相关系数公式

8
协方差比方差更重要 影响证券组合的标准差不仅取决于单个证券 的标准差，而且还取决于证券之间的协方差。 随着证券组合中证券个数的增加，协方差项 比方差项更重要。 随着组合中证券个数的增加，证券的斜方差 数量增长的很快，对投资组合风险的影响会 更大。
9
课堂例题
例4：假设A证券的预期报酬率为10%，标准差是12%。B证 券的预期报酬率为18%，标准差是20%。现等比例投资于两 种证券，即各占50%。 该组合的预期报酬率为： 10%×0.50＋18%×0.50=14% 情况1：如果两种证券的相关系数等于1，没有任何抵消作 用，两者的协方差为0.024，则该组合的方差为：
i, j 0.0026 相关系数 i, j i j 0.1484 0.0872
=-0.2010
6
（4）协方差与相关系数的关系
i, j i, j i j
相关系数在-1至+1间取值。 当相关系数为1时，表示一种证券报酬率的增长总 是与另一种证券报酬率的增长成比例，反之亦然。 多数证券之间的相关系数多为小于1的正值。
i, j 相关系数 i, j = i j
( X X ) ( Y Y ) i i i 1 n
(X i X )
2 i 1
n

2 ( Y Y ) i i 1
n

J股票与m市场收益率的相关系数p ： 27.075 = 22.875 40.2084 =0.8928
XiYi 2.7 -0.5 0 4 20 15 41.2
( X i X ) (Yi Y )
0.25 -0.25 -1.25 -3.25 2.75 1.75 -0.08 -2.38 0.12 -3.88 3.12 3.12
( Xi X ) * (Yi Y )
( Xi X )2 (Yi Y )
（0.5×0.50×0.122 + 2×0.5×0.5×0.024 + 0.5×0.5×0.22 ） =0.0256 该组合的标准差为0.16。 等于两证券的加权平均数0.32/2=16
10
情况2：如果两种证券的预期相关系数是0.2，两者的协方差为 0.0048，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其方差为：
衰退 0.20 -0.085 0.14
收益率离 差的乘积
-0.0134 -0.0119
概率后的 离差乘积
-0.00134 -0.00238
正常
繁荣
0.50
0.20
0.015
0.215
-0.08
0.04
-0.0012
0.0086
-0.0006
0.00172
合计
1
协方差 i, j -0.0026
5
两个公司的协方差与相关系数计算 协方差 Covi, j i, j E(ri r i )(rj rj ) =-0.0026
a=
X
i 1
n
2 I
Yi X i X i Yi
I 1 n i 1 n i 1
N
n
n
n X i2 ( X i ) 2
i 1 i 1
b=
n X i Yi X i Yi
i 1 i 1 i 1
n
n
n
n X ( X I ) 2
i 1 2 i i 1
n
n
18
线性回归法计算β值的数据准备
年度 1 2 3 4 5 6 总计 J股票收益率（Y i ） 1.8 -0.5 2 -2 5 5 11.3 市场收益率（X i ） 1.5 1 0 -2 4 3 7.5 Xi
2
XiYi 2.7 -0.5 0 4 20 15 41.2
2.25 1 0 4 16 9 32.25
7
（5）多个证券组合的协方差矩阵
当m为3时，即多种证券组合时，其可能的配对组合的协方 差矩阵如下所示
1,1 1, 2 1,3 2,1 2, 2 2,3 3,1 3, 2 3,3
左上角的组合（1，1）是 1 与 1之积，即标准差的平方， 称为方差，此时，j=k。从左上角到右下角，共有三种j=k 的组合，在这三种情况下，影响投资组合标准差的是三种 j k 变 证券的方差。当 j=k 时，相关系数是 1 ，并且 2 为 j 。对于矩阵对角线位置上的投资组合，其协方差就 是各证券自身的方差。
2 p Var (组合) Qi2 i2 2Qi Q j ij Q 2 j j
（0.5×0.50×0.122 + 2×0.5×0.5×0.0048 + 0.5×0.5×0.22 ） =0.016
组合的标准差为0.126。小于两证券加权平均的标准差0.16。 本例启示：只要两种证券之间的相关系数小于1，证券组合 报酬率的标准差就小于各种证券报酬率标准差的加权平均 数。
12
课堂问题
问题四： 贝塔系数用来某种股票的风险，我们是否 可以根据股票的贝塔系数来判断风险，并 进行投资呢？
13
β ，β到底是多少？
目前公开渠道查找β包括： yahoo! CNN Money Wall Street Research Net(www.wsrn.com)。
通过对比贝塔值发现： 亚马逊公司，在线报告的β值是3.32，价值线估 计值1.95。 雅虎，在线报告为3.78，价值线为2.05。 可口可乐， 在线报告0.033，价值线为0.3 。
22
标准差的计算：

40.2084 J 2.8358 6 1
(X
i 1
n
i
X)

2
n 1
22.875 m 2.1389 6 1
贝他系数的计算 ：
J 2.8358 J JM ( ) 0.8928 1.18 M 2.1389
23
课堂问题
16
课堂例题
例5：J股票历史已获得收益率以及市场历史已获得 收益率的有关资料如表所示。
计算β值的数据
年度 1 2 3 4 5 6
J股票收益率（Y i ） 市场收益率（X i ） 1.8 1.5 -0.5 1 2 0 -2 -2 5 4 5 3
17
求解回归方程y=a+bx 系数的计算公式如下：
ri
-15% 10%
rj
10% 20%
正常
繁荣
0.50
0.20
20%
40%
标准差 i0.1484
-2%
10%
标准差 j 0.0872
4
合计
1.00
期望收益 0.185 期望收益0.06
两公司收益率离差计算表
经济状 发生概 I公司收益 J公司收益 率离差 率离差 况 率 0.10 -0.335 0.04 萧条
X

Y X X Y
公式法计算β 值的数据准备
J股票收 市场收 年度 益率 益率 （Yi） （Xi） 1 1.8 1.5 2 -0.5 1 3 2 0 4 -2 -2 5 5 4 6 5 3 合计 11.3 7.5 平均数 1.88 1.25 标准差 2.8358 2.1389
Xi*Xi 2.25 1 0 4 16 9 32.25
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将有关准备数据代入公式：
32.25*11.3-7.5*41.2 a 0.40 2 6 *32.25 7.5 6 * 41.2 7.5*11.3 b 1.18 2 6 *32.25 7.5
直线方程斜率Βιβλιοθήκη Baidu，就是该股票的β系数。
20
（2） β系数计算的公式法
i ,m i m
课堂问题
各种股票之间不可能完全正相关，也不可能完全 负相关，所以不同股票的投资组合可以降低风险， 但又不能完全消除风险。股票的种类越多，风险 越小。 问题二： 在投资组合中，增加股票的种类，会降低风险， 但是同时会增加成本并降低收益，你怎么认为？ 问题三： 目前我国的基金大多使用投资组合，但是基金却 往往跑输大盘，你怎么看这件事情？
11
3
CAPM法中的贝塔系数求解
资产定价模型认为一个公司普通股期望的收益率 E(r)与其市场风险β之间的关系为：
E(r ) rf ( E(rm ) rf )
资本资产定价模型的假设条件
• 所有投资者均追求单期财富的期望效用最大化，并以各备选组合的期 望收益和标准差为基础进行组合选择。 • 所有投资者均可以无风险利率无限制的借入或贷出资金。 • 所有投资者拥有同样预期，即对所有资产收益的均值、方差和协方差 等，投资者均有完全相同的主观估计。 • 所有的资产均可被完全细分，拥有充分的流动性且没有交易成本。 • 没有税金。 • 所有投资者均为价格接受者。即任何一个投资者的买卖行为都不会对 股标价格产生影响。
问题五： 了解了贝塔系数的计算后，你认为如何才 可以改变公司的贝塔呢？
24
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度量一项资产风险的指标是贝他系数，用希腊 字母 表示。 股票β系数的大小取决于： 该股票与整个股票市场的相关性； 它自身的标准差； 整个市场的标准差。 Β系数的计算有两种方法： 线性回归法和公式法
15
（1）β系数计算的线性回归法 根据数理统计的线性回归原理，β系数均可以通 过同一时期内的资产收益率和市场组合收益率的 历史数据，使用线性回归方程预测出来。 求解线性回归公式：y=a+bx的b β系数就是该线性回归方程的回归系数b 。
0.0625 0.625 1.5625 10.5625 7.5625 3.0625 22.875
2
-0.02 0.595 -0.15 12.61 8.58 5.46 27.075
0.0064 5.6644 0.0144 15.0544 9.7344 9.7344 40.2084
21
相关系数的计算：
2
协方差与相关性：先计算协方差，再求相关系数 协方差公式：
Covi, j i, j E( ri r i )(rj rj )
相关系数公式：
i, j i, j i j
3
课堂例题
例3：I,J公司各种情况下的收益预测及其概率
经济状况
萧条 衰退
发生概率
0.10 0.20
1
（3）证券相关系数的计算
两种证券组合报酬率概率分布的标准差是：
p Var (组合) Q 2Qi Q j ij Q
2 2 i i 2 j
2 j
Qj是第j 种证券在投资总额中的比例； Qi是第i种证券在投资总额中的比例； ij是第j 种证券与第i种证券报酬率的协方差。