高考数学单元考点练习题9

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2019年高考数学(文)一轮复习必刷题练习第九单元数列

第九单元数列考点一等差数列1.(2017年全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ).A.1B.2C.4D.8 【解析】a 4+a 5=a 1+3d+a 1+4d=24,S 6=6a 1+6×52×d=48,联立 2a 1+7d =24, ①6a 1+15d =48, ②由①×3-②,得(21-15)×d=24,即6d=24,所以d=4. 【答案】C2.(2016年全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ).A .100B .99C .98D .97【解析】(法一)∵{a n }是等差数列,设其公差为d ,∴S 9=9(a 1+a 9)=9a 5=27,∴a 5=3.又∵a 10=8,∴ a 1+4d =3,a 1+9d =8,∴ a 1=−1,d =1.∴a 100=a 1+99d=-1+99×1=98.故选C .(法二)∵{a n }是等差数列,∴S 9=9(a 1+a 9)=9a 5=27,∴a 5=3.在等差数列{a n }中,a 5,a 10,a 15,…,a 100成等差数列,且公差d'=a 10-a 5=8-3=5. 故a 100=a 5+(20-1)×5=98.故选C . 【答案】C3.(2016年浙江卷)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( ).A .{S n }是等差数列B .{S n2}是等差数列 C .{d n }是等差数列D .{d n2}是等差数列【解析】作A 1C 1,A 2C 2,A 3C 3,…,A n C n 垂直于直线B 1B n ,垂足分别为C 1,C 2,C 3,…,C n ,则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,∴|C n C n+1|=|C n+1C n+2|.设|A 1C 1|=a ,|A 2C 2|=b ,|B 1B 2|=c ,则|A 3C 3|=2b-a ,…,|A n C n |=(n-1)b-(n-2)a (n ≥3),∴S n =1c [(n-1)b-(n-2)a ]=1c [(b-a )n+(2a-b )],∴S n+1-S n =12c [(b-a )(n+1)+(2a-b )-(b-a )n-(2a-b )]=12c (b-a ),∴数列{S n }是等差数列.【答案】A4.(2017年全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k =1n1S k= .【解析】设数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 由a 3=a 1+2d=3,S 4=4a 1+6d=10, 得a 1=1,d=1,所以a n =n ,S n =n(n+1)2, 所以∑k=1n1k=2+2+…+2n (n -1)+2=21-12+12-13+…+1n -1-1n +1n -1n +1=2 1−1n +1 =2nn +1.【答案】2nn +15.(2016年全国Ⅱ卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1=1,S 7=28.记b n =[lg a n ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1. (1)求b 1,b 11,b 101;(2)求数列{b n}的前1000项和.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=n.所以b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(2)因为b n=0,1≤n<10,1,10≤n<100, 2,100≤n<1000, 3,n=1000,所以数列{b n}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.考点二等比数列6.(2017年全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯().A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】设塔的顶层灯数为a1,q=2,由S=a1(1-27)1−2=381,解得a1=3.【答案】B7.(2015年全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=().A.21B.42C.63D.84【解析】∵a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21,∴1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去).∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选B.【答案】B8.(2017年全国Ⅲ卷)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.【解析】因为{a n}为等比数列,设公比为q.由题意得a1+a2=−1,a1-a3=−3,即a1+a1q=−1,①a1-a1q2=−3,②显然q≠1,a1≠0,由①②,得1-q=3,解得q=-2,代入①式可得a1=1,所以a4=a1q3=1×(-2)3=-8.9.(2016年全国Ⅰ卷)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=1.又a1+a1q2=10,∴a1=8.故a1a2…a n=a1n q1+2+…+(n-1)=23n·1(n-1)n 2=23n-n22+n2=2-n22+7n2.记t=-n22+7n2=-12(n2-7n)=-12n-722+498,结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数,从而a1a2…a n的最大值为26=64.【答案】6410.(2016年全国Ⅲ卷)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=31,求λ.【解析】(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11−λ,故a1≠0.由S n=1+λa n,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n,即a n+1(λ-1)=λa n.由a1≠0,λ≠0得a n≠0,所以a n+1n =λλ-1.因此{a n}是首项为1,公比为λλ-1的等比数列,于是a n=1λλ-1n-1.(2)由(1)得S n=1-λλ-1n .由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132.考点三等差数列与等比数列的综合应用11.(2017年全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则数列{a n }前6项的和为( ).A.-24B.-3C.3D.8【解析】因为{a n }为等差数列,且a 2,a 3,a 6成等比数列,设公差为d ,所以a 32=a 2a 6,即(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ).因为a 1=1,代入上式可得d 2+2d=0,又d ≠0,则d=-2,所以S 6=6a 1+6×52d=1×6+6×52×(-2)=-24. 【答案】A12.(2015年福建卷)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( ).A .6B .7C .8D .9【解析】不妨设a>b ,由题意得 a +b =p >0,ab =q >0,∴a>0,b>0,则a ,-2,b 成等比数列,a ,b ,-2成等差数列, ∴ ab =(−2)2,a -2=2b ,∴ a =4,b =1,∴p=5,q=4,∴p+q=9.【答案】D13.(2017年北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a2b 2= .【解析】由a 1=-1,a 4=8,得d=3,则a 2=a 1+d=-1+3=2;由b 1=-1,b 4=8,得q=-2,则b 2=b 1q=2.故a 22=2=1.【答案】114.(2015年全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n+3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由a n 2+2a n =4S n +3, ① 可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3. ②②-①,得a n +12-a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1, 即2(a n+1+a n )=a n +12-a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由a n >0,得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. (2)由a n =2n+1可知,b n =1an a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12 12n +1-12n +3 . 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n=12 13-15 + 15-17 +⋯+ 12n +1-12n +3=n 3(2n +3).15.(2015年天津卷)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式; (2)设b n =log 2a 2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)由已知,得(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4),即a 4-a 2=a 5-a 3,所以a 2(q-1)=a 3(q-1). 又因为q ≠1,所以a 3=a 2=2.由a 3=a 1·q ,得q=2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,a n =a 2k-1=2k-1=2n -12;当n=2k (k ∈N *)时,a n =a 2k =2k=2n2.所以数列{a n }的通项公式为a n = 2n -12,n 为奇数,2n 2,n 为偶数.(2)由(1)得b n =log 2a 2n 2n -1=n2n -1,n ∈N *.设数列{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12n -2+n ×12n -1,12S n =1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12n -1+n ×12n , 上述两式相减,得1S n =1+1+122+…+12n -1-n n =1−12n 1−12-n n =2-2n -n n , 整理得S n =4-n +22n -1,n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和为4-n +22n -1,n ∈N *.高频考点:数列的通项,等差数列与等比数列的判断或证明,等差数列与等比数列的基本量、通项及求和,数列的综合应用.命题特点:1.等差数列、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以选择题或填空题形式出现. 2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和,体现转化与化归的思想.3.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点,考查考生分析问题、解决问题的综合能力.§9.1 数列的概念一数列的定义按照排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫作这个数列的 ,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫作首项).二数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.三数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项),且任意一项a n 与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n =f (a n-1)(或a n =f (a n-1,a n-2)等),那么这个式子叫作数列{a n }的递推公式.☞左学右考下列说法正确的是( ).A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列B.数列-2,3,6,8可以表示为{-2,3,6,8}C.{a n }和a n 是相同的概念D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n 等于( ).A.(-1)n +12B.cos nπC.cos n +1πD.cosn +2π四S n与a n的关系已知数列{a n}的前n项和为S n,这个关系式对任意数列均成立.则a n=S1,n=1,S n-S n-1,n≥2,五数列的分类1.单调性递增数列:∀n∈N*,;递减数列:∀n∈N*,;常数列:∀n∈N*,a n+1=a n;摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.2.周期性周期数列:∀n∈N*,存在正整数k,a n+k=a n.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2-2n+2,求数列{a n}的通项公式.知识清单一、一定顺序项二、序号n五、1.a n+1>a n a n+1<a n基础训练1.【解析】对于A,摆动数列是指从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列,故A正确;数列与数集是不同的,故B错误;{a n}和a n是不同的概念,{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,而a n表示的是这个数列的第n项,故C错误;每一个数列的通项公式并不都是唯一确定的,故D错误.【答案】A2.【解析】令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确. 【答案】D3.【解析】当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-3.由于当n=1时,a 1的值不满足a n (n ≥2)的解析式,故数列{a n }的通项公式为a n = 1,n =1,2n -3,n ≥2.题型一由数列的前几项求数列的通项公式【例1】根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式.(1)4,6,8,10,…; (2)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…; (3)a ,b ,a ,b ,a ,b ,…(其中a ,b 为实数); (4)9,99,999,9999,…; (5)3,33,333,3333,….【解析】(1)因为各数都是偶数,且最小值为4,所以它的一个通项公式a n =2(n+1),n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式a n =(-1)n×1n (n +1),n ∈N *. (3)这是一个摆动数列,奇数项是a ,偶数项是b , 所以它的一个通项公式a n =a ,n 为奇数,b ,n 为偶数n ∈N *. (4)这个数列的前4项可以写成10-1,102-1,103-1,104-1,所以它的一个通项公式a n =10n-1,n ∈N *.(5)将数列各项改写为93,993,9993,99993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以它的一个通项公式a n =13(10n-1),n ∈N *.【变式训练1】(1)已知n ∈N *,给出4个表达式:①a n =0,n 为奇数,1,n 为偶数,②an =1+(−1)n 2,③a n =1+cos nπ2,④a n = sin nπ2.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是( ).A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④(2)数列-1,32,-13,34,-15,36,…的一个通项公式a n = . 【解析】(1)检验知①②③都是所给数列的通项公式.(2)因为该数列奇数项为负,偶数项为正,所以通项公式中含因式(-1)n.又各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…,各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为2-1=1,偶数项为2+1=3,所以a n =(-1)n·2+(−1)n n,n ∈N *,也可写为a n = -1n,n 为奇数,3n,n 为偶数n ∈N *. 【答案】(1)A (2)a n =-1n,n 为奇数,3,n 为偶数n ∈N * 或a n =(−1)n ·2+(−1)nn,n ∈N *题型二由递推公式求通项公式【例2】(1)已知数列{a n }满足a 1=12,a n+1=a n +1n 2+n ,则数列{a n }的通项公式a n = ;(2)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =n -1na n-1(n ≥2),则数列{a n }的通项公式a n = ;(3)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1,则数列{a n }的通项公式a n = ; (4)若数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a nn ,则数列{a n }的通项公式a n = .【解析】(1)由条件知a n+1-a n =1n 2+n =1n (n +1)=1n -1n +1, 则(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n-1)= 1−1 + 1-1 + 1-1 +…+1n -1-1 , 即a n -a 1=1-1n .又∵a 1=12,∴a n =1-1+1=3-1.(2)∵a n =n -1na n-1(n ≥2), ∴a n-1=n -2n -1a n-2,…,a 2=12a 1. 以上(n-1)个式子相乘得a n =a 1·12·23·…·n -1n =a 1n =1n. (3)由a n+1=3a n +1得a n+1+1=3a n +3=3 a n +1 .又a 1+1=3,∴ a n +1 是首项为3,公比为3的等比数列,∴a n +1=3n ,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n -12. (4)∵a n+1=2a na n +2,a 1=1, ∴a n ≠0,∴1an +1=1a n+12,即1an +1-1a n=12.又a 1=1,则1a 1=1,∴ 1n是以1为首项,1为公差的等差数列.∴1a n=1a 1+(n-1)×12=n 2+12,∴a n =2n +1.【答案】(1)3-1 (2)1 (3)3n -1(4)2【变式训练2】(1)(2017泰安模拟)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =n (a n+1-a n )(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式是( ).A.2n-1B. n +1nn -1C.n 2D.n(2)已知数列{a n }满足a n+1-a n =n+1(n ∈N *),且a 1=1,则数列{a n }的通项公式a n = ; (3)已知数列{a n }满足a n =a n-1+1n (n -1)(n ≥2,n ∈N *),且a 1=1,则该数列{a n }的通项公式a n = .【解析】(1)(法一)由已知整理得(n+1)a n =na n+1,∴a n +1n +1=a n n ,∴数列 a n n 是常数列,且a n n =a11=1,∴a n =n. (法二)当n ≥2时,a n n -1=n n -1,a n -1n -2=n -1n -2,…,a 32=3,a 21=2, 将各式两边分别相乘,得an a 1=n ,∵a 1=1,∴a n =n.(2)由题意有a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n-1=n (n ≥2). 以上各式相加,得a n -a 1=2+3+…+n=(n -1)(2+n )2=n 2+n-22. 又∵a 1=1,∴a n =n 2+n2(n ≥2). ∵当n=1时也满足此式,∴a n =n 2+n2. (3)由已知得a 2-a 1=12×1,a 3-a 2=13×2,…,a n -a n-1=1n (n -1), 将上式两边分别相加,得a n -a 1=11×2+12×3+…+1n (n -1).又∵a 1=1,∴a n =1+1-12+12-13+…+1n -1-1n=2-1n =2n -1n . 【答案】(1)D (2)n 2+n2(3)2n -1n题型三由S n 和a n 的关系求通项【例3】(1)(2017银川模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n+1,则数列{a n }的通项公式a n = .(2)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n+b ,求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(n 2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.又a 1=3≠2×1,所以a n = 3,n =1,2n ,n ≥2.(2)当n=1时,a 1=S 1=3+b ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n+b )-(3n-1+b )=2×3n-1.当b=-1时,a 1满足此等式;当b ≠-1时,a 1不满足此等式. 所以当b=-1时,a n =2×3n-1;当b ≠-1时,a n = 3+b ,n =1,2×3n -1,n ≥2.【答案】(1) 3,n =1,2n ,n ≥2【变式训练3】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为 .(2)(2017福州质检)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则数列{a n }的通项公式是a n = . 【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=-1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,∴a n = -1,n =1,2n -1,n ≥2.(2)由S n =23a n +13,得当n ≥2时,S n-1=23a n-1+13, 两式相减整理,得当n ≥2时,a n =-2a n-1. 又∵当n=1时,S 1=a 1=23a 1+13,∴a 1=1,∴{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列, ∴a n =(-2)n-1.【答案】(1)a n =-1,n =1,2n -1,n ≥2(2)(-2)n-1方法函数思想在数列中的应用数列是定义域为正整数集的特殊函数,具有函数的某些性质,如单调性、周期性等.故可从函数的角度去认识数列,利用函数的思想或方法去研究数列可以带来意想不到的收获.【突破训练】已知在数列{a n }中,a n =1+1a +2(n -1)(n ∈N *,a ∈R ,且a ≠0).(1)若a=-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围.【解析】(1)由题意知a n =1+12n -9. 结合函数f (x )=1+12x -9的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5=2,最小项为a 4=0.(2)a n =1+1a +2(n -1)=1+12n -2−a 2. ∵对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,结合函数f (x )=1+12x -2−a 2的单调性,知5<2−a2<6, ∴-10<a<-8,故a 的取值范围为(-10,-8).1.(2016湖州一模)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ).A.1,1,1,1,…B.-1,-2,-3,-4,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1, 2, 3,…, n【解析】根据定义,属于无穷数列的是选项A 、B 、C ,属于递增数列的是选项C 、D ,故同时满足要求的是选项C.【答案】C2.(2016杭州质评)在数列1,2, 7, 10, 13,…中,2 19是这个数列的第( )项.A.16B.24C.26D.28【解析】设题中数列为{a n },则a 1=1= 1,a 2=2= 4,a 3= 7,a 4= 10,a 5= 13,…,所以a n = 3n -2.令 3n -2=2 19= 76,解得n=26.【答案】C3.(2017广州联考)数列1,-58,715,-924,…的一个通项公式是( ).A.a n =(-1)n+12n -1n 2+n(n ∈N *)B.a n =(-1)n-12n +1n 3+3n(n ∈N *) C.a n =(-1)n+12n -1n 2+2n(n ∈N *) D.a n =(-1)n-12n +1n 2+2n(n ∈N *) 【解析】所给数列各项可写成3,-5,7,-9,…,通过对比各选项,可知选D.【答案】D4.(2017嘉兴模拟)数列{a n }满足a n+1+a n =2n-3,则a 8-a 4=( ).A.7B.6C.5D.4【解析】依题意得(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即a n+2-a n=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.【答案】D5.(2017黄冈模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1a n=2n(n∈N*),则a10等于().A.64B.32C.16D.8【解析】因为a n+1a n=2n,所以a n+1a n+2=2n+1,两式相除得a n+2n=2.又a1a2=2,a1=1,所以a2=2,则a10 8·a86·a64·a42=24,即a10=25=32.【答案】B6.(2016芜湖监测)设a n=-3n2+15n-18,则数列{a n}中的最大项的值是().A.16B.13C.4D.0【解析】a n=-3 n-522+34,由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,a n取得最大值,最大值为a2=a3=0.【答案】D7.(2017豫南八校联考)在数列{a n}中,已知a1=2,a2=7,a n+2等于a n a n+1(n∈N*)的个位数,则a2018=().A.8B.6C.4D.2【解析】由题意得,a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列{a n}中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2018=a335×6+8=a8=2.【答案】D8.(2017贵阳监测)若数列{a n}的前n项和S n=n2-10n(n∈N*),则数列{na n}中数值最小的项是().A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项【解析】∵S n=n2-10n,∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-11;当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.∴a n=2n-11(n∈N*).记f(n)=na n=n(2n-11)=2n2-11n,此函数图象的对称轴为直线n=11,但n∈N*,∴当n=3时,f(n)取得最小值.故数列{na n}中数值最小的项是第3项.【答案】B9.(2017山西忻州四校联考)若数列{a n}满足关系a n+1=1+1a n ,a8=3421,则a5=.【解析】借助递推关系,则a8递推依次得到a7=2113,a6=138,a5=85.【答案】8510.(2017合肥质检)已知数列{2n-1·a n }的前n 项和S n =9-6n ,则数列{a n }的通项公式是 .【解析】当n=1时,20·a 1=S 1=3,∴a 1=3.当n ≥2时,2n-1·a n =S n -S n-1=-6,∴a n =-32n -2,∴通项公式a n = 3,n =1,-32n -2,n ≥2. 【答案】a n = 3,n =1,-32n -2,n ≥211.(2017青岛质评)数列{a n }满足a n +a n+1=1(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ).A.5B.72C.92D.132【解析】∵a n +a n+1=1,a 2=2,∴a n = -32,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11× -3 +10×2=7. 【答案】B12.(2017河北四校联考)已知数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n+5,则数列{a n }的通项公式为( ).A.a n =2n+1B.a n = 14(n =1),2n +1(n ≥2)C.a n =2nD.a n =2n+2【解析】由题意可知,数列{a n }满足条件12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n+5,则12a 1+122a 2+123a 3+…+12n -1a n-1=2(n-1)+5,n>1,两式相减可得,an 2n =2n+5-2(n-1)-5=2,∴a n =2n+1,n>1,n ∈N *.当n=1时,a 12=7,∴a 1=14.综上可知,数列{a n}的通项公式为a n=14(n=1),2n+1(n≥2).【答案】B13.(2017安徽六安月考)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=.【解析】因为a1=-1,a n+1=S n S n+1,所以S1=-1,S n+1-S n=S n S n+1.因为S n≠0,所以1S n+1-1S n=-1,所以数列1S n是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以1S n =-n,所以S n=-1n.【答案】-1n14.(2017东北三校联考)已知在数列{a n}中,a1=1,前n项和S n=n+23a n.(1)求a2,a3的值;(2)求{a n}的通项公式.【解析】(1)由S2=43a2,得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.由S3=53a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=32(a1+a2)=6.(2)由题意知a1=1.当n≥2时,有a n=S n-S n-1=n+2a n-n+1a n-1,整理得a n=n+1n-1a n-1(n≥2).于是a1=1,a2=3a1,a3=4a2,…,a n=n+1n-1a n-1.将以上n个等式两端分别相乘,整理得a n=n(n+1)2(n≥2).显然,当n=1时也满足上式.综上可知,{a n}的通项公式为a n=n(n+1)2(n∈N*).15.(2017河南信阳高中模考)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n+1=2S n +1,等差数列{b n }满足b 3=3,b 5=9. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *, S n +12·k ≥b n 恒成立,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由a n+1=2S n +1, ① 得a n =2S n-1+1(n ≥2), ②①-②得a n+1-a n =2(S n -S n-1),∴a n+1=3a n , ∴a n =3n-1.∵b 5-b 3=2d=6,∴d=3,∴b n =3+(n-3)×3=3n-6.(2)S n =a 1(1-q n )1−q=1−3n 1−3=3n -12, ∴3n -12+12k ≥3n-6对任意的n ∈N *恒成立,即k ≥2(3n -6)3n对任意的n ∈N *恒成立.令c n =3n -6n ,c n -c n-1=3n -6n -3n -93n -1=-2n +73n -1(n ≥2), 当n ≤3时,c n >c n-1;当n ≥4时,c n <c n-1.∴(c n )max =c 3=19,得k ≥29.§9.2 等差数列一等差数列的有关概念1.定义:如果一个数列从起,每一项与它的前一项的都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.符号表示为(n∈N*,d为常数).,其中A叫作a,b的.2.等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=a+b2二等差数列的有关公式1.通项公式:a n=.2.前n项和公式:S n=n(a1+a n)=na1+n(n-1)d=d n2+ a1-d n(n∈N*)⇔S n=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*).三等差数列的常用性质1.通项公式的推广:a n=a m+(n,m∈N*).2.若{a n}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则.3.若{a n}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为.4.若{a n},{b n}是等差数列,则{pa n+qb n}也是等差数列.5.若{a n}是等差数列,公差为d,则a k,a k+m,a k+2m,…(k,m∈N*)是公差为的等差数列.6.在等差数列{a n}中,若a1>0,d<0,则S n存在最值;若a1<0,d>0,则S n存在最值.☞左学右考在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为().A.1B.2C.3D.42017胶州模考)在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a m=a1+a2+…+a9,则m的值为().A.37B.36C.20D.192017太原一模)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于().A.8B.10C.12D.142017陕西八校联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-11,a3+a7=-6,则当S n取最小值时,求n的值.知识清单一、1.第2项差a n+1-a n=d2.等差中项二、1.a1+(n-1)d三、1.(n-m)d2.a k+a l=a m+a n3.2d5.md6.大小基础训练1.【解析】(法一)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得a1=1,d=2.∴d=2.(法二)∵在等差数列{a n}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5.又a4=7,∴公差d=7-5=2.【答案】B2.【解析】∵a m=a1+a2+…+a9=9a1+9×8d=36d=a37,∴m=37.【答案】A3.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则S3=3a1+3d,所以12=3×2+3d,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12.【答案】C4.【解析】设等差数列{a n}的公差为d.因为a3+a7=-6,所以a5=-3,所以d=2,则S n=n2-12n,故当n=6时,S n取得最小值.题型一等差数列基本量的计算【例1】(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则n=().A.5B.6C.7D.8(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a13=S13=13,则a1=().A.-14B.-13C.-12D.-11【解析】(1)S n+2-S n=a n+1+a n+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.(2)在等差数列{a n}中,S13=13(a1+a13)=13,所以a1+a13=2,则a1=2-a13=2-13=-11.【答案】(1)D(2)D等差数列基本运算的解题策略:(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a【变式训练1】(1)(2017沈阳质检)已知数列{a n}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{a n}的公差d等于().A.-1B.-2C.-3D.-4(2)(2017年武汉调研)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=2,a5=3a3,则S9=().A.-72B.-54C.54D.90【解析】(1)∵a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4,∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3.(2)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=2,a5=3a3,∴2+4d=3(2+2d),解得d=-2,∴S9=9a1+9×8d=-54.2【答案】(1)C(2)B题型二等差数列的判定与证明【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n ·S n-1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证: 1S n是等差数列. (2)求a n 的表达式.【解析】(1)∵a n =S n -S n-1(n ≥2),又a n =-2S n ·S n-1,∴S n-1-S n =2S n ·S n-1. ∵S n ≠0,∴1S n-1S n -1=2(n ≥2),故由等差数列的定义知 1S n 是以1S 1=1a 1=2为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知1S n =1S 1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n ,即S n =12n.∵当n ≥2时,有a n =-2S n ·S n-1=-12n (n -1),又a 1=1,不适合上式,∴a n =12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.①n a -a ②【变式训练2】(1)试说明例2中的数列{a n }是否为等差数列. (2)若将例2中的条件改为“a 1=2,S n =S n -12S n -1+1(n ≥2)”,求a n 的表达式.【解析】(1)不是.当n ≥2时,a n+1=-12n (n +1),而a n+1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n 1n +1-1n -1 =1n (n -1)(n +1). ∵当n ≥2时,a n+1-a n 的值不是一个与n 无关的常数, ∴数列{a n }不是等差数列.(2)∵S n =S n -12S n -1+1,∴1S n =2S n -1+1S n -1=1S n -1+2,∴1S n -1S n -1=2.∴1S n 是以12为首项,2为公差的等差数列.故1S n =12+(n-1)×2=2n-32,即S n=12n-32.当n≥2时,a n=S n-S n-1=12n-32-12n-72=-22n-322n-72.当n=1时,a1=2不适合上式,∴a n=2(n=1),-22n-322n-72(n≥2).题型三等差数列的性质及应用【例3】(1)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=().A.5B.7C.9D.11(2)已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n项和为S n,则使得S n达到最大的n是().A.18B.19C.20D.21(3)等差数列{a n}的通项公式为a n=2n-8,下列四个命题:①数列{a n}是递增数列;②数列{na n}是递增数列;③数列a n是递增数列;④数列{a n2}是递增数列.其中真命题是.【解析】(1)由a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,∴S5=5(a1+a5)2=5a3=5.(2)由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.(3)由a n=2n-8可知等差数列{a n}的公差d为2,∴数列{a n}是递增数列,命题①正确;由na n=2n2-8n=2(n-2)2-8,知数列{na n}不是递增数列,命题②错误;由a n=2-8,知数列a n是递增数列,命题③正确;由a n2=4(n-4)2,知a12>a22>a32>a42,又a42<a52<a62<…,∴{a n2}不是递增数列,命题④错误.综上所述,真命题是①③.【答案】(1)A (2)C (3)①③在等差数列问题的解答过程中,若能灵活运用其性质,则将为解题带来很大的便利,如:(1)将性质【变式训练3】(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8=( ). A.18B.36C.54D.72(2)(2016襄阳调研)在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,则a 10-13a 14的值为( ).A.12B.14C.16D.18(3)(2017兰州一诊)已知在等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和.若S 16>0,且S 17<0,则当S n 最大时n 的值为( ).A.16B.8C.9D.10【解析】(1)由题意,得a 4+a 5=18,∴S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 4+a 5)2=8×182=72. (2)由等差数列性质及a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=90,得a 8=18,∴a 10-1a 14=3a 10-a 14=a 10+a 6+a 14-a 14=a 10+a 6=2a 8=2×18=12. (3)∵S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 8+a 9)>0,S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9<0,∴a 8>0,a 9<0,且d<0.∴当n=8时,S n 取得最大值.【答案】(1)D (2)A (3)B方法等差数列的前n 项和S n 的最值问题在研究等差数列时,求等差数列的前n 项和S n 的最大(小)值问题是其中的一个热点,也是一个重点问题.数列是一类特殊的函数,故可以用函数的知识或方法来解决此问题.【突破训练】(1)(2017长春一模)在等差数列{a n }中,若a 1<0,S n 为其前n 项之和,且S 7=S 17,则S n 为最小时n 的值为 .(2)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n=8时,S n 取得最大值,则d 的取值范围为 .(3)(2017承德模拟)在数列{a n }中,a n+1+a n =2n-44(n ∈N *),a 1=-23.①求a n ;②设S n 为数列{a n }的前n 项和,求S n 的最小值.【解析】(1)由S 7=S 17知,a 8+a 9+…+a 17=0,根据等差数列的性质,a 8+a 17=a 9+a 16=…=a 12+a 13,因此a 12+a 13=0.又a 1<0,∴a 12<0,a 13>0,故当S n 为最小时n 为12.(2)由题意知,d<0且 a 8>0,a 9<0,即 7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d<-7.(3)①a n+1+a n =2n-44(n ∈N *),a n+2+a n+1=2(n+1)-44,由以上两式相减,得a n+2-a n =2.∵a 2+a 1=2-44,a 1=-23,∴a 2=-19,同理得a 3=-21,a 4=-17,….∴a 1,a 3,a 5,…是以-23为首项,2为公差的等差数列;a 2,a 4,a 6,…是以-19为首项,2为公差的等差数列.故a n =n -24,n 为奇数,n -21,n 为偶数.②当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n-1+a n )=(2×1-44)+(2×3-44)+…+[2×(n-1)-44] =2×[1+3+…+(n-1)]-n×44=n 22-22n ,故当n=22时,S n 取得最小值为-242.当n 为奇数时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n-1+a n ) =a 1+(2×2-44)+…+[2×(n-1)-44] =a 1+2×[2+4+…+(n-1)]+n -1×(-44) =-23+(n +1)(n -1)-22(n-1) =n 22-22n-32.故当n=21或n=23时,S n 取得最小值-243.综上所述,当n 为偶数时,S n 取得最小值为-242;当n 为奇数时,S n 取得最小值为-243. 【答案】(1)12 (2) -1,-781.(2016陕西模考)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( ).A.a 1+a 101>0B.a 2+a 100<0C.a 3+a 99=0D.a 51=51【解析】由题意,得a 1+a 2+a 3+…+a 101=a 1+a 1012×101=0.所以a 1+a 101=a 2+a 100=a 3+a 99=0.【答案】C2.(2017西安模考)已知在等差数列{a n }中,a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ).A.S 7B.S 6C.S 5D.S 4【解析】∵ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴a 6<0,∴S n 的最大值为S 5.【答案】C3.(2017深圳调研)已知在每项均大于零的数列{a n }中,首项a 1=1且前n 项和S n 满足S n S n -1-S n-1S n =2 S n S n -1(n ∈N *且n ≥2),则a 81=( ).A.638B.639C.640D.641【解析】由S n S n -1-S n-1 n =2 S n -S n -1,可得 S n - S n -1=2,∴{ n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故 S n =2n-1,S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640.【答案】C4.(2017湖北七校2月联考)在单调递增的等差数列{a n }中,若a 3=1,a 2a 4=34,则a 1=( ).A.-1B.0C.1D.1【解析】由题意知,a 2+a 4=2a 3=2,又∵a 2a 4=3,数列{a n }单调递增,∴a 2=1,a 4=3.∴公差d=a 4-a 22=12,∴a 1=a 2-d=12-12=0. 【答案】B5.(2017浙江名校联考)已知函数f (x )=cos x ,x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1,x 2,且方程f (x )=m 有两个不同的实根x 3,x 4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m=( ).A.12B.-12C. 32D.- 32【解析】若m>0,则公差d=3π2-π2=π,显然不成立,所以m<0,则公差d=3π2-π23=π3.所以m=cos π+π =- 3.【答案】D6.(2017海南质评)在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( ).A.24B.48C.60D.84【解析】由题意知a1>0,a10·a11<0,得d<0,a10>0,a11<0,所以a1>a2>…>a10>0>a11>a12>…>a18>…,所以T18=|a1|+|a2|+…+|a10|+|a11|+|a12|+…+|a18|=a1+a2+…+a10-(a11+a12+…+a18)=2S10-S18=2×36-12=60.【答案】C7.(2016湖南联考)设S n为等差数列{a n}的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=.【解析】由题意知2a1+d=6a1+6×52d,a1+3d=1,解得a1=7,d=−2,∴a5=a4+d=1+(-2)=-1.【答案】-18.(2017黄冈一模)已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n=.【解析】∵a1+a2+a3+a4=21,a n+a n-1+a n-2+a n-3=67,∴(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+(a4+a n-3)=88,∴a1+a n=22.又S n=n(a1+a n)2=11n=286,∴n=26.【答案】269.(2017海南模拟)一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d=.【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得S奇+S偶=354,S偶∶S奇=32∶27,解得S偶=192,S奇=162.又S偶-S奇=6d=30,所以d=192−162=5.【答案】510.(2017苏州测评)在等差数列{a n}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前k项和S k=-35,求k的值.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而a n=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n=3-2n,所以S n =n [1+(3-2n )]2=2n-n 2. 由S k =-35,可得2k-k 2=-35.由k 2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k ∈N *,故k=7.11.(2017南昌模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,a 3+a 10>0,a 6a 7<0,则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ).A.6B.7C.12D.13【解析】∵a 1>0,a 6a 7<0,∴a 6>0,a 7<0,等差数列的公差小于零.又a 3+a 10=a 1+a 12>0,a 1+a 13=2a 7<0,∴S 12>0,S 13<0,∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.【答案】C12.(2016浙江名校联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使最大的三份之和的1是最小的两份之和,则最小的一份为( ).A.53B.103C.56D.116【解析】依题意,设这100个面包所分成的五份由小到大依次为a-2m ,a-m ,a ,a+m ,a+2m ,则有5a =100,a +(a +m )+(a +2m )=7(a -2m +a -m ),解得a=20,m=11a 24,a-2m=a 12=53,即其中最小的一份为53. 【答案】A13.(2017东北三省四市联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则正整数m 的值为 .【解析】因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,所以a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3,数列{a n }的公差d=1,a m +a m+1=S m+1-S m-1=5,即2a 1+2m-1=5,所以a 1=3-m.由S m =(3-m )m+m (m -1)2×1=0,解得正整数m 的值为5.【答案】514.(2017郑州二模)已知在数列{a n }中,a 3=2,a 5=1,若1n是等差数列,则a 11= .【解析】记b n =11+a n,则b 3=13,b 5=12,数列{b n }的公差为12×(12-13)=112,∴b 1=16,∴b n =n +112,即11+a n =n +112.∴a n =11−n n +1,∴a 11=0. 【答案】015.(2017石家庄模拟)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 6=55,a 2+a 7=16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:b 1=a 1且b n =a n +b n-1(n ≥2,n ∈N *),求数列{b n }的通项公式.【解析】(1)由题意得 a 3a 6=55,a 3+a 6=a 2+a 7=16,∵公差d>0,∴a 3=5,a 6=11,∴ a 1=1,d =2,∴a n =2n-1(n ∈N *).(2)∵b n =a n +b n-1(n ≥2,n ∈N *),∴b n -b n-1=2n-1(n ≥2,n ∈N *).∵b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1(n ≥2,n ∈N *),且b 1=a 1=1, ∴b n =2n-1+2n-3+…+3+1=n 2(n ≥2,n ∈N *). ∵当n=1时,b 1=1满足上式. ∴b n =n 2(n ∈N *).16.(2017山西忻州四校联考)数列{a n }满足a 1=12,a n+1=12−a n(n ∈N *). (1)求证:1a n -1为等差数列,并求出{a n }的通项公式. (2)设b n =1n-1,数列{b n }的前n 项和为B n ,对任意n ≥2都有B 3n -B n >m (n ∈N *)成立,求正整数m 的最大值.【解析】(1)因为a n+1=12−a n ,所以1a n +1-1=112−an-1=2−a n a n -1=-1+1a n -1,即1a n +1-1-1a n -1=-1, 所以1a n -1是首项为-2,公差为-1的等差数列,所以1a n -1=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),所以a n =n.(2)b n =n +1-1=1,令C n =B 3n -B n =1n +1+1n +2+…+13n , 所以C n+1-C n =1n +2+1n +3+…+13(n +1)-1n +1-…-13n =-1n +1+13n +1+13n +2+13n +3=13n +1+13n +2-23n +3>23n +3-23n +3=0, 所以C n+1-C n >0,所以{C n }为单调递增数列, 所以(B 3n -B n )min =B 6-B 2=13+14+15+16=1920,所以m 20<1920,所以m<19.又m ∈N *,所以m 的最大值为18.§9.3 等比数列一等比数列的有关概念1.定义如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于 (不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的 ,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1n=q.2.等比中项如果a ,G ,b 成等比数列,那么叫作a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒ .二等比数列的有关公式。

2019年全国版高考数学必刷题：第九单元平面向量

第九单元平面向量考点一平面向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a ,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= .【解析】∵λa+b 与a+2b 平行,∴λa+b=t (a+2b )(t ∈R),即λa+b=ta+2tb , ∴{λ=t ,1=2t ,解得{λ=12,t =12.【答案】122.(2015年全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A . 【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ).A.3B.2√2 C .√5 D .2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C 的坐标为(2,1).设BD 与圆C 切于点E ,连接CE ,则CE ⊥BD.∵CD=1,BC=2, ∴BD=√12+22=√5, EC=BC ·CD BD=5=2√55, 即圆C 的半径为2√55, ∴点P 的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.设P (x 0,y 0),则{x 0=2+2√55cosθ,y 0=1+2√55sinθ(θ为参数),而AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),∴μ=12x 0=1+√55cos θ,λ=y 0=1+2√55sin θ. 两式相加,得λ+μ=1+2√55sin θ+1+√55cos θ=2+sin(θ+φ)≤3 (其中sinφ=√55,cosφ=2√55), 当且仅当θ=π2+2k π-φ,k ∈Z 时,λ+μ取得最大值3. 故选A . 【答案】A考点二向量的数量积运算4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m ),b=(3,-2),且(a+b )⊥b ,则m=( ).A .-8B .-6C .6D .8【解析】因为a=(1,m ),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2). 因为(a+b )⊥b ,所以(a+b )·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8. 【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ).A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√34+√34=√32.又因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠ABC=1×1×cos∠ABC ,所以cos∠ABC=√32.又0°≤∠ABC ≤180°,所以∠ABC=30°.故选A .【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .【解析】由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×cos 60°=3, AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3117.(2017年北京卷)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn ”是“m ·n<0”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ,使得m=λn , 则m 与n 反向共线,θ=180°, 所以m ·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m ·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn. 故“存在负数λ,使得m=λn ”是“m ·n<0”的充分而不必要条件. 故选A . 【答案】A8.(2017年山东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若√3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .【解析】由题意知|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=0,|√3e 1-e 2|=√(√3e 1-e 2)2=√3e 12-2√3e 1·e 2+e 22=√3-0+1=2.同理|e 1+λe 2|=√1+λ2.所以cos 60°=√3e 121+λe 2+λe=√3e 12√3λ12222√1+λ=√3-2√1+λ=12,解得λ=√33.【答案】√33考点三与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .【解析】|a+2b|=√(a +2b )2=√a 2+4a ·b +4b 2=√22+4×2×1×cos60°+4×12 =√12=2√3.【答案】2√310.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m ,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ·b=|a|2+|b|2,∴a ·b=0. 又a=(m ,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2. 【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .【解析】设a ,b 的夹角为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a -b|=√(a +b )2+√(a -b )2=√5+4cosθ+√5-4cosθ.令y=√5+4cosθ+√5-4cosθ, 则y 2=10+2√25-16cos 2θ.∵θ∈[0,π],∴cos 2θ∈[0,1],∴y 2∈[16,20], ∴y ∈[4,2√5],即|a+b|+|a-b|∈[4,2√5].【答案】4 2√5考点四平面向量在平面几何中的应用12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ). A.-2 B.-32C.-43D.-1【解析】如图,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ (D 为BC 的中点),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .要使PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,即点P 在线段AD 上,则(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,问题转化为求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值.又|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√32=√3,∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤(|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2)2=(√32)2=34,∴[PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]min =(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2×34=-32.故选B . 【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ). A.I 1<I 2<I 3 B.I 1<I 3<I 2 C.I 3<I 1<I 2 D.I 2<I 1<I 3【解析】∵I 1-I 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又OB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为钝角, ∴I 1-I 2<0,即I 1<I 2.∵I 1-I 3=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠COD =cos∠AOB (|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |), 又∠AOB 为钝角,OA<OC ,OB<OD ,∴I 1-I 3>0,即I 1>I 3. ∴I 3<I 1<I 2.故选C . 【答案】C高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.§9.1平面向量的概念及线性运算一向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±a|a|4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)5.相等向量:长度且方向的向量.6.相反向量:长度且方向的向量.二向量的线性运算1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足和.2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.☞ 左学右考如图,在正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B .23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C .13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗下列命题中,正确的个数是( ).①若|a|=|b|,则a=b ; ②若a=b ,则a ∥b ; ③|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |;④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.A .1B .2C .3D .4已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则( ).A .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗知识清单一、2.零 3.1个单位 4.相同相反 5.相等相同 6.相等相反二、1.平行四边形三角形交换律结合律 2.> < 基础训练1.【解析】EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .【答案】D2.【解析】∵a 与b 的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b 为零向量,则a 与c 的方向不能确定,∴④错误. 【答案】B3.【解析】由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,O 是底边BC 上的中线AD 的中点,故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】A题型一平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题:①若|a|=|b|,则a ∥b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b ,b=c ,则a=c ;④“a=b ”的充要条件是“|a|=|b|且a ∥b ”.其中正确命题的序号是 .【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线. ②正确.若四边形ABCD 为平行四边形,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ③正确.∵a=b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同.又b=c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b ,故“|a|=|b|且a ∥b ”不是“a=b ”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③. 【答案】②③【变式训练1】下列命题中正确的是( ).A .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线B .|a|=|b|,则a=±bC .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D 不正确;对于C,由零向量与任一向量都共线,可知C 正确,故选C .【答案】C题型二向量的线性运算【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是( ).①PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b ;②PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a-b ; ③PS ⃗⃗⃗⃗ =32a-12b ;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+b. A .①② B .③④ C .①③ D .②④【解析】①根据向量的加法法则,得PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a-32b ,故②错误;③PS⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b-2b=32a-12b ,故③正确;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b-b=32a+12b ,故④错误.故选C . 【答案】C【变式训练2】如图,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .a-12bB .12a-bC .a+12bD .12a+b【解析】连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+12a.【答案】D题型三共线向量定理及应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b ,求证:A ,B ,D 三点共线. (2)试确定实数k ,使ka+b 与a+kb 共线. 【解析】(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b-5a+b=-2a-4b =-2(a+2b )=-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵它们有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线.(2)∵ka+b 与a+kb 共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb ),即ka+b=λa+λkb ,∴(k-λ)a=(λk -1)b.∵a ,b 是不共线的两个非零向量, ∴k -λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1.【变式训练3】已知向量a=2e 1-3e 2,b=2e 1+3e 2,c=2e 1-9e 2,其中向量e 1,e 2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d=λa+μb 与c共线,求λμ的值.【解析】∵d=λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2,要使d 与c 共线,则应有实数k ,使d=kc , 即(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2=2ke 1-9ke 2,∴{2λ+2μ=2k ,-3λ+3μ=-9k ,得λ=-2μ,∴λμ=-2.方法待定系数法在平面向量的线性运算中的应用用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的切入口,可利用待定系数法求解.例如用a 、b 表示OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.【突破训练】如图,在△ABO 中,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.试用a 和b 表示向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【解析】设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+12b.∵A ,M ,D 三点共线,∴AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t ,使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(m-1)a+nb=t (-a +12b).∴(m-1)a+nb=-ta+12tb.∴{m -1=-t ,n =t 2,消去t 得,m+2n=1. ① ∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-14a=(m -14)a+nb ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-14a=-14a+b.又∵C ,M ,B 三点共线,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t 1,使得CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(m -14)a+nb=t 1(-14a +b),∴{m -14=-14t 1,n =t 1,消去t 1得,4m+n=1. ②由①②得m=17,n=37,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17a+37b.1.(2017湖南二模)设e 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a=|a|e 0;②若a 与e 0平行,则a=|a|e 0;③若a 与e 0平行且|a|=1,则a=e 0.上述命题中,假命题的个数是( ).A .0B .1C .2D .3【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|e 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与e 0平行,则a 与e 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e 0,故②③也是假命题.【答案】D2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .0 B .BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AD⃗⃗⃗⃗⃗ D .CF⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】由图知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】D3.(2017运城一中质检)设a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+pb ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( ).A .-2B .-1C .1D .2【解析】∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b.又∵A ,B ,D 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2a+pb=λ(2a-b ), ∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.【答案】B4.(2017四平二中二模)已知向量a ,b 不共线,c=ka+b (k ∈R),d=a-b.如果c ∥d ,那么( ).A .k=1且c 与d 同向B .k=1且c 与d 反向C .k=-1且c 与d 同向D .k=-1且c 与d 反向【解析】∵c ∥d ,∴c=λd ,即ka+b=λ(a-b ),∴{k =λ,λ=-1.【答案】D5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且CD=2DB ,点E 在边AD 上,且AD=3AE ,则用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CE⃗⃗⃗⃗⃗ 为( ).A .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89AC⃗⃗⃗⃗⃗ B .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89AC ⃗⃗⃗⃗⃗C .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +79AC ⃗⃗⃗⃗⃗D .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -79AC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89CA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵89CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-89AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】B6.(2017四川质检)向量e 1,e 2不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(e 1+e 2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2,给出下列结论:①A ,B ,C 三点共线;②A ,B ,D 三点共线;③B ,C ,D 三点共线;④A ,C ,D 三点共线.其中所有正确结论的序号为 .【解析】由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1+2e 2=2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,可得A ,C ,D 三点共线,且点B 不在此直线上. 【答案】④7.(2017河北三模)如图,在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= .【解析】由题图知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ① CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ② 且AD⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 由①+②×2,得3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=23.【答案】238.(2017唐山一模)已知向量a ,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a ,b 共线的条件是 .(将所有正确的序号填在横线上)①2a-3b=4e ,且a+2b=-3e ;②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0; ③xa+yb=0(实数x ,y 满足x+y=0).【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a 与b 不一定共线,故③错误. 【答案】①②9.(2017黄冈二模)已知a ,b 是不共线的向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa+b ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a+μb ,λ,μ∈R,则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( ). A .λ+μ=2 B .λ-μ=1 C .λμ=-1 D .λμ=1【解析】因为A ,B ,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0),所以{λ=m ,1=mμ,则λμ=1. 【答案】D10.(2017安徽二模)已知A ,B ,C 是△ABC 的三个顶点,O 为平面内一点,满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若实数λ满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则λ的值为( ).A .3B .32C .-2D .23【解析】∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴O 为△ABC 的重心,设BC 的中点为D ,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=3.【答案】A11.(2017河南四校联考)设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2sin α(-π2<α<π2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-54e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D三点共线,则函数f (x )=2cos(x+α)在[0,π)上的值域为( ).A .[-1,12] B .[-2,√3]C .(-2,1]D .(-1,√3]【解析】若A ,B ,D 三点共线,则存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴2e 1+e 2sin α=λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(e 1+14e 2),∴λ=2,sin α=14λ,∴sin α=12.∵-π2<α<π2,∴α=π6.∵0≤x<π,∴π6≤x+α<7π6,∴-2≤f (x )≤√3. 【答案】B12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2√3,BC=2,点E 在线段CD 上,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则μ的取值范围是 .【解析】由题意可求得AD=1,CD=√3,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤12.【答案】[0,12]13.(2017怀化模拟)已知a ,b 为两个不共线的向量,若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a-b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a-3b. (1)试用a ,b 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明四边形ABCD 为梯形.【解析】(1)AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+2b )+(-4a-b )+(-5a-3b ) =(1-4-5)a+(2-1-3)b =-8a-2b.(2)因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-8a-2b=2(-4a-b )=2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即AD⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以在四边形ABCD 中,AD ∥BC 且AD ≠BC , 即四边形ABCD 为梯形.§9.2 平面向量基本定理及坐标表示一平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .二平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a+b= ,a-b= ,λa= ,|a|=√x 12+y 12.2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.三平面向量共线的坐标表示设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.☞ 左学右考已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n 等于( ).A .(1,-1)B .(7,-19)C .(7,-1)D .(1,19)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b 与b 平行,则k= .在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.知识清单一、不共线有且只有基底二、1.(x 1+x 2,y 1+y 2) (x 1-x 2,y 1-y 2) (λx 1,λy 1) 2.(2)(x 2-x 1,y 2-y 1) 基础训练1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19). 【答案】B2.【解析】由ka+b 与b 平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0. 【答案】03.【解析】∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+12μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+12μ=1,12λ+μ=1,两式相加得λ+μ=43.题型一平面向量基本定理的应用【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC 中,M 为边BC 上的任意一点,点N 在线段AM 上,且满足AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ的值为( ). A .14B .13C .1D .4【解析】∵AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B ,M ,C 三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=14.【答案】A【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14a+12b B .12a+14bC .23a+13bD .13a+23b【解析】∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b.∵E 是OD 的中点,∴|DE ||EB |=13,∴|DF|=13|AB|. ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13×(-12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=16a-16b ,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b+16a-16b=23a+13b ,故选C .【答案】C题型二向量坐标的基本运算【例2】已知a=(2,1),b=(1,x ),c=(-1,1).若(a+b )∥(b-c ),且c=ma+nb ,则m+n 等于( ).A .14B .1C .-13D .-12【解析】a+b=(3,1+x ),b-c=(2,x-1).由(a+b )∥(b-c ),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n ,m+5n ),即{2m +n =-1,m +5n =1,解得{m =-23,n =13.【答案】C【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M (5,-6)和向量a=(1,-2),若MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a ,则点N 的坐标为( ). A .(2,0)B .(-3,6)C .(6,2)D .(-2,0)(2)(2017海南中学模考)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .(4,-1)B .(0,9)C .(2,-1)D .(2,9)【解析】(1)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N (x ,y ),则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-5,y+6)=(-3,6),所以{x -5=-3,y +6=6,解得{x =2,y =0,即N (2,0). (2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4), 所以CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)-(0,-5)=(2,9). 【答案】(1)A (2)D题型三共线向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:(1)若向量a=mb+nc ,求实数m ,n ; (2)若(a+kc )∥(2b-a ),求实数k ;(3)若d 满足(d-c )∥(a+b ),且|d-c|=√5,求d. 【解析】(1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1), ∴{-m +4n =3,2m +n =2,解得{m =59,n =89.(2)a+kc=(3+4k ,2+k ),2b-a=(-5,2),∵(a+kc )∥(2b-a ), ∴2×(3+4k )-(-5)(2+k )=0, ∴k=-1613.(3)设d=(x ,y ),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 由题意得{4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y -1)2=5, 解得{x =3,y =-1或{x =5,y =3.∴d=(3,-1)或d=(5,3).【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k 的值是( ).A .-23B .43C .12D .13(2)(2017福建石狮市联考)设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则1a +2b的最小值是( ).A .2B .4C .6D .8【解析】(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-k ,-7),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2k ,-2).∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-2×(4-k )=-7×(-2k ),解得k=-23.(2)由已知条件得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b-a ,1),若A ,B ,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由向量共线定理得(a-1)×1=1×(-b-a ),∴2a+b=1,故1a +2b =(1a +2b )(2a+b )=4+b a +4a b≥4+2√4=8.【答案】(1)A (2)D方法利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,动点P ,M满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ).A .434 B .494C .37+6√34D .37+2√334【解析】∵|DA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴点A ,B ,C 在以点D 为圆心的圆上.又∵DA⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2, ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两两夹角相等,均为120°(如图).设圆D 的半径为r ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r ·r ·cos 120°=-2,∴r=2. ∵PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M 为PC 的中点. ∵|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴点P 在以点A 为圆心,1为半径的圆上.由上知△ABC 是边长为2√3的等边三角形.设AC 的中点为O ,连接DO ,OM ,则B ,D ,O 三点共线,则|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +14|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9+3×1×cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >+14=374+3cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >≤374+3=494,当BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时取等号,即|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是494.【答案】B1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x ,-1),若a-b 与b 共线,则x 的值为( ).A .-3B .1C .2D .1或2 【解析】∵a=(3,1),b=(x ,-1),∴a -b=(3-x ,2). 又∵a -b 与b 共线,∴2x=x-3,∴x=-3. 【答案】A2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是( ).A .a ·b=2B .a ∥bC .|a|=|b|D .b ⊥(a+b )【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a ·b=-2,|a|=2,|b|=√2,所以选项A,B,C 都不正确.而a+b=(-1,1),则b ·(a+b )=0,故选D .【答案】D3.(2017福建泉州调研)若向量a ,b 不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是( ).A .a-2b 与-a+2bB .3a-5b 与6a-10bC .a-2b 与5a+7bD .2a-3b 与12a-34b【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b 与5a+7b 不共线,所以a-2b 与5a+7b 可以作为一组基底. 【答案】C4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC 的顶点分别为A (2,1),B (3,2),C (-3,-1),BC 边上的高为AD ,则点D 的坐标为( ).A .(-95,75)B .(92,-75)C .(95,75)D .(-92,-75)【解析】设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高,∴AD ⊥BC ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又C ,B ,D 三点共线,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,-3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y-2), ∴{-6(x -2)-3(y -1)=0,-6(y -2)+3(x -3)=0,解得{x =95,y =75,∴点D 的坐标为(95,75).【答案】C5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).A .x=23,y=13B .x=13,y=23C .x=14,y=34D .x=34,y=14【解析】由题意知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=23,y=13.【答案】A6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x ,2),b=(2,1),c=(3,x ),若a ∥b ,则向量a 在向量c 方向上的投影为 .【解析】由a ∥b ,得x×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a ·c=12+8=20,所以向量a 在向量c 方向上的投影为20√3+4=4.【答案】47.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,且DC=2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为 .【解析】∵在梯形ABCD 中,DC=2AB ,AB ∥DC ,∴DC⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设点D 的坐标为(x ,y ),则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,2-y ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),∴(4-x ,2-y )=2(1,-1),即(4-x ,2-y )=(2,-2),∴{4-x =2,2-y =-2,解得{x =2,y =4,即点D 的坐标为(2,4).【答案】(2,4)8.(2017南京模拟)如图,在△ABC 中,H 为边BC 上异于点B ,C 的点,M 为AH 的中点,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 【解析】由B ,H ,C 三点共线知,BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (k ≠0,1),则AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{λ=12(1-k ),μ=k 2,从而λ+μ=12. 【答案】129.(2017郑州质检)已知A (2,3),B (5,4),C (7,10),点P 在第一、三象限的角平分线上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则λ等于( ).A .-32B .-12C .12D .32【解析】设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-3). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+5λ,1+7λ). ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -2=3+5λ,y -3=1+7λ,∴{x =5+5λ,y =4+7λ,由点P 在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=12.【答案】C10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB ⊥AC ,AB=AC ,点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-t )AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,若∠BAM=π3,则t 的值为( ). A .√3-√2 B .√2-1 C .√3-12D .√3+12【解析】由题意可得CBAC=√2.因为AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以t=|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 由正弦定理得CM AC =sin30°sin105°, 所以t=CM AC ·AC CB =√3-12,故选C .【答案】C11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的值为( ). A .85B .58C .1D .-1【解析】设正方形的边长为2,以点A 为原点,AB ,AD 分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系(如图),则A (0,0),B (2,0),C (2,2),M (2,1),N (1,2),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),所以{2λ-μ=2,λ+2μ=2,解得{λ=65,μ=25,所以λ+μ=85. 【答案】A12.(2017辽宁大连市一模)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,3),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),若m+n ∈[1,2],则|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ).A .[√5,2√5]B .[√5,2√10)C .(√5,√10)D .[√5,2√10]【解析】因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3m+n ,m-3n ),所以|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3m +n )2+(m -3n )2=√10(m 2+n 2).设点P 的坐标为(m ,n ),则|OF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10|OP|.由题意得P (m ,n )为可行域{1≤m +n ≤2,m ,n >0内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段BC ,AD )及其内部,其中A (1,0),B (0,1),C (0,2),D (2,0),所以点O 到直线AB 的距离d=√22,所以|OP|≥d=√22,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈[√10×√22,√10×2)=[√5,2√10),故选B .【答案】B13.(2017重庆联考)正三角形ABC 内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠MCA=45°,则mn的值为( ).A .√3-1B .√3+1C .√3+12D .√3-12【解析】如图,设正三角形的边长为a ,由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+nCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ,⃗ CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nCB⃗⃗⃗⃗⃗ 2. ∵cos 15°=cos(60°-45°)=√2+√64,∴{√22|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 2+na 22,√2+√64|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 22+na 2,∴m n =√3-12,故选D .【答案】D14.(2017上海模拟)如图,在△ABC 中,BO 为边AC 上的中线,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则λ的值为 .【解析】因为BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+m 3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m 3=15,λ=1+m 3=65. 【答案】6515.(2017北京西城区质检)在直角△ABC 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,且DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,点P 是线段AD 上任一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 .【解析】如图,分别以AB ,AC 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则C (0,3),B (3,0). ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴D (2,1).又∵点P 是线段AD 上任一点,∴可设P (2y ,y ),0≤y ≤1,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2y ,y )·(2y ,y-3)=5y 2-3y. ∵0≤y ≤1,∴-920≤5y 2-3y ≤2.∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-920,2]. 即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-920,2]. 【答案】[-920,2]§9.3 平面向量的数量积及应用一平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a 和b 的数量积(或内积),记作a ·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.二平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.三平面向量数量积的重要性质1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).2.非零向量a,b,a⊥b⇔.3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.4.a·a=a2,|a|=√a·a.5.cos θ=.6.|a·b|≤|a||b|.四平面向量数量积满足的运算律1.a·b=b·a(交换律);2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).五平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b= ,由此得到1.若a=(x ,y ),则|a|2= 或|a|=√x 2+y 2. 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点间的距离|AB|=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2. 3.设两个非零向量a ,b ,a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ .☞ 左学右考已知向量a 与b 的夹角为3π4,且|a|=√2,|b|=2,则a (2a+b )等于( ).A .-1B .1C .2D .2√2向量a=(3,-4), 向量|b|=2,若a ·b=-5,则向量a ,b 的夹角为( ).A .π3B .π6C .3π4D .2π3设向量a ,b 满足a ·b=-12,且向量a 在向量b 方向上的投影为-4,则|b|等于( ).A .4B .3C .2D .1在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值.知识清单一、0三、2.a ·b=0 5.a ·b|a ||b |五、x 1x 2+y 1y 2 1.x 2+y 23.x 1x 2+y 1y 2=0 基础训练1.【解析】a (2a+b )=2a 2+a ·b=4-2=2. 【答案】C2.【解析】cos <a ,b>=a ·b |a ||b |=-55×2=-12,即向量a ,b 的夹角为2π3.【答案】D3.【解析】设向量a ,b 的夹角为θ,则a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|cos θ·|b|=-4|b|=-12,∴|b|=3. 【答案】B4.【解析】如图,因为M 是BC 的中点,所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-49|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-49.题型一平面向量的数量积的运算【例1】(2017江西省玉山县一中期中)设D 为边长是2的正三角形ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ).A .143B .-143C .43D .4【解析】∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴点D 在线段BC 的延长线上,且BD=4CD ,则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=23,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2×23×12=143. 【答案】A【变式训练1】(1)(2017银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ).A .-1B .0C .1D .2(2)(2017长沙模拟)在矩形ABCD 中,AB=2,BC=2√2,E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .【解析】(1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a 2=2,a ·b=-3.∴(2a+b )·a=2a 2+a ·b=4-3=1.(2)如图,∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, ∴|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×(-1)+√2×2√2×1=2.【答案】(1)C (2)2题型二向量的夹角与向量的模【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b )·(2a+b )=61,则a 与b 的夹角的大小为 ,|a+b|= .【解析】∵(2a-3b )·(2a+b )=61,∴4|a|2-4a ·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a ·b-27=61,∴a ·b=-6.∴cosθ=a ·b |a ||b |=-64×3=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.∵|a+b|2=(a+b )2=|a|2+2a ·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=√13.【答案】2π3√13。

高考数学经典试题与解析专题九计数原理与概率统计

专题九计数原理与概率统计——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2023年全国高考真题]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.231．答案：D解析：依题意，用1A ，2A 表示高一的2名学生，1B ，2B 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2名学生的选法有()12,A A ，()12,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共4种，所以所求概率4263P ==，故选D.2．将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A.120种 B.150种 C.180种 D.240种2．答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①先将甲、乙等5名同学分成3组：若分成1，2，2的3组，则有12254222C C C15 A =（种）方法；若分成1，1，3的3组，则有11354322C C C 10 A =（种）方法，故将5人分成3组，每组至少有1人，有151025+=（种）分组方法.②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有3325A 150=（种）.3．[2023春·高二·四川内江·期中校考]在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数是()A.454B.358-C.358D.73．答案：C解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以8n =，二项式展开项的通项公式为842218811C C 22rrr rr r r r T x x x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令462r +=，得4r =，所以6x 的系数为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选C.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =∣()A.112B.29C.13D.234．答案：B解析：易知()()()n AB P BA n A =∣，其中AB 表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故()2n AB =.而1133()C C 9n A =⋅=，所以()2()()9n AB P B A n A ==∣.故选B.5．[2023春·高二·江苏盐城·月考联考]已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量在区间(],μσμσ-+，(]2,2μσμσ-+和(]3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布()290,15N ，则此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有()A.477人B.136人C.341人D.131人5．答案：B 解析：根据题意，()()()60120751050.95440.68261051200.135922P X P X P X <≤-<≤-<≤===，则10000.1359135.9136⨯=≈，故此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有136人.故选：B.6．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）99.29.49.69.810销量y （件）1009493908578预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为()参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：615116iii x y==∑，622160.7i i x x =-=∑.A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元6．答案：B解析：由题意，得1(99.29.49.69.810)9.56x =⨯+++++=，1(1009493908578)906y =⨯+++++=，6162216511669.590ˆ200.76i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===--∑∑，ˆ909.520280a=+⨯=，则ˆ20280y x =-+.设工厂获得利润L 元，则2(5)(20280)20(9.5)405L x x x =--+=--+，当9.5x =时，L 取得最大值.所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.7．[2024春·高一·河南三门峡·期末校考]某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3000名学生每周平均体育运动时长的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是()A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为6007．答案：C解析：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）,故选项A 正确;对于B,该校高一年级的总人数为430001200433⨯=++,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为()0.0250.120.25+⨯=,所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为12000.25300⨯=,故选项B 正确;对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为()0.0750.0252100%20%+⨯⨯=,故选项C 错误;对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为300020%600⨯=,故选项D 正确.故选：C.8．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为()A.14B.724C.1124D.17248．答案：D解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是()12P A =，()23P B =，()34P C =，则不获一等奖的概率分别是()11122P A =-=，()21133P B =-=，()31144P C =-=，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++1231131211123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，这三人都获得一等奖的概率为()()()()12312344P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率1111724424P =+=.故选：D.二、多项选择题9．[2020年全国高考真题]我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图，()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量9．答案：CD解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A 错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B 错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%，故C 正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D 正确.10．已知()*nx n ⎛+∈ ⎝N 的展开式中共有7项，则该二项展开式中()A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有4项10．答案：ACD解析：由题意知6n =，则6x ⎛⎝的展开式的通项为3666216C C (0,1,2,,6)2rr rr r r r T x x r --+===⋅ .对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，故A 正确；对于B ，令1x =，得6613122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所有项的系数和为632⎛⎫⎪⎝⎭，不为1，故B 错误；对于C，由二项式系数的性质，可知6x ⎛⎝的展开式中第4项的二项式系数最大，为36C 20=，故C 正确；对于D ，当362r-∈Z ，即0,2,4,6r =时，对应的项为有理项，共有4项，故D 正确.故选ACD.11．[2023春·高二·江苏·期中联考]红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲同学调配出红色”，B 表示事件“甲同学调配出绿色”，C 表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.1()15P A =B.1()4P C A =∣C.4()45P BC =D.事件B 与事件C 相互独立11．答案：AC解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为26C .对于A ，A 表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有22C 种方法，则2226C 1()C 15P A ==，故A 正确；对于B ，事件A 发生需要2瓶颜料均为红色，事件C 发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，在事件A 发生的条件下，事件C 不可能发生，所以()0P CA =∣，故B 错误；对于C ，若事件B 发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则112226C C 4()C 15P B ==，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则1224C 1()C 3P C B ==∣，故414()()()15345P BC P B P C B =⨯=⨯=∣，故C 正确；对于D ，若事件C 发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则21111111222242222264C C C C C C C C 4()C C 15P C ++==，444()()()151545P B P C P BC ⋅=⨯≠=，事件B 与事件C 不相互独立，故D 错误.故选AC.三、填空题12．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若,,{1,2,3,4}a b c ∈，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.12．答案：12解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率121242P ==.13．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，则随机变量X 方差的最小值为__________.13．答案：18解析：由1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，得1()2P X x ==，所以随机变量X 的数学期望21()4x E X +=，则方差222221123121111()42444442162x x x D X x ⎡⎤+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当12x =时，()D X 取到最小值18，故答案为18.14．[2023届·西北工业大学附中·模拟考试]将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有_________种.14．答案：72解析：设8张门票的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8.若甲选123，则乙可以是56，67，78共3种，此时共有333A 18=种；若甲选234，则乙可以是67，78共2种，此时共有332A 12=种；若甲选345，则乙可以是78共1种，此时共有33A 6=种；若甲选456，则乙可以是12共1种，此时共有33A 6=种；若甲选567，则乙可以是12，23共2种，此时共有332A 12=种；若甲选678，则乙可以是12，23，34共3种，此时共有333A 18=种.综上所述，不同的分配方法有181266121872+++++=种.四、解答题15．[2024春·高一·青海西宁·期末]为了解学生的周末学习时间（单位：小时）,高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：(1)用分层抽样的方法在[)20,25和[]25,30中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3人接受检测,求检测的3人来自同一区间的概率;(2)估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.15．答案：(1)1 5 ;(2)8.75小时.解析：(1)由图可知,40名学生中周末的学习时间在[)20,25的人数为0.035406⨯⨯=人,周末的学习时间在[]25,30的人数为0.0155403⨯⨯=人,从中用分层抽样抽取6人,则周末的学习时间在[)20,25的有4人,记为A,B,C,D;周末的学习时间在[]25,30的有2人,记为a,b;则再从中选派3人接受检测的基本事件有ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb, ADa,ADb,Aab,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,Bab,CDa,CDb,Cab,Dab共有20个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC,ABD,ACD,BCD共有4个,所以检测的3人来自同一区间的概率41205 P==;(2)学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<,学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>,所以25%分位数在区间[)5,10内,则0.250.1 558.750.30.1-+⨯=-,所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.16．[2024春·高二·宁夏石嘴山·月考校考]2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G ，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G 、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT 公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 123456收入y （百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dx y c =⋅(a ，b ，c ，d 均为常数)哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7月份的5G 经济收入.(结果保留小数点后两位)（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：x yu 621()i i x x =-∑61()()iii x x y y =--∑61()()iii x x uu =--∑ 1.52e 2.66e 3.5021.15 2.8517.70125.35 6.734.5714.30其中，设ln u y =，ln i i u y =(1,2,3,4,5,6i =).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(21,2,3,,)i i x v n = ，其回归直线ˆˆˆvx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii Ri i x x v v x x β==--=-∑∑，ˆˆv x αβ=-16．答案：（1）e dx y c =⋅更适宜（2） 1.520.38e ˆx y +=，65.35百万元（3）分布列见解析，1解析：（1）根据散点图判断，e dx y c =更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；（2）因为e dx y c =，所以两边同时取常用对数，得ln ln y c dx =+，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50x =， 2.85u =，所以61621()( 6.73ˆ0.380,17.70(iii ii x x u u dx x ==--==≈-∑∑所以ˆln 2.850.380 3.50 1.52c u dx=-≈-⨯=.所以ˆ 1.520.38u x =+，即ˆln 1.520.38y x =+，所以 1.520.38e ˆx y +=.令7x =，得 1.520.387 1.52 2.66ˆe e e 4.5714.3065.35y +⨯==⨯≈⨯≈，故预测该公司7月份的5G 经济收入大约为65.35百万元.（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X 的取值为0，1，2，2326C 1(0)C 5P X ===，113326C C 3(1)C 5P X ===，2326C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X 012P153515所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.17．[2024春·高三·内蒙古赤峰·开学考试校考]卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线250250乙生产线300200（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关；（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7069.8415.0246.63510.82817．答案：（1）没有；（2）分布列见解析，95解析：（1）补充列联表如下：合格品优等品总计甲生产线250250500乙生产线300200500总计5504501000根据列联表中的数据，经计算得到221000(250200250300)10.10110.828550450500500K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为25015002=，乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为20025005=，所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为12，25，由题意随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，()22139025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22211221312331C C 2525510P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2222211221313212372C C 2525525100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22211221212313C C 252555P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2212142525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X 01234P91003103710015125所以X 的期望()933711901234100101003255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．[2024春·高二·福建宁德·期末]毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75145～分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，13.σ=现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望.(结果精确到0.01)；（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为12；若前一关通过，则本关通过的概率为13，已知甲同学第一关通过的概率为13，记甲同学通过第n 关的概率为n P ，请写出n P 的表达式，并求出n P 的最大值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.18．答案：（1）0.012；（2）0.23；（3）13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n P 的最大值为49.解析：（1）由频率分布直方图，得()100.0050.0190.030.020.0021a a ⨯++++++=，解得0.012a =.（2）由题意得：800.05900.121000.191100.3μ=⨯+⨯+⨯+⨯1200.21300.121400.02109.2+⨯+⨯+⨯=，()2109.2,13X N ～，()()()122135.220.022752P X P X P X μσμσμσ--<≤+>=>+=≈，()10,0.02275Y B ～，()0.22750.23E Y np ==≈.（3）记甲同学第()*n n ∈N 关通过为事件n A ，依题意，113P =，当2n ≥时，()113n n P A A -=，()112n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为113P =，则1320721P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为221-，公比为16-的等比数列，所以13217216n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，113213213721672167n n n P --⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n P 随着n 的增大而减小，所以，249n P P ≤=，又4397>，所以n P 的最大值为49.19．[2024春·高二·江苏南通·月考校考]篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若23p =，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；（2）若1223p ≤≤，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：①设事件C 表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求()P C ；（结果用含p 的式子表示）②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？19．答案：（1）124；（2）①321388p p +；②15解析：（1）设事件i A 表示甲在一轮比赛中投进i 个球，i B 表示乙在一轮比赛中投进i 个球，()0123i =,,,，D 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球所以2031D A B A B =+()()()2031P D P A B P A B =+2332203133331111211C C C C 22323324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⨯⨯⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭（2）①()()()()203031P C P B A P B A P B A =++()3332231323311113C 1C 22288p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦⎝；②设随机变量X 表示n 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则有3213,88X B n p p ⎛⎫~+ ⎪⎝⎭，故()321388E X n p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要满足题意，则()3E X ≥，即3213388n p p ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，又12,23p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3231388n p p ≥+，令()321388f x x x =+，12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()3208f x x x '=+>在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()f x 的最大值为211354f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即321388p p +的最大值为1154，于是，3231388p p +的最小值为16211，因162141511<<，故理论上至少要进行15轮比赛.。

高考数学一轮复习单元质检卷九解析几何理新人教B版

单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2017河南焦作二模,理8)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K 是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=()A.45°B.30°C.15°D.60°3.(2017江西新余一中模拟七,理11)设F是双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,双曲线两渐近线分别为l1,l2,过点F作直线l1的垂线,分别交l1,l2于A,B两点,若A,B两点均在x轴上方且|OA|=3,|OB|=5,则双曲线的离心率e为()A. B.2 C. D.4.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.(2,1)B.(-2,1)C. D.5.(2017云南昆明一中仿真,理5)若双曲线M:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线M相交于点P,且|PF1|=16,|PF2|=12,则双曲线M的离心率为()A. B.C. D.5 〚导学号21500644〛6.(2017河北保定二模,理9)当双曲线=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x7.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C 上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为cb,则双曲线C的离心率为()A. B.2 C.2 D.28.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB是等边三角形,其面积为48,则p的值为()A.2B.2C.4D.49.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B.+1C. D.-110.(2017山东临沂一模,理8)抛物线x2=-6by的准线与双曲线=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,A为双曲线的右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.211.(2017辽宁沈阳三模,理9)已知直线x-y-=0与抛物线y2=4x交于A,B两点(A在x轴上方),与x轴交于点F,=λ+μ,则λ-μ=()A. B.- C. D.-〚导学号21500645〛12.(2017全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为()A.3B.2C.D.2 〚导学号21500646〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017河北邯郸一模,理16)已知点A(a,0),点P是双曲线C:-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a=.14.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=.15.(2017北京东城区二模,理13)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|=. 16.(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.〚导学号21500647〛三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.18.(14分)(2017河北保定二模,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),b(0,b),D(-a,0),△ABD的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x 轴交于点N,求四边形ABNM的面积.〚导学号21500648〛19.(14分)(2017河北邯郸一模,理20)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=kx+交抛物线E于A,B两点.(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-,求直线l 的斜率.20.(14分)(2017湖南岳阳一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=2,点A,B 在椭圆上,F1在线段AB上,且△ABF2的周长等于4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M,N,求△PMN面积的最大值.21.(14分)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,且离心率e=,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2的内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,满足向量共线,共线,且=0,求||+||的取值范围.〚导学号21500649〛参考答案单元质检卷九解析几何1.C当a=3时,两直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0,此时两条直线平行成立;反之,当两条直线平行时,有-且-a≠,∴a=3.∴a=3是两条直线平行的充要条件.故选C.2.A由题意,|MF|=p,则设点M.∵K,∴k KM=1.∴∠MKF=45°,故选A.3.C在Rt△AOB中,|OA|=3,|OB|=5,可得|AB|==4,可得tan∠AOB=,由直线l1:y=x,直线l2:y=-x,tan∠AOB=,化简可得b=2a,即有e=.4.D如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为,故选D.5.D双曲线M的左、右焦点分别是F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线M相交于点P,且|PF1|=16,|PF2|=12,可得2a=16-12=4,解得a=2,2c==20,可得c=10.所以双曲线的离心率为e==5.故选D.6.B由题意,6-2m>0,即m<3,焦距2c=2=2,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为=1,其渐近线的方程为y=±x,故选B.7.D双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上.设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,且|MN|=|OF|=c,∴x0=-,四边形OFMN的面积为cb.∴|y0|c=cb,即|y0|= b.∴M.代入双曲线可得,=1,整理得,-2=1.由e=,∴e2=12.由e>1,解得e=2,故选D.8.A设B(x1,y1),A(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.∵x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=x,联立y2=2px,解得B(6p,2p),∴|OB|==4p.∴·(4p)2=48,∴p=2.故选A.9.B过点P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|.∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|.∴.设直线PA的倾斜角为α,则sin α=.当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切.设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0, ∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,∴P(2,1).∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(-1),∴双曲线的离心率为+1.故选B.10.C抛物线的准线为y=b,∴B,C.易得∠AOC=∠BOC=60°,∴k OC==tan 60°=.∴,∴e=,故选C.11.B直线x-y-=0过抛物线的焦点F(1,0),把直线方程代入抛物线的方程y2=4x,解得则A(3,2),B.∵=λ+μ,∴(1,0)=(3λ,2λ)+=.∴3λ+μ=1,2λ-μ=0.∴λ=,μ=,则λ-μ=-.故选B.12. A建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=,即圆的方程是(x-2)2+y2=.易知=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0).由=λ+μ,得所以μ=,λ=1-y,所以λ+μ=x-y+1.设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,即,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.13.-1或2设P(x,y)(x≥2),则|PA|2=(x-a)2+y2=a2-1,当a>0时,x=a,|PA|的最小值为a2-1=3,∴a=2.当a<0时,2-a=3,∴a=-1.故答案为-1或2.14.4因为|AB|=2,且圆的半径R=2,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为=3.由=3,解得m=-.将其代入直线l的方程,得y=x+2,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|==4.15.抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,设点A(x0,y0),若直线l的倾斜角为60°,即斜率k=tan 60°=,∴直线l的方程为y=(x-1),即x=y+1,由解得∵点A在x轴上方,则A(3,2).∴|OA|=.故答案为.16.(1)Q1(2)p2(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==k OC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.17.解 (1)由题意,e=,可知a=4b,c= b.∵△PF1F2的周长是8+2,∴2a+2c=8+2,∴a=4,b=1.∴所求椭圆方程为+y2=1.(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,由直线y=kx+1与圆T相切可知,即32k2+36k+5=0,∴k1+k2=-,k1k2=.由得(1+16)x2+32k1x=0,∴x E=-.同理x F=-,k EF==.故直线EF的斜率为.18.解 (1)由题意得解得a=2,b=.∴椭圆C的方程为=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,),由题意可得S四边形ABNM=|AN|·|BM|.∵P(x0,y0),-2<x0<0,0<y0<,3+4=12, ∴直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-.从而|BM|=|-y M|=.直线PB的方程为y=x+.令y=0,得x N=-.从而|AN|=|2-x N|=.∴|AN|·|BM|====4.∴S四边形ABNM=|AN|·|BM|=2.19.解 (1)联立消去x得y2-3py+=0,由题设得|AB|=y A++y B+=y A+y B+p=4p=8,∴p=2.∴抛物线E的方程为x2=4y.(2)设A,B,联立消去y得x2-2pkx-p2=0,∴x1+x2=2pk,x1·x2=-p2.由y=x2得y'=x,∴直线l1,l2的方程分别为y=x-,y=x-,联立得点P的坐标为,∴k PF=-,∴-+k=-.∴k=-2或k=.∴直线l的斜率为k=-2或k=.20.解 (1)由△ABF2的周长等于4,可得4a=4,a=.由|F1F2|=2,得c=,∴b2=a2-c2=1.∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设P(x P,y P),则=4.①若两条切线中有一条切线的斜率不存在,则x P=±,y P=±1.另一条切线的斜率为0,从而PM⊥PN,此时S△PMN=|PM|·|PN|=×2×2=2.②若两条切线的斜率均存在,则x P≠±.设过点P的椭圆的切线方程为y-y P=k(x-x P),代入椭圆方程,消去y并整理得,(1+3k2)x2+6k(y P-kx P)x+-3=0.依题意得Δ=0,即(3-)k2+2x P y P k+1-=0.设切线PM,PN的斜率分别为k1,k2,从而k1k2==-1.∴PM⊥PN,则线段MN为圆O的直径,|MN|=4.∴S△PMN=|PM|·|PN|≤(|PM|2+|PN|2)=|MN|2=4.当且仅当|PM|=|PN|=2时,△PMN取最大值4.综上,△PMN面积的最大值为4.21.解(1)由几何性质可知,当△PF1F2的内切圆面积最大时,即取最大值,则()max=·2c·b=bc.由πr2=π,解得r=.又由△PF1F2的周长为2a+2c定值,故.又e=,可得a=2c,即b=2,故c=2,b=2,a=4,故椭圆方程为=1.(2)①当直线AC和BD中有一条垂直于x轴时,||+||=6+8=14.②当直线AC的斜率存在但不为0时,设AC的方程为y=k(x+2),由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,代入弦长公式得,||=.同理由消去y,代入弦长公式得||=.故||+||==,令=t∈(0,1),则-t2+t+12∈.则||+||∈.由①②可知||+||的取值范围是.。

2023年新教材高考数学全程考评特训卷考点过关检测9函数的应用含解析

考点过关检测9 函数的应用一、单项选择题1．[2022·湖北襄阳五中月考]下列函数在(0，＋∞)上单调递增且存在零点的是( ) A ．y ＝x 2－x －3B ．y ＝－0.2xC ．y ＝sin2xD ．y ＝x －1x2．函数f (x )＝ex －1－2的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．[2022·山东临沂一中月考]方程log 4x ＝2－1x的解所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34 4．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)5．[2022·辽宁朝阳模拟]某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第x (1≤x ≤7，x ∈N )天进店消费的人数为y ，且y 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤5xx 2([t ]表示不大于t 的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为( )A ．74B ．76C ．78D ．806．[2022·江苏省镇江中学月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有f (x ＋2)＝f (x )且f (1)＝0，当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x－1，则方程f (x )－lg|x |＝0的实根个数为( )A ．6B ．8C ．10D ．127．[2022·北京丰台模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋m |，x ≤m x 2，x >m，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)8．[2022·福建福州月考]根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m 3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为 6.25mg/m 3，3周后室内甲醛浓度为1mg/m 3，且室内甲醛浓度ρ(t )(单位：mg/m 3)与竣工后保持良好通风的时间t (t ∈N *)(单位：周)近似满足函数关系式ρ(t )＝eat ＋b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )A ．5周B ．6周C ．7周D ．8周二、多项选择题9．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f (－3)·f (6)<0，那么下列结论中正确的是( )A ．f (x )可能有三个零点B ．f (3)·f (－4)≥0C ．f (－4)<f (6)D ．f (0)<f (－6)10．[2022·广东揭阳一中月考]函数f (x )＝a x －cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤1的零点个数可能为( )A ．1B ．3C ．4D ．511．[2022·河北衡水中学月考]地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M ＝lgA maxA 0(其中常数A 0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，A max 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E (单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E ＝104.8×101.5M，其中M 为地震震级．下列说法正确的是( )A ．若地震震级M 增加1级，则最大振幅A max 增加到原来的10倍B ．若地震震级M 增加1级，则放出的能量E 增加到原来的10倍C ．若最大振幅A max 增加到原来的100倍，则放出的能量E 也增加到原来的100倍D ．若最大振幅A max 增加到原来的100倍，则放出的能量E 增加到原来的1000倍 12．[2022·海南昌茂花园学校月考]已知函数f (x )＝{ kx ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，下列是关于函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数的判断，其中不正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点三、填空题13．设函数f (x )＝a x＋b ，其中a >0，a ≠1，b ∈R .若f (x )无零点，则b 的取值范围是________．14．[2022·广东肇庆一中月考]若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是________．15．有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定，大桥上的车距d (m)与车速v (km/h)和车长l (m)的关系满足：d ＝kv 2l ＋12l (k 为正的常数)，假定车身长为4m ，当车速为60(km/h)时，车距为2.66个车身长．应规定车速为________km/h 时，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？16．[2022·湖南师大附中模拟]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x ＋1，x <0，2－|2－x |，x ≥0，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则①m 的取值范围是__________；②x 1x 2x 3的取值范围是________．四、解答题17．[2022·河北张家口模拟]已知函数f (x )＝ln x －m .(1)若函数g (x )＝f (x )＋e x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内存在零点，求实数m 的取值范围；(2)若关于x 的方程f ()e x＋1＝x2有实数根，求实数m 的取值范围．18.[2022·北京四中月考]已知每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x－1，0≤x ≤47－12x ，4<x ≤14.某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于3克/升时，它能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次1个单位的洗衣液，求三分钟后水中洗衣液的浓度； (2)若只投放一次1个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时(从第一次投放算起)，洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．考点过关检测9 函数的应用1．答案：D解析：y ＝x 2－x －3在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，不合题意，A 错误；令－0.2x＝0，方程无解，不合题意，B 错误；y ＝sin2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减，不合题意，C 错误；y ＝x 与y ＝－1x 在(0，＋∞)上均单调递增，∴y ＝x －1x 在(0，＋∞)上单调递增；令x －1x＝0，解得：x ＝±1，则y ＝x －1x在(0，＋∞)上存在零点x ＝1，D 正确．2．答案：B解析：因为函数f (x )为单调递增函数，且f (2)＝e －2>0，f (1)＝－1<0，所以零点所在的区间是(1,2)．3．答案：B解析：令f (x )＝log 4x ＋1x －2，则f (x )为连续函数，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 413＋3－2＝log 413＋1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 412＋2－2＝log 412<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以方程的解所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.4．答案：C解析：由题得f (1)f (2)＝(0－a )(3－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3，故选C. 5．答案：C解析：由题可设y ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x x 2(k ≠0)，当x ＝1时，y ＝10代入可得10＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5112＝5k ，解得k＝2，所以y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5xx 2，令x ＝4，则y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5442＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤62516＝2×39＝78.6．答案：D解析：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有f (x ＋2)＝f (x )，可得f (x )为周期为2的奇函数，可得f (－x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，又f (1)＝0，∴f (2k －1)＝0(k ∈N )，画出函数y ＝f (x )与y ＝lg|x |的图象，如图所示，当x >0时，y ＝f (x )与y ＝lg|x |有5个交点，当x <0时，y ＝f (x )与y ＝lg|x |有7个交点，故方程f (x )－lg|x |＝0有12个实数根，故D 正确． 7．答案：B解析：分情况讨论，当m >0时，要使f (x )＝b 有三个不同的根，则⎩⎪⎨⎪⎧|2m |>m2m >0⇒0<m <2；当m <0时，要使f (x )＝b 有三个不同的根，同理可知，需要⎩⎪⎨⎪⎧m 2>|2m |m <0⇒m <－2.当m ＝0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去． ∴m 的取值范围是(－∞，－2)∪(0,2)． 8．答案：B解析：由题意可知，ρ(1)＝ea ＋b＝6.25，ρ(3)＝e3a ＋b＝1，ρ3ρ1＝e 2a ＝425，解得ea＝25.设该文化娱乐场所竣工后放置t 0周后甲醛浓度达到安全开放标准，则ρ(t 0)＝e at 0＋b ＝ea ＋b·e a (t 0－1)＝6.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫25t 0－1≤0.1，整理得62.5≤⎝ ⎛⎭⎪⎫52t 0－1，设62.5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52m －1，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫524<62.5<⎝ ⎛⎭⎪⎫525，所以4<m －1<5，即5<m <6，则t 0－1≥m －1，即t 0≥m .故至少需要放置的时间为6周．9．答案：AC解析：因为f (x )是定义域为R 的偶函数，又f (－3)·f (6)<0，所以f (3)·f (6)<0.又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，且f (3)<0，f (6)>0，所以函数f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f (0)的值没有确定，所以函数f (x )可能有三个零点，故A 正确；又f (－4)＝f (4)，4∈(3,6)，所以f (－4)的符号不确定，故B 不正确；C 项显然正确；由于f (0)的值没有确定，所以f (0)与f (－6)的大小关系不确定，所以D 不正确．10．答案：AB解析：因为f (x )＝a x －cos x 的零点个数即函数y ＝a x ，y ＝cos x 图象交点的个数，由图可知，当a ＝1时，交点只有1个；当a ＝13时，交点有3个．正数a 越大，交点个数越少．故零点个数可能为1，或2，或3. 11．答案：AD解析：因为M ′＝M ＋1＝lg A max A 0＋1＝lg 10A max A 0＝lg A ′maxA 0，所以A ′max ＝10A max ，故A 正确；因为E ′＝104.8×101.5(M ＋1)＝104.8×101.5M ＋1.5＝104.8×101.5M×101.5＝101.5E ，所以B 错误；因为M ′＝lg 100A max A 0＝2＋lg A max A 0＝2＋M ，E ′＝104.8×101.5(M ＋2)＝104.8×101.5M ＋3＝103E ，所以C 错误，D正确．12．答案：AB解析：函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数，即方程f [f (x )＋1]＝0的解的个数，x ≤0时，由kx ＋1＝0得x ＝－1k ，k ≠0，若k >0，则x ＝－1k是f (x )＝0的一个解，k <0时，x ＝－1k不是f (x )＝0的解，x >0时，由f (x )＝log 2x ＝0，得x ＝1是f (x )＝0的一个解．所以若k <0，则由f [f (x )＋1]＝0得f (x )＋1＝1得f (x )＝0，x ＝1，D 正确；若k >0，则由f [f (x )＋1]＝0得f (x )＋1＝1，或f (x )＋1＝－1k，f (x )＋1＝1即f (x )＝0⇒x ＝1或x ＝－1k，f (x )＋1＝－1k 即f (x )＝－1k －1，－1k －1<0，log 2x ＝－1k －1有一解x ＝2－1k －1，kx ＋1＝－1k －1，x ＝－1k 2－2k是一解，综上方程f [f (x )＋1]＝0共4个解．C 正确． 13．答案：[0，＋∞)解析：因为指数函数y ＝a x的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )＝a x＋b 的值域为(b ，＋∞)，因为函数f (x )无零点，则0∉(b ，＋∞)，所以，b ≥0.14．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析：由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解．设t ＝x＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.15．答案：50解析：由题设，2.66×4＝4×602k ＋12×4，解得k ＝6×10－4，∴d ＝2.4×10－3v 2＋2，要使大桥上每小时通过的车辆最多，则使y ＝1000v d ＋l 最大，∴由题意，y ＝1000v0.0024v 2＋6＝10000.0024v ＋6v ≤100020.0024v ·6v＝10000.24，当且仅当0.0024v ＝6v ，即v ＝50km/h 时等号成立．16．答案：①0<m <2 ②2(3－21)<x 1x 2x 3<0解析：当x <0时，由复合函数的单调性知：y ＝log 2(x 2－3x ＋1)单调递减，作出函数f (x )的图象，如图所示：由图可知，当0<m <2时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×2＝4≥2x 2x 3，∴0<x 2x 3<4.令log 2(x 2－3x ＋1)＝2，解得x ＝3＋212(舍去)或x ＝3－212.∴3－212<x 1<0，∴2(3－21)<x 1x 2x 3<0.17．解析：(1)因为函数f (x )＝ln x －m 与y ＝e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1都是增函数，所以函数g (x )＝f (x )＋e x ＝ln x ＋e x －m 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1也是增函数，因为函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln 1e＋1－m <0，ln1＋e －m >0，解得0<m <e.所以实数m 的取值范围为(0，e)．(2)关于x 的方程f ()e x＋1＝x2有实数根等价于关于x 的方程2m ＝2ln(e x＋1)－x 有实数根，所以存在实数x 使2m ＝ln(e x＋1)2－lne x＝ln e x ＋12ex＝ln(e x＋1ex ＋2)成立．因为e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x＝1ex ，x ＝0时取等号)，所以ln(e x＋1e x ＋2)≥ln ⎝⎛⎭⎪⎫2＋2e x·1e x ＝2ln2，所以实数m 的取值范围是[ln2，＋∞)．18．解析：(1)因为每投放1个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x －1，0≤x ≤47－12x ，4<x ≤14.所以若只投放1个单位的洗衣液，则三分钟后水中洗衣液的浓度f (3)＝248－3－1＝3.8(克/升)；(2)若只投放一次1个单位的洗衣液，且当水中洗衣液的浓度不低于3(克/升)时，它能起到去污的作用．当0≤x ≤4时，248－x －1≥3，解得2≤x ≤4，当4≤x ≤14,7－12x ≥3，解得4<x ≤8，综上所述，有效去污时间为6分钟；(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12×12＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝5>3，所以在第12分钟起(从第一次投放算起)，洗衣液能起到有效去污的作用．。

专题9.1 直线的方程(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题

专专9.1直线的方程一、单选题1. 点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A. 1B. 2C. 3D. 22. 若平面内三点(1,)A a -，2(2,)B a ，3(3,)C a 共线，则a =( ) A. 12±或0B.252-或0 C.252± D.252+或0 3. “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 在平面直角坐标系中，记d 为点到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知(2,3)A ，(1,2)B -，若点(,)P x y 在线段AB 上，则3yx -最大值为 ( ) A. 1B.35C. 12-D. 3-6. 已知00(,)P x y 是直线:0++=l Ax By C 外一点，则方程00()0Ax By C Ax By C +++++=表示( )A. 过点P 且与l 垂直的直线B. 过点P 且与l 平行的直线C. 不过点P 且与l 垂直的直线D. 不过点P 且与l 平行的直线7. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点。

有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近。

为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1234,,,OO OO OO OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，3OO 与x 轴所成的角16α︒≈，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为( )A. 0︒B. 1︒C. 2︒D. 3︒8. 已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为( )A. B. C. 5+ D. 3+9. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代点(,)M x y 与点(,)N a b 最小值为( )A. B. C. 8 D. 610. 已知圆C ：221x y +=，直线l ：2x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点( )A. 1(,0)2B. (0,2)C. (2,1)D. 1(,1)2二、多选题11. 已知直线12:10,:10l x l x +=-=，直线:10l kx y k -+-=被12,l l 截，则k 的值可能为( )A. 2+B. 2-C. 2D. 212. 已知在平面直角坐标系中，3(,0)2A ，(0,3)B ，点(,)M m n 位于线段AB 上，M与端点A ，B 不重合，则11212m n +++的可能取值为( ) A.13B.23C. 1D. 313. 下列说法中，正确的有.( )A. 点斜式11()y y k x x -=-可以表示任何直线B. 直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C. 直线20x y -=关于0x y +=对称的直线方程是20x y -=D. 点(2,3)P 到直线的(1)30ax a y +-+=的最大距离为5 14. 下列说法正确的是( )A. 直线 10xsin y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃B. “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充要条件C. 直线l ：30()x y R λλλ+-=∈恒过定点(3,0)D. 直线25y x =-+与210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切三、填空题15. 曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为__________.16. 已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为__________. 17. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.18. 已知直线l 过点(0,2)A 和2(1213)()B m m m R ++∈，则直线l 的倾斜角的取值范围为__________. 四、解答题19. 已知直线l 过点(1,1)M ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当||||OA OB +取得最小值时，直线l 的方程；(2)当22||||MA MB +取得最小值时，直线l 的方程．20. 已知直线l 经过直线1l ：250x y +-=与2l ：20x y -=的交点．(1)若点(5,0)A 到l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求直线l 的方程，使点(5,0)A 到直线l 的距离最大；(3)求直线l 的方程，使直线l 和直线1l 关于直线2l 对称．答案和解析1.【答案】B解：因为直线(1)y k x =+恒过点(1,0)-，可知：点(0,1)-到直线(1)y k x =+的最大距离，即为点(0,1)-与(1,0)-两点的距离，则点(0,1)-到直线(1)y k x =+ 故选.B2.【答案】A解：平面内三点(1,)A a -，2(2,)B a ，3(3,)C a 共线，,AB AC k k ∴=232131a a a a ++∴=--，化为：2(21)0a a a --=，解得0a =或1a =± 故选.A3.【答案】C解：由题意知a ，b 均不为0，则直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是22b a -=-且11a≠，即4ab =且1a ≠，故“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的必要不充分条件．故选.C4.【答案】C解：由题意，当0m =时，，∴当cos 1θ=-时，max 3;d =当0m ≠时，222222|cos sin 2||sin cos 2||1sin()2|111m m m d mmm θθθθθα---++++===+++，(其中1tan )mα=-，∴当sin()1θα+=时，max 13d =+<，d ∴的最大值为3.故选.C5.【答案】C解：设(3,0)Q ，3yx -表示直线PQ 的斜率，则30323AQ k -==--，201132BQ k -==---，点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点，3y x ∴-的取值范围是1[3,]2--，故3yx -的最大值为12-，故选：.C6.【答案】D解：因为点00(,)P x y 不在直线0Ax By C ++=上，所以000Ax By C ++≠，所以直线00()0Ax By C Ax By C +++++=不经过点P ，排除A 、B ；又直线00()0Ax By C Ax By C +++++=与直线l ：0Ax By C ++=平行，排除C ，故选.D7.【答案】C解：过3O 作x 轴平行线3O E ，则316.OO E α∠=≈︒ 由五角星的内角为36︒，可知318BAO ∠=︒，所以直线AB 的倾斜角为18162︒-︒=︒，故选.C8.【答案】C解：联立消去参数k 得22(1)(1)2x y -+-=，所以点A 在以(1,1)C 为圆心，2为半径的圆上.又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，半径为2，且22||(12)(13)5CD =+++=，两圆相离，所以||AB 的最大值为||2252 2.CD ++=+ 故选.C9.【答案】B解：设()f x =则()f x()f x ∴的几何意义为点(,0)M x 到两定点(2,4)A 与(1,3)B 的距离之和.设点(2,4)A 关于x 轴的对称点为A '，则A '的坐标为(2,4).- 要求()f x 的最小值，可转化为求||||MA MB +的最小值，利用对称思想可知||||||||||MA MB MA MB A B +='+'=即()f x故选.B10.【答案】A解：根据题意，因为P 为直线l ：2x =上的动点，设(2,)P t ，圆C ：221x y +=，其圆心C 的坐标为(0,0)，半径为1，PA 、PB 为圆C 的切线，则以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=，则有2222120x y x y x ty ⎧+=⎨+--=⎩，联立可得210x ty +-=，即两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，即12()2ty x -=-，所以直线AB 过定点1(,0).2故选：.A11.【答案】AD解：直线12:310,:310l x y l x y -+=--=平行，倾斜角为，两平行线间距离为1112+=，因为直线:10l kx y k -+-=被12,l l 截得的线段长为2，所以直线:10l kx y k -+-=的倾斜角为或，，，则斜率为23+或3 2.- 故选.AD12.【答案】BC解：由题意知，直线AB 的方程为2133x y+=，点(,)M m n 位于线段AB 上，M 与端点A ，B 不重合，则2133m n+=，即23m n +=，(0,3)n ∈，所以111121242m n n n +=+++-+ 266.(4)(2)(1)9n n n ==-+--+ 因为(0,3)n ∈，所以2(1)9(5,9],n --+∈ 所以2626[,).(1)935n ∈--+故选.BC13.【答案】BCD解：A ：点斜式11()y y k x x -=-不能表示斜率不存在的直线，故A 错误； B ：直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，正确；C ：在直线20x y -=上任取一点(,)P m n ，它关于0x y +=的对称点(,)Q m n --在直线20x y -=上，所以直线20x y -=关于0x y +=对称的直线方程是20x y -=，C 正确；D ：因为直线的(1)30ax a y +-+=即()30a x y y +-+=过定点(3,3)M -，所以点(2,3)P 到直线的(1)30ax a y +-+=的最大距离为||5MP =，D 正确. 故选：.BCD14.【答案】ACD解：直线 sin 10x y α-+=的倾斜角θ，可得tan sin [1,1]θα=∈-，所以θ的取值范围为3[0,][,),44πππ⋃所以A 正确； “点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”，可得22|64| 3.34c ++=+解得5c =，25c =-，所以“5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确；直线l ：30()x y R λλλ+-=∈，即，恒过定点(3,0)，所以C 正确；直线25y x =-+即250x y +-=与直线210x y ++=平行，22|5|521-=+，所以直线25y x =-+与圆225x y +=相切，所以D 正确；故选：.ACD15.【答案】3y x =解：23()x y x x e =+，223(21)3()3(31)x x x y x e x x e e x x ∴'=+++=++， ∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =， ∴曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为：3.y x =故答案为3.y x =16.+解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点，11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，可得A ，B 两点在圆221x y +=上，且1212111cos 2OA OB AOB x x y y ⋅=⨯⨯∠=+=，即有60AOB ︒∠=，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，A ，B 两点到直线:10l x y +-=的距离1d 与2d 之和，设AB 中点为M ，则距离1d 与2d 之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心(0,0)到线段AB 中点M 的距离2d =，圆心到直线l 的距离d '=M ∴到直线l 的距离的最大值为d d +'=+，+17.【答案】解：由题意，，则，所以点和点，12,xxAM BN k e k e =-=，所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=，所以，所以，同理，所以故答案为：18.【答案】[0,](,)62πππ⋃解：设此直线的倾斜角为θ，[0,).θπ∈ 则2tanθ=232).3m =+ [0,](,).62ππθπ∴∈⋃故答案为：[0,](,).62πππ⋃19.【答案】解：(1)设(,0)A a ，(0,)(0,0).B b a b >>设直线l 的方程为1x y a b +=，则111a b+=，所以2224a b a bb a b a=+++⋅=，当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20.x y +-=(2)方法一：设直线l 的斜率为k ，则0k <，直线l 的方程为1(1)y k x -=-，则，(0,1)B k -，所以22222211||||2224MA MB k k k k +=+++⋅=，当且仅当221k k=，即1k =-时， 22||||MA MB +取得最小值4，此时直线l 的方程为20.x y +-=方法二：设(,0)A a ，(0,)(0,0).B b a b >>设直线l 的方程为1x y a b +=，则111a b+=，即a b ab +=， 2222||||(1)1(1)1MA MB a b +=-++-+222()4a b a b =+-++2224a b ab =+-+2()4a b =-+∴当且仅当2a b ==时，22||||MA MB +取得最小值4，此时直线方程为122x y +=，即20.x y +-=20.【答案】解：(1)易知l 不可能为2l ，故可设经过两已知直线交点的直线系方程为(25)(2)0x y x y λ+-+-=，即(2)(12)50x y λλ++--=，点(5,0)A 到l 的距离为3， 22|1055|3(2)(12)λλλ+-∴=++-，化简得22520λλ-+=，解得12λ=或2λ=， ∴直线l 的方程为2x =或4350.x y --=(2)由解得直线1l 与2l 的交点为(2,1)P ，显然当l PA ⊥时，点(5,0)A 到直线l 的距离最大，又101253PA k -==--， 3l k ∴=，∴所求直线l 的方程是13(2)y x -=-，即350.x y --=(3)在直线1l 上取点(0,5)E ，设点E 关于直线2l 的对称点是(,)F a b ，则052022a b ++-⋅=且520b a -=--，解得4a =，3b =-，由直线l 经过两点(2,1)P ，(4,3)F -，可得直线l 的方程是341324y x +-=+-，即250.x y +-=。

2023年高考-数学(理科)考试备考题库附带答案9

2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB = 90° ，C为该球面上的动点。

若三棱锥 O - ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π正确答案：C,2.(填空题)(每题 5.00 分) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为.正确答案：40√2π，3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 记SN.为等差数列αN}的前n项和.若3S3=S2+S4，α=2,则α5= {A. -12B. -10C. 10D. 12正确答案：B,4.(填空题)(每题5.00 分) 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_______?正确答案：-3√3/2，5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 双曲线x2/α2-y2/b2=1(α>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√2/2xD. y=±√3/2x正确答案：A,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. 3√3/4B. 2√3/3C. 3√2/4D. √3/2正确答案：A,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知集合A=x∣x2-x-2>0}，则CRA={A. x∣-12}{D. {x∣x≦-1}∪{x∣x≧2}正确答案：B,8.(单项选择题)(每题 5.00 分) 在△ABC中，cos C/2=√5/5,BC=1,AC=5,则AB=A. 4√2B. √30C. √29D. 2√5正确答案：A,9.(填空题)(每题 5.00 分) 某髙科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。

考点专练9：二次函数与幂函数—2023届高考数学一轮复习(附答案)

考点专练9：二次函数与幂函数一、选择题1.若幂函数f(x)＝(m 2－4m ＋4)x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为( )A .1或3 B.1 C.3 D.22.函数y ＝3x 2的图象大致是( )3.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )A .f(x)＝－x B.f(x)＝x 32）（ C .f(x)＝x 2 D.f(x)＝3x 4.设函数f(x)＝x 2＋x ＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )A .f(m ＋1)≥0 B.f(m ＋1)≤0C .f(m ＋1)>0 D.f(m ＋1)<05.(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R ，f(x ＋1)为奇函数，f(x ＋2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)＝ax 2＋b ．若f(0)＋f(3)＝6，则f ）（29＝( ) A .－94 B.－32 C.74 D.526.设函数f(x)＝1x，g(x)＝ax 2＋bx(a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A .当a ＜0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＞0 B.当a ＜0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0C .当a ＞0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＜0 D.当a ＞0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＞07.(多选)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线 x ＝－1．下面四个结论中正确的是( )A.b 2>4acB.2a －b ＝1C .a －b ＋c ＝0 D.5a<b8.(多选)若函数f(x)＝(x －1)(x ＋a)在区间(1,2)上单调递增，则满足条件的实数a 的值可能是( )A .0 B.2C .－2 D.－3二、填空题9.已知二次函数f(x)＝x 2－bx ＋c 满足f(0)＝3，对∀x ∈R ，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________10.设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，则实数a 的取值范围是________11.若(a ＋1)－13 <(3－2a)－13，则实数a 的取值范围是________12.(2021·北师大实验中学期中)函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R ，值域为[1，＋∞)；(2)图象关于直线x ＝2对称；(3)对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0．请写出函数f(x)的一个解析式________．(只要写出一个即可)三、解答题13.已知幂函数f(x)＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x －k ．(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．14.已知函数f(x)＝x2＋2x．(1)若f(x)>a在区间[1,3]上恒有解，求实数a的取值范围；(2)若f(x)>a在区间[1,3]上恒成立，求实数a的取值范围．15.(2022·郑州模拟)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b＜1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1．(1)求a，b的值；(2)设f(x)＝g(x)x，不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题1.B2.C3.D4.C5.D6.B7.AD8.ABD二、填空题9.答案：x 2－2x ＋3 10.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞． 11.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 12.答案：f(x)＝x 2－4x ＋5(答案不唯一)三、解答题13.解：(1)依题意得：(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f(x)＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0．(2)由(1)得，f(x)＝x 2，当x ∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A ＝[1,4)，当x ∈[1,2)时，g(x)∈[2－k,4－k)，即B ＝[2－k,4－k)．因为p 是q 成立的必要条件，所以B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1．故实数k 的取值范围是[0,1]．14.解：(1)f(x)>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a<f(x)max ．又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为{a|a<15}．(2)f(x)>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为{a|a<3}．15.解：(1)g(x)＝ax 2－2ax ＋b ＋1＝a(x －1)2－a ＋b ＋1．若a ＞0，则g(x)在[2,3]上单调递增，所以g(2)＝b ＋1＝1，g(3)＝3a ＋b ＋1＝4，解得a ＝1，b ＝0；若a ＜0，则g(x)在[2,3]上单调递减，所以g(2)＝b ＋1＝4，解得b ＝3．因为b ＜1，所以b ＝3(舍去)．综上，a ＝1，b ＝0．(2)因为f(x)＝g (x )x ，所以f(x)＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x－2．因为不等式f(2x )－k·2x ≥0对x ∈[－1,1]恒成立，所以2x ＋12x －2－k·2x ≥0对x ∈[－1,1]恒成立，即k ≤⎝⎛⎭⎫12x 2－2×⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝⎝⎛⎭⎫12x －12对x ∈[－1,1]恒成立．因为x ∈[－1,1]，所以12x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，所以⎝⎛⎭⎫12x －12∈[0,1]，所以k ≤0，故实数k 的取值范围是(－∞，0]。

高考数学复习考点题型专题讲解9 数列求和的常用方法

高考数学复习考点题型专题讲解专题9 数列求和的常用方法高考定位近几年高考，数列求和常出现在解答题第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档.1.(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240 dm 2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm ，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180 dm 2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑nk ＝1S k ＝________ dm 2. 答案 5 240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n解析依题意得，S 1＝120×2＝240(dm 2)；S 2＝60×3＝180(dm 2)；当n ＝3时，共可以得到5 dm×6 dm，52 dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm×32 dm 四种规格的图形，且5×6＝30，52×12＝30，10×3＝30，20×32＝30，所以S 3＝30×4＝120(dm 2)；当n ＝4时，共可以得到5 dm×3 dm，52 dm×6 dm，54 dm×12 dm，10 dm×32 cm ，20 dm×34dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，52×6＝15，54×12＝15，10×32＝15，20×34＝15，所以S 4＝15×5＝75(dm 2)； ……所以可归纳S k ＝2402k ·(k ＋1)＝240（k ＋1）2k(dm 2). 所以∑nk ＝1S k ＝240⎝⎛⎭⎪⎫1＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，① 所以12×∑n k ＝1S k ＝240×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，② 由①－②得，12·∑n k ＝1S k ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋123＋124＋…＋12n －n ＋12n ＋1 ＝240⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122－12n×121－12－n ＋12n ＋1＝240⎝ ⎛⎭⎪⎫32－n ＋32n ＋1，所以∑nk ＝1S k ＝240⎝⎛⎭⎪⎫3－n ＋32n dm 2. 2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和.解 (1)因为b n ＝a 2n ，且a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数，所以b 1＝a 2＝a 1＋1＝2，b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5. 因为b n ＝a 2n ，所以b n ＋1＝a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋2＋1＝a 2n ＋3，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋3－a 2n ＝3，所以数列{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列，所以b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，n ∈N *. (2)因为a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数，所以k ∈N *时，a 2k ＝a 2k －1＋1＝a 2k －1＋1，即a 2k ＝a 2k －1＋1，①a 2k ＋1＝a 2k ＋2，② a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1＝a 2k ＋1＋1，即a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1，③所以①＋②得a 2k ＋1＝a 2k －1＋3，即a 2k ＋1－a 2k －1＝3，所以数列{a n }的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a 2k ＋2＝a 2k ＋3，即a 2k ＋2－a 2k ＝3，又a 2＝2，所以数列{a n }的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.所以数列{a n }的前20项和S 20＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝10＋10×92×3＋20＋10×92×3＝300. 3.(2022·新高考Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n a n 是公差为13的等差数列.(1)求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2.(1)解法一因为a 1＝1，所以S 1a 1＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n a n 是公差为13的等差数列，所以S n a n ＝1＋(n －1)×13＝n ＋23.因为当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，所以S n S n －S n －1＝n ＋23(n ≥2)，所以S n －S n －1S n ＝3n ＋2(n ≥2)，整理得S n S n －1＝n ＋2n －1(n ≥2)，所以S 2S 1·S 3S 2·…·S n －1S n －2·S n S n －1＝41×52×…·n ＋1n －2·n ＋2n －1＝n （n ＋1）（n ＋2）6(n ≥2)，所以S n ＝n （n ＋1）（n ＋2）6(n ≥2)，又S 1＝1也满足上式，所以S n ＝n （n ＋1）（n ＋2）6(n ∈N *)，则S n －1＝（n －1）n （n ＋1）6(n ≥2)，所以a n ＝n （n ＋1）（n ＋2）6－（n －1）n （n ＋1）6＝n （n ＋1）2(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *).法二因为a 1＝1，所以S 1a 1＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n a n 是公差为13的等差数列，所以S n a n ＝1＋(n －1)×13＝n ＋23，所以S n ＝n ＋23a n .因为当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，所以n ＋13a n －1＝n －13a n (n ≥2)，所以a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)，所以a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝31×42×53×…·n n －2·n ＋1n －1＝n （n ＋1）2(n ≥2)，所以a n ＝n （n ＋1）2(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *).(2)证明因为a n ＝n （n ＋1）2，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<2.热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.例1(2022·济宁一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎨⎧a n ，n ≤10，2b n －10，n >10，求数列{b n }的前100项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋4d ＝9，7a 1＋21d ＝49，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *). (2)因为b n ＝⎩⎨⎧a n ，n ≤10，2b n －10，n >10，所以数列{b n }的前100项和为(b 1＋b 2＋…＋b 10)＋(b 11＋b 12＋…＋b 20)＋(b 21＋b 22＋…＋b 30)＋…＋(b 91＋b 92＋…＋b 100)＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋22(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋…＋29(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(1＋2＋22＋…＋29)(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝1－2101－2×10×（1＋19）2 ＝102 300.规律方法分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，然后再求和. 训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *). (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ). 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2(n ∈N *). 热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； 1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k . (2)分母两项的差与分子存在一定关系 2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1（n ＋2）2. (3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .例2 已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)2n ＋1＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1log 2a n log 2a n ＋2的前n 项和T n .解 (1)由题意可知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)2n ＋1＋2，① 当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)2n ＋2，② ①－②得na n ＝(n －1)2n ＋1－(n －2)2n ，即a n ＝2n ，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，所以a n ＝2n (n ∈N *).(2)因为log 2a n ＝log 2 2n ＝n ，所以1log 2a n ·log 2a n ＋2＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.所以T n＝12⎝⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋⎭⎪⎫1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32（n＋1）（n＋2）.规律方法裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.训练2(2022·武汉模拟)已知正项等差数列{a n}满足：a3n＝3a n(n∈N*)，且2a1，a3＋1，a8成等比数列.(1)求{a n}的通项公式；(2)设c n＝2a n＋1（1＋2a n）（1＋2a n＋1），求数列{c n}的前n项和R n.解(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a3n＝3a n得a1＋(3n－1)d＝3[a1＋(n－1)d].则a1＝d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝nd.又2a1，a3＋1，a8成等比数列，所以(a3＋1)2＝2a1·a8，即(3d＋1)2＝2d·8d.所以7d2－6d－1＝0，解得d＝1或d＝－17，因为{a n}为正项数列，所以d>0，所以d＝1，所以a n ＝n (n ∈N *).(2)由(1)可得c n ＝2a n ＋1（1＋2a n ）（1＋2a n ＋1）＝2n ＋1（1＋2n ）（1＋2n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2n －11＋2n ＋1，所以R n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋21－11＋22＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋22－11＋23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2n －11＋2n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－11＋2n ＋1. 热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.例3(2022·广州调研)从①S n ，2S n ＋1，3S n ＋2成等差数列，且S 2＝49；②a 2n ＋1＝13a n (2a n －5a n＋1)，且a n >0；③2S n ＋a n －t ＝0(t 为常数)这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝13，________，其中n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 13a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 (1)若选条件①.因为S n ，2S n ＋1，3S n ＋2成等差数列，所以4S n ＋1＝S n ＋3S n ＋2，即S n ＋1－S n ＝3(S n ＋2－S n ＋1)，所以a n ＋1＝3a n ＋2，又S 2＝49，a 1＝13，所以a 2＝S 2－a 1＝19，即a 2＝13a 1，所以a n ＋1＝13a n ，即a n ＋1a n ＝13，又a 1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝13n (n ∈N *).若选条件②.由a 2n ＋1＝13a n (2a n －5a n ＋1)，得3a 2n ＋1＝a n (2a n －5a n ＋1)，即3a 2n ＋1＋5a n ＋1a n －2a 2n ＝0，所以(a n ＋1＋2a n )(3a n ＋1－a n )＝0，因为a n >0，所以3a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1a n ＝13，又a 1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝13n (n ∈N *).若选条件③.因为2S n ＋a n －t ＝0，所以n ≥2时，2S n －1＋a n －1－t ＝0，两式相减并整理，得a n ＝13a n －1(n ≥2)，即a n a n －1＝13(n ≥2)，又a 1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝13n (n ∈N *).(2)由(1)知，a n ＋1＝13n ＋1，所以b n ＝log 13a n ＋1＝log 1313n ＋1＝n ＋1，所以a n ·b n ＝(n ＋1)×13n ＝n ＋13n ，所以T n ＝23＋332＋433＋…＋n ＋13n ，所以13T n ＝232＋333＋434＋…＋n ＋13n ＋1，两式相减，得23T n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －n ＋13n ＋1＝23＋132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－n ＋13n ＋1＝23＋13×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－n ＋13n ＋1＝56－12×13n －n ＋13n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56－12×13n －n ＋13n ＋1×32＝54－2n ＋54×3n .易错提醒一要先“错项”再“相减”；二要注意最后一项的符号.训练3(2022·潍坊模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，S3＝a3＋6.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{a n b n}的前n项和T n.解(1)设数列{a n}的公比为q，由a1＝2，S3＝a3＋6，得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得q＝2，所以a n＝2n(n∈N*).(2)由(1)可得b n＝log2a n＝n，所以a n b n＝n·2n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2T n＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，所以－T n＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，所以T n＝(n－1)2n＋1＋2.一、基本技能练1.已知数列{a n}满足a n＋1－a n＝2(n∈N*)，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )A.9B.15C.18D.30答案 C解析∵a n＋1－a n＝2，a1＝－5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n＝－5＋2(n－1)＝2n－7，数列{a n}的前n项和S n＝n（－5＋2n－7）2＝n2－6n(n∈N*).令a n＝2n－7≥0，解得n≥7 2，∴n≤3时，|a n|＝－a n；n≥4时，|an|＝a n.则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝S6－2S3＝62－6×6－2×(32－6×3)＝18.2.(2022·深圳模拟)在数列{a n}中，a1＝3，a m＋n＝a m＋a n(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k等于( )A.10B.9C.8D.7答案 B解析令m＝1，由a m＋n＝a m＋a n可得a n＋1＝a1＋a n，所以a n＋1－a n＝3，所以{a n}是首项为a1＝3，公差为3的等差数列，an＝3＋3(n－1)＝3n，所以a1＋a2＋a3＋…＋a k＝k（a1＋a k）2＝k（3＋3k）2＝135，整理可得k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10(舍去).3.数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 答案 D解析因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，故有a 2－a 1＝1，a 3＋a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5＋a 4＝7，a 6－a 5＝9，a 7＋a 6＝11，…，a 50－a 49＝97.从而可得a 3＋a 1＝2，a 4＋a 2＝8，a 5＋a 7＝2，a 8＋a 6＝24，a 9＋a 11＝2，a 12＋a 10＝40，a 13＋a 15＝2，a 16＋a 14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列. 所以{a n }的前60项和为15×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15×8＋15×142×16＝1 830. 4.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}(n ∈N *)的前2 023项和为( ) A.1 011 B.1 010 C.－2 023 D.－2 022 答案 C解析由题意得a 3＋a 5＝2a 4＝a 4＋7，解得a 4＝7，所以公差d ＝a 10－a 410－4＝19－76＝2，则a 1＝a 4－3d ＝7－3×2＝1，所以a n ＝2n －1，设b n＝a n cos nπ，则b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝－a1＋a2＝2，b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝－a3＋a4＝2，……，∴数列{a n cos nπ}(n∈N*)的前2 023项和S2 023＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 021＋b2 022)＋b2 023＝2×1 011－4 045＝－2 023.5.已知函数f(x)＝x a的图象过点(4，2)，令a n＝1f（n＋1）＋f（n）(n∈N*)，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2 023等于( ) A. 2 023＋1 B. 2 024－1C. 2 023－1D. 2 024＋1答案 B解析函数f(x)＝x a的图象过点(4，2)，则4a＝2，解得a＝12，则f(x)＝x，a n ＝1f（n＋1）＋f（n）＝1n＋1＋n＝n＋1－n，则S2 023＝(2－1)＋(3－2)＋…＋( 2 023－ 2 022)＋( 2 024－ 2 023)＝2 024－1.6.(多选)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则下列结论一定正确的是( )A.a5＝1B.S n最小时n＝3C.S1＝S6D.S n存在最大值答案AC解析由已知得a 1＋3(a 1＋4×1)＝7a 1＋7×62×1，解得a 1＝－3.对于选项A ，a 5＝－3＋4×1＝1，故A 正确. 对于选项B ，a n ＝－3＋n －1＝n －4，因为a 1＝－3<0，a 2＝－2<0，a 3＝－1<0，a 4＝0，a 5＝1>0，所以S n 的最小值为S 3或S 4，故B 错误. 对于选项C ，S 6－S 1＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝5a 4，又因为a 4＝0，所以S 6－S 1＝0，即S 1＝S 6，故C 正确. 对于选项D ，因为S n ＝－3n ＋n （n －1）2＝n 2－7n2，所以S n 无最大值，故D 错误.7.(2022·无锡模拟)12＋12＋4＋12＋4＋6＋12＋4＋6＋8＋…＋12＋4＋6＋…＋2 022＝________. 答案1 0111 012解析根据等差数列的前n 项和公式，可得2＋4＋6＋…＋2n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，因为1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以12＋12＋4＋12＋4＋6＋12＋4＋6＋8＋…＋12＋4＋6＋…＋2 022＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11 011－11 012＝1－11 012＝1 0111 012.8.(2022·嘉兴测试)数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a 1a 24＋a 2a 342＋…＋a 9a 1049的值为________. 答案710解析对于a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1，两式相减得na n ＝2n －1，则a n ＝2n －1n，n ≥2，又a 1＝21＝2不符合上式，则a n＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2，当k ≥2时，a k a k ＋14k＝2k －1·2k （k ＋1）k ·22k ＝12·1k （k ＋1）＝12·⎝⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1， ∴a 1a 24＋a 2a 342＋…＋a 9a 1049＝14a 1a 2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110 ＝14×2×22－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－110＝710. 9.设各项均为正数的等差数列{a n }首项为1，前n 项的和为S n ，且S n ＝（a n ＋1）24(n ∈N *)，设b n ＝2n ·a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________. 答案 (2n －3)2n ＋1＋6(n ∈N *) 解析由题意4S n ＝(a n ＋1)2，① 4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，②两式相减得4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，即(a n ＋1－a n －2)(a n ＋1＋a n )＝0，∵a n＞0，∴a n＋1＋a n≠0，a n＋1－a n＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列，∵a1＝1，∴a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1，b n＝2n a n＝(2n－1)2n.由错位相减法可求得T n＝(2n－3)2n＋1＋6(n∈N*).10.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{a n}满足：a1＝a2＝1，a n＋2＝a n＋a n(n∈N*)，则1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 023是斐波那契数列{a n}中的第________项. ＋1答案 2 024解析依题意，得1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 023＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 023＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 023＝a6＋a7＋a9＋…＋a2 023＝…＝a2 022＋a2 023＝a2 024.11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝S5＝－20.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{a n}与{b n}的公共项为a m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和T n.解(1)设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝S5＝－20，得4a1＋6d＝5a1＋10d＝－20，解得a1＝－8，d＝2，则a n ＝－8＋2(n －1)＝2n －10(n ∈N *).(2)数列{b n }是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴b n ＝4·4n －1＝4n (n ∈N *). 又依题意2m －10＝4n ， ∴m ＝10＋4n2＝5＋22n －1，则T n ＝5n ＋2（1－4n ）1－4＝5n ＋22n ＋1－23.12.已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋1＝a 2n ＋2(a n ＋1＋a n ).(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝1a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋1＝a 2n ＋2(a n ＋1＋a n )，整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ) ＝2(a n ＋1＋a n )，由于a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝2，故数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝1a n ＋a n ＋1＝12n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －12，所以S n ＝12×(3－1＋5－3＋…＋2n ＋1－2n －1)＝12(2n ＋1－1).二、创新拓展练13.(多选)(2022·扬州调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的是( )A.若S n ＝n 2－1，则{a n }是等差数列 B.若S n ＝2n －1，则{a n }是等比数列 C.若{a n }是等差数列，则S 99＝99a 50D.若{a n }是等比数列，且a 1>0，q >0，则S 2n －1·S 2n ＋1>S 22n 答案 BC解析对于A ，若S n ＝n 2－1，则有a 1＝S 1＝0，a 2＝S 2－S 1＝22－12＝3，a 3＝S 3－S 2＝32－22＝5，2a 2≠a 1＋a 3，此时数列{a n }不是等差数列，故A 错误；对于B ，若S n ＝2n －1，则当n ＝1时，有a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2n －2n－1＝2n －1，故a n ＝2n －1，a n ＋1a n＝2，此时数列{a n }是等比数列，故B 正确；对于C ，由等差数列的性质可得S 99＝99（a 1＋a 99）2＝99a 50，故C 正确；对于D ，因为当a 1>0，q ＝1时，有a n ＝a 1，S 2n －1·S 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋1)a 21＝(4n 2－1)a 21，S 22n ＝(2na 1)2＝4n 2a 21，此时S 2n －1·S 2n ＋1<S 22n ，故D 错误.综上，故选BC.14.已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝n2，将数列{a n }按如下方式排列成新数列：a 1，a 2，a 2，a 2，a 3，a 3，a 3，a 3，a 3，…，，…，则新数列的前70项和为________. 答案4716解析由a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝n2，①得a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －2a n －1＝n －12(n ≥2)，②①－②得2n －1a n ＝12，即a n ＝12n (n ≥2)，又a 1＝12，即a n ＝12n ，由1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＝64，得n ＝8.令S ＝12＋322＋523＋ (1528)则12S ＝122＋323＋…＋1328＋1529，两式相减得12S ＝12＋2×122＋2×123＋…＋2×128－1529＝12＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－1271－12－1529，∴S ＝749256，所以新数列的前70项和为749256＋629＝4716. 15.函数y ＝[x ]称为高斯函数，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.已知数列{a n }满足a 3＝3，且a n ＝n (a n ＋1－a n )，若b n ＝[lg a n ]，则数列{b n }的前2 023项和为________. 答案 4 962解析因为a n ＝n (a n ＋1－a n )，所以(1＋n )a n ＝na n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a nn，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 为常数数列，所以ann＝a33＝1，所以a n＝n，记{b n}的前n项和为T n，当1≤n≤9时，0≤lg a n<1，b n＝0；当10≤n≤99时，1≤lg a n<2，b n＝1；当100≤n≤999时，2≤lg a n<3，b n＝2；当1 000≤n≤2 023时，3≤lg a n<4，b n＝3；所以T2 023＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a2 023]＝9×0＋90×1＋900×2＋1 024×3＝4 962.16.对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依次类推，第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，5.记第n次得到的数列的各项之和为S n，则{S n}的通项公式S n＝________.答案3＋3n＋1解析由题意可知，第n次得到数列1，x1，x2，x3， (5)第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，第3次得到数列1，8，7，13，6，17，11，16，5，第4次得到数列1，9，8，15，7，20，13，19，6，23，17，28，11，27，16，21，5. ……第n次得到数列1，x1，x2，x3， (5)所以S1＝6＋6＝6＋2×31，S 2＝6＋6＋18＝6＋2×31＋2×32，S 3＝6＋6＋18＋54＝6＋2×31＋2×32＋2×33，S 4＝6＋6＋18＋54＋162＝6＋2×31＋2×32＋2×33＋2×34， ……，即S n ＝6＋2(31＋32＋…＋3n ) ＝6＋2×3（1－3n ）1－3＝3＋3n ＋1.17.(2022·泰州模拟)在①S n ＝2a n ＋1－3，a 2＝94，②2S n ＋1－3S n ＝3，a 2＝94，③点(a n ，S n )(n ∈N *)在直线3x －y －3＝0上这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，________. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)方案一选条件①. ∵S n ＝2a n ＋1－3，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －3，两式相减，整理得a n ＋1＝32a n (n ≥2).∵a 2＝94，∴a 1＝S 1＝2a 2－3＝32，a 2＝32a 1，∴a n ＋1a n ＝32(n ∈N *)，∴数列{a n }是以32为首项，32为公比的等比数列，∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n(n ∈N *). 方案二选条件②. ∵2S n ＋1－3S n ＝3，∴当n ≥2时，2S n －3S n －1＝3，两式相减，整理得a n ＋1＝32a n (n ≥2).∵2(a 1＋a 2)－3a 1＝3，a 2＝94，∴a 1＝32，a 2＝32a 1，∴a n ＋1a n ＝32(n ∈N *)， ∴数列{a n }是以32为首项，32为公比的等比数列，∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n(n ∈N *). 方案三选条件③.∵点(a n ，S n )(n ∈N *)在直线3x －y －3＝0上， ∴S n ＝3a n －3，∴S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减，整理得a n ＋1＝32a n ，当n ＝1时，a 1＝3a 1－3，得a 1＝32，∴数列{a n }是以32为首项，32为公比的等比数列，∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n(n ∈N *). (2)由(1)可得b n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，则T n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，∴23T n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，两式相减得13T n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝23×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2－2n ＋63×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，∴T n ＝6－(2n ＋6)×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.。

高考数学复习知识点讲解与练习9 幂函数

高考数学复习知识点讲解与练习专题9 幂函数[基础强化]一、选择题1．下列函数既是偶函数又是幂函数的是() A ．y ＝x B ．y ＝x 23 C ．y ＝x 12 D ．y ＝|x | 【解析】B2．若f (x )是幂函数，且满足f （4）f （2）＝4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于()A ．4B ．－4C ．14D ．－14 【解析】C设f(x)＝x α，则f （4）f （2）＝4α2α ＝4，∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2＝14 .3．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f (33)，b ＝f (π)，c ＝f (22)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c 【解析】A由题意知，点(m ，8)在幂函数f(x)＝(m －1)x n 的图象上，所以m －1＝1， 8＝(m －1)·m n ，则m ＝2，n ＝3.即f(x)＝x 3，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又33 <22 <1<π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 <f(π)，即a<c<b.4．若幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15，则f (21－log 23)为() A ．13 B ．12 C ．32 D ．－1 【解析】C∵幂函数y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15 ，∴可设f(x)＝x α， ∴5α＝15 ，解得α＝－1， ∴f(x)＝x －1. ∴f(21－log 23)＝f(2log 223)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 －1＝32 ，故选C .5．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是() A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数【解析】D设幂函数的解析式为f(x)＝x α，将(3， 3 )代入解析式得3α＝ 3 ，解得α＝12 ，∴f(x)＝x 12.∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D .6．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为()A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1或m ＝2D ．m ≠1±52 【解析】A因为函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝2.7．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )() A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数【解析】A∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e －x ＋e x )＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝e x ＋e －x ＋(e x －e －x )x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A .8．(多选)已知实数a ，b 满足a 12＝b 13，则下列关系式中可能成立的是() A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<a <b D ．1<b <a 【解析】AC .AC由题可知a，b∈[0，＋∞)，设a 12 ＝b13 ＝m，则m≥0，画出y＝x12 与y＝x 13 在[0，＋∞)上的图象如图．由图可知，当m＝0或m＝1时，a＝b；当0<m<1时，0<b<a<1；当m>1时，1<a<b.故选AC.9．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f（x1）－f（x2）x1－x2>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有()A.a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能【解析】BC由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝1x3；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x).结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立．二、填空题10．已知a∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.【解析】－111．已知幂函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈N *)满足f (2)<f (3)，则f (x )的解析式为________．【解析】f (x )＝x 2幂函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈N *)满足f (2)<f (3)，故－k 2＋k ＋2>0，∴－1<k <2，又k ∈N *，∴k ＝1，f (x )＝x 2.12．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________．【解析】1解析：由已知得m 2－4m ＋4＝1，即m 2－4m ＋3＝0，解得m ＝1或3.当m ＝1时，f (x )＝x 3，符合题意；当m ＝3时，f (x )＝x －1，不符合题意．故m ＝1.[能力提升]13．幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，则a －1b ＝()A ．0B ．1C ．12D ．2 【解析】A因为BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M (13，23)，N (23，13)，分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0.14．(多选)[2023·重庆开州区质量检测]已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有()A ．函数f (x )为增函数B ．函数f (x )为偶函数C ．若x ＞1，则f (x )＞1D ．若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 【解析】ACD将点(4，2)的坐标代入函数f (x )＝x α中得2＝4α，则α＝12，所以f (x )＝x 12. 显然f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A 正确．f (x )的定义域为[0，＋∞)，所以f (x )不具有奇偶性，所以B 不正确．当x ＞1时，x ＞1，即f (x )＞1，所以C 正确． f (x )＝x 12≥0，若0＜x 1＜x 2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x 1）＋f （x 2）22－⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝⎛⎭⎪⎫ x 1＋x 222＝x 1＋x 2＋2x 1x 24－x 1＋x 22＝2x 1x 2－x 1－x 24＝－（x 1－x 2）24＜0，即f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立，所以D 正确．故选ACD.15．右图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为()A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2，2，12 D ．2，12，－2，－12 【解析】B当x ＝2，n 取2，－2，12，－12四个值时，依次对应的函数值为4，14，2，22，因此有C 1，C 2，C 3，C 4对应的n 值分别为2，12，－12，－2.16．若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________ 【解析】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32解析：不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a 解得：23<a <32或a <－1.。

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题含解析

§9。

4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|=9,则|PF 2｜等于（ ) A 。

1 B 。

17C.1或17 D 。

以上均不对答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0,b>0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点)，则双曲线的方程为（）A 。

x 24-y 212=1 B 。

x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D 。

x 2—y 23=1答案 D3.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a 〉0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ )A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1C.3x 225—3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1答案 A4。

若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216—y 25-k=1与曲线x 216-k-y 25=1的（）A 。

实半轴长相等B 。

虚半轴长相等C 。

离心率相等 D.焦距相等答案 D考点二双曲线的几何性质5。

已知双曲线x 2a 2-y 23=1（a>0)的离心率为2，则a=( )A.2B.√62C.√52D 。

1答案 D6。

双曲线C ：x 2a 2—y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3，则C 的焦距等于（） A 。

2 B.2√2 C 。

4 D 。

4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√52，则C 的渐近线方程为（ )A 。

y=±14x B.y=±13xC 。

y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5，0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一求双曲线方程的方法1.（2018黑龙江仿真模拟(三）,8）已知双曲线C:x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为（2，0)，则双曲线C的方程为（)A。

高中数学选择性必修一高考训练练习习题课时作业(九)

课时作业(九) 用空间向量研究距离问题[练基础]1．已知A (0，0，2)，B (1，0，2)，C (0，2，0)，则点A 到直线BC 的距离为( ) A ．223B ．1C ．2D ．222．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在平面α内，则平面α外的点P (－2，1，4)到平面α的距离为( )A ．10B ．3C ．83D ．1033．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB → ＝(0，1，－1)，AC → ＝(1，4，0)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1，4)，则这个三棱柱的高h ＝( )A ．1B ．36C ．2D ．26 4．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点C 1到平面A 1BD 的距离是( ) A ．22 a B ．33 a C ．3 a D ．233a 5．(多选)已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2，1)，点A (－1，3，0)在平面α内，若点P (－2，1，z )到α的距离为103，则z ＝( ) A ．－16 B ．－4C ．4D ．166．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点B 到直线AC 1的距离为________．7．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AA 1＝3，AD ＝2，则点C 1到平面A 1BC 的距离为________．8．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．求点C 到平面AB 1D 的距离．[提能力]9．如图，ABCD EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP → ＝34AB → ＋12 AD → ＋23AE → ，则P 到AB 的距离为( ) A ．34 B ．45C ．56D ．3510．如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，A 1A ＝5，AB ＝12，则直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离是( )A ．5B ．8C ．6013D ．13311．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若BB 1＝2 AB ＝22 ，则点C 到直线AB 1的距离为________．12．如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．[培优生]13．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E 上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．。

高考数学复习常考知识点专项练习9 全称量词命题和存在量词命题的否定

高考数学复习常考知识点专项练习9全称量词命题和存在量词命题的否定一、选择题1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(A)A．对任意实数x，都有x≤1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x>1D．存在实数x，使x≤1解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．2．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是(C)A．不存在x∈R，使得x2－2x＋1≥0B．存在x∈R，使得x2－2x＋1≤0C．存在x∈R，使得x2－2x＋1<0D．对任意的x∈R，都有x2－2x＋1<0解析：命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是“存在x∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”．故选C.3．存在量词命题“∃x ∉M ，p (x )”的否定是( C )A ．∀x ∈M ，¬p (x )B ．∀x ∉M ，p (x )C ．∀x ∉M ，¬p (x )D ．∀x ∈M ，p (x )解析：由存在量词命题的否定的定义可得C 正确．4．命题“∀x ∈R ，x 2>12x －1”的否定是( A ) A ．∃x ∈R ，x 2≤12x －1B ．∀x ∈R ，x 2<12x －1C ．∀x ∈R ，x 2≤12x －1D ．∃x ∈R ，x 2<12x －1解析：将“∀”改写为“∃”，再否定结论可得，命题的否定为“∃x∈R ，x 2≤12x －1”．5．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是( D )A ．{a |a <1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≥1}解析：因为p 为假命题，所以綈p 为真命题，所以∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，所以1－a ≤0，即a ≥1，故选D.6．命题“∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－3x ＋2≤0”的否定为( C )A ．∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－3x ＋2>0B．∀x∉{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0C．∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0D．∃x∉{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0”，故选C.7．命题“负数的平方是正数”的否定是(D)A．负数的平方不是正数B．有些负数的平方是正数C．所有负数的平方是正数D．有些负数的平方不是正数解析：先将命题中省略的量词补回，则“任意一个负数的平方是正数”，再进行否定，“有些负数的平方不是正数”．故选D.8．(多选题)给出下列命题，其中真命题有(AB)A．存在x<0，使|x|>xB．对于一切x<0，都有|x|>xC．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝bD．已知A＝{a|a＝2n，n∈N*}，B＝{b|b＝3n，n∈N*}，则A∩B＝∅解析：易知A、B为真命题，C中，“存在n∈N*，使得a＝b”的否定是“对于任意的n∈N*，都有a≠b”，由于a－b＝2n－3n＝－n，所以对于任意的n∈N*，都有a<b，即a≠b，故C为假命题；D中，已知A＝{a|a＝2n，n∈N*}，B＝{b|b＝3n，n∈N*}，易知6∈A,6∈B，因此D为假命题，故选AB.二、填空题9．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则綈q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆．10．已知命题p：∃x≥7,2x－1<a，若p为假命题，则a的取值范围是a≤13.解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即∀x≥7,2x－1≥a，即2x－1≥13≥a，∴a≤13.三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；(4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.解：(1)綈p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p为真命题．(2)綈p：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，故綈p为假命题．(3)綈p ：对任意的实数x ，都有x 2＋1≠0.綈p 为真命题．(4)綈p ：∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2＋2x －4y ＋5≠0.綈p 为真命题．12．命题p 是“对任意实数x ，都有x －a >0或x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．(1)写出命题p 的否定．(2)当a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解：(1)命题p 的否定：存在实数x ，使x －a ≤0且x －b >0.(2)要使命题p 的否定为真，则需要使⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0x －b >0的解集不为空集． a ，b 应满足的条件是b <a .13．(多选题)已知a >0，函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，当x ＝m 时的函数值记为M ，则下列选项中的命题为真命题的是( ABD )A ．∃x ∈R ，ax 2＋bx ＋c ≤MB ．∃x ∈R ，ax 2＋bx ＋c ≥MC．∀x∈R，ax2＋bx＋c≤M D．∀x∈R，ax2＋bx＋c≥M解析：方程2ax＋b＝0的解为m＝－b2a.由当x＝m时的函数值记为M知A、B为真命题；∵a>0，∴函数y＝ax2＋bx＋c在x＝－b2a＝m处取得最小值．∴M是函数y＝ax2＋bx＋c的最小值，因此D为真命题，C为假命题，故选ABD.14．已知命题p：∀x∈R，x2<x3，命题q：∃x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是(B)A．p，q B．綈p，qC．p，綈q D．綈p，綈q解析：对于命题p，采用特值法，取x＝－1，可知p为假命题；命题q：当x0＝1时，x20－5x0＋4＝0成立，故q为真命题，故选B.15．已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，为真命题，则a的取值范围是a≤1；若命题q：“∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，为真命题，则a的取值范围是a≤4.解析：将命题p转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1.命题q：存在x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，就是x≥a在x∈{x|1≤x≤4}有解，因此x的最大值大于或等于a，即a≤4.16．设集合A＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀n∈A，n<12.(2)q：∃x∈{x|x是奇数}，x∈A.解：(1)綈p：∃n∈A，n≥12.因为当n＝12时，綈p成立，所以綈p是真命题．(2)綈q：∀x∈{x|x是奇数}，x∉A.綈q是假命题．。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 9 函数的奇偶性与周期性

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结9 函数的奇偶性与周期性高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (－x )＝f (3＋x )，f (2022)＝2，则f (1)的值是( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 B解析奇函数f (x )满足f (－x )＝f (3＋x )＝－f (x )，－f (x ＋3)＝f (x ＋6)＝f (x )，则f (2022)＝f (－1)＝－f (1)＝2，则f (1)＝－2.故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( ) A ．1 B ．3 C ．－3 D ．－1答案 C解析因为函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），且f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)，所以log 2(1＋3)＝－[g (3)＋1]，则g (3)＝－3.故选C.3．已知f (x )不是常数函数，∀x ∈R 有f (8＋x )＝f (8－x )且f (4＋x )＝f (4－x )，则f (x )满足( )A ．是奇函数不是偶函数B ．是奇函数也是偶函数C ．是偶函数不是奇函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案 C解析 f (8＋x )＝f (8－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝8对称，f (4＋x )＝f (4－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝4对称，则f (x )的图象关于直线x ＝0对称，是偶函数，又f (x )不是常数函数，则f (x )不能恒等于0，不是奇函数．故选C.4．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2答案 D解析当x >0时，x ＋12>12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2.故选D.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －xC ．e x ＋e －xD ．12(e x －e －x )答案 D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x－e －x ).故选D.6．已知偶函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x 13＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b答案 D解析 ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，y ＝sin x 为增函数，y ＝x 13也为增函数，∴函数f (x )＝x 13＋sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也为增函数．∵函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，∵0<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即c <a <b .故选D.7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－1，1]C ．(－∞，2]D ．[－2，2]答案 B解析因为函数f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立等价于f (a )≥f (x )max ＝f (1)，所以|a |≤1，解得－1≤a ≤1，即实数a 的取值范围为[－1，1].故选B.8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3，4]时，f (x )＝2x ，则下列不等式中正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)<f (cos 1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32 答案 C解析 x ∈[3，4]时，f (x )＝2x ，故偶函数f (x )在[3，4]上是增函数，T ＝2，∴偶函数f (x )在[－1，0]上是增函数，∴f (x )在[0，1]上是减函数．对于A ，0<sin 12<cos 12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12；对于B ，1>sin π3>cos π3>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3；对于C ，1>sin 1>cos 1>0，∴f (sin 1)<f (cos 1)；对于D ，0<cos 32<sin 32<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32.故选C. 9．(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋4)为偶函数答案 ABC解析 ∵f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1) ①，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2) ②，∴由①可得f [－(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1＋1)，即f (－x )＝－f (x ＋2) ③，∴由②③得f (－x )＝f (－x ＋2)，∴f (x )的周期为2，∴f (x )＝f (x ＋2)＝－f (－x )，则f (x )为奇函数，∴f (x ＋1)＝f (x ＋3)，则f (x ＋3)为奇函数．故选ABC.10．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上是增函数，下列关于f (x )的判断正确的是( )A．f(x)的图象关于点P(1，0)对称B．f(0)是函数f(x)的最大值C．f(x)在[2，3]上是减函数D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z答案ABD解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1，0)对称，所以A正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以D正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2，0]上是增函数，所以f(x)在[2，4]上也是增函数，因此C不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以B正确．故选ABD.11．若f(x)＝x ln (x＋a＋x2)为偶函数，则实数a＝________．答案 1解析因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－x ln (－x＋a＋x2)－x ln (x＋a＋x2)＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即实数a＝1.12．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________．答案 (－4，－2)∪(0，2)解析当x ∈(－4，0)时，f (x )·g (x )<0，又g (x )<0，则f (x )>0，所以－4<x <－2；当x ＝0时，g (x )＝0，则f (x )·g (x )＝0，不符合题意，舍去；当x ∈(0，4)时，f (x )·g (x )<0，又g (x )>0，则f (x )<0，所以0<x <2，所以解集为(－4，－2)∪(0，2).二、高考小题13．(2022·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( ) A ．f (x －1)－1 B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 B解析解法一：因为f (x )＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f (x －1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (x －1)＝1－（x －1）1＋（x －1）＝2－x x ，f (x ＋1)＝1－（x ＋1）1＋（x ＋1）＝－x x ＋2.对于A ，F (x )＝f (x －1)－1＝2－x x －1＝2－2x x ，定义域关于原点对称，但不满足F (x )＝－F (－x )；对于B ，G (x )＝f (x －1)＋1＝2－x x ＋1＝2x ，定义域关于原点对称，且满足G (x )＝－G (－x )；对于C ，f (x ＋1)－1＝－x x ＋2－1＝－2x ＋2x ＋2，定义域不关于原点对称；对于D ，f (x ＋1)＋1＝－x x ＋2＋1＝2x ＋2，定义域不关于原点对称．故选B. 14．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (2x ＋1)为奇函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0 B ．f (－1)＝0 C ．f (2)＝0 D ．f (4)＝0答案 B解析因为函数f (x ＋2)为偶函数，则f (2＋x )＝f (2－x )，可得f (x ＋3)＝f (1－x )，因为函数f (2x ＋1)为奇函数，则f (1－2x )＝－f (2x ＋1)，所以f (1－x )＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋3)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，因为f (2x ＋1)为奇函数，所以f (1)＝0，故f (－1)＝－f (1)＝0，其他三个选项未知．故选B.15．(2022·全国甲卷)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b .若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝( ) A ．－94B ．－32 C ．74D ．52答案 D解析因为f (x ＋1)为奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (1)＝0，即a ＋b ＝0，所以b ＝－a ，所以f (0)＝f (－1＋1)＝－f (1＋1)＝－f (2)＝－4a －b ＝－3a ，又f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (3)＝f (1＋2)＝f (－1＋2)＝f (1)＝0，由f (0)＋f (3)＝6，得a ＝－2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94a －b ＝－54a ＝52.故选D. 16．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________．答案 1解析设g (x )＝a ·2x －2－x ，h (x )＝x 3.因为函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是R 上的偶函数，函数h (x )＝x 3是R 上的奇函数，所以函数g (x )＝a ·2x －2－x 是R 上的奇函数，故g (0)＝a ·20－2－0＝a －1＝0，因此a ＝1.17．(2022·江苏高考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是______．答案－4解析 f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4.三、模拟小题18．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a 2x －a －2x ＋1(a >0，a ≠1)，则f (1)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析由已知可得f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1，f (－1)＋g (－1)＝a －2－a 2＋1，因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，联立⎩⎨⎧f （1）＋g （1）＝a 2－a －2＋1，f （1）－g （1）＝a －2－a 2＋1，解得f (1)＝1.故选C. 19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知函数y ＝f (x ＋1)是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (2)＝0，则f (x )f (x ＋1)<0的解集为( )A.(－2，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，2)C ．(－1，2)D ．(－2，1)答案 B解析因为函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由f (x )在(－∞，1)上单调递减，得f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (0)＝f (2)＝0，所以当x <0或x >2时，f (x )>0，当0<x <2时，f (x )<0.函数f (x )的图象如图所示，f (x )f (x ＋1)<0等价于⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋1）<0或⎩⎨⎧f （x ）<0，f （x ＋1）>0，即⎩⎨⎧x <0或x >2，0<x ＋1<2或⎩⎨⎧0<x <2，x ＋1<0或x ＋1>2，解得－1<x <0或1<x <2.故选B.20．(2022·陕西咸阳一模)设f (x )为R 上的奇函数，满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x e x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝( )A ．2e ＋2e 2B ．50e ＋50e 2C ．100e ＋100e 2D ．－2e －2e 2答案 A解析由f (2－x )＝f (2＋x )得f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (x )是以8为周期的周期函数．∵f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (－1)＋f (－2)＋f (－3)＋f (－4)＝0，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2e ＋2e 2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝12×[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝2e ＋2e 2.故选A.21．(多选)(2022·福建省永安市第三中学高三月考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，若y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且对任意的x 1，x 2∈(0，2)，x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )的周期T ＝4C ．f (2022)＝0D ．f (x )在(－4，－2)上单调递减答案 ABC解析由y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (1＋x －1)＝f (1－x －1)，即f (－x )＝f (x )，故f (x )是偶函数，A 正确；由f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，令x ＝－2，可得f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )的周期T ＝4，B 正确；f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝0，故C 正确；又f (x )在(0，2)上单调递增，周期T ＝4，则f (x )在(－4，－2)上单调递增，故D 错误．故选ABC.22．(多选)(2022·三湘名校教育联盟高三联考)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x ＋1).当0≤x ≤12时，f (x )＝log 2(1＋x )，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期为2B ．若i ∈N *，则∑ni ＝1f (i )＝0C ．点(－1，0)为f (x )的一个对称中心D ．∑2022i ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫321011答案ABC解析因为f (x )为奇函数，f (－x )＝f (x ＋1)，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，所以f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋2)]＝f (x ＋2)，故f (x )的周期T ＝2，A 正确；当0≤x ≤12时，f (x )＝log 2(1＋x )，所以f (1)＝f (0)＝f (2)＝0，所以若i ∈N *，则∑ni ＝1f (i )＝0，B 正确；因为f (－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，点(－1，0)为f (x )的一个对称中心，C 正确；当i ＝2k 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f (k )＝0，当i ＝4k ＋1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，当i ＝4k ＋3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以∑2022i ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝log 232，D 错误．故选ABC. 23.(多选)(2022·山东省兖州市高三质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )的判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )是奇函数B．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函数y＝f(x)的值域为[0，22]D．函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增答案BCD解析由题意，当－4≤x＜－2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(－2，0)为圆心，2为半径的14圆；当－2≤x＜2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点D(0，0)为圆心，22为半径的1 4圆；当2≤x＜4时，顶点B(x，y)的轨迹是以点C(2，0)为圆心，2为半径的14圆；当4≤x＜6时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(6，0)为圆心，2为半径的14圆，与－4≤x＜－2的形状相同，因此函数y＝f(x)在[－4，4]上的图象恰好为一个周期的图象，所以函数y ＝f(x)的周期是8，其图象如下：由图象及题意可得，该函数为偶函数，故A错误；因为函数的周期为8，所以f(x ＋8)＝f(x)，因此f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可得，该函数的值域为[0，22]，故C正确；因为该函数是以8为周期的函数，因此函数y＝f(x)在区间[6，8]上的图象与在区间[－2，0]上的图象形状相同，因此单调递增，故D正确．故选BCD.24．(2022·新高考八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________．答案sin πx(答案不唯一)解析由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)＝A sin ωx(A≠0，ω>0)，满足f (－x )＝－sin ωx ＝－f (x )，即是奇函数；根据最小正周期T ＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f (x )＝A sin πx (A ≠0)中的任一个，可取f (x )＝sin πx .25．(2022·河北邯郸高三上开学摸底考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ，则f (0)＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4364＝________．答案－14 2 3解析函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），可得f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以函数的周期T ＝4，所以f (0)＝－1f （2）＝－14，f⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4364＝f (log 43－3)＝f (log 43＋1)＝2log 43＋1＝2×212log 23＝2×2log 2312＝2 3.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·上海徐汇区模拟)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝lg （1－x 2）－x.又f (－x )＝lg [1－（－x ）2]x ＝－lg （1－x 2）－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x ).综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴f (x )为奇函数．2．(2022·安徽省巢湖市第四中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)可画出f (x )的图象如图所示，知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].3．(2022·山东临沂高三阶段考试)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).从而可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 4．(2022·青海模拟)设f (x )是定义在R 上不恒为0的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 恒成立.(1)证明f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|g (x )是偶函数，求实数a 的值．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上不恒为0的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又因为T ＝3是f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y ＝|f (x )|g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以实数a ＝0.。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习09 函数的图象

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识09 函数的图象1．（2022年甲卷理科第5题文科第7题）函数x y x x cos )33(--=在区间]2,2[ππ-的图象大致为【答案】A【解析】设x x f x x cos )33()(--=，)()cos()33()(x f x x f x x -=--=--，所以)(x f 为奇函数，排除BD ，令1=x ，则01cos )33()1(1>-=-f ，排除C ，故选A.2.（2022年乙卷文科第8题）右图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图象，则函数是A. 3231x x y x -+=+B.321x xy x -=+ C.22cos 1x x y x =+ D.22sin 1xy x =+【答案】A【解析】由图象可知函数是奇函数，且1x =，0y ＞,排除B .由3x =，0y ＜，排除D .由3x =-,2y ＞，排除C .故选A .3.（2022年浙江卷第6题）为了得到2sin 3y x =的图象，只要把函数2sin 35y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点A ．向左平移5π个单位长度 B ．向右平移5π个单位长度 C ．向左平移15π个单位长度 D ．向右平移15π个单位长度【答案】D【解析】函数图象平移满足左加右减，2sin 32sin 3515y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此需要将函数图象向右平移15π个单位长度，可以得到2sin 3y x =的图象。

故本题选D ．1.函数图象的识辨：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 2.函数图象的画法（1）直接法：函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象；（2）转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象；（3）变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注图象变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响。

2021高考数学一轮复习考点通关练第二章函数、导数及其应用考点测试9指数与指数函数(含解析)苏教版

考点测试9 指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题 1．设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27答案 D 解析因为2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝3x －9＝32y，所以x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.2．化简(a >0，b >0)的结果是( )A.b aB ．abC ．a 2b D ．a b答案 D 解析原式＝＝ab －1＝ab .故选D.3．若f (x )＝(2a －3)a x为指数函数，则f (x )在定义域内( ) A ．为增函数 B ．为减函数 C ．先增后减 D ．先减后增答案 A解析由指数函数的定义知2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (x )＝2x，所以f (x )在定义域内为增函数．故选A.4．已知，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A 解析 a ＝，由2<3得a <c ，由23>25，得a >b ，故c >a >b .故选A.5．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2B ．－1<a <1C ．a >2或a <－ 2D ．－2<a < 2答案 C解析 ∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，即a 2>2.∴a >2或a <－ 2.故选C.6．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝22－xB ．y ＝x －11＋xC ．D ．y ＝－x 2＋2x ＋a答案 A解析根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝22－x＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在(0，＋∞)内单调递减，符合题意；对于B ，y ＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于C ，y ＝＝log 2x ，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于D ，y ＝－x 2＋2x ＋a ＝－(x －1)2＋a ＋1，在(0,1)内单调递增，不符合题意．故选A.7．已知函数f (x )满足对一切x ∈R ，f (x ＋2)＝－1f x都成立，且当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x，则f (2019)＝( )A.14 B ．18 C ．116 D ．132答案 B解析由已知条件f (x ＋2)＝－1f x可得f (x )＝－1fx －2，故f (x ＋2)＝f (x －2)，易得f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2019)＝f (3＋504×4)＝f (3)，∵当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x ，∴f (3)＝2－3＝18，即f (2019)＝18.故选B.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x＋31＋2x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 B ．(0,2] C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3}答案 C解析因为f (x )＝2x＋31＋2x ＋1＝121＋2x ＋1＋521＋2x ＋1＝12＋521＋2x ＋1，2x ＋1>0，所以0<11＋2x ＋1<1，所以12<12＋521＋2x ＋1<3，即12<f (x )<3，所以y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C. 9．下列说法中，正确的是( ) ①任取x ∈R 都有3x >2x；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称． A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤答案 B解析 ①中令x ＝－1，则3－1<2－1，故①错误；②中当x <0时，a x <a －x，故②错误；③中y ＝(3)－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，∵0<33<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x为减函数，故③错误；④中x ＝0时，y 取最小值1，故④正确；⑤由函数图象变换，可知y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，故⑤正确．故选B.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x－1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 D ．[2,3)答案 C解析 ∵0≤x ≤1时，f (x )＝4x－1，∴f (x )在区间[0,1]上是增函数，又f (x )是奇函数，∴f (x )在区间[－1,1]上是增函数．∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，∴在区间(1,3)上不等式f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，故选C.11．求值：＝________.答案14380解析原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.12．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案 e解析由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x |，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x≥e(当x ＝1时，取等号)；当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．b <c <a答案 B解析因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以a <c <b .故选B. 14．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析令t ＝2x ＝3y ＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3＝lg t lg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5＝lg t lg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，∴2x＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.15．(2018·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.答案 6解析由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p＋ap ＝65， ①2q 2q＋aq ＝－15， ②①＋②，得2p2q ＋aq ＋2q2p＋ap2p ＋ap 2q＋aq＝1，整理得2p ＋q＝a 2pq ，又2p ＋q＝36pq ，∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，∴a ＝6. 16．(2015·江苏高考)不等式<4的解集为________．答案 {x |－1<x <2} 解析不等式<4可转化为<22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．17．(2015·福建高考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．答案 1解析因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.三、模拟小题18．(2020·河北张家口摸底)化简的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab答案 B 解析原式＝＝4ab 0＝4a ，故选B.19．(2019·湖北八校联考)若，则函数y ＝2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B 解析因为＝24－2x，则x 2＋1≤4－2x 即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1.所以18≤y ≤2.20．(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝e x －1－e－x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是1B ．函数f (x )是单调递减函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1,0)中心对称答案 D解析函数f (x )＝ex －1－e－x ＋1，即f (x )＝ex －1－1e x －1，可令t ＝e x －1，即有y ＝t －1t，由y ＝t －1t在t ＞0时单调递增，t ＝e x －1在R 上单调递增，可得f (x )在R 上为增函数，则A ，B 均错误；由f (2－x )＝e1－x－ex －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1,0)对称，则C 错误，D 正确．故选D.21．(2020·湖南衡阳高三摸底考试)设函数f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤K ，K ，f x >K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1答案 D解析根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1时恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.22．(2019·江苏省镇江市期末)已知函数f (x )＝12x －2x ，则满足f (x 2－5x )＋f (6)>0的实数x 的取值范围是________．答案 (2,3)解析根据题意，函数f (x )＝12x －2x ，f (－x )＝12－x －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2x ＝－f (x )，即f (x )为奇函数，又由y ＝12x 在R 上为减函数，y ＝－2x在R 上为减函数，则f (x )在R 上为减函数，则f (x 2－5x )＋f (6)>0⇒f (x 2－5x )>－f (6)⇒f (x 2－5x )>f (－6)⇒x 2－5x <－6，解得2<x <3，即x 的取值范围为(2,3)．23．(2019·浦东新区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x4x 2＋16，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x <2，若对任意的x 1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x 2∈(－∞，2)，满足f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________．答案 [－2,6)解析当x 1∈[2，＋∞)时， x 14x 21＋16＝14x 1＋16x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116.当x 2∈(－∞，2)时，(1)若a ≥2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x 在(－∞，2)上是单调递增函数，所以f (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2.若满足题目要求，则⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2>116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，∴a －2<4，a <6.又a ≥2，所以a ∈[2,6)．(2)若a <2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x，x <a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －a，a ≤x ＜2.如果f (x )在(－∞，a )上是单调递增函数，此时f (x 2)∈(0,1)；如果f (x )在[a,2)上是单调递减函数，此时f (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a ，1. 若满足题目要求，则116≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a，∴a ≥－2，又a <2，所以a ∈[－2,2)．综上，a ∈[－2,6)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·兰州模拟)已知函数.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求实数a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求实数a 的值．解 (1)当a ＝－1时，，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，实数a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使的值域为(0，＋∞)，则应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.2．(2020·河南洛阳高三阶段考试)已知函数f (x )＝a|x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求实数b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a ，b 应满足的条件．解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得实数b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 3．(2019·渭南模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求实数a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得实数b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得实数a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，所以由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13. 4．(2020·山东枣庄高三摸底考试)已知函数f (x )＝e x ＋a ·e －x，x ∈R . (1)当a ＝1时，证明：f (x )为偶函数；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立．解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x＋e －x，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为x 1<x 2，函数y ＝e x为增函数，所以，则，又因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0，所以对任意的0≤x 1<x 2恒成立，所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由(1)(2)知函数f (x )＝e x ＋e －x在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以其最小值f (0)＝2，且f (2x )＝e 2x＋e－2x＝(e x ＋e －x )2－2，设t ＝e x ＋e －x，则t ∈[2，＋∞)，1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立，等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥t ＋1t 2恒成立，而t ＋1t 2＝1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时t ＋1t 2取得最大值34，故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第九单元平面向量

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643第九单元平面向量考点一平面向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a ,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= .【解析】∵λa+b 与a+2b 平行,∴λa+b=t (a+2b )(t ∈R ),即λa+b=ta+2tb , ∴{λ=t,1=2t,解得{λ=12,t =12.【答案】122.(2015年全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A . 【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ).A.3B.2√2 C .√5 D .2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C 的坐标为(2,1).设BD 与圆C 切于点E ,连接CE ,则CE ⊥BD.∵CD=1,BC=2, ∴BD=√12+22=√5, EC=BC ·CD BD =5=2√55, 即圆C 的半径为2√55, ∴点P 的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.设P (x 0,y 0),则{x 0=2+2√55cosθ,y 0=1+2√55sinθ(θ为参数),而AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),∴μ=12x 0=1+√55cos θ,λ=y 0=1+2√55sin θ. 两式相加,得λ+μ=1+2√55sin θ+1+√55cos θ=2+sin (θ+φ)≤3 (其中sinφ=√55,cosφ=2√55), 当且仅当θ=π2+2k π-φ,k ∈Z 时,λ+μ取得最大值3. 故选A . 【答案】A考点二向量的数量积运算畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码25486434.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m ),b=(3,-2),且(a+b )⊥b ,则m=( ).A .-8B .-6C .6D .8【解析】因为a=(1,m ),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因为(a+b )⊥b ,所以(a+b )·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8. 【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC=( ).A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√34+√34=√32.又因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠ABC=1×1×cos ∠ABC ,所以cos ∠ABC=√32.又0°≤∠ABC ≤180°,所以∠ABC=30°.故选A .【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .【解析】由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×cos 60°=3, AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=λ-23×3-13×32+2λ3×22 =113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3117.(2017年北京卷)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n<0”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ,使得m =λn , 则m 与n 反向共线,θ=180°, 所以m ·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m ·n<0,此时不存在负数λ,使得m =λn. 故“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n<0”的充分而不必要条件. 故选A . 【答案】A8.(2017年山东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若√3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .【解析】由题意知|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=0,|√3e 1-e 2|=√(√3e 1-e 2)2=√3e 12-2√3e 1·e 2+e 22=√3−0+1=2.同理|e 1+λe 2|=√1+λ2. 所以cos 60°=(√3e 1-e 2)·(e 1+λe 2)|3e -e ||e +λe |=√3e 12√3λ12222√1+λ=√3-2√1+λ=12,解得λ=√33.【答案】√33考点三与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .【解析】|a+2b|=√(a +2b)2=√a 2+4a ·b +4b 2=√22+4×2×1×cos60°+4×12 =√12=2√3.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【答案】2√310.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m ,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ·b=|a|2+|b|2,∴a ·b=0.又a=(m ,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2. 【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .【解析】设a ,b 的夹角为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a-b|=√(a +b)2+√(a -b)2 =√5+4cosθ+√5−4cosθ.令y=√5+4cosθ+√5−4cosθ, 则y 2=10+2√25−16cos 2θ.∵θ∈[0,π],∴cos 2θ∈[0,1],∴y 2∈[16,20], ∴y ∈[4,2√5],即|a+b|+|a-b|∈[4,2√5].【答案】4 2√5考点四平面向量在平面几何中的应用12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ). A.-2 B.-32C.-43D.-1【解析】如图,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ (D 为BC 的中点),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .要使PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,即点P 在线段AD 上,则(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,问题转化为求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值. 又|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√32=√3, ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤(|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2)2=(√32)2=34,∴[PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]min =(2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =-2×34=-32.故选B . 【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ). A.I 1<I 2<I 3 B.I 1<I 3<I 2 C.I 3<I 1<I 2 D.I 2<I 1<I 3【解析】∵I 1-I 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为钝角, ∴I 1-I 2<0,即I 1<I 2.∵I 1-I 3=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOB-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠COD =cos ∠AOB (|OA⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |), 又∠AOB 为钝角,OA<OC ,OB<OD ,∴I 1-I 3>0,即I 1>I 3. ∴I 3<I 1<I 2.故选C . 【答案】C高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码25486432.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.§9.1平面向量的概念及线性运算一向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±a|a|4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)5.相等向量:长度且方向的向量.6.相反向量:长度且方向的向量.二向量的线性运算1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足和.2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.☞ 左学右考如图,在正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BC 上靠近点B 的一个三等分点,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AD ⃗⃗⃗⃗⃗B .23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C .13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D .12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗下列命题中,正确的个数是( ).①若|a|=|b|,则a=b ; ②若a=b ,则a ∥b ; ③|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |;④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.A .1B .2C .3D .4已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则( ).A .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .2AO⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗知识清单一、2.零 3.1个单位 4.相同相反 5.相等相同 6.相等相反畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643二、1.平行四边形三角形交换律结合律 2.> < 基础训练1.【解析】EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .【答案】D2.【解析】∵a 与b 的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b 为零向量,则a 与c 的方向不能确定,∴④错误. 【答案】B3.【解析】由2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,O 是底边BC 上的中线AD 的中点,故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】A题型一平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题:①若|a|=|b|,则a ∥b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b ,b=c ,则a=c ;④“a=b ”的充要条件是“|a|=|b|且a ∥b ”.其中正确命题的序号是 .【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线.②正确.若四边形ABCD 为平行四边形,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ③正确.∵a=b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同.又b=c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同,∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b ,故“|a|=|b|且a ∥b ”不是“a=b ”的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③. 【答案】②③正确理解相等向量、共线向量、单位向量以及向量的模等相关概念及其含义是解题的关键.【变式训练1】下列命题中正确的是( ).A .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线B .|a|=|b|,则a=±bC .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D 不正确;对于C ,由零向量与任一向量都共线,可知C 正确,故选C .【答案】C题型二向量的线性运算【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是( ).①PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b ;②PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a-b ; ③PS ⃗⃗⃗⃗ =32a-12b ;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+b. A .①② B .③④ C .①③ D .②④【解析】①根据向量的加法法则,得PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a-32b ,故②错误;③PS ⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QS ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b-2b=32a-12b ,故③正确;④PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32a+32b-b=32a+12b ,故④错误.故选C .【答案】C结合图形性质,准确、灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【变式训练2】如图,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ).A .a-12bB .12a-bC .a+12bD .12a+b【解析】连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+12a. 【答案】D题型三共线向量定理及应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b ,求证:A ,B ,D 三点共线. (2)试确定实数k ,使ka+b 与a+kb 共线. 【解析】(1)∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a+b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-5b-5a+b=-2a-4b=-2(a+2b )=-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵它们有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线.(2)∵k a+b 与a+kb 共线,∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb ),即ka+b =λa +λk b ,∴(k-λ)a=(λk -1)b.∵a ,b 是不共线的两个非零向量, ∴k -λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1.解决点共线或向量共线的问题,要利用向量共线定理,先设后求.【变式训练3】已知向量a=2e 1-3e 2,b=2e 1+3e 2,c=2e 1-9e 2,其中向量e 1,e 2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d =λa +μb 与c 共线,求λμ的值.【解析】∵d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2,要使d 与c 共线,则应有实数k ,使d=kc , 即(2λ+2μ)e 1+(-3λ+3μ)e 2=2ke 1-9ke 2,∴{2λ+2μ=2k,-3λ+3μ=−9k,得λ=-2μ,∴λμ=-2.方法待定系数法在平面向量的线性运算中的应用用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的切入口,可利用待定系数法求解.例如用a 、b 表示OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.【突破训练】如图,在△ABO 中,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.试用a 和b 表示向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 【解析】设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-a=(m-1)a+nb.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+12b.∵A ,M ,D 三点共线,∴AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t ,使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(m-1)a+nb=t (-a +12b).∴(m-1)a+nb=-ta+12tb.∴{m -1=-t,n =t 2,消去t 得,m+2n=1. ① ∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ma+nb-14a=(m -14)a+nb ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-14a=-14a+b.又∵C ,M ,B 三点共线,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数t 1,使得CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t 1CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(m -14)a+nb=t 1(-14a +b),∴{m -14=−14t 1,n =t 1,消去t 1得,4m+n=1. ②由①②得m=17,n=37,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17a+37b.1.(2017湖南二模)设e 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a=|a|e 0;②若a 与e 0平行,则a=|a|e 0;③若a 与e 0平行且|a|=1,则a=e 0.上述命题中,假命题的个数是( ).A .0B .1C .2D .3【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|e 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与e 0平行,则a 与e 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e 0,故②③也是假命题.【答案】D2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .0 B .BE ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AD⃗⃗⃗⃗⃗ D .CF⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】由图知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】D3.(2017运城一中质检)设a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+pb ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( ).A .-2B .-1C .1D .2【解析】∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a-b.又∵A ,B ,D 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2a+pb =λ(2a-b ), ∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.【答案】B4.(2017四平二中二模)已知向量a ,b 不共线,c=ka+b (k ∈R ),d=a-b.如果c ∥d ,那么( ).A .k=1且c 与d 同向B .k=1且c 与d 反向C .k=-1且c 与d 同向D .k=-1且c 与d 反向【解析】∵c ∥d ,∴c =λd ,即ka+b =λ(a-b ),∴{k =λ,λ=−1.【答案】D5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且CD=2DB ,点E 在边AD 上,且AD=3AE ,则用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CE⃗⃗⃗⃗⃗ 为( ).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643A .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89AC⃗⃗⃗⃗⃗ B .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89AC ⃗⃗⃗⃗⃗C .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +79AC ⃗⃗⃗⃗⃗D .CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -79AC ⃗⃗⃗⃗⃗【解析】CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +19AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +89CA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵89CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-89AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -89AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 【答案】B6.(2017四川质检)向量e 1,e 2不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(e 1+e 2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2,给出下列结论:①A ,B ,C 三点共线;②A ,B ,D 三点共线;③B ,C ,D 三点共线;④A ,C ,D 三点共线.其中所有正确结论的序号为 .【解析】由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1+2e 2=2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,可得A ,C ,D 三点共线,且点B 不在此直线上. 【答案】④7.(2017河北三模)如图,在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= .【解析】由题图知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ① CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ② 且AD⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 由①+②×2,得3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=23.【答案】238.(2017唐山一模)已知向量a ,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a ,b 共线的条件是 .(将所有正确的序号填在横线上)①2a-3b=4e ,且a+2b=-3e ;②存在相异实数λ,μ,使λa +μb=0; ③x a+yb=0(实数x ,y 满足x+y=0).【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a 与b 不一定共线,故③错误. 【答案】①②9.(2017黄冈二模)已知a ,b 是不共线的向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa+b ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a +μb ,λ,μ∈R ,则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( ). A .λ+μ=2 B .λ-μ=1 C .λμ=-1 D .λμ=1【解析】因为A ,B ,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0),所以{λ=m,1=mμ,则λμ=1. 【答案】D10.(2017安徽二模)已知A ,B ,C 是△ABC 的三个顶点,O 为平面内一点,满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若实数λ满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则λ的值为( ).A .3B .32C .-2D .23【解析】∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴O 为△ABC 的重心,设BC 的中点为D ,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×32AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=3.【答案】A11.(2017河南四校联考)设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+e 2sin α(-π2<α<π2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-54e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则函数f (x )=2cos (x+α)在[0,π)上的值域为( ).A .[-1,12]B .[-2,√3]C .(-2,1]D .(-1,√3]畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】若A ,B ,D 三点共线,则存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴2e 1+e 2sin α=λ(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(e 1+14e 2),∴λ=2,sin α=14λ,∴sin α=12.∵-π2<α<π2,∴α=π6.∵0≤x<π,∴π6≤x+α<7π6,∴-2≤f (x )≤√3. 【答案】B12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2√3,BC=2,点E 在线段CD 上,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则μ的取值范围是 .【解析】由题意可求得AD=1,CD=√3,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤12.【答案】[0,12]13.(2017怀化模拟)已知a ,b 为两个不共线的向量,若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4a-b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a-3b. (1)试用a ,b 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明四边形ABCD 为梯形.【解析】(1)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗=(a+2b )+(-4a-b )+(-5a-3b ) =(1-4-5)a+(2-1-3)b =-8a-2b.(2)因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-8a-2b=2(-4a-b )=2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以在四边形ABCD 中,AD ∥BC 且AD ≠BC , 即四边形ABCD 为梯形.§9.2 平面向量基本定理及坐标表示一平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .二平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a+b= ,a-b= ,λa= ,|a|=√x 12+y 12.2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.三平面向量共线的坐标表示设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),其中b ≠0.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.☞ 左学右考已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n 等于( ).A .(1,-1)B .(7,-19)C .(7,-1)D .(1,19)已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b 与b 平行,则k= .在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R ,求λ+μ的值.知识清单一、不共线有且只有基底二、1.(x 1+x 2,y 1+y 2) (x 1-x 2,y 1-y 2) (λx 1,λy 1) 2.(2)(x 2-x 1,y 2-y 1) 基础训练1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19). 【答案】B2.【解析】由ka+b 与b 平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0. 【答案】03.【解析】∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+12μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+12μ=1,12λ+μ=1,两式相加得λ+μ=43.题型一平面向量基本定理的应用【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC 中,M 为边BC 上的任意一点,点N 在线段AM 上,且满足AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为( ). A .14B .13C .1D .4【解析】∵AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵B ,M ,C 三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=14.【答案】A利用基底表示未知向量,实质就是利用向量的加法、减法及数乘进行线性运算;向量的表示是向量应用的前提.【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14a+12b B .12a+14bC .23a+13bD .13a+23b【解析】∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b .∵E 是OD 的中点,∴|DE||EB|=13,∴|DF|=13|AB|. ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643=13×(-12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16a-16b , ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12b+16a-16b=23a+13b ,故选C . 【答案】C题型二向量坐标的基本运算【例2】已知a=(2,1),b=(1,x ),c=(-1,1).若(a+b )∥(b-c ),且c=ma+nb ,则m+n 等于( ).A .14B .1C .-13D .-12【解析】a+b=(3,1+x ),b-c=(2,x-1).由(a+b )∥(b-c ),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n ,m+5n ),即{2m +n =−1,m +5n =1,解得{m =−23,n =13.【答案】C【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M (5,-6)和向量a=(1,-2),若MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a ,则点N 的坐标为( ). A .(2,0)B .(-3,6)C .(6,2)D .(-2,0)(2)(2017海南中学模考)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .(4,-1)B .(0,9)C .(2,-1)D .(2,9)【解析】(1)MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N (x ,y ),则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-5,y+6)=(-3,6),所以{x -5=-3,y +6=6,解得{x =2,y =0,即N (2,0). (2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4), 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)-(0,-5)=(2,9). 【答案】(1)A (2)D题型三共线向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:(1)若向量a=mb+nc ,求实数m ,n ; (2)若(a+kc )∥(2b-a ),求实数k ;(3)若d 满足(d-c )∥(a+b ),且|d-c|=√5,求d. 【解析】(1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1), ∴{-m +4n =3,2m +n =2,解得{m =59,n =89.(2)a+kc=(3+4k ,2+k ),2b-a=(-5,2),∵(a+kc )∥(2b-a ), ∴2×(3+4k )-(-5)(2+k )=0, ∴k=-1613.(3)设d=(x ,y ),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 由题意得{4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y -1)2=5,解得{x =3,y =−1或{x =5,y =3.∴d=(3,-1)或d=(5,3).(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k 的值是( ).A .-23B .43C .12D .13(2)(2017福建石狮市联考)设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则1a +2b的最小值是( ).A .2B .4C .6D .8【解析】(1)AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-k ,-7),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2k ,-2).∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-2×(4-k )=-7×(-2k ),解得k=-23.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643(2)由已知条件得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b-a ,1),若A ,B ,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由向量共线定理得(a-1)×1= 1×(-b-a ),∴2a+b=1,故1a +2b=(1a+2b)(2a+b )=4+b a +4a b≥4+2√4=8. 【答案】(1)A (2)D方法利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,动点P ,M 满足|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ). A .434B .494C .37+6√34D .37+2√334【解析】∵|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴点A ,B ,C 在以点D 为圆心的圆上.又∵DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2, ∴DA⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两两夹角相等,均为120°(如图).设圆D 的半径为r ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r ·r ·cos 120°=-2,∴r=2. ∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴M 为PC 的中点.∵|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴点P 在以点A 为圆心,1为半径的圆上.由上知△ABC 是边长为2√3的等边三角形.设AC 的中点为O ,连接DO ,OM ,则B ,D ,O 三点共线,则|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +14|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9+3×1×cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >+14=374+3cos <BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >≤374+3=494,当BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时取等号,即|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是494.【答案】B1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x ,-1),若a-b 与b 共线,则x 的值为( ).A .-3B .1C .2D .1或2 【解析】∵a=(3,1),b=(x ,-1),∴a-b=(3-x ,2). 又∵a-b 与b 共线,∴2x=x-3,∴x=-3. 【答案】A2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是( ).A .a ·b=2B .a ∥bC .|a|=|b|D .b ⊥(a+b )【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a ·b=-2,|a|=2,|b|=√2,所以选项A ,B ,C 都不正确.而a+b=(-1,1),则b ·(a+b )=0,故选D .【答案】D3.(2017福建泉州调研)若向量a ,b 不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是( ).A .a-2b 与-a+2bB .3a-5b 与6a-10bC .a-2b 与5a+7bD .2a-3b 与12a-34b【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b 与5a+7b 不共线,所以a-2b 与5a+7b 可以作为一组基底. 【答案】C4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC 的顶点分别为A (2,1),B (3,2),C (-3,-1),BC 边上的高为AD ,则点D 的坐标为( ).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643A .(-95,75)B .(92,-75)C .(95,75)D .(-92,-75)【解析】设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高,∴AD ⊥BC ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又C ,B ,D 三点共线,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,-3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y-2), ∴{-6(x -2)-3(y -1)=0,-6(y -2)+3(x -3)=0,解得{x =95,y =75,∴点D 的坐标为(95,75).【答案】C5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ).A .x=23,y=13B .x=13,y=23C .x=14,y=34D .x=34,y=14【解析】由题意知OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=23,y=13. 【答案】A6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x ,2),b=(2,1),c=(3,x ),若a ∥b ,则向量a 在向量c 方向上的投影为 .【解析】由a ∥b ,得x ×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a ·c=12+8=20,所以向量a 在向量c 方向上的投影为√3+4=4.【答案】47.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,且DC=2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为 .【解析】∵在梯形ABCD 中,DC=2AB ,AB ∥DC ,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设点D 的坐标为(x ,y ),则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,2-y ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),∴(4-x ,2-y )=2(1,-1),即(4-x ,2-y )=(2,-2),∴{4−x =2,2−y =−2,解得{x =2,y =4,即点D 的坐标为(2,4).【答案】(2,4)8.(2017南京模拟)如图,在△ABC 中,H 为边BC 上异于点B ,C 的点,M 为AH 的中点,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 【解析】由B ,H ,C 三点共线知,BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (k ≠0,1),则AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(1-k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{λ=12(1-k),μ=k 2,从而λ+μ=12.【答案】129.(2017郑州质检)已知A (2,3),B (5,4),C (7,10),点P 在第一、三象限的角平分线上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),则λ等于( ). A .-32B .-12C .12D .32【解析】设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-3). ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+5λ,1+7λ). ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -2=3+5λ,y -3=1+7λ,∴{x =5+5λ,y =4+7λ,由点P 在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=12. 【答案】C10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB ⊥AC ,AB=AC ,点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-t )AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,若∠BAM=π3,则t 的值为( ). A .√3-√2 B .√2-1 C .√3-12D .√3+12【解析】由题意可得CBAC=√2.因为AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以t=|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643由正弦定理得CM AC =sin30°sin105°, 所以t=CM AC ·AC CB =√3-12,故选C .【答案】C11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的值为( ). A .85B .58C .1D .-1【解析】设正方形的边长为2,以点A 为原点,AB ,AD 分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系(如图),则A (0,0),B (2,0),C (2,2),M (2,1),N (1,2),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),所以{2λ-μ=2,λ+2μ=2,解得{λ=65,μ=25,所以λ+μ=85. 【答案】A12.(2017辽宁大连市一模)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,3),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),若m+n ∈[1,2],则|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ).A .[√5,2√5]B .[√5,2√10)C .(√5,√10)D .[√5,2√10]【解析】因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3m+n ,m-3n ),所以|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3m +n)2+(m -3n)2=√10(m 2+n 2).设点P 的坐标为(m ,n ),则|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10|OP|.由题意得P (m ,n )为可行域{1≤m +n ≤2,m,n >0内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段BC ,AD )及其内部,其中A (1,0),B (0,1),C (0,2),D (2,0),所以点O 到直线AB 的距离d=√22,所以|OP|≥d=√22,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈[√10×√22,√10×2)=[√5,2√10),故选B .【答案】B13.(2017重庆联考)正三角形ABC 内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠MCA=45°,则mn的值为( ).A .√3-1B .√3+1C .√3+12D .√3-12【解析】如图,设正三角形的边长为a ,由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+nCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nCB⃗⃗⃗⃗⃗ 2.∵cos 15°=cos (60°-45°)=√2+√64,∴{√22|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 2+na 22,√2+√64|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |a =ma 22+na 2,∴m n =√3-12,故选D .【答案】D14.(2017上海模拟)如图,在△ABC 中,BO 为边AC 上的中线,BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),则λ的值为 .【解析】因为BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+m 3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m 3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m 3=15,λ=1+m 3=65. 【答案】6515.(2017北京西城区质检)在直角△ABC 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,且DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,点P 是线段AD 上任一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 .畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】如图,分别以AB ,AC 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则C (0,3),B (3,0). ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴D (2,1).又∵点P 是线段AD 上任一点,∴可设P (2y ,y ),0≤y ≤1,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2y ,y )·(2y ,y-3)=5y 2-3y. ∵0≤y ≤1,∴-920≤5y 2-3y ≤2.∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-920,2]. 即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-920,2]. 【答案】[-920,2]§9.3 平面向量的数量积及应用一平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a 和b 的数量积(或内积),记作a ·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.二平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.三平面向量数量积的重要性质1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).2.非零向量a,b,a⊥b⇔.3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.4.a·a=a2,|a|=√a·a.5.cos θ=.6.|a·b|≤|a||b|.四平面向量数量积满足的运算律1.a·b=b·a(交换律);2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643五平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b= ,由此得到1.若a=(x ,y ),则|a|2= 或|a|=√x 2+y 2. 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点间的距离|AB|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.3.设两个非零向量a ,b ,a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔ .☞ 左学右考已知向量a 与b 的夹角为3π4,且|a|=√2,|b|=2,则a (2a+b )等于( ).A .-1B .1C .2D .2√2向量a=(3,-4), 向量|b|=2,若a ·b=-5,则向量a ,b 的夹角为( ).A .π3B .π6C .3π4D .2π3设向量a ,b 满足a ·b=-12,且向量a 在向量b 方向上的投影为-4,则|b|等于( ).A .4B .3C .2D .1在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值.知识清单一、0。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习9 函数的对称性

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题9 函数的对称性考点知识1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．知识梳理1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(×)(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(×)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(√)教材改编题1．函数f(x)＝x＋1x图象的对称中心为()A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1) 答案B解析因为f(x)＝x＋1x＝1＋1x，由y＝1x向上平移一个单位长度得到y＝1＋1x，又y＝1x关于(0,0)对称，所以f(x)＝1＋1x的图象关于(0,1)对称．2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．答案f(－4)>f(1)解析∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称，又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(－4)＝f(0)>f(1)，故f(－4)>f(1)．3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.答案5解析∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.题型一轴对称问题例1(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2023)等于()A．－2B．2C．0D．－4答案B解析定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．则f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．答案(2,4)解析∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．又f(x－1)>f(1)，∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，解得2<x<4，∴原不等式的解集为(2,4)．思维升华函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2成轴对称．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是()A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)答案D解析因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．(2)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为() A ．2B ．3C ．4D ．－1 答案C解析根据f (1＋x )＝f (－x )可知，f (x )的图象关于x ＝12对称，那么求函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f (x )在[1,3]上的最大值与最小值之和，因为f (x )＝log 2(3x －1)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以最小值与最大值分别为f (1)＝1，f (3)＝3，f (1)＋f (3)＝4. 题型二中心对称问题例2(1)(多选)若定义在R 上的偶函数f (x )的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是()A ．f (x )＝f (－x )B ．f (2＋x )＋f (2－x )＝0C ．f (－x )＝－f (x ＋4)D ．f (x ＋2)＝f (x －2) 答案ABC解析因为f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )，故A 正确；因为f (x )的图象关于点(2,0)对称，对于f (x )的图象上的点(x ，y )关于(2,0)的对称点(4－x ，－y )也在函数图象上，即f (4－x )＝－y ＝－f (x )，用2＋x 替换x 得到，f [4－(2＋x )]＝－f (2＋x )，即f (2＋x )＋f (2－x )＝0，故B 正确；由f (2＋x )＋f (2－x )＝0，令x ＝x ＋2，可得f (x ＋4)＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x ＋4)，故C 正确；由B 知，f (2＋x )＝－f (2－x )＝－f (x －2)，故D 错误．(2)已知函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝2，g (x )＝1x＋1，y ＝f (x )与y ＝g (x )有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．答案4解析因为f (x )＋f (－x )＝2，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称， y ＝g (x )＝1x＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.思维升华函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔2b －f (x )＝f (2a －x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2成中心对称．跟踪训练2(1)函数f (x )＝e x －2－e 2－x 的图象关于() A ．点(－2,0)对称B ．直线x ＝－2对称 C ．点(2,0)对称D ．直线x ＝2对称答案C解析∵f (x )＝e x －2－e 2－x ，∴f (2＋x )＝e 2＋x －2－e 2－(2＋x )＝e x －e －x ，f (2－x )＝e 2－x －2－e 2－(2－x )＝e －x －e x ，所以f (2＋x )＋f (2－x )＝0，因此，函数f (x )的图象关于点(2,0)对称．(2)(2023·郑州模拟)若函数f (x )满足f (2－x )＋f (x )＝－2，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1答案D解析因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．题型三两个函数图象的对称例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3,0)对称答案A解析设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．思维升华函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称．跟踪训练3设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象()A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称答案C解析A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C 正确；D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D 错误．课时精练1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点() A．(－1,2) B．(1,2)C．(－1，－2) D．(－2,1)答案A解析函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)．2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于()A．1B．2C．0D．－2答案B解析函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于()A．－1B．1C．0D．3答案B解析∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－x)＝f(x＋2)，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1.4．(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是() A．f(x－1)－1B．f(x＋1)＋1C．f(x)－1D．f(x)＋1答案C解析∵f(－x)＋f(x)＝2，∴f(x)的图象关于(0,1)对称，将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，∴y＝f(x)－1为奇函数．5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有f(x1)－f(x2)x1－x2<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为()A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)C．(e，e3) D．(e，＋∞)答案C解析因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有f(x1)－f(x2)x1－x2<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.6．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有()A．f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(x)在[0,1]上单调递增C．f(x)在[1,2]上单调递减D．f(2)＝f(0)答案AD解析根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，则有f(2)＝f(0)，故D正确；若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误．7．与f(x)＝e x关于直线x＝1对称的函数是________．答案y＝e2－x解析f(x)＝e x关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.答案2sin π2x(答案不唯一)解析由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin π2 x.9．已知函数f(x)＝a·2x－2－x2x＋2－x是奇函数．(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>1 3；(2)求函数g(x)＝2x＋12x＋2－x图象的对称中心．解(1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，又因为函数f(x)＝a·2x－2－x2x＋2－x为奇函数，则f(0)＝a－12＝0，解得a＝1，所以f(x)＝2x－2－x2x＋2－x，下面验证函数f(x)＝2x－2－x2x＋2－x为奇函数，f(－x)＝2－x－2x2－x＋2x＝－f(x)，故函数f(x)＝2x－2－x2x＋2－x为奇函数，由f(x)＝2x－2－x2x＋2－x＝2x(2x－2－x)2x(2x＋2－x)＝4x－14x＋1>13，得2·4x>4，即22x＋1>22，所以2x＋1>2，解得x>1 2，因此不等式f(x)>13的解集为⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)g(x)＝2x＋12x＋2－x＝2·2x2x＋2－x，则g(－x)＝2·2－x2－x＋2x，所以g(x)＋g(－x)＝2(2x＋2－x)2x＋2－x＝2，因此函数g(x)＝2x＋12x＋2－x图象的对称中心为(0,1)．10．函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)若f (x )＝x 3－3x 2.求此函数图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y ＝f (x )的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y ＝f (x )为偶函数”的一个推广结论．解(1)设函数f (x )＝x 3－3x 2图象的对称中心为P (a ，b )，g (x )＝f (x ＋a )－b ，则g (x )为奇函数，故g (－x )＝－g (x )，故f (－x ＋a )－b ＝－f (x ＋a )＋b ，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，即[(－x ＋a )3－3(－x ＋a )2]＋[(x ＋a )3－3(x ＋a )2]＝2b . 整理得(3a －3)x 2＋a 3－3a 2－b ＝0，故⎩⎨⎧3a －3＝0，a 3－3a 2－b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－3x 2图象的对称中心为(1，－2)．(2)推论：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 成轴对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )为偶函数．11．(多选)已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，下列4个命题中是真命题的是() A ．若y ＝f (x ＋1)为偶函数，则f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称 B ．函数f (x －1)与f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称C ．若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x )的图象自身关于点(1,0)对称D ．若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称答案ABD解析对于A ，若y ＝f (x ＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x ＝0对称，故y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得f (x )的图象，故f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，正确；对于B ，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，可得f (x －1)的图象，将f (x )的图象关于y 轴对称得f (－x )的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f (1－x )的图象，故f (x －1)与f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称，故正确；对于C ，若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，故f (x ＋1)＝f (1－x )，所以f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，故不正确；对于D ，因为f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，故f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，故正确．12．已知函数f (x )满足f (x ＋2)是偶函数，若函数y ＝|x 2－4x －5|与函数y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x n ＝________. 答案2n解析因为f (x ＋2)是偶函数，所以函数f (x ＋2)的图象关于直线x ＝0对称，又因为函数f (x ＋2)向右平移2个单位长度得到函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因为y ＝|x 2－4x －5|＝|(x －2)2－9|，所以函数y ＝|x 2－4x －5|的图象也关于直线x ＝2对称，所以x 1＋x 2＋…＋x n ＝n2·4＝2n .13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案B解析作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，再作出－y ＝f (－x )，记为曲线C ，由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A ，B 就是符合题意的点． 14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2－4，x ≤2，2x －2－4，x >2，则满足f (2＋log 4x )>f (1－log 4x )的x 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C ．(0,2) D ．(2，＋∞)答案A解析当x ≤2时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2－4＝22－x －4＝2|x －2|－4，当x >2时，f (x )＝2x －2－4＝2|x －2|－4，所以对任意的x ∈R ，f (x )＝2|x －2|－4，则f (4－x )＝2|4－x －2|－4＝2|x －2|－4＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因为函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，由f (2＋log 4x )>f (1－log 4x )可得|2＋log 4x －2|>|1－log 4x －2|，即|log 4x |>|1＋log 4x |，不等式|log 4x |>|1＋log 4x |两边平方得log 4x <－12，解得0<x <12.。

高考数学总复习第九章解析几何配套单元测试(含解析)理新人教A版

第九章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1或a ＝－2，故选A.2．(2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.3．经过抛物线y 2＝4x 的焦点且平行于直线3x －2y ＝0的直线l 的方程是( )A ．3x －2y －3＝0B ．6x －4y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0，故选A.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析设圆心C (a,0)(a >0)，由3a ＋45＝2得，a ＝2，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.5．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析由等比中项的性质得到a ，c 的一个方程，再进一步转化为关于e 的方程，解之即得所求．依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝55. 6．(2012·浙江)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.选B.7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40. ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40.∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.8．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．9．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.10．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1.由题意得k PA ·k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1，∴x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.12．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)，r ＝12|AB |＝255，所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.13．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 14．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．答案x 24＋y 22＝1 解析抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝ 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.15．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为________．答案 3解析因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得 6x ＋32＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x .所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则ba＝ 3.因此e ＝c a ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →·OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．解析 (1)依题意知直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M (－2,0)，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1.因为OP →·OQ →＝－12，即|OP →|·|OQ →|·cos∠POQ ＝－12.所以∠POQ ＝120°，所以点O 到直线l 的距离等于12.所以|2k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1515.所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0.(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MP ＝PQ ，即P 为MQ 的中点，所以MQ →＝2MP →. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2＝2x 1＋2，y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，y 2＝2y 1.①因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.②由①及②得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，4x 1＋12＋4y 21＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159. 18．(本题满分12分)(2012·北京文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1. 19．(本题满分12分)(2012·天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解析 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2(ab)2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4.因此k 2>3，所以|k |> 3. 方法二依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)·4a 21＋k22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.20. (本题满分12分)如图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左，右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去，只能取x ＝32.由于y >0，于是y ＝52 3.∴点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)，则M 到直线AP 的距离是m ＋62.于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.21．(本题满分12分)已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →·AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析 (1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， ∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2.由AQ →＝QB →，得Q 为线段的AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k2. ∵NQ →·AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ·k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k2·k ＝－1.化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(12，2)．22．(本题满分12分)(2012·浙江文)如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.故k ·2m ＝1.所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )．即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0.所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)．设S (u )＝u (1－2u 2)，0<u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈(0，12]．所以[S (u )]max ＝S (66)＝69.故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012·辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是 ( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2012·孝感统考)若直线过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0答案 D解析若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝|3k －32|k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知答案为D.3．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4答案 C解析直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.4．已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC ＝32，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为A ．6πB ．8πC ．16πD ．18π答案 D解析当A 与B 或C 重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r ＝BC ＝32，所以圆的面积S ＝πr 2＝π(32)2＝18π，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为18π.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于A.13 B.33 C.12 D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0答案 B解析依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，则PA →·PB →的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C ．(－12，0)D ．[－1,0)答案 C解析设P (x ，y )，∴|PO |2＝|PA ||PB |，即x 2＋y 2＝x －12＋y 2·x ＋12＋y 2，整理得2x 2－2y 2＝1.∴PA →·PB →＝(1－x ，－y )·(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1 ＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12.∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32. ∴－12<2x 2－32<0，选C.8．(2012·新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案 C解析抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．答案2－1解析令AB ＝2，则AC ＝2 2.∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋ 2. 可得e ＝ca＝12＋1＝2－1.10．(2012·北京理)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．答案3解析直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)．由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为(a 2－2，±2a)，故AF 1→所在直线方程为y ＝±(x a a 2－2＋1a)．所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)．又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)．所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )．设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →， ∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－23，y 1＝k3.又Q 在椭圆C 上，得－2324＋k322＝1，解得k ＝±4.故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率； (2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →·F 2A →的取值范围．解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形． ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c . 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)． ∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)．∴F 2A →·F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 2＋2y 2－2＝0，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.(*) ∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根． x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－11＋2k2.∴F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)． ∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－11＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k 2)＋1＋k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－921＋2k2. ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<921＋2k 2≤92. ∴－1≤F 2A →·F 2B →＝72－921＋2k 2<72. 综上，由①②，知－1≤F 2A →·F 2B →≤72.13．(2013·衡水调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解析 (1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k23＋4k2)．在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是[－312，312]． 14．(2013·北京海淀区期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(－65，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小；②若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且a 2＝b 2＋c 2.由题意可知：b ＝1，c a ＝32. 解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得Q (－2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝－65.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝－45.即A (－65，45)，B (－65，－45)(不妨设点A 在x 轴上方)，则k AQ ＝45－0－65－－2＝1，kBQ ＝－45－0－65－－2＝－1.因为k AQ ·k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ . 所以∠AQB ＝π2，即∠AQB 的大小为π2.②当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋65)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋65，x 24＋y 2＝1，消去y 得(25＋100k 2)x 2＋240k 2x ＋144k 2－100＝0.因为点(－65，0)在椭圆C 的内部，显然Δ>0.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－240k 225＋100k2，x 1x 2＝144k 2－10025＋100k 2.因为QA →＝(x 1＋2，y 1)，QB →＝(x 2＋2，y 2)，y 1＝k (x 1＋65)，y 2＝k (x 2＋65)，所以QA →·QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2 ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋k (x 1＋65)·k (x 2＋65)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2＋65k 2)(x 1＋x 2)＋4＋3625k 2＝(1＋k 2)144k 2－10025＋100k 2＋(2＋65k 2)(－240k 225＋100k 2)＋4＋3625k 2＝0. 所以QA →⊥QB →.所以△QAB 为直角三角形．假设存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA |＝|QB |. 如图，取AB 的中点M ，连接QM ，则QM ⊥AB .记点(－65，0)为N .因为x M ＝x 1＋x 22＝－120k 225＋100k 2＝－24k 25＋20k2，所以y M ＝k (x M ＋65)＝6k5＋20k 2，即M (－24k 25＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →＝(10＋16k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)，NM →＝(65＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →·NM →＝10＋16k 25＋20k 2×65＋20k 2＋6k 5＋20k 2×6k 5＋20k 2＝60＋132k 25＋20k22≠0.所以QM →与NM →不垂直，即QM →与AB →不垂直，矛盾．所以假设不成立，故当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形．15．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2，c ＝2，b ＝ 2.所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)直线AB 的直线方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝ 3 4－m 22.又P 到AB 的距离为d ＝|m |3.则S △ABC ＝12|AB |d ＝12 34－m 22|m |3＝12m24－m 22＝122m 28－m 2≤122·m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.16．设椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2(常数b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 是直线l ：x ＝2b 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求b 的值； (2)求|MN |的最小值．解析设M (2b ，y 1)，N (b ，y 2)，则F 1M →＝(3b ，y 1)，F 2N →＝(b ，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0，得y 1y 2＝－3b 2.① (1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得3b2＋y 21＝2 5.②b 2＋y 22＝2 5.③由①、②、③三式，消去y 1，y 2，并求得b ＝ 2. (2)易求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.方法一 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥ －2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b ，|MN |取最小值23b .方法二 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋9b4y 21＋6b 2≥12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b 时，|MN |取最小值23b .17．(2013·武汉)如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2.①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[4k 2t24＋k22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t 2＋3.因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |≤2，且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S ＝12|AB |×1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．18．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过A (1,0)点，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′| x ＝t＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故Δ＝16[－t 4－2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t2. 设线段PA 的中点横坐标为x 3＝1＋t2.由已知得x 0＝x 3，即t t 2－h 21＋t 2＝1＋t2.② 显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t＋1)．③当t >0时，t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t)≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.19．已知△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方． (1)若点C 坐标为(2，1)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；(2)过点P (m,0)作倾斜角为34π的直线l 交(1)中曲线于M 、N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得 3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4m3，x 1x 2＝2m 2－43若Q 恰在以MN 为直径的圆上，则y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2－4m －5＝0，解得m ＝2±193. 20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 关于直线y ＝x ＋1的对称点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解析 (1)⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2⇒x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，V (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m⇒3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0⇒－23<m <2 3. ∴x 3＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 3＝x 3＋m ＝m3.又⎩⎪⎨⎪⎧y 3＋y 42＝x 3＋x 42＋1，y 4－y 3x 4－x 3＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝m3－1，y 4＝1－2m3，在x 2＋y 2＝1上．∴(m3－1)2＋(1－2m 3)2＝1⇒m 29－2m 3＋4m 21－4m3＋1＝0. ∴5m 2－18m ＋9＝0⇒(5m －3)(m －3)＝0. ∴m ＝35或m ＝3经检验成立．∴m ＝35或m ＝3.21．(2012·浙江宁波市期末)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0)，过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线l ：y ＝p2于点M ，当|FD |＝2时，∠AFD ＝60°.(1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；(2)若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1的值．解析 (1)设A (x 1，y 1)，则切线AD 的方程为y ＝x 1p x －x 212p.所以D (x 12，0)，Q (0，－y 1)，|FQ |＝p 2＋y 1，|FA |＝p2＋y 1，所以|FQ |＝|FA |.所以△AFQ 为等腰三角形，且D 为AQ 中点，所以DF ⊥AQ . ∵|DF |＝2，∠AFD ＝60°，∴∠QFD ＝60°，p2＝1，得p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y .(2)设B (x 2，y 2)(x 2<0)，则B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x224⇒P (x 1＋x 22，x 1x 24)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝1⇒M (x 12＋2x 1，1)．同理N (x 22＋2x 2，1)，所以面积S ＝12(x 12＋2x 1－x 22－2x 2)·(1－x 1x 24)＝x 2－x 14－x 1x 2216x 1x 2.①设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则b >0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y⇒x 2－4kx －4b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，代入①得S ＝16k 2＋16b 4＋4b 264b ＝1＋b2k 2＋bb，使面积最小，则k ＝0，得到S ＝1＋b2bb.②令b ＝t ， ②得S (t )＝1＋t22t＝t 3＋2t ＋1t，S ′(t )＝3t 2－1t 2＋1t 2，∴当t ∈(0，33)时S (t )单调递减；当t ∈(33，＋∞)时S (t )单调递增． ∴当t ＝33时，S 取最小值为1639，此时b ＝t 2＝13，k ＝0， ∴y 1＝13即x 1＝233.22.如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线，设椭圆E 的方程为x 22＋y 2a＝1(a >0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →·OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析 (1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n＝m ＋n .又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n. ∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2，即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)，∴|m ＋n |≤ 2. ∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ，∴0<|m ＋n |< 2. ∴|k |>22，即k <－22或k >22. (2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为(m ＋n 2，m 2＋n 22)．∵直线l 是线段MN 的垂直平分线， ∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k (x －m ＋n2)．又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将直线l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得x 2－kx －1＝0， ①(a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0. ②易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4>0，方程②的判别式Δ2＝8a (2k 2＋a －1)．由(1)易知k 2>12，且a >0，∴2k 2＋a －1>a >0，∴Δ2>0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2.∴线段AB 的中点R 的坐标为(k 2，k 22＋1)．又x P ＋x Q ＝－4ka ＋2k 2，y P ＋y Q ＝kx P ＋1＋kx Q ＋1 ＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k 2. ∴线段QP 的中点S 的坐标为(－2k a ＋2k 2，aa ＋2k 2)． ∴OR →＝(k 2，k 22＋1)，OS →＝(－2k a ＋2k 2，a a ＋2k 2)，由OR →·OS →＝0，得－k 2＋a k 22＋1a ＋2k 2＝0，即－k 2＋a (k 22＋1)＝0.∴a ＝2k2k 2＋2.∵k 2>12，∴a ＝2k 2k 2＋2＝21＋2k2>25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2<2.∴25<a <2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝2－a 2，∴a ＝2－2e 2，∴25<2－2e 2<2，∴0<e 2<45，∴0<e <255.∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255)．。

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函数的单调性
1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2
时，都有
f (x 1)>f (x 2)”的是
( )
A.f (x )＝1x
B .f (x )＝(x －1)2 C.f (x )＝e x D.f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数. 答案：A
2.函数y ＝x 2＋b x ＋c (x ∈上是减函数. 当x 1>x 2≥a 时，恒有0<
12
a
x x <1，则f (x 1)－f (x 2)>0，故f (x )在[a ，＋∞)上是增函数. ∵f (x )是奇函数，
∴f (x )在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数； f (x )在上为减函数.
4.
)
A . C .(－∞，5] D.上是减函数，要使f (x )在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B
5.(2018·黄冈模拟)已知函数f (x )＝13
log (2x 2＋x )，则f (x )的单调递
增区间为 ( )
A.(－∞，－14)
B.(－14，＋∞) C .(0，＋∞) D.(－∞，－12)
解析：由2 x 2＋x ＞0，得x ＞0或x ＜－1
2，
令h (x )＝2 x 2＋x ，则h (x )的单调减区间为(－∞，－1
4). 又∵x <－1
2，
∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1
2). 答案：D
6.已知函数f (x)
＝
1
a-
(a≠1).
(1)若a＞0，则f (x)的定义域是；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是.
解析：当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤3
a
，即此时函数
f(x)的定义域是(－∞，3
a
]；
(2)当a－1＞0，即a＞1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需
3－a×1≥0，此时1＜a≤3.
当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a＞0，
此时a＜0.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3].
答案：(1)(－∞，3
a
](2)(－∞，0)∪(1,3]
7.，0]上是
增函数，设a＝f (log47)，b＝f (log
1
2
3)，c＝f (0.20.6)，则a，b，
c的大小关系是()
A.c<b<a
B.b<c<a
C.c>a>b
D.a<b<c
解析：由题意f (x)＝f (|x|).
∵log47＝log27>1，|log
1
2
3|＝log23>1,0<0.20.6<1，
∴|log 1
2
3|>|log 47|>|0.20.6|.
又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数且为偶函数，
∴f (x )在上是增函数，f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈都成立，则当a ∈时，t 的取值范围是 . 解析：若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈都成立，由已知易得f (x )的最大值是1， ∴1≤t 2－2at ＋1⇔2at －t 2≤0，
设g (a )＝2at －t 2(－1≤a ≤1)，欲使2at －t 2≤0恒成立，则g g ⎧⎨
⎩(-1)≤0
(1)≤0
⇔t ≥2或t ＝0或t ≤－2.
答案：t ≤－2或t ＝0或t ≥2
10.函数g (x )＝f(x)
x 在区间(1，＋∞)上一定
( )
A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是
增函数
解析：由题意a <1，又函数g (x )＝x ＋a
x －2a 在[|a|，＋∞)上
为增函数，故选D.
答案：D
11.已知函数f (x )＝22x x a
x
++，x ∈上是减函数，在(2，＋∞)
上是增函数.
∴f(x)min＝f(2)＝6.
(2)当a＝1
2时，f(x)＝x＋
1
2x
＋2.
易知，f(x)在上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数. 若a>1，即a>1时，f(x)在区间≤1＝f(4)，
∴
>6,
3>0,
3
x
x
x x
⎧
⎪
-
⎨
⎪-
⎩()≤4,
⇒3＜x≤4.
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}.。