(全国通用)2020版高考数学二轮复习 第二编 专题三 数列 第3讲 数列的综合问题练习 理
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第3讲 数列的综合问题
「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.
核心知识回顾
数列综合应用主要体现在以下两点：
(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．
(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．
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考向1 数列与函数的综合问题
例 1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2
|对任意的x ∈[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ∈N *
)．
(1)当x ∈[0,10]时，写出方程2x
－x 2
＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)；
(2)若b n ＝a n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13an (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *
，都有S n 求m 的取值范围． 解 (1)因为x ∈[0,10]时，易知方程2x －x 2 ＝0的解为x ＝2，x ＝4， 由不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2 |对任意的x ∈[0,10]都成立，可得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ |f (2)|≤0， |f (4)|≤0， 即⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ f (2)＝4＋2a ＋b ＝0， f (4)＝16＋4a ＋b ＝0，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a ＝－6， b ＝8， 所以f (x )＝x 2 －6x ＋8，又数列{a n }是以7＋a ＝1为首项，公差为1的等差数列，所以a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13an ＝n ·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫13n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1·13＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫13n ，① 1 3S n＝1· ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 3 2＋2· ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ 1 3 3＋3· ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 1 3 4＋…＋n· ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 3 n＋1，② ①－②得， 2 3 S n＝ 1 3 ＋ ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 3 2＋ ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 3 3＋…＋ ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 3 n－n· ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 3 n＋1＝ 1 3⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－ 1 3n 1－ 1 3 －n·⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 3 n＋1＝ 1 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－ 1 3n － n 3n＋1 ， 整理得，S n＝ 3 4 － 2n＋3 4·3n ，由 2n＋3 4·3n >0可得S n< 3 4 ， 由S n 3 4 . 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化． 已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a＝(S n,1)，b＝⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫ 2n－1， 1 2 ，满足条件a∥b. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设函数f(x)＝⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 2 x，数列{b n}满足条件b1＝1，f(b n＋1)＝ 1 f(－b n－1) . ①求数列{b n}的通项公式； ②设c n＝ b n a n ，求数列{c n}的前n项和T n. 解(1)∵a∥b，∴ 1 2 S n＝2n－1，S n＝2n＋1－2. 当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式， ∴a n＝2n. (2)①∵f(x)＝⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 2 x，f(b n＋1)＝ 1 f(－1－b n) ， ∴ ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 2 b n＋1＝ 1 ⎝ ⎛ ⎭⎪ ⎫1 2 －1－bn ，∴ 1 2bn＋1 ＝ 1 21＋bn . ∴b n＋1＝b n＋1，即b n＋1－b n＝1.又∵b1＝1，∴{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴b n＝n.