高中数学 第3章3.2.1知能优化训练 新人教B版必修4
高中数学第3章3.2.1一元二次不等式及其解法课件新人教A必修5.ppt
变式训练1 解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
解：(1)原不等式可化为 2x2－3x－2＜0， ∴(2x＋1)(x－2)＜0. 故原不等式的解集是{x|－12＜x＜2}． (2)原不等式可化为 2x2－x－1≥0， ∴(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为{x|x≤－12或 x≥1}．
考点二 解含参数的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类 讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次 项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根 的讨论，即判别式为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层 次是根的大小的讨论．
例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 【思路点拨】 解答本题通过因式分解，结合二 次函数图象分类讨论求解． 【解】 方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2 ＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a. (1)若a＞0，则－a＜x＜2a， 此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；
变式训练 2 已知不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为 {x|－12＜x＜13}，求 2x2＋bx＋a＜0 的解集． 解：∵ax2＋bx＋2＞0 的解集为{x|－12＜x＜13}， ∴－12，13是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根．
由 根 与 系 数 的 关 系 得 －12＋13＝－ab －12×13＝2a
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴 方程是 x＝－2ba，顶点坐标是(－2ba，4ac4－a b2)．当 a＞0 时，图象的开口方向向上；当 a＜0 时，图象 的开口方向向下．
知新盖能
一元二次不等式的解法 一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标 准形式： (1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)； (2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过 方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设Δ＝b2－4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__同__的解x1、 x_2_，_{x_设|_x_>x_x1_<2_或x_2_x，_<_则x_1}_不__等__式_，(1)不的等解式集(为2)的解集为 _{_x_|_x_1<_x_<_x_2_}____；
高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教B版必修4
1．与1－tan21°1＋tan21°相等的是( )A ．tan66°B ．tan24°C ．tan42° D．tan21°解析：选B.原式＝tan45°－tan21°1＋tan45°tan21°＝tan(45°－21°)＝tan24°.2．已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1322C.322D.318解析：选C.tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝25－141＋25×14＝322.3．tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)等于( ) A.13B ．1C. 3D. 6解析：选 B.原式＝tan10°tan20°＋3(1－tan10°tan20°)·tan(10°＋20°)＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.4.sin15°－cos15°sin15°＋cos15°＝______. 解析：sin15°－cos15°sin15°＋cos15°＝tan15°－1tan15°＋1＝ta n15°－tan45°1＋tan15°tan45°＝tan(15°－45°)＝tan(－30°)＝－33. 答案：－33一、选择题1．已知sin α＝12，α是第二象限的角，且 tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )A ．－ 3B. 3C ．－33D.33 解析：选C.∵sin α＝12，α为第二象限的角，∴cos α＝－32，∴tan α＝－33. ∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－3－⎝⎛⎭⎪⎫－331＋－3×⎝⎛⎭⎪⎫－33＝－2332＝－33.2．若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝( )A.3mB.3(1－m)C.3(m－1)D.3(m＋1)解析：选B.tan(28°＋32°)＝tan60°＝tan28°＋tan32°1－tan28°tan32°＝tan28°＋tan32°1－m＝3，∴tan28°＋tan32°＝3(1－m)．3.tan105°－31＋3·tan105°的值为( )A．－1 B．1C．－ 3 D.33解析：选B.原式＝tan105°－tan60°1＋tan60°tan105°＝tan(105°－60°)＝tan45°＝1.4．锐角△ABC中，tan A·tan B的值( )A．不小于1 B．小于1C．等于1 D．大于1解析：选D.由于△ABC为锐角三角形，∴tan A、tan B、tan C均为正数．∴tan C＞0，∴tan[180°－(A＋B)]＞0，∴tan(A＋B)＜0，即tan A＋tan B1－tan A tan B＜0，而tan A＞0，tan B＞0，∴1－tan A tan B＜0，即tan A tan B＞1.5．已知α＋β＝34π，则(1－tanα)(1－tanβ)＝( )A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选A.－1＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ.∴tanα＋tanβ＝－1＋tanα·tanβ.∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.6．如图，由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ等于( )A.π4B.π2C.3π4D．π解析：选B.易知tan α＝13，tan β＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，由题意α＋β＝π4，∴α＋β＋γ＝π2. 二、填空题7．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________.解析：由题意得2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π，∴sin2α＞0，∴sin2α＝1－cos 22α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4·tan2α＝1－431－－43＝－1373＝－17.答案：－178．(2011年济宁高一检测)若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________. 解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan α·tan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan α·tan β－1⇒tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－1.即tan(α＋β)＝－1∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z .答案：k π－π4，k ∈Z9．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，那么sin α＋βsin π2＋α＋β＝________.解析：由已知得，tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，原式＝sin α＋βcos α＋β＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝34.答案：34三、解答题10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；(2)tan(α＋β)． 解：(1)tan(α＋β－π4)＝tan[⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3]＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2·22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－π4)＋π4]＝tan α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·ta n π4＝－2＋11－－2×1＝22－3.11．证明：sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明：左边＝sin 2α＋β－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋α＋β－2cos α＋βsin αsin α＝sin α＋βcos α－cos α＋βsin αsin α＝sin α＋β－αsin α＝sin βsin α＝右边，∴命题成立．12．是否存在锐角α和β，使得下列两式(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立．解：假设存在符合题意的锐角α和β，由(1)知：α2＋β＝π3，∴tan(α2＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3.由(2)知tan α2tan β＝2－3，∴tan α2＋tan β＝3－3，∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根，得x 1＝1，x 2＝2－ 3. ∵0＜α＜π2，0＜tan α2＜1，∴tan α2≠1，∴tan α2＝2－3，tan β＝1. 又∵0＜β＜π2，∴β＝π4代入(1)得α＝π6，∴存在锐角α＝π6，β＝π4，使(1)(2)同时成立．。
数学人教B必修4优化训练：2弧度制和弧度制与角度制的换算 含解析
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列命题中，是假命题的为（ ）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.答案：D2.把-300°化为弧度是（ ） A.34π-B.35π-C.47π-D.67π- 解析：-300°=-300×35180ππ-=. 答案：B3.把38π-化成度是（ ） A.-960° B.-480° C.-120° D.-60° 解析：3838-=-π×180°=-480°. 答案：B4.将-1 485°表示成2kπ+α，k ∈Z 的形式（0≤α＜2π）为___________________.解：∵-1 485°=-5×360°+315°,又315°=315×47180ππ=， ∴-1 485°=-10π+47π. 答案：-10π+47π 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知α=9 rad ，β=10 rad ，下面关于α和β的说法中正确的是（ ）A.都是第一象限角B.都是第二象限角C.分别是第二象限和第三象限角D.分别是第三象限和第四象限角解析一：由1 rad≈57°18′，故57°＜1 rad ＜58°.所以513°＜9 rad ＜522°，即360°+153°＜9 rad ＜360°+162°，因此9 rad 是第二象限角.同理,570°＜10 rad ＜580°，360°+210°＜10 rad ＜360°+220°.因此10 rad 是第三象限角.解析二：π≈3.14，2π=1.57，2π×5＜9＜3π，即9∈（2π+2π，2π+π），故α为第二象限角.同理,3π＜10＜3π+2π，β为第三象限角. 答案：C2.在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为3πcm ，它所对的圆心角为（ ）A.6π B.3π C.2π D.32π 解析：设圆心角为θ，则θ=623ππ=. 答案：A3.终边与坐标轴重合的角α的集合是（ ）A.{α|α=2kπ，k ∈Z }B.{α|α=kπ，k ∈Z }C.{α|α=kπ+2π，k ∈Z } D.{α|α=2πk ，k ∈Z } 解析：终边与x 轴正半轴重合的角的集合为A={α|α=2kπ，k ∈Z }，终边与x 轴负半轴重合的角的集合为B={α|α=2kπ+π，k ∈Z }，故终边与x 轴重合的角的集合是C=A ∪B={α|α=kπ，k ∈Z }.同理可得，终边与y 轴重合的角的集合D={α|α=kπ+2π，k ∈Z }. 故终边与坐标轴重合的角的集合是C ∪D={α|α=2πk ，k ∈Z }. 答案：D4.集合A={α|α=2kπ+π，k ∈Z }，B={α|α=（4k±1）π，k ∈Z }，则集合A 与B 的关系是（ ）A.A=BB.A ⊇BC.A ⊆BD.A≠B解析：设α∈A ，则α=2kπ+π，k ∈Z .若k 为偶数，即k=2n ，n ∈Z ，α=4nπ+π；若k 为奇数，即k=2n-1，n ∈Z ，α=4nπ-π.故α∈B.所以A ⊆B.设α∈B ，则α=（4k+1）π或α=（4k-1）π，k ∈Z .若α=（4k+1）π，则α=2（2k ）π+π； 若α=（4k-1）π，则α=2（2k-1）π+π.故α∈A.所以B ⊆A.故A=B.答案：A5.一时钟分针长3 cm ，经过20 min ，分针外端点转过的弧长为___________________. 解析：分针转过的圆心角为α=6020·2π=32π，所以分针转过的弧长为l=α·r=32π·3=2π（cm ）. 答案：2π cm6.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.（1）当大轮转一周时小轮转动的角是多少度？是多少弧度?（2）如果大轮的转速为180 r/min ，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每秒转过的弧长是多少？解：（1）当大轮转一周时，小轮转2048=2.4周，即小轮转2.4×360°=864°，合524πrad. （2）大轮转速为180 r/min ，则小轮转速为每分180×512=432 r ，每秒转角为432×572602ππ=. 故小轮周上一点每秒转过的弧长为572π×10.5=151.2π cm. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列各角中与127π终边相同的角为（ ）A.435°B.465°C.225°D.-435° 解析：127π=7×15°=105°. 435°=360°+75°，465°=360°+105°，225°=360°-135°，-435°=-360°+（-75°）. 答案：B 2.一条弦的长度等于半径r ，则这条弦所对的圆心角及劣弧长为（ ）A.1，rB.3π,3πr C.2π，2πr D.6π，6πr 解析：弦AB=r ，圆心为O ，△AOB 为正三角形，∠AOB=60°=3π，故劣弧长为3πr. 答案：B3.已知2kπ+32π＜α＜2kπ+65π（k ∈Z ），则2α为（ ） A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角C.第二或第三象限角D.第三或第四象限角解析：由2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，得kπ+3π＜2α＜kπ+125π（k ∈Z ）.当k 为偶数时，设k=2n （n ∈Z ），2nπ+3π＜2α＜2nπ+125π，2α为第一象限角； 当k 为奇数时，设k=2n+1（n ∈Z ），2nπ+34π＜2α＜2nπ+π+125π，2α为第三象限角. 答案：B4.已知角α的终边经过点P （-1，-1），则角α为（ ）A.α=kπ+45π（k ∈Z ） B.α=2kπ+43π（k ∈Z ） C.α=kπ+4π(k ∈Z ） D.α=2kπ-43π（k ∈Z ） 解析：由终边过点P （-1，-1），知α为第三象限角，在（-2π，0）上，α=43π-.故由终边相同的角，得α=2kπ43π-（k ∈Z ）. 答案：D 5.设两个集合M=｛x|x=2πk +4π，k ∈Z ｝，N=｛x|x=kπ-4π,k ∈Z ｝,则（ ） A.M=N B.M N C.M N D.M∩N =∅ 解析：集合M 、N 分别如图（1）和图（2）所示.由图形可知M N.答案：B 6.sin 3π·tan 3π+tan 6π·cos 6π-tan 4π·cos 2π=________________. 解析：原式=23×3+33×23-1×0=2123+=2. 答案：27.角α、β的终边关于x+y=0对称，且α=3π-，则β=______________. 解析：终边与α相同的角的集合是{x|x=2kπ-3π,k ∈Z }，而关于x+y=0与α对称的角为6π-,∴β={x|x=2kπ6π-，k ∈Z }. 答案：{x|x=2kπ6π-，k ∈Z } 8.已知角α的终边与3π的终边相同，在[0，2π]内终边与3α角的终边相同的角为___________. 解析：因为α角的终边与3π的终边相同，所以α=2kπ+3π（k ∈Z ），所以3α=332ππ+k （k ∈Z ）.又0≤3α＜2π，所以0≤32πk +3π＜2π（k ∈Z ）.当k=0，1，2时，有3α=9π,97π,913π时，满足条件，所以9π,97π,913π为所求. 答案:9π,97π,913π 9.(2006山东淄博统考)已知扇形OAB 的圆心角为120°，半径长为6，则的长为_____________，弓形AOB 的面积为_____________.解析：因为α=120°=32πrad ，r=6, 所以l==32π×6=4π. 又因为S 扇形OAB =2121=lr ×4π×6=12π, S △AOB =221r ·sin 32π=39236212=⨯⨯, 所以，S 弓形OAB =S 扇形OAB -S △AOB =12π-39.答案:4π 12π-3910.用弧度制表示，并分别写出:（1）终边在x 轴上的角的集合;（2）终边在y 轴上的角的集合.解：（1）终边在x 轴上的角的集合为{α|α=2kπ，k ∈Z }∪{α|α=2kπ+π，k ∈Z }={α|α=kπ，k ∈Z }.（2）终边在y 轴上的角的集合为{α|α=2kπ+2π，k ∈Z }∪{α|α=2kπ+23π，k ∈Z }={α|α=kπ+2π，k ∈Z }. 11.已知α、β满足3π≤α+β≤34π，32π-≤α-β≤3π-，求2α-β的范围. 解：由2α-β=21（α+β）+23（α-β），而6π≤21（α+β）≤32π，-π≤23（α-β）≤2π-，以上两式相加即得65π-≤2α-β≤6π.。
2024-2025学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性教案新人教A版必修第一册
主备人
备课成员
课程基本信息
1. 课程名称：奇偶性教学
2. 教学年级和班级：高中一年级数学班
3. 授课时间：2024年11月15日
4. 教学时数：1课时（45分钟）
【教学目标】
1. 知识目标：理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
- 偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。
- 非奇非偶函数：不满足奇函数和偶函数定义的函数。
4. 奇偶性的性质
- 奇函数的性质：奇函数的图像关于原点对称。
- 偶函数的性质：偶函数的图像关于y轴对称。
- 奇偶函数在定义域内的对称性。
5. 判断函数奇偶性的方法
- 直接法：根据奇偶函数的定义，直接判断函数是否满足f(-x) = -f(x)或f(-x) = f(x)。
- 图象法：通过观察函数图像的对称性来判断函数的奇偶性。
- 代数法：通过对函数进行代数变换，利用已知的奇偶函数的性质来判断。
6. 奇偶性的应用
- 利用奇偶性简化计算：在对称区间上，奇函数的积分为零，偶函数在对称轴两侧的积分相等。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的奇偶性内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的奇偶性内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
知识点梳理
1. 函数的基本概念
- 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将每个输入值（自变量）映射到唯一的输出值（因变量）。
新人教b版高中数学必修43.3《三角函数的积化和差与和
【思路点拨】
解答本题利用和差化积公式，
对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件 求解．
α＋ β α－ β 1 【解】 ∵ cosα－ cosβ＝ ， ∴－2sin sin 2 2 2 1 ＝ ① 2 α＋ β α－ β 1 1 sinα－ sinβ＝－ ，∴2cos sin ＝－ ② 3 2 2 3 α－ β ∵ sin ≠ 0， 2 α＋ β 3 ∴－tan ＝－ . 2 2
2．和差化积公式
α＋β α－β 2sin cos sinα＋sinβ＝___________________ ； 2 2 α＋β α－β 2cos sin sinα－sinβ＝_____________________ ； 2 2 α＋β α－β 2cos cos 2 2 cosα＋cosβ＝____________________ ； α＋β α－β －2sin sin cosα－cosβ＝_____________________. 2 2
α＋β α＋β 2sin · cos α＋β 3 2 2 即 tan ＝ ，∴sin(α＋β)＝ 2 2 2α＋β 2α＋β sin ＋cos 2 2 α＋β 3 2tan 2× 2 2 12 ＝ ＝ ＝ . 9 13 2α＋β 1＋ 1＋tan 4 2
【点评】
对于给角求值问题，要分析式子的特
点，是否具备同名的和差形式或者同名、异名正、
【点评】 证明三角恒等式，一般是从左证右或 从右证左或是两边分头化简得同一结果．
变式训练 2 2sinx . cosx＋cos2x
3x x 证 明 ： tan － tan ＝ 2 2
3x x sin sin 2 2 3x x 证明：法一：tan －tan ＝ － x 2 2 3x cos cos 2 2 3x x 3x x sin cos －cos sin 2 2 2 2 ＝ 3x x cos cos 2 2
高中数学人教B版必修四3.2.1《倍角公式》ppt课件
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
倍角公式与三角函数性质的综合应用
这类问题是求函数的值域、单调区间、周期、对 称轴、对称中心等．求解时先将式子化简为y＝ Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式．
例3 已知函数 f(x)＝－4cos2x＋4 3sinxcosx＋5，x ∈R. (1)求 f(x)的最大值及取最大值时 x 的集合； (2)求 f(x)的单调递增区间．
－π6＋kπ，π3＋kπ(k∈Z)．
【点评】 我们在研究三角函数的性质时，一般 需要将函数表达式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k或 f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋k的形式，利用f(x)＝sinx或 f(x)＝tanx的性质进行研究，在变换过程中倍角 公式和两角和与差的三角公式很重要．
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变式训练 3 已知函数 f(x)＝1－2sin2(x＋π8)＋2sin(x＋ π8)cos(x＋π8)． 求：(1)函数 f(x)的最小正周期； (2)函数 f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝cos(2x＋π4)＋sin(2x＋π4) ＝ 2sin(2x＋π4＋π4)＝ 2sin(2x＋π2) ＝ 2cos2x， ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
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变式训练 2 已知 sinα＋cosα＝13，且 0＜α＜π，求 sin2α，cos2α，tan2α 的值．
解：∵sinα＋cosα＝13，
∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝19，
∴sin2α＝－89 且 sinαcosα＝－49＜0， ∵0＜α＜π，sinα＞0，∴cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
高中数学 第3章3.1.2知能优化训练 新人教B版必修4
1．若M ＝cos17°sin13°＋sin17°cos13°，则M 的值为( ) A.12 B.22 C.32D. 以上都不对解析：选A.原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.2．sin65°cos35°－cos65°sin35°等于( ) A.12 B.32C ．－32D ．－12解析：选A.原式＝sin(65°－35°)＝sin30°＝12.3．若M ＝sin12°cos57°－cos12°sin57°，N ＝cos10°cos55°＋sin10°sin55°，则以下判断正确的是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＋N ＝0D ．MN ＝12解析：选C.M ＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－sin45°＝－22， N ＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝cos45°＝22， ∴M ＋N ＝0.4．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β＝________.解析：原式＝2sin αcos β－2sin αcos β＝0. 答案：0一、选择题1．(2010年高考福建卷)计算sin43°·cos13°－cos43°·sin13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：选A.原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2．(2011年金华高一检测)已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →＝－1，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.13B.2333解析：选B.AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α ＝1－3(sin α＋cos α)＝－1， ∴3(sin α＋cos α)＝2，∴32sin(α＋π4)＝2，∴sin(α＋π4)＝23.3．在△ABC 中，若sin A cos B ＝1－cos A sin B ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：选B.∵sin A cos B ＝1－cos A sin B ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1， 即sin(A ＋B )＝1.∵A ，B 为三角形的内角， ∴A ＋B ＝90°， ∴∠C ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝( )A ．－55B.55 C ．－255D.255解析：选D.∵cos B ＝1010∴sin B ＝31010， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22×1010＋22×31010＝255. 5．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．ab ＜1D ．ab ＞2解析：选B.a ＝2sin(α＋π4)，b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4. f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数．又0＜α＜β＜π4，∴f (α)＜f (β)，即a ＜b .6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A.π6B.π336解析：选C.∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B ) ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )．又A ＋B ＝π－C ，∴整理得sin(C ＋π6)＝12，∵0＜C ＜π，∴π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.二、填空题7．函数f (x )＝3sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最大值是________． 解析：f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴f (x )的最大值为2. 答案：28．sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－3cos(120°－x )＝________.解析：原式＝sin x cos60°＋cos x sin60°＋2sin x cos60°－2cos x sin60°－3(cos120°cos x ＋sin120°sin x )＝32sin x －32cos x ＋32cos x －32sin x ＝0. 答案：0 9.cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝________. 解析：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°＝＋3sin20°－2cos40°＝＋sin20°－2cos40°＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2. 答案：2 三、解答题10．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4＜α＜34π，π2＜π4＋α＜π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45.∵0＜β＜π4，34π＜34π＋β＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β ＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.11．设A ，B 为锐角三角形ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A,2sin A )，b ＝(3cos B,3sin B )，若a ，b 的夹角为60°，求A －B 的值．解：∵|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝2cos A ·3cos B ＋2sin A ·3sin B ＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )＝6cos(A －B ) 而a 与b 的夹角为60°，则cos60°＝12＝a ·b|a |·|b |＝A －B2×3＝cos(A －B )即cos(A －B )＝12.又∵0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，∴－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3.12．设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，且y ＝f (x )的图象经过点(π4，2)．(1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合． 解：(1)f (x )＝a·b ＝m (1＋sin2x )＋cos2x由于f (x )图象经过点(π4，2)．∴f (π4)＝2，即m (1＋sin π2)＋cos π2＝2，∴m ＝1.(2)由(1)得f (x )＝1＋sin2x ＋cos2x＝1＋2sin(2x ＋π4)．故当sin(2x ＋π4)＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝1－ 2.相应的2x ＋π4＝32π＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝k π＋58π，k ∈Z ，∴使函数f (x )取得最小值的x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．。
人教A版高中数学必修一优化方案知能优化训练新(2)(1)
【优化方案】数学人教A版必修1 第3章3.2.1知能优化训练1．某工厂在2004年年底制订生产计划，要使2014年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为( )A．5110－1 B．4110－1C．5111－1 D．4111－1解析：选B.由(1＋x)10＝4可得x＝4110－1.2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．无法判断解析：选A.∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1100)，∴b＝a×99100，∴b＜a.3.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点解析：选D.当t＝0时，S＝0，甲、乙同时出发；甲跑完全程S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点．4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是________．解析：该函数关系为y＝2x，x∈N*.答案：y＝2x(x∈N*)1．某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到( )A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A.由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.2．马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( )A．1535.5元B．1440元C．1620元D．1562.5元解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1－0.2)2＝1000，解得a＝1562.5元，故选D.3．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝0.5，且为递增函数．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m 3，按每立方米x 元收取水费；每月用水超过10 m 3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3解析：选A.设用水量为a m 3，则有10x ＋2x (a －10)＝16x ，解得a ＝13.5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：选C.将x ＝1,2,3，y ＝0.2,0.4,0.76分别代入验算． 6．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.711B.712C.127－1D.117－1解析：选D.设1月份产量为a ，则12月份产量为7a .设月平均增长率为x ，则7a ＝a (1＋x )11，∴x ＝117－1. 7．某汽车油箱中存油22 kg ，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y (kg)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为__________________．解析：流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x .答案：y ＝22－11100x8．某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 之间满足关系y ＝a ·0.5x＋b .现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5a ＋b ＝10.52a ＋b ＝1.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2. ∴y ＝－2·0.5x＋2.当x ＝3时，y ＝1.75. 答案：1.759．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大值．解析：D ＝a A －A ＝－(A －a2)2＋a 24，当A ＝a 2，即A ＝a 24时，D 最大．答案：a 2410．将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．解：设每件售价提高x 元，利润为y 元，则y ＝(2＋x )(200－20x )＝－20(x －4)2＋720.故当x ＝4，即定价为14元时，每天可获利最多为720元．11．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s.12．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润．生产成本(a 元)与饼干重量成正比，包装成本(b 元)与饼干重量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试写出该种饼干1000克装的合理售价．解：设饼干的重量为x 克，则其售价y (元)与x (克)之间的函数关系式为y ＝(ax ＋b x )(1＋0.2)．由已知有1.6＝(100a ＋100b )(1＋0.2)， 即43＝100a ＋10b . 又3＝(200a ＋200b )(1＋0.2)， 即2.5≈200a ＋14.14b . ∴0.167≈5.86b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ≈0.0285a ≈1.05×10－2. ∴y ＝(1.05×10－2x ＋0.0285x )×1.2. 当x ＝1000时，y ≈13.7(元)．∴估计这种饼干1000克装的售价为13.7元．。
2022高中数学 第3章3.1.2知能优化训练 苏教版必修4
1．计算in43°co13°－co43°in13°的结果等于__________．解析：in43°co13°－co43°in13°＝in43°－13°＝in30°＝错误!答案：错误!的值为__________．解析：原式＝错误!＝错误!＝2in30°＝1答案：13．函数＝in2＋错误!＋in2－错误!的最小值为________．解析：＝in2＋错误!＋in2－错误!＝in2co错误!＋co2in错误!＋in2co错误!－co2in 错误!＝错误!in2，∴的最小值为－错误!答案：－错误!4．已知α为锐角，且in错误!＝错误!，则inα＝__________解析：由α为锐角，且in错误!＝错误!，可求得co错误!＝错误!又inα＝in错误!＝in错误!co错误!＋co错误!in错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!答案：错误!一、填空题1．已知inα＝错误!，inα－β＝－错误!，α，β均为锐角，则β等于__________．解析：由条件知coα＝错误!，coα－β＝错误!错误!，所以inβ＝in[α－α－β]＝inαcoα－β－coαinα－β＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!，又β为锐角，所以β＝错误!答案：错误!2．co错误!inα＋co错误!coα＝__________解析：由于co错误!＝in错误!，所以原式＝in错误!coα＋co错误!inα＝in错误!＝in错误!＝错误!答案：错误!3．在△ABC中，2co B in A＝in C，则△ABC的形状一定是__________．解析：在△ABC中，C＝π－A＋B，∴2co B in A＝in[π－A＋B]＝in A＋B＝in A co B＋co A in B∴－in A co B＋co A in B＝0即in B－A＝0∴A＝B答案：等腰三角形in－co＝4－m，则实数m的取值范围是________．解析：∵错误!in－co＝4－m，∴错误!in－错误!co＝错误!，∴inco错误!－coin错误!＝错误!，∴in错误!＝错误!∵－1≤in错误!≤1，∴－1≤错误!≤1，∴2≤m≤6答案：2≤m≤65．已知8inα＋5coβ＝6，inα＋β＝错误!，则8coα＋5inβ＝__________解析：设8coα＋5inβ＝，①又8inα＋5coβ＝6，②所以①2＋②2得64＋80inα＋β＋25＝2＋36又inα＋β＝错误!，所以2＝100，所以＝±10答案：±106．等腰三角形一个底角的正弦和余弦的和是错误!，那么这个三角形的顶角等于__________．解析：设底角为θ，顶角为α，则由inθ＋coθ＝错误!，得错误!inθ＋45°＝错误!，所以θ＝15°或θ＝75°于是α＝150°或α＝30°答案：30°或150°7．函数＝in错误!＋co错误!在[－2π，2π]内的单调增区间是__________．解析：因为＝in错误!＋co错误!＝错误!in错误!，所以当2π－错误!≤错误!＋错误!≤2π＋错误!，即4π－错误!≤≤4π＋错误!∈Z时，函数是单调增函数．而只有当＝0时，错误![－2π，2π]，故所求函数在[－2π，2π]内的单调增区间是错误!答案：错误!8．已知coα－错误!＋inα＝错误!则inα＋错误!＝__________解析：因为co错误!＋inα＝错误!，所以错误!inα＋错误!coα＝错误!，所以错误!in 错误!＝错误!，所以in错误!＝错误!故in错误!＝in错误!＝－in错误!＝－错误!答案：－错误!二、解答题9．已知：错误!＜α＜错误!，且co错误!＝错误!，求coα，inα的值．解：因为错误!＜α＜错误!，所以0＜α－错误!＜错误!因为co错误!＝错误!，所以in错误!＝错误!＝错误!所以inα＝in错误!＝in错误!co错误!＋co错误!in错误!＝错误!，coα＝co错误!＝co错误!co错误!－in错误!in错误!＝错误!10．求[2in50°＋in10°1＋错误!tan10°]·错误!的值．解：原式＝错误!·错误!in80°＝错误!·错误!co10°＝错误!错误!＝2错误![in50°co10°＋in10°co60°－10°]＝2错误!in50°co10°＋in10°co50°＝2错误!in50°＋10°＝2错误!in60°＝2错误!×错误!＝错误!11．求证：tan错误!－tan错误!＝错误!证明：右边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!＝tan错误!－tan错误!＝左边．∴命题成立．。
2022高中数学 第2章2.1.1知能优化训练 新人教B版必修4
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选D由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，所以不是向量．故选D 2．下列关于零向量的说法不正确的是
A．零向量是没有方向的向量
B．零向量的方向是任意的
C．零向量与任一向量共线
D．零向量只能与零向量相等
解析：选A零向量的方向是任意的，是有方向的．
3．如图所示，四边形ABCD中，错误!错误!错误!
，然后改变方向向南飞行100 m，则飞机两次位移的和是________．解析：如图，令起点为A，向西飞行100 m到达B，由B向南飞行100 m到达C，则飞机
两次飞行后的位移向量为错误!，方向为西南．
答案：西南100错误! m
三、解答题
10．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°
航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
1试作出向量错误!错误!错误!错误!
＝{A，B，C，D}，求集合T＝{错误!，且错误!，且错误!≠0}中的元素为非零向量错误!，，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!
由于错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，根据集合元素的互异性，得集合T＝{错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!}．。
高中数学 第3章312知能优化训练 必修4 试题(共5页)
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果(jiē guǒ)等于__________． 解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.答案：122.sin α＋30°－sin α－30°cos α的值是__________．解析：原式＝sin αcos30°＋cos αsin30°－sin αcos30°＋cos αsin30°cos α＝2cos αsin30°cos α＝2sin30°＝1.答案：13．函数y ＝sin(2x ＋π4)＋sin(2x －π4)的最小值为________．解析：y ＝sin(2x ＋π4)＋sin(2x －π4)＝sin2x cos π4＋cos2x sin π4＋sin2x cos π4－cos2x sin π4＝2sin2x ，∴y 的最小值为－ 2.答案：－ 24．α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，那么sin α＝__________. 解析：由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，可求得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223.又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝13×32＋223×12＝3＋226. 答案：3＋226一、填空题 1．sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角(ruìjiǎo)，那么β等于__________．解析：由条件知cos α＝255，cos(α－β)＝31010⎝ ⎛⎭⎪⎫因为－π2＜α－β＜0，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22，又β为锐角，所以β＝π4. 答案：π42．cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－αsin α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos α＝__________.解析：由于cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αsin α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋α＝sin π6＝12.答案：123．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，那么△ABC 的形状一定是__________． 解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B . ∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0. 即sin(B －A )＝0.∴A ＝B . 答案：等腰三角形3sin x －cos x ＝4－m ，那么实数m 的取值范围是________． 解析(jiě xī)：∵3sin x －cos x ＝4－m ， ∴32sin x －12cos x ＝4－m 2， ∴sin x cos π6－cos x sin π6＝4－m 2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝4－m 2.∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≤1，∴－1≤4－m2≤1，∴2≤m ≤6.答案：2≤m ≤65．8sin α＋5cos β＝6，sin(α＋β)＝4780，那么8cos α＋5sin β＝__________.解析：设8cos α＋5sin β＝x ，① 又8sin α＋5cos β＝6，②所以①2＋②2得64＋80sin(α＋β)＋25＝x 2＋36. 又sin(α＋β)＝4780，所以x 2＝100，所以x ＝±10.答案：±106．等腰三角形一个底角的正弦和余弦的和是62，那么这个三角形的顶角等于__________．解析：设底角为θ，顶角为α，那么由sin θ＋cos θ＝62，得2sin(θ＋45°)＝62，所以θ＝15°或者θ＝75°.于是α＝150°或者α＝30°. 答案：30°或者150°7．函数y ＝sin x 2＋cos x2在[－2π，2π]内的单调增区间是__________．解析(jiě xī)：因为y ＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，所以当2k π－π2≤x 2＋π4≤2k π＋'π2，即4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2(k ∈Z )时，函数是单调增函数．而只有当k ＝0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2[－2π，2π]，故所求函数在[－2π，2π]内的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π28．cos(α－π6)＋sin α＝435.那么sin(α＋7π6)＝__________.解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，所以32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－45二、解答题9．：π6＜α＜π2，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517，求cos α，sin α的值． 解：因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1517，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝817.所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝83＋1534，cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝153－834. 10．求[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°的值． 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin50°＋sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°·2sin80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2cos10°＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin50°cos10°＋2sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°＋32sin10°＝22[sin50°cos10°＋sin10°cos(60°－10°)] ＝22(sin50°cos10°＋sin10°cos50°) ＝22sin(50°＋10°)＝22sin60° ＝22×32＝ 6. 11．求证(qiúzhèng)：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos2x.证明：右边＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2sin 3x 2cos x 2－2cos 3x 2sinx 2cos 3x 2cos x 2＋sin 3x 2sin x 2＋cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sinx 2＝2sin 3x 2cos x 2－2cos 3x 2sinx 22cos 3x 2cosx 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx 2＝tan 3x 2－tan x2＝左边(zuǒ bian)．∴命题成立．内容总结。
优化方案2020高中数学第3章§3.4知能优化训练新人教B版必修3
1．(2020年高考浙江卷)有5本不相同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )1 2 A.5B.5C. 345D.5解析：选B.第一步先排语文书有 2种排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从 4个空中选两个进行排列，有 12种排法；一类是物理书不放在语文书之间有 2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另 一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有 2×(12＋2×2×3)＝48 种排法，而5本书全排列共有 48 2120(种)，因此同一科目的书都不相邻的概率是 ＝.120 52．在间隔时间 (＞2)内的任何刹时，两个信号等可能地进入收音机．若这两个信号的间 TT隔时间小于2，则收音机将碰到搅乱，则收音机会到搅乱的概率为 (单位：秒)() 4T －4 T 2A. T 2B.4T －44T ＋4 T 2C. T 2D.4T ＋4解：选A.设两个信号进入收音机的刹时分别为 x 与y ，x 与y 的变化范围为0≤x ≤T,0≤y ≤T ，则样本空间W 是边长为T 的正方形，且当|x －y |≤2时，收音机会到搅乱，即当样本点 (x ，y)落在两条直线 y ＝ x ＋2， y ＝ x －2之间，且在正方形 之内的地域 (如图中阴影部分)中时，W A收音机才碰到搅乱，于是所求概率为的面积 2－ －2 2 4－4A T T T P ＝W 的面积＝T 2＝T 2.3．孟德尔豌豆试验中，用纯黄色圆粒和纯绿色皱粒作杂交， 则子二代结果的性状黄色圆粒，黄色皱粒，绿色圆粒，绿色皱粒的比率约为 ( )A ．1∶1∶1∶1B ．1∶2∶3∶2C ．9∶3∶3∶1D ．4∶3∶3∶6解析：选C.纯黄色圆粒XXYY ，纯绿色皱粒 xxyy ，则豌豆杂交试验的子二代结果：XY Xy xY xyXY XXYY XXYy XxYY XxYy Xy XXYy XXyy XxYy Xxyy xY XxYY XxYy xxYY xxYy xy XxYy Xxyy xxYy xxyy4．检查运动员服用愉悦剂的时候，应用Warner随机化方法检查300名运动员，获取80个6“是”的回答，由此，我们估计这群人中大体有 ________的人服用过愉悦剂． (填百分数) 答案：3.33%5．一只转盘，均匀地标有 1～12个数，转动指针，指针指向偶数的概率是 ________． 解析：12个数排列均匀，每次转动停止时指的数是等可能的，又 12个数中有 6个偶数，故1概率为12＝2.答案：1 2一、选择题1．先后扔掷两颗骰子，设出现的点数之和是 12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( ) A ．P 1＝P 2＜P 3 B ．P 1＜P 2＜P 3 C ．P 1＜P 2＝P 3 D ．P 3＝P 2＜P 1 解析：选B.先后扔掷两颗骰子， 共有36种结果，点数之和为 12的有(6,6) ，点数之和为11 1 1 1 的有(5,6)，(6,5)，点数之和为 10的有(5,5) ，(4,6) ，(6,4) ，因此P 1＝36，P 2＝18，P 3＝12，因此P 1＜P 2＜P 3.2．某产品的设计长度为 20cm ，规定误差不高出cm 为合格品．今对一批产品进行测量，测量结果以下表：长度(cm) 以下 ～以上件数5687则这批产品的不合格率为 ()5 7A.80B.80173C.D.20205解析：选D.记产品为cm 以下为事件A ，P (A )＝80；记产品为cm 以上为事件B ，75P (B )＝80，则事件A 与B 是互斥的，产品不合格即为事件 A ∪B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝80＋7＝3，应选D.80 203．有长度分别为 1cm 、2cm 、3cm 、4cm 、5cm 、6cm 的六条线段，任取三条线段，能构成三角形的概率是()1 1A.10B.51 7 C.4D.20解析：选D.一一列出可知，所有的基本事件有20个，满足条件的基本事件有7个，故所求7 概率为20，注意构成三角形的条件．4．向边长为a 的正三角形内任投一点，点落在三角形内切圆内的概率是()π 3 A.12 B.4π3 3 C.9π D.6π答案：C5．现有五个球分别记为A、C、J、K、S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S在盒中的概率是()13A.10B.539C. D.1010答案：Da，再由乙猜甲刚刚想的数字，6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为把乙猜的数字记为，且、∈{1,2，，6}，若|a－|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现b ab b任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为()12A. B.9974C.18D.9解析：选D.当a＝1时，b＝1,2；当a＝2时，b＝1,2,3；当a＝3时，b＝2,3,4；当a＝416时，b＝3,4,5；当a＝5时，b＝4,5,6；当a＝6时，b＝5,6；即有16种满足题意，∴P＝36 49.二、填空题7．口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为，摸出白球或黑球的概率为，那么口袋中共有白球、红球、黑球各________个．解析：黑球个数为100×(1－0.75)＝25(个)；红球个数100×(1－0.60)＝40(个)，白球个数100－25－40＝35(个)．答案：35,40,2588．若以连续掷两次骰子分别获取点数m、n作为点P的坐标，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率是________．解析：求出基本事件总数及事件A所包含的基本事件个数，利用等可能事件的概率公式来求．基本事件的总数是6×6＝36(个)，记事件A为点P落在圆内，则事件A所包含的基本2事件有8个，有36＝9.2答案：99．(2020年高考北京卷)从{1,2,3,4,5}中随机采用一个数为，从{1,2,3}中随机采用一个数为b，则b>a的概率为________．a解析：从{1,2,3,4,5}中随机采用一个数有5种选法，从{1,2,3}中随机采用一个数有3种选法，共有5×3＝15种选法．而满足b>a的选法有：当b＝3时，a有2种，当b＝2时，a31有1种，共有2＋1＝3种选法．由古典概型知b>a的概率P＝15＝5.1答案：5三、解答题10．种子公司在春耕前为了支持农业建设，采买了一批稻谷种子，进行种子萌芽试验，在统计的2000粒种子中有1962粒萌芽，他们要求种子的萌芽率在95%以上，你认为这批种子合格吗？解：合格．“种子萌芽”这个事件发生的频率为1962＝，约为0.98.由于试验的种子2000总数很大，因此我们可以用它近似地估计其发生的概率，因此“种子萌芽”这个事件发生的概率约为＝98%＞95%.11．小红家的晚报在下午5∶30～6∶30之间的任何一个时间随机地被送到，小红一家人在(1)下午6∶00～7∶00之间的任何一个时间随机地开始进晚餐．你认为晚报在晚餐开始从前被送到和在晚餐开始此后被送到哪一种可能性更大些？晚报在晚餐开始从前被送到的概率是多少？71解：(1)晚报在晚餐开始从前被送到的概率为8，它大于在晚餐开始此后被送到的概率8.详尽解析见(2)．(2)以下列图，试验的所有可能结果与图中地域d(右上方小正方形)内的所有点一一对应．晚报在晚餐开始从前送到等价于y＜x，该事件的结果对应图中的阴影部分(地域d)．试验为几何概型．右上方小正方形的面积设为1，则d的面积为77，于是所求事件的概率为.8812．已知会集＝{|(x2＋10＋24)＝0}，＝{|＝2－1,1≤≤2，n∈N*}，＝∪，P x x x Q yyn n MPQ在平面直角坐标系中，点A(x′，y′)的坐标x′∈M，y′∈M.求：正幸好第三象限的概率；点A不在y轴上的概率；正好落在地域x2＋y2≤10上的概率．解：由会集＝{|(2＋10x＋24)＝0}，P xxx可得P＝{－6，－4,0}．由Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}，可得Q＝{1,3}，M＝P∪Q＝{－6，－4,0,1,3}．由于点A(x′，y′)的坐标x′∈M，y′∈M，因此满足条件的A点有5×5＝25个．正幸好第三象限的点有(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，4故点A正幸好第三象限的概率P1＝25.(2)在y轴上的点有(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，故点A不在y轴上的概率4P2＝1－25＝5.正好落在地域x2＋y2≤10上的点A有(0,0)，(1,0)，(0,1)，(1,1)，(3,1)，(1,3)，(0,3)，(3,0)．228故点A正好落在地域x＋y≤10上的概率P3＝.。
人教版数学高一B版必修4优化练习2.4.1向量在几何中的应用
2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在边长为1的等边△ABC 中，若BC =a ，CA =b ，AB =c ，则a ·b +b ·c +c ·a 等于（ ）A.23B.23- C.3 D.0 解析：依题意，得a ·b +b ·c +c ·a =3|a |2·cos120°=-23.答案：B2.四边形ABCD 中，若AB =31CD ，则四边形ABCD 是（ ） A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 解析：由AB =31CD ⇒AB ∥CD 且AB≠CD ，故四边形为梯形，选B. 答案：B3.平面上不共线的三点A 、B 、C 使得AB +BC 所在的直线和AB -BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为_________________三角形. 解析：如图所示，作ABCD ，易知AB +BC =AC ，AB -BC =AB -AD =BD .依题意知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，∠B 为顶角.答案：等腰4.通过点A(3，2)且与直线l ：4x-3y+9=0平行的直线方程为________________. 解：因向量(4，-3)与直线l 垂直，所以向量n=(4，-3)与所求直线垂直.设P(x ，y)为所求直线上的一动点，则=(x-3，y-2)，点P 在所求直线上.当且仅当n·=0，即4(x-3)+(-3)(y-2)=0时，化简得4x-3y-6=0. 答案：4x-3y-6=010分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.在△ABC 中，有命题：①-=；②++=0；③若(+)·(-)=0，则△ABC 为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC 为锐角三角形.上述命题正确的是（ ）A.①②B.①④C.②③D.②③④ 解析：对于①，应有-AC =CB ，故①错;对于④，由AC ·＞0有|AC |||cosA ＞0，∴cosA ＞0.∴A 为锐角.但B 或C 是否为锐角，不能肯定，故④错.②③是正确的. 答案：C2.设e 是单位向量，AB =2e ，CD =-2e ，|AD |=2，则四边形ABCD 是（ ） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析：由AB =2e ，CD =-2e ，得AB CD.故为平行四边形.又|AD |=2，|AB |=2，∴四边形ABCD 为菱形. 答案：B3.直线3x+2y-6=0与向量n =(-2，3)的位置关系为（ ）A.平行B.相交C.垂直D.重合 解析：由题知n=(-2，3)是直线3x+2y-6=0的方向向量，所以选A. 答案：A4.过点A(3，-2)垂直于向量n =(5，-3)的直线方程是_______________. 解析：设此直线方程为5x-3y+c =0，因为直线过A(3，-2)， ∴5×3-3×(-2)+c =0.∴c =-21，即直线方程为5x-3y-21=0. 答案：5x-3y-21=05.如图2-4-1，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2-AC 2=DB 2-DC 2，求证：AD ⊥BC.图2-4-1证明：设=a ，=b ，=e ，=c ，=d ， 则a =e +c ，b =e +d ，∴a 2-b 2=(e +c )2-(e +d )2=c 2+2e ·c -2e ·d -d 2. 由已知a 2-b 2=c 2-d 2，∴c 2+2e ·c -2e ·d -d 2=c 2-d 2, ∴e ·(c -d )=0.∵=+=d -c ，∴·=e ·(d -c )=0.∴⊥，即AB ⊥BC.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△AOB 中，=(2cos α，2sin α)，=(5cos β，5sin β)，若·=-5，则S △AOB 等于( )A.3B.23 C.35 D.235 解析：||=2，||=5，21||||-=OB OA ，∴θ=120°. ∴S △AOB =21|OA |·|OB |sinθ=235.答案：D2.在平面上有A 、B 、C 三点，设m =AB +BC ，n =AB -BC ，若m 与n 的长度恰好相等，则有（ ）A.A 、B 、C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形 解析：如图所示，作出ABCD ，其中AB +BC =AC ，AB -BC =AB -AD =BD .由于|m|=|n|，因此|AC |=|BD |，即ABCD 的对角线AC 与BD 相等，故ABCD 为矩形.所以△ABC 为直角三角形，其中∠B=90°.答案：C3.和直线3x-4y+7=0平行的向量a 及垂直的向量b 分别是( )A.a =(3，4)，b =(3，-4)B.a =(-3，4)，b =(4，-3)C.a =(4，3)，b =(3，-4)D.a =(-4，3)，b =(3，4)解析：由课本例题结论可知与直线Ax+By+C=0垂直的向量为(A ，B)，平行的向量为(-B ，A).答案：C4.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 和平面内一点P ，且++PC =，则P 与△ABC 的位置关系是( )A.P 在△ABC 内部B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上解析：∵++PC =，∴+PC =+=，即PC =2.∴A ，C ，P 三点共线，即P 在边AC 上. 答案：D5.已知A(2，3)，B(3，4)，C(1，5)，则△ABC 的重心G 的坐标为( )A.(4，2)B.(2，4)C.(-4，2)D.(-2，4)解析：由三角形的重心坐标公式,得若G(x ，y)，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=,3543,3132y x 即G(2，4).答案：B6.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=21AB，则AC与BC 的位置关系是( )A.平行B.垂直C.共线D.不确定解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，∴BC=(-1，1)，AC=(1，1)，BC·AC=-1×1+1×1=0.∴BC⊥AC,即BC⊥AC.答案：B7.(2006高考福建卷，理11)已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°,设OC=m OA+n OB(m、n∈R)，则nm等于( )A.31B.3C.33D.3解析：∵|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，∴△ABC为直角三角形，其中AC=41AB=21.OC=OA+AC=OA+41AB=OA+41(OB-OA)=43OA=41OB,∴m=43,n=41,即nm=3.答案：B8.已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且21=PAOP，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是______________.解析：设D(x，y)，由定比分点公式x=1211321,2211621=+•+==+•+y，则P(2，1).又由中点坐标公式，可得B(4，2).答案：(4，2)9.在△ABC 中，A(-1，2)，B(3，1)，C(2，-3)，则AC 边上的高所在直线方程为____________. 解析：与AC 边平行的向量为：AC =(3，-5)，设P(x ，y)是所求直线上任意一点，BP =(x-3，y-1)，所以AC 边上的高所在的直线方程为AC ·(x-3，y-1)=0，即3x-5y-4=0.答案：3x-5y-4=010.以原点O 和A(4，2)为两顶点作等腰直角三角形OAB ，∠OBA=90°，求点B 的坐标和向量AB .解：设B(x ，y)，则OB =(x ，y)，AB =(x-4，y-2)，∵∠OBA=90°，即OB ⊥AB ，OB ·AB =0， ∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x 2+y 2-4x-2y=0. ① 设OA 的中点为C ，则C(2，1)，OC =(2，1)，CB =(x-2，y-1)， 在等腰直角△ABC 中，OC ⊥OB ，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y-5=0. ②联立①②解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-,1,33,1y x y x 或 故B 点的坐标为(1，3)或(3，-1)； 当B(1，3)时，AB =(-3，1); 当B(3，-1)时，AB =(-1，-3).11.如图2-4-2，已知△ABC 中，|BC |=23，|CA |=4，|AB |=32，MN 是以点A 为圆心，2为半径的圆的直径，求BM ·CN 的最大值、最小值，并指出取最大值、最小值时向量MN的方向.图2-4-2解：在△ABC 中， ∵385||||2222=•AC AB ，∴·=||||cosA=5.∴BM·=(-)·(-)=(AM-)·(-AM-)=-||2+(-)·AM+·=3+·AM.3·2=6.此时BM·取最大值9.(1)当与同向时，·AM=2(2)当CB与反向时，CB·AM=-6，此时·CN取最小值-3.。
(新课程)2020高中数学3.2知能优化训练苏教版必修4
（新课程）2020高中数学3.2知能优化训练21. （2020年高考福建卷改编）1 —2sin 22.5。
的结果等于解析：原式=cos45°=.答案：-22. 计算sin 105 ° cos75 ° 的值为____________ .解析:sin 105° cos75°= sin(180 ° —75° )cos75 ° = sin75 ° cos75° 1 sin30 ° =-.41答案：；4. 3 7 n3. 已知sin 9= —5, 3nV 9 ，贝U tan2 9 = .3 7 n 4解析：因为sin 9= —3nv 9< 二-，所以cos 9 =—匸,5 2 51^si n150 tan2 9 =sin2 9cos2 92sin 9 cos 922cos 9 —1 24 ~7答案:24 7~4.若tan =3 + 2 2，则1 —COS2 a sin2 an 1 + tan a解析：由斷（“ + 4）=匸册3+ 2 2, 得tan a1 —COS2asin2 a2sin 2a=tan a 2sin a cos a答案：-2一、填空题 1.已知函数f (x ) = (sin x — cos x )sin x , x € R,贝U f (x )的最小正周期是 __________________ . 上 2 1 — cos2x 1 x/2 n 1 f (x ) = sin x — sin x cos x = ----- Q --- — 2Sin2 x = —-^cos(2 x —-4) + ㊁，故函数的 解析:最小正周期 T = 2n 2n.答案: 2.已知 解析：••• e 小 1 — cos e + sin e 2'则 1 + cos e + sin e ---------------------- ' 2e 2 e e e 2 e e 2sin — + sin e 2sin — + 2sin —cos 一 tan — + tan — Be 八2 2 2 2 2 2 ta n = 3, ••原式=- 2 ' 2e 2 e e e e 2cos — + sin e 2cos — + 2sin —co^2 1 + tan tan e =tan — = 3. 答案：3 3.已知 4是第二象限的角，tan( n+ 2 a ) = — 3,贝U tan a = ________4 — _ 2tan a ,又 tan2 a = 2~3' 1 — tan a 1 tan a =— ~. 解析：由 tan( n+ 2 a )=— tan2 a 4 3解得tan a =—1或tan a = 2,又a 是第二象限的角，••• 答案：-I 4. (2020年高考浙江卷)函数f (x )= sin 2x — — — 2 2 • sin 2x 的最小正周期是 f (x ) = -Q^sin2 x —-Q^COS Q X — 2 . 21 — cos2x2解析:in2 x + 2丁 cos2x — 2= sinn 厂2x+ 7 — ,2.故最小正周期为 n. 答案：nsin a — cos a5荷，贝U sin2x 的值等于13② ecos 2W0二、解答题39.已知 nV a V n,化简--- +-2乂 1 + cos a —寸 1 — cos a \1+ COS a +/ 1 — COS aC0S2a5.若nsin a解析：原式可化为¥，贝y cos a + sin a 的值为2 . 2cos a — sin a = --- ，化简，可得 sin a + cos a = 2.解析：sin2 x = cos n——2x = cos=1 — 2sin 2 x —-4 4=1 —2X2119答案: 119169 7.若 n sin 6 1，则 cos 解析： cos n=sin —n cos2 — + a =2cos 2nn 答案: 5 13 _169'2nT+2a=sin12n• cos —3- + 2 a 3 37卜 a— 1 =—9.7&已知 ，那么解析:① cosee 的取值范围是6.已知sin2cos 2-2- >1ecos© <e 2cos~2 w —，3 n e•••2k n +〒 W2k n +5 n"4-(k€ Z )，3 n 5 n二 4k n+ —, 4k n +-2"(k € Z . 答案：4k n + 3n ，4k n +5 n -y (k€Z )1 + sin a1 — sin a28 75'：1 + cos a — , 1 — cos a + ■' 1 + COS a + ； 1 - COS a 1+ sin a1— sin a---------------------- + ------------------aal aa— 2 cos — + sin — '2 sin — — cos —f- a =-：2cos —.2 一••• 2sin a cos a + sincos x — sinxcos x — sin xn 4所以 tan — + x =— 3.n 7 4所以原式=sin2 x tan _ + x = 25X — 310 •已知sin22 a + sin2 a COS a — COS2 a =1 , 解：由题意得 sin 22 a + si n2 a cos a = 1 + cos2 n€0，㊁ 2=2cos a求sin a 及tan a 的值.••• cos a# 0, ••• 2sin a + sin a — 1 = 0,即(2sin a — 1)(sin/• 2sin a — 1 = 0,二 sin 0V a V —,2+ 1) = 0. T sin a +1 # 0,3 .11.已知cos于+ * * x ” 、‘ r , sin2 解：法一：因为 27 n 7 n土 sin2 x + 2sin x V X V ,求12 4 1 — tan x2 2x + 2sin x 2sin x cos x + 2sinx 的值.1 — tan xsin x 1 — cos x2sin x cos x + sin x 2sin x cos x cos x + sin x=sin2 又因为 —xV 空，所以12 4， 6nx + V 2 n.4而cos n 3 7+ x = 5>0,所以32nV x +；n V 2n,所以nsin + x44 5,T 1+ cos a =acos"21 — cos a = .''2 sin1 + sin a 1 - sin a - aa —：2 cosy + sin —l a a:2 sin — — cosya a 2cos — + sin — aa 2sin — — cos ~22 a cos 2a — cos a = 0. T an又因为 sin2 x =— cos ■— + 2x =— cos 2 n 7+x = — 2cos 2 —+x+1 = — 25+1= 25.1828 75'7 n 7 n5 nn法—：因为v x V，所以 v x + V 2 n.12 4 64又因为 cosn+ x = 3> 0,453 nn n4 所以帀一v x + v 2n,所以 sin + x =—,2445 3 5,sincos x1 + tan xnx•百五=sin2x tan7+x.所以 sin 7t4 + x5'所以cos x + sin x =所以 cosx —话,所以 tan x = 7,丄=工1025'coscos x — sin x =x =—28 75'sin2 x = 2sin x cos x = 2x -10 2所以原式=箱+2x —a。
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1．(2011年高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B.设P ()t ，2t ()t ≠0为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 2．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0 B.22 C ．1 D ．－22解析：选B.cos4π4－sin 4π8＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.3．若α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＞0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.∵sin2α＝2sin αcos α＜0∴sin α，cos α一正一负 ∵cos α－sin α＞0，∴cos α＞0，sin α＜0. ∴α在第四象限．4．(1)2sin37.5°·cos37.5°＝________；(2)sin 267.5°－cos 267.5°＝________；(3)tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：(1)2sin37.5°cos37.5°＝sin75°＝6＋24； (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝－cos135°＝22； (3)tan7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan7.5°1－tan 27.5°＝12tan15°＝2－32. 答案：(1)6＋24 (2)22 (3)2－32一、选择题1．下列各式中，值为12的是( )A ．sin15°cos15°B ．cos 2π12－sin 2π12C.12＋12cos π6D.tan22.5°1－tan 222.5°解析：选D.A 中原式＝12sin30°＝14；B 中原式＝cos π6＝32；C 中原式＝12＋122cos 2π12－1＝cos 2π12＝cos π12＝6＋24；D 中原式＝12tan45°＝12.2．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A.y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x . 3．(2011年日照高一检测)已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选B.f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin2x ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－sin π6＝－12. 4．函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ＋2的周期和最大值为( ) A ．2π 3 B ．2π 2 C ．π 3 D ．π 2解析：选C.f (x )＝sin 4x －cos 4x ＋2＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋2 ＝－cos2x ＋2.∴T ＝π，f (x )max ＝3.5．已知f (tan x )＝tan2x ，则f (2)等于( )A ．4 B.45C ．－23D ．－43解析：选D.∵f (tan x )＝tan2x ＝2tan x1－tan 2x∴f (2)＝2×21－22＝－43.6．(2011年临沂高一检测)已知3＋tan θ1－tan θ＝1＋23，那么sin 2θ＋sin2θ的值为( )A ．1 B.45C.35D.25解析：选 A.由已知可解得tan θ＝12∴sin 2θ＋sin2θ＝sin 2θ＋2sin θcos θ＝tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝1. 二、填空题7．若f (cos x )＝3－cos2x ，则f (sin x )＝________.解析：f (sin x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos ()π－2x ＝3＋cos2x . 答案：3＋cos2x8．若sin2α＝45，则tan 2α＋1tan 2α＝________.解析：tan 2α＋1tan 2α＝sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 4α＋cos 4αsin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2α14sin 22α＝1－12sin 22α14sin 22α＝1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫45214×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝174.答案：1749．若f (x )＝1＋cos2x 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －a sin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2的最大值为2，则a ＝________.解析：f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x2＝12cos x ＋12a sin x ＝121＋a 2sin(x ＋φ)． ∴121＋a 2＝2， ∴1＋a 2＝16， ∴a ＝±15. 答案：±15 三、解答题10．化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2π4＋α.解：法一：原式＝cos 2α－sin 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝cos 2α－sin 2α1＋tan α1－tan αcos α＋sin α2＝cos 2α－sin 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin αcos αcos α＋sin α2＝1. 法二：原式＝cos2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2αcos2α＝1.11．(1)已知sin α＋cos α＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，求cos2α，tan2α的值； (2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝26⎝⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，求sin2α的值． 解：(1)∵(sin α＋cos α)2＝13，∴1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝sin2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53.又π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＝153， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－153＝－53， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝－23－53＝255.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α ＝12cos2α＝26， ∴cos2α＝23. 又∵0＜α＜π2，∴0＜2α＜π，∴sin2α＝73.12．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3＜2x ≤π，∴－32≤sin2x ≤1， ∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.。