0，1，得M设直线m 与直线l 的交点为N ，x －3y ＋1＝0，x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)方法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上，易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.方法二∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．已知直线l 1经过点A (2，a －1)，B (a ,4)，且与直线l 2：2x ＋y －3＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案C解析直线l 1的斜率k 1＝ a －1 －42－a ＝a －52－a ，直线l 2的斜率k 2＝－2，所以a －52－a＝－2，解得a ＝－1，经检验符合题意．2．若直线ax －4y ＋2＝0与直线2x ＋5y ＋c ＝0垂直，垂足为(1，b )，则a ＋b ＋c 等于()A ．－6B ．4C ．－10D ．－4答案D解析因为ax －4y ＋2＝0与直线2x ＋5y ＋c ＝0垂直，故2a －20＝0，即a ＝10，因为垂足为(1，b )×1－4×b ＋2＝0，×1＋5×b ＋c ＝0，＝3，＝－17，故a ＋b ＋c ＝－4.3．(2023·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为()A ．垂直或平行B ．垂直或相交C ．平行或相交D ．垂直或重合答案D解析因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0，k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合．4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x －2y ＋1＝0和x －2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x ＋4y ＋c 1＝0和3x ＋4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|等于()A ．23B ．25C ．2D ．4答案B解析因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x －2y ＋1＝0和x －2y ＋3＝0之间的距离为|1－3|12＋－2 2＝25，3x ＋4y ＋c 1＝0和3x ＋4y ＋c 2＝0之间的距离为|c 1－c 2|32＋42＝|c 1－c 2|5，于是有|c 1－c 2|5＝25⇒|c 1－c 2|＝25.5．(2023·牡丹江模拟)直线y ＝33x 关于直线x ＝1的对称直线为l ，则直线l 的方程是()A.3x ＋y －2＝0B.3x ＋y ＋2＝0C ．x ＋3y －2＝0D ．x ＋3y ＋2＝0答案C解析直线y ＝33x 与直线x ＝1交于点所以直线l 的斜率为－33且过点所以直线l 的方程为y －33＝－33(x －1)，即x ＋3y －2＝0.6．设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，P ，Q 分别为l 1，l 2上任意一点，M 为PQ 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则m 的值为()A ．2B ．－2C ．3D ．－3答案A解析根据题意画出图形，如图所示．直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，M 为PQ 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则PA ⊥QA ，即l 1⊥l 2，则1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2.7．(多选)已知直线l 过点P (1,2)，且点A (2,3)，B (4，－5)到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是()A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．3x ＋2y －7＝0D ．2x ＋3y －7＝0答案AC 解析由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线l ∥AB 时，因为直线AB 的斜率为3－－52－4＝－4，所以直线l 的方程是y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；当直线l 经过线段AB 的中点(3，－1)时，l 的斜率为2－－1 1－3＝－32，此时l 的方程是y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0.8．(多选)设直线l 1：y ＝px ＋q ，l 2：y ＝kx ＋b ，则下列说法正确的是()A ．直线l 1或l 2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B.l 1与l 2至多有无穷多个交点C ．l 1∥l 2的充要条件是p ＝k 且q ≠bD ．记l 1与l 2的交点为M ，则y －px －q ＋λ(y －kx －b )＝0可表示过点M 的所有直线答案BC 解析对于A ，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝m (m 为直线与x 轴交点的横坐标)，此时直线l 1或l 2的方程无法表示，故A 错误；对于B ，当p ＝k 且q ＝b 时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B 正确；对于C ，当p ＝k 且q ≠b 时，l 1∥l 2，故C 正确；对于D ，记l 1与l 2的交点为M ，则M 的坐标满足l 1：y ＝px ＋q 且满足l 2：y ＝kx ＋b ，则y －px －q ＋λ(y －kx －b )＝0不表示过点M 的直线l 2，故D 错误．9．过直线3x －y ＋5＝0与2x －y ＋6＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＋1＝0的直线方程是________．答案2x ＋y －10＝0解析x －y ＋5＝0，x －y ＋6＝0，＝1，＝8，直线x －2y ＋1＝0的斜率为12，故过点(1,8)且垂直于直线x －2y ＋1＝0的直线方程为y －8＝－2(x －1)，即2x ＋y －10＝0.10．已知直线l 1：2x ＋y ＋1＝0和直线l 2：x ＋ay ＋3＝0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________；若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为________．答案－25解析已知直线l 1：2x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋ay ＋3＝0，若l 1⊥l 2，则2＋a ＝0，解得a ＝－2；若l 1∥l 2，则2a ＝1，解得a ＝12，此时直线l 2：2x ＋y ＋6＝0，显然两直线不重合，故此时l 1与l 2间的距离d ＝|5|1＋4＝ 5.11．(2022·岳阳模拟)点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为________．答案(－8，－3)解析设点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为A (a ，b ),由对称性知，直线x ＋y ＋1＝0与线段PA 垂直，所以k PA ＝b －7a －2＝1，所以a －b ＝－5，又线段PA x ＋y ＋1＝0上，即2＋a 2＋7＋b 2＋1＝0,所以a ＋b ＝－11，－b ＝－5，＋b ＝－11，＝－8，＝－3，所以点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为(－8，－3)．12．已知两直线l 1：x －2y ＋4＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0.若直线l 3：ax ＋2y －6＝0与l 1，l 2不能构成三角形，则实数a ＝________.答案－1或83或－2解析由题意可得，①当l 3∥l 1时，不能构成三角形，此时a ×(－2)＝1×2，解得a ＝－1；②当l 3∥l 2时，不能构成三角形，此时a ×3＝4×2，解得a ＝83；③当l 3过l 1与l 2的交点时，不能构成三角形，此时联立l 1与l 2－2y ＋4＝0，x ＋3y ＋5＝0，＝－2，＝1，所以l 1与l 2的交点为(－2,1)，将(－2,1)代入l 3，得a ×(－2)＋2×1－6＝0，解得a ＝－2，综上，当a ＝－1或83或－2时，不能构成三角形．13．(多选)(2022·保定模拟)已知两条直线l 1，l 2的方程分别为3x ＋4y ＋12＝0与ax ＋8y －11＝0，下列结论正确的是()A ．若l 1∥l 2，则a ＝6B ．若l 1∥l 2，则两条平行直线之间的距离为74C ．若l 1⊥l 2，则a ＝323D ．若a ≠6，则直线l 1，l 2一定相交答案AD 解析若l 1∥l 2，则4a ＝3×8，∴a ＝6，故A 正确；由A 知，l 2：6x ＋8y －11＝0，直线l 1的方程可化为6x ＋8y ＋24＝0，故两条平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72，故B 不正确；若l 1⊥l 2，则3a ＋4×8＝0，∴a ＝－323，故C 不正确；由A 知，当a ＝6时，l 1∥l 2，∴若a ≠6，则直线l 1，l 2一定相交，故D 正确．14．设△ABC 的一个顶点是A (－3,1)，∠B ，∠C 的角平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为__________.答案2x －y －5＝0解析∵∠B ，∠C 的角平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ，∴直线AB 与直线BC 关于x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于y ＝x 对称．A (－3,1)关于x ＝0的对称点A ′(3,1)在直线BC 上，A (－3,1)关于y ＝x 的对称点A ″(1，－3)也在直线BC 上．由两点式，所求直线BC 的方程为2x －y －5＝0.15．(2023·临沂模拟)已知光线从点A (6,1)射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的点C ，再被y 轴反射，这时反射光线恰好经过点D (4,4)，则CD 所在直线的方程为________．答案x －2y ＋4＝0解析如图，由题意知点B 在原点O 的右侧，直线BC 一定过点A (6,1)关于x 轴的对称点(6，－1)，且一定过点D (4,4)关于y 轴的对称点(－4,4)，所以BC 所在直线的方程为y －4＝4＋1－4－6(x ＋4)，即x ＋2y －4＝0，令x ＝0，则y ＝2，所以C 点坐标为(0,2)，所以CD 所在直线的方程为y ＝4－24－0x ＋2，即x －2y ＋4＝0.16.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到直线l 1，l 2的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为__________.答案6解析以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b ,3)．∵AC ⊥AB ，∴AC →·AB →＝0，即ab －6＝0，∴ab ＝6，b ＝6a.Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a 2≥12×72＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．∴△ABC 的面积的最小值为6.。

高考数学一轮复习专题训练—两直线的位置关系

两直线的位置关系考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235 B ．2310C ．7D ．72答案 D解析由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·银川联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0，解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12. ∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0,3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析法一由题意可设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二设P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一两直线的平行与垂直【例1】已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23.法二由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【训练1】 (1)(2020·宁波期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. (2)由题意知 m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2020·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，－1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，12(2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[0,10]解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k2＋k(k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(2021·贵阳诊断)与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________．答案 (1)C (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠－1)， ∴|－1－m |22＋12＝55，解得m ＝0或m ＝－2. ∴与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0. (2)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.考点三对称问题角度1 点关于点对称【例3】过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】一束光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，则入射光线所在直线的方程为________．答案 5x －4y ＋2＝0解析设点Q (1,1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2，即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－－22－－2＝54， ∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )．角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x －4y ＋5＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解法一解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0,2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 法二设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解法一设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4， b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0. 法二根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0. 三、垂直直线系方程【例4】求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2).A 级基础巩固一、选择题1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2B ．2－ 2 C.2－1D ．2＋1答案 C解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1. 解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.2．(2021·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7 答案 D解析过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为() A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析由已知两直线垂直可得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，所以ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，所以(ab )min ＝2.故选B.5．坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B ．⎝⎛⎭⎫－45，－85C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D ．⎝⎛⎭⎫45，85答案 A解析设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85.6．(2020·上海浦东新区期末)直线x －2y ＋2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x ＋y －4＝0答案 A解析设P (x ，y )为所求直线上的点，该点关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y )，且该对称点在直线x －2y ＋2＝0上，代入可得x ＋2y －4＝0.故选A.7．(2021·豫西五校联考)过点P (1,2)作直线l ，若点A (2,3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－－11－3＝－32， ∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.8．(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6 答案 D解析由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. 二、填空题 9．(2021·南昌联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是________．答案 x －2y ＋11＝0解析设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2,1)的对称点(－4－x,2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．答案 25解析因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25.B 级能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52 答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1,3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215 答案 B解析由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.故选B.15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5,0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析法一两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0，此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0. 由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0. 综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．答案 2解析因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，函数y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x (x >0)，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.。

高考数学一轮复习第八章解析几何第二讲两条直线的位置关系学案含解析新人教版

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．归纳拓展1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P (a ，b )关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m ，－a －m )，点P (a ，b )关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m ，a ＋m )．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2．( × )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0，∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)距离最大，即为|AP |＝2，故选B ．解法二：因为点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离d ＝|1＋k |k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k k 2＋1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2，当且仅当k ＝1时取等号，故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__．[解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba ×1＝－1a 2－b2－6＝0，解得a ＝6，b ＝－6，∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)等腰直角三角形斜边的中点是M (4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为__x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0__．[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0． (2)由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝6，4m ≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k ，由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1，∴k ＝13，∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝⎛⎭⎫25，45， ∴A 关于M 的对称点B ⎝⎛⎭⎫385，165，∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝⎛⎭⎫x －385，即x ＋2y －14＝0，故填x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f (x )＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直，则a＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0”平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f ′(x )＝2cos x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1．所以1×(－a )＝－1，∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P (2，－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2，kl 2＝－a 4，由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，∴a ＝－2，∴l 2：x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A (－1，1)，∴|AO |＝2． (2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5．③由②可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，当l 1∥l 2时，a 2－1＝0，解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合，不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2，此时l 1：x －y －1＝0，l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋(－1)2＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A ，则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等，则m 的值可以为( C ) A ．－6或12B ．－12或1C ．12或－6D ．1或－6(3)(2021·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A (1,2)，又直线l 过点B (－2，－1)，∴所求最大距离为|AB |＝32，故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A (1,2)，则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b |1＋b 2＝31＋b 2＋2b1＋b 2＝31＋2b 1＋b 2≤32(当且仅当b ＝1时取等号)，故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点，∴－m ＝4－2－1－3＝－12，即m ＝12；AB中点(1,3)，∴m ＋3＋3＝0即m ＝－6，故选C ．(3)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910．考点三,对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得y －1＝－a (x ＋3)，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A (0,2)、B (3,0)，则A 、B 关于M 的对称点分别为A ′(－6,0)，B ′(－9,2)，又k A ′B ′＝2－0－9－(－6)＝－23，故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6)，即2x ＋3y＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时，由x －y ＋3＝0得y ＝0，当y ＝4时，由x －y ＋3＝0得x ＝1． ∴M (－3,4)关于直线l 的对称点为M ′(1,0)．又k NM ′＝6－02－1＝6，∴所求直线方程为y ＝6(x －1)，即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N (2,6)关于直线l 的对称点N ′(3,5)，又k MN ′＝5－43－(－3)＝16，∴所求直线方程为y－4＝16(x ＋3)，即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A (0，－2)，B (1,0)，则A 、B 关于l 的对称点分别为A ′(－1，－1)，B ′(1,0)，∴k A ′B ′＝0－(－1)1－(－1)＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P (x ，y )是直线l 2上任一点，则P 关于直线l 的对称点为P ′(y ＋1，x －1)，又P ′∈l 1，∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a×(－AB )＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解析] (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0．(3)设P (x ，y )在l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0． ①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 故动直线恒过点A (－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，将解法一中求得的交点P (0,2)代入上式可得m ＝－6，故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨]1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f (λ)(x －x 0)，从而确定定点(x 0，y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中A 1B 2－A 2B 1≠0，待定系数λ∈R ．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m 为参数且m ≠b )；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D ．解法二：令m ＝1，则y ＝－4；令m ＝12，则－12x ＝－92，即x ＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a )＝(1－m )(x ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－9，∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9)，故直线过点(9，－4)，故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则|c－6|52＋122＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

2024版新教材高考数学全程一轮总复习第八章解析几何第二节两直线的位置关系课件

一点，则m的值为________．
－9
y = 2x，
x = 1，
解析：由ቊ
得ቊ
y = 2.
x + y = 3，
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
4．(易错)平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是(
8
A．
B．2
5
11
C．
5
7
D．
5
答案：B
解析：直线6x＋8y＋2＝0化为3x＋4y＋1＝0，
满足题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线l：y－2＝k(x－1)即kx－y－k＋2＝0，
−k−1−k+2
3
所以点P(－1，1)到直线l的距离为
＝2，解得k＝－
，
2
4
k +1
3
3
故此时直线l的方程为－ x－y＋＋2＝0即3x＋4y－11＝0，
4
4
综上所述，直线l的方程为x＝1或3x＋4y－11＝0.
第二节
两直线的位置关系
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方
程的方法求两条直线的交点坐标．3.掌握平面上两点间的距离公式、
点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行
故选B.
角度二点关于直线对称
例4 一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点
(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(
)
A．2x－y－1＝0

2020版高考数学一轮复习课时规范练45点与直线两条直线的位置关系理北师大版

课时规范练点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组.(湖北稳派教育二联)若直线与:()平行,则与之间的距离为()...直线绕原点逆时针旋转°,再向右平移个单位长度,所得到的直线为().直线与直线垂直,垂足为(),则().三条直线相交于一点,则的值是().已知平行四边形的一条对角线固定在()()两点,点在直线上移动,则点的轨迹方程为().直线关于直线对称的直线方程是().(山东栖霞期末)过点()且与原点距离最大的直线方程是().如图所示,已知两点()(),从点()射出的光线经直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程是().(河北廊坊期末)若直线()与互相垂直,则点()到轴的距离为..将一张坐标纸折叠一次,使得点()与点()重合,点()与点()重合,则..点()与点()关于直线对称,则直线的方程为..已知点()到()和()的距离相等,则的最小值为.综合提升组.设∈,过定点的动直线和过定点的动直线交于点(),则的取值范围是().[].[].[].[].若直线与直线的交点位于第一象限,则直线的倾斜角的取值范围是(). .. ..一条光线从点()射出,经轴反射后与圆()()相切,则反射光线所在直线的斜率为()或或或或.已知直线是△中∠的平分线所在的直线,若点的坐标分别是(),(),则点的坐标为.创新应用组.如图,已知直线∥,点是之间的定点,点到之间的距离分别为和,点是上的一动点,作⊥,且与交于点,则△的面积的最小值为..在平面直角坐标系中,将直线沿轴正方向平移个单位长度,沿轴正方向平移个单位长度,得到直线.再将直线沿轴正方向平移个单位长度,沿轴负方向平移个单位长度,又与直线重合.若直线与直线关于点()对称,则直线的方程是.参考答案课时规范练点与直线、两条直线的位置关系∵∥,∴≠且≠,∴≠,解得,∴与的方程分别为,∴与之间的距离.将直线绕原点逆时针旋转°得到直线,再向右平移个单位长度,所得直线的方程为(),即.故选.∵直线与直线垂直,∴×,∴,∴直线方程为.将点()的坐标代入上式可得,解得.将点()的坐标代入方程得×(),解得.∴.。

2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系

课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.直线l 在直线m :x+y+1=0的上方,且l ∥m ,它们的距离是√2,则直线l 的方程是( )A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x+y+1=0D.x+y+3=0或x+y-1=02.(2020山东济南德润中学月考)已知直线l 1:x ·sin α+y-1=0,直线l 2:x-3y ·cos α+1=0,若l 1⊥l 2,则sin 2α=( ) A.23B.±35C.-35D.353.已知A (1,2),B (3,1)两点到直线l 的距离分别是√2,√5−√2,则满足条件的直线l 共有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.4条4.若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +4y =m +2,x +my =m 有无穷多组解,则m 的取值为( )A.1B.2C.3D.45.(2020重庆西南大学附中期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且ax+by+1=0在y 轴上的截距为13,则a+b 的值为( ) A.-7 B.-1 C.1 D.76.(2020湖南郴州模拟)若两平行直线l 1:x-2y+m=0(m>0)与l 2:2x+ny-6=0之间的距离是√5,则m+n=( )A.0B.1C.-2D.-17.(2020湖北孝昌一中月考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是( )A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=0 8.若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m ,1)到y 轴的距离为 . 9.直线l 1,l 2分别过点M (1,4),N (3,1),它们分别绕点M 和N 旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d 的最大值是 .10.设△ABC 的一个顶点是A (-3,1),∠B ,∠C 的平分线所在直线的方程分别为x=0,y=x ,则直线BC 的方程为 .11.若直线l 与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l 的方程是 .综合提升组12.设直线l 1:x-2y+1=0与直线l 2:mx+y+3=0的交点为A ;P ,Q 分别为l 1,l 2上任意两点,点M 为PQ 的中点,若|AM|=12|PQ|,则m 的值为( ) A.2 B.-2 C.3D.-313.若直线l :y=kx-√3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.π6,π3 B.π6,π2 C.π3,π2D.[π6,π2]14.(2020上海大同中学期中)若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,则实数m 的值为 .15.如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB 边的中点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P (反射点分别为Q ,R ),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP= .16.(2020福建福州期末)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图像在点(1,f (1))处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= .创新应用组17.(2020山东青岛模拟)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( ) A.{-43,23}B.{43,-23} C.{-43,23,43}D.{-43,-23,23}18.(2020安徽六安月考)设m ∈R ,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的直线mx-y-m+3=0交于点P (x ,y ),则|PA|+|PB|的取值范围是( )A.[√5,2√5]B.[√10,2√5]C.[√10,4√5]D.[2√5,4√5]参考答案课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系1.A 因为l ∥m ,且直线l 在m :x+y+1=0上方,所以可设直线l 的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是√2,则√2=√2,∴c=-1,或c=3(舍去),所以直线l 的方程是x+y-1=0,故选A .2.D ∵l 1⊥l 2,∴sin α-3cos α=0,∴tan α=3,∴sin2α=2sin αcos α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=35.3.C 当A ,B 两点位于直线l 的同一侧时,一定存在这样的直线l ,且有两条.又|AB|=√(3-1)2+(1-2)2=√5,而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为√2+√5−√2=√5,所以当A ,B 两点位于直线l 的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.故选C .4.B 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +4y =m +2,x +my =m有无穷多组解,所以直线mx+4y=m+2与直线x+my=m 重合,所以m1=4m =m+2m,解得m=2,即m 的取值为2,故选B .5.A 因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y 轴上的截距为13,所以13b+1=0,解得b=-3.所以a=-4,所以a+b=-7.故选A . 6.C 由题意,得12=-2n ,解得n=-4,即直线l 2:x-2y-3=0,所以两平行直线之间的距离为d=√1+4=√5(m>0),解得m=2,所以m+n=-2.7.D 由题意,得{x +y -3=0,2x -y =0,解得{x =1,y =2,所以两直线的交点坐标为(1,2).直线2x+y-5=0的斜率是-2,故其垂线的斜率是12, 所以所求直线方程是y-2=12(x-1),即x-2y+3=0.8.0或5 当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=13,此时两直线垂直,点(m ,1)到y 轴的距离为0;当m ≠0时,由题意有mm+2·3m =-1,解得m=-5,点(m ,1)到y 轴的距离为5. 9.√13 因为直线l 1,l 2分别过点M (1,4),N (3,1),它们分别绕点M 和N 旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l 1,l 2都与MN 垂直时,它们之间的距离d 取得最大值为|MN|=√(1-3)2+(4-1)2=√13.10.y=2x-5 ∵∠B ,∠C 的平分线所在直线分别是x=0,y=x ,∴AB 与BC 关于x=0对称,AC 与BC 关于y=x 对称.A (-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC 上,A 关于y=x 的对称点A″(1,-3)也在直线BC 上.由两点式,得出所求直线BC 的方程为y=2x-5. 11.x-2y+2=0 由{2x -y -2=0,x +y -4=0,得{x =2,y =2,即两直线的交点坐标为(2,2),在直线2x-y-2=0上取一点A (1,0),设点A 关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a ,b ).则{ba -1=1,a+12+b2-4=0,即{a -b -1=0,a +b -7=0,解得{a =4,b =3,即对称点的坐标为(4,3),则l 的方程为y -23-2=x -24-2,整理得x-2y+2=0.12.A 根据题意画出图形,如图所示.直线l 1:x-2y+1=0与直线l 2:mx+y+3=0的交点为A ,M 为PQ 的中点,若|AM|=12|PQ|,则PA ⊥QA ,即l 1⊥l 2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A .13.B 联立两直线方程得{y =kx -√3,2x +3y -6=0,可得两直线的交点坐标为3√3+62+3k ,6k -2√32+3k,∵两直线的交点在第一象限,∴{3√3+62+3k>0,6k -2√32+3k>0,不等式组的解集为k>√33,若直线l 的倾斜角为θ,则tan θ>√33,∴θ∈π6,π2,故选B .14.-3 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m无解,所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m 平行,所以m 2-9=0,解得m=±3.经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3. 15.√10 以A 为坐标原点,AB ,AC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,因为△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则l BC :x+y-2=0,点P (1,0),所以点P 关于y 轴的对称点为P 1(-1,0),设点P 关于直线l BC :x+y-2=0的对称点为P 2(x 0,y 0),则y 0x-1=1且x 0+12+y 02-2=0,解得P 2(2,1),则PQ+QR+RP=P 2Q+QR+RP 1=P 1P 2=√10. 16.1 由f (x )=ax 3+x+1,得f'(x )=3ax 2+1,所以f'(1)=3a+1,即f (x )在x=1处的切线的斜率为3a+1,因为f (x )在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,所以3a+1=4,即a=1.17.D 设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为直线l 1,l 2,l 3,依照题意易得直线l 1与直线l 2不平行,设交点为P ,因为三条直线不能围成一个三角形,所以l 3与l 1平行,或l 3与l 2平行,或l 1,l 2,l 3交于一点P. (1)两条直线平行,若l 1∥l 3,此时m=23;若l 2∥l 3,此时m=-43. (2)l 1,l 2,l 3交于一点P 时,由{2x -3y +1=0,4x +3y +5=0,解得{x =-1,y =-13,即交点P 的坐标为-1,-13,代入mx-y-1=0,则m=-23.所以实数m 的取值集合为{-43,-23,23}.18.B 由题意可知,动直线x+my=0经过定点A (0,0),动直线mx-y-m+3=0即m (x-1)-y+3=0,经过定点B (1,3),因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1,始终垂直,P 又是两条直线的交点,所以PA ⊥PB ,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.设∠ABP=θ,则|PA|=√10sin θ,|PB|=√10cos θ,由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈0,π2, 所以|PA|+|PB|=√10(sin θ+cos θ)=2√5sin θ+π4,因为θ∈0,π2,所以θ+π4∈π4,3π4,所以sinθ+π4∈√22,1,所以2√5sinθ+π4∈[√10,2√5].。

2020年高考数学(文科)一轮复习第45讲两直线的位置关系

听课手册第45讲两直线的位置关系课前双基巩固—.—— T* —w r* ——■ ■ | ■ —■ ——** ■' 1■' ■-■- —" ■ ■■ L** =T ■ ■■ K ■ ■ ■ ! K ■ "■' T ■ ■ 1■ K ■ ，r ■ ■ —1 F F "^=M:S" ■ ■ F —" PF =P ■"一 LL — ! ■ ! F M r ■ L- " " L S F L* T r B•纵帽脈知溟事向冈基砒-1.两直线的位置关系直线l i：y=k i x+b i,l2：y=k2X+b2,b:A i x+B i y+C i=0,l4:A2X+B2y+C2=0 的位置关系如下表位置关系l i ,l2满足的条件b,l4满足的条件平行A i B2-A2B i=0 且A i C2-A2C 工 0垂直A i A2+B i B2=0相交A i B2-A2B i 工02•两直线的交点设直线l i:A i x+B i y+C i =0 ,l2:A2X+B2y+C2= 0,则两条直线的_____________________ 就是方程组的解•若方程组有唯一解，则两条直线 ________ ，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线____________ ，此时两条直线_______ •反之，亦成立•3•距离公式点P i(x i,y i),P2(x2,y2)之间的距离|P i P2| =点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=两条平行线Ax+By+C i=0与Ax+By+C 2=0间的距离d=常用结论i .若直线l过点P(x o,y o),且与直线Ax+By+C=O平行，则直线l的方程为A(x-x o)+B(y-y o)=O.2若直线|过点P(x o,y o),且与直线Ax+By+C= 0垂直,则直线I的方程为B(x-x o)-A(y-y o)=O.3若直线|i：A i x+B i y+C i=0 与b：A2x+B2y+C2=0 相交,则方程A i x+B i y+C i+A(A2X+B2y+C2)=0(入€ R)表示过l i 和b 的交点的直线系方程(不表示直线l2)・4. 点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y)・5. 点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).6. 点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).7. 点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).8. 点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).9. 点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).题组一常识题1. ［教材改编］已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为一,则a等于2.［教材改编］已知点P(-2,t),Q(t,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则实数t= ___________3. ［教材改编］直线2x-y=- 10,y=x+1 ,y=ax-2交于一点，则实数a的值为4. _______ ［教材改编］若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0 与(5a-2)x+(a+4)y-7=0 垂直，则实数a=_________ .题组二常错题♦索引：判断两条直线的位置关系时忽视斜率是否存在；求两平行线间的距离时忽视两直线的系数的对应关系；两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况；求距离的最小值时忽视对称性.5. 已知直线h：3x+2ay-5=0」2：(3a-1)x-ay-2=0，若h // b,则实数a 的值为___ .6. 已知经过点M(2,0)和点N(-1,-3a)的直线h与经过点E(0,1)和点F(-a,2a)的直线b互相垂直,则实数a的值为__________ .7. 两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的距离是8. _________________________________________________________________ 已知P为x轴上的一点若点A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是 ____________________________ .课堂考点探究V —W hi J th M. U A H fl 4 LA a .M 04*. M. fa d JU *4^ 1 8 fa 1. H B M hl ■ ■ Mi h B fa- M UhaUU AAh-总结归类型-。

高考数学一轮总复习课时规范练45直线与圆锥曲线的位置关系北师大版

课时规范练45直线与圆锥曲线的位置关系基础巩固组1.(2021河南安阳一中月考)已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0)，则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点2.直线l过点(2，1)，且与双曲线x 24-y2=1有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为()A.1B.2C.3D.43.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3，2)，则以点P为中点的弦所在直线的斜率为()A.-23B.-32C.-49D.-944.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，点M(2，1)在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两点.下面结论错误的是()A.椭圆C的方程为x 28+y22=1B.k OM=12C.-2<m<2D.m≤-2或m≥25.(2020山东，13)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=.6.(2021浙江金华模拟)过点P(1，1)作直线l与双曲线x2-y 22=λ交于A，B两点.若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是.7.已知点B是圆C:(x-1)2+y2=16上的任意一点，F(-1，0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)直线l:y=2x+m与轨迹E交于点M，N，且|MN|=12√3019，求m的值.8.已知抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点为F ，点B 在抛物线上，点A (-2，2)，且FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF⃗⃗⃗⃗⃗ +2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ (点O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的标准方程;(2)若过点M (2，0)的直线l 与抛物线C 交于D ，E 两点，线段DE 的中点为N ，且|DM|=|EN|，求直线l 的方程.综合提升组9.(2021湖南益阳箴言中学模拟)已知双曲线C :x 2-y 2=1，点O 为坐标原点，F 为双曲线C 的右焦点，过点F 的直线与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q.若S △POFS △QOF=2，且点Q 在P ，F 两点之间，则|PQ|=( ) A.3√54B.√52C.3√52D.√510.过原点的直线l 与双曲线x 24−y 23=1相交于不同的两点，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .11.已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的准线与x 轴交于点A ，点M (2，p )在抛物线C 上. (1)求C 的方程;(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于另一点N.若△AMN 的面积为649，求直线l 的方程.12.(2021新高考Ⅱ)已知椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)，右焦点为F (√2，0)，且离心率为√63. (1)求椭圆C 的方程;(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x>0)相切.证明:M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN|=√3.创新应用组13.已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的下、上顶点，P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个结论正确的是( )A.直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值-a 2b 2B.PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0C.△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2+b 22aD.直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线课时规范练45 直线与圆锥曲线的位置关系1.C 解析:∵直线y=kx-k=k (x-1)，∴直线过定点(1，0). 当k=0时，直线y=0与抛物线有一个公共点，即顶点;当k ≠0时，点(1，0)在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点. 综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点. 故选C .2.B 解析:直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx-(2k-1). 联立{y =kx -(2k -1),x 2-4y 2-4=0,得(1-4k 2)x 2+8k (2k-1)x-4[(2k-1)2+1]=0.当k=12时，-4=0不成立，方程组无解，直线l 与双曲线无公共点;当k=-12时，解得x=52，y=34，方程组有唯一解，即直线l 与双曲线有唯一公共点;当1-4k 2≠0时，Δ=64k 2(2k-1)2-16(4k 2-1)[(2k-1)2+1]=-16(4k-2)≠0，直线l 与双曲线无公共点或有两个公共点.故直线l 的斜率存在时，符合条件的直线只有一条. 当直线l 的斜率不存在时，直线l :x=2，满足题意. 综上所述，符合条件的直线有2条. 故选B .3.A 解析:设以点P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 12+9y 12=144，4x 22+9y 22=144，两式相减得4(x 1+x 2)(x 1-x 2)+9(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0，又x 1+x 2=6，y 1+y 2=4，y 1-y 2x 1-x 2=k ，代入解得k=-23.故选A .4.D 解析:由题意得{√a 2-b 2a=√32,4a 2+1b 2=1,解得{a2=8,b 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1，故A 正确;k OM =1−02−0=12，故B 正确;因为直线l 的斜率k=k OM =12，且直线l 在y 轴上截距为m ，所以直线l 的方程为y=12x+m.联立{y =12x +m,x 28+y 22=1,得x 2+2mx+2m 2-4=0.因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，所以Δ=(2m )2-4(2m 2-4)>0，解得-2<m<2，故C 正确，D 错误.故选D . 5.163解析:如图所示，直线与抛物线交于A ，B 两点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1，0)，准线方程为x=-1，作AA'，BB'垂直于准线，交准线于点A'，B'.由抛物线的定义知|AA'|=|AF|，|BB'|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p.联立{y =√3(x -1),y 2=4x,得3x 2-10x+3=0，∴x 1+x 2=103， ∴|AB|=103+2=163.6.(-∞，0)∪(0,12) 解析:因为双曲线方程为x 2-y 22=λ，所以λ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 因为点P 恰为线段AB 的中点，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2.将A ，B 两点坐标代入双曲线方程，得{x 12-y 122=λ,x 22-y 222=λ,两式相减并化简可得y 1-y 2x 1-x 2=2×x 1+x 2y 1+y 2=2，即直线l 的斜率为2，所以直线的方程为y=2x-1. 联立{y =2x -1,x 2-y 22=λ,得2x 2-4x+2λ+1=0.因为直线l 与双曲线有两个不同的交点，所以Δ=16-4×2×(2λ+1)>0，解得λ<12且λ≠0，所以λ的取值范围为(-∞，0)∪(0,12).7.解(1)由题可知|PC|+|PF|=|PC|+|PB|=|BC|=4>|FC|=2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆. 设其方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)，则2a=4，2c=2，所以a=2，c=1，b=√3，所以动点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立{x 24+y 23=1,y =2x +m,得19x 2+16mx+4m 2-12=0，所以Δ=256m 2-76(4m 2-12)>0，所以m ∈(-√19,√19).x 1+x 2=-16m 19，x 1x 2=4m 2-1219.因为|MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√5(256m 2361-16m 2-4819)=12√3019，所以m=±1.8.解(1)设B (x 0，y 0).因为F (0,p2)，A (-2，2)，所以FB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0-p 2),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,p 2),FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2-p 2). 因为FB⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x 0=0+2×(−2),y 0-p 2=p 2+2×(2−p 2),解得{x 0=−4,y 0=4.因为点B 在抛物线上，所以(-4)2=2p ×4，解得p=2，所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y.(2)由题可知，直线l 斜率存在，且点E 在点D 的上方. 设直线l 的方程为y=k (x-2)(k ≠0)，联立{y =k(x -2),x 2=4y,得x 2-4kx+8k=0，所以Δ=(-4k )2-4×8k>0，解得k>2或k<0. 设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，所以x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k. 设N (x N ，y N )，则x N =x 1+x 22=2k.由|DM|=|EN|得|DE|=|MN|，所以√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·|x N -2|，所以√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=|x N -2|，即√(4k)2-4×8k =|2k-2|，整理得3k 2-6k-1=0，解得k=1+2√33或k=1-2√33，均满足题意. 故直线l 的方程为y=(1±2√33)(x-2)，即x+(3+2√3)y-2=0或x+(3-2√3)y-2=0.9.B 解析:由题可知，双曲线中a=b=1，所以c=√2，所以F (√2，0). 设P (t ，t ).因为S △POF S △QOF=2，且点Q 在P ，F 两点之间，所以点Q 为线段PF 的中点，所以Q (√2+t 2,t2). 不妨设直线斜率为正，则点Q 在直线y=-x 上，所以√2+t 2=-t2，解得t=-√22，所以P (-√22,-√22)，所以|PQ|=12|PF|=√52. 故选B . 10.(-√32,√32) 解析:由题可知，直线的斜率存在，设为k ，则直线的方程为y=kx.联立{y =kx,x 24-y 23=1,得(3-4k 2)x 2-12=0.∵直线l 与双曲线相交于不同的两点， ∴3-4k 2>0，解得-√32<k<√32.11.解(1)因为点M (2，p )在抛物线y 2=2px 上，所以p 2=4p ，所以p=4或p=0(舍去)，所以抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)由(1)知抛物线C 的方程为y 2=8x ，所以M (2，4)，A (-2，0)，所以k MA =4−02−(−2)=1，所以直线MA 的方程为y=x+2，即x-y+2=0，且|MA|=4√2，所以点N 到直线MA 的距离d=2S △AMN |MA|=16√29. 设N 点的坐标为(y 028,y 0)，则d=|y 028-y 0+2|√2=16√29，解得y 0=283或y 0=-43，即N 点的坐标为(989,283)或(29,-43). 若取N (989,283)，则k MN =283-4989-2=35，所以直线l 的方程为y-4=35(x-2)，即3x-5y+14=0; 若取N (29,-43)，则k MN =-43-429-2=3，所以直线l 的方程为y-4=3(x-2)，即3x-y-2=0. 综上所述，直线l 的方程为3x-5y+14=0或3x-y-2=0. 12.(1)解由题可知，椭圆半焦距长c=√2且e=ca =√63，所以a=√3.又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1.(2)证明由(1)得，曲线方程为x 2+y 2=1(x>0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x=1，不合题意. 当直线MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 必要性:若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y=k (x-√2)，即kx-y-√2k=0. 由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x>0)相切得√2k|√k 2+1=1，解得k=±1.联立{y =±(x -√2),x 23+y 2=1,得4x 2-6√2x+3=0，所以x 1+x 2=3√22，x 1x 2=34，所以|MN|=√1+1√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√3，所以必要性成立;充分性:设直线MN :y=kx+b (kb<0)，即kx-y+b=0. 由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x>0)相切得√k 2+1=1，所以b 2=k 2+1.联立{y =kx +b,x 23+y 2=1,得(1+3k 2)x 2+6kbx+3b 2-3=0.由题可知1+3k 2≠0，Δ>0，所以x 1+x 2=-6kb1+3k 2，x 1x 2=3b 2-31+3k 2，所以|MN|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2√(-6kb 1+3k 2)2-4·3b 2-31+3k 2=√1+k 2·√24k 21+3k 2=√3，所以(k 2-1)2=0，所以k=±1，所以{k =1,b =−√2或{k =−1,b =√2,所以直线MN :y=x-√2或y=-x+√2，所以直线MN 过点F (√2，0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立. 综上所述，M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN|=√3. 13.C 解析:设P (x 0，y 0)，x 02a 2+y 02b 2=1，则k PB 1k PB 2=y 0+b x 0·y 0-b x 0=y 02-b 2x 02=-b 2a 2，故A 错误;∵点P 在圆x 2+y 2=b 2外，∴x 02+y 02-b 2>0.又PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0，-b-y 0)，PB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0，b-y 0)，∴PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-b 2>0，故B 错误;当点P 在长轴上的顶点A 时，∠B 1PB 2最小且为锐角.设△PB 1B 2的外接圆半径为r ，由正弦定理可得2r=2b sin ∠B 1PB 2≤2b sin ∠B 1AB 2=2b sin2∠OAB 2=2b2aba 2+b 2=a 2+b 2a，∴r ≤a 2+b 22a，∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a 2+b22a，故C正确;直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x，直线QB2的方程为y-b=y0-b-x0x，两式相乘，得y2-b2=y02-b2-x02x2，即y2b2−x2a2=1.由于点P不与点B1，B2重合，∴点M的轨迹为双曲线的一部分，故D错误.故选C.。

新课标2023版高考数学一轮总复习课时质量评价44两直线的位置关系距离公式

课时质量评价(四十四)A组　全考点巩固练1．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为( )A．0 B．1C．0或1 D．－1或1C　解析：直线l1的斜率k1＝＝a．当a≠0时，直线l2的斜率k2＝＝．因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1．当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，此时直线l2为y轴，又A(－2,0)，B(1,0)，则直线l1为x轴，显然l1⊥l2．综上可知，实数a的值为0或1．2．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )A．1 B．C． D．2B　解析：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l过定点B(－1,0)，知当AB⊥l 时，距离最大，最大值为．故选B．3．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为( )A．－12 B．－14C．10 D．8A　解析：由直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，得2m－20＝0，m ＝10．直线10x＋4y－2＝0过点(1，p)，有10＋4p－2＝0，解得p＝－2．点(1，－2)又在直线2x－5y＋n＝0上，则2＋10＋n＝0，解得n＝－12．故选A．4．(多选题)直线l经过点M(2,1)，若点P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )A．3x－2y－4＝0 B．x＝2C．x－2y＝0 D．3x－2y－8＝0AB　解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0．因为P(4,2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k ＝，则直线l的方程为3x－2y－4＝0．故选AB．5．已知A(1,6)，B(0,5)，作直线l，使得点A，B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是( )A．d≥1 B．0＜d＜1C．0＜d≤1 D．0＜d＜2B　解析：A，B两点到直线l的距离相等，这样的直线有两类，第一类是过线段AB 的中点的直线；第二类是与直线AB平行的直线．而|AB|＝＝2，要使满足条件的直线l有4条，只需要0＜d＜|AB|＝1．6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0D　解析：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0．7．(2021·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．6x－y－6＝0　解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0．8．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．x＋2y－3＝0　解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．9．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝．设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝＝，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0．设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝＝，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0．B组　新高考培优练10．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为( )A． B．C． D．2A　解析：直线l1，l2恒过点P(2,4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2．因为0＜k＜4，所以4－k＞0,2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故当k＝时，面积最小．11．一条经过点A(－4,2)的入射光线l的斜率为－2，若入射光线l经x轴反射后与y 轴交于点B，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )A．16 B．12C．8 D．6B　解析：设直线l与x轴交于点C，因为l的方程为y－2＝－2(x＋4)，令y＝0，得点C的坐标为(－3,0)，从而反射光线所在直线的方程为y＝2(x＋3)，令x＝0得B(0,6)，所以△AOB的面积S＝×6×4＝12．12．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝x上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为( )A．2 B．2C．2 D．2C　解析：设B关于直线y＝x的对称点为B′(x0，y0)，则解得所以B′(2，－1)．由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝＝2．故选C．13．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，则直线l 的方程为___________．y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0　解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x．当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．14．已知直线y＝2x是△ABC中∠ACB的平分线所在的直线．若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标是___________．(2,4)　解析：设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得所以BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0．同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，所以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0．联立得解得则C(2,4)．15．已知直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R．(1)求证：直线恒过定点；(2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线的距离的最大值及此时的直线方程；(3)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．(1)证明：直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，所以解得所以直线恒过定点(－1，－2)．(2)解：设定点为P(－1，－2)．当m变化时，PQ⊥直线l时，点Q(3,4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，即＝2．此时直线过点P(－1，－2)且与PQ垂直，所以－·＝－1，解得m＝．故直线的方程为2x＋3y＋8＝0．(3)解：由于直线经过定点P(－1，－2)，直线的斜率k存在且k≠0，因此可设直线的方程为y＋2＝k(x＋1)，可得与x轴、y轴的负半轴分别交于A，B(0，k－2)两点，＜0，k－2＜0，解得k＜0．所以S△AOB＝××(2－k)＝≥2＋×2＝4，当且仅当k＝－2时取等号．此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，可化为2x＋y＋4＝0．。

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45 点与直线、两条直线
的位置关系
基础巩固组
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
2.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2017广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()
A.7
B.0或7
C.0
D.4
4.(2017浙江温州模拟)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()
A.-3或-1
B.3或1
C.-3或1
D.-1或3
5.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()
A.3x-y-20=0
B.3x-y-10=0
C.3x-y-9=0
D.3x-y-12=0
6.(2017广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()
A.x+2y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0
D.x+2y-3=0
7.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()
8.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()
B.6
〚导学号21500568〛
9.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程
为.
10.(2017宁夏银川模拟)点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.
11.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距
是.
12.(2017江西八校联考)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值
为.
综合提升组
13.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点()
A.(1,-2)
B.(1,2)
C.(-1,2)
D.(-1,-2)
14.(2017河北武邑中学一模)若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()。