灰色新陈代谢GM_1_1_模型在中长期城市需水量预测中的应用研究

式中 : Y =
x1(0) (3) ⁝
a , B=
u
x1(0) ( N )
-
1 2
[
x1(1)
(1)
+ x1(1) (2) ]
1
X=
-
1 2
[
x1(1)
(2)
+ x1(1) (3) ]
1
⁝
⁝
-
1 2
[
x1(1)
(
N
-
1)
+ x1(1) ( N) ]
1
对于方程组 (2) 按最小二乘法得到 :
B^ = ( XT X) - 1 ( XT Y) = ^a ^u
WANG Hong2yu1 , MA Fang1 , YANG Kai2 , LU Bin3
(1. School of Municipal and Environmental Engineering , Harbin Institute of Technology , Harbin 150090 ,China ; 2. School of Civil and Architectural Engineering , Wuhan University , Wuhan 430072 ,China ; 3. School of Resources and Environmental Science ,Wuhan University , Wuhan 430079 ,China)
第 37 卷 第 6 期 2004 年 12 月
武汉大学学报 (工学版) Engineering Journal of Wuhan University
Vol. 37 No. 6 Dec. 2004
文章编号 :167128844 (2004) 062032204
灰色新陈代谢 GM( 1 ,1) 模型在中长期城市 需水量预测中的应用研究
+ 1) , 同 时 去 掉 最 老 信 息 x (0) ( 1) , 用 序 列 { x (0)
(2) , x (0) (3) , …, x (0) ( n + 1) } 作为原始序列 x (0) ,
再重复上述步骤建立 GM (1 ,1) 模型 , 如此反复 , 依
次递补 ,直到完成预测目标 , 此即为灰色新陈代谢
群 ,而后就可比较不同 GM (1 ,1) 模型的模拟精度 ,
选取模拟精度较高的 GM (1 ,1) 模型作为灰色新陈
代谢模型的基础模型 ,此时其建模数据序列的维数
也就随之而定.
2. 3 精度检验
灰色预测模型的精度通常用后验差方法检验.
模型精度由均方差比值和小误差概率共同评定.
精度检验要求均方差比值越小越好 ,小误差概率越
n
∑ ε =
1 n
ε(0)
k =1
( k)
,为残差均值 ,
其中 :残差ε(0) ( k) = x (0) ( k) - ^x (0) ( k) ;
n
∑ S
2 2
=
1
(ε(0) ( k)
n k=1
- ε) 2 ,为残差方差 ;
C
=
S2 S1
,
为均方差比值.
根据
C
=
S2和
S1
p=
P{ |
e ( i)
-
e|
四级 (不合格)
p ≥0. 95 0. 80 ≤p < 0. 95 0. 70 ≤p < 0. 80 ≤0. 70
C ≤0. 35 0. 35 < p ≤0. 50 0. 50 < p ≤0. 65
> 0. 65
2. 4 预测模型修正 当建立的模型经检验不合格时 ,可以考虑对残
差序列建模 ,对原模型进行修正 , 从而提高预测精 度.
= ( x (0) (1) -
u a
)
e
-
ak
+
u a
+ δ( k -
i) [ (ε(0) (1)
-
au′′) e - a′k + au′′]
其中 : δ( k -
i) =
1 k ≥i 0 k < i
3 灰色新陈代谢 GM (1 ,1) 模型的应 用
模型精度等级 一级 (好) 二级 (合格) 三级 (勉强)
由原模型生成数列 x (1) ( k) 及其模拟值 ^x (1) ( k) 可以得到生成数残差 :
以北方某缺水城市为例 ,现有 1991～2000 年 10 年的城市用水量资料 (见表 2) .
分别以 1991～2000 年的用水量数据和 1993～ 2000 年的用水量数据构建 GM (1 ,1) 模型 Ⅰ和模型 Ⅱ. 按上述模型精度检验公式 ,经计算得到两个模 型的精度 (见表 3) . 从表 3 中可以看出 ,两个模型 的精度等级都为一级 ,但是通过对平均相对误差 、 均方差比值等指标的对比 ,可知模型 Ⅱ的模拟精度 高于模型 Ⅰ. 因此选择模型 Ⅱ为新陈代谢模型的 基础模型.
目前灰色模型用于预测时 ,最常用的是常规 GM(1 ,1) 模型[6 ,7] . 但是用此模型进行预测时存在 不足之处. 这是因为此模型建模序列只考虑现实 时刻 t = n 过去的全体数据 ,随着时间的推移 ,未 来的一些扰动因素将不断地对系统产生影响. 因 此 ,用这种模型进行预测 ,精度较高的仅仅是最近 的几个数据 ,越往未来发展 ,该模型的预测意义就 越弱. 为了弥补上述缺陷 ,引入了灰色新陈代谢 GM(1 ,1) 模型. 一方面它继承了常规 GM (1 ,1) 模 型的优点 ;另一方面它能够及时将相继不断进入系 统的扰动因素考虑进去. 用灰色新陈代谢模型进 行预测时 ,不是建立一个模型一直预测下去 , 而是 由已知数列建立的 GM(1 ,1) 模型预测一个值 ,然后 把这个预测值补加到已知数列中 ,同时去掉最早期 的一个数据 ,保持数列等维. 接着再建立 GM(1 ,1) 模型 ,预测下一个数据 ,并补加到数列中 ,同时去掉 最早期的一个数据 ,这样新陈代谢 ,逐个预测 ,依次 递补 ,直到完成预测目标为止. 它的这种建模方 法 ,克服了常规 GM(1 ,1) 建模的不足.
2 灰色模型原理
2. 1 常规 GM( 1 ,1) 模型 常规 GM(1 ,1) 模型是灰色预测的基础 ,它是由
一个包含单变量的一阶微分方程构成的模型. 设已有城市用水量序列数据 : x (0) = { x (0) (1) , x (0) (2) , …, x (0) ( n) }
作一阶累加生成模块 x (1) :
< 0. 6745 S1}
计算后验差比值 C 与小误差概率 p.
模型精度级别 = max{ C 所处级别 , p 所处级
别} 模型分级标准见表 1.
表 1 灰色模型预测精度等级表
ε(0) ( k) = x (1) ( k) - ^x (1) ( k) , k = i , i + 1 , …, n
则生成数残差序列为
1 研究背景
随着水危机的加剧和各城市对节水工作的重 视 ,各缺水城市均在积极采取相应的对策和措施 , 合理地利用水资源 ,几乎任何一个城市的水资源规 划中都涉及到城市需水量预测方面的工作. 为了 做好城市供水 、用水和节水规划 ,必须预测未来城 市用水的需求.
长期以来对城市需水量的预测多是利用回归
大预测模型的精度越高.
其基本方法如下 : 设 x (0) 为原始序列 , ^x (0) 为
GM 模型模拟序列 ,ε(0) 为残差序列 ,则
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武汉大学学报 (工学版)
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n
∑ x
=
1 n
k =1
x (0)
( k)
,为
x (0)
的均值
;
n
∑ S
2 1
=
1
( x (0) ( k)
n k=1
-
x ) 2 ,为 x (0) 的方差 ;
Hale Waihona Puke ε(0) = {ε(0) ( i) ,ε(0) ( i + 1) , …,ε(0) ( n) }
根据前述灰色理论对此残差数列ε(0) ( k) 建立
GM(1 ,1) 模型 ,得到
ε(1) ( k + 1)
= (ε′(0) (1)
-
au′′) e -
a′k
+
u′ a′
则修正预测模型为
^x (1) ( k + 1)
则微分方程的解为
^x (1) ( k + 1)
= ( x (0) (1) -
u a
) e-
ak
+
u a
x (0) ( k) 模拟值为
^x (0) ( k + 1) = ^x (1) ( k + 1) - ^x (1) ( k)
2. 2 灰色新陈代谢 GM( 1 ,1) 模型预测原理
在原始数据序列中 ,置入新信息 (数据) x (0) ( n
Abstract : A prediction method of urban medium and long2term water demand based on grey theory is studied. Accord2 ing to the deficiency of ordinary GM (1 ,1) model , an information renewal GM (1 ,1) predicting model of water de2 mand is established. Moreover the model is applied to predict the water demand of a certain city that is lack of water in the next 10 years in North China. The results show that the precision of the model is comparatively higher and its prediction error is comparatively less. Key words : urban water demand ; grey predicting ; information renewal model