函数割线与切线问题的常用解题策略探究
课标卷中函数图像的切线问题
函数图像切线问题的解答一、高考考点分析函数图像的切线问题，是高考的高频考点，从2014年到2018年，每年都有切线的考题出现。
虽然题目的难度不大，但在新课教学或者练习中，有关切线的问题，却似乎是一个难啃的骨头，正确率总是不高。
问题的关键是没有弄清楚题目背后的知识，及解答问题的思维方法。
二、问题解决（一）知识准备及思想方法函数图像切线问题，考查的是导数的几何意义，及直线的方程，还有方程（组）的数学思想方法。
首先是导数的几何意义。
导数的几何意义为：曲线()f x 在点00(,)P x y 处切线的斜率等于函数()f x 在0x 处的导数值0'()f x ，即0'()k f x =（简记）。
这样就有了切线的斜率，还有切点00(,)P x y 。
如果是未知，就有符号表示出来。
其次，在必修2直线一章，我们学习了五种形式的直线方程，但其实，最常用的就是点斜式方程，即00()y y k x x -=-。
在解决函数切线问题中，也常用这个形式的方程。
最后，我们思考解决问题，要有方程的思想（求什么，设什么，列关于什么的方程）。
在这里多啰嗦一下，大家不要认为只有出现数字才能解答题目，出现了符号就束手无措了，在出现符号时，要根据题目做处理，哪些看成已知，哪些看成未知——也就是符号的思想。
（二）解答流程1、斜率：0'()k f x =求解或列方程；2、切点：00()y y k x x -=-（或斜率坐标公式）或00()y f x =求解或列方程。
三、高考试题展示1、（2018年1卷，6）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =分析：()f x 为奇函数，由特值法(1)(1)f f -=-得1a =，3()f x x x ∴=+。
求导，得2'()31f x x =+，∴斜率'(0)1k f ==，又 切点为()00，，由点斜式，得切线方程为y x =。
浅谈“割线与切线”的斜率之间的关系——由学生的提问所引发的教学探究
解法 ２ 设所截 ３ 段的长分别为 口 ６ｚ 口 ，，一 一
步探讨
浅 谈 “割 线 与 切 线 ＂的 斜 率 之 间 的 关 系
— —
由学生 的提 问所 引发 的教学探究
（ 白水高级中学 湖北枣阳 ４１１） ４２４
●张 琴字
问题 １ 已知 曲线 Ｃ： ｈ一 ｅ（ ｙ＝ｅ ２ ∈Ｒ） 任 上
同样可得 ＝ ， ÷ 也就是说不同的实数组（ ６ 可 ，）
以得 到相 同Βιβλιοθήκη 的 ， ， 此 与 口 Ｙ与 ｂ构 成 的并 不 Ｙ因 ， 是一 一 对应 的等 价关 系 ， 解 法 ２是 不 正 确 的． 故 有
兴趣 的读者不妨对这 ２个相似背景 问题 中的锐角
图５ 图６
三角形 、 直角三角形及钝角三角形的概率问题作进
２ 一 ｌ ２ 一 １
结论
已 知 函 数 ｆ（ 是 定 义 在 连 续 区 间 ）
（ｃＲ 上 的可导 函数 ． 曲线 Ｃ： 厂 ） 任 意 ２ Ｉ ） ＿ 若 Ｙ＝ （ 上
个点连线的斜率 的取值 范 围为集 合 Ａ 其导 函数 ， ’ 的值 域为集 合 Ｂ， 有 以下 结论 ： （ ） 则
综 上所 述 ， 论得 证． 结 例 女 Ⅱ ）＝ （ ∈Ｒ） ．
在 该 函数 的 图 像 上任 取 ２个 点 （ ， ， ： ，Ｙ ） （ ， Ｙ ） ≠ ）过 这 ２ 点 连线 的斜 率 （ ， 个
ｋ： 二 ： ＿＝ ：％ １∈ Ｒ ， － ２ ＿ ＝ ％ ＝一 ＿ ＝一 － １＋ ２＋ ，∈ ．
ｒ ０＜ａ＜Ｚ ； ｒ ＜口＜Ｚ ０ ；
则 题 目就可 以转 化 为如 下 的 问题 ：
Ｏ －
｛＜ ＜； 即 ０ ｂ ￡ 【 ｂｚ ０ ｛＜ ＜； ０ ｚ口 ｂ ｚ 【＜ ＋ ＜， ＜一 一 ＜， ０ ０ ｂ ２
割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究
注：（1）中的函数包括二次函数、一次函数和常数函
数.
证明：（1）k= （ f x1）－（ f x2） x1－x2
= px21+qx1+r-（px22+qx2+r） x1－x2
=（x1－x2）（px1+px2+q） x1－x2
=px1+px2+q，
2 2 f′
x1+x2 2
=2p
x1+x2 2
+q=px1+px2+q，
2 2 （3）k－f ′ x1+x2 2
2 2 = x31-x32 -3 x1+x2 2
x1-x2
2
= 14（x1-x2）2>0，
2 2 则k>f ′ x1+x2 . 2
2 2 （4）欲证k>f ′ x1+x2 ， 2
即证 lnx2－lnx1 > 2 ， x2－x1 x2+x1
2 2 2 x2 －1
只需证et－e－t－2t>0（其中t>0）（ . *）
令g（t）=et－e－t－2t，t>0，
则g（ ′ t）=et+e－t－2>2 姨摇 e·t e－t －2=0，
当t>0时，g（t）递增，
所以g（t）>g（0）=0，即（*）式成立，
2 则k>f ′ x1+x2 成立. 2
. All 结R论ig2h：若ts函数Re（ f sx）e，rg（vxe）d，F.（x）都是定义在（a，b）上
2 2 则k=f ′ x1+x2 . 2
2 2 （2）k－f ′ x1+x2 2
函数切线问题的解法探究
函数切线问题的解法探究一、导数的几何意义对于函数f(x)，在其中一点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点的切线斜率。
也就是说，如果在点a处存在切线，那么切线的斜率就是函数在该点的导数。
我们知道，切线是曲线在该点附近的一条直线，具有与曲线相切的性质。
通过求函数在其中一点的导数，我们可以得到该点处的切线斜率，从而确定切线的位置。
根据导数的定义公式f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，我们可以求得函数在任意一点的导数。
二、切线问题的解决步骤解决函数切线问题的一般步骤如下：1.求函数的导数首先，我们需要求得给定函数f(x)的导数f'(x)。
导数的计算可以通过直接求解导数的定义公式，或者运用导数的性质（如常数因子法则、和法则、差法则、乘积法则、商法则等）来求解。
这一步是解决函数切线问题的关键，因为只有求得导数，才能确定函数在特定点的切线斜率。
2.确定切点找到切线的第一步是确定切点的坐标。
通常，切点的x坐标可以从题目中给出，然后我们可以利用这个值来求出切点的y坐标。
计算切线的切点坐标可以帮助我们更好地理解切线的位置。
3.求切线方程已知切点和切线的斜率，我们可以通过切线的斜截式方程来求出切线的方程。
切线的斜率已经通过导数得到，我们可以用导数的值代入斜截式方程的斜率，再代入切点的坐标，即可得到切线方程。
4.分析问题得到切线方程之后，我们可以通过与给定的函数对比分析切线的性质。
比如，两条曲线在切点处的斜率是否相等，两条曲线在切点处是否相切等问题。
这些问题可以通过切线方程和给定函数的关系来解决。
总之，函数切线问题是高中数学中重要的一部分，它通过导数的几何意义和性质来帮助我们解决函数与曲线的关系问题。
我们需要掌握导数的定义和导数的计算方法，熟练掌握运用导数的性质，才能解决函数切线问题。
平面几何中的证明：中考数学切线与割线
平面几何中的证明：中考数学切线与割线在平面几何中，切线与割线是经常出现的重要概念。
在中考数学中，对于这些概念的掌握以及对于切线、割线相应定理的证明都是非常重要的。
本文将介绍中考数学中切线和割线的基本概念以及相应的证明方法。
一、切线的概念所谓切线，是指一个曲线在某一点上的切线，即这条切线与曲线在该点处相切，并且仅在该点处相切。
二、割线的概念所谓割线，是指一个曲线的两点之间所经过的直线，其中这两点分别不在直线之上，相应地，这条直线也与曲线在这两点上相交。
三、切线定理1.定理一：曲线的任何一点处只有一条切线。
证明：假设曲线在某点处有两条不同的切线，则这两条切线将会构成一个三角形，在这个三角形中，切线段I和切线段II之间将会形成一个锐角或平角，而这是不可能的，因为这个角不可能大于九十度，也不可能小于零度。
所以，曲线在任何一点处只有一条切线。
2.定理二：切线垂直于半径。
证明：取代数较少的 Approa ch在圆心 O 处，画出半径 OA1 . 由于切点 A1 处的切线仅在该处与圆相切，所以在圆上以点 A1 为圆心绘制一条半径 A1 B 和半径 OA1 之间的夹角定义为β.此时，切点处的切线 T1 就与半径 OA1 处的半径 OA1 垂直；而对于这个锐角的余角β，由余角定理可知，β = α ，所以证毕。
3.定理三：切线与半径夹角相等的定理。
证明：如下图所示，在圆心 O 处，画出半径 OA1 . 对于点 A2（切点），连接 OA2 .则在Δ OA1 A2 中，β = α ，因为圆的半径和切线在切点处垂直。
又因为角β 与角γ 分别为Δ OA2 A1 中的内角和外角，所以γ = β = α （由内角和定理及外角定理可知）。
结合角γ 与角 A2 OA1 所对应的圆周角不等于 90°，即γ ≠ 90°，可以得出切线与半径夹角相等的定理：γ = α 。
四、割线定理1.定理一：割线与该圆的几何平均线段成正比。
高考数学讲义微专题14函数的切线问题(含详细解析)
微专题14 函数的切线问题一、基础知识： （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。
这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则m in ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩. 综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I 上 ，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。
函数切线问题的解法探究
函数切线问题的解法探究-中学数学论文函数切线问题的解法探究江苏省如皋市第一中学许琴函数图象的切线问题使许多同学感到抽象，觉得不易作出，也不易求解，觉得深不可测，缺乏深刻的认识。
可是这类问题又是考查的重点难点之一，在各类考试中频繁出现，作为学生必须理清眉目，找到思维的脚手架，才能应付自如，实现切线问题的“大瘦身”。
函数y=f（x）的切线求法：公式：设切点为（x0，y0），则切线方程为y-y0=f（x0）（x-x0）知识点：切点既在切线上也在曲线上，切线的斜率等于切点的横坐标的导数值。
一、单个函数的切线问题例1：已知函数f（x）=x3-3x：（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m 的取值范围。
解：（1）f′（x）=3x2-3，f′（2）=9，f（2）=2，则曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为：y-2=9（x-2），即y=9x-16（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0）即g（x）=2x3-3x2+m+3，g′（x）=6x2-6x=6x（x-1）另列表如下：当x=0时，g（x）有极大值m+3；当x=1时，g（x）有极小值m+2由题意得，g（0）＞0且g（1）＜0，解得-3＜m＜-2。
则当m的范围为（-3，-2）时，过点A可作曲线y=g（x）的三条切线。
说明：函数y=f（x）的切线求法，根据已知点是否为切点可分两类：（1）已知点为切点，可直接借助公式求解；（2）已知点不为切点,必须设出切点,借助公式代入已知点，通过方程与函数思想解题。
“以数助形”，实现解题的新突破。
二、两个函数的公切线且切点同一例2：设函数f（x）=alnx+bx（a＞0），g（x）=x2，若f（1）= g（1），f′（1）=g′（1），是否存在实数k和m，使得f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m?若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由。
高中数学解曲线切线问题解题技巧
高中数学解曲线切线问题解题技巧在高中数学中，曲线切线问题是一个常见的考点，也是数学解题中的一大难点。
解曲线切线问题需要掌握一定的解题技巧，下面我将为大家介绍一些常见的解题方法和技巧。
一、求曲线切线的斜率要求曲线在某一点的切线斜率，首先需要求出该点的导数。
导数表示了曲线在某一点的变化率，也就是切线的斜率。
例如，求曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率。
首先，我们需要求出曲线$y=x^2$的导函数。
根据求导法则，$y'=2x$。
然后，将$x=2$代入导函数中，得到$y'=2\times2=4$。
所以曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4。
二、求曲线切线的方程已知切线斜率后，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求出曲线切线的方程。
1. 利用点斜式点斜式是求直线方程的一种常用方法，它利用直线上一点和直线的斜率来表示直线方程。
例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用点斜式求出切线的方程。
根据点斜式，切线的方程为$y-4=4(x-2)$，化简得$y=4x-4$。
2. 利用斜截式斜截式是求直线方程的另一种常用方法，它利用直线的斜率和截距来表示直线方程。
例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用斜截式求出切线的方程。
根据斜截式，切线的方程为$y=4x+b$，其中$b$为截距。
将点$(2,4)$代入方程，得到$4=4\times2+b$，解方程得到$b=-4$。
所以切线的方程为$y=4x-4$。
三、举一反三掌握了求曲线切线的斜率和方程的方法后，我们可以通过举一反三的方法拓展解题技巧。
举例来说，已知曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率为3，我们可以利用之前的方法求出切线的方程为$y=3x-2$。
然后，我们可以进一步求出曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线与曲线的交点。
将切线方程$y=3x-2$代入曲线方程$y=x^3$中，得到$x^3=3x-2$。
高中数学精品论文：切线与割线斜率关系的深度探析
江苏南通高等师范学校
１ ２２６１００
曹军
问题提出 笔者在文［１］得出如下结论： 设Ｙ＝火龙）是定义在开区间（ａ，ｂ）上的可导函
ｈ（ｘ）ｌｎｉ。＞０，此时Ｉ
ｈ（ｘ）Ｉ面。＝ｈ（ｘ）ｍｉ。＝一击Ａ３＋ ，解得０＜Ａ＜３石； ，解得 ＜Ａ＜３石；
数，曲线Ｃ：ｙ＝八菇）上任意不同两点的连线（称为 割线）斜率的取值区间为Ｐ，曲线Ｃ上任意一点处的 切线斜率的取值区间为Ｑ，则Ｑ ２ Ｐ，而且Ｑ中元素 比Ｐ中元素至多多了区间Ｐ的端点值． 并指出，求解ｌ八ｘ。）一以髫：）Ｉ＜Ｉ戈。一菇２ Ｉ（或 Ｉ八茗１）’一以筇２）Ｉ＞Ｉ菇，一茹２ Ｉ）的恒成立问题，可以
在与ｚ平行的割线，也即平行于拐点（茗。以‰））处 切线的任意直线与曲线Ｃ至多有一个交点，必要性 成立． （４）由（３）的证明易知结论成立． 由上述定理可知，对于二阶可导曲线Ｃ：ｙ＝ “菇）有：①当且仅当曲线Ｃ不存在拐点，或对曲线Ｃ 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切线的直线 与曲线ｃ至少有两个交点时，Ｐ＝Ｑ；②可导曲线Ｃ： Ｙ＝八菇）的切线斜率的取值区间Ｑ至多比割线斜率 的取值区间Ｐ多了区间Ｐ的端点值，这些端点值就 是定理的结论（３）条件中的拐点处切线的斜率，即 函数在这些拐点处的导数． 对于只有一个拐点的二阶可导函数，定理有如 下推论： 推论 设ｙ＝以戈）是定义在连通开区间１（ｔ∈ Ｒ）上的二阶可导函数，其对应曲线Ｃ上任意两点的 连线（称为割线）斜率的取值集合为Ｐ，曲线Ｃ上任
ｘｌ一戈２
Ｉ＞１得，１４＋了２一毒Ｉ＞ｌ，以上替换茗，则有Ｉ
戈
２菇，
菇
丑
一Ａ戈２＋４
ｌ＞１对任意的戈＞０恒成立．
（１）当Ａ≤０时，显然符合题意； （２）当Ａ＞０时，令ｈ（ｘ）＝２ｘ３一Ａｘ２＋４（ｘ＞ ０），显然ｈ（算）的图象经过（０，４），＾’（戈）＝６ｘ２—
切线问题的解题技巧
切线问题的解题技巧
切线问题是高中圆锥曲线考试中常见的问题之一，通常需要一定的技巧和方法来解决。
以下是一些解决切线问题的常用技巧:
1. 利用三角形面积公式和椭圆切线方程的关系，可以快速求出椭圆上点的横坐标或纵坐标。
2. 利用椭圆的焦点三角形面积公式和椭圆的离心率的关系，可以快速求出椭圆上点的横坐标或纵坐标。
3. 利用椭圆的中点弦公式和椭圆的切线斜率的关系，可以快速求出椭圆上点的横坐标或纵坐标。
4. 利用抛物线的焦点弦公式和抛物线的切线斜率的关系，可以快速求出抛物线上点的横坐标或纵坐标。
5. 利用圆锥曲线的基本性质，例如离心率、截距、中点弦等，可以方便地求解圆锥曲线上的点。
6. 对于一些复杂的切线问题，可以利用仿射变换的方法将其转化为简单的问题，从而方便求解。
以上是解决切线问题的常用技巧，在高中圆锥曲线考试中，考生需要熟练掌握这些技巧，并能够灵活运用来解决各种切线问题。
同时，考生还需要具备扎实的数学基础知识和较强的思维能力，才能更好地应对高中圆锥曲线考试。
切线问题的疑惑与探究
人教 版全 日制普通高级 中学 《 数学》 第三册 （ 选 修 ２在 Ｐ １８ ） ．１ 处给出： Ｐ和 Ｑ是 曲线 上邻 设
四、有关曲线切线方程的典型例题 及解答
例１ 已知曲线Ｙ ＋等 ＝寺 ．
一
数学教学
・
２１年第 ４ ０１ 期
．
（） １ 求曲线在点 Ｐ（，） ２４处的切线方程； （） ２ 求曲线过点 Ｐ（，） ２４的切线方程． 分析： 过点 Ｐ的切线中， Ｐ不一定是切点， 点 点Ｐ也不一定在 已知 曲线上； 而在点 Ｐ处的切线，
／
ｐＩ
ＰＩ ，／ ｏ ＼ 詈） ２ 处的切线方程是１ｘ ３ 一１ ＝０但 ２一 ６ ，
／ ＾ ．＼
该 线 线 有 个 共点（４ 警 ）它 切 与曲 还 一 公 一， ． 一
们共有两个公共点， 一个是切点， 一个不是切点．
又如正弦曲线Ｙ＝ｓ Ｘ ｉ 在点ＰＩ ， ） ｎ １ 处的切线
一
（） １ 若原点是切点， 惫 ２ 则 ＝ ，
（） ２ 若原 点不是切 点， 设切点为 ０ ０（ｏ ， ）
≠０， ） 则ｋ＝ Ｙ ＿ ｏ
．
等 ｔ ， 方程９ ） 只 个相异实 ，＝０即 （ ：０ 有两 ￡ 根．
由（Ｏ ｏ在曲线一知Ｙ ＝ —３３ Ｚ． Ｘ， ） Ｙ ｋ ｏ ８ ＋２ｏ
ｏ
这是课堂里的一段真实情境， 课堂气氛顿时
活跃了许 多． 这两个同学所持意见发人深思， 值 得探究． 我要的就是这个效果 ！
二、 相关知识的链接 义务教育课程标准实验教科书 《 数学》 九年 级下册 Ｐ １ ３ 给出：直线 与圆有 唯一公共点 ．２ 处 （ 即直 线 和 圆相 切） 时， 这条 直 线 叫做 圆 的 切
椭圆中切线与割线问题的探究
ｆａ。＋－ ｂｂ２ ｔ２１）Ｙ１
——ｂ４ｙｌ
—
ａ２ｙ｝＋ｂ２（ ｌ一２ｃ）
点，连 接 Ａ ，ＢＦ２交 椭 圆 于 Ｍ，Ｎ，记 直线 ｌ的倾 斜 角 为
一
圆 的 离
（１） Ｓ 。堕 ： ＋
Ａ ｈ：ｆＮ Ｆ２
。
；
同理 可 得
ｂＳｙ１Ｙ２
ｂ４ １
～
（ａ。＋ｂ２ｔ ） ｝一４ｂ。ｔｃｙｌ＋４ｂ Ｃ。’
＝
岛＝
（ ＋臻）［Ｉ－ ） （ 一 ）ｚ。（＿ ）＋
（ ３＋ ０）（６ 一 ３） 。 （ ３＋ ３） ；ｔ。
； ＝。啉 ＝蔷．
ｂ４
所 以：
ａ２ｂ２
’
方 程 为：Ｙ＝ 士ｂ，直 线 ｌ 的方 程 为 ＝ （一ａ ＜ ｔ＜ ａ且
警 笞（ ５２
＋
＋
５２ ＋
一
一
一
到箬＋箬堋 ），Ｂ（ ）， 丽丽一 矿 一丐 一可 ｔ≠Ｏ）．以下考虑 ｌ：Ｙ＝ｂ的情形．则 Ｐ（ｔ，ｂ），将 ＝￡代入
（ｎ。＋６。ｔ ） （ＹｌＹ２）。一４ｂ ｃ（。 ＋ｂ２ｔ ） １Ｙ２（ １＋ ２）＋４ｂ Ｃ２．（ｎ。＋ｂ２ｔ ）（ ＋ ；）＋１６ｂ４ｔａｃ２ｙ１Ｙ２—１６ｂ４ｔｃａ（ １＋ｙ２）＋１６ｂ Ｃ４
：
ｓ＋４ 。 ．
：
＋４ｂ２ｃ２．百４ｂ４ｔ２ｃ２＋２ｂ４ａ２＋２ｂ＊ｔ２ １６ｂＳｔ２ｃ２ １６ｂ４ｃ３ｔ．
（ａ。＋６ ｔ。） ｝－４ｂ。ｔｃｙｌ＋４ｂ。Ｃ。 （ａ。＋６ ｔ。） ；一４ｂ。ｔｃｙ２＋４ｂ ｃ
Ｍ Ⅳ ：
：
Ｘ ３ 一 Ｚ ４
一 ｂ４（ｔｙｌ一２ｃ）
割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究
割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究
割线斜率和区间中点处切线斜率是数学中的重要概念，它们之间的关系有很多学者探讨。
本文将从几何的角度探讨割线斜率和区间中点处切线斜率之间的关系。
首先，我们来看一下割线斜率的定义。
割线斜率是指两条直线之间的夹角斜率，它表示两条直线之间的夹角大小。
可以用斜率的比值来表示，其中斜率比值等于两条直线的斜率之比。
其次，我们来看一下区间中点处切线斜率的定义。
区间中点处切线斜率是指给定一个函数f(x)，它在一个区间[a,b]上的中点处的切线斜率。
它表示函数在区间[a,b]上中点处的变化率，可以用斜率的比值来表示，其中斜率比值等于函数f(x)在区间[a,b]上中点处切线斜率与区间[a,b]上函数f(x)斜率之比。
最后，我们来看一下割线斜率和区间中点处切线斜率之间的关系。
它们之间的关系是，割线斜率是区间中点处切线斜率的一种特殊情况，即当函数f(x)在区间[a,b]上的中点处的切线斜率与区间[a,b]上函数f(x)斜率相等时，割线斜率就是区间中点处切线斜率。
总之，割线斜率和区间中点处切线斜率之间的关系是，割线斜率是区间中点处切线斜率的一种特殊情况，当函数f(x)在区间[a,b]上的中点处的切线斜率与区间[a,b]上函数f(x)斜率相等时，割线斜率就是区间中点处切线斜率。
通过对割线斜率和区间中点处切线斜率之间的关系的探究，可以更加深入地理解数学中的概念，从而更好地应用数学知识。
切线与割线定理
切线与割线定理在解析几何中，切线与割线定理是指与圆相切或相交的直线与圆的性质。
它们是几何学中重要的基础概念，可以应用在许多数学问题的解决中。
本文将以切线与割线定理为主题，详细介绍其基本原理和应用。
一、切线定理对于一个圆及其上的一点，以该点为切点的直线称为切线。
切线与半径垂直，并且只有一个切点。
切线定理是指：如果一条直线与圆相切于某一点，则该直线与半径的连线在切点处垂直。
证明：设直线与圆相切于点P，连接圆心O与切点P，并延长与圆的直径AA'相交于点M。
根据圆的性质可得，弧PA与切线OP垂直，弧PA'与切线OP'垂直。
又因为圆心角AOA'为直角，所以POM是直角三角形。
利用三角形垂直定理可得，直线MM'垂直于OP，并且由于M是AA'的中点，所以OP也垂直于AA'。
因此，直线与圆相切于某一点时，该直线与半径的连线在切点处垂直。
二、割线定理在切线定理的基础上，延长相交于圆且不与圆相切的直线称为割线。
割线可以与圆有两个交点。
割线定理是指：如果一条直线与圆相交于两个点，则两条半径的和等于直线与圆心的距离。
证明：设直线与圆的交点为A和B，连接OA和OB，并延长直线AB至直线OA'的交点为C。
根据切线定理可得，直线与圆相交于A点，则AO垂直于AB；直线与圆相交于B点，则BO垂直于AB。
所以，AOCA'和BOCB'都是矩形。
根据矩形的性质可得，AO=AC，BO=BC。
又因为AO是圆的半径，AC是直线AB与圆心O的距离。
所以，两条半径的和等于直线与圆心的距离。
三、应用举例切线与割线定理在解决数学问题时起到了关键的作用。
下面通过两个具体例子来说明它们的应用。
例1：求切线与割线定理在解决实际问题中的应用已知一个半径为6cm的圆，圆心到某点的距离为8cm。
求与该圆相切的切线的长度。
解：根据切线定理可知，切线与半径的连线在切点处垂直。
设切点为P，连接圆心O与切点P。
高中求解切线问题的综述
高中求解曲线切线的综述求解曲线切线，是高中数学中一种常见的题目，由于切线是直线与曲线相交与不相交的临界状态，因此一些直线与曲线相离或相交的取值范围问题，也可以归为求切线的一种方法。
此外在求最值问题，很多本质也是求解切线问题。
此外切线的斜率等于切点的导数，所以在切线问题往往和求导也有一些联系，因此切线问题是高中学习的重点，也是难点，下面就总结求解切线问题的方法。
一、判别式法判别式法是先消去一个未知数（或者），得到一个关于或者的二次方程，再令判别x y x y 式为零，求解直线的相关系数，从而求解切线方程。
优点：1、所有求二次曲线方程的通用方法；2、门槛低，初中生就可以掌握，方法固定。
缺点：1、计算量大，尤其在圆锥曲线里面，有时参数要达到四次； 2、往往对一些特殊情况要单独讨论（比如斜率不存在的切线）。
例1：求抛物线方程的图像在上的切线。
2x y =()1,1解：设切线方程的斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为，k ()11-=-x k y 即，代入曲线方程整理得，()k kx y -+=1012=-+-k kx x 令，解得，所以切线方程为。
()0142=--=∆k k 2=k 12-=x y 虽然判别式法计算繁琐，但是在计算双曲线的切线的时候，也只能用这种方法。
二、求导法求导法是利用可导函数在某一点切线的斜率等于该点的导数来求解切线方程。
优点：1、适用面广，高中所学的所有函数几乎都可以用求导法求解切线；2、计算量相对较小。
缺点：1、高中阶段，对于圆，椭圆，双曲线无能为力，而这些曲线的切线却是高考常考的内容。
2、门槛高，导数大多数在高二下半年学习，有时候需要求解高次方程或者超越方程。
1、用求导法求解在曲线上一点的切线方程可用求导先求出切线的斜率，再求出切点，最后用点斜式方程求出切线例2：求函数在处的切线。
xe y =1=x 解：，，所以该切线的斜率为1。
，所以切点为。
xe y ='e e y x =='=11|e y x ==1|()e ,1根据点斜式方程，可得切线方程为，即。
物理学中的切线和割线
物理学中的切线和割线切线和割线是物理学中常用的概念，它们在解决物理问题中起着重要的作用。
本文将从物理学的角度对切线和割线进行解释和讨论。
我们来看一下切线的概念。
切线是指在曲线上某一点处与曲线相切的直线。
切线的存在使得我们可以研究曲线在该点附近的性质和变化趋势。
在物理学中，切线经常用于描述物体的运动轨迹。
例如，当我们研究质点在一条曲线上运动时，切线可以帮助我们确定质点在某一时刻的速度和方向。
切线的斜率也是一个重要的概念。
斜率表示曲线在某一点处的变化率。
在物理学中，我们经常使用斜率来表示物理量的变化速率。
例如，对于一条位移-时间曲线，我们可以通过计算不同点之间的斜率来确定物体在不同时间的速度。
因此，切线的斜率在物理学中具有重要的意义。
接下来，我们转向割线的概念。
割线是指与曲线相交于两个不同点的直线。
与切线不同，割线不仅可以揭示曲线在某一点的性质，还可以揭示曲线整体的性质。
在物理学中，割线常常用于研究物体的加速度和变化趋势。
例如，在研究自由落体运动时，我们可以通过描绘位移-时间曲线并绘制割线来确定物体的加速度。
割线的斜率可以表示物体的加速度大小和方向。
切线和割线的概念不仅在一维运动中有应用，也在二维和三维运动中有广泛的应用。
例如，在研究曲线运动的物体时，我们可以通过绘制曲线的切线和割线来确定物体在不同点的速度和加速度。
在研究曲面运动的物体时，切线和割线也可以帮助我们确定物体在不同点的速度和加速度。
除了在运动学中的应用，切线和割线在其他物理学领域也有重要的应用。
例如，在光学中，切线和割线可以用于描述光线的传播方向和传播速度。
在电学和磁学中，切线和割线可以用于描述电场和磁场的变化趋势和强度分布。
总结起来，切线和割线是物理学中常用的概念，它们在解决物理问题中起着重要的作用。
切线可以帮助我们确定物体在某一点的速度和方向，而割线则可以帮助我们确定物体的加速度和变化趋势。
这两个概念在运动学、光学、电学和磁学等物理学领域都有广泛的应用。
切线方程的解题技巧
切线方程的解题技巧切线方程是数学中的一个重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用，如几何、物理和工程等。
解决切线方程的问题，通常需要使用求导数的方法，也就是微积分的一个应用。
下面，我们将介绍一些解决切线方程的常用技巧。
首先，对于一个简单的直线方程，如 y=2x+1，我们可以使用求导数的方法求解。
具体来说，我们可以使用求导数的技巧，也就是将直线的斜率表示为 y"=-2，然后代入 x=0 和 y=0 中得到切线方程为 x+y=0。
其次，对于比较复杂的直线方程，如 y=x^2+1，我们可以使用代入求导数的方法求解。
具体来说，我们可以将直线的斜率表示为 y"=2x，然后代入 x=0 和y=0 中得到切线方程为 x+y=0。
此外，我们还可以使用构造函数的方法求解切线方程。
具体来说，我们可以构造一个函数 f(x,y)=0，使得该函数的导数在 (x,y) 处等于直线的斜率。
然后，我们可以使用这个函数来求解切线方程。
例如，对于 y=x^2+1 这条直线，我们可以构造函数 f(x,y)=x^3-xy+y^2-1=0。
这个函数的导数为f"(x,y)=3x^2-3xy+y^2，当 y=x^2+1 时，f"(x,y)=3x^2-3xy+y^2=3x-y，因此，该函数在 (x,y) 处斜率为 3x-y。
我们可以使用这个斜率求解切线方程，即x+y=0。
最后，我们还可以使用割线法求解切线方程。
具体来说，我们可以将直线方程表示为 y=kx+b，然后选择一个点 (x_0,y_0),使得该点在直线上，并且与另一个点 (x_1,y_1) 的割线斜率为 k。
然后，我们可以使用割线法求解切线方程，即 x+y=c，其中 c=y_1-kx_0。
例如，对于 y=x^2+1 这条直线，我们可以选择点(0,1),然后计算割线斜率为 k=y"=2x，因此，我们可以使用割线法求解切线方程为 x+y=0。
割线法求方程原理
割线法，又称弦割法、弦法，是一种基于牛顿法改进的求解非线性方程根的方法，属于逐点线性化方法。
它的基本思想是用弦的斜率近似代替目标函数的切线斜率，并用割线与横轴交点的横坐标作为方程式的根的近似。
具体来说，割线法使用两点割线来代替切线，即通过两次迭代得到的两个点(x_{k-1},f(x_{k-1})) 和(x_k,f(x_k)) 来计算割线斜率。
其中，割线斜率为：secant = \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}$。
然后，用这个secant斜率来替代牛顿法中的f'(k) ，从而得到割线法的迭代式。
从几何的角度来看，该方法首先选取两个初始迭代点P_ {0} 、P_ {1} ，然后作直线P_ {0}P_ {1} 交于x 轴与一点，记这点为(x_ {2},0) ，这样就可以得到第2个迭代点P_ {2} ；接着作直线P_ {1}P_ {2} 交于x 轴与一点，记此点为(x_ {3},0) ，得到第3个迭代点P_ {3} ，以此类推。
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函数割线与切线问题的常用解题策略探究
作者：张玉明
来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期
高三数学函数复习中有这样的两道题：
例下列函数中满足性质“对于开区间，）上任意的x，x（x≠x）|f（x）-f（x）|
①f（x）=x；②f（x）=|x|；③f（x）=x；④f（x）=x。
例已知函数f（x）=x3-x+ax+b，x，x∈（0，）（x≠x）总有|f（x）-f（x）|
学生的解法通常是：。
函数①f（x）=x在区间，）上对任意x，x（x≠x）|f（x）-f（x）|。
根据斜率公式以及导数的几何意义|f′（x）|=f（x）-f（x）x-x
所以--3x+x-，a0所以-3
问题是这样的转化等价么？我们知道函数的导数是相应切线的斜率而f（x）-f（x）x-x只是表示函数图像上不同两点连线的割线斜率用切线斜率代换割线斜率是否可行？或者说什么前提下可行？为什么？还有没有其他的转换策略？本文是对这些问题的总结：
导数转化法
定理：函数f（x）在闭区间[a，b]内有定义且连续并在（a，b）内二阶可导其对应曲线上任意两点连线即割线）的斜率构成的集合为A，任意一点处切线斜率构成的集合为，则
）A；
）若函数在（a，b）内总有f″（x）0）则A=；
3）A（A真包含于）的充要条件是：x0∈（a，b）f″（x0）=0且平行于曲线在x=x0处切线的任意割线与曲线至多有一个交点；
）在3）的条件下曲线在所有拐点处切线斜率构成的集合为C则=A∪C。
为证明上述定理先介绍准备知识：
定义设f（x）是定义在开区间（a，b）上的二阶可导函数其对应曲线上任意两点的连线称为曲线的一条割线；
引理f（x）是定义在开区间（a，b）上的二阶可导函数则曲线y=f（x）在开区间（a，b）上向上凸下凹）的充要条件是：f″（x）≤0（≥0）且f″（x）在此开区间上不恒为零。
引理曲线在上凸下凹的分界点称为曲线的拐点二阶可导函数的点x0，f（x0））为拐点的充要条件是f″（x）=0。
引理3拉格朗日中值定理）函数f（x）在闭区间[a，b]内有定义且连续并在（a，b）内可导则在（a，b）内至少存在一点ξ使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a。
证明：）x，x∈（a，b）不妨令x
）当函数在（a，b）内总有f″（x）0）时函数对应曲线在开区间（a，b）内是下凸上凸）的当直线l与曲线切于点（x0，f（x0））（x0∈（a，b））时将直线l平移一段距离至l′使直线l′交曲线于E，F两点显然l′是曲线的割线。
从而A。
又由）知A所以A=。
3）充分性）由）知A又因为平行于曲线在x=x0处切线的任意割线与曲线至多有一个交点亦即任意割线的斜率均不等于f′（x0）故A。
必要性）因为A故k0∈但k0A设曲线在点M（x0，f（x0））处切线为其斜率为k0假设点M（x0，f（x0））不是拐点则一定存在一个开区间（c，d）（a，b）使得x0∈（c，d）并且函数f″（x）>0（
）由3）易知结论成立。
还可以继续得到一个关于三次函数的推论：
推论：任意的三次函数其曲线上存在唯一的拐点亦即总存在一条切线不与任何一条割线平行。
证明：设f（x）=ax3+bx+cx+d（a≠0），x∈R则f″（x）=ax+b令f″（x0）=0则x0=-b3a 所以（x0，f（x0））为其拐点且个数唯一。
关于本定理的存在性的初等证法详见《数学通报》0第5页）
作者单位：江苏省宝应县安宜高级中学。