初中数学—三视图典型例题总结
初二上数学几何模型及典型例题
数学几何作为初中数学的重要组成部分，不仅是学习数学的基础，更是培养学生逻辑思维和空间想象能力的重要途径。
在初二数学教学中，数学几何模型及典型例题的学习尤为重要，既能帮助学生更好地理解数学知识，又能提高学生解决实际问题的能力。
本文将围绕初二上数学几何模型及典型例题展开讨论，帮助学生更好地掌握相关知识。
一、数学几何模型的基本概念数学几何模型是指利用几何图形或几何形式来描述和解决数学问题的一种方法。
在初二数学几何模型学习中，主要包括以下几个方面的内容：1. 几何图形的性质：对于常见的几何图形，如三角形、四边形、圆等，需要了解它们的基本性质，如内角和为多少度，各边之间的关系等。
2. 几何变换：包括平移、旋转、翻折等几何变换，这些变换不仅能帮助学生理解几何图形的性质，还能培养学生的空间想象能力。
3. 几何三视图：通过俯视图、前视图和侧视图等三个视图的表示，能够更直观地描述立体图形的形状和结构。
4. 几何模型的应用：将数学几何模型应用到实际问题中，如建筑、工程、地图等领域，能够培养学生的实际应用能力。
二、数学几何典型例题解析除了理论知识的学习外，初二数学几何模型及典型例题的学习也非常重要。
下面我们分别对几种典型的数学几何例题进行解析，帮助学生更好地掌握解题方法和技巧。
1. 三角形的面积计算例题：已知三角形的底边长为5cm，高为8cm，求其面积。
解析：根据三角形的面积公式 S=1/2*底边*高，代入已知数值进行计算，可得三角形的面积为20平方厘米。
2. 圆的周长和面积计算例题：已知圆的半径为3cm，求其周长和面积。
解析：圆的周长计算公式为C=2*π*r，圆的面积计算公式为S=π*r^2。
代入已知半径进行计算，可得圆的周长为6π厘米，面积为9π平方厘米。
3. 直角三角形的性质运用例题：已知直角三角形两直角边分别为3cm和4cm，求斜边长。
解析：根据勾股定理，直角三角形斜边长为 a^2+b^2 的平方根，即5cm。
(完整)初中数学三视图专题试题及答案1,推荐文档
面右图由 7 个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是
（
）
A
B
C
D
4、下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是…（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
5、画出下面实物的三视图：
参考答案： 课前小测：
72
1、短 2、
35
第二十九章 投影与视图 29．2 三视图
64
3、 4、矩形，圆 5、空心圆柱
A．O B． 6 C．快 D．乐 三、综合训练：
1．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（ ）
正面
A
B
C
D
ห้องสมุดไป่ตู้
2、右图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用
的小立方块的个数是（ ）
A5个 B6个
C7个
D8个
主主主主主主
主主主
主主主
3、如果用□表示 1 个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下
第二十九章 投影与视图
29．2 三视图 一、课前小测： 1、身高相同的甲、乙两人分别距同一路灯 2 米、3 米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子
（填“长”或“短”） 2、小刚和小明在太阳光下行走，小刚身高 1.75 米，他的影长为 2.0m，小刚比小明矮
5cm，此刻小明的影长是________m. 3、墙壁Ｄ处有一盏灯（如图），小明站在Ａ处测得他的影长与身长相等都
15
二、基础训练： 1、(1)球，圆柱体；（2）实线，虚线；（3）圆锥，正四棱锥，倒放的正三棱柱等；（4）
圆锥；（5）俯视图，正视图，左视图；（6）12. 2、A；3、C 4、B 5、B 三、综合训练： 1、C 2、D 3、B；4、A；5、题图：
初中数学(新人教版)九年级下册同步测试：三视图(同步测试)【含答案及解析】
29.2三视图第1课时简单几何体的三视图知能演练提升能力提升1.在下列几何体中,主视图、左视图与俯视图都是相同的圆,该几何体是()2.已知底面为正方形的长方体如图所示,下面有关它的三个视图的说法正确的是()A.俯视图与主视图相同B.左视图与主视图相同C.左视图与俯视图相同D.三个视图都相同3.下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是()4.如图,将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周,所得几何体的主视图是()5.如图,该几何体的俯视图是()6.如图,李老师办公桌上放着一个圆柱形茶叶盒和一个正方体的墨水盒,小芳从上面看,看到的图形是()7.由若干个大小、形状完全相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,则这个几何体的主视图是()8.下图中右面的三视图是左面棱锥的三视图,能反映物体的长和高的是()A.俯视图B.主视图C.左视图D.都可以创新应用★9.如图,这是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板,则下列物体中既可恰好堵住圆形空洞,又可恰好堵住方形空洞的是()★10.5个棱长为1的小正方体组成如图所示的几何体.(1)该几何体的体积是(立方单位),表面积是(平方单位);(2)画出该几何体的主视图和左视图.能力提升能力提升1.A2.B3.D4.D Rt△ABC绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥,所以它的主视图是等腰三角形.5.B6.A要注意看的方向,本题是从上面看,即俯视,圆柱从上面看应该是圆形,正方体从上面看应该是正方形,并且它们是并列摆放的.7.A8.B由实物图可以知道能反映长的视图是主视图和俯视图,能反映高的视图是主视图和左视图,故选B.创新应用9.B10.解(1)522(2)如图.第2课时复杂几何体的三视图知能演练提升能力提升1.已知一个水平放置的圆柱形物体如图所示,中间有一个细棒,则此几何体的俯视图是()2.手提水果篮抽象的几何体如图所示,以箭头所指的方向为主视图方向,则它的俯视图为()3.如图,该零件的左视图是()4.有一个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置,它的左视图是()5.我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图,该几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型,它的俯视图是()6.如图,桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成,现将该模型露在外面的部分涂上涂料,则涂上涂料部分的总面积为.7.已知某几何体的示意图如图所示,请画出该几何体的三视图.8.已知一个槽形工件如图所示,它是长方体中间切去了一个小的三角块,工人师傅要得到它的平面图形,请你画出它的三视图.★9.如图,下列是一个机器零件毛坯和它的主视图,请画出这个机器零件的左视图与俯视图.创新应用★10.如图,下列是一个机器零件的毛坯,请画出这个机器零件的三视图.★11.已知由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体如图所示.(1)请画出这个几何体的左视图和俯视图;(用阴影表示)(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体,并保持这个几何体的左视图和俯视图不变,那么最多可以再添加几个小正方体?能力提升1.C2.A3.D4.C5.A6.50a27.解如图所示.8.解如图所示.9.解如图所示.创新应用10.解三视图如图所示.11.解(1)左视图和俯视图如下:(2)在第二层第二列的第二行和第三行可各加一个;在第三层第二列的第三行可加一个,在第三列的第三行可加1个,2+1+1=4(个).故最多可再添加4个小正方体.第3课时从视图到实物知能演练提升能力提升1.已知由几个小正方体所搭的几何体的俯视图如图所示,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,则这个几何体的主视图为()2.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是()3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是()A.200 cm2B.600 cm2C.100π cm2D.200π cm24.已知一个由小正方体所搭的几何体如图所示,从不同的方向看所得到的平面图形中(小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数),其中不正确的是()5.已知一个几何体的三视图如图所示(其中a,b,c为相应的边长),则这个几何体的体积是.6.用若干个小正方体搭成一个几何体,它的主视图和俯视图如图所示,问:搭成这样的几何体,最少需要多少个小正方体?最多需要多少个小正方体?7.已知某工件的三视图如图所示,求此工件的全面积.创新应用★8.如果一个几何体是由多个小正方体堆成,其三视图如图所示,那么这样的几何体一共有多少种情况?能力提升1.D2.D3.D通过三视图知原几何体是一个底面直径为10 cm,高为20 cm的圆柱体.则S侧面=10π×20=200π(cm)2.故选D.4.B A是从左面看到的,C是从正面看到的,D是从上面看到的.5.abc6.解由主视图得到该几何体有三列,高度分别为2,3,2;由俯视图得第一列和第三列各有2个,但是第二列最少有5个,最多有9个.所以搭成这样的几何体,最少需要9个小正方体,最多需要13个小正方体.7.解由三视图可知,该工件是一个底面半径为10 cm,高为30 cm的圆锥,圆锥的母线长为√302+102=10√10(cm),圆锥的侧面积为1×20π×10√10=100√10π(cm2),圆锥的底面积为2102π=100π(cm2),所以圆锥的全面积为100π+100√10π=100(1+√10)π(cm2).即工件的全面积为100(1+√10)π cm2.创新应用8.解主视图、左视图、俯视图都是由4个正方形组成,所以该物体是由一些完全一样的小正方体构成,所以该物体可以是由8个完全一样的小正方体组成的大正方体如图(1),而且也可以保持图(1)中下面一层有4个小正方体,那么上面一层4块中缺少任意一块,或缺对角的2块,这七种情况的三视图都如题图所示.。
三视图习题加解析
三视图典型例题加解析一、选择题1如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④解析：①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．A2、平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π解析：利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝（2）2＋1＝3，即球的半径为3， ∴V ＝43π(3)3＝43π.3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4解析：三视图还原为实物图，利用六棱柱体积公式求解．由三视图可知，此几何体为直六棱柱，且底面的面积为4，高为1，则体积V ＝Sh ＝4.D4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．6＋ 5B ．6＋2 5C ．8＋ 5D ．8＋2 5解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直棱柱，其表面积等于2×(12×1×2)＋(2×12＋22＋1×2＋2×2)＝8＋25，选D.5．如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E 、F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′EFQ 的体积( )A ．与点E 、F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E 、F 、Q 位置都有关D ．与点E 、F 、Q 位置均无关，是定值解析：因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×(12×2×4)×4＝163，故三棱锥A ′-EFQ 的体积与点E 、F 、Q 的位置均无关，是定值．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：将三视图还原为直观图后求解．根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S ＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.7．某商店门口标识墩的直观图以及正视图和俯视图如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P -EFGH ，下半部分是长方体ABCD -EFGH .(1)请画出该标识墩的侧视图； (2)求该标识墩的体积．解析：(1)由于墩的上半部分是正四棱锥P -EFGH ，下半部分是长方形ABCD -EFGH ，故其侧视图与正视图全等．该标识墩的侧视图如图所示．(2)由三视图易得，长方体与正四棱锥的底面均是边长为40 cm 的正方形，长方体的高为20 cm ，正四棱锥的高为60 cm.故该标识墩的体积V ＝V P －EFGH ＋V ABCD -EFGH ＝13×40×40×60＋40×40×20＝64 000(cm 3)．8．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)若M 为CB 的中点，证明：MA ∥平面CNB 1； (2)求这个几何体的体积．解析：(1)证明：取CB 1的中点P ，连接MP ，NP .因为M 为CB 的中点，所以MP ∥BB 1，且MP ＝12BB 1.由三视图可知，四边形ABB 1N 为直角梯形，AN ∥BB 1且AN ＝12BB 1，则MP ∥AN 且MP ＝AN ，所以四边形ANPM 为平行四边形，所以AM ∥NP .又因为AM ⊄平面 CNB 1，NP ⊂平面CNB 1，所以AM ∥平面CNB 1. (2)因为该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，所以BC ⊥BA ，BC ⊥B 1B .又BB 1与BA 相交于点B ，连接BN ，所以BC ⊥平面ABB 1N ，所以BC 为三棱锥C -ABN 的高．取BB 1的中点Q ，连接QN ，因为四边形ABB 1N 是直角梯形且AN ＝12BB 1＝4，所以四边形ABQN 为正方形，所以NQ ⊥BB 1，又BC ⊥平面ABB 1N ，NQ ⊂平面ABB 1N ，所以BC ⊥NQ ，又BC 与BB 1相交于点B ，所以NQ ⊥平面C 1B 1BC ，所以NQ 为四棱锥N -CBB 1C 1的高．所以该几何体的体积V ＝V C -ABN ＋VN －CBB 1C 1 ＝13CB ·S △ABN ＋13NQ ·S 四边形BCC 1B 1 ＝13×4×12×4×4＋13×4×4×8＝1603.9．给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确的命题个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解】D ．10．圆锥底面半径为１cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．【解】分析：画出轴截面图，设正方体的棱长为x ，利用相似列关系求解. 过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图所示. 设正方体棱长为x ，则CC 1=x ，C 1D1=. 作SO ⊥EF 于O ，则SO =OE =1，1~ECC EOS ∆∆， ∴11CC EC SO EO ==.11∴ x =， cm 11．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是A. 4πB. 8πC. 12π D. 16π【解】如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D在球O 的同一个大圆上，点P在球面上，PO 与平面ABCD 垂直，是棱锥的高，PO =R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=，所以2116233R R ⋅⋅=，解得R =2，则球O 的表面积是16π，选D. 12求球的表面积和体积．【解】分析：作出轴截面，利用勾股定理求解.作轴截面如图所示，CC '=AC == 设球半径为R ，则222R OC CC '=+229=+= ∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球．。
专题16 丰富的图形世界、展开图与折叠、三视图之十大考点(原卷版)
专题16 丰富的图形世界、展开图与折叠、三视图之十大考点【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一立体图形的分类】 (1)【考点二几何体中点、棱、面】 (2)【考点三正方体相对两面上的字】 (4)【考点四含图案的正方体的展开图】 (4)【考点五由展开图计算几何体的表面积或体积】 (5)【考点六判断简单组合体的三视图】 (7)【考点七画小立方块堆砌图形的三视图】 (7)【考点八求小立方块堆砌图形的表面积】 (8)【考点九已知三视图求最多或最少的小立方块的个数】 (9)【考点十已知三视图求侧面积或表面积或体积】 (10)【过关检测】 (12)【典型例题】【考点一立体图形的分类】例题：如图，下列几何体，是柱体的有______，球体的有______．（填序号）【变式训练】1.如图所示，请将下列几何体分类．2．下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）．(1)如果按“柱”“锥球”来分，柱体有______，椎体有______，球有______；(2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有______，无曲面的有______．【考点二几何体中点、棱、面】例题：几何知识：（1）长方体有_____个面，_____条棱，_____个顶点．（2）圆柱体由_____个面围成，圆锥由_____个面围成，它们的底面都是_____．（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有_____个面，_____个顶点，_____条棱．【变式训练】1．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【考点三正方体相对两面上的字】例题：（2023秋·陕西渭南·七年级校考阶段练习）一个正方体的展开图如图所示，则原正方体的“建”字所在的面的对面所标的字是（）A．设B．福C．中D．国【变式训练】1．如图所示，3个正方体的6个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、自、黑、绿六种颜色，那么涂黄色、红色、白色的面的对面的颜色分别是（）A．绿、黑、蓝B．蓝、黑、绿C．绿、蓝、黑D．蓝、绿、黑2．（2023秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知正方体的表面展开图如图所示，若相对面上标有的两个数+-的值为．互为相反数，则x y z【考点四含图案的正方体的展开图】例题：如图所示的正方体，下列选项中哪一个图形是它的展开图（）A．B．C．D．【变式训练】1．如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是（）A．B．C．D．2．小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，混放在下面的盒子里，请观察，礼物所在的盒子是（）A．B．C．D．【考点五由展开图计算几何体的表面积或体积】例题：（2023秋·辽宁·七年级统考阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，进行了测量，结果如图所示：(1)该长方体盒子的长______cm，宽______cm，高______cm；(2)求这个包装盒的表面积和体积．【变式训练】1．如图是一个食品包装盒的展开图．请根据图中所标的尺寸，求这个包装盒的表面积和体积．2．小芳要用硬纸片做一个文具盒，如图所示是文具盒展开图．(1)指出x、y的值；(2)求文具盒的表面积及体积．3．如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【考点六判断简单组合体的三视图】例题：下图所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【变式训练】1．如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（）A．B．C．D．2．某几何体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【考点七画小立方块堆砌图形的三视图】例题：如图是一个由7个正方体组成的立体图形．画出该立体图形的主视图、左视图和俯视图．1．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，请画出这一几何体的三视图．2．按要求完成下列视图问题，（其中小正方体的棱长为1）(1)如图（一），它是由7个同样大小的正方体摆成的几何体，请你借助虚线网格画出该几何体的三视图．(2)如图（二），它是由10个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，不会发生改变的视图为______；(3)如图（二），若在保持主视图和左视图都不变的情况下，最多可以再添加______个相同的小正方体．【考点八求小立方块堆砌图形的表面积】例题：（2023秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）某学校设计了如图所示的雕塑，取名“阶梯”，现在工厂师傅打算用油漆喷刷所有暴露面，经测量，已知每个小立方体的棱长为1m．(1)请分别画出该雕塑的俯视图和左视图；（画出的图需涂上阴影）(2)请你帮助工人师傅计算一下，需要喷刷油漆的总面积是多少．1.一位画家把边长为1m的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为2m．2．如图是5个棱长为1厘米的正方体组成的几何体．它的表面积是平方厘米．3．如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要____个小正方体，王亮所搭几何体的表面积为____．【考点九已知三视图求最多或最少的小立方块的个数】块．最少可能有个小立方块．【变式训练】体组成，至多又是个．2．用小立方体搭一个几何体，分别从它的正面、上面看到的形状如图所示．这样的几何体最少需个小立方体；最多需要个小立方体．【考点十已知三视图求侧面积或表面积或体积】例题：如图是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)求此几何体表面展开图的面积．（结果保留 ）【变式训练】1．如图是一个几何体的三视图．(1)写出几何体的名称；(2)根据图中标出的数据，计算这个几何体的表面积（精确到20.1cm，即结果保留一位小数）．2．如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图．(1)在图②的横线上填写出两种视图的名称；(2)根据两种视图中的数据（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积．（结果保留一位小数，π取3.14）【过关检测】一、单选题1．六棱柱共有（）条棱，共有（）个面．A．16，6B．17，7C．18，8D．20，92．如图所示的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．在下列四个正方体中，只有一个是用左图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（）A．B．C．D．4．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题6．下列几何体中，属于棱柱的有．（填序号）7．如图，在平整的地面上，用10个棱长都为1cm的小正方体堆成一个几何体．则这个几何体的表面积为2cm（含底面）8．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是．三、作图题9．请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图和俯视图．10．指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．柱体：___________________________锥体：___________________________球体：___________________________（填序号）11．在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；(2)若给该几何体露在外面的喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是______2cm？12．某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是______________；(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；(3)请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的侧面积．13．按要求回答下列问题（其中小正方体的棱长均为1）．(1)如图1，它是由7个同样大小的正方体摆成的几何体，请你借助虚线网格画出该几何体的三视图；(2)如图2，它是由10个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，不会发生改变的视图为__________；(3)如图2，若在保持主视图和俯视图都不变的情况下，最多可以再添加_____个相同的小正方体．14．如图①所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱．(1)图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称（填“主”、“左”或“俯”）；(2)根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．（结果保留 ）你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是 ．(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x y 的值．。
专题1：三视图方法总结及例题(解析版)
专题1：三视图方法总结及例题（解析版）一.空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”二.空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350） ③画对应图形在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：42S ⋅=原图形直观图S一，切割法例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．20B．24C．18D．16【答案】A【分析】由三视图还原出该几何体的直观图，如图所示，该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的，然后计算体积即可【详解】解：由几何体的三视图还原出该几何体的直观图，如图所示．该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．由题中数据可得三棱柱的体积为1344=242⨯⨯⨯，截去的三棱锥的体积为4，故该几何体的体积是20．故选：A【点睛】此题考查由三视图求几何体的体积，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.切割法规律总结：1、还原到常见几何体中2、实线当面切，虚线背后切3、切完后对照三视图进行检验二，三点交汇法例2某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )A．4B．8C．12D．24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC-是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以11423432D ABCV-=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题. 三点交汇法规律：三线交汇得顶点，各顶必在其中选多顶可能用不完，个中取舍是关键:三、拔高法例3：3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．424+B ．228+C ．428+D ．12【答案】B【分析】 由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥，然后求出各个面的面积即可【详解】解：由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥E ABCD -，由题可得，2AB BC CD AD CE =====,22DE BE ==，所以该几何体的表面积为112222222282222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：B拔高法规律总结：1.标出俯视图所有结点，画出俯视图对应的直观图2.由主、侧视图的左中右找出被拔高的点.四、去点法例4：某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．6B．12C．24D．36【答案】B【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得1334=123V=⨯⨯⨯，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.去点法规律：画立方体删多余点连剩余点六字真言：先去除、再确定针对练习1．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A．4B．23C．23＋2D．6【答案】C【分析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积．【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：2的正方形，故底面的对角线长为2.所以四棱锥的高为12×2＝1，故四棱锥的侧面高为h22212⎛⎫+⎪⎪⎝⎭6则四棱锥的表面积为164222322S=⨯+=.故选C.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π【答案】B【解析】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，几何体的底面是边长为2 的等边三角形，侧棱长为2 ，三棱柱的两个底面中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是半径，2227(3)133r =⨯+= ，球的表面积为27284433r πππ=⨯= ，故选B. 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A．25B．26C．42D．43【答案】C【分析】依据多面体的三视图，画出它的直观图并放入棱长为4的正方体中，求出最长的棱长为AB可得答案．||【详解】依据多面体的三视图，画出它的直观图，如图所示；在棱长为4的正方体中，四面体ABCD就是满足图中三视图的多面体，其中A、B点为所在棱的中点，所以，四面体ABCD最长的棱长为22AB+=||4442故选：C．【点睛】方法点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查学生空间想象能力，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）A ．3B ．6C ．5D ．3【答案】B【分析】 画出直观图，然后计算出最长的棱长.【详解】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示四棱锥P ABCD -.1AB BC CD AD ====，22112PA =+=，2221113PB =++=，22125PD =+=，2221216PC =++=.所以最长的棱长为6.故选：B【点睛】本小题主要考查三视图，属于基础题.5．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )A．4B．8C．12D．24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC-是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以11423432D ABCV-=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题.6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A ．442+B ．262+C ．332+D ．8 【答案】A【分析】由三视图还原棱锥的直观图，即可求棱锥的表面积. 【详解】由已知三视图，可得：此棱锥ABCD 的直观图如下图所示：ABD △和CBD 都是直角边为2和2ABC 和ADC 均是腰长为2的等腰直角三角形，所以其表面积为21122222244222S =⨯⨯⨯⨯⨯=+.故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的表面积，空间想象能力，属于基础题.7．一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为（ ）A．3a B．33aC．36aD．356a【答案】D【分析】试题分析：由三视图可知该几何体为正方体去掉一角，其直观图如图缩小，正方体的体积，去掉的三棱锥的体积，因此组合体的体积，故答案为D．考点：由三视图求几何体的体积．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积的最大值为（）A ．12B ．32C ．5D ．102【答案】B【分析】根据三视图，画出原图，根据原图，判断各个面的面积大小，即可得解.【详解】如图：棱锥P ABC -即为所求图形， 5PC PA ==2AC =，1AB BC ==所以△PAC 面积为32， 而△PBC ，△PAB ，△ABC 的面积分别为551222，，， 故△PAC 的面积最大，故选：B.【点睛】本题考查了立体几何的三视图，本题所用方法是利用长方体的割补进行还原原图，是解三视图的一个重要方法，考查了空间想象能力和空间感，计算量不大，属于中档题.9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（ ）A ．()2123cm +B ．()2103cm +C ．()21023cm+ D ．()21223cm +【答案】D【分析】 由三视图可知，该正三棱柱的底面是边长为2cm 的正三角形，高为2cm ，根据面积公式计算可得结果.【详解】正三棱柱如图，有2AB BC AC ===，1112AA BB CC ===，三棱柱的表面积为122322312232⨯⨯+⨯⨯=+故选：D【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，考查了正三棱柱的结构特征，属于基础题.10．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．3B ．5πC ．4πD ．6π【答案】D【分析】 根据三视图可知几何体为圆柱体，由已知条件得底面直径2r 和高h 都为2，即可求圆柱体表面积.【详解】由题意知：几何体为底面直径2r 和高h 都为2的圆柱体，∴表面积2226S rh r πππ=+=，故选：D【点睛】本题考查了由几何体三视图求表面积，应用了圆柱体表面积的求法，属于简单题. 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．735+B ．725+C ．11352+D ．11252+ 【答案】A【解析】 分析：通过三视图可知，该多面体为棱长为2的正方体切割而成的四棱锥O ABCD -，A D 、为棱的中点，再计算该四棱锥各面面积之和即可．详解：根据三视图可知，该几何体为四棱锥O ABCD -，由棱长为2的正方体切割而成． 底面ABCD 为矩形，22=21+2=25ABCD S ⨯ 211===2=222OCD OBC SS S 正方形⨯ 1==52OAD ABCD S S易得5,3,22AB OA OB ===由余弦定理2223(22)(5)2cos 22322OAB +-∠==⨯⨯，得4OAB π∠= 12322322OAB S ∴=⨯⨯⨯= 四棱锥的表面积255223735S =++⨯+=+故选A ．点睛：（1）当已知三视图去还原成几何体时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．（2）表面积计算中，三角形的面积要注意正弦定理和余弦定理的运用．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）A ．22B ．25C ．26D ．42【答案】C【分析】 将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可.【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -如图所示.其中1AC 为最长棱.由勾股定理得222142226AC =++=.故选：C【点睛】 本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题.13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．18B ．14C ．23D ．16【答案】C【分析】观察三视图并将其“翻译”成直观图，要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.【详解】如图所示，三棱锥D ABC -即为所求，正方体的棱长都是2，B 点到底面DAC 的距离是2，所以 11121223323D ABC ADC V S h -=⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23πB ．πC ．43πD ．2π【答案】A【分析】由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，由圆柱体积减去两个半球体积可得．【详解】由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V V =柱－2V⨯半球231421221233πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查几何体的体积，解题关键是由三视图得出几何体的结构．15．某几何体的三视图如图，则几何体的体积为A．8π﹣16B．8π+16C．16π﹣8D．8π+8【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为两个底面为弓形的柱体，底面积为一个半圆割去一个等腰直角三角形，其面积为221422422ππ⋅-⨯⨯=-，高为4，所以柱体体积为()424π-=816π-.选A【点睛】由于正视图和侧视图均为矩形，所以原几何体为柱体，底面为两个弓形，所以原几何体是由圆柱截得的，三视图问题是近些年高考必考题，根据三视图恢复原几何体，数据要根据“长对正、高平齐，宽相等”的原则，标清几何体中线段的长度，利用面积或体积公式计算.16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．163D ．16【答案】B【分析】 由三视图画出其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得；【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（有一条侧棱PA 垂直于底面ABCD ），其直观图如图所示：四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形ABCD （上底为1BC =，下底为3AD =，高为2AB =），四棱锥的高是2PA =，所以直角梯形ABCD 的面积为()()132422ABCD BC AD AB S +⨯+⨯===直角梯形，所以该四棱锥P ABCD -的体积为11842333P ABCD ABCD V S PA -=⨯⨯=⨯⨯=直角梯形． 故选:B ．【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.17．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．3【答案】B【详解】试题分析：如图，阴影平行四边形表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，122242V=⨯⨯⨯=.考点：1.三视图；2.正方体的体积18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．5252++B ．2552++C ．552++D ．525++【答案】D【分析】 依题意，由三视图得到直观图，再求出四棱锥的表面积即可；【详解】 解：由三视图可得如下直观图则SA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，且2SA =，2AB =，1AD =，所以12222SAB S =⨯⨯=，12112SAD S =⨯⨯=，122ABCD S =⨯=，22121252SCD S =⨯+=22112222SCB S =⨯+=所以表面积为552故选：D【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，属于基础题.走进高考1，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727B ．59C ．1027D ．13【答案】A【详解】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积154V π=，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积2161834V πππ=+=，所以削掉部分的体积与原体积之比为5434105427πππ-=，故选A. 考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力.2，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）如图,已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．3，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．63B．6C．62D．4【答案】B【详解】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为D ABC -，且4AB BC ==, 42AC =,25DB DC ==,2(42)46DA =+=，故最长的棱长为6，选B ．4，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=，∴剩余部分体积为15166-=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为15． 故选D ．考点：由三视图求体积5，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】【详解】【分析】 由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+ ， 又∵该几何体的表面积为16+20π，∴22541620r r ππ+=+ ，解得r=2，本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．6，2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．B．C．90D．81【答案】B【解析】【详解】试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：，故棱柱的表面积为：．故选：B．点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.7，2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和。
初中数学知识点精讲精析 三视图知识讲解
29.2 三视图1.三视图概念：物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。
如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图.如图(2)，将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三视图(由主视图，俯视图和左视图组成).三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体，三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的宽相等画三视图的注意点：1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。
2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。
典型例题例1.画出下图所示的一些基本几何体的三视图.分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:1.确定主视图的位置，画出主视图;2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。
3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.解：例2.画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构俯视图左视图主视图成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的上下、前后位置关系.解:如图29.2-7是支架的三视图例3.右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定;看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.解:图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁.例4．如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。
知识讲解-空间几何体结构及其三视图(答案)
空间几何体结构及其三视图【学习目标】（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【知识网络】【要点梳理】要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图1．多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．要点二．空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中减半．3．平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．要点三．空间几何体的表面积和体积2．几何体的体积公式（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh；（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=13 Sh；（3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为S'，S，高为h，则体积V=13（'SS）h；（4）设球半径为R，则球的体积V=43π3R．要点诠释：1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．【典型例题】类型一．空间几何体的结构特征例1．若沿△ABC三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABC（）A．一定是等边三角形B．一定是锐角三角形C．可以是直角三角形D．可以是钝角三角形【思路点拨】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，进而逐一分析△ABC为不同形状时沿△ABC三条边的中位线能否拼成一个三棱锥，最后结合讨论结果，可得答案．【答案】B【解析】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，当△ABC为锐角三角形时，三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，当△ABC为为直角三角形时，在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，同理当△ABC为钝角三角形时，在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，综上可得：△ABC一定是锐角三角形，故选B．【总结升华】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形形状的判断，其中正确理解：三棱锥的展开图中，过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，是解答的关键．举一反三：【变式】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH 的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定【思路点拨】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形【答案】B【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为B例2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【思路点拨】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．【答案】D【解析】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．【总结升华】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题．举一反三：【变式】用一个平面去截正面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）A．6个B．7个C．10个D．无数个【思路点拨】根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．【答案】D【解析】∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选D．类型二．空间几何体的三视图例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．举一反三：【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）【答案】A【解析】A中，的三视图：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选A例4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）【思路点拨】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为1D AD C -，棱1CD 在左侧面的投影为1BA ，故选B ．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A．332π+ B ．3π+ C ．32π D ．532π+【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积． 【答案】A【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为12π，观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1222⨯⨯=32πA ．【变式2】一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可． 【答案】B【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为141122⨯⨯⨯=由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形23=此棱锥的体积为12323⨯⨯=故选B【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为13×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．类型三．几何体的直观图例5．如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8C．2＋3 2 D．2＋23【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．【答案】B【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝22，OA＝1，∴AB＝3，所以周长为8．故选B【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．举一反三：【变式】对于一个底边在x轴上的正三角形ABC，边长AB=2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是________．【思路点拨】如图所示，A＇B＇=AB=2，13''22O C OC==，作C＇D＇⊥x＇，可得26''''24C D O C==．因此其直观图的面积1'''' 2C D A B=⋅⋅．【答案】6 4【解析】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，13''22OC OC ==，作C ＇D ＇⊥x ＇，则26''''24C D O C ==． ∴其直观图的面积1166''''222C D A B =⋅⋅=⨯⨯=．故答案为：6．类型四．空间几何体的表面积与体积例6．有一根长为3πcm ,底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离． 【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD （如图），由题意知BC =3πcm ，AB =4πcm ，点A 与点C 分别是铁丝的起．止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC =22AB BC +5πcm ，故铁丝的最短长度为5πcm ．【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点． 举一反三：【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______．【答案】圆半径r =10，面积S =100π，圆锥母线2230101010l =+=．例7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3．【思路点拨】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【答案】72，32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，则其表面积为22×(24－6)=72 cm 2，其体积为4×23=32，故答案为：72，32 举一反三：【变式】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A ．363(2)π+B ．363(2)π+C ．1083πD ．108(32)π+【思路点拨】几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果． 【答案】B【解析】由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，∴根据勾股定理知圆锥的高是63，∴半个圆锥的体积是21166336323ππ⨯⨯⨯⨯=， 后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是63，∴三棱锥的体积是111266372332⨯⨯⨯⨯=，∴几何体的体积是363723363(2)ππ+=+， 故选B ．巩固练习1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.下列命题中正确的是（ ）A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径2.长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ） A.31+ B.102+ C.23 D.323.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（ ）A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台4.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图14所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________.图145.有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图16所示.从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________.图166.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.1.1.2 简单组合体的结构特征1 如图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征.图3.2 已知如图5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.3.若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）A.64B.66C.68D.701.2.3 空间几何体的直观图1. 关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变1B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的2C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）A.16B.64C.16或64D.都不对3.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ） A.62 B.64 C.3 D.都不对4.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ） A.2221+ B.221+ C.21+ D.22+ 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.（ ）A.1B.2C.3D.4分析：①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①是错误的；②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的.答案：A1.下列命题中正确的是（ ）A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径分析：以直角梯形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆台，所以B 不正确；圆锥仅有一个底面，所以C 不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以D 不正确.很明显A 正确.答案：A2 长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A.31+B.102+C.23D.32答案：C3.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（ ）A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台分析：圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆面，所以A 、B 、D 均不正确.答案：C4.（2007山东菏泽二模，文13）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图14所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________.图14分析：如图15所示，折成正方体，很明显点A 、B 、C 是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC=90°.图15答案：90°5.有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图16所示.从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H 反面的字母是___________.图16分析：正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，与标有S 的面相邻的面共有四个，由这三个图,知这四个面分别标有字母H 、E 、O 、p 、d ，因此只能是标有“p”与“d”的面是同一个面，p 与d 是一个字母；翻转图②，使S 面调整到正前面，使p 转成d ，则O 为正下面，所以H 的反面是O. 答案：O6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.分析：这类题目应该选取轴截面研究几何关系.解：圆台的轴截面如图17，图17设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S.在Rt △SOA 中，∠ASO=45°，则∠SAO=45°.所以SO=AO=3x.所以OO 1=2x. 又21（6x+2x ）·2x=392，解得x=7，所以圆台的高OO 1=14 cm ，母线长l=2OO 1=214cm ，而底面半径分别为7 cm 和21 cm,即圆台的高14 cm ，母线长214cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm.1.1.2 简单组合体的结构特征1 如图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l 旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征.图3答案：一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球.2 已知如图5所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＜BC ，当梯形ABCD 绕BC 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.图5 图6 解：如图6所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.3.若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（ ）A.64B.66C.68D.70分析：由2、3、5的最小公倍数为30，由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数.答案：B1.2.3 空间几何体的直观图1.画水平放置的等边三角形的直观图.2.如图7所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4 cm ，CD=2 cm ，∠DAB=30°，AD=3 cm ，试画出它的直观图.图7解：步骤是：（1）如图8所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图9所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′=45°.（2）如图8所示，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′=AB=4 cm ，A′E′=AE=323cm ≈2.598 cm ；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′=ED 21，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′=CD=2 cm.图8 图9 图10（3）连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图10所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.3.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（ ）A.原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B.原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的21 C.在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同分析：在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C 不正确. 答案：C4.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）A.16B.64C.16或64D.都不对分析：根据直观图的画法，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x 轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y 轴，则正方形边长为8，面积是64. 答案：C5.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ） A.62 B.64 C.3 D.都不对分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的22倍，而正三角形的高是3，所以原三角形的高为62，于是其面积为21×2×62=62. 答案：A6.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ） A.2221+ B.221+ C.21+ D.22+ 分析：平面图形是上底长为1，下底长为21+，高为2的直角梯形.计算得面积为22+. 答案：D。
初中三视图试题及答案
初中三视图试题及答案
1. 题目：观察下列物体的正视图和侧视图，画出其俯视图。
答案：根据正视图和侧视图，我们可以确定物体的俯视图是一个圆形。
2. 题目：给出一个物体的三视图，判断该物体的形状。
答案：该物体是一个长方体。
3. 题目：如果一个物体的正视图和俯视图都是矩形，而侧视图是一个
三角形，那么这个物体是什么形状？
答案：这个物体是一个三角柱。
4. 题目：观察下列物体的三视图，计算其体积。
答案：物体的体积为长×宽×高，具体数值根据三视图中给出的尺
寸计算得出。
5. 题目：根据下列物体的三视图，判断其表面积。
答案：物体的表面积为各面面积之和，具体数值根据三视图中给出
的尺寸计算得出。
6. 题目：如果一个物体的正视图是一个正方形，侧视图是一个矩形，
俯视图是一个圆形，那么这个物体是什么形状？
答案：这个物体是一个圆柱。
7. 题目：观察下列物体的三视图，判断其是否为对称图形。
答案：该物体是对称图形，因为它的三视图在对称轴两侧是相同的。
8. 题目：给出一个物体的三视图，计算其棱长总和。
答案：物体的棱长总和为各棱长度之和，具体数值根据三视图中给出的尺寸计算得出。
9. 题目：如果一个物体的三视图都是相同的圆形，那么这个物体是什么形状？
答案：这个物体是一个球体。
10. 题目：观察下列物体的三视图，判断其是否为多面体。
答案：该物体是一个多面体，因为它的三视图显示了多个平面的交线。
三视图
40
C.
80 3
D.
40 3
基础训练
1.是正方体两条棱的中点，如图是该正方体被平面和平面截去两个角 后，所得到的几何体，则该几何体的正视图为（ B）
2.（2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几 何体如右图所示，则该几何体的左视图为（D）
3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图 可以是( B )．
在侧面内得到由左向右观察物体的 视图，叫左视图（从左面看）
从左面看
从上面看 主视图 左视图 高
主视图
正面
长
宽
宽
俯视图
从正面看
7
将三个投影面展开在一个平面内，得 到这一物体的一张三视图
三视图是主视图、俯视图、左视图的 统称。它是从三个方向分别表示物体形状 的一种常用视图。
8
三视图位置有规定， 主视图要在左上边，它 的下方应是俯视图，左 视图坐落在右边
柱体：正、侧视图是矩形，俯视图是多边形（圆 形）。 锥体：正、侧视图是三角形，俯视图是多边形 （圆形）。
2、寻找几何体的数据：正视图、侧视图找高； 俯视图找底面。 3、运用公式求解。
42
30
典型例题 1.(2010· 广东)如图1，△ABC为正三角形，
AA′∥BB′∥CC′，
CC′⊥平面ABC且3AA′＝ 图 )是 (
BB′＝CC′＝AB，
则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视
D
)
2.（2008广东高考文科） 将正三棱柱截去三个角（如图1所示， A、B、C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几 何体按图2所示方向的侧视图为（ ）.A
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挑战自我
北师大版七年级上册知识点和典型例题
第一章：丰富的图形世界考点1：三视图例题1：如图是某几何体的从正面、左面、上面看，所得到的图形，它对应的几何体是下图中的( )A. B. C. D.例题2:下面的正六棱柱从正方向看的图形是( )A. B. C. D.例题3：如图是由小立方块构成的立体图形的从正面、左面、上面看，所得到的图形，构成这个立体图形的小立方块有_____个练习题1：如图是下列一个立体图形的从正面、左面、上面看，所得到的图形，则这个立体图形是( )A.圆锥B.球C.圆柱D.正方体练习题2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的物体从正面、左面、上面看，所得到的图形画了出来，如图，你能根据从正面、左面、上面看，所得到的图形，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体箱的个数是_____箱.练习题3：下列几何体中，同一个几何体的从上面图形看的图形与从正面看的图形不同的是______.①正方体②圆锥③球考点2：正方体对面对应的文字例题1：将右边正方体的平面展开图重新折成正方体后，“董”字对面的字是( )例题2：如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，则x的值是______.例题3：在立方体六个面上，分别标上“勤、奋、成、就、未、来”，如图是立体的三种不同摆法，则三种摆法的底面上三个字分别是______.练习题1:如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是______.练习题2：如图．正方体的每一个面上都有一个正整数，并且相对面所写的两个数的和都相等，若10的对面是数a，16的数的对面是b，21的对面是数c，则代数式 (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2的值是___1___.一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所在面的对面所标的字是_____.考点1：有理数的概念例题1：如果m是一个有理数，那么﹣m是（）A.正数B.0C.负数D.以上三者情况都有可能例题2：π不是有理数，那么___1___有理数（填“是”或“不是”）例题3：在12.3、-0.5、-100、-8、88、4.01、中，分数有______, 负有理数有______.（按从大到小的顺序填写）练习题1：有理数2，7.5，－0.03，－0.4，0，1313中，非负数是______.（按从大到小的顺序填写,用逗号隔开）练习题2：有理数1.7,-17,0，，-0.001，,2003和-1中，负整数有_____个，负分数有______个练习题3：______, 正分数是_____.（按从大到小的顺序填写）例题1：若x＞1.5,化简=______例题2：若|x+4|+|2﹣y|=0,则xy=_____．例题3：化简：|π−4|+|π−3.14|=_____(用小数表示)练习题1：当x＞3时化简：|x+2|−|1−x|=_____练习题2：已知||a|+1|=2,则a =______练习题3：若|a+1|与|b﹣2|互为相反数,则ab=______．考点3：有理数加减混合运算例题1：计算：|−2/2|−(−2.5)+1−|1−2/2|=_____例题2：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+2015﹣2016的结果是______例题3：已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a＞b＞c，那么a+b﹣c=______练习题1：规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w．则+=______（直接写出答案）．练习题2：若m、n互为相反数，则|m﹣3+n|=（）练习题3: −3.5+|−5/2|−(−2) =______．考点3：有理数的乘除例题1：-2013×2014×0=_____例题2：(+15)×(−8.234)×0×(−23/3)= =______．例题3：在数﹣5，﹣3，﹣2，2，6中，任意两个数相乘，所得的积中最小的数是______ 练习题1: 两个有理数的乘积为负数，在这两个有理数中，有______个负数．练习题2：数a、b在数轴上的位置如图所示，则ab______0．(用“>”或“<”号连接)练习题3:(−2)×(−3/2)=___1___．例题1: 把(−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)写成幂的形式是_____.例题2:计算(−1)^2017=______.例题3：计算(−2)^1000×(1/2)^999的结果是_____.练习题1: 计算：(−2013)^2013×(−2014)^2014×(−2015)^2015的结果可能是( ). 练习题2：下列判断正确的有_____（请依次填写正确答案的序号）.3^4<4^3 −3^4<(−4)^3 −3^2>(−3)^2 (−3×2)^2<−3×2^2练习题3：(−2)^3的底数是______，结果为______;−2^3的底数是_____，结果为_____．考点5：有理数偶次方的非负性例题1：若(a+3)^2+(3b−1)^2=0，则a^2003⋅b^2004=______.例题2：已知(x−1)^2+ |y−1|^2=0，则x^y的值为______.例题3：式子(x−1)^2+2的最小值是( ).练习题1：当xx=___1___时，式子(x+3)^2+2012有最小值，这个最小值是______;当y=______ 时，式子2013−(y−1)^2有最大值，这个最大值是_____．练习题2：若x是有理数，则x^2+1一定是( ).A.等于1B.大于1C.不小于1D.不大于1练习题3：下列说法，其中正确的有( ).1、a为任意有理数，a^2+1总是正数;2、如果a+|a|=0，则a是负数;3、当a＜b时，a^2<b^2;4、x、y为任意有理数, 5−(x+y)^2的最大值是5;考点6：科学计数法例题1：全球每年大约有577000000000000m^3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽，将数577000000000000用科学记数法表示为( ).A.5.77×10^14B.0.577×10^15C.577×10^12D.5.77×10^13练习1：2016年10月16日上午7:45南京马拉松正式开跑，约21000名中外运动爱好者参加了此次活动．21000用科学记数法可表示为( ) A.0.21×10^5 B.0.21×10^4 C.2.1×10^4 D.2.1×10^3考点7：有理数的混合运算例题1：已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|−|a −b|+|a+c|=______.例题2: 计算2×(−3)^3+4×(−3)的结果______.例题3：计算(−8)×3÷(−2)^2得( ).练习题1：−1^2016+16÷(−2)^3×|−3|=______.练习题2：现定义一种新运算“∗∗”，规定a ∗b=ab+a −b ，如1∗3=1×3+1−3，则(2∗5)∗5等于______.练习题3：算式[−5−(−11)]÷(32×4)之值为______.第三章：整式及其加减考点一：代数式例题1：长为a ，宽为b 的长方形周长是 。
2020年中考数学必考专题高分考点—三视图与展开图(学生版)
专题27 三视图与展开图1.视图：当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。
2.物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
（1）主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图,能反映物体的前面形状。
（2）俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图,能反映物体的上面形状。
（3）左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图,能反映物体的左面形状,有时也叫做侧视图。
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图,水平投影面上的正投影就是俯视图,侧投影面上的正投影就是左视图在画三视图时,三个三视图不要随意乱放,应做到俯视图在主视图的下方,左视图在主视图的右边,三个视图之间保持：长对正,高平齐,宽相等。
3.展开图：平面图形有三角形、四边形、圆等.立体图形有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形,把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形。
【例题1】（2019•四川省达州市）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数,这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【例题2】（2019•甘肃）已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为等边三角形,则该几何体的左视图的面积为．专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题3】（2019•江苏连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示,则该几何体的底面是（）A．B．C．D．专题典型训练题一、选择题1.（2019广东深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（）A．B．C．D．2.（2019•山东省济宁市）如图,一个几何体上半部为正四棱锥,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色,该几何体的表面展开图是（）A．B．C．D．3．（2019•浙江宁波）如图,下列关于物体的主视图画法正确的是（）A．B．C．D．4. (2019安徽)一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置,它的俯视图是（）A．B．C．D．5.（2019湖北省鄂州市）如图是由7个小正方体组合成的几何体,则其左视图为（）A．B．C．D．6．（2019•山东临沂）如图所示,正三棱柱的左视图（）A．B．C．D．7.（2019湖北仙桃）如图所示的正六棱柱的主视图是（）8.（2019山东东营）如图所示是一个几何体的三视图,如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发,沿表面爬到题海无涯，备战中考AC的中点D处,则最短路线长为（）A．B C．3 D．9.（2019年广西柳州市）如图,这是一个机械零部件,该零部件的左视图是（）A．B．C．D．10.（2019贵州省安顺市）如图,该立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．11. (2019黑龙江大庆)一个"粮仓"的三视图如图所示(单位:m),则它的体积是( )A.21πm3B30πm3 C.45πm3 D.63πm312.（2019辽宁本溪）如图所示,该几何体的左视图是（）13.（2019广西桂林）一个物体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是全等的等边三角形,俯视图是圆,根据图中所示数据,可求这个物体的表面积为()A．πB．2πC．3πD．1)π14.（2019湖南益阳）下列几何体中,其侧面展开图为扇形的是（）A．B．C．D．15.（2019•黑龙江省齐齐哈尔市）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图视图,则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（）A．5B．6C．7D．816.（2019江苏镇江）一个物体如图所示,它的俯视图是()17．（2019•山东潍坊）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后,则关于新几何体的三视图描述正确的是（）A．俯视图不变,左视图不变B．主视图改变,左视图改变C．俯视图不变,主视图不变D．主视图改变,俯视图改变18.（2019四川泸州）下列立体图形中,俯视图是三角形的是（）19.（2019•湖北省随州市）如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.20.(2019•四川省绵阳市)下列几何体中,主视图是三角形的是（）A B C D二、填空题21. （2019•河北省）图2是图1中长方体的三视图,若用S表示面积,S主＝x2+2x,S左＝x2+x,则S俯＝（）A ．x 2+3x +2B ．x 2+2C ．x 2+2x +1D ．2x 2+3x22.（2019•广西贵港）如图,在扇形OAB 中,半径OA 与OB 的夹角为120°,点A 与点B 的距离为2,若扇形OAB 恰好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面半径为．23.（2019•山东青岛）如图,一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成,现从中取走若 干个小立方块,得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等,则最多可以 取走 个小立方块．24.（2019湖南郴州）已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为5,底边长为4的等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是 ．（结果保留π）25.（2019北京市） 在如图所示的几何体中,其三视图中有矩形的是_______.（写出所有正确答案的序号）第11题图③圆锥②圆柱①长方体26.（2019湖北荆州）如图①,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm,E,F,G分别是AB,AA1,AD的中点,截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②）,则图②中阴影部分的面积为cm2．27.（2019•黑龙江省绥化市）用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面,若这个圆锥的底面半径恰好等于4,则这个圆锥的母线长为．。
初中数学七年级上册《从三个方向看物体的形状》例题讲解与变式
初中数学七年级上册《从三个方向看物体的形状》例题讲解与变式例1 画出下面几何体的主视图、左视图、俯视图。
分析：这是五个立方体的组合体，从正面看刚好看到五个正方形，从左面看是上下两个正方形，从上面看是四个正方形排成一排。
解其主视图是：其左视图是：其俯视图是：说明：在做这类题时，开始最好能借助模型实际的观察，逐渐来锻炼我们的空间想像力．变式练习1 画出如图所示立体图形的三视图（相当于在平放着的一块砖的中间靠后又立放着一块砖）．变式练习2 如图是由6块积木搭成的，这几块积都是相同的小正方体．指出下图中三个平面图形是它的哪个视图．参考答案：1、三视图如下：2、左视图，正视图，俯视图．例2 选择题如图（l），是一个几何体的主视图、左视图、俯视图，则它所对应的几何体是（）分析由主视图可知其对应的几何体可能是B和C；由左视图可知其对应的几何体可能是A和B；由俯视图可知其对应的几何体可能是B和D．所以应选B．解选B说明：这个题也可以采用依次淘汰的方法来确定对应的几何体．由主视图可知A和D不是，由左视图可知C不是，所以只有B是．变式练习1 如图，根据下列三视图，画出与它对应的立体图形．变式练习2 根据已知三视图，画与之对应的立体图形（如图）．变式练习3 如图是由几个小正方体所搭几何体的俯视图．小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出这个几何体的左视图．参考答案：1、解：根据三视图的条件，可知立体图形应是三棱锥．上图就是满足三视图的立体图形．2、解：根据图形条件以及三视图，可以判断它是一个正方体与圆台组合而成的立体图形．依题意，有如图，就是满足三视图条件的立体图形．3、如图：。
初中数学 如何使用三视图解决实际问题
初中数学如何使用三视图解决实际问题三视图是一种常用的图形表示方法，用于解决实际问题。
它通过从不同视角观察物体，并在平面上绘制其正面、侧面和顶视图，来提供物体的全面信息。
以下是关于三视图的更详细介绍和其在解决实际问题中的应用。
三视图是建筑、工程和制造等领域中广泛使用的一种图形表示方法。
它通过绘制物体的正面、侧面和顶视图，以实现对物体的全面描述。
每个视图都显示了物体的特定面向，使观察者能够了解物体的外形、尺寸和结构。
三视图通常用于解决与设计、制造和装配相关的实际问题。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：三视图可用于绘制建筑物的平面布局、外观和结构。
建筑师可以通过观察三视图来确定建筑物的尺寸、形状和布局，以及建筑物内部的空间分配。
2. 机械工程：三视图可用于设计和制造机械零件和装配件。
工程师可以通过观察三视图来确定零件的形状、尺寸和位置，以确保零件之间的配合和装配的正确性。
3. 电子工程：三视图可用于设计和组装电子设备和电路板。
工程师可以通过观察三视图来确定电子元件的位置、连线和尺寸，以确保电路的正确连接和运作。
4. 制造业：三视图可用于设计和制造各种产品，如汽车、家具和玩具。
制造商可以通过观察三视图来确定产品的外观、尺寸和组装方式，以确保产品的质量和一致性。
三视图的使用需要一定的技巧和经验。
观察者需要理解不同视图之间的投影关系，并能够在脑海中将它们组合起来形成一个完整的物体形象。
此外，观察者还需要了解常用的符号和标记，以便正确地解读和绘制三视图。
总而言之，三视图是一种重要的图形表示方法，可用于解决各种与设计、制造和装配相关的实际问题。
通过观察物体的正面、侧面和顶视图，我们可以获得物体的全面信息，并在设计和制造过程中进行准确的决策和操作。
对于初中数学学习者来说，掌握三视图的基本原理和应用技巧，将有助于他们在解决实际问题时更加准确和高效。
初中数学—三视图 典型例题总结
三视图1．小琳过14周岁生日，父母为她预定的生日蛋糕如图所示，它的主视图应该是( )2．某物体三视图如图，则该物体形状可能是 ( )A．长方体．B．圆锥体．C．立方体．D．圆柱体．3．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，这些相同的小正方形的个数是( ) A．4个．B．5个．C．6个．D．7个．4．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么下图由6个立方体叠成的几何体的主视图是( )5．如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是( ) 6．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是( )7．有一实物如图，那么它的主视图是( )8．如图是正三菱柱，它的主视图正确的是( )9．两个物体的主视图都是圆，则这两个物体可能是( )A．圆柱体、圆锥体；B．圆柱体、正方体；C．圆柱体、球；D．圆锥体、球．10．由若干个同样大小的正方体堆积成一个实物，不同侧面观察到如下投影图，则构成该实物的小正方体个数为1( )A．6．(Ｂ)７．C．8．D．9．11.某超市货架上摆放着“康师傅”红烧肉面，如图1是它们的三视图，则货架上的“康师傅”红烧肉面至少有( )Ａ．8桶Ｂ．9桶Ｃ．10桶Ｄ．11桶主视图左视图俯视图图112.如图是一些相同的小正方体构成的几何体的正视图和左视图，在这个几何体中，小正方体的个数不可能是( )A、7B、8C、9D、1013．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是．14．一个物体的俯视图是圆，则该物体有可能是(写两个即可)．15．一个几何体的三视图如下，那么这个几何体是．17．画出如图所示中立体图形的三视图．2。
典型例题：空间几何体的三视图和直观图
空间几何体的三视图和直观图例1. 根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．解析：由俯视图并结合其中两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，这样便可确定物体原形．根据三视图想象物体原形如下：例2 .图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________．解析：（1）4（2）圆锥例3. 下列给出的空间几何体中，在任意方向上的视图是全等图形的是（）A. 正方体 B. 圆柱C. 圆台D. 球解析：球从任意方向上的试图都是一个圆，故本题选择D.例4. 如图所示为一个简单几何体的三视图，则对应的实物是（ ）解析：由三视图可知选择A.例5 .如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A ．22+B ．221+C ．222+D ．21+解析： A 恢复后的原图形为一直角梯形1(121)2222S =++⨯=+例6. 如图，下列三视图表示的几何体是 ___________ ．解析：有三视图可以判断该几何体是六棱锥。
例7. 一个正三棱柱（底面是正三角形，高等于侧棱长）的三视图如图21-13所示，求这个正三棱柱的表面积．解析：有三视图可以判断出此正三棱柱底面边长为32，高为2，故其表面积为31560sin32322133220=⨯⨯⨯+⨯⨯=S.例8. 某几何体的三视图如图21-14所示，问：该几何体是棱台吗？解析：有此几何体的三视图可以判断出该几何体是四棱台。
上底面为长是12cm,宽是8cm的矩形，下底面为长是20cm,宽是16cm的矩形.侧面为两个上底是12cm 下底是20cm的等腰梯形和两个上底是8cm下底是16cm的等腰梯形。
此四棱台高为8cm.。
空间几何体的三视图
三：典型例题
1：根据以下几何体的三视图画出该几何体的直观图
2：把边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C-ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（上右）来自画出直观图并求其侧视图的面积。
空间几何体的三视图
教学目的：1.要求学生掌握三视图的概念
2.要求学生能根据三视图画出直观图；也能根据直观图画出几何体的三视图。
教学重点：几何体的三视图与直观图的相互转化
教学难点：怎样找准投影面
教学过程：
一、概念理解
1：空间几何体的三视图是怎么得到的？
2：三视图包括：
二、学情检测
1：一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为
3：已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示
（1） 画出该几何体的直观图
（2）求出侧视图的面积
小结：根据三视图画直观图你有什么感悟？
四：课堂练习
开卷速查1,3,4,
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初中数学—三视图典
型例题总结
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
三视图
1．小琳过14周岁生日，父母为她预定的生日蛋糕如图所示，它的主视图应该是( )
2．某物体三视图如图，则该物体形状可能是( )
A．长方体．B．圆锥体．C．立方体．D．圆柱体．
3．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，这些相同的小正方形的个数是( )
A．4个． B．5个． C．6个．D．7个．
4．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么下图由6个立方体叠成的几何体的主视图是 ( )
5．如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是( )
6．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是( )
7．有一实物如图，那么它的主视图是 ( )
8．如图是正三菱柱，它的主视图正确的是( )
9．两个物体的主视图都是圆，则这两个物体可能是( )
A．圆柱体、圆锥体； B．圆柱体、正方体； C．圆柱体、球； D．圆锥体、球．
10．由若干个同样大小的正方体堆积成一个实物，不同侧面观察到如下投影图，则构成该实物的小正方体个数为( )
A．6． (Ｂ)７． C．8． D．9．
11.某超市货架上摆放着“康师傅”红烧肉面，如图1“康师傅”红烧肉面至少有 ( )
Ａ．8桶Ｂ．9桶
Ｃ．10桶Ｄ．11桶
12.如图是一些相同的小正方体构成的几何体的正视图和左视图，在这个几何体中，小正方体的个数不可能是( )
A、7
B、8
C、9
D、10
13．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是．
14．一个物体的俯视图是圆，则该物体有可能是 (写两个即可)．
15．一个几何体的三视图如下，那么这个几何体是．
17．画出如图所示中立体图形的三视图．
主视图左视图俯视图
图1。