高等数学下册习题课件：TK2常数项级数,收敛域

故 (1)n an (a0) 当0a1时 ，绝对收敛；
n2
lnn
当 a1时 ，发散；当a1时 ，条件收敛。
三、求下列函数项级数的收敛域.
1． 2nsinn x n1 n2
解：
lim
n
un1( x) un ( x)
lim
n
2n1sinn1 (n1)2
x
n2 2 n sinn
x
lim
n
2n2sinx (n1)2
而 bn 绝对收敛，即 bn 收敛，
n1
n1
∴ anbn 收敛，即 anbn 绝对收敛。
n1
n1
∴
an
当0a1时 ，收敛；当a1时 ，发散。
n2 lnn
从而
(1)n
an
当0a1时 ，绝对收敛；
n2
lnn
当 a1时 ，发散。
当
a1时
，
un
(1)n
1 lnn
，
∵
lim
n
l
1 nn 1 n
lim
n
n lnn
，而
n2
1 n
发散，
∴
1
发散。
n2 lnn
∵ 1 1 ，且 lim 1 0 ， ln(n1) lnn nlnn
1 3 x
2
4
当 x 1 ，即x 1 和 x 1 时，
1 3 x
2
4
得 n1和 (1)n n1 ，
n2 n1 n2
n1
∵ lim n110 ，∴这两个数项级数都发散， n n1
∴原函数项级数的收敛域为(, 1 )(1,) 。 24
四、证明题
设级数 (an an1) 收敛，且bn 绝对收敛，
（A） ∴ nulinm；un
0
lim 1 （nB）un
，∴
1
(1)n unn1；un
必发散。
n1
n1
（C） un ；
n1
（D）
(1)n
u
2 n
。
n1
解:
∵
0
un
1 n
,
∴
(1)n
u
2 n
1 n2
,
而
1
n1n2
收敛，
∴由比较判别法知 (1)n un2 绝对收敛，应选（D）。
n1
4．
2 sinx
1,收 敛,
1,发 散，
1,不 定.
当 2 sinx 1， sinx 1 ，
2
即 k xk ,kZ 时，级数收敛。
6
6
当 2 sinx 1， sinx 1 ， 2
即 xk ,kZ 6
时，级数成为
1
n1n2
，收敛的。
故级数 2nsinn x 的收敛域为{ x k xk ,kZ } 。
习题课十六
一、选择题
1．设
a
为
常
数，则级数
[
n1
sin(na n2
)
1 ]（ n
C
）
（A）绝对收敛；（B）条件收敛；
（C）发散； （D）敛散性与 a 的取值有关。
2.下列命题正确的是( D )
（A）若 un
n1
发散，并设 lim
n
un1 un
存在等于 r，则r 1 ；
（B）若 un
n1
发散，并设
(1)n
n2
2n
nn (lnn)
(R) n!
（
C
）
（A）绝对收敛； （B）条件收敛；
（C）发散；
（D）不能确定其敛散性。
解：∵ lim un1 u n
n
lim
n
2n1
( n 1 )n1 [ln( n 1 )] (
n
1
)!
2n
(ln n nn
)
n!
1 lim [ lnn ] ( n1)ne, 2n ln(n1) n 2
un
0( n 1,
2,
)
，则
1
n1un
必收敛；
（C）若 un
n1
收敛，并设 lim
n
un1 un
存在等于 r，则必有r 1 ；
（D）若 un
n1
收敛，并设 un 0(n1, 2, ) ，则
1
n1un
必发散。
3．解设：0∵
un
unn1
收(n敛1，, 2,
)
,则下列级数中绝对收敛
的是n(1D )
∴
nn
发散，故 (1)n
nn
发散。
n22n (lnn) n!
n2
2n (lnn) n!
二、判别下列级数是绝对收敛,还是条件收敛.
1. (1)n an (a0)
n2
lnn
解：设
un
(1)n
an l
lim
n
un1 un
a n1
lim
n ln(n1)
lnn an
a
，
n1 n2
6
6
2． n1( x )n n2n1 13x
解：
lim
n
un1( x) un( x)
lim
n
( nn(2n)(n1) 1) ((1x3xx
)n1 )n
x 1 3 x
，
1 3 x
当 x 1 ，即x1 或 x1 时，级数绝对收敛；
1 3 x
2
4
当 x 1 ，即1 x1 时，级数发散；
n1
n1
试证 anbn 绝对收敛。
n1
证明：设 (an an1) 收敛于 S，则 lim Sn S ，
n1
n
其中 Sn (a1 a0) (a2 a1) (an an1)an a0 .
∵ lim Sn lim (an a0 ) lim an a0 ，
n n
n
∴ lim an S a0 ，
n
从而M0 ，nN ，有 an M 。 又∵ anbn an bn M bn ，