2-有限域-代数基础-环.ppt
合集下载
《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
编辑ppt
18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
编辑ppt
28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
编辑ppt
6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
编辑ppt
联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
编辑ppt
8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
编辑ppt
18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
编辑ppt
28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
编辑ppt
6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
编辑ppt
联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
编辑ppt
8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
有限域有限域的结构有限域特征PPT课件
g(x) r(x) mod f(x)
Fp[x]模 f(x)的全体两两不同余的代表元为
Байду номын сангаасpn
{r(x) Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n第三} 单7元 第十课
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·语文·必修2
设 f(x)是Fp上的n次不可约多项式 F = {r(x)Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n } 多项式的加 : g(x) + h(x)
模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x))
是否域？
F关于加法构成群 F\{0}关于乘法构成群 F是 pn元有限域
Fp[x]/(f(x)) F
第三单8元 第十课
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·语文·必修2
16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
第三单12元 第十课
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·语文·必修2
本原元（ primitive element ） 乘法群Fq*的生成元称为Fq中的本原元。
Fq中有(q1)个本原元
第三单13元 第十课
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·语文·必修2
Fp上n次不可约多项式的存在性 定理 设有限域Fr是Fq的扩域，则Fr是Fq上的单代数扩张 。
证明
设
q
3，q
1
r e1
1
r e2 2
r en n
.
多项式 x(q1)/ri 1在 Fq 中至多有(q1)/ri 个根
数学中的抽象代数与有限域
数学中的抽象代数与有限域一、抽象代数基础1.1 集合论基础：集合、元素、集合运算（并集、交集、补集）、集合的性质（互异性、无序性、确定性）。
1.2 代数结构：群、环、域、域扩张。
1.3 群论：群的定义、性质、生成群、群同态、群同构、循环群、交换群、拉格朗日定理、西罗定理。
1.4 环论：环的定义、性质、交换环、整环、域、域的扩张。
1.5 域论：域的定义、性质、域的扩张、伽罗瓦理论、有限域、多项式环。
二、有限域及其应用2.1 有限域的定义：有限域是一种具有加法和乘法运算的代数结构，其元素个数为有限个，且满足交换律、结合律、分配律。
2.2 有限域的性质：有限域的元素个数为素数的幂，有限域的子域为有限个，有限域的乘法群为循环群。
2.3 有限域的表示：多项式表示、二进制表示。
2.4 有限域的扩张：有限域的扩张是通过添加元素来实现的，扩张过程中保持原有运算规律。
2.5 伽罗瓦理论：伽罗瓦理论是研究域扩张性质的理论，核心概念是域的自同构和域的子域。
2.6 有限域的应用：密码学、编码理论、计算机科学、信息安全。
三、抽象代数在中小学数学中的应用3.1 整数：整数是加法和减法的代数结构，满足群性质。
3.2 分数：分数是整数的扩张，通过域的扩张实现。
3.3 多项式：多项式是代数表达式，可以通过域的扩张来定义。
3.4 方程：方程是通过代数结构来描述的数学问题，解方程的过程涉及到群、环、域等概念。
3.5 线性代数：线性代数中的向量空间、线性映射与抽象代数中的域、群、环等概念密切相关。
四、抽象代数与实际生活的联系4.1 密码学：抽象代数中的群、环、域等概念在密码学中具有重要意义，如哈希函数、公钥加密等。
4.2 计算机科学：抽象代数在计算机科学中有着广泛应用，如数据结构、算法、编程语言等。
4.3 信息安全：抽象代数在信息安全领域中发挥着重要作用，如数字签名、身份认证等。
4.4 编码理论：抽象代数中的有限域在编码理论中具有重要意义，如错误检测、纠正码等。
第六章有限域
指数：G可按其子群H的左陪集分排成一些两两 不交的等价类。若这些等价类的个数有限，则 称这个陪集的个数为H在G中的指数，记为 [G:H]。
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H
有 aha1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。
H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
一、环的定义
定义1.2.1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运 算，一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数系统（R，＋，·）是一个环。
群同态
同态：设f：G→H是群G到H的一个映射，如果 a,b G 有 f(a·b)=f(a)*f(b) ,则称f是G到H的同态。
同构： 若上述f是一一映射，则称f是G到H的同构。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定义 为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位元。
定理1.2.1：有限整环是域。
证明思路：根据域的定义，只需要证明每一个 非零元都有逆元即可。
四、子环、理想和商环
定义1.2.7：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子 集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环称 为R的平凡子环。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H
有 aha1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。
H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
一、环的定义
定义1.2.1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运 算，一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数系统（R，＋，·）是一个环。
群同态
同态：设f：G→H是群G到H的一个映射，如果 a,b G 有 f(a·b)=f(a)*f(b) ,则称f是G到H的同态。
同构： 若上述f是一一映射，则称f是G到H的同构。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定义 为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位元。
定理1.2.1：有限整环是域。
证明思路：根据域的定义，只需要证明每一个 非零元都有逆元即可。
四、子环、理想和商环
定义1.2.7：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子 集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环称 为R的平凡子环。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
代数学ppt
Galois的境遇
1829:Galois论文由Cauchy审理，被遗失 1830:由Fourier审理，不久Fourier逝世 1831:再由Poisson审:“完全不能理解”,要其详细说明 1832-5-30夜Galois留下1份说明 第2天便与情敌决斗而死 1846: Liouville决定发表Galois的文章 1870: Jordan全面清晰地阐明Galois工作
从此Galois的工作得到完全承认
Hermann Weyl 的评价
“Galois的论述在好几十年中一直被看 成是“天书”；但是，它后来对数学的 整个发展产生愈来愈深远的影响。如 果从它所包含思想之新奇和意义之深 远来判断，也许是整个人类知识宝库 中价值最为重大的一件珍品”
对称和美
代数学新纪元
1843:Hamilton发现四元数代数 1846:Cayley引进抽象群和矩阵 1871:Dedekind引进理想 1872:Klein发表群的几何学纲领 1873:Lie创立Lie群 1894:Cartan分类复半单Lie代数 1896:Frobenius创立有限群表示论 1904:Schur建立无限群表示
古典代数学的终结
Evariste Galois(1811-1832) 17岁发现：代数方程的根式可解性 是由这个方程的Galois群的可解性 决定的.因此，5次及以上代数方程 不存在求根公式。而古典代数学的 其它难题（如尺规作图和倍方问题），此后也均可 用Galois理论得到完全解决。从而古典代数学终结
15/95
AMS分类中的代数学分支
交换代数 结合代数 Lie代数 范畴论与同调代数 K-理论 群论 量子化代数
ArXiv分类中的代数学分支
Algebraic Geometry (math.AG) Algebraic Topology (math.AT) Category Theory (math.CT) Commutative Algebra (math.AC) Group Theory (math.GR) K-Theory and Homology (math.KT) Mathematical Physics (math.MP) Operator Algebras (math.OA) Quantum Algebra (math.QA) Representation Theory (math.RT) Rings and Algebras (math.RA) 11/32
近世代数第二章
1
1
e ，则称 F 为一个域（Field） 。
，实数
对于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环，而有理数集
集 ，复数集 对于通常数的加法与乘法构成域，单位元均为数 1 。以后，我们把数集关 于 数 的 加 法 与 乘 法 作 成 的 环 叫 做 数 环 （ Ring of numbers ）。 例 如 ，
于是，由 ba ca (b c)a 0 知 b c 0 ，即 b c 。 反之，如果 R 中乘法消去律成立，而 a 0, ab 0 ，则 ab a 0 。于是， b 0 。即 R 中任意非零元都不是零因子。 定义 2.1.4. 一个不含零因子的交换环称作整环(Intigral ring)。一个不含零因子的带有单位元 交换环称作整域(Intigral domain)。 对于一个至少含有两个元素的环 R ，若其一切非零元素所组成集合 R* 作成 ( R, ) 的子群， 则称 R 是一个除环（Division ring） （或叫作斜域（Skew field） ）. 注. (1) 交换的除环显然是一个域。 (2) 对于除环 R ，由于 R* 对乘法封闭，故除环没有零因子。 所有数环都是整环，也是整域。数域上的多项式环也是整环且是整域。 ， ， 是域。
a b
j 1 i
m
j
。
容易证明，当 a, b R 且 ab ba 时，二项式定理成立，即 （18）
k k k n k (a b)n Cn a b ， 其中 Cn
k 0 n
n! 。 k !(n k )!
以上环中的计算规则与我们熟悉的初等代数中数字的计算规则是一致的。但是，并不是 数字的计算规则都适用于环。例如，在初等代数中解方程时，经常要用到“ ab 0 a 0 或b 0” ，这条在环中就未必成立。例如，在整数环上的二阶方阵环
1
e ，则称 F 为一个域（Field） 。
，实数
对于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环，而有理数集
集 ，复数集 对于通常数的加法与乘法构成域，单位元均为数 1 。以后，我们把数集关 于 数 的 加 法 与 乘 法 作 成 的 环 叫 做 数 环 （ Ring of numbers ）。 例 如 ，
于是，由 ba ca (b c)a 0 知 b c 0 ，即 b c 。 反之，如果 R 中乘法消去律成立，而 a 0, ab 0 ，则 ab a 0 。于是， b 0 。即 R 中任意非零元都不是零因子。 定义 2.1.4. 一个不含零因子的交换环称作整环(Intigral ring)。一个不含零因子的带有单位元 交换环称作整域(Intigral domain)。 对于一个至少含有两个元素的环 R ，若其一切非零元素所组成集合 R* 作成 ( R, ) 的子群， 则称 R 是一个除环（Division ring） （或叫作斜域（Skew field） ）. 注. (1) 交换的除环显然是一个域。 (2) 对于除环 R ，由于 R* 对乘法封闭，故除环没有零因子。 所有数环都是整环，也是整域。数域上的多项式环也是整环且是整域。 ， ， 是域。
a b
j 1 i
m
j
。
容易证明，当 a, b R 且 ab ba 时，二项式定理成立，即 （18）
k k k n k (a b)n Cn a b ， 其中 Cn
k 0 n
n! 。 k !(n k )!
以上环中的计算规则与我们熟悉的初等代数中数字的计算规则是一致的。但是，并不是 数字的计算规则都适用于环。例如，在初等代数中解方程时，经常要用到“ ab 0 a 0 或b 0” ，这条在环中就未必成立。例如，在整数环上的二阶方阵环
离散数学课件第十二章环与域演示文稿
环的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法 和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数Q，实数环R 和复数环C。
(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法 构成环，称为n阶实矩阵环。
(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成 环。
(4)设Zn＝{0,1,...,n－1}, 和分别表示模n的加法和 乘法，则<Zn, , >构成环,称为模n的整数环。
＝ a3+ba由2+ab于a+b21a+∈a2b+Zbabp+，ab2+这b3 就推出，存在i＇∈Zp，使得ii＇=1。由于
环是无零运因子算环的的充分交必要换条件性可知i＇就是i的逆元。从而证明了Zp是域。
离散数学课件第十二章环与域演示文稿
12.1 环的定义与性质
环的定义 环的运算性质 环的子代数和环同态
环的定义
定义12.1 设<R,+,·>是代数系统,+和·是二元运算。 如果满足以下条件： (1) <R,+>构成交换群。 (2) <R,·>构成半群。 (3) ·运算关于+运算适合分配律。 则称<R,+,·>是一个环(ring)。 通常称+运算为环中的加法，· 运算为环中的乘法。
<2,0>·<0,1>＝<0,0>＝<2,0>·<0,0> 和<2,0>≠<0,0>，根据消去律就可得到<0,1>＝<0,0>。错误。 因此我们可以说整环的直积不一定是整环。
域的定义与实例
定义12.5 设R是整环，且R中至少含有两个元素。若a∈R* ＝R-{0}，都有a－1∈R，则称R是域。
2-有限域-代数基础-环(1)
R=n
15
Ring
特征(Characteristic)
定理
设 R 是整环并且char R > 0, 则 R 的特征是素数.
定理
有限域的特征是素数.
16
Ring
特征(Characteristic)
设
R 是环, R 的特征是素数 p, 则对任意的a, bR 和
nN 有
(a b) a b
pn
pn
pn
和 (a b) a b
pn
pn
pn
17
Ring
例
Z/(n)
= {0,1,…, n1}, 模n加法, 模n乘法
整环? 域? 特征?
整数Z,
整数加法, 整数乘法
整环? 域?
特征?
素理想? 极大理想?
18
例
设K是域,
K[x]是否环?
19
成环, 则 S 称为 R 的子环.
设
R 是交换环, I 是 R 的一个子环, 若下述条件成立 a I 且 r R ar I .
则 I 称为 R 的理想.
6
Ring
理想（Ideal）
有限生成的理想
X = {a1, a2, …, ak} I = {r1a1 + r2a2 + + rkak | aiX, riR}
Ker f
= {rR | f (r) = 0} 是 R 中的理想.
Im
f = {s S | 存在rR 使得s = f (r)}
13
Ring
环同态(Homomorphism of rings)
第二章 近世代数简介
对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ，多项式加“+”定义为：
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物，即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余 式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n，称此f(x)是n次多项式，写做 deg [ f ( x)] =。这 里 表示阶次degree。显然，多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元 素的次数不高于n-1次，通式形式为：
∀a, b ∈ I , ∃a − b ∈ I ; ∀a ∈ I , r ∈ R, ∃a r = r a ∈ I ,
则I是R的理想子环，建成理想。 与一般子环相比，理想子环要求更多的条件：R必须是交换环且具 有凝聚力，即任意一个子环元素与任意一个非子环的环元素运算后所得 的元素一定位于子环内。 环R的任意多个理想子环的交集仍是R的理想子环。
②结合性（Associativity），即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o
密码学——第4章 数论与有限域基础 ppt课件
一般地，由 c = gcd(a, b)可得： 对每一素数p， cp = min(ap, bp)
PPT课件
数论基础
第8页/共131页
►素数与互素
如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
PPT课件
数论基础
第6页/共131页
►素数与互素
称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
表示为 c = gcd(a, b)
PPT课件
数论基础
第7页/共131页
#: if Y3=妨0设thbe<na）re，tu即rn存X在3x=(gxc<da()f，, d使)；得nbox≡i1nvmeordsea;。 if Y►3=扩1展thEenucrliedtu算r法n 可Y求3=出gcdgc(df,(ad,)b；)，Y当2=gdc-d1 (ma,obd) =f;1， Q=X3还/Y得3到；b 的逆元。 (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); goto #;
3
x4
都有54乘00法逆54 元20。74
0 4
4 1
0 6
4 3
667012345 606420642
770123456 707654321 PPT课件
PPT课件
数论基础
第8页/共131页
►素数与互素
如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
PPT课件
数论基础
第6页/共131页
►素数与互素
称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
表示为 c = gcd(a, b)
PPT课件
数论基础
第7页/共131页
#: if Y3=妨0设thbe<na）re，tu即rn存X在3x=(gxc<da()f，, d使)；得nbox≡i1nvmeordsea;。 if Y►3=扩1展thEenucrliedtu算r法n 可Y求3=出gcdgc(df,(ad,)b；)，Y当2=gdc-d1 (ma,obd) =f;1， Q=X3还/Y得3到；b 的逆元。 (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); goto #;
3
x4
都有54乘00法逆54 元20。74
0 4
4 1
0 6
4 3
667012345 606420642
770123456 707654321 PPT课件
域的定义与性质2021精选PPT
框架 I （直接考虑环，在第二章我们已讲过）
定义 3 若（任意的）环 R 的元素对加法有最大的阶 n，则 称 n 为环 R 的特征。 如果环 R 的元素对加法无最大阶， 则称环 R 的特征为零。
定理 1 设 R 是无零因子环，|R|﹥1，则 （1）、 R 中所有非零元素对加法的阶相同； （2）、 若 R 的特征有限，则必为素数。
由引理 1 我们知道又由 a^{ pe }是一个 k 阶元素；b^{ l}是一个 pf 阶 元素；而且 (k, pf)=1. 那么 a^{ pe } b^{ l} 就是一个 pf k 阶的元素。 这与 n 是最大的阶矛盾。
定理 有限域 F 的乘法群 F*是一个循环群。
证 设 F 的元素个数为 q，那么 F*是一个 q-1 阶的交换群。于是由引 理 3，F*中一定有一个最大阶的元素 a，且令|a| = n.
于是我们证明了 (d) =0 或者 (d) = (d) 。由数论中的结果
d|q1(d) q 1 .
我们有: 对任意的 d|q-1, (d) = (d) .特别的， (q 1) = (q 1) 。这说明了 存在元素的阶为 q-1, 所以 F*是一个循环群，且本原元的个数为 (q 1) 。
第四节 有限域的结构
如果 F Fn ，那么类似的可以构造 Fn1 是 F 的子域，然而 Fn1 的元素个数 为 qn1 ，矛盾。所以 F Fn ，即 F 就是一个包含 qn 个元素的有限域。
Remark：用向量空间的定义来证明。如果把 F 看成 Fq 的向量空间。定义数
量乘法： Fq F F : (a,) a 。由于 F 是有限的，那么 F 的维数 n 就 是有限的。考虑 F 的一组基{i , 1 i n }，任意一个 F 的元素都可被这组 基{i , 1 i n } 线性表出。于是 F 就是一个包含 qn 个元素的有限域。
定义 3 若（任意的）环 R 的元素对加法有最大的阶 n，则 称 n 为环 R 的特征。 如果环 R 的元素对加法无最大阶， 则称环 R 的特征为零。
定理 1 设 R 是无零因子环，|R|﹥1，则 （1）、 R 中所有非零元素对加法的阶相同； （2）、 若 R 的特征有限，则必为素数。
由引理 1 我们知道又由 a^{ pe }是一个 k 阶元素；b^{ l}是一个 pf 阶 元素；而且 (k, pf)=1. 那么 a^{ pe } b^{ l} 就是一个 pf k 阶的元素。 这与 n 是最大的阶矛盾。
定理 有限域 F 的乘法群 F*是一个循环群。
证 设 F 的元素个数为 q，那么 F*是一个 q-1 阶的交换群。于是由引 理 3，F*中一定有一个最大阶的元素 a，且令|a| = n.
于是我们证明了 (d) =0 或者 (d) = (d) 。由数论中的结果
d|q1(d) q 1 .
我们有: 对任意的 d|q-1, (d) = (d) .特别的， (q 1) = (q 1) 。这说明了 存在元素的阶为 q-1, 所以 F*是一个循环群，且本原元的个数为 (q 1) 。
第四节 有限域的结构
如果 F Fn ，那么类似的可以构造 Fn1 是 F 的子域，然而 Fn1 的元素个数 为 qn1 ，矛盾。所以 F Fn ，即 F 就是一个包含 qn 个元素的有限域。
Remark：用向量空间的定义来证明。如果把 F 看成 Fq 的向量空间。定义数
量乘法： Fq F F : (a,) a 。由于 F 是有限的，那么 F 的维数 n 就 是有限的。考虑 F 的一组基{i , 1 i n }，任意一个 F 的元素都可被这组 基{i , 1 i n } 线性表出。于是 F 就是一个包含 qn 个元素的有限域。