高中数学人教版A版必修一教案：第一章 《集合与函数概念》 习题课 函数的概念与性质 含答案

习题课 函数的概念与性质
学习目标 1.进一步理解函数的概念及其表示方法(重点).2.能够综合应用函数的性质解决相关问题(重点、难点)．
1．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( )
A ．{－2,0,4}
B ．{－2,0,2,4}
C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ≤－94
D ．{y |0≤y ≤3}
解析 依题意，当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－2；当x ＝3时，y ＝0.所以函数y ＝x 2－3x 的值域为{－2,0,4}．
答案 A
2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A ．y ＝1x 2
B ．y ＝1x
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 3
解析 函数y ＝1x
与y ＝x 3都是奇函数，y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数，故选A ． 答案 A
3．若函数f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( )
A ．f (3)＋f (4)>0
B ．f (－3)＋f (－2)<0
C ．f (－2)＋f (－5)<0
D ．f (4)－f (－1)>0
解析 因为f (x )是偶函数，所以f (4)＝f (－4)，又f (x )在[－6,0]上单调递减，所以f (－4)>f (－
1)，即f (4)－f (－1)>0.
答案 D
4．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭
⎫－122＋2＝1. 答案 1
类型一 求函数的定义域和解析式
【例1】 (1)函数f (x )＝x ＋2＋1x －1
的定义域为________． (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝x 2＋2x －3，则f (x )＝________.
解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2≥0，x －1≠0，解得x ≥－2且x ≠1，故f (x )的定义域为{x |x ≥－2且x ≠1}． (2)令t ＝2x ＋1(t ≠1)，则x ＝2t －1，所以f (t )＝4(t －1)2＋4t －1－3，即f (x )＝4(x －1)2＋4x －1
－3(x ≠1)．
答案 (1){x |x ≥－2且x ≠1} (2)4(x －1)2＋4x －1
－3(x ≠1) 规律方法 1.求函数的定义域的方法
求已知函数的定义域时要根据函数的解析式构建不等式(组)，然后解不等式(组)可得，同时注意把定义域写成集合的形式．
2．求函数解析式的方法有：
(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消去法．
【训练1】 (1)函数f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1
的定义域为________． (2)已知f (x )是二次函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，f (2)＝1，f (1)＝3，则f (x )＝________.
解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≠0，2x ＋1
≥0，得x >－1且x ≠1，故f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠1}． (2)由f (1－x )＝f (1＋x )且f (1)＝3，可设f (x )＝a (x －1)2＋3(a ≠0)，又f (2)＝a (2－1)2＋3＝1，故a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋1.
答案 (1){x |x >－1且x ≠1} (2)－2x 2＋4x ＋1
类型二 函数的单调性与最值
【例2】 已知f (x )＝ax x 2－1
(a ≠0)，x ∈(－1,1)． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)若a ＝1，求f (x )在⎣⎡⎦
⎤－12，12上的最大值和最小值． 解 (1)设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22
－1)， ∵－1<x 1<x 2<1，
∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22
－1)>0， ∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，f (x )在(－1,1)上是减函数；
当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(－1,1)上是增函数．
(2)当a ＝1时，f (x )＝x x 2－1
，由(1)知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上是减函数，
故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝23，最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－23
. 规律方法 函数单调性的证明及应用
(1)利用定义法证明函数单调性的步骤为：取值、作差或作商、变形、定号、下结论，如本例中若含有字母，则一般需分类讨论．
(2)利用函数单调性求最值的步骤：①确定函数的单调性；②借助最值与单调性的关系写出函数的最值．
【训练2】 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－1,0)∪(0,1]
C ．(0,1)
D ．(0,1]
解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.
∵y ＝1x ＋1
在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝a x ＋1
在[1,2]上是减函数可得a >0， 故0<a ≤1.
答案 D
方向1 【例3－1】 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是________．
解析 因为f (x )是偶函数，则f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又当x ≥0时，f (x )是增函数，所以f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．
答案 f (－2)<f (－3)<f (π)
方向2 利用函数的单调性与奇偶性解不等式
【例3－2】 设定义在[－3,3]上的奇函数f (x )在区间[0,3]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．
解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,3]上是减函数，
所以f (x )在[－3,3]上是减函数．
所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m >m ，－3≤m ≤3，
－3≤1－m ≤3，解得－2≤m <12
. 规律方法 1.利用函数的奇偶性和单调性比较大小的方法
对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值转化到同一个单调区间上，然后再根据单调性判断．2．利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数的对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
【训练3】若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是() A．增函数且最小值是－1B．增函数且最大值是－1
C．减函数且最大值是－1D．减函数且最小值是－1
解析∵奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是－1.
答案 C
1．利用定义证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④判断．
2．判断函数单调性的常用方法有：定义法、图象法．
3．利用函数的单调性、奇偶性可以解决以下问题：
(1)比较函数值的大小，根据已知条件，利用奇偶性把自变量转化到已知单调性的区间上，再根据函数的单调性比较大小；
(2)解不等式，根据函数的奇偶性转化自变量的范围、然后根据函数的单调性脱掉“f”号，使其转化为具体的不等式后求解．。