2019年高三二轮复习数学江苏专版 专题训练6个解答题综合仿真练(五)

6个解答题综合仿真练(五)1．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别为CD 和PC 的中点，求证：(1)P A ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，所以P A ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF ，所以CD ⊥EF .又因为CD ⊥BE ，EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF .又CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin(2A ＋B )＝sin C －sin B .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求AB ―→·AC ―→的最大值．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，B ＝π－C －A ，所以sin(2A ＋B )＝sin(π－C ＋A )＝sin(C －A )，sin B ＝sin(C ＋A )，由sin(2A ＋B )＝sin C －sin B ，得sin(C －A )＋sin B ＝sin C ，所以sin(C －A )＋sin(C ＋A )＝sin C ，即sin C cos A －cos C sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝sin C ，所以2sin C cos A ＝sin C .在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，由(1)知A ＝π3，又a ＝2， 所以22＝b 2＋c 2－2bc ·12，即4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，bc 有最大值4.所以AB ―→·AC ―→＝bc cos A ≤2，此时a ＝b ＝c ＝2，所以AB ―→·AC ―→的最大值是2.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)．(1)若PF ⊥x 轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；(2)若圆O 的半径为3，点P ，Q 满足k OP ·k OQ ＝－34， 求直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值.解：(1)因为椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以A (－2,0)，F (1,0)．因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝⎛⎭⎫1，±32， 根据对称性，可取P ⎝⎛⎭⎫1，32， 则直线AP 的方程为y ＝12(x ＋2)， 即x －2y ＋2＝0.由圆O 与直线AP 相切，得r ＝25， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝45. (2)易知圆O 的方程为x 2＋y 2＝3.①当PQ ⊥x 轴时，k OP ·k OQ ＝－k 2OP ＝－34， 所以k OP ＝±32，x p ＝±2， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为2.②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，首先由k OP ·k OQ ＝－34，得3x 1x 2＋4y 1y 2＝0， 即3x 1x 2＋4(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，所以(3＋4k 2)x 1x 2＋4kb (x 1＋x 2)＋4b 2＝0.(*)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 24＋y 23＝1消去y ， 得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－123＋4k 2，将其代入(*)式， 化简得2b 2＝4k 2＋3.由于圆心O 到直线PQ 的距离d ＝|b |k 2＋1， 所以直线PQ 被圆O 截得的弦长l ＝23－d 2＝4＋2k 2＋1，故当k ＝0时，l 有最大值为 6. 综上，因为6>2，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.4.如图，墙上有一幅壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x >1)，离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围. 解：(1)当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由观察者离墙x m ，且x >1，得tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x. 所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255， 当且仅当x ＝1.25x ，即x ＝52>1时取等号． 又因为tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以当观察者离墙52m 时，视角θ最大． (2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x， 又tan θ＝12， 所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝4－a x －2－a x 1＋(4－a )(2－a )x 2＝2x x 2＋(a －2)(a －4)＝12. 所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4. 又因为x >1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3,4]．5．设f k (n )为关于n 的k (k ∈N )次多项式．数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n .对于任意的正整数n ，a n ＋S n ＝f k (n )恒成立．(1)若k ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；(2)试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．解：(1)证明：若k ＝0，则f k (n )即f 0(n )为常数，不妨设f 0(n )＝c (c 为常数)．因为a n ＋S n ＝f k (n )恒成立，所以a 1＋S 1＝c ，即c ＝2a 1＝2.所以a n ＋S n ＝2，① 当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝2，②①－②得2a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．若a n ＝0，则a n －1＝0，…，a 1＝0，与已知矛盾，所以a n ≠0(n ∈N *)．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列. (2)(ⅰ)若k ＝0，由(1)知，不符题意，舍去.(ⅱ)若k ＝1，设f 1(n )＝bn ＋c (b ≠0，b ，c 为常数)，所以a n ＋S n ＝bn ＋c ，③当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝b (n －1)＋c ，④③－④得2a n －a n －1＝b (n ≥2，n ∈N *)．要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列，必须有a n ＝b －d (常数)，而a 1＝1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n ＝1(n ∈N *)，故当k ＝1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n ＝1(n ∈N *)，此时f 1(n )＝n ＋1. (ⅲ)若k ＝2，设f 2(n )＝an 2＋bn ＋c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)，所以a n ＋S n ＝an 2＋bn ＋c ，⑤当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝a (n －1)2＋b (n －1)＋c ，⑥⑤－⑥得2a n －a n －1＝2an ＋b －a (n ≥2，n ∈N *)．要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列，必须有a n ＝2an ＋b －a －d ，且d ＝2a ，考虑到a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)·2a ＝2an －2a ＋1(n ∈N *)．故当k ＝2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n ＝2an －2a ＋1(n ∈N *)，此时f 2(n )＝an 2＋(a ＋1)n ＋1－2a (a 为非零常数).(ⅳ)当k ≥3时，若数列{a n }能成等差数列，则a n ＋S n 的表达式中n 的最高次数为2，故k ≥3时，数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k ＝1或2时，数列{a n }能成等差数列．6．已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．(1)求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围；(3)若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．解：(1)因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又f (1)＝0，所以切线方程为y ＝0.(2)g (x )＝e x －e －λln x (x >0)，g ′(x )＝e x －λx. 当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值.当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx， 则h ′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增.①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h ⎝⎛⎭⎫λe ＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫λe ，1，使得h (x 0)＝0.②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0.综上，当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0.且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0， 所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．(3)g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x (x >0)，g ′(x )＝e x －λx. 若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0恒成立，所以φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e. 于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．当λ＞e 时，由(2)知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减， 即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0.这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e.。