中学数学竞赛讲座及练习(第5讲)方程组的解法 学生版
初中数学竞赛专题选讲《方程组解法》
初中数学竞赛专题选讲列表法一、内容提要 只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处因为图表常能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多的问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤 图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解使用表解的关键是合理地设计纵横栏目其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的从属、并列、交叉关系数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必为假”，“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现与题设矛盾时就排除，在排除淘汰的基础上，推出满足所有条件的结论 二、例题例1 n 为正整数，试证2 n 7 n2能被5整除解： n 分别取1，2，3，4时，观察2 n 7 n2的个位数字情况如下：并且∵2与2； 7 与7为整数的个位数字相同∴n 不论取什么自然数值，2n 7n2均能被5整除例2 小张步行每小时走10里，骑车每小时走30里，他从甲地到乙地步行和骑车走了同样长的路程；然后沿着同一条路从乙地返回甲地，这次步行和骑车走了同样多的时间，结果返回时比去时少用了40分钟求甲、乙两地的距离及从乙到甲所用的时间解：设甲乙两地的距离为里，从乙到甲所用的时间是 小时 列表如下：根据题意，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+⨯+=+xy y y x x23021032302102解这个方程组，得⎩⎨⎧==240y x答：甲乙两地的距离为40里，从乙返甲用了2小时例3 从1到10这十个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于10，共有几种取法试列表统计解：有两种列表法：由大数取小数或以小数取大数共有123454321=25种取法例4 A，B，C，D，E五个人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种他们看见别人所戴的帽子颜色，分别说了以下的话：A说：我看到的是3白1红； B说：我看到的是4红；C说：我看到的是1白3红； E说：我看到的是4白已知戴白帽子的人说真话，，B，C，D，E各戴什么颜色的帽子解：先由易到难，用否定判断法：若E说了真话，则共有5白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E 必是戴红帽；若A说了真话，则共有4白1红，那么除A、E以外，还有2人说真话，就是B、C也说真话，这也不可能，所以A也戴红帽；在确定A、E之后，我们把B、C说真话或假话的情况列表来判断：若B说真话，则C、D都为红∵B看到的是4红，那么C应是说假话，但C说1白3红却是真的，所以矛盾，B没有说真话，应是戴红帽最后，C确实说了真话看到1白3红这时可知D是戴白帽∴A，B，C，D，E所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红三、练习1.用列表法,求不等式21－2－3∴不等式210－2－3<0的解集是_____________或____________2.n为自然数,3n与7n的和或差必有一个能被10整除试证之，并说明n取什么值时，其和能被10整除3.若自然数a不是2和3的倍数，试证a223能被24整除4.原计划在一定时间内插秧152亩，实际工作时，每天比原计划多插2亩，结果比原计划提前3天并超额完成8亩问原计划每天插秧几亩5.甲，乙两人接受同样的任务，开始时乙比甲每天少做4件，做到两人都剩下624件时，乙比甲多用了2天此后乙改进技术，每天比原来多做6件，这样两人在同一时间内定成任务求甲、乙两人的工作效率6.A，B，C，D，E，F六个球队，进行单循环比赛（每队都要与其他各队各比赛一场），经过一段时间询问了A，B，C，D，E五个队，结果是他们都参加了比赛，并且比赛的场数各不相同，问未查询的F队比赛了几场7.甲，乙，丙三人参加高考后，甲说：我一定考上重点大学乙说：重点大学我考不上丙说：我考上大学是没有问题的发榜后，这三人中有一人考上重点天学，一人考上一般大学，一人落选对他们的预言，只有一人正确试判断甲，乙，丙的录取情况8.甲，乙，丙三同学，来自初三①，②③班各一人，参加语、数、英兴趣小组各一项已知甲不是①班的，乙不在②班，在①班的不参加数学组，在②班的参加英语组，乙不参加语文组问丙是哪个班参加什么组9.甲，乙，丙，丁四人参加数学竞赛，得了前四名，三位同学在议论名次A说：甲第一，乙第二；B说：甲第二，丁第四；C说：丙第二，丁第三结果他们各对了一半问甲，乙，丙，丁的正确名次是多少10.一次校运会，小王，小林，小江三人包揽了五个项目的前三名，小王共得22分，小林，小江各得9分，每项目的一，二，三名得分，分别是5，2，1分，并知小江得铅球第一名试问他们各得几个第一名，第二名，第三名11.四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三个人会说，但没有一种大家都会说的语言还知道：①A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈；②B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译；③B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言；④四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语试问A，B，C，D四人各会讲何种语言练习题参考答案2 列表n=1,2,3,4仿例13 已知可表示为6±14 8亩5 24，206 3场（仿例3）7 甲落选，乙重点，丙一般8丙是（1）班学生，参加语文组9甲，乙，丙，丁分别是1，3，2，410.王（4个一，1个二）；江（1个一，4个三）；林（4个二，1个三）该种语言，答案列表如右：。
数学初中竞赛 方程和不等式 专题训练(含答案)
数学初中竞赛方程与不等式专题训练一．选择题1．方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（a＞b），按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）A．11平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．48平方厘米3．球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）A．12 B．16 C．20 D．244．由方程组消去y后化简得到的方程是（）A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 5．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）A．25本B．20本C．15本D．10本6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．7．如图是某汽车公司销售点的环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个销售点某种汽车各50辆．在销售前发现需将A、B、C、D四个销售点的这批汽车分别调整为40、45、54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动辆次n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A．0个B．1个C．10个D．无穷多个9．对于任意的有理数a，方程2x2+（a+1）x﹣（3a2﹣4a+b）＝0的根总是有理数，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．010．已知关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（a＜b）的两根为p、q（p＜q，且pq＞0），则一定有（）A．a＜p＜q＜b B．＞C．＜＜＜D．＜＜＜11．为了预防甲流，某班级准备300元钱，计划购入一批体温计．已知有两种体温计可供选购，其中水银体温计3元/支，电子体温计10元/支，由于水银体温计容易破裂且水银具有毒性，所以希望尽可能多地购买电子体温计．如果该班级共53名同学，且要求每位同学有一支体温计，则最多可购买电子体温计（）支．A．20 B．21 C．30 D．3312．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A．22 B．24 C．25 D．26二．填空题13．已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．15．初三某班共有60名同学，学号依次为1号，2号，…，60号，现分成A，B，C三个小组，每组人数若干，若将B组的小俊（27号）调整到A组，将C组的小芸（43号）调整到B组，此时A，C两组同学学号的平均数都将比调整前增加0.5，B组同学学号的平均数将比调整前增加0.8，同时B组中的小营（37号）计算发现，她的学号数高于调整前B 组同学学号的平均数，却低于调整后的平均数．请问调整前A组共有名同学．16．“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．17．某小区打算购买100盆花装饰花园，20人分三组刚好搬完（假设每人都需要搬），每组人的搬花量如下表，请问第一组可能有人．组别第一组第二组第三组每人搬花盆数 5 4 1018．在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口．19．某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆．如果每辆车刚好坐满（即每个人都刚好有一个座位），就会余下14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车每辆的乘客座位有个．20．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元．三．解答题21．解方程组：22．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2＝0有两个实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1|﹣|x2|＝2，求k的值．23．将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2，第二个数除以2，第三个数减1，第四个数加2，得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59，求这三位数．24．a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c＝0的两实根的绝对值都小于，求a+b+c 的最小值．25．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，ab＝1求证：＝1证明：原式＝＝＝1波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，＞0∴，即x，∴当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知ab＝1，求下列各式的值：＝；②＝．（2）若abc＝1，解方程＝1（3）若正数a、b满足ab＝1，求M＝的最小值．参考答案一．选择题1．解：方程变形得：（x+y）2+2y2＝34，∵34与2y2是偶数，∴x+y必须是偶数，设x+y＝2t，则原方程变为：（2t）2+2y2＝34，∴2t2+y2＝17，它的整数解为，则当y＝3，t＝2时，x＝1；当y＝3，t＝﹣2时，x＝﹣7；当y＝﹣3，t＝2时，x＝7；当y＝﹣3，t＝﹣2时，x＝﹣1．∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组．故选：B．2．解：依题意，得：，整理，得：，（①2﹣②）÷2，得：ab＝24．故选：C．3．解：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得，由②，得：y＝40﹣x﹣z，③将③代入①，得：x﹣z＝24．故选：D．4．解：，由①，得x＝y+1③，将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，化简，得2x2﹣2x+5＝0，故选：D．5．解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意，得：，解得：，答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．故选：C．6．解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．7．解：根据题意可得：互不相邻两点B、D，B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次，两处之和至少16辆次，因而四个销售点调动至少16辆次，又A、B的数量减少，C、D的数量增加，所以从A调11辆到D，从B调1辆到A，调4辆到C，共调整了11+1+4＝16辆．综上，最少调动16辆次．故选：B．8．解：根据题意，得，由②﹣①，得4b+40c＝1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选：A．9．解：∵方程的△＝（a+1）2+8（3a2﹣4a+b）＝（5a﹣3）2+8b﹣8≥0，∴当8b﹣8≥0时，必定△≥0，即方程必有实根，∴b≥1，当b＝1时，3a2﹣4a+1＝（3a﹣1）（a﹣1），∴十字因式分解得方程为（x﹣a+1）（2x+3a﹣1）＝0，∴b＝1成立，当b＝2时，3a2﹣4a+b＝3a2﹣4a+2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解，同理可得b＝﹣1以及0时，方程有可能为无理数解，故b的值为1．故选：A．10．解：设y＝（x﹣a）（x﹣b），则此二次函数开口向上，当（x﹣a）（x﹣b）＝0时，即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），当（x﹣a）（x﹣b）＝1时，∵p、q是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0的两实根，∴函数与y＝1的交点为：（p，1），（q，1），根据二次函数的增减性，可得：当a＜b，p＜q时，p＜a＜b＜q，故＜＜＜当p，q同为负数不合题意，故＞不成立，故选：C．11．解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计（53﹣x）支，由题意，得．10x+3×（53﹣x）≤300．解得：x≤20∴最多可购买电子体温计20支，故选：A．12．解：一半同学是48÷2＝24人，1号给3＝2+1名打电话，2号给4＝2+2名打电话，3号给5＝2+3名打电话，…n号给2+n＝24名打电话，所以n＝22，48﹣22＝26，该班有女生26名，故选：D．二．填空题（共8小题）13．解：x 1+x2＝x 1x2＝＝287q＝7×41×qx 1和x2都是质数则只有x1和x2是7和41，而q＝1所以7+41＝p＝336所以p+q＝337故填：33714．解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．15．解：设A，B，C组调整前的人数分别是n A，n B，n C，则A，B，C调整后的人数分别是n A+1，n，n C﹣1，B设A，B，C组调整前各组的号码之和分别为w A，w B，w C，则A，B，C调整后各组的号码之和分别为w A+27，w+16，w C﹣43，B根据题意得：由③得，n B＝20∴36.2＜＜37，即724＜w B＜740又∵n A+n B+n C＝60∴n C＝40﹣n A④整理得：由①得∴w C+w A＝2500﹣56n A又∵∴w B＝1830﹣（2500﹣56n A）＝﹣670+56n A∴724＜﹣670+56n A＜740解得∵n A为正整数，所以n A＝25所以本题答案为2516．解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，所以（x﹣150）（a+150）＝54100．即10月4日这一天收入54100元．故答案为：54100．17．解：设第一组x人，第二组y人，第三组（20﹣x﹣y）人，由题意得：5x+4y+10（20﹣x﹣y）＝100∴x＝∵x，y为正整数，∴100﹣6y为5的整数倍，∴y＝5或10或15∴x＝14或8或2故答案为：14或8或218．解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；a+30b＝30c①，a+10b＝2×10c②，a+5b≤5×x×c，由①﹣②得：c＝2b，a＝30c﹣30b＝30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，∵b＞0，∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5，答：至少要同时开放4个检票口．19．解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，根据题意知：xy+14＝（x+1）y﹣x﹣1，得y＝x+15，又知xy＞900，即x（x+15）＞900，x2+15x﹣900＞0，解得：x＞或x＜（舍去）即x＞23.43，当x ＝24时，y ＝39，xy ＝936，当x ＝25时，y ＝40，xy ＝1000（不符合题意）即这种客车每辆的乘客座位有39个，故答案为：39．20．解：因为甲店实行每买5枝送1枝，所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，剩下7枝到乙店购买，用去了7×0.85＝5.95，所以小王一共花了：5+5.95＝10.95元．故填：10.95．三．解答题（共5小题）21．解：由①得，（ x +y ）2＝9，则x +y ＝3或x +y ＝﹣3， 与②组成方程组和， 解得，，， 所以原方程组的解为，．22．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△＝[2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝8k ﹣4≥0，解得k ≥．（2）∵x 1、x 2是方程x 2+2（k +1）x +k 2+2＝0有两个实根，k ≥，∴x 1+x 2＝﹣2（k +1）＜0，x 1x 2＝k 2+2＞0，∴（|x 1|﹣|x 2|）2＝x 12﹣2|x 1•x 2|+x 22＝x 12+2x 1x 2+x 22﹣4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（2）2＝20，∴[﹣2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝20，即8k ﹣24＝0，解得：k ＝3．故k 的值为3．23．解：设这个相等的结果为x ，则由三位数分成的四个数分别为：、2x 、x +1、x ﹣2，则这个三位数为：+2x +（x +1）+（x ﹣2）＝﹣1 ∴100≤﹣1＜1000 ∴≤x ＜∴四个数、2x 、x +1、x ﹣2中，2x 最大，由题意得：﹣1＝2×2x +59 ∴＝60∴x ＝120 ∴这个三位数为：×120﹣1＝539答：这个三位数为539．24．解：由于a ，b ，c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根， 则判别式△＝b 2﹣4ac ≥0，若方程的两根设为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则由题设可得x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝， 则﹣＜x 1≤x 2＜0．令f （x ）＝ax 2+bx +c ，即有f （﹣）＞0， 即﹣b +c ＞0，且﹣＜﹣＜0．整理可得：2a ＞3b ，且a +9c ＞3b ，且b 2＞4ac即有2a ＞3b ＞18c ．结合前者，可知，最小为a ＝16，b ＝9，c ＝1．则a +b +c 的最小值为26．25．解：（1）①∵ab ＝1∴a＝∴原式＝+＝+＝1故答案为：1②∵ab＝1∴a＝原式＝+＝1故答案为：1（2）∵＝1，且abc＝1，∴+＝15x＝1x＝（3）∵正数a、b满足ab＝1∴b＝，a＞0，b＞0，∴a+＝（﹣）2+2≥2∵M＝＝＝＝1﹣∴当a+＝2时，M的值最小，∴M最小值＝1﹣＝2﹣2。
初中数学竞赛专题：方程组
初中数学竞赛专题：方程组 §4．1方程组的解法4．1．1★已知关x 、y 的方程组()21,221 3.ax y a x a y +=+⎧⎪⎨+-=⎪⎩①② 分别求出当a 为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解,解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax b =的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得()21y a ax =+-,③将③代入②得()()()()122a a x a a -2+=-+．④当()210a a -+≠（）,即2a ≠且1a ≠-时,方程④有唯一解21a x a +=+,将此x 值代入③有 ()121y a =+, 因而原方程组有唯一一组解．当()()210a a -+=,且()()220a a -+≠时,即1a =-时,方程④无解,因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时,即2a =时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解．评注对于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩,（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数,且1a 与1b ,2a 与2b 中都至少有一个不为零）． （1）当1122a b a b ≠时,方程组有唯一的解 2112122112211221b c b c x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（2）当111222a b c a b c ==时,原方程组有无穷多组解． （3）当111222a b c a b c =≠时,原方程组无解． 4．1．2★对k 、m 的哪些值,方程组()214y kx my k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩至少有一组解？解析由原方程可得()214kx m k x +=-+．即()14k x m -=-．（1）当1≠k 时,方程有唯一解41m x k -=-,从而原方程组有唯一解． （2）当1k -,4m =时,方程有无穷多个解,从而原方程组也有无穷多组解． 综上所述,当1k ≠且m 为任意数,或1k =且4m =时,方程组至少有一组解． 4．1．3★已知关于x 、y 的二元一次方程()()12520a x a y a -+++-=．当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解． 解析1根据题意,可分别令1a =,2a =-代入原方程得到一个方程组：330,390.y x +=⎧⎨-+=⎩解之得3,1.x y =⎧⎨=-⎩将3x =,1y =-代入原方程得()()()1321520a a a -⋅++⋅-+-=．所以对任何a 值3,1x y =⎧⎨=-⎩都是原方程的解．评注取1a =为的是使方程中()10a x -=,方程无x 项,可直接求出y 值；取2a =-的道理类似． 解析2可将原方程变形为()(2)250a x y x y +----=．由于公共解与a 无关,故有20,250.x y x y +-=⎧⎨--=⎩解之得公共解为3,1.x y =⎧⎨=-⎩4．1．4★★已知0xyz ≠,且20x y z ++=,5440x y z +-=,求22222610345x y z x yz z+--+的值． 解析已知代数式中含有x 、y 、z 三个字母,而等式只有2个,在一般情况下是不可能求出x 、y 、z 的具体值来的．因此,可以把已知条件中的z 视为常数,得到关于x 、y 的方程组,从而找出x 、y与z 的关系,由此可求出其值．把已知等式视作关于x 、y 的方程,z 视作常数,得关于x 、y 的方程组20,5440.x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩解得2,3.2x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩因为0xyz ≠,所以0z ≠,于是()()32222222222326106102334532452z z z x y z x yz z z z z⎛⎫+-- ⎪+-⎝⎭=-+⎛⎫⋅--+ ⎪⎝⎭22222227410152126546z z z z z z +-==++． 4．1．5★若x 、y 的值满足方程组3234571103,177543897,x y x y +=⎧⎨+=⎩①② 求422445x x y y ++的值．解析由①+②得50010002000x y +=,即24x y +=．③由③得：42x y =-．④ 把④代入①得：()323424571103y y -+=．解得1y =,把1y =代人④得：2x =,所以方程组解为2,1.x y =⎧⎨=⎩原式422424215137=+⨯⨯+⨯=．4．1．6★★当a 取何值时,关于x 、y 的方程组5,232x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩有正整数解． 解析解方程组得223,12.3a x a y a -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩所以,a 是被3除余2的整数． 由221,31213a a a -⎧+⎪⎪⎨+⎪++⎪⎩≥≥得15a -≤≤．所以1a =-,2,5．4．1．7★k 为何值时,方程组1,3316kx y y x⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩ （1）当163k -≠,即2k ≠-时,原方程组有唯一解0,1;3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）当113631k --==,即2k =-时,原方程组无穷多组解；（3）由于1331--1=,故方程组不可能无解．4．1．8★若方程组344,12322x y m x y m +=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足0x y +=,求m 的值．解析将x y =-代入原方程组,得4,,5332y m y m =-⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 所以,5312302m m -++=,192m =． 4．1．9★甲、乙二人同时求7ax by -=的整数解．甲求出一组解为3,4,x y =⎧⎨=⎩而乙把7ax by -=中的7错看成1,求得一组解为1,2,x y =⎧⎨=⎩求a 、b 的值． 解析 把3x =,4y =代入7ax by -=,得347a b -=． 把1x =,2y =代入1ax by -=,得21a b ==． 解方程组347,21,a b a b -=⎧⎨-=⎩得5,2.a b =⎧⎨=⎩4．1．10★甲、乙两人解方程组513,4 2.ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①② 由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为3,1;x y =-⎧⎨=-⎩乙看错了方程②中的b 而得到的解为5,4.x y =⎧⎨=⎩假如按正确的a 、b 计算,求出原方程组的解． 解析因为甲只看错了方程①中的a ,所以甲所得到的解3,1x y =-⎧⎨=-⎩应满足无a 的正确的方程②,即 ()()4312b ⨯--⨯-=-．②同理,5,4x y =⎧⎨=⎩应满足正确的方程①,即 55413a ⨯+⨯=．④解由③、④联立的方程组得7,510.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以原方程组应为7513,5410 2.x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=-⎩ 解之得20,8.2.x y =⎧⎨=⎩4．1．11★★已知方程组35,4x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解,m 、n 是绝对值小于10的整数,求m 、n 的值．解析因为方程组1112220,0a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩无解的条件是111222a b ca b c =≠参照这个条件问题便可解决．原方程组可化为350,40.x my x ny +-=⎧⎨+-=⎩因为方程组无解,所以有3514m n =≠, 所以3m n =,且45m n ≠,因为310m n =<,所以,101033n -<<,又因为n 是整数,所以3n =-, 2-,1-,0,1,2,3,相应地9m =-,-6,-3,0,3,6,9．所以,当9,3,m n =-⎧⎨=-⎩6,2,m n =-⎧⎨=-⎩3,1,m n =-⎧⎨=-⎩0,0,m n =⎧⎨=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩6,2,m n =⎧⎨=⎩9,3m n =⎧⎨=⎩时,原方程组无解． 4．1．12★已知关于x 和y 的方程组()()345,569,8810,51029x y x y n m x y x m n y +=-⎧⎪+=-⎪⎨--=⎪⎪++=-⎩有解,求22m n +的值． 解析首先解方程组345,569,x y x y +=-⎧⎨+=-⎩得到3x =-,1y =,代入原方程组中后两个方程,得到86,5 3.m n m n -=⎧⎨+=⎩① 再解上面关于m 和n 的方程组,得到913m =,613n =-,22117916913m n +==． 4．4．13★已知2ab a b =+,5ac a c =+,4bcb c=+,求a b c ++的值． 解析根据题意有1,21,51.4a b ab a c ac b c bc +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩111,2111,51114a b a c b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪⎩①②+=.③ （①+②+③）2÷,得1111940a b c ++=．④ ④-①得1140c =-,40c =-． ④-②得11140b = ,4011b =． ④-③得1940a =,409a =． 所以()404031604091199a b c ++=++-=-． 4．1．14★如果方程组,5311x y m x y +=⎧⎨+=⎩的解是正整数,求整数m 的值．解析解方程组得113,25112m x m -⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩①y =.② 因为x 、y 都是正整数,所以1131,2511 1.2mm -⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩≥≥ 解得1335m ≤≤． 因为m 是整数,所以3m =．将3m =代入①和②式,x 、y 的值均为正整数． 故3m =．4．1．15★★解方程组2347,423 2.32x y z x y y z+-=-⎧⎪-+⎨==⎪⎩ 解析因为423232x y y z -+==表示两个方程,即423x y -=和2322y z +=,或者42332x y y z-+=和423x y -=,或者42332x y y z -+=和2322y y+=,所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次方程组,将原方程组改写为2347,42,323 2.2x y z x yy z⎧⎪+-=-⎪-⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③ 由方程②得64x y =+,代入①化简得11419y z -=-．④由③得234y z +=．⑤ ④3⨯+⑤4⨯得3385716y y +=-+,所以,1y =-．将1y =-代入⑤,得2z =．将1y =-代入②, 得2x =．所以2,1,2x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩为原方程组的解．评注本题解法中,由①、②消去x 时,采用了代入消元法；解④、⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消去y 还是消去z ,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z 的系数是一正一负,且系数的绝对值较小这一特征,采用加减消元法较简单． 4．1．16★已知1230,165x y zxy z⎧++=⎪⎪⎨⎪--⎪⎩①=0.②求x y z y x x++的值．解析①-②消去x 得880yz+=,即1y z =-．①3⨯+②消去y 得440x z +=,即1z x=-．①5⨯+②3⨯消去z 得880x y -=,即1x y =．所以,1111x y zy z x++=--=-即为所求． 4．1．17★解方程组5,1,15.x y z y x z x y --=⎧⎪--=⎨⎪--=-⎩①②z ③ 解析将①+②+③,得9x y z ++=．④由④+①得214x =,7x =． 由④+②得210y =,5y =． 由④+③得26z =-,3z =-． 所以,原方程组的解为7,5,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩4．1．18★解方程组1,2,3,4,5.x y z y z u z u v u v x v x y ++=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤解析注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程： ①+②得3x u +=,⑥ ②+③得5y v +=,⑦ ③+④得7z x +=,⑧ ④+⑤得9u y +=．⑨ 又①+②+③+④+⑤得15x y z u v ++++=．⑩⑩一⑥一⑦得7z =,把7z =代入⑧得0x =,把0x =代入⑥得3u =,把3u =代入⑨得6y =,把6y =代入⑦得1v =-．所以0,6,7,3,1.x y z u v =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 为原方程组的解． 4．1．19★解方程组1124,11411125x y x x y x x y⎧+-=-⎪⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩①+=,②+=.③ 解析①2⨯+②得313x y+=,④ 由③得125x y=-,⑤ 代入④得1125y=, 代入⑤得115x =． 再把115x =,1125y =代入①得13310z =,所以 5,5,121033x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩为原方程组的解．解析2令1A x =,1B y =,1C z=,则原方程化为24,411,2 5.A B C A B C A B ++=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩解得15A =,125B =,3310C =,即5,5,121033x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩为原方程组的解,评注解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代人消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式,如1x 、1y等）；解法2称为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程．4．1．20★★解方程组()()()222392522782x y z x x y z x y y z x y z z ⎧+-=-⎪⎪+--⎨⎪+--⎪⎩,①=,②=.③解析原方程组可化为()()()395278.x x y z y x y z x y z ++⎧⎪++⎨⎪++⎩=,①=,②z =③④+⑤+⑥得()2169x y z ++=,故13x y z ++=±．⑦将⑦分别代入④、⑤、⑥,得原方程组的解为1113,4,6,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2223,4,6.x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 4．1．21★★解方程组53,53,53.x y z a y z x b z x y c -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩①②③解析①2⨯+②-③消去y 、z ,得142x a b c =+-,所以214a b c x +-=．由②2⨯+③-①,得214b c a y +-=． 由③2⨯+①-②,得214c a b z +-=． 所以,原方程组的解为2,142,142,14a b c x b c a y c a b z +-⎧=⎪⎪+-⎪=⎨⎪+-⎪=⎪⎩4．1．22★★解方程组25,28,211,2 6.x y y z z u u x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 解析有原方程得52,82,112,62.x y y z z u u x =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩①②③④ 所以()525282x x y z =--=--()114114112z u =-+=-+-()33833862u x =-=--1516x =-+,即1516x x =-+,解之得1x =,将1x =代入④得4u =.将4u =代入③得3z =.将3z =代入②得2y =．所以原方程组解为1,2,3,4.x y z u =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 4．1．23★★解方程组2111,3111.4x y z y z x z x y ⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩ 解析先把各方程左边通分,再对每个方程两边取倒数,并设x y z k ++=,则原方程可化为2,3,4.xy xz k yz yx k zx zy k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③①+②+③,得92xy yz zx k ++=．④ 用④分别减去①、②、③,可得1,25,23.2xy k yz k zx k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩显然0x ≠,0y ≠,0z ≠,0k ≠.由上面三式易得3515x y z =∶∶∶∶,又x y z k ++=,所以323x k =,523y k =,1523z k =． 则有35123232k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以22330k =． 所以,原方程组的解为（经检验）23,1023,623.2x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．1．24★★解方程组()()122,212 4.3x y xz x x z y z y z ⎪++⎪⎪+=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩解析原方程可变形为111,12111,23111.124x y x z y z ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪++⎩解得1724x =,15124y =+,11224z =+． 所以,方程组的解为24,719,522.x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．1．25★★解方程组1,21,21.2x y zx y z xy z x yz ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③ 解析①-③得0y zx z yz +--=, 则1y z y x=+-． 把式④代入①、②,整理分别得22232221y y x xy x y +++-=,⑤2223221y y x x xy ++-+=．⑥⑤-⑥得()()10y x xy x -+-=．若y x =,由式⑤得22410x x +-=,解得x将x y =代入式④,得z =． 若10xy x +-=,同理,10yz y +-=． 将11x y =-,1y z y-=代入式①得 3223320y y y --+=．分解因式得()()()21120y y y -+-=．故（x ,y ,z ）为（1-,2,12）、（2,12,1-）（12,1-,2）综上,共有5组解⎝⎭,⎝⎭,（1-,2,12）（2,12,1-） （12,1-,2）．4．1．26★解方程组2224220,3630.x xy x y x xy x y ⎧+--+=⎪⎨+-+=⎪⎩①② 解析②2⨯-①3⨯得4960x y +-=．解方程组24960,3630x y x xy x y +-=⎧⎨+-+=⎩得112,14;9x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩223,2.x y =-⎧⎨=⎩ 4．1．27★解方程组222224220,2240.x xy y x y x xy y x y ⎧-++-+=⎪⎨--+-+=⎪⎩①② 解析②()2⨯-+①得23360y y +-=,所以11y =,22y =-．解方程组221,2240y x xy y x y =⎧⎨--+-+=⎩与222,2240,y x xy y x y =-⎧⎨--+-+=⎩得原方程组的解111,2;x y =-⎧⎨=-⎩224,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 4．1．28★解方程组22225,2320.x y x xy y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩①②解析由②得()()220x y x y +-=,所以20x y +=或20x y -=．因此,原方程组可化为两个方程组225,20x y x y ⎧+=⎨+=⎩与225,20.x y x y ⎧+=⎨-=⎩解两个方程组得原方程组的解为111,2;x y =⎧⎨=-⎩221,2;x y =-⎧⎨=⎩332,1;x y =⎧⎨=⎩442,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 评注方程组至少有一个方程可以分解为一次方程时,可用因式分解法解．4．1．29★解方程组222238, 4.x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩①② 解析由①-②2⨯得22230x xy y --=,即()()30x y x y +-=,所以0x y +=或30x y -=．所以0x y +=或30x y =-=．分别解下列两个方程组2238,0;x y x y ⎧-=⎨+=⎩2238,30,x y x y ⎧-=⎨-=⎩得原方程组的解为112,2;x y =⎧⎨=-⎩222,2;x y =-⎧⎨=⎩33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩44x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩评注如果两个方程都没有一次项,可用加减消元法消去常数项,再用因式分解法求解．4．1．30★解方程组2226.x xu y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 解析原方程组可变形为()()222 6.x y xy x y xy ⎧++=+⎪⎨+-=⎪⎩①②①2⨯+②得()()2210x y x y +++=+令u x y =+,则22100u u +--=,所以12u =+24u =-,即2x y +=4x y +=--当2x y +=,代入①得xy =2x y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 可得12x =,1y =2x =22y =．当4x y +=--,代入①得6xy =+而方程组46x y xy ⎧+=-⎪⎨=+⎪⎩无实数解．综上所述,方程组的解为112,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩222.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 评注由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x y +和xy 表示,因此在解二元对称方程组时,一定可以用x y +和xy 作为新的未知数,通过换元转化为基本对称方程组．4．1．31★★解方程组5,210.x y =+=⎩①②解析本题是一个对称方程组的形式,观察知它可转化为基本对称方程组的形式．由①得52=．③ 将②代入③,4=,所以16xy =．④由②、④可得基本对称方程组10,16.x y xy +=⎧⎨=⎩ 于是可得方程组的解为112,8;x y =⎧⎨=⎩228,2.x y =⎧⎨=⎩ 4．1．32★解方程组222100,2100.x xy x y xy y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②解析本题属于二元轮换对称方程组类型,通常可以把两个方程相减,因为这样总能得到一个方程 0x y -=,从而使方程降次化简．①-②,再因式分解得()()100x y x y -+-=,所以0x y -=或100x y +-=．解下列两个方程组20,2100;x y x xy x -=⎧⎨--=⎩2100,2100,x y x xy x +-=⎧⎨--=⎩得原方程组的四组解为112,0;x y =⎧⎨=⎩2210,310;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩330,10;x y =⎧⎨=⎩4410,0.x y =⎧⎨=⎩ 4．1．33★★★解方程组6,6.①②解析1 用换元法．设45x A +=,45y B +=,则有54A x -=,54B y -=,4A B x y --=．6,6,即12,12.+==⎪⎩③④③-④并平方得594A B -++459A B =+-+,整理得4A B -=, 所以45959AB A AB B A B --+-化得())360A B-=, 360>,因此0A B -=．解方程组12,0,A B =-=⎪⎩得9,9.A B =⎧⎨=⎩经检验,9A B ==适合方程③、④,由此得原方程的解是1,1.x y =⎧⎨=⎩ 解析2①-②得-即=．所以1x -与1y -同号或同为零．由方程①得))330+=,0=, 所以1x -与1y -不能同正,也不能同负．从而10x -=,10y -=．由此解得1,1.x y =⎧⎨=⎩经检验,1x =,1y =是方程组的解． 4．1．34★★★解方程组：2113221122,22,22,22.n n n n n x x x x x x x x x x x x -1-⎧=+⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=+⎪⎩解析 本例各方程中,未知数的出现是循环对称的．若用消元法求解将十分困难．故而采用不等式求解．显然方程组的解1x ,2x ,⋯,n x 都同号,且若1x ,2x ,⋯,n x 是方程组的解,则1x -,2x -,⋯,n x -也是方程组的解．故不妨先设()01i x i n >≤≤．因为122n x x x=+≥所以1x,2x ,⋯,n x ． 把方程组的所有方程相加,整理,得1212222n nx x x x x x ⋯⋯+++=+++．① 但12n x x x ⋯+++≥12222n n x x x ⋯+++=≤ 因此要等式①成立,只能12n x x x ⋯====容易检验,12n x x x ⋯====确实原方程组的解． 因此,原方程组有两组解,它们是12n x x x ⋯====4．1．35★★★解方程组：212212232221212122,12,12,12.1n n nn x x x x x x x x x x x x --⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪=⎪+⎪⎪=⎪+⎩解析1首先有()01i x i n ≥≤≤．再由2211xx+≤（x 为实数）得21212121x x x x =+≤,32x x ≤,⋯,1n n x x -≤, 1n x x ≤；所以11321n n x x x x x x -⋯≤≤≤≤≤≤．只能12n x x x ⋯===．进而求得本题的两组解1270n x x x ⋯===或121n x x x ⋯====．解析2若1x ,2x ,⋯,n x 中有一个为零,则由方程组可推出其余1n -个未知数都是零,则120n x x x ⋯====是原方程组的解．下设()1i x i n ≤≤都不是零,则2122122232212122111,211,211,211;2n n n n nx x x x x x x x x x x x --⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪+⎪=⎪⎪+⎪=⎪⎩2212322121121,121,121,121;n n nx xx x x x x x -⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎪⎩ 将所有方程相加,并整理、配方,得222121111110n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为2110i x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥,所以只能121111110n x x x ⋯-=-==-=, 121n x x x ⋯====．易知它确实原方程组的解．因此,原方程组的解由两组：120n x x x ⋯====,或121n x x x ⋯====． 4．1．36★★★★已知原方程组：1111221332112222333113223330,0,0.a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 它的系数满足下列条件： （1）11a 、22a 、33a 都是正数； （2）所有其他系数都是负数； （3）每一方程中系数之和是正数．求证：1230x x x ===是已知方程组的唯一解．解析 本例是一个三元线性齐次方程组,1230x x x ===,显然是它的解,因而只要证明已知方程组不存在不全为零的解集即可．用反证法．若方程组有不全为零的解11x k =,22x k =,33x k =,由对称性不设防1k 、2k 、3k 中以1k 为最大,则10k >．于是由110a >,120a <,130a <,1112130a a a ++>,得1111221330a k a k a k =++111122133a k a k a k --≥ 111122133a k a k a k =-- 111121131a k a k a k --≥()11121310a a a k =++>．上面的不等式显然是矛盾的．故已知方程组只有唯一解：1230x x x ===．4．1．37★★解方程组22222228,2226,322231,2222,2328.a a b c d e b a b c d e c a b c d e d a b c d e e a b c d e ⎧=+-++-⎪=---++-⎪⎪=++++-⎨⎪=++++-⎪⎪=++++-⎩解析将这个5个方程相加,得2222642a a b b c c d -+-+-+ 2108550d e e -+-+=,所以()()()()()22222321540a b c d e -+-+-+-+-=, 故（a ,b ,c ,d ,e ）=（3,2,1,5,4）．经检验知,（a ,b ,c ,d ,e ）=（3,2,1,5,4）是方程组的解．。
初中数学竞赛辅导全完整版.doc
第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第五讲一元一次方程
第五讲一元一次方程趣面引路】观察下列演算过程，判断运算过程是否正确，若不正确，请指出错在哪里？ 解方程：x+2=2x+4.解原方程可化为x+2=2 （x+2）, ① 两边同时除以（x+2）得1二2.②解析 1=2显然不正确，问题出在从第①步到第②步的变形，方程两边同时除以一个代数式，要对 （x+2）的值进行讨论，当x+2二0时，两边不能除。
一般地，在等式的两边同时除以一个代数式的时候要 对其分等于零和不等于零两种情况进行讨论。
知识延伸】一、一元一次方程的解法一元一次方程的解法一般有去分母，去扌舌号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬 套，往往需要我们活用所学方法，灵活地解决问题.例 1•解方程：（1） 2003X2004X （x+」一）X2005X2006=0：20052x 2x 2x 2x------ 1 ------------1 -- -------------------------- • • +1x3 3x5 5x7 2003x2005解析（1）依题意得x+」一=0,2005・r = __1_2005（2）原方程可化为2004XX ----------- 2005 x = 2005点评点评（1）本题的关键是：发现要使左边二0,必有X+」—=0,若按常规去括号可麻烦了；20052 2 2 2（2） —— + —— +——+•••+ --------------------- = 2004是我们熟悉的式子，于是左边反用乘法分配律,1x3 3x5 5x72003x2005提出一个X,剩下的就可以用裂项法进行化简.一般的，一-—=丄-一—n{n + a ） n n + a(2) = 2004x(l ——+ ------ --- --------3 3 5 2003 ^)= 2°04= 2004二、一元一次方程根的存在性讨论 一元一次方程最终都可化成ax 二b 的形式 显然，当aHO 时，方程有唯一的实数根； 当a 二0且b 二0时，方程有无数根； 当a 二0且1>工0时，方程无根。
初中数学竞赛辅导资料全
第一篇一元一次方程的讨论第一部分基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2*＋6＝0， *（*－1）=0, |*|=6, 0*=0, 0*=2的解分别是： *=－3, *=0或*=1, *=±6, 所有的数，无解。
2. 关于*的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程a*=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 *=ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论*取什么值，0*＝0都成立）3. 求方程a*=b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程a*=b第二部分典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)*=4(a －2)①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？例2 k 取什么整数值时，方程①k (*+1)=k －2（*－2）的解是整数？②（1－*）k =6的解是负整数？例3 己知方程a (*－2)=b (*+1)－2a 无解。
问a 和b 应满足什么关系？例4a 、b 取什么值时，方程（3*－2）a +（2*－3）b =8*－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (*+1)=0, ②*2=9,③|*|=9， ④|*|=－3, ⑤3*+1=3*－1,⑥*+2=2+*2. 关于*的方程a*=*+2无解，则a __________3. 在方程a (a －3)*=a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的*是整数？① *=k4②*=16-k ③*=k k 32+④*=123+-k k 5. k 取什么值时，方程*－k =6*的解是①正数？②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +*）=2m －1的解①是零？②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，则a 、b 应满足什么关系？ 8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数" 9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
初中数学解方程组练习题及答案.doc
初中数学解方程组练习题及答案专题一：二元一次方程组解法精练一.解答题1.求适合的X, y的值.2.解下列方程组3.解方程组：.解方程组：5.解方程组：6.已知关于x, y的二元一次方程y=kx+b的解有和. 求k, b的值.当x=2时，y的值.当x为何值时，y=3?7.解方程组：;•8.解方程组：.解方程组：10.解下列方程组：11.解方程组：13.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a,而得解为，乙看错了方程组中的b,而得解为.甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解.1415.解下列方程组:16.解下列方程组：专题二：方程组解法强化训练1.2..4.5.6..8.10.11.15.16.17.18.19. 0.{21.y?12y?22x??l22.x?y?23.24.25. 26.27.28.29.30.答案2.解下列方程组3.解方程组：6.. 4.解方程组:.解方程组:求k, b 的值. k二，b二.当x=2时，y的值.把x=2代入，得y二.当x为何值时，y=3?把y=3代入，得x=l7.解方程组：；.8.解方程组：9.解方程组：10.解下列方程组：11.解方程组：12.解二元一次方程组：13.甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解.；.解二元一次方程组练习及答案1.2..4.5.6..8.9.10. 11.12.15.16.17.18.19. 0.21.{y?12y?22x??l22.x?y?23.24.25. 6.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.39.参考答案:1.2. 3.4.5.6.7.&9.10.11.12.17. 22.27.1 14.15.16.21.23.24.25. 6.2&29.30. 1.32.37.33.34.35.36.3&39.40.个人简介王师光，农安一中语文教师，班主任，语文教研组组长。
(完整版)二元一次方程(组)补习、培优、竞赛经典归类讲解、练习及答案
二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。
2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。
（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成⎩⎨⎧==y x 的形式。
5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。
（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。
主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。
代入——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。
加减——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。
② 找：找出能够表示题意两个相等关系。
③ 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。
④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。
⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
6、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
初中数学竞赛辅导讲义(总77页)
初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2． 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学 优质课大赛 二元一次方程组的解法课件
义务教育课程标准实验教科书
华师大版七年级（下）数学
3x 4 y 10 ① ② 5 x 6 y 42
初中数学
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 基本思路: 二元 消元 一元 2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤： 用含有一个未知数的代数式 ①变形
表示另一个未知数,写成 y=ax+b或x=ay+b 把变形后的方程代入到另一个方程 中，消去一个元 分别求出两个未知数的值
分析:
2 x 5 y 2 x 3 y = 9 17
①左边
②左边
= ①右边 ②右边
左边与左边相减所得到的代数式 和右边与右边 相减所得到的代数式有什么关系？
初中数学
联系上面法三的解法，想一想应怎样解方程组：
7 x 3 y 1 2 x 3 y 8
①
②
x 1 y 3
问题1．这两个方程直接相加减能 消去未知数吗？为什么？ 问题2．那么怎样使方程组中某一 未知数系数的绝对值相等呢？
初中数学
化归转化
本题可以用加减消元法来解吗？
3x 4 y 16 5 x 6 y 33
①
②
x 6 1 y 2
上述哪种解法更好呢？
初中数学
用加减法解同一个未知数的系数 绝对值不相等，且不成整数倍的二元 一次方程组时，把一个（或两个）方 程的两边乘以适当的数，使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从 而化为第一类型方程组求解．
初中数学
第一类：……
第二类：……
初中数学
1、用加减法解下列方程组时，你认为先消哪个 未知数较简单，填写消元的过程．
初中数学 优质课大赛 二元一次方程组的解法课件精品
2x-3y=4 ① 3x+2y=1 ②
用加减法消x的方法是
；
用加减法消y的方法是
。
化归转化
用加减法解方程组：
2x 3y 11 ① 6x 5y 9 ②
x 1
y
3
问题1．这两个方程直接相加减能 消去未知数吗？为什么？
问题2．那么怎样使方程组中某一 未知数系数的绝对值相等呢？
化归转化
本题可以用加减消元法来解吗？
法二：把②式转化为2x=3y+17③，把2x看成一个
整体，直接把③代入①解关于y的方程，求
出y再求x；
法三：因为2x=2x，把①-②消去x，得关于y的方
程，求出y，再求x。
解方程组:
2x 5y 9 2x 3y 17
Байду номын сангаас
① ②
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 2x5y 2x3y= 9 17
当两个二元一次方程中同一个未 知数的系数相反或相等时，把两个方 程的两边分别相加或相减，就能消去 这个未知数，得到一个一元一次方程。 这种方法叫做加减消元法，简称加减 法。
口决：同减异加
3x+4y=15
1.已知方程组
两个方程只要两边
y 2x-4y=10
分别相加 就可以消去未知数
2x-3y=4
2.已知方程组
（1）22xx
3y 4y
5 2
（2）
3a 2a
2b 5 b8
（3）84xx
7y 5y
13 11
（4）
1 2 1 3
m m
1 3 1 2
n n
8 1
2、（选做题）解方程组
中考数学竞赛讲座及练习 第5讲 方程组的解法(无答案)
第五讲 方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-+2232347432z y y x z y x说明 本题解法中，由①，②消x 时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y ，还是消z ，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z 的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2 解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④③②①621128252x u u z z y y x例3 解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-=+-=+-⑤④③②①54321y x v x v u v u z u z y z y x例4 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+--=-+③②①521114114211yxz y x z y x说明 解法可以使用整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式，入x 1，y1等）；或使用换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5 已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++②①05610321zy xz y x 试求xzz y y x ++的值.例6 已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-++=+②①3)1(2212y a x ay ax分别求出当a 为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．例7 已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0解为49x >，试求不等式(4)230a b x a b -+->的解。
九年级数学竞赛化归—解方程组的基本思想讲座
九年级数学竞赛化归—解方程组的基本思想讲座初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组．尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段．解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：分式方程整式化无理方程有理化高次方程低次化多元方程一元化通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)．【例题求解】【例1 】已知正实数、、满足，则 = ．思路点拨由想到从分解因式入手，还需整体考虑．【例2】方程组的正整数解的组数是（）A．4 B．3 C 2 D．1思路点拨直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．思路点拨对于(1)，先求出整体、的值，对于(2)，视、为整体，可得到、的值；对于(3)设，，用换元法解．【例4】已知、、三数满足方程组，试求方程的根．思路点拨先构造以、为两根的一元二次方程，从判别式入手，突破的值．注：方程与方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用工具，一个含多元的方程，往往蕴含着方程组．【例5】已知方程组有两个实数解为和且，，设，(1)求的取值范围；(2)试用关于的代数式表示出；(3)是否存在的的值?若存在，就求出所有这样的的值；若不存在，请说明理由．思路点拨代人消元，得到关于的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定理等知识求解，解题中注意隐含条件的制约，方能准确求出的取值范围．注：方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性质的讨论，但这种转化不一定是等价的，注意隐含条件的制约，如本例中，则，这就是一个隐含条件．学历训练1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是，试写出符合要求的方程组 (只要填写一个即可)．2．若方程组有两组相同的实数解，则的取值是．3．实数、、满足，则的值为．4．已知、、 2 是正整数，并且满足，那么的值等于．5．已知，，则的值为( )A．2001 B．2002 C． 2003 D．20046．已知，，则 =（）A．337 B．17 C．97 D．．解下列方程组：（1）（2）(3)8．已知方程组有两个实数解和，且，求的值．9．方程组的解是．10．已知实数，是方程组的解，则 + = ．11．已知，且，则是的值为．12．已知方程组的两组解是（）与（），则的值是． 13．已知，，则的值是( )A．4 B．2 C．一2 D．0．设，为实数，且满足，则 =（）A．1 B．一1 C ． 2 D．一215．解下列方程组：(1) （2）(3)．已知方程组的两个解为和，且，是两个不相等的实数，若．(1)求的值；(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数?为什么?17．已知、是方程的两个实根，解方程组18．已知、为实数，且满足，，求的值．。
初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版
初一数学竞赛系列讲座解一次方程（组）与一次不等式（组）、知识要点1 .一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”2. 不定方程不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程（组），我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c （a、b互质）有一组整数解为x o，y。
，则此方程的全部整数解可表示为：丿x = X。
+kb （这里k为任意整数）补=壮一 ka3. 一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。
它的标准形式：ax+b v 0或ax+b> 0 （a^ 0）解不等式的根据是不等式的同解原理。
4. 不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质（1）反身性如果a>b，那么b v a（2）传递性如果a>b，b>c，那么a>c（3）平移性如果a>b，那么a+c>b+c⑷伸缩性如果a>b，c>0，那么ac>bc如果a>b，c v0，那么ac v bc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理2:不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理3:不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
5. 解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）;（2）去括号（根据整式运算法则）；（3）移项（根据不等式基本性质1）;（4）合并同类项（根据整式的运算法则）；（5）将x项系数化为1 （根据不等式性质2或3）;6. 不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
初中数学竞赛专题选讲未知数例如程个数多的方程组解法(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.11)未知数例如程个数多的方程组解法一、内容提要在一样情形下，解方程或方程组，未知数的个数老是与方程的个数一样的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.解这种方程或方程组，一样有两种情形：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题例1. 在实数范围内，解以下方程或方程组： ①0211122=++--+-y x x x ； ②x 2+xy+y 2－3x －3y+3=0； ③⎩⎨⎧=-=++4222z xy z y x解：① 依照在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-≥-01010122x x x解得x 2=1而x ≠1, ∴⎩⎨⎧-=-=21y x ② 整理为关于x 的二次方程，利用方程有实数根，那么判别式 △≥0.x 2+(y －3)x+(y 2－3y+3)=0.∵x 是实数， ∴△≥0.即( y －3)2－4(y 2－3y+3)≥0 .解得 (y －1)2≤0 .而(y －1)2≥0. ∴y=1.∴⎩⎨⎧==11y x 是原方程的解.③消去一元后，利用实数平方是非负数性质.由①得z=2－x －y .代入②得2xy －(2－x －y)2－4=0.整理配方，得(x －2)2+(y －2)2=0.∵相加得0的两个数，只有是互为相反数.而 x, y 是实数，∴(x －2)2≥0，(y －2)2≥0.∴知足等式的条件只能是：⎩⎨⎧=-=-0202y x . ∴方程组的解是 ⎪⎩⎪⎨⎧-===222z y x此题在消去z 后，也能够仿②，写成关于 x 的二次方程，用判别式求解.例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.分析：此题有多种解法：①交集法， ②设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，③设二元，求二元一次方程的整数解.解法一：除以4余1的自然数集合：{1，5，9，13，17，21，…37…}；除以5余2的自然数集合：{2，7，12，17，…37…}；除以11余4的自然数集合：{4，15，26，37，…}.三个集合的公共元素中最小的自然数是37.解法二：设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c 都是自然数).得方程组 ⎩⎨⎧+=++=+)2(41114)1(2514c a b a 由(1)得 a=41415++=+b b b . 设k b =+41 (k 为正整数)， 那么 b=4k －1， a=5k －1. 由(2)得 c=117911720113)15(41134-+=-=--=-k k k k a .要使1179-k 为整数，k 取最小正整数2. 这时c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37.解法三：设所求的自然数为x, 那么41-x ，52-x ， 114-x 都是自然数. ∵41-x >52-x >114-x . ∴41-x +114-x －52-x 也是自然数. 设y=41-x +114-x －52-x . 去分母，得 200y=31x －47. x=31163173147200+++=+y y y . y 取最小正整数5，能使31163+y 为整数. ∴x=37, 即最小的自然数是37.例3. 有甲，乙，丙三种货物.假设购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；假设购买甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？解：设甲，乙，丙每件别离为x, y, z 元.依照题意，得⎩⎨⎧=++=++)2(20.4104)1(15.373z y x z y x ( 依题意只要求出x+y+z 的值) (1)×3－(2)×2：x+y+z=1.05〔元〕.答：买甲、乙、 丙各1件共需1.05元.例4. 甲、乙两车别离从A 、B 两站同时动身，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A 站24千米；当乙车走完全程的一半时，甲车距B 站15千米.求A 、B 两站的距离.解：设A 、B 两站的距离为x 千米，并引入辅助未知数V 甲，V 乙别离表示甲、乙两车的速度. 依照题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=)2(215)1(242乙甲乙甲V x V x V x V x ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) ∵ 方程(2)左、右不等于零 ∴(1)÷(2)得224152x x x x-=-. 解得， x=40；或 x=12 (不合题意 舍去).答：A 、B 两站的距离为40千米.三、练习1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发觉甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船别离从河的两岸同时对开，速度维持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进抵达对岸后当即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4. 游泳运发动自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丧失，继续前游20分钟才发觉，于是返回查找，在闽江大桥处追到，两桥相距1000米，求水流的速度.5. 长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，假设排成3列纵队，那么最后一行只有1人；假设排成5列纵队，那么最后一行只有7. 人；排成7列纵队，那么最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7. 求以下方程的实数解：① 0311221=++-+-y x x② 5x 2+6xy+2y 2－14x －8y+10=0③ (x 2+1)(y 2+4)=8xy④ 052312=+-+-+y x y x8. 一件工程，若是甲单独完成所需的时刻是乙，丙合做，完成这件工程所需时刻的a 倍；若是乙单独完成所需的时刻是甲，丙合做，完成这件工程所需时刻的b 倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时刻是甲，乙合做，完成这件工程所需时刻的多少倍？9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120千米遇丙车，再行20千米遇丁车；乙车在离西站126千米处遇丙车，在半途遇丁车.求东西两站的距离.10. 三辆车A ，B ，C 从甲到乙.B 比C 迟开5分钟，动身后20分钟追上C ；A 比B 迟开10分钟，动身后50分钟追上C.求A 动身后追上B 的时刻.11. 学生假设干人住宿，若是每间4人，有20人没房住；若是每间8人，那么有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。
七年级数学上册5.3一元一次方程的解法1全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
5.3列天出平一处个于一平元衡一状次态方，程你吗能 ？
4x=3x+50 4x －3x =3x+50－3x 4x－3x=50
x=50
普通地，把方程中项改变符号 后，从方程一边移到另一边， 这种变形叫做移项.
2/9
请你判断 以下方程变形是否正确？
8/9
这节课你学到了什么？
1、移项 移项时要改变符号
2、解一元一次方程步骤 （1）去括号 （2）移项 （3）合并同类项 （4）利用等式性质2求解
9/9
⑴6－x=8，移项得-x－6=8 错 －x=8-6
⑵6+x=8，移项得x=8+6
错 x=8－6
⑶3x=8－2x，移项得3x+2x=－8
错 3x+2x=8
(4)5x－2=3x+7,移项得5x+3x=7+2
错 5x－3x=7+2
3/9
例1 解以下方程
⑴ 5+2x=1
⑵ 8－x=3x+2
解：⑴ 移项，得 2x=1－5 即 2x=－4
例2 解以下方程
（1）3-（4x-3）＝7
(2)x - 2 = 2(x+1)(结果保留3个有效数字）
解：⑴去括号得 3-4x+3=7
移项，得 -4x=7-3-3
合并同类项，得 两边除以-4，得
(2)去括号得
x-
-4x=1 x=-
=2x+2
1-4
移项，得 x-2x=2+ 合并同类项，得 -x=2+
两边同除以－1，得 x=-(2+ ) ∴ x≈-3.41
⑴解：移项，得2.4x-2x=2 (2)解：移项，得3x=-2-1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五讲 方程组的解法
二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．
例1 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-+22323
47
432z
y y x z y x
说明 本题解法中，由①，②消x 时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y ，还是消z ，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z 的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．
解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．
例2 解方程组 ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=+=+=+=+④
③②①621128
252x u u z z y y x
例3 解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧=+-=+-=+-=+-=+-⑤
④③②①5
43
2
1y x v x v u v u z u z y z y x
例4 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=+=+--=-+③
②①52111
4
1142
11y
x z y x z y x
说明 解法可以使用整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式，入x 1，y
1等）；或使用换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．
例5 已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=--=++
②
①056103
21z
y x
z y x 试求x
z z y y x ++的值.
例6 已知关于x ，y 的方程组⎩⎨
⎧=-++=+②
①3
)1(2212y a x a y ax
分别求出当a 为何值时，方程组
(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．
例7 已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0解为49
x >，试求不等式(4)230a b x a b -+->的解。
例8 甲、乙两人解方程组⎩⎨
⎧=-=+②
①2
-4135by x y ax
由于甲看错了方程①中的a 而得到方程组的解为⎩⎨
⎧-=-=1
3
y x ，乙看错了方程②中的b 而得到的解为⎩
⎨⎧==45
y x ，假如按正确的a ，b 计算，试求出原方程的解．
练习五
1．解方程组
2．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5满足方程组
试确定3x 4+2x 5的值．
3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求
4．k为何值时，方程组
有唯一一组解；无解；无穷多解？
5．若方程组
的解满足x+y=0，试求m的值．。