2017年高考数学基础突破导数与积分第10讲微积分的应用
论微积分在经济学中的应用
论微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一门分支，主要研究变化率、极限和连续性等概念。
在经济学的分析和研究中，微积分也扮演着重要的角色。
通过微积分的方法，经济学家们能够更加准确地描述和预测经济现象，从而为政策的制定和决策提供可靠的依据。
函数是微积分的基础，它表示一个变量与另一个或多个变量之间的关系。
在经济学中，函数通常被用来描述成本、收益、价格等经济变量之间的关系。
导数表示函数在某一点的变化率，即当自变量发生微小变化时，因变量相应的变化量。
在经济学中，导数可以用来研究经济变量的变化率，例如边际成本、边际收益等。
积分是微分的逆运算，它表示函数在某个区间上的总和。
在经济学中，积分可以用来计算总成本、总收益、总利润等。
微积分在经济学中的应用广泛而深入。
以下是一些主要的方面：优化问题：微分学中的极值理论可以用来解决优化问题，例如求解最大值或最小值点。
在经济学的决策过程中，优化问题通常涉及到成本最小化、利润最大化等方面。
动态分析：微积分中的导数和积分可以用来研究经济系统的动态变化。
例如，利用导数可以研究变量的变化率，而积分可以用来计算累积效应。
均衡理论：微积分在均衡理论中也有着重要的应用。
例如，利用微分学中的极值原理，可以研究经济学中的最优定价、资源分配等问题。
经济增长和收敛：微积分可以用来研究经济增长和收敛的问题。
例如，利用微积分可以研究经济增长的动态过程以及不同经济体之间的收敛性问题。
成本最小化问题：假设某公司生产一种产品，已知产品的市场需求函数为Q=100-P，其中P为产品的价格。
公司的总成本函数为C=5Q²+20Q+1000。
求该公司的最小成本点。
通过求导数，可以得出产品的边际成本函数为MC=Q+20。
根据市场需求函数可知，当边际成本等于价格时，市场达到均衡。
因此，将价格P代入边际成本函数可得Q=40，进而可得出公司的最小成本点为（20，800）。
动态经济增长模型：假设一国的经济增长率由储蓄率S、投资率I、人口增长率n和技术进步率A共同决定，即g=S+I+n+A。
高考数学基础突破 导数与积分 第10讲 微积分的应用
2017年高考数学基础突破——导数与积分第10讲 定积分与微积分基本定理【知识梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数()f x 在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点i ξ(i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx =∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a ，b ]上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()lim()nbi an i b af x dx f n ξ→+∞=-=∑⎰． 在()baf x dx ⎰中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．（2）定积分的几何意义2．定积分的性质(1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 1212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，常把F (b )－F (a )记作()|ba F x ，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰．【基础考点突破】 考点1.定积分的计算【例1】设21,1(),11x ef x x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪--≤≤⎩，则1()e f x dx -⎰等于( )A.34B.45C.53D. 56【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ：①对被积函数要先化简，再求积分； ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.变式训练1. (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4].若⎠⎛k3f (x )d x ＝403，则k 的值为( ) A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.题型2. 定积分的几何意义命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分 【例2】定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.变式训练2. ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝________.命题点2 利用定积分求平面图形面积 【例3】（1）【2015唐山质检】已知曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成的图形的面积为S ，则S =_____.（2）已知曲线2y x =，(0)y kx k =>所围成的去边图形的面积为43，则k =____________【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.变式训练3.（1）如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为_____．考点3.定积分在物理中的应用【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113 C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2【基础练习巩固】1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223D ．22－23．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )A.2π5 B.43 C.32 D.π25．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为_______7．ʃ1(e x＋x )d x ＝________.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦． 9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．2017年高考数学基础突破——导数与积分第10讲 定积分与微积分基本定理（学生版，后附教师版）【知识梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数()f x 在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点i ξ(i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx =∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a ，b ]上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()lim()nbi an i b af x dx f nξ→+∞=-=∑⎰． 在()baf x dx ⎰中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．（2）定积分的几何意义2．定积分的性质(1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 1212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，常把F (b )－F (a )记作()|ba F x ，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰．【基础考点突破】 考点1.定积分的计算【例1】设21,1(),11x ef x x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪--≤≤⎩，则1()e f x dx -⎰等于( )A.34B.45C.53D. 56答案 C 解析12321111111115()()()|ln |323eeef x dx x x dx dx x x x x ---=-+=-+=⎰⎰⎰. 【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ：①对被积函数要先化简，再求积分； ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.变式训练1. (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4].若⎠⎛k3f (x )d x ＝403，则k 的值为( ) A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案 (1)B (2)－4解析 (1)∵⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝223＜403，∴当k ≥2时，⎠⎛k3f (x )d x ＜403，∴k ＜2，∴⎠⎛k3f (x )d x ＝⎠⎛k2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2＋1)d x ＝403，化简得k 2＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝－1.(2)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1).所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2. 故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44－x 320＝－4.题型2. 定积分的几何意义命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分 【例2】定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.答案9π4解析 由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.变式训练2. ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝________. 答案π2＋e －1e－2 解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x－1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，即ʃ1－11－x 2d x ＝π2，而ʃ1－1(e x－1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 命题点2 利用定积分求平面图形面积 【例3】（1）【2015唐山质检】已知曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成的图形的面积为S ，则S =_____.（2）已知曲线2y x =，(0)y kx k =>所围成的去边图形的面积为43，则k =____________ 答案 (1)136(2)2解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1).130111d 2d 33S x x x x x x⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰31322201211214132.3633636||x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.变式训练3.（1）如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为_____． 答案 （1）D (2)163解析 （1）由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝ʃ120(14－x 2)d x ＋ʃ112(x2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x )|112＝14. （2）解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.考点3.定积分在物理中的应用【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).【基础练习巩固】1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223 D ．22－2答案 D解析 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，解得x ＝π4.故图中阴影部分的面积S ＝π40⎰(cosx －sin x )d x ＋π2π4⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )π40|＋(－cos x －sin x )π2π4|＝sin π4＋cos π4－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.3．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为433 J.4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2答案 B解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)． 因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43.5．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.6．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为_______答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1).∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝33120142.4123||x x x ⎡⎤⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 7．ʃ10(e x＋x )d x ＝________. 答案 e －12解析 ʃ10(e x ＋x )d x ＝(e x＋12x 2)|10＝e ＋12－1＝e －12.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦． 答案 36解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x11 ＝5×2＋(32x2＋4x )|42＝10＋[32×42＋4×4－(32×22＋4×2)]＝36(焦)．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.。
微积分发展史简述
微积分发展史简述微积分是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域。
它的发展历史可以追溯到古希腊时期，但直到17世纪才得到了系统的发展和完善。
本文将简要介绍微积分的发展史。
1. 古希腊时期：微积分的雏形在古希腊时期，数学家们对于几何学有着深入的研究。
亚里士多德和欧几里得等人提出了许多与微积分相关的概念，如无穷小量和极限。
然而，由于当时的数学工具和观念的限制，微积分的发展受到了很大的阻碍。
2. 牛顿和莱布尼茨：微积分的创始人17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发展出微积分学。
牛顿创立了微积分的主要思想和方法，他提出了差分和积分的概念，并建立了微分方程和牛顿运动定律等基本理论。
莱布尼茨独立地发展出了微积分的符号表示法，引入了微积分中的极限和导数的概念。
牛顿和莱布尼茨的工作为微积分的发展奠定了基础。
3. 微积分的完善：极限与连续性18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对微积分进行了深入的研究和发展。
欧拉进一步完善了微积分的符号表示法，并提出了欧拉公式等重要结果。
拉格朗日则对微积分中的极限和连续性进行了系统的研究，提出了拉格朗日中值定理和泰勒展开等重要定理。
这些工作使微积分的理论更加严谨和完备。
4. 微积分的应用：物理学和工程学19世纪，微积分的应用开始扩展到物理学和工程学等实际问题中。
拉普拉斯和傅里叶等数学家使用微积分的方法解决了一系列的物理学问题，为微积分的应用奠定了基础。
同时，微积分也在工程学中得到了广泛的应用，如力学、电磁学和流体力学等领域。
微积分的应用使得工程学的发展取得了重大的突破。
5. 微积分的发展与现代数学的关系20世纪，微积分的发展与现代数学的发展密切相关。
在集合论和数理逻辑的基础上，数学家们对微积分的理论进行了深入的研究和推广。
勒贝格和黎曼等数学家提出了测度论和黎曼积分等新的概念和方法，为微积分的发展带来了新的思路和工具。
同时，微积分也成为了现代数学的重要组成部分，在数学的其他分支中得到了广泛的应用。
2017年高考数学基础突破 导数与积分 第3讲 导数的几何意义——求切线的斜率
2017年高考数学基础突破——导数与积分 第3讲 导数的几何意义——切线的斜率【知识梳理】1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即0()k f x '=，相应地，切线方程为000()()y y f x x x '-=-． 【基础考点突破】考点1．导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题【例1】 已知函数32()454f x x x x =-+-．（1）求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线()f x 的切线方程.【归纳总结】 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0. 变式训练1．【2016高考新课标3】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_____________________． 命题点2 未知切点的切线方程问题【例2】与直线y ＝2x 平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0变式训练2．【2016高考新课标2】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．命题点3 求切点坐标【例3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 变式训练2．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0，1)B ．(1，－1)C ．(1，3)D ．(1，0)命题点4 和切线有关的参数问题【例4】若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．命题点5 导数与函数图象的关系【例5】 函数cos y x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图象大致是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）考点2．导数几何意义的综合应用【例6】 已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围.【基础练习巩固】1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e2．函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝03．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0 6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 7．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，134D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，2 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为_______________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．10．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．11．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．12.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1-13．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．14．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；2017年高考数学基础突破——导数与积分第3讲 导数的几何意义——切线的斜率（教师版）【知识梳理】1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即0()k f x '=，相应地，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．【基础考点突破】考点1．导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题【例1】 已知函数32()454f x x x x =-+-．（1）求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求经过点A(2，－2)的曲线()f x 的切线方程.解析： (1)∵2()385f x x x '=-+，∴(2)1f '=，又(2)2f =-，∴曲线在点(2,(2))f 处的切线方程为22y x +=-，即40x y --=.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点320000(,454)P x x x x -+-，∵200()385f x x x '=-+，∴切线方程为200(2)(385)(2)y x x x --=-+-， 又切线过点320000(,454)P x x x x -+-，∴322000000452(385)(2)x x x x x x -+-=-+-， 整理得200(2)(1)0x x --=，解得02x =或1.∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为40x y --=，或20y +=.【归纳总结】 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.变式训练1．【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线的斜率为(1)2f '=-，所以切线的方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 命题点2 未知切点的切线方程问题【例2】与直线y ＝2x 平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0答案 D解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0. 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.变式训练2．【2016高考新课标2】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-．【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与函数ln 2y x =+相切于111(,)P x y ，与ln(1)y x =+相切于222(,)P x y ，则11ln 2y x =+，22ln(1)y x =+，则点111(,)P x y 在切线上得：1111(ln 2)()y x x x x -+=-，由222(,)P x y 在切线上得：2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以122212111ln(1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，解得112x =，所以112k x ==，所以1ln 211ln 2b x =+-=-． 命题点3 求切点坐标【例3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝eln e ＝e ，所以P (e ，e)．变式训练3．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0，1)B ．(1，－1)C ．(1，3)D ．(1，0) 答案：C解析：由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，故点P 0的坐标是(1，3)．命题点4 和切线有关的参数问题【例4】若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．解析：设y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于P (x 0，y 0)，则y 0＝kx 0，①y 0＝x 30－3x 20＋2x 0.②又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.③ 由①②③得：(3x 20－6x 0＋2)x 0＝x 30－3x 20＋2x 0，即(2x 0－3)x 20＝0. ∴x 0＝0或x 0＝32，∴k ＝2或k ＝－14.命题点5 导数与函数图象的关系【例5】 函数cos y x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图象大致是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）答案：A解析：()cos sin f x y x x x ''==-，()()f x f x ''-=，所以()f x '-是一个偶函数，排除C ；(0)1f '=，排除D ，由于在[,]x ππ∈-上，()cos sin cos 1f x y x x x x ''==-≤=，所以当0x =时，()f x '最大，排除B ，选A.考点2．导数几何意义的综合应用【例6】 已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围.解析 (1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22，或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)·(1－x 0).整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”.g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)，于是，当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：所以g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值；g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值.当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (0)>0且g (1)<0，即－3< t <－1时，因为g (－1)= t －7<0，g (2)= t+11>0，所以g (x )分别在区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上单调，所以g (x )在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(3,1)--．【基础练习巩固】1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.2．函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 D解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x +cos x ，故选D.4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3. 5．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0 答案 A 解析 y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，12)，切线的方程为y －12＝－14(x －0)， 即x ＋4y －2＝0. 故选A.6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)－12＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．故选A7．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，134D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，2 答案 B解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S普通梯形＝g＋g2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为_______________．解：(1)当P 为切点时，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝2＝4，即过点P 的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)，则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)，因为切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，把P 点的坐标代入以上切线方程，求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)，所以切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0； 综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.10．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________． 答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，① 求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， 又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.11．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 －e解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.12.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1- 【答案】A【解析】由题意得：12,,x R x R ∀∈∃∈使得12(1)(2sin )1xe a x ---=-，即函数111x y e =+的值域为函数22sin y a x =-的值域的子集，从而(0,1)[2,2]a a ⊆-+，即20,2112a a a -≤+≥⇒-≤≤，故选A.13．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x＋4y ＋17＝0.14．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x－3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y ＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数及其应用定积分与微积分基本定理课件理ppt
求函数的导数有多种方法，例如，利用求导公式求导；利用求导法则求导；利用复合函数求导法则求复合函数 的导数；利用微分学基本定理求高阶导数等。
02
定积分
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是函数在区间[a,b]上的积分，表示 为∫abf(x)dx，其中f(x)是待积函数，a和b 是积分的下限和上限。
定积分的性质
定积分具有一些基本性质，如线性性质、 可加性、可减性、可正可负性等。这些性 质在解决定积分问题时非常重要。
定积分的几何与物理应用
定积分的几何应用
定积分可以用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。例如，计算圆、椭圆 等图形的面积，或求圆柱、圆锥等旋转体的体积。
定积分的物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，如计算变力沿直线所做的功、计算液体对平 面所施加的力等。
最优问题求解
导数可以用于求解最优问题，例如在投资组合理论中，通过求解收益率关于资产配置的导数，可以找到最优的资产配置比 例。
动态最优化
导数可以用于建立动态最优化模型，例如在宏观经济学中，通过求解一阶导数和二阶导数，可以研究经济的稳定性和增长 问题。
定积分在物理学中的应用案例
面积和体积计算
定积分可以用于计算曲线下包围的面积和曲线的长度，以及计算立体的体积。例如，在计 算旋转体的体积时，可以将旋转体表面展开成一系列的小圆环，然后利用定积分计算每个 小圆环的面积并求和得到总体积。
微积分基本定理可以用于求解一些方 程，例如在求解一些涉及到多个变量 的方程时，可以通过微积分基本定理 将方程转化为一个易于求解的方程并 求解。
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物理应用
导数可以描述物理量随时间的变化率，例如速度是位移对时间的导数。导数 在物理中有广泛的应用，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。
2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第4讲 定积分与微积分基本定理课件 理
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2 y＝x ， x＝0， x＝k， (2)由 得 或 则曲线 2 y＝kx， y＝0 y＝k ，
y＝x2 与直线 y＝
k 1 k 2 3 2 k kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为 (kx － x )dx＝ x － x 3 0 2
答案 3
5.(2015· 天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面
积为________.
解析
2 y＝x ， 如图，阴影部分的面积即为所求，由 得 y＝x，
A(1，1).故所求面积为
2 1 S＝ ( x － x )d x ＝
0
1 2 1 3 1 0＝ . 2x －3x 6
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4 答案 (1)D (2)3
考点三 定积分在物理中的应用
【例 3】(北师大选修 2-2P76 问题 2 改编)一辆汽车在高速公路 25 上行驶， 由于遇到紧急情况而刹车， 以速度 v(t)＝7－3t＋ 1＋t (t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续 行驶的距离(单位：m)是( A.1＋25ln 5 C.4＋25ln 5 )
T
答案
1 6
考点一 定积分的计算
2 x ，x∈[0，1]， 2 【例 1】(1)设 f(x)＝ 则 f(x)dx 等于( 2－x，x∈（1，2]， 0
)
3 A. 4
0
4 B. 5
5 C. 6
D.不存在
2 3 (2)定积分 9 － x dx 的值为________.
b 即 f(x)dx＝A.
a
b
f(x)dx
f(x) 叫作 积分号 ，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，_____ 其中 叫作 __________
微积分学中的极限思想及其应用
微积分学中的极限思想及其应用微积分学中的极限思想及其应用概述微积分学是数学领域的一大分支，它研究的是极其微小的变化。
微积分的基本思想是极限。
在微积分中，随着未知量趋近于某一特定值，函数在该值附近的行为可以通过求极限来研究。
万物皆有极限，人的生命也有极限，只有在极限的认知下，才能不断突破个人的“底线”。
极限的概念极限是一种数学概念，它通常表示函数在某一点处的变化趋势。
我们可以用一个简单的例子来解释极限的概念，假设我们要计算函数 f(x) = x²在 x=2 处的极限，我们可以通过构造一个序列来逼近这个极限值。
我们可以用一系列的数来逼近2，比如1.9、1.99、1.999、1.9999等等，这样，我们就可以得到相应的函数值，比如：f(1.9) = 3.61f(1.99) = 3.9601f(1.999) = 3.996001f(1.9999) = 3.99960001我们可以发现，当 x 无限接近于2时，f(x) 的值也无限接近于4。
这就是 f(x) 在 x=2 处的极限，我们可以用符号表示为：lim_{x->2} f(x) = 4这个函数的极限表示在“x 趋近2时，f(x) 趋近于4 ”。
如果在一个函数中，极限值并不会发散或形成奇点，那么我们就称它是连续的。
换言之，一个函数在某点 x_0 处是连续的，指的是其极限值与该点的函数值相等。
如果没有这一特性，那么函数在该点就不是连续的。
极限的应用1. 集合的测度在我们的日常生活中，我们会经常面对一些集合问题。
比如，我们会面对一个集合内元素的总数，还有每个元素在该集合中的占比等。
在这种情况下，极限概念非常有用。
通过这种方法，我们可以研究每个元素在该集合内所占的比例，即测度。
2. 最优化问题微积分中一个重要的研究领域是最优化问题。
最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找能够使某一指标最大或最小的量。
他是许多科学和工程领域的重要研究方向。
极限思想在最优化问题的求解过程中得到了广泛的应用。
高考数学导数和积分知识点
高考数学导数和积分知识点高考数学中的导数和积分是非常重要的概念和知识点。
导数和积分是微积分的基础，掌握了它们，可以帮助我们解决很多实际问题和数学题目。
本文将详细介绍高考数学中的导数和积分的相关知识点，帮助同学们系统地理解和掌握这些概念。
一、导数导数是描述函数变化率的概念。
在数学中，函数的导数可用于衡量函数的变化速率以及切线的斜率。
导数的计算可以基于定义，也可以使用一些常见函数的导数公式进行计算。
1. 导数定义给定函数f(x)，如果存在极限lim(x→0)[f(x+h)-f(x)]/h，那么这个极限就是函数f(x)在x点的导数，记作f'(x)或者dy/dx。
其中，h 表示趋近于0的无穷小增量。
2. 导数的求法导数的求法有多种方法，常见的有以下几种：（1）使用基本导数公式，例如常数函数的导数为零，幂函数的导数可以使用幂函数的导数公式来计算。
（2）根据导数的定义，直接计算极限。
（3）利用常用的求导法则，例如和差法则、积法则、商法则等。
3. 导数的应用导数在高考数学中具有广泛的应用。
常见的应用包括函数的极值问题、函数的单调性判断、函数的模型建立等。
同时，导数还与数学中其他分支有关，如相关性、曲率、速度等相关概念。
二、积分积分是导数的逆运算，是衡量函数区间上的累积效应的概念。
积分可以帮助我们计算曲线下的面积、求函数的不定积分等。
1. 不定积分给定函数f(x)，它的不定积分F(x)表示对函数f(x)进行积分后得到的一类原函数。
不定积分是积分的一种基本形式，常用的表示方法是∫f(x)dx。
2. 定积分给定函数f(x)，在[a, b]区间上的定积分表示曲线f(x)与x轴之间的面积。
定积分的计算可以通过求不定积分再利用区间端点的值进行计算。
3. 积分的应用积分在高考数学中的应用非常广泛。
常见的应用包括求曲线与x轴之间的面积、求函数的平均值、计算物体的质量与重心等。
三、导数与积分的关系导数和积分是微积分的两个基本概念，它们之间有着密切的关系。
高考数学知识点排行
高考数学知识点排行在高考数学中，有一些知识点常常成为考生关注的焦点。
这些知识点在考试中的出现频率高，涉及的考点多，考察的深度也较大。
在这篇文章中，我们将对高考数学知识点进行排序，帮助考生了解重点，并为备考提供一定的参考。
一、函数与方程函数与方程是高中数学的基础知识，它们在高考数学中占据着重要的地位。
函数的定义、性质以及各种类型的函数的图像与性质是考试中常见的知识点。
而方程的解与性质、一元一次方程组的解法、二次方程的性质与求解方法等也是考生需要掌握的内容。
二、概率与统计概率与统计在高考数学中通常以应用题的形式出现。
对于考生来说，了解概率的基本定义、性质以及各种统计指标的计算方法是必备的。
在概率与统计中，还包括频率分布表与直方图、折线图以及帕累托图等的解读与分析。
这些知识点常常考察考生的数据分析与解释能力。
三、导数与积分导数与积分是微积分的重要组成部分，也是高考数学的难点。
对于导数来说，在考试中，常常涉及导数的定义、求导法则、高阶导数的计算以及应用题中导数的应用等。
而积分也包括不定积分的计算、定积分的计算、定积分的应用以及微分方程的解法等。
四、立体几何立体几何在高考数学中的占比相对较小，但仍然是一项需要重视的知识点。
立体几何的内容包括空间几何体的性质、截面与体积的计算、平行立体的性质以及空间向量等。
对于考生来说，理解和掌握这些知识点，对于解决相关几何题目是至关重要的。
五、数列与数列极限数列与数列极限在高考数学中也是经常出现的考点。
了解数列的定义、通项公式、数列的性质以及等差数列、等比数列等的求和公式是必备的知识。
此外，数列极限也是重点内容，包括数列极限的定义、性质、计算以及主要的收敛定理等。
通过对以上知识点的排序，考生可以清晰地了解高考数学中的重点和难点所在，从而在备考中根据自己的实际情况有针对性地进行复习。
同时，这种排序也提醒了考生要注重基础知识的学习与掌握，因为这些基础知识是后续学习的基石。
在备考过程中，考生要结合历年真题和模拟题，通过不断练习与总结，将理论知识与实际应用相结合，提高解决问题的能力。
全国版2017版高考数学一轮复习函数导数及其应用2.12定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课件理
和的形式求解.
【规范解答】(1)①
2 3 3x 2x 1 dx 1
(x 3 x 2 x) |3 1 24. ② 0 sin x cos x dx sin xdx 0 0 cos xdx
b a f x dx b c f x dx a c f x dx 其中a c b .
2.微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间［a，b］上的连续函数，并
且F′(x)=f(x)，那么
=__________，这个结 b a f x dx F(b)-F(a) 论叫做微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式.
b a
中，a与b分别叫做积分下限与
积分上限，区间_______叫做积分区间，函数f(x)叫做 [a，b] 被积函数，x叫做_________，_______叫做被积式. 积分变量 f(x)dx
(2)定积分的几何意义:
f(x) f(x)≥0 f(x)<0
b a
f x dx 的几何意义
表示由直线____,____,y=0及曲线y=f(x) x=a x=b 所围成的曲边梯形的面积 表示由直线____,____,y=0及曲线y=f(x) x=a x=b 所围成的曲边梯形的面积的相反数
1 2 1 1 2 2 (x x ) |0 ( x x) |1 2 2 1 1 2 1 2 (1 :1 ) 0 ( 2 2) ( 1 1) 1. 答案 2 2 2
1 =_____. ( 1 x x)dx 2 【解析】 1 1 2 1 2 1 1 0 ( 1 x x)dx 0 1 x dx 0 xdx， 2 表示四分之一单位圆的面积， 2 1 1 1 1 0 xdx ， 0 1 x 2 dx 为 2 所以结果是 4 1 . ， 答案 : 4 4 1 4
数学和物理学在流体力学中的应用
数学和物理学在流体力学中的应用在科学领域中，数学和物理学一直以来都扮演着重要的角色。
特别是在流体力学领域，数学和物理学的应用发挥着至关重要的作用。
本文将探讨数学和物理学在流体力学中的应用，并重点介绍其在流体力学研究、分析和预测中的重要性。
一、数学在流体力学中的应用数学作为一门精确的科学，为流体力学的研究和分析提供了强大的数学工具和方法。
下面将介绍数学在流体力学中的几个重要应用领域。
1.微积分的应用微积分是数学中的重要分支，广泛应用于物理学和工程学中。
在流体力学中，微积分的应用非常广泛。
例如，微分方程是描述流体运动的基本方程之一。
通过对流体运动进行微积分分析，可以求解流体的速度、压力和密度分布等问题。
2.偏微分方程的求解流体力学中的很多问题涉及到偏微分方程的求解。
例如，纳维-斯托克斯方程是描述流体力学中连续性、动量和能量守恒的基本方程之一。
利用数学中的偏微分方程求解方法，可以确定流体力学中许多重要问题的解。
3.数值计算方法在解决复杂流体力学问题时，需要进行数值计算。
数值计算方法通过将连续问题离散化为离散问题，然后利用计算机进行求解。
常用的数值计算方法包括有限差分方法、有限元方法和谱方法等。
这些方法为解决实际流体力学问题提供了强有力的工具。
二、物理学在流体力学中的应用物理学作为自然科学的基础学科，对于流体力学的理解和预测起着至关重要的作用。
下面将介绍物理学在流体力学中的几个重要应用领域。
1.流体静力学流体静力学研究的是静止的液体和气体的性质和行为。
通过物理学理论和实验方法，可以研究流体的压力分布、浮力、大气压力等问题。
这对于设计、建造和维护水坝、水泵和气囊等工程结构非常重要。
2.流体动力学流体动力学是研究流体运动和流体力学规律的分支学科。
物理学的基本定律，如质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律等，都在流体动力学中得到了广泛应用。
物理学通过实验和理论分析，揭示了流体运动的规律和特性，为流体力学的进一步研究提供了基础。
挑战解决复杂的微积分问题
挑战解决复杂的微积分问题在数学领域中，微积分是一个极具挑战性的课程。
它涉及到函数、极限、导数和积分等概念，需要处理各种复杂的数学问题。
本文将探讨挑战解决这些复杂微积分问题的方法。
一、理解基本概念和原理要解决复杂的微积分问题，首先需要理解基本的概念和原理。
例如，我们需要熟悉函数的定义和性质，了解导数和积分的概念，掌握它们的运算法则和基本性质。
只有对这些基础知识有清晰的理解，才能够更好地解决复杂的微积分问题。
二、掌握常见的技巧和方法在解决微积分问题时，常常会用到一些常见的技巧和方法。
比如，我们可以使用导数的基本定义和性质来计算函数的导数，运用极值的判定条件来求函数的最值，利用积分的性质和公式来计算定积分等。
掌握这些技巧和方法，可以帮助我们更快、更准确地解决复杂的微积分问题。
三、分步骤解决问题对于复杂的微积分问题，往往需要进行多个步骤的计算和推导。
为了避免出错，我们可以采取分步骤解决问题的方法。
具体而言，我们可以将复杂的问题拆分为几个简单的部分，逐步分析和解决每个部分。
通过分步骤解决问题，可以更好地掌握整个解题过程，降低出错的概率。
四、灵活运用数学工具和软件在解决复杂的微积分问题时，我们可以借助一些数学工具和软件来辅助计算和分析。
例如，我们可以使用数学软件来绘制函数图像、计算导数和积分，以及进行符号计算等。
这些数学工具和软件可以大大提高我们解决复杂微积分问题的效率和准确性。
五、深入思考和练习解决复杂的微积分问题需要良好的思维能力和实践经验。
因此，我们需要进行深入的思考和大量的练习。
通过不断地思考和练习，我们可以提高自己的数学思维能力，熟悉不同类型的问题，并掌握解决这些问题的方法和技巧。
六、寻求帮助和探讨如果遇到困难或复杂的微积分问题，我们可以主动寻求帮助和与他人进行探讨。
可以向老师请教，与同学一起讨论，或者参加学术讨论会等。
通过与他人的交流和讨论，我们可以获取新的思路和灵感，帮助我们更好地解决复杂的微积分问题。
新高考数学章节知识点总结
新高考数学章节知识点总结随着改革开放以来我国教育体制的不断完善，新高考成为了高中生们备战大学入学的重要考试。
作为新高考中不可或缺的一科，数学的学习对于每一个学生来说都是至关重要的。
下面，我将为大家总结一下新高考数学章节知识点，帮助同学们更好地应对数学考试。
一、函数函数是数学中一个非常重要的概念，它在新高考数学中也拥有着重要的地位。
同学们需要掌握函数的定义、函数的性质以及函数的应用等方面的知识。
1. 函数的定义函数是数学中描述输入和输出之间关系的工具。
它包括自变量、因变量和一个定义域，其中自变量和定义域一一对应，而因变量则由自变量和定义域确定。
2. 函数的性质函数有着多种性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
同学们需要学会如何通过函数的图像来判断函数的这些性质，并能够应用这些性质解决实际问题。
3. 函数的应用函数在实际问题中的应用非常广泛，学生需要学会将具体问题转换为函数的形式，利用函数的性质解决问题。
例如，在经济学中，函数可以用来描述收入与支出之间的关系。
二、数列与数列极限数列是一系列有序的数按一定规律排列的集合，数列极限则是数列在趋向于无穷时的特殊值。
同学们需要掌握数列的定义、数列的分类以及数列极限的求解方法等内容。
1. 数列的定义数列由一列有序的数按照一定的规律排列组成，其中每一个数被称为数列的项。
2. 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列、等差数列的经验性求和公式等多种类型。
每一种类型的数列都有其特定的规律，同学们需要能够确定数列的类型，并掌握相应的求和公式。
3. 数列极限的求解方法数列极限是指数列在趋向于无穷时的特殊值。
同学们需要学会使用极限的方法求解数列极限，并能够应用数列极限解决实际问题。
三、三角函数与三角恒等式三角函数在数学中有着广泛的应用，同学们需要掌握三角函数的定义、性质以及三角恒等式的推导和应用等知识。
1. 三角函数的定义和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
学生们需要掌握每种三角函数的定义，以及它们的周期性和奇偶性等重要性质。
高考数学考研知识点大全
高考数学考研知识点大全高考，作为许多学生追求梦想的重要关卡之一，数学是其中一科必不可少的科目。
而对于即将考研的学生来说，数学更是个关系到未来发展的重要科目。
下面，我们将全面梳理高考数学考研知识点，帮助大家更好地准备考试。
第一章：基础知识点1. 数列与数列的通项公式数列是数学中常见的概念，是指按一定顺序排列的一系列数。
而数列的通项公式是指将数列中的每一项都用一个公式表示出来的规律。
2. 极限与连续极限是数学的一概念，指数列或函数随着自变量趋于某个特定值时的稳定值。
连续则是指函数在该点的极限和函数值相等的特性。
第二章：函数与方程3. 函数的性质函数包括定义域、值域、单调性、奇偶性等多种性质，对于理解函数的特性起到重要作用。
4. 一元一次方程一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，通过解这类方程，可以求出方程中未知数的值。
5. 二次函数及其性质二次函数是指函数的表达式中含有未知数的二次项的函数，通过研究其性质，可以对函数的图像有更深入的理解。
第三章：几何知识6. 平行线与垂直线平行线是指在同一平面内互不相交的直线，垂直线是指两个直线相交形成的两个相邻角相等的线。
7. 三角形及其性质三角形是平面凸多边形的一种特殊形式，通过研究三角形的性质，可以帮助我们解决几何题目。
第四章：概率与统计8. 概率的计算概率是指某一事件发生的可能性，通过运用概率的知识，可以计算出某个事件发生的概率。
9. 统计学的基本概念与方法统计学是研究数据收集、处理、分析和推断等一系列方法和技术的学科，通过统计学的应用，可以对一些数据进行处理和分析。
第五章：导数与积分10. 函数的导数与求导法则导数是描述函数变化率的概念，通过求导数可以得到函数图像上某一点的斜率。
11. 定积分与不定积分定积分是描述曲线与坐标轴围成的面积的概念，不定积分则是求一个函数的原函数。
总结：数学是高考和考研中不可缺少的一门科目，其包含的知识点非常广泛。
本文梳理了高考数学考研知识点的大致分类，包括基础知识点、函数与方程、几何知识、概率与统计以及导数与积分。
高中数学哪些知识点最重要？
高中数学哪些知识点最重要？高中数学是大学学理工科专业的必备基础，其重要性再清楚不过。
学生在学习高中数学的过程中，不仅要掌握基础知识，更要明白数学思维，注意培养分析问题和解决问题的能力。
那么，都有什么知识点是高中数学学习的重点呢？从教育专家的角度，笔者认为以下几个方面尤为重要：一、函数与方程：数学世界的基石函数与方程贯穿高中数学，是理解其他数学概念的关键。
学生需要掌握函数的定义、性质、图像，以及各种常见函数的应用。
同时，掌握解方程组、不等式、函数方程等方法，为后续学习微积分等高等数学奠定基础。
二、导数与积分：描绘变化与积累导数与积分是微积分的核心概念，也是高中数学的重要内容。
通过学习导数，学生可以深刻理解函数的变化规律，并能运用导数解决优化问题和运动问题。
而积分主要用于计算面积、体积等几何量，并为理解概率和统计奠定基础。
三、向量与空间解析几何：从平面到空间向量与空间解析几何是高中数学中重要的抽象思维训练，也是理解物理、力学等学科的基础。
学习向量，学生可以掌握空间图形的表示和运算方法，并能运用向量解决几何问题和力学问题。
空间解析几何将平面几何学习拓展到三维空间，为后续学习更高级的几何学打下基础。
四、概率与统计：描述随机现象概率与统计是现代社会不可或缺的工具，可以帮助人们分析和预测随机现象。
学生需要掌握概率的基本概念，例如事件、概率、概率分布等，并能运用统计方法分析数据，进行合理的推断和预测。
五、数学思想与方法：通向更高阶学习的桥梁除了上述核心知识点外，学生还要重视数学思想与方法的学习，例如数学思想、分类讨论、转化思想、函数思想等。
这些思想与方法不仅可以帮助学生更好地理解和应用知识，还能提升分析问题、解决问题的能力。
最后，要特别强调的是，高中数学的学习是一个循序渐进的过程。
学生在学习过程中应注重基础知识的掌握，并能灵活运用各种数学思想和方法。
同时，学生还应养成良好的学习习惯，积极思考，主动探究，才能真正掌握高中数学的核心知识点，并为未来的学习打下坚实的基础。
微积分的基本原理及其应用
微积分是数学中一门极为重要的学科，它不仅具有丰富的理论体系，还有广泛的应用。
它的基本原理是在函数的研究中引入极限的概念，通过极限的性质和计算方法，研究函数的变化规律、最值、曲线的切线等。
下面将从微积分的基本原理和应用两方面进行论述。
微积分的基本原理可以归纳为导数和积分两个部分。
导数是函数在某一点的变化率，描述了函数在给定点上的斜率。
它是使用极限的概念定义的，通过函数的极限定义，我们可以求得函数在某一点的斜率。
导数的计算方法有一些常见的规则，如求导法则、链式法则、隐函数求导法则等。
这些规则能够极大地简化导数的计算过程。
导数的应用非常广泛，例如可以用导数求函数的最大值、最小值，确定曲线的切线和其它特性等。
导数的应用还涉及到物理、经济等领域，在物理中可以求速度、加速度等，而在经济学中可以用于边际分析。
积分是导数的逆运算。
积分可以将一个函数从微元的形式还原成原函数的形式。
积分的概念也是通过极限定义的，它可以看作是一个曲线下的面积。
除了定积分外，还有不定积分，它表示一个函数的原函数。
积分在计算中有一些基本的规则，如分部积分法、换元法等。
积分的应用也非常广泛，例如可以用积分计算函数的面积、弧长、体积等。
积分在物理学中也有很多应用，如计算质量中心位置、质心、力矩等。
在经济学中，积分可以用于计算总量和平均量，如总收益、总成本、平均收益等。
微积分的应用还涉及到微分方程和极限理论。
微分方程是描述自然界中许多变化规律的重要工具。
它是包含未知函数及其导数的方程，并通过求解方程得到函数的表达式。
微分方程在物理、工程、生物等领域中有广泛的应用。
极限理论则是研究微积分中基本概念的重要理论基础，它通过无穷的概念来研究函数的性质和极限的存在性。
总之，微积分作为数学的重要分支，具有丰富的理论和广泛的应用。
其基本原理包括导数和积分两部分，通过函数的极限定义和计算方法，研究函数的变化规律和特性。
微积分的应用涵盖了物理、经济、生物等多个领域，在理论和实践中都具有重要意义。
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2017年高考数学基础突破——导数与积分第10讲 定积分与微积分基本定理【知识梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数()f x 在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点i ξ(i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx =∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a ，b ]上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()lim ()nbi an i b af x dx f nξ→+∞=-=∑⎰． 在()baf x dx ⎰中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．（2）定积分的几何意义2．定积分的性质(1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 1212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，常把F (b )－F (a )记作()|b a F x ，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰．【基础考点突破】 考点1.定积分的计算【例1】设21,1(),11x ef x x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪--≤≤⎩，则1()e f x dx -⎰等于( )A.34B.45 C.53D. 56【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ：①对被积函数要先化简，再求积分； ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.变式训练1. (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4].若⎠⎛k3f (x )d x ＝403，则k 的值为( ) A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.题型2. 定积分的几何意义命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分 【例2】定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.变式训练2. ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝________.命题点2 利用定积分求平面图形面积 【例3】（1）【2015唐山质检】已知曲线y ，2y x =-，13y x =-所围成的图形的面积为S ，则S =_____.（2）已知曲线2y x =，(0)y kx k =>所围成的去边图形的面积为43，则k =____________【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.变式训练3.（1）如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为_____．考点3.定积分在物理中的应用【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113 C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2【基础练习巩固】1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223D ．22－23．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )A.2π5 B.43 C.32 D.π25．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为_______7．ʃ1(e x＋x )d x ＝________.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦． 9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．2017年高考数学基础突破——导数与积分第10讲 定积分与微积分基本定理（学生版，后附教师版）【知识梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数()f x 在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点i ξ(i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx =∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a ，b ]上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()lim ()nbi an i b af x dx f nξ→+∞=-=∑⎰． 在()baf x dx ⎰中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．（2）定积分的几何意义2．定积分的性质(1) ()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)；(2) 1212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，常把F (b )－F (a )记作()|b a F x ，即()()|()(bb aaf x d xF x F b F a ==-⎰．【基础考点突破】 考点1.定积分的计算【例1】设21,1(),11x ef x x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪--≤≤⎩，则1()e f x dx -⎰等于( )A.34B.45 C.53D. 56答案 C 解析12321111111115()()()|ln |323eee f x dx x x dx dx x x x x ---=-+=-+=⎰⎰⎰. 【归纳总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ：①对被积函数要先化简，再求积分； ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错.变式训练1. (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4].若⎠⎛k3f (x )d x ＝403，则k 的值为( ) A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－1(2)(2016·湖北省重点中学高三考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案 (1)B (2)－4解析 (1)∵⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝223＜403，∴当k ≥2时，⎠⎛k3f (x )d x ＜403，∴k ＜2，∴⎠⎛k3f (x )d x ＝⎠⎛k2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2＋1)d x ＝403，化简得k 2＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝－1.(2)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1).所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2. 故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44－x 320＝－4.题型2. 定积分的几何意义命题点1.利用定积分的几何意义计算定积分 【例2】定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.答案9π4解析 由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.变式训练2. ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝________. 答案π2＋e －1e－2 解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x－1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，即ʃ1－11－x 2d x ＝π2，而ʃ1－1(e x－1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 命题点2 利用定积分求平面图形面积 【例3】（1）【2015唐山质检】已知曲线y ，2y x =-，13y x =-所围成的图形的面积为S ，则S =_____.（2）已知曲线2y x =，(0)y kx k =>所围成的去边图形的面积为43，则k =____________ 答案 (1)136(2)2解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1).130111d 2d 33S x x x x x⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭⎰⎰31322201211214132.3633636||x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.变式训练3.（1）如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为_____． 答案 （1）D (2)163解析 （1）由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝ʃ120(14－x 2)d x ＋ʃ112(x2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x )|112＝14. （2）解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.考点3.定积分在物理中的应用【例3】 (2016·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).【基础练习巩固】1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223 D ．22－2答案 D解析 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，解得x ＝π4.故图中阴影部分的面积S ＝π40⎰(cosx －sin x )d x ＋π2π4⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )π40|＋(－cos x －sin x )π2π4|＝sin π4＋cos π4－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.3．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为433 J.4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2答案 B解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)． 因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43.5．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.6．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为_______答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1).∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝33120142.4123||x x x ⎡⎤⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 7．ʃ10(e x＋x )d x ＝________. 答案 e －12解析 ʃ10(e x ＋x )d x ＝(e x＋12x 2)|10＝e ＋12－1＝e －12.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦． 答案 36解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x11 ＝5×2＋(32x 2＋4x )|42＝10＋[32×42＋4×4－(32×22＋4×2)]＝36(焦)．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|31＝23＋16＋43＝136.。