相似三角形的性质(经典全面)

一、相似的有关概念

1．相似形

具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性

两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比

两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

二、相似三角形的概念

1．相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．

如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．

A '

B '

C '

C

B A

2．相似比

相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．

三、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等

如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．

A '

B '

C '

C

B A

2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有

AB BC AC

k A B B C A C ===''''''

（k 为相似比）

． 相似三角形的性质及判定

A '

B '

C '

C

B A

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的

中线，则有AB BC AC AM

k A B B C A C A M ====

''''''''

（k 为相似比）． M '

M

A '

B '

C 'C B

A

图1

如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH

k A B B C A C A H

====

''''''''（k 为相似比）．

H 'H A

B C C 'B 'A '

图2

如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的

角平分线，则有AB BC AC AD

k A B B C A C A D ====

''''''''

（k 为相似比）．

D '

D A '

B C 'C B A

图3

4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有

AB BC AC

k A B B C A C ===''''''

（k 为相似比）

．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC

k A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''

++．

A '

B '

C '

C

B A

图4

5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．

如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的

高线，则有AB BC AC AH

k A B B C A C A H ====

''''''''（k 为相似比）．进而可得21

212

ABC A B C BC AH

S BC AH

k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''

''''⋅⋅△△．

H 'H A

B C C 'B 'A '

图5

四、相似三角形的判定

1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．

3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．

5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）

7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．

五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法

欲证

AB BC

BE BF

=

，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．