2014-2015年山东省威海市文登市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2014-2015学年山东省威海市文登市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知命题p：∀a∈R，函数y=a x是单调函数，则￢p（）A．∀a∈R，函数y=a x不一定是单调函数B．∀a∈R，函数y=a x不是单调函数C．∃a∈R，函数y=a x不一定是单调函数D．∃a∈R，函数y=a x不是单调函数2．（5分）复数的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．2﹣i D．﹣2+i 3．（5分）△ABC顶点A（2，3），B（0，0），C（4，0），则“方程x=2”是“BC边上中线方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在ABC中，若c=2acosB，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形5．（5分）在相距2km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则B、C两点之间的距离为（）A．B．C．D．6．（5分）已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，则数列{|log2a n|}前10项和为（）A．58B．56C．50D．457．（5分）不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为﹣8，则k=（）A．3B．﹣3C．2D．﹣210．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上.11．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为．12．（5分）不等式≥2的解集是．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为．14．（5分）已知等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，S n是其前n项和，若S n取得最大值，则n=．15．（5分）下列四种说法①在△ABC中，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；②等差数列{a n}中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为；③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值为5+2；④在△ABC中，已知，则∠A=60°．正确的序号有．二、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z和|z|；（Ⅱ）若z1=i的对应点在第四象限，求m的范围．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．18．（12分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆内一点M（1，1）作一条弦AB，使该弦被点M平分，求弦AB所在直线方程．19．（12分）已知命题P：在R上定义运算⊗：x⊗y=（1﹣x）y．不等式x⊗（1﹣a）x＜1对任意实数x恒成立；命题Q：若不等式≥2对任意的x∈N*恒成立．若P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．20．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n，满足S n=a（S n﹣a n+1）（a为常数，且a＞0），且4a3是a1与2a2的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（2n+1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．（14分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；（2）是否存在这样的直线l，使S的最大值为（其中O为坐标原点）？△ABO若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．2014-2015学年山东省威海市文登市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知命题p：∀a∈R，函数y=a x是单调函数，则￢p（）A．∀a∈R，函数y=a x不一定是单调函数B．∀a∈R，函数y=a x不是单调函数C．∃a∈R，函数y=a x不一定是单调函数D．∃a∈R，函数y=a x不是单调函数【解答】解：已知命题是全称命题，所以命题p：∀a∈R，函数y=a x是单调函数，则￢p：∃a∈R，函数y=a x不是单调函数．故选：D．2．（5分）复数的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．2﹣i D．﹣2+i【解答】解：原式==i．∴其共轭复数为﹣i．故选：B．3．（5分）△ABC顶点A（2，3），B（0，0），C（4，0），则“方程x=2”是“BC边上中线方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵△ABC顶点A（2，3），B（0，0），C（4，0），∴B，C的中点坐标为D（2，0），则中线AD的方程为x=2，（0≤y≤3），即“方程x=2”是“BC边上中线方程”必要不充分条件，故选：B．4．（5分）在ABC中，若c=2acosB，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵△ABC中，2acosB=c，∴由正弦定理得：2sinAcosB=sinC，又△ABC中，A+B+C=π，∴C=π﹣（A+B），∴sinC=sin（A+B），∴2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，∴sin（A﹣B）=0，又A、B为△ABC中的内角，∴A﹣B=0，∴A=B．∴△ABC必定是等腰三角形．故选：B．5．（5分）在相距2km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则B、C两点之间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，∠ACB=45°，则由正弦定理可得BC==+1（km），故选：B．6．（5分）已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，则数列{|log2a n|}前10项和为（）A．58B．56C．50D．45【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，∴=，∴1+q3=，∴q=∴a n==27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故选：A．7．（5分）不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0可化为（ax﹣2）（x﹣1）≥0，∵a＜0，∴原不等式可化为（x﹣）（x﹣1）≤0，解得≤x≤1，∴原不等式的解集为[，1]．故选：A．8．（5分）已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x∵双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上∴2c=10，2a=b，∵c2=a2+b2∴a2=5，b2=20∴C的方程为故选：C．9．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为﹣8，则k=（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，由，解得，即A（﹣2，2），同时A也在直线x+k=0时，即﹣2+k=0，解得k=2，故选：C．10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2；∵M，O分别是PF2，F1F2的中点；∴MO∥PF1，且|PF1|=2|MO|=2b；OM⊥PF2；∴PF1⊥PF2，|F1F2|=2c；∴；根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a；∴；∴；两边平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2，c2=a2﹣b2代入并化简得：2a=3b，∴；∴；即椭圆的离心率为．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上.11．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣．【解答】解：抛物线y=ax2即为x2=y，当a＞0时，焦点在y轴正半轴上，准线方程为y=﹣，当a＜0时，焦点在y轴负半轴上，准线方程为y=﹣．则有准线为y=﹣．故答案为：y=﹣．12．（5分）不等式≥2的解集是[，1）∪（1，3] ．【解答】解：⇔x+5≥2（x﹣1）2且x≠1⇔2x2﹣5x﹣3≤0且x≠1⇔[，1）∪（1，3]故答案为：[，1）∪（1，3]13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为4．【解答】解：原命题p：“在等比数列{a n}中，若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，例如，当数列为，﹣2，﹣4，﹣8，…，q=2，但是数列为递减数列，故原命题为假命题；递增数列”，则“公比q＞1”，例如，逆命题是：“在等比数列{a n}中，若数列{a n}当数列为，﹣1，﹣，﹣，…，q=，但是数列为递增数列，是假命题；否命题是：“在等比数列{a n}中，若公比q≤1，则数列{a n}不是递增数列，是假命题；逆否命题是：“在等比数列{a n}中，若数列{a n}不是递增数列”，则“公比q≤1”，是假命题；综上，命题p及其逆命题，否命题和逆否命题中，假命题有4个．故答案为：414．（5分）已知等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，S n是其前n项和，若S n取得最大值，则n=6或7．【解答】解：∵等差数列{a n}中，满足S3=S10，且a1＞0，∴S10﹣S3=7a7=0，∴a7=0，∴递减的等差数列{a n}中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，∴S n取得最大值，n=6或7故答案为：6或715．（5分）下列四种说法①在△ABC中，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；②等差数列{a n}中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为；③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值为5+2；④在△ABC中，已知，则∠A=60°．正确的序号有①③④．【解答】解：对于①在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b，即有2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB，则①正确；对于②等差数列{a n}中，a1，a3，a4成等比数列，则有a32=a1a4，即有（a1+2d）2=a（a1+3d），1解得a1=﹣4d或d=0，则公比为=1或，则②错误；对于③，由于a＞0，b＞0，a+b=1，则=（a+b）（+）=5++≥5+2=5，当且仅当b=a，取得最小值，且为5+2，则③正确；对于④，在△ABC中，即为==，即tanA=tanB=tanC，由于A，B，C为三角形的内角，则有A=B=C=60°，则④正确．综上可得，正确的命题有①③④．故答案为：①③④．二、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z和|z|；（Ⅱ）若z1=i的对应点在第四象限，求m的范围．【解答】解：（Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），则由z+2i=a+（b+2）i为实数，∴b+2=0，∴b=﹣2．则由为实数，可得，∵b=﹣2，∴a=4．∴z=4﹣2i，∴．…（6分）（Ⅱ）=，又∵z1在第四象限，∴，∴，∴．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，即有，…（2分）∵sinA≠0，∴，∵cosB≠0，∴…（4分）∵B∈（0，π），∴．…（6分）（Ⅱ）由b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB），∴，∴ac=1，…（10分）∴．…（12分）18．（12分）已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆内一点M（1，1）作一条弦AB，使该弦被点M平分，求弦AB所在直线方程．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的焦点为（0，4），（0，﹣4），离心率为=2，则椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），且离心率e==﹣2=，由于c=4，则a=5，b==3，则椭圆方程为+=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，+=1，+=1，两式相减可得，+=0，即有k AB==﹣，则直线AB所在方程为y﹣1=﹣（x﹣1），由于M在椭圆内，则弦AB存在．则所求直线AB的方程为25x+9y﹣34=0．19．（12分）已知命题P：在R上定义运算⊗：x⊗y=（1﹣x）y．不等式x⊗（1﹣a）x＜1对任意实数x恒成立；命题Q：若不等式≥2对任意的x∈N*恒成立．若P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，x⊗（1﹣a）x=（1﹣x）（1﹣a）x，若命题P为真，（1﹣a）x2﹣（1﹣a）x+1＞0对任意实数x恒成立，∴①当1﹣a=0即a=1时，1＞0恒成立，∴a=1；②当1﹣a≠0时，，∴﹣3＜a＜1，综合①②得，﹣3＜a≤1．若命题Q为真，∵x＞0，∴x+1＞0，则（x2+ax+6）≥2（x+1）对任意的x∈N*恒成立，即对任意的x∈N*恒成立，令，只需a≥f（x）max，∵，当且仅当，即x=2时取“=”．∴a≥﹣2．∵P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，∴P，Q中必有一个真命题，一个假命题．若P为真Q为假，则，﹣3＜a＜﹣2，若P为假Q为真，则，∴a＞1，综上可得a取值范围：﹣3＜a＜﹣2或a＞1．20．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n，满足S n=a（S n﹣a n+1）（a为常数，且a＞0），且4a3是a1与2a2的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（2n+1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=a（S n﹣a n+1），∴S1=a1=a（a1﹣a1+1），解得a1=1，当n≥2时，S n=a（S n﹣a n+1），S n﹣1=a（S n﹣1﹣a n﹣1+1），两式相减，得a n=a•a n﹣1，∴，∴{a n}是首项为a公比为a的等比数列，∴=a n．∵4a3是a1与2a2的等差中项，∴8a3=a1+2a2，即8a3=a+2a2，解得a=，或a=0（舍），或a=﹣（舍），∴a n=（）n．（Ⅱ）∵b n=（2n+1）a n=（2n+1）•（）n，∴T n=，①=+…+，②①﹣②得：==，∴．21．（14分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；的最大值为（其中O为坐标原点）？（2）是否存在这样的直线l，使S△ABO若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ），∴…（1分）∵，∴，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1…（2分）椭圆的标准方程为…（3分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）联立直线与椭圆方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0∴，…（4分）∴AB的中点坐标为…（5分）（1）k=0时，满足条件，此时AB的中垂线为x=0；当k≠0时，∵|MA|=|MB|，∴，整理得2k2﹣3k+1=0，解得k=1或…（7分）（2）直线l 斜率不存在时，直线方程为x=1，代入椭圆方程，此时y=±，S △ABO=，直线l 斜率不存在时时，S △ABO =|y 1﹣y 2|=•∵k ∈R ，k ≠0，∴，∴综上，∴满足题意的直线存在，方程为x=1．…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。