黑龙江省哈尔滨市六中2019届高三上学期期中考试数学(理科)试题Word版含答案

黑龙江省哈尔滨市六中2019届上学期期中考试
高三数学（理科）试题
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.复数2
1z i
=
+（i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A.()1,1 B.()1,1- C.()1,1- D.()1,1-- 2.已知集合{|sin ,}A y y x x R ==∈，集合{|lg }B x y x ==，则()R C A B 为（ ）
A. (,1)
(1,)-∞-+∞ B.[1,1]- C. (1,)+∞ D. [1,)+∞
3. 已知,0x y z x y z >>++=，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. xy yz >
B. xz yz >
C. x y z y >
D. xy xz >
4．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公子仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）
A. 48里
B. 24里
C. 12里
D. 6里
5．平面向量a b r r
与的夹角为︒60，(3,4)a =r ，||1b =r ，则|2|a b -=r r （ ）
A ．19
B ．62
C ．34
D ．39
6．设变量x y ，满足约束条件：⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
7.对于函数sin(2)6
y x π
=-，下列说法正确的是（ ）
A ．函数图像关于点(
,0)3
π
对称 B ．函数图像关于直线56
x π
=对称 C ．将它的图像向左平移
6
π
个单位，得到sin 2y x =的图像 D ．将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6
y x π
=-的图像
8.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，242,20,
(),01,
x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩
则21
((
))4f f =（ ） A. 14- B. 14 C. 3
4
D. 0
9．在ABC ∆中， tan 2C =， BC 边上的高为AD ， D 为垂足，且2BD DC =，则cos A =（ ） A.
310
10.函数||
4cos x y x e =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
11．已知{}
n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，611S S =，则必有（ ） A ．170a = B ．6120a a += C ．170S > D ．90a <
12．已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-->-=0,230
,ln 2)(2x x x x x x x x f 有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在直线
10kx y +-=上，则实数k 的取值范围为（ ）
A. 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭ B. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭
Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～
第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,60,a A c === 则ABC ∆的面积为 _______
14.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=， 则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+等于_____________
15．若42
log (34)log a b +=a b +的最小值为
16．数列{}n a 满足：()()211211n n n na n a n a ++++=+-， 11a =， 26a =，则=n a __________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，满足1c =， 且()()cos sin sin cos 0B C a B A B +-+=． （1）求角C 的大小；
（2）求22
a b +的最大值，并求取得最大值时角A B ，的值．
18.（本小题满分12分）已知数列{}n b 的前n 项和23.2
n n n
B -=
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的通项n n n b a 2⋅=，求数列{}n a 的前n 项和n T .
19.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和413714,,,S a a a =且成等比. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
{}n n n T n a a +为数列的前项和，若*1n n T a n N λ+≤∈对一切恒成立，求实数λ的最大值.
20．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD , AB ⊥平面PAD ，
E 是PB 中点， 1
2
CD PD AD AB ===
． （1）求证： CE ⊥平面PAB ；
（2）若CE = 4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小．
21. （本小题满分12分）已知函数2
1ln ()x
f x x
-=. （1）求函数()f x 的零点及单调区间； （2）求证：曲线ln x
y x
=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标01y <-.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线:2cos (0)C a a ρθ=>，C 与l 有且只有一个公共点. （1）求a ；
（2）O 为极点，,A B 为曲线C ，求||||OA OB +的最大值.
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数
52)(---=x x x f ．
（1）求函数()f x 的值域；
（2）设{}
()a b y y f x ∈=、,试比较3a b +与9ab +的大小．
黑龙江省哈尔滨市六中2019届高三上学期期中考试
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：
ACDCA DBBBA BA
二、填空题：
三、简答题：
17.解：（1）由
可得，
即为，即有，
∵，∴，即，
∴．
（2）∵，∴．①
∵②．
②代入①可得：，∴．
当且仅当时取到等号，即取到最大值时，．
18.解：（1）令
（2）因为，
19.（1）设公差为d,由已知得：，联立解得或（舍去）
，故
（2）
，，
，的最大值为16.
20.解：（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．
因为，所以．
因为平面，平面，
所以．又因为，
所以平面．
因为点是中点，所以，且．
又因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，所以平面．（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，
因为平面，平面，所以，所以．
因为，由（Ⅰ）知，又因为，
所以，所以
所以为正三角形，所以，
因为平面，平面，
所以．
又因为，所以平面．
故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．
，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则所以取，则，
设与平面所成的角为，则，
因为，所以，所以与平面所成角的大小为．
21.解：（1）函数的定义域为．令，得，故的零点为．
（）．令，解得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）令．则．
因为，，且由（1）得，在内是减函数，
所以存在唯一的，使得．
当时，．
所以曲线存在以为切点，斜率为6的切线．
由得：．
所以．
因为，所以，．
所以．
22.解：（1）的直角坐标方程为，的方程为：，
由已知得.
（2）因为为圆，由圆的对称性，设，
则
，
所以当时，的最大值为.
23.解:
当所以． 5分
（Ⅱ）由已知得．
因为，所以
，故． 10分。