11.2三角形全等的条件(2)
数学：11.2《三角形全等的判定》(第2课时)课件2(人教新课标八年级上)
11.2三角形全等的判定(2)
八年级数学上册
• 结论： 两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全 等（简称为“边角边”或者“SAS”）。 注意： 角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须 是夹角的两对边。
C P
A
B
O
Q
八年级数学上册
例题2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、 B的距离，可先在平地上取一个可以直接到 达A和B的点C，连接AC并延长到D，使得 CD=CB。连接DE，那么量出DE的长就是A、 B的距离么？为什么？
八年级数学上册
11.2 三角形全等的判定（2）
执教人：简艳辉
八年级数学上册
11.2 三角形全等的条件（2）
问题： 如何作一个与已知三角形两边和他们的夹角对应 相等的三角形？这两个三角形有什么关系呢？
C S P
E
A
D
B
O
R
Q
M
八年级数学上册
尺规作图步骤 1、以A为圆心，以任意长为半径，画弧，与 ∠A的两边分别交于D，E，再以O为圆心， 以AD的长度为半径，画弧，交OM于R。 2、以R为圆心，以DE为半径，画弧，两弧交 于S，连接OS并延长。 3、在射线OM上取OQ=AB，在射线OS上取 OP=AC，在连接QP。 通过平移发现这两个三角形是全等的。
A C 1 2 D 一个内角对应相等”的条件 能判定两个三角形全等么？为什么？
八年级数学上册
小结： 1、如何利用尺规作图画与已知三角形的两边 及夹角对应相等的三角形。 2、三角形的判定条件（SAS）。 3、利用三角形全等来证明两条线段相等的思 想。
八年级数学上册
11.2 三角形全等的条件(HL)
(5)： HL ；
如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还 需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出 判定它们全等的理由。
（1） （2） （3） （4）
AD=BC （ BD=AC （ ∠ DAB= ∠ CBA（ ∠ DBA= ∠ CAB（
C N A´
∟
C´
M B´
亲自实践
把你所画的三角形撕出来， 与原三角形进行比较，看是否 能重合？
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画 一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC，A´B´= AB。
按照下面的步骤画一画 ⑴ 作∠MC´N=90°; B A
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC;
课 证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC 本 ∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。
又∵ＣＥ=ＢF
CE=BF.
求证：AE=DF.
页 练 习
103
∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。
C
D
F
A
E
B
在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中 ＣＥ＝ＢＦ ＡＢ＝ＤＣ
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ） ∴ＡＥ＝ＤＦ
证明： ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴∠A和∠B都是直角。
又∵C是AB的中点， ∴AC=BC
D A E B
∵C到D、E的速度、时间相同， C ∴DC=EC 在Rt△ACD和Rt△BCE中， AC=BC DC=EC ∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL） ∴ DA=EB （全等三角形对应边相等）
（３）如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
全等三角形的学案11.2和11.3
11.2三角形全等的条件（1）班级 姓名 学号教学目标1．掌握“边边边”条件的内容2、能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等 教学重点“边边边”的条件。
教学难点探究三角形全等的条件。
． 教学过程一．创设情境，引入新课什么叫全等三角形？△ABC ≌△DEF,说出对应边及对应角全等三角形的性质： 二、实践与探索三组对应角、对应边分别相等的两个三角形全等。
满足这六个条件的一部分两个三角形能否全等呢？1.如果两个三角形有一条边相等，作出的两个三角形一定全等吗？2.如果两个三角形有两条边相等，作出的两个三角形一定全等吗？3.如果两个三角形有三条边相等，那么作出的三角形一定全等吗？全班同学都画一个三边为4cm 、5cm 、2cm 的三角形，这些三角形全等吗？你能得到什么规律？ 三、归纳总结全等三角形的条件： 四、【应用新知】例题 如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．【小试牛刀】练习1、如图, C 是BF 的中点，AB = DC ,AC=DF.求证: △ABC ≌ △DCFA BC FE D BC A DFAB CD【变式练习】练习2、已知: 如图,点B 、E 、C 、F 。
在同一直线上 ,AB = DE ,AC = DF , BE = CF .求证:（1）△ABC ≌△DEF（2）【夯实基础 】练习3、已知: 如图,AC=EF,BC=BF ，BA=BE 。
求证:△ABC ≌ △EBF【能力提高】已知: 如图, AB = DE ,AC = DF , 点B 、E 、C 、F 在同一直线上，BE = CF .求证: △ABC ≌△DEF五．课时小结本节课你有什么收获？B CA E F D A C BE F ∠A=∠DB CA EFDO DCBAE DCBA 11．2 全等三角形的判定（2）学习目标1．掌握边角边条件的内容2．能初步应用边角边条件判定两个三角形全等 探究：先任意画出一个ABC ∆，再画出一个///C B A ∆，使AB B A =//，AC C A =//，A A ∠=∠/（即使两边和它们的夹角对应相等）。
11.2 三角形全等的判定
巩固练习 教科书第8页练习题。
• 小结反思 • 回顾反思本节对知识的研究过程，小结方 法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律。 • 作业 • 1.必做题：教科书P15习题11.2中的第1、2 题。 • 2.选做题：教科书P16习题11.2中的第9题.
•满足不同层次的学生获得 •不同的发展。 •再次渗透分类思想，体会分析 •问题方法，积累数学活动经验
O
小组合作学习，1/按课本 第8页画图，并分析作法依 据。 2/学生独立完成证明过 程。 第1步构造△OCD 第2步画O’C’ = OC(确定顶点O’ C’) 第3步画与C’D’=CD (确定顶点D’) 第4步O’D’ =OD B D D’ B’
O’ C A C’ A’
• 巩固练习 教科书第8页练习题。
尺规作图： 画一个角 等于已知角
1.明确探索的关键 2.“点”的确定 3.总结操作步骤
尺规作图的原理是构造两个全等三角 形，是判定定理“SSS”的实际应用。学 生在作图和分析过程中体会探究新知的 乐趣，激发了学习兴趣。
• 已知∠AOB， • 求作∠A’O’B’，使 ∠A’O’B’= ∠AOB. • • • • • • • • • • 作法：1.以点O为圆心，任意长为 半径画弧，分别交OA,OB于点C,D; 2.画一条射线O’A’,以点 O’为圆心，OC长为半径 画弧，交O’A’于点C’; 3.以点C’为圆心，CD长为半径 画弧，与第2步中所画的弧交 于点D’; 4.过点D’画射线O’B’, 则∠A’O’B’= ∠AOB.
教法分析
教学程序
复习引新： 1/说出全等三角形的定义与性质 B 2/△ABC≌△A’B’C’找出对应线段，对应角。
A
A’
C B’
C’
• 情境创设： • 问题1 如图在△ABC与△A’B’C’中若满足如下六个 条件，能保证这两个三角形全等吗？ • AB=A’B’ BC=B’C’ CA=C’A’, ∠A=∠A’ ∠B=∠B’ ∠C=∠C’. （由三角形全等定义学生知道能全等） 问题2 △ABC与△A’B’C’是不是一定满足以上六个条 件才能全等呢？若满足 一个条件可分为：1/一组边相等， 六个条件中的一个或两个条件， 2/一组角相等 两个条件可分为：1/两条边相等， 2/两个角相等，3/一条边与一个角相等 这两个三角形全等吗？
11.2三角形全等的条件(SAS)
H
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所 以EH=FH
为三角形的两边， 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度 ， 为三角形的两边 的边所对的角为40 为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎 的边所对的角为40° 动手画一画，你发现了什么？ 样？动手画一画，你发现了什么？
C F
A
分析: 分析 △ ABD ≌△ CBD ≌△ 边: AB=CB(已知) AB=CB(已知 已知) (SAS)
B D C
角: ∠ABD= ∠CBD(已知) ∠CBD(已知 已知) 边:
？
现在例1的已知条件不改变 而问题改 现在例 的已知条件不改变,而问题改 的已知条件不改变 变成: 变成
平分∠ 问AD=CD，BD平分∠ADC吗？ ， 平分 吗
做一做： 做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。 使 ， 。 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形 进行比较，它们互相重合吗？ 进行比较，它们互相重合吗？ 若再加一个条件， 若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC ° 画出△ ° 画法： 画法： 1. 画∠MAN= 45° 2. 在射线 在射线AM上截取 上截取AB= 3cm 上截取 3. 在射线 上截取AC=4cm 在射线AN上截取 上截取 4.连接 连接BC 连接 ∴△ABC就是所求的三角形 就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角 形进行比较，它们能互相重合吗？ 形进行比较，它们能互相重合吗？
问：如图△ABC和△ DEF 中， 如图△ 和 AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝ ∠ 则它们完全重合？ 则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？ ≌ A 3㎝ ㎝
300
D 3㎝ ㎝
探索三角形全等的条件(二)
＝ 如图：已知 AE＝AD 如图：已知AB＝AC， ＝ ， A ∠B＝∠C，△ABD与△ACE全 ＝ ， 与 全 E 等吗？为什么？ 等吗？为什么？
B
D C
课堂小结： 课堂小结：
通过本节课的学习, 通过本节课的学习,你有 所收获? 所收获?
作业： 作业： P164页 页 习题5.8第 题 习题 第1题
探索三角形全等 二 的条件(二)
学习目标
1.三角形全等的条件 角边角 三角形全等的条件:角边角 三角形全等的条件 角边角, 角角边
做一做 1、角.边.角; 、 边角
若三角形的两个内角分别是 60°和80°它们所夹的边为 ° °它们所夹的边为2cm, 你能画出这个三角形吗? 你能画出这个三角形吗
2cm
60°
80°
两角和它们的夹边对应相等的 两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等，简写成“ 两个三角形全等，简写成“角边 A D 角”或“ASA” 1、在△ABC中，AB=AC, 、 中 ∠B= ∠ F ,∠ A= ∠ D。 。 求证： ＝ 求证：BC＝EF
B CE F
2、角.角.边 、 角边 若三角形的两个内角分别是60° 若三角形的两个内角分别是 ° 和45°，其中 °角所对的边 ° 其中60 为3cm，你能画出这个三角形吗 ，你能画出这个三角形吗?
60°
40°
A 1、在△ABC中，AB=AC, 、 中 1、在△ABC中，AB=AC, 、 中 AD是边 上的角平分线 是边BC上的角平分线 是边 上的角平分线. AD是边 上的中线。 是边BC上的中线 是边 上的中线。 B （１）图中有全等的三角形吗 （１）图中有全等的三角形吗 （２） AD是∠BAC的中线吗 是 的中线吗 （２） AD是∠BAC的平分线吗 是 的平分线吗
第11章《全等三角形》易错题集(02)：11.2+三角形全等的判定
第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2三角形全等的判定第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2 三角形全等的判定选择题1．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上2．如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）3．下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相等的2个三角形全等；④两边、4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件：①AB=AC；②AD=AE；③BE=CD．其中能判定△ABE≌△ACD 的有（）5．△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）6．有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；②两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；④刘徽计算过π的值，认为其为．其中正确的有（）7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD=∠CAE，BC=DE，且点C在DE上，若添加一个条件，能判定△ABC≌△ADE，这个条件是（）8．给出下列各命题：①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等；②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等；③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等；10．如图，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，图中全等三角形有几对（）11．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）12．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；13．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对14．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）．D15．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）16．如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）17．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是18．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中一定错误的是（）19．如图，AB．CD相交于O，O是AB的中点，∠A=∠B=80°，若∠D=40°，则∠C=（）20．如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD等于（）21．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）22．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木填空题23．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_________个．24．（2007•南宁）如图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有_________对．25．在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF 的方法共有_________种．26．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_________度．27．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为_________度．28．（2009•道里区一模）△ABC中，∠C=90°，AC=BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE=5，BF=3，则EF=_________．第11章《全等三角形》易错题集（02）：11.2 三角形全等的判定参考答案与试题解析选择题1．（2002•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上2．如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（）3．下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相等的2个三角形全等；④两边、4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件：①AB=AC；②AD=AE；③BE=CD．其中能判定△ABE≌△ACD 的有（）5．△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）6．有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；②两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；④刘徽计算过π的值，认为其为．其中正确的有（）的值，认为其为7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD=∠CAE，BC=DE，且点C在DE上，若添加一个条件，能判定△ABC≌△ADE，这个条件是（）8．给出下列各命题：①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等；②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等；③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等；④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等；10．如图，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，图中全等三角形有几对（）11．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）12．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；13．对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对14．（2008•鄂州）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）．D15．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）（16．如图，AB=AC，AD=AE，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）17．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是18．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中一定错误的是（）19．如图，AB．CD相交于O，O是AB的中点，∠A=∠B=80°，若∠D=40°，则∠C=（）20．如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD等于（）21．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（），22．长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木填空题23．（2009•遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．24．（2007•南宁）如图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有2对．25．在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF 的方法共有2种．26．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=50度．27．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为110度．28．（2009•道里区一模）△ABC中，∠C=90°，AC=BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE=5，BF=3，则EF=8或2．参与本试卷答题和审题的老师有：zhangmin；郭静慧；ln_86；zxw；zhangCF；117173；蓝月梦；星期八；zhjh；Liuzhx；csiya；py168；MMCH；zhqd；wenming；CJX；wdxwwzy；trista；110397；yingzi；lanchong；Linaliu；王岑（排名不分先后）菁优网2014年8月7日。
11.2 .2三角形全等的条件(二)
简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中 AB=DE
A
∠ B= ∠ E BC=EF
B
C
D
E
F
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识应 用
例2、如图，有一池塘，要测池塘端A、B的距离， 可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点 C，连结AC并延长到D, 使CD=CA.连结BC并 延长到E,使CE=CB. 连结DE,那么量出DE的长， 就是A、B的距离.为什么？ 分析:如果能证明△ABC ≌△DEC,
2. 在射线A/ M上截取A/B/ = AB 3. 在射线A/ N上截取A/C/ = AC
4.连接B/ C/
∴△A /B /C/就是所求的三角形
C A
C/ B A/
B/
M
探究3的结果反映了什么规律?
两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等. (可以简写成“边角边”或 “SAS”)
三角形全等判定方法2
如：公共边 、公共角、对顶角、邻补角，外角、平角等
总结：已知中找。图形中看
归纳小结：
l.利用全等三角形证明线段或角相等, 是证明线段 或角相等的重要方法之一，其思路如下：
⑴观察要证的线段和角在哪两个可能全等三角形之中. ⑵分析要证全等的这两个三角形，已知什么条件，还缺 什么条件. ⑶设法证出所缺的条件.
CA CD ACB DCE CB CE
A
∴△ABC ≌△DEC(SAS) ∴ AB=DE(全等三
E
C D
角形的对应边相等)
探究4
我们知道，两边和它们的夹角对应相 等的两个三角形全等。由“两边及其 中一边的对角对应相等”的条件能判 定两个三角形全等吗？为什么？
11.2 三角形全等的判定(2)课件SAS
图一 图二 在图一中， ∠A 是AB和AC的夹角，符合图一的条件，可称 它为“两边夹角”。
B
C
B
C
符合图二的条件， 我们通常说成“两边和其中一边的对角”
一起画！已知△ABC，画一个△A′ B ′ C ′ ，使A B =A′ B ′ ,A C =A ′ C ′ , ∠A =∠A′。 画法: 1.画 ∠DA′E= ∠A； 2.在射线A′ D上截取A′ B ′=AB,在射线A′ E上截取 A′ C′ =AC; E ′ C ′ 3. 连接B′ C. C
A B A ′ B′
思考： ① △A′ B ′C′ 与 △ABC 全等吗？如何验正？
D
思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （简写成“边角边”或“SAS”）
C
′ C
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
A
A E
●
D
●
F
B种方法判定两三角形全等？ 答：边角边（SAS） 2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？ 答：SSS、SAS、 “边边角”不能判定两个 三角形全等 注意哦！
• 1.课本第10页练习1.2 • 2.课本第15页习题3.4.9.10.13 • 3.作业本（2）
§11.2 三角形全等的判定(二)
知识回顾
上一节我们探究了两个三角形全等的判定方法: 三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”
在△ABC和△DEF中， A
\ ≡ \
D
≡
〃 C E B ∴△ABC≌△DEF (SSS)
AB DE BC EF AC DF
11.2 三角形全等的条件(SAS)课件___4
注意观察30°角与两边条边的位置关系 注意观察 °
探究
请同学们画一个两边长分别为4cm、 、 请同学们画一个两边长分别为 3cm，并且 边的对角为30° ，并且3cm边的对角为 °的三角 边的对角为 形。 画线段MAN=30°; Ⅰ.画线段 画线段 ° Ⅱ.分别在 分别在AM上截取 上截取AC=4cm; 分别在 上截取 Ⅲ.以C为圆心，3cm为半径画弧，交AN。 以 为圆心， 为半径画弧， 。 为圆心 为半径画弧 同桌交流： 同桌交流：你们画的三角形有什么 不同吗？ 不同吗？
∴ AD=
隐含条件： 隐含条件： 公共边
巩固 5.如图，已知 如图，已知BD=CD，要根据“SAS”判 如图 ，要根据“ 判 定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件 ≌ ， 是 。
C
D
A
隐含条件： 隐含条件： 公共边
B
范例 已知： 例3.已知：如图，DC=EA，EC=BA， 已知 如图， ， ， DC⊥AC， BA⊥AC，垂足分别是 、 ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是C、 A。 。 求证： 求证：BE ⊥DE 。 B 方法： 方法： D 通过全等得 角相等 A
三角形全等的条件(2) 三角形全等的条件
知识回顾
上一节我们探究了两个 三角形满足三条边对应相等 三条边对应相等 这两个三角形全等.简写成 时，这两个三角形全等 简写成 边边边” “边边边” 或“ SSS ”
如图，已知 ＝ ， ＝ ，求证： 如图，已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D ＝ 证明：连结AC, 证明：连结 A 在△ABC和△ ADC中 和 中 AB＝CD（已知） ＝ （已知） BC＝AD（已知） ＝ （已知） B AC＝AC（公共边） ＝ （公共边） ∴ △ ABC≌ △ CDA（SSS） ≌ （ ） ∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等） ＝ （全等三角形对应角相等）
11.2.2(SAS)全等三角形
E
F
A
B
C
D
例题 推广
求证：△ADC≌△CBA 分析：观察图形，结合已知条件，知， A AD=CB，AC=CA，但没有给出两组 对应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能 B 使全等条件充足。
2． 如图2，△AOB和△COD全等吗？
(第 1 题)
例题讲解 例1
已知：如图1，AC=AD，∠CAB=∠DAB 求证：（1）△ACB≌△ADB
C
证明：在△ACB和△ADB中 AC=AD（已知） ∠CAB=∠DAB（已知）A AB=AB（公共边） ∴△ACB≌△ADB（SAS）
B
图 1
D
（2）问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？
三角形全等的判定 11.2.2---------边角边
温故而知新:
A
P C
M
①
M O
S
B
A
N
③ T
C N O
B ②
D
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
复习巩固：
我们知道：若两个三角形的三条边对 应相等，则这两个三角形全等（SSS）
探讨： 那么判定三角形全等中，是否可以找 到其他的判定方法？
如果给出 三个条件画三角形，你能说 出最多有几种选法： 三条边 三个角 边角角 两角一边 角角边
C A
D
B
D
两边及一边所对的角？
以3cm、4cm为三角形的两边，长度 3cm的边所对的角为45° ，请画出此三 C 角形
A
45°
B
B’ M
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三 角形不一定全等
三角形全等的判定 (2)
一、全等三角形
1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。
2：全等三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
练习
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形？请任选一对给予证明。
E
答： △ABC≌△DEF
A
F
B
证明：∵ AB∥DE
∴ ∠A=∠D
C
D
∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC
∴ AC=DF
在△ABC和△DEF中
AC=DF
∠A=∠D
AB=DE
∴ △ABC≌△DEF （SAS）
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∵BM是△ABC的角平分线,点P
在BM上,
A
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，
E
证明：
A
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
∴ AC=BC DC=EC
∠BCA=∠DCE=60°
全等三角形判定经典概要
11.2三角形全等的判定基础知识一. 教学内容：三角形全等的判定1. 三角形全等的判定；2. 直角三角形全等的判定；3. 学习掌握综合证明的格式、步骤。
二. 知识要点：1. 三角形全等的判定AB CDE F（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB DE AC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，B E BC EFC F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA）。
（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，A DB E BC EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（AAS）。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
表示方法：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB DEB EBC EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF（SAS）。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，∵AB ＝DE ，BC ＝EF ，∴R t △ABC ≌R t △DEF （HL ）。
AB C DEF注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，显然它们不全等。
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。
2. 全等三角形的基本图形 在平面几何中，有很多问题都可以借助于三角形全等来解决，比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。
“三角形全等的条件”学习要点及注意事项
“三角形全等的条件”学习要点及注意事项 2014.5.9一、三角形全等的条件：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”，或SSS ；2、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”，或ASA ；3、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”，或AAS ；4、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”，或SAS ；注意：（1）条件中的边、角一定是三角形中的边、角！（2）条件中只有对应相等的边、对应相等的角；（3）“边边角”不能保证两个三角形全等！！二、过程的书写要求：先交待所要证的两个三角形，其次用单边大括号把三个条件写在一起，得出两个三角形全等，并在后面注明理由；例：如图 ，AB=AC , ∠CDA =∠BEA, △ACD 与△ABE 全等吗？为什么?解： 在△ACD 和△ABE 中，∠CDA =∠BEA （已知）∵ ∠ A = ∠A （公共角） AB= AC （已知）∴ △ACD ≌△ABE （AAS ）注意事项：（1）按判定条件的顺序书写，例如上例中，利用的是“AAS ”，书写时先写两个角的条件，再写边的条件；（2）如果所需的条件不是题中直接给出，则先证明，再按上面要求书写；例：如图，O 是AB 的中点，∠A =∠B ， △AOC 与△BOD 全等吗？为什么？解： △AOC ≌△BOD 理由：∵ O 是AB 的中点，∴ AO=BO在 △AOC 与△BOD 中，∠A =∠ B （已知） ∵ AO=BO （已证） ∠AOC= ∠BOD （对顶角相等）∴ △AOC ≌△BOD （ASA ）说明：（1）条件中一定是相等的边、角，所以要把“中点”的条件转化为相等的边；（2）对顶角相等是能直接得到的结论，不需要先证明；（3）除对顶角相等可以直接写在条件中外，公共边、公共角也能直接作为条件写；A OD C B AE C DB。
11.2.3三角形全等的条件——“ASA、AAS”
C F A BDE CF A B D E课题11.2三角形全等的条件──“ASA ” “AAS ” 课型 自学互学展示课 时间 班级 学习目标1、掌握“角边角”“角角边”判定三角形全等的方法；2、学会应用已学的三角形全等判定方法解决较为简单的问题。
学习环节学 习 过 程一、学一学：（快来写一些！）1、三角形全等的条件________________________________（简写_____或_____）2、几何图形： 几何语言：在△ABC 与△DEF 中_________________________________________∴△ABC ≌△DEF( )3、 三角形全等的条件________________________________（简写_____或_____）4、几何图形： 几何语言：在△ABC 与△DEF 中________________________________________∴△ABC ≌△DEF( )二、用一用：（想输给其他人吗？）1、如图：D 在AB 上， E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C求证：AD=AE2、已知如图：△ABC ≌△DA ／B ／C ／, AD,A ／D ／分别是△ABC和△DA ｀B ｀C ｀的高，求证：AD= A ｀D ｀C A BDE C A B D C /A /B / D /三、试一试：（我认为这些对你来说很简单，是吗？）1、如图1：△ABC ≌△DBC,∠D=300, ∠DBC=550,则∠ABD=______2、如图2，已知∠B=∠D,DC=BC,还要给出什么条件，即得出△ABC ≌△DCE,根据是什么？ 条件_______________，根据________。
（图1） （图2）3、 已知如图3：AB ⊥BC,AD ⊥DC,垂足分别为B ，D ，∠1=∠2，求证：AB=AD（图3）四、想一想（快来，快来，比一比）1、（8分）已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．2、（8分）已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．教 学后反思C B DA 2 1 CB D E CA B D A C B D E F11.2三角形全等的条件──“ASA ” “AAS ”当堂检测1. 已知：△ABC ≌△DEF,A 、B 、C 分别于D 、E 、F 为对应顶点，如果 ∠C=600 ，AB=3，则DE=__________，∠F=__________2. 如图所示，∠1=∠2 AB= AC AD=AE求证：△ABE ≌__________ 证明：∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE如图所示， 即∠BAE=∠_______在△ABE 和__________中 AB AC （ ）∠BAE=∠_______（ ）AE=_______（ ）∴△ABE ≌__________（ ）3、已知如图：AB//CD,AD//BC, E.F 为AC 上的点，且AE=FC, 求证：DE//BF变式1、若条件不变,图形变为右图, 结论是否成立？并说明理由变式2、若E,F 在AC 的延长线上，如右图，结论是否成立？并说明理由A B CD E 1 2 E F C B D A EF C BD A。
11.2第2课时三角形全等的判定(二)(sas)[精选文档]
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图2
图3
2．如图3，要使 ABC≌ADC，则需要的条件是(
A．AB＝AD，∠B＝∠D
B．AB＝AD，∠ACB＝∠ACD
C．BC＝DC，∠BAC＝∠DAC
D．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC
D)
3．如图 4，已知∠1＝∠2，AB＝AC.求证：BD＝CD.
图4
证明：在△ABD 和△ACD 中，
AB AC
边角边(SAS)(重点) 例题：如图 1，AE＝AC，AB＝AD，∠EAB＝∠CAD，求证： ∠B＝∠D.
图1 思路导引：先证∠BAC＝∠DAE，再根据 SAS 证明△ABC ≌△ADE，推出∠B＝∠D.
证明：∵∠EAB＝∠CAD，
∴∠EAB＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD.
∴∠EAD＝∠CAB.
AB AD
在△ABC
和△ADE
中，
BAC DAE AC AE
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)．∴∠B＝∠D.
【规律总结】(1)证明角相等或线段相等，常通过证明角或 线段所在的三角形全等来解决．
(2)SSA 不一定全等，相等的角必须是两对应边的夹角．
1．如图 2，若 AO＝DO，只需要补充_B_O__＝__C_O_就可以根据 SAS 判定△AOB≌△DOC.
∵
1 2 AD AD
，∴△ABD≌△ACD，∴BD＝CD.
4．如图 5，已知 AB＝AC，AD＝AE.求证：△ABD≌△ACE.
图5 证明：∵在△ABD 和△ACE 中，AB＝AC，AD＝AE，且 ∠A 为公共角，∴△ABD≌△AC
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上 册
义务教育课程标准实验教科书
回顾与思考
1.什么是全等三角形？ 2. 全等三角形有那些性质？ 3.判定两个三角形全等要具备什么条件? 边边边（SSS）： 三边对应相等的两个三角形全等。 边角边 (SAS)： 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。
2
回顾与思考
上节课我们已经知道了判断两个三角形全等至少 要知道三个条件。 三角 （不行） 三边 三个条件: (SSS) 两边及其夹角 (SAS) 两边一角 两边及一边的对角 （不行） 两角及其夹边 两角一边
B
C D
F
E
20
6.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， ∠1=∠2。 求证：AB＝AD。 A
12
B
D C
21
7、思考题
如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？为什么？ AD与BC呢？ 证明：∵ AB∥CD，AD∥BC（已知 ）
∴ ∠1＝∠2 ∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
D
2 3
C
4
11
总结：三பைடு நூலகம்形全等的条件
到目前为此，我们共学了几种 判定三角形全等的方法？
1、边边边(SSS)
2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
12
例1. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：BD=CE
证明 ：在△ADC和△AEB中
探究反映的规律是：
有两角和其中一角的对边对应相等 的两个三角形全等。 (简写成“角角边”或“AAS”）
10
三角形全等的条件
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写 成“角边角”或“ASA”）。 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (简写成“角角边”或“AAS”）。
（ASA）
（AAS）
∠A=∠B（已知）
∠C=∠D （已知） __________（已知） AO=BO ∴△ADC≌△BOD（AAS ）
D
A
18
4、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，BD=CE 求证：AB=AC
证明 ：∵∠3=∠4（已知）
A
∴∠ 5=∠6（等角的补角相等） 在△_____和△_____中 ACE ABD ______( ∠1=∠2 已知 ) ∠ ______( 已证 ) 5=∠6 ______( 已知 ) BD=CE
问：通过实验可以发现什么事实？
7
三角形全等的条件：角边角
探究反映的规律是：
有两角和它们夹边对应相等的两个 三角形全等。 (简写成“角边角”或“ASA”）。
8
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角 边角条件证明你的结论吗？
9
三角形全等的条件：角角边
6
探究1
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ：
画法： 1、画A’B’＝AB； 2、在 A’B’的同旁画∠DA’ B’ =∠A ， ∠EB’A’ =∠B， A’ D，B/E交于点C/。 △A’B’C’就是所要画的三角形。
把画好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，它们 全等吗？
AC=AD （全等三角形对应边相等）
15
例2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4求证：AC=AD
如果把已知中 的∠3=∠4 改成, ∠D=∠C 此题又如何?
变式.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
16
1.错例辨析 若△ABC的∠B=∠C，△A’B’C’的∠B’=∠C’，且 BC=B’C’， 那么△ABC与△A’B’C’全等吗？为什么？
？ ？
3
两角及一角的对边
创设情景,实例引入
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图， 你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来 三角形的原貌吗？
4
创设情景,实例引入
A
已知两角及其夹边对应相 等的两个三角形全等吗？ D
C
E
B
5
探究1 先任意画出一个△ABC， 再画一个△A’B’C’，使A’B’=AB， ∠A’ =∠A， ∠B’ =∠B 。 把画好的△A’B’C’剪下，放到 △ABC上，它们全等吗？
∴在△ABC与△CDA中
∠1＝∠2 （已证）
1
A
B
AC=AC （公共边） ∠3＝∠4 （已证） ∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等）22
（1）学习了角边角、角角边定理. （2）注意角角边、角边角中两角与边的区别。
（3）进一步学会用推理证明。
23
B
1
2
5
D
3
4
E
6
C
∴△ ______ ≌ △______( ABD ACE
AAS
)
19
∴AB=AC (全等三角形对应边相等 )
知识应用
5.如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离， 可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD， 再定出BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上， 这时测得DE的长就是AB的长。为什么？ A
A D 0 B C E
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ACD≌△ABE（ASA） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB=AC（已知） ∴BD=CE
13
例1. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证：BD=CE 如果把已知中的 AB=AC改成 AD=AE,此题又 如何?
解：这两个三角形全等.
因为：在△ABC和△A’B’C’中
∠B=∠C
BC=B’C’ ∠B’=∠C’
∴△ABC ≌△A’B’C’
17
2.如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD ∠A=∠B（已知） AC=BD （已知）
B C O
∠C=∠D （已知） ∴△ADC≌△BOD（ASA ） 3.如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD
A
D 0 B
E
C
变式、如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和
CD相等么？为什么？
14
例2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4求证：AC=AD
证明：∵∠ ABD=180º －∠3 ∠ ABC=180º －∠4 而∠3=∠4（已知） ∴∠ABD=∠ABC
在△ ABC 和△ ABD 中
∠1=∠2 （ 已知 ） AB=AB （公共边） ∠ABD=∠ABC（ 已证 ） ∴△ ABC≌ △ ABD（ ASA ） ∴