机械振动第十一讲2013

{ X }T [k ]{X }i i 于是可得：i i= 1,2, …, n T { X }i [m]{X }i ˆ 仿照上式，对第i阶振型取近似 {X}i ，称比值 ˆ ˆ { X }T [k ]{X }i i ˆ ({X }i ) ˆ }T [m]{X } i= 1,2, …, n 为离散系统的瑞利商 ˆ {X i i
如果λ1≠0，于是可得：
1 (2 / 1 )(c2 / c1 ) 2 ... (N / 1 )(c N / c1 ) 2 ({X }) 1 1 (c2 / c1 ) 2 ... (c N / c1 ) 2 由于λ1≤λ2≤…≤ λN，分子的每一项都大于或等于分母的对应项， 因此可知： ({X }) 1 p12
振动系统固有频率近似计算方法
等式两边同乘柔度矩阵[R]
两边同时前乘{X}iT[m]，可得
{X }i i [ R][m]{X }i
{X }T [m]{X }i i {X }T [m][R][m]{X }i i i
于是得到特征值的 另一种表达形式
{ X }T [m]{X }i i i { X }T [m][R][m]{X }i i
2 ({X }) N pN
1 ({X }) N
瑞利商是基频的上限，但不会超过最高阶频率。由于系统的 第一阶振型易于估计，通常用瑞利商近似计算基频。 如果选取X，使得： X X 1 则可知：
c1 1, c2 0,... , cN 0
({X }) 1
仿照上式可得瑞利商的另一种表达形式。已经证明，对任意的 矢量X，有 p12 ({X }) ({X }) 即用柔度阵的瑞利商式得到的基频估计值更接近精确值。 [例]图示三自由度系统，用 两种瑞利商求系统基频的 估计值
x1 k m k x2 k m m x3
振动系统固有频率近似计算方法
解：系统的质量阵和刚度阵、柔度阵分别为
振动系统固有频率近似计算方法
可以证明，瑞利商在系统的各阶固有频率处取驻值。
{ X }T [k ]{X } 对任一N维矢量X，其瑞利商： { X }T [m]{X } 2[k ]{X } 2[m]{X } T { X } { X } [m]{X } { X }T [m]{X }
相比之下,Ritz法得到了很精确的基频,第二阶固有频率也仅相差4%.
一般来讲,Ritz法能一次获得多阶固有特性参数,且所得固有频率 的精度高于固有振型,低阶固有模态的结果优于高阶固有模态的结果.
振动系统固有频率近似计算方法
k 2 1.247 m
由振动特征方程： [k ]{X } [m]{X } 0
0 { X }
如果已知系统的柔度矩阵[R]，则可以得到另外一种形式的瑞 利商表达式： { X }T [m]{X } ({X }) { X }T [m][R][m]{X } [证明] 由振动特征方程式有：
[ R]1{X }i i [m]{X }i
k 2 1.2973 m
T
回代变换矩阵,得到近似固有振型
1 [0.442,0.8031.000] ,2 [0.830,0.788,1.000] ,
T
T
本例精确的固有频率和振型分别为
k 1 0.445 m
1 [0.445,0.802,1.000]T ,2 [1.247,0.555,1.000]T
3 1 2 14 0 k 0 3 m q 0 1 5
振动系统固有频率近似计算方法
1 [1,2,3]T
解出得到:
q1 [1,0.2266 , q2 [1,20.56] ]
T
k 1 0.4451 m
假设系统的所有振型Xr已经按模态质量为1归一化，任取 一N维矢量X，根据展开定律
{ X } cr { X r }
r 1
N
其中： {X r }T [m]{X r } 1
2 2 {X }T [k ]{X } 1c12 2 c2 ... N cN 代入瑞利商表达式： ({X }) T 2 2 {X } [m]{X } c12 c2 ... cN 式中 i pi2 i= 1,2, …, n
353m 2 { X }T [m][R][m]{X } k 代入瑞利商式得到 0.200k / m 0.1983 / m k
系统基频精确值为 显然存在
1 p12 0.1980 / m k
1
振动系统固有频率近似计算方法
作业: 5.19
二、Ritz法 瑞利(Rayleigh)法把振动系统的运动限制为按一个设定的 近似固有振型作同步振动,所求频率的精度取决于近似振型的 精度,对其固有振型没有得到什么信息. Ritz法的约束条件更宽松,用几个接近于最低阶(或少数几 阶)固有振型作为Ritz基底求解. 取几个近似固有振型向量φn(n=1,2,…,k<N)作为Ritz基底,则 系统的固有振型可以表示为这些线性独立向量的组合为:
[m] m[ I ]
2 1 0 [ k ] k 1 2 1 0 1 1
1 1 1 1 [ R] 1 2 2 k 1 2 3
取系统各质量上同时作用单位力时的静变形作为假设振型 1 { X } [3 5 6]T [ R] [1 1 1]T 求得 k T { X } [m]{X } 70m, { X }T [k ]{X } 14k
振动系统固有频率近似计算方法
一、瑞利法 瑞利法是利用假设振型来估计系统振动频率的方法，主要 估计系统的第一阶频率(基频)。 对于无阻尼线性系统，振动方程为：
[k ]{X }i i [m]{X }i
上式两边同乘以{X}iT
式中 i pi2
{X }T [k ]{X }i i {X }T [m]{X }i i i
x1 k m k x2 k m m
x3
振动系统固有频率近似计算方法
解：系统的质量阵和刚度阵分别为
[m] m[ I ]
2 1 0 [ k ] k 1 2 1 0 1 1
以静变形作为第一阶固有振型的近似是比较好的,故取 系统的第二阶固有振型应有一个节点,不妨试凑振型为: 2 [1,1,1]T 1 1 因此缩聚变换矩阵为: 2 1 3 1 代入Ritz法的缩聚方程,得到缩聚的广义特征值问题
u n q n q
n 1
k
将上式作为代入多自由度系统的方程，类似进行坐标变换, 则可以得到降维子空间中的运动微分方程组.
(T M)q(t ) (T K)q(t ) 0
振动系统固有频率近似计算方法
相应的广义特征值问题成为:
[T K 2 (T M)]q 0
振动系统固有频率近似计算方法
({X }) 1 p12
同理，如果λN≠0，于是可得： (1 / N )(c1 / cN ) 2 (2 / N )(c2 / cN ) 2 ... 1 ({X }) N (c1 / cN ) 2 (c2 / cN ) 2 ... 1 同样由于λห้องสมุดไป่ตู้≤λ2≤…≤ λN，分子的每一项都小于或等于分母的对 应项，因此可知：
这样特征值问题的阶次从N缩聚为k,计算难度可以大大降低. 上式可以解出k个特征值ωn和特征向量,根据变换关系有
ˆ n qn
由此给出的系统的k个近似固有振型其近似程度要比原选定 的Ritz基要好.特别是前若干个低阶固有频率和固有振型有较高的 精度.
[例]图示三自由度系统，用Ritz法计算其前两阶固有频率和振型
振动系统固有频率近似计算方法
如果我们能够精确给出系统的第i阶振型{X}i ，利用瑞利商 就可以精确计算系统的第i阶固有频率pi2。否则，瑞利商只是 第i阶频率的近似值。另外可知，瑞利商只依赖于假设振型各 分量之比。
对于离散振动系统，第i阶简谐主振动 {x}i {X }i sin( pi t i )
1 相应的弹性势能最大值为： U max { X }T [k ]{ X }i i 2 称为系统的第i阶模态势能
相应的动能参考最大值为： Tref
称为系统的第i阶模态动能因子
1 { X }T [m]{ X }i i 2
于是瑞利商为系统的第i阶模态势能与第i阶模态动能因子之比。
振动系统固有频率近似计算方法