北航概率统计2012-2013试卷

北京航空航天大学
BEIHANG UNIVERSITY
2011－2012 学年第二学期期末
考试统一用答题册考试课程概率统计A （A09B204A）
概率统计B（A09B204B）
B
（试卷共6页，五道题）
班级_____________ 学号 _____________
姓名______________ 成绩 _________
考场教室_________ 任课教师_________
2012年6月20日(10:30-12:30)
一、单项选择题（每小题4分，满分36分）
1、设321,,X X X 为总体的一个样本,下列几个总体均值μ的无偏估计量中， 最佳的是（ ）。

(A)123131ˆ5102X X X θ=++; (B) 123
111ˆ333X X X θ=++; (C)123131ˆ3412X X X θ=+-； （D ）123
115ˆ3412X X X θ=++ 。

2、已知),(Y X 的分布律为
设)
,max(Y X Z =,则=+-)32(Z E ( ) 。

(A) 413-
； (B) 425 ； (C) 4
1- ； (D) 41 。

3、设随机变量),(Y X 的概率密度为(,)f x y ，且函数(
,)f x y
连续，
Z =()Z f z ，记
222:r C x y r +=，
则有当
0z >时，()Z f z =( )。

(A)
C (,)r
z
f x y dsdr ⎰⎰
， (B)
(,)f x y ds ⎰
，
(C)
(,)f x y ds ⎰
， (D) (,)z
C f x y ds ⎰ 。

4、在下列函数中,可以作为随机变量的概率密度函数的是( ) 。

(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,023,sin )(1ππx x x f , (B) ⎪⎩⎪
⎨⎧
≤≤=其它,023,sin )(2
ππx x x f , (C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,023,cos )(3ππx x x f , (D) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它
,023,cos 1)(4π
πx x x f 。

5、设总体X 的概率密度⎩
⎨⎧+∞
<≤=--其它,0,);()(x e x f x θθθ ,(参数θ).
n x x x ,,,21⋅⋅⋅是总体X 的样本值,则参数θ的极大似然估计=θˆ( )。

(A) x ； (B) 12max{,,,}n x x x ；(C)
1
x
； (D) 12min{,,,}n x x x 。

6、设随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，对任意实数z ，
{max{,}}P X Y z >=( )。

（A ）{,}P X z Y z >> ， (B) (,)F z z ,
(C) 1(,)F z z -, (D) {}{}P X z P Y z >+> 。

7、设袋中装有m 个颜色各不相同的球，有返回的摸取n 次，摸到了X 种颜色的 球，则EX = ( ) 。

(A) (1)[1]n n m m m -- ； (B) (1)[1]m
m
n n n -- ；(C) n m n + ； (D) m
m n + 。

8、设总体),0(~2σN X ,1521,,,X X X 为来自总体X 的一个样本,
则下列各式中正确的是( )。

(A) 15
1
~(0,15)k k X N =∑, (B) 15
221
~(15)k k X χ=∑,
5
~(10)k
X t ∑, (D)
5
2
1
15
26
2~(5,10)k k j
j X F X
==∑∑ 。

9、设随机变量序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,2
1
n
X X X
独立同分布,
且2~(,)i X N μσ, ),2,1(⋅⋅⋅=i ，
记∑==n
i i
n X Y 1
, *
n Y =
**
(){}n n Y F x P Y x =≤，
则对任意实数
x ,有 *
()lim n Y n F
x →∞
=（ ）。

(A) ()x ϕ； (B) ()x Φ； (C) μ； (D) 2σ 。

二、填空题（每小题4分，满分36分）
1、设随机变量
X 的分布律为1{}(1)k P X k p p -==-，01p <<，1,2,k = ,
则EX = 。

2、在半径为a 的圆内,取定一直径，过此直径上任一点作垂直于此直径的弦,
则弦长小于a 2的概率为 。

（常数0>a ）。

3、设随机变量X 的概率密度为x
x e
e a
x f -+=
)(, +∞<<∞-x ,（常数0>a ）， 则
{0P X <<= 。

4、从5双不同的鞋子中任取4只,则至少有2只配成一双的概率是 。

5、设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0
x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ , 则()X
E X e -+= 。

6、设总体()
2,~σμN X ,
n
x x x ,,,21 为X 的样本.
记 11n i i x x n ==∑ ，这里规定 22
1
1()n i i s x x n ==-∑,22s n σ2211()n i i x x σ==-∑.
在未知方差2σ， 检验假设0H :0μμ=时， 选取检验用的统计量及其分布是 。

7、设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自正态总体)1,0(N 的一个样本,n m <≤1, 则统计量2
211
1()m
n
k
k k k m Y X X n m ==+=+-∑∑ 服从的分布为 。

8、设12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，且2
,EX DX μσ==，记11
1n
k k A X X n ===∑，
2
21
1()n
k k S X X n ==-∑，若2221ˆA cS μ
=+是2μ的无偏估计量， 则常数c = 。

9、设总体X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其它,00),(6)(3θ
θθx x x
x f ,
n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本。

则θ的矩估计量=θˆ 。

三、（满分8分）
设随机变量X 的分布函数为3
()()(
)2
x F x a x b -=Φ+Φ， 其中常数,0,1a b a b >+=，()x Φ为(0,1)N 的分布函数，求EX 。

四、（满分10分）（此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做）
设Y X ,是相互独立的标准正态随机变量,t Y X t Z )()(22+=,(0)t >。

试求：(1))(t Z 的一维分布函数(;)F z t 和一维概率密度);(t z f ；
（2）求(())E Z t ，问)(t Z 是否为平稳过程？
[四]、（满分10分）（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做）
已知总体X 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它
,00,1
);(θ
θθx x f , )0(>θ,
321,,X X X 是来自总体X 的样本, ),,min(321X X X Y =；
试求：（1）Y 的概率密度()Y f y ； （2）求EY ；
（3）求常数c ,使),,min(ˆ3
21X X X c =θ为θ的无偏估计。

五、（满分10分）（此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做） 四个位置:1,2,3,4在圆周上逆时针排列。

粒子在这四个位置上随机游动。

粒子
从任何一个位置,以概率32逆时针游动到相邻位置; 以概率31
顺时针游动到相邻位
置;以j n X =)(表示时刻n 粒子处在位置)4,3,2,1(=j j ,
（1） 求齐次马尔可夫链},2,1),({ =n n X 的状态空间和一步转移概率矩阵; （2） 求条件概率{(3)3,(1)1|()2}P X n X n X n +=+==。

[五]、（满分10分）（此题仅学过1至9章的学生做，学过1-9章和11-13章的学生不作）
设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,02
0,10,3
1
),(2y x xy x y x f , 试求：（1）求),(Y X 关于X 边沿概率密度()X f x ；
（2）求),(Y X 关于Y 的边沿概率密度()Y f y ； （3）求}1{≤+Y X P 。