2019北京四中初三(上)期中数学含答案
北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=−(x−3)2−2的顶点坐标是()A. (3,−2)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−3,−2)3.已知x2=y3(x,y都不等于0)，那么下列式子中一定成立的是()A. x+y=5B. 2x=3yC. xy =32D. xy=234.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=6，AB=8，BE=3，则EC的长是()A. 4B. 2C. 1D. 85.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为()A. 70∘B. 65∘C. 55∘D. 35∘6.抛物线y=2(x−2)2−1关于x轴对称的抛物线的解析式为()A. y=2(x−2)2+1B. y=−2(x−2)2+1C. y=−2(x−2)2−1D. y=−(x−2)2−17.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−18.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为()A. 0B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式______．10.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则abc________0，a−b+c________0，b+5a________0.(填“>”或“<”号)．11.在△ABC中，点M，N分别是边AC和BC的中点，△CMN的面积等于1，则四边形MNBA的面积是______．12.若A(−4,y1)，B(−3,y2)，C(1,y3)为二次函数y=x2+4x−m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是______ ．13.如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是30cm，若物体AB的长为16cm，则像CD的长是_____cm．14.把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为______________．15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是______________．16.如图，Rt△ODC的直角顶点D在y轴上，DC边上的点P(√2,2)在抛物线y=ax2上，将Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，点A恰好在抛物线上，则点A的坐标为_______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.(1)已知二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，且经过点M(2,−5)，求该函数的解析式．(2)抛物线过点(−2,0)、(2,−8)，且对称轴为直线x=1，求其解析式．18.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F.求证：AF平分∠BAC．19.如图，在△ABC中，AB=AC，若△ABC≌△DEF，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M．求证：△ABE∽△ECM．20.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：x−10123y03430②有序数对(−1,0)、(1,4)、(3,0)满足y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图)．(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(−2,2)，B(−4,1)，C(−1,0)．(1)以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C(点A′与点A是对应点)，使△A′B′C的面积是△ABC的面积的4倍；(2)写出所画△A′B′C的顶点A′，B′的坐标．22.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c的部分图象，A(1,0)，B(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积．23.如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC=120°(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)若BD=2，CE=8，求BC的长．24.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足w=−2x+80(20≤x≤40)，设销售这种手套每天的利润为y(元)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？25.数学兴趣小组的同学们，想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度：下午活动时间，兴趣小组的同学们来到操场，发现旗杆的影子有一部分落在了墙上(如图所示).同学们按照以下步骤进行测量：测得小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米；在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米，留在墙上的影高CD为2米，请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线BC与抛物线y=x2+bx+c交于点B(3,0)和点C(0,3)，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．(1)求直线BC及该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积．27.如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．28.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，且x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．(1)求点A，B的坐标；(2)分别求出抛物线和直线AC的解析式；(3)若将过点(0,2)且平行于x轴的直线定义为直线y=2.设动直线y=m(0<m<2)与线段AC、BC分别交于D、E两点．在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念即可求解．解：A.不是中心对称图形，故此选项错误；B.不是中心对称图形，故此选项错误；C.是中心对称图形，故此选项错误；D.不是中心对称图形，故此选项正确．故选C．2.答案：A解析：解：y=−(x−3)2−2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,−2)．故选：A．已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．3.答案：D解析：本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键.根据比例的性质，可得答案．解：A.x+y不一定等于5，故A错误；B.2y=3x，故B错误；C.xy =23，故C错误；D.xy =23，故D正确；故选D．4.答案：C解析：此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键．由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=6，AB=8，BE=3，即可求得答案．解：∵DE//AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=6，AB=8，BE=3，∴6：8=3：BC，解得：BC=4，∴EC=BC−BE=1．故选C．5.答案：A解析：本题主要考查旋转的性质，根据直角三角形的性质可求解∠ABC=55∘，由旋转的性质可得∠B′CA′=∠ACB=90∘，结合CB′=CB可得∠CBB′=∠B′=55∘，进而求解α度数．解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，∴∠ABC=55∘，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′=∠ABC=55∘，∠B′CA′=∠ACB=90∘，CB′=CB，∴∠CBB′=∠B′=55∘，∴α=∠BCB′=70∘，故选A．6.答案：B解析：本题考查了二次函数图象与几何变换．先确定抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式．解：抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，而(2,−1)关于x轴对称的点的坐标为(2,1)，所以所求抛物线的解析式为y=−2(x−2)2+1．故选：B．7.答案：A解析：此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y=(x+1)2=x2+2x+1．故选：A．8.答案：A解析：本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．解：∵ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx=1−m有两个不相等的实数根，令y1=ax2+bx，y2=1−m，∴函数y1与函数y2的图象有两个交点，∴1−m<2，∴m>−1，∵m是整数，∴m的最小值为0，故选：A．9.答案：y=x2+1等．答案不唯一解析：解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2+1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2+1等．答案不唯一．开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点(0,1)，说明常数项c=1．本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．10.答案：<，<，<解析：本题考查了二次函数图像与系数的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数：b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．解：∵抛物线开口方向向下，∴a<0，∵对称轴在y轴右侧，∴−b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0；当x=−1时，y=a−b+c<0，∴a−b+c<0；∵对称轴为直线x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴b+5a=−4a+5a=a<0．故答案为<，<，<．11.答案：3解析：解：∵M，N分别为AC，BC的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN//AB，且AB=2MN，∴△CMN∽△CAB，∴S△CABS△CMN =(ABMN)2=4，∴S△CAB=4S△CMN=4，∴S四边形ABNM=S△CAB−S△CMN=4−1=3．故答案为：3．利用三角形的中位线定理以及相似三角形的性质即可解决问题．本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质求出S△CAB的值是解题的关键．12.答案：y3>y1>y2解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算出自变量为−4，−3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．解：当x=−4时，y1=x2+4x−m=16−16−m=−m；当x=−3时，y2=x2+4x−m=9−12−m=−3−m；当x=1时，y3=x2+4x−m=1+4−m=5−m；所以y3>y1>y2．故答案为y3>y1>y2．13.答案：8解析：[分析]根据相似三角形的性质即可解题．[详解]解：由小孔成像的特征可知，△OAB∽△OCD，由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比，∴30:60=CD：16，解得：CD=8cm．[点睛]本题考查了相似三角形的判定和性质，属于简单题，熟悉性质内容是解题关键．14.答案：2√3解析：本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．解：∵每一个小长方形与原长方形相似，∴2x =x6，解得，x=2√3或x=−2√3(舍)，故答案为：2√3．15.答案：−1≤x≤2解析：解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：−1≤x≤2．故答案为：−1≤x≤2．根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是二次函数y1=ax2+bx+c的图象落在直线y2=kx+t上方的部分及交点对应的自变量x的取值范围．本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．16.答案：(−2,4)解析：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．先把P点坐标代入y=ax2求出a=1，得到抛物线的解析式为y=x2，再根据旋转的性质得OD= OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，所以A点的横坐标为−2，然后把x=−2代入抛物线解析式计算出对应的函数值，于是确定A点坐标．解：由题意可得：OD=2，∠ODC=90°，把P(√2,2)代入y=ax2得2a=2，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2，∵Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，∴OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，∴AB⊥x轴，∴A点的横坐标为−2，把x=−2代入y=x2得y=4，∴A点坐标为(−2,4)，故答案为(−2,4)．17.答案：解：(1)设所求函数的解析式为y=a(x+1)2+4，∵图象经过点M(2,−5)，∴−5=a(2+1)2+4，∴a=−1，∴y=−(x+1)2+4(或y=−x2−2x+3).解：(2)设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，则{4a−2b+c=04a+2b+c=−8−b2a=1，∴{a=1b=−2c=−8，∴y=x2−2x−8．解析：本题主要考查二次函数的图像与性质相关知识。
北京市昌平四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
北京市昌平四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sin A的值是()A. 34B. 53C. 45D. 352.已知关于x的二次函数y=(x−ℎ)2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为()A. 32B. 32或2 C. 32或6 D. 2、32或63.已知⊙O的半径为10cm，点A在⊙O内，则OA的长可能为()A. 9cmB. 10cmC. 11cmD. 12cm4.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos A的值为()A. 12B. √55C. √1010D. 2√555.如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠A的度数为()A. 15°B. 25°C. 50°D. 100°6.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1:√3，则AB的长为()米．A. 12B. 4√3C. 5√3D. 6√37.若二次函数y=x2−2x+c的图象与x轴没有交点，则c的值可能是()A. −3B. −2C. 0D. 28.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BC的值为()A. 3B. 2√3C. 3√3D. 2二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.若2sinA=√3，则锐角∠A=______ ；若√2cos(B−10°)=1，则锐角∠B=______ ．10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_________°．11.一个扇形的面积为15π，圆心角为216°，那么它的弧长为______．12.把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=(x−1)2−4，则b=______ ，c=______ ．13.比较大小(用“>”、“<”或“=”填空)(1)sin20°______sin30°；(2)cos40°______cos60°．14.如图，⊙O中，弧MAN的度数为320°，则圆周角∠MAN的度数是______ ．15.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式−x2+2x+m<0的解集为______．16.⊙O的半径为5，两条弦AB=8，CD=6，且AB//CD，直径MN⊥AB于点P，则PC的值为______．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）−3sin60°+2cos45°．17.计算：tan45°cot30∘−2sin45∘18.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：(1)直线DC是⊙O的切线；(2)AC2=2AD⋅AO．19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点在边BC上，DE⊥AB，点E．为垂足，AB=7，∠DAB=45°，tanB=34(1)求DE的长；(2)求∠CDA的余弦值．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）20.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”(如图①)阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB=______寸，CD=______寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．21.(1)已知二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，且经过点M(2,−5)，求该函数的解析式．(2)抛物线过点(−2,0)、(2,−8)，且对称轴为直线x=1，求其解析式．22.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，(1)求证：AE是⊙O的直径；(2)若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．23.如图，反比例函数y1=k与一次函数y2=ax+b的图象交于点x,n)．A(2,2)、B(12(1)求这两个函数解析式；(2)直接写出不等式y2>y1的解集．24.如图，要测量一幢楼CD的高度，在地面上A点测得楼CD的顶部C的仰角为30°，向楼前进50m到达B点，又测得点C的仰角为60°，求这幢楼CD的高度(结果保留根号)25.某公司试销一种新产品，该种新产品成本为50元/件，试销期间售价不低于80元/件且不高于150元/件．若该种新产品的销售单价x(元件)与每天的销售数量y(百件)之间的关系如下表所示．销售单价x(元/件)销售数量y(百件/天)80≤x<120−x+130120≤x≤15010(1)当销售单价定为100元/件时，求该新产品每天销售的利润；(2)求销售单价定为多少元/件，每天可以获得最大利润⋅并求出最大利润．26.16.如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；(2)如图2，点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上，BF=FA，连接EF，过点F作AD的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；DG，PO=5，求EF的长．(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2327.已知：抛物线y=nx2−(3n+2)x+2n+2(n>0)；求证：抛物线与x轴有两个交点．28.在平面直角坐标系xOy中，点P到封闭图形W的“极化距离”D(P,W)定义如下：任取图形W上一点Q，记PQ长度的最大值为M，最小值为m(若P与Q重合，则PQ=0)，则“极化距离”D(P,W)=M−m．(1)如图1，正方形ABCD以原点O为中心，点A的坐标为(3,3)，①点O到线段AB的“极化距离”D(O,AB)=____；点E(−5,3)到线段AB的“极化距离”D(E,AB)=____；②记正方形ABCD为图形W，点P在y轴上，且D(P,W)=3，求点P的坐标；(2)图形W为圆心T在x轴上，半径为4的圆，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于F，G两点，若线段FG上的任一点P都满足2<D(P,W)<6，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∴sinA=BCAB =35．故选：D．利用锐角三角函数的定义求解，sin A为∠A的对边比斜边，求出即可．此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2.答案：C解析：本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键.依据二次函数的增减性分1≤ℎ≤3、ℎ<1、ℎ>3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得．解：∵y=(x−ℎ)2+3中a=1>0，∴当x<ℎ时，y随x的增大而减小；当x>ℎ时，y随x的增大而增大；①若1≤ℎ≤3，则当x=ℎ时，函数取得最小值2h，即3=2ℎ，解得ℎ=32；②若ℎ<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，即(1−ℎ)2+3=2ℎ，解得ℎ=2>1(舍去)；③若ℎ>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即(3−ℎ)2+3=2ℎ，解得ℎ=2(舍)或ℎ=6，综上，h的值为32或6，故选C．3.答案：A解析：本题考查了点与圆的位置关系的判断．熟记点与圆位置关系与数量关系的对应是解题关键，由位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系．设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内.根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．解：∵点A在⊙O内，且⊙O的半径是10cm，∴OA<10cm．故选A．4.答案：D解析：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，AO=√22+22=2√2；AC=√12+32=√10；则cosA=AOAC =√2√10=2√55．故选D．5.答案：B解析：解：∵∠BOC=50°，∠COB=25°，∴∠A=12故选：B．根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．6.答案：A解析：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本=1：√3，即可求得AC的长度，然后根据勾股题的关键．根据迎水坡AB的坡比为1：√3，可得BCAC定理求得AB的长度．=1：√3，解：Rt△ABC中，BC=6米，BCAC∴AC=BC×√3=6√3，∴AB=√AC2+BC2=√62+(6√3)2=12．故选A．7.答案：D解析：若二次函数y=x2−2x+c的图象与x轴没有交点，则一元二次方程x2−2x+c=0的判别式小于0，解不等式求得c的取值范围，从而确定答案．本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，即△>0；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，即△=0；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，即△<0．解：∵二次函数y=x2−2x+c的图象与x轴没有交点，∴令y=0时，x2−2x+c=0的判别式△<0，即b2−4ac=4−4c<0，解得c>1．观察各选项，只有D符合题意．故选：D．8.答案：A解析：本题考查了圆周角定理，难度一般，关键是掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角相等．首先根据AB= BC，∠ABC=120°，求出∠C的度数，然后根据圆周角定理可知：∠D=∠C，又直径AD=6，易求得AB的长度．解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠BAC=∠C=30°，∵AD为直径，AD=6，∴∠ABD=90°，∵∠D=∠C=30°，AD=3，∴AB=12∴BC=3，故选A．9.答案：60°；55°解析：解：由2sinA=√3，得sinA=√3，2锐角∠A=60°；若√2cos(B−10°)=1，得cos(B−10°)=√2，2得B−10=45°，则锐角∠B=55°，故答案为：60°，55°．根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．10.答案：n解析：本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质对角互补即可解答．解：∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠A，∵∠A=n°，∴∠DCE=n°，故答案为n．11.答案：6π解析：解：设扇形的半径为R，根据题意得15π=216×R2×π360，∴R2=25，∵R>0，∴R=5．∴扇形的弧长=216×5×π180=6π．故答案为：6π利用扇形的面积公式可得扇形的半径，进而利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长．主要考查了扇形弧长与面积公式．弧长公式为：l=nπR180，扇形面积公式：S=nπR2360．12.答案：4；3解析：为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到图象的解析式是y=(x−1)2−4，所以y=(x−1)2−4向左平移3个单位，再向上平移3个单位后，可得抛物线y= ax2+bx+c的图象，先由y=(x−1)2−4的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a、b、c的值．本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握解析式平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．解：∵当y=(x−1)2−4向左平移3个单位，再向上平移3个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=(x−1+3)2−4+3=x2+4x+3，∴b=4，c=3．故答案为4；3．13.答案：(1)<;(2)>．解析：此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．(1)利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案．(2)根据余弦值随角度的增大而减小，进而得出答案．解：(1)sin20°<sin30°；故答案为：<；(2)cos40°>cos60°．故答案为：>．14.答案：20°解析：解：连接OM，ON，∵⊙O中，弧MAN的度数为320°，∴劣弧MN的度数为：360°−320°=40°，∴∠MON=40°，∠MON=20°．∴∠MAN=12故答案为：20°．首先连接OM，ON，由⊙O中，弧MAN的度数为320°，根据弧与圆心角的关系，即可求得∠MON的度数，然后由圆周角定理，求得圆周角∠MAN的度数．此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15.答案：x<−1或x>3解析：解：由图可知，对称轴为直线x=1，所以，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，所以，−x2+2x+m<0的解集为x<−1或x>3．故答案为：x<−1或x>3．根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x轴的另一个交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与x轴的另一个交点坐标．16.答案：√58或√10解析：解：当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接OA、OC，∵AB//CD，MN⊥AB，AB=4，MN⊥CD，∴AP=12∴CQ=1CD=3，2在Rt△OAP中，OP=√OA2−AP2=3，同理，OQ=4，则PQ=OQ+OP=7，∴PC=√CQ2+PQ2=√58，当AB、CD在圆心O的同侧时，PQ=OQ−OP=1，∴PC=√CQ2+PQ2=√10，故答案为：√58或√10．分AB、CD在圆心O的两侧和AB、CD在圆心O的同侧两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．本题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．17.答案：解：原式=√3−√2−3×√32+2×√22=√3+√2−32√3+√2=2√2−12√3．解析：根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.答案：(1)证明：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC//AD∵AD⊥CD∴OC⊥CD∴直线CD与⊙O相切于点C；(2连接BC，则∠ACB=90°．∵∠DAC =∠OAC ，∠ADC =∠ACB =90°，∴△ADC∽△ACB ，∴AD AC =AC AB ，∴AC 2=AD ⋅AB ，∵AB =2AO∴AC 2=2AD ⋅AO解析：此题主要考查圆的切线的判定和相似三角形的判定与性质及圆周角定理与推论．(1)连接OC ，由OA =OC 可以得到∠OAC =∠OCA ，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC =∠OCA ，接着利用平行线的判定即可得到OC//AD ，然后就得到OC ⊥CD ，由此即可证明直线CD 与⊙O 相切于C 点；(2)连接BC ，根据圆周角定理的推理得到∠ACB =90°，又∠DAC =∠OAC ，由此可以得到△ADC∽△ACB ，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．19.答案：解：(1)∵DE ⊥AB ，∴∠DEA =90°，又∵∠DAB =45°，∴DE =AE ，在Rt △DEB 中，∠DEB =90°，tanB =34，∴DE BE =34，设DE =3x ，那么AE =3x ，BE =4x ，∵AB =7，∴3x +4x =7，解得：x =1，∴DE =3；(2)在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AD =3√2，同理得BD =5，在Rt △ABC 中，由tanB =34，可得cosB =45，∴BC =285， ∴CD =35，∴cos∠CDA=CDAD =√210，即∠CDA的余弦值为√210．解析：(1)由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，在直角三角形DEB中，利用锐角三角函数定义求出DE与BE之比，设出DE与BE，由AB=7求出各自的值，确定出DE即可；(2)在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与BD的长，根据tan B的值求出cos B的值，确定出BC 的长，由BC−BD求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20.答案：解：1；10；连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴CA=12CD=5．设CO=OB=x寸，则AO=(x−1)寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴(x−1)2+52=x2．解得：x=13，则CD=13寸．∴⊙O的直径为26寸．解析：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为1，10；(2)见答案．21.答案：解：(1)设所求函数的解析式为y=a(x+1)2+4，∵图象经过点M(2,−5)，∴−5=a(2+1)2+4，∴a=−1，∴y=−(x+1)2+4(或y=−x2−2x+3).解：(2)设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，则{4a−2b+c=04a+2b+c=−8−b2a=1，∴{a=1b=−2c=−8，∴y=x2−2x−8．解析：本题主要考查二次函数的图像与性质相关知识。
北京四中初三上册期中考试数学(含解析).docx
北京四中初三上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为（ ）． A ．直线1x = B ．直线1x =- C ．直线2x = D ．直线2x =-2．已知反比例数ky x=的图象过点(2,1)，下列各点也在反比例函数图象上的点是（ ）． A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．1(2,)2D ．1(4,)23．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则OC 的长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式为（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若35ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．40︒ C ．60︒ D ．70︒6．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象可能为下列中的（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，若PAO △的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）． A ．4y x = B ．4y x =-C ．8y x=D ．8y x=-xOyxOyxO yxO yOCABO DC BAPA xOy8．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A ．0a >B ．不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<C ．0a b c -+>D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大9．若抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，则t 的取值范围为（ ）．A ．13t -<<B ．13t -<≤C ．534t << D ．1t -≥10．如图，ACB △中，60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长为（ ）． A ．22 B ．263 C ．1.5D ．433二、填空题（每空4分，共24分）11．已知双曲线3y x=，如果1(1,)A b -，2(2,)B b 两点在该双曲线上，那么1b __________2b ．（比较大小）12．将抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，则旋转后抛物线的解析式为__________．13．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x … 2- 1- 0 1 2 3 … y…5 03-4-3-…当函数值0y <时，x 的数值范围是__________．14．已知：如图，⊙O 是的内切圆，分别切BC 、AB 、AC 于点D 、E 、F ，ABC △的周长为24cm ，10cm BC =，则AE =__________cm ．15．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知8cm BC =，2cm DE =，则AD 的长为__________cm ．52OxyFE OCDABFEDCBA OCAE DB16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)和1(,0)x ，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点，下列结论：①0b >；②214ac b <；③a b >；④2a c a -<<-．其正确结论的序号是__________．三、解答题（本题共18分，每题6分）17．若二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点，求此二次函数的解析式．18．已知；如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(1,2)A -、(2,)B n 两点． （1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当m kx b x+≥时x的取值范围．19．已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-．（1）m 的值为__________；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x … … 1y……（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ≤．yxOBA1221yxO20．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形． 求OAD OCD ∠+∠的度数．21．如图，PB 切⊙O 于点B ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC 、AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）若6BC =，:1:2AD FD =，求⊙O 的半径r 的长．22．已知21(2)y x kx k k =-+->．（1）求证：抛物线21(2)y x kx k k =-+->与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若tan 3OAC ∠=，求此抛物线的解析式；（3）以（2）中的抛物线上一点(,)P m n 为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 分别取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交．xy O –1–21234–1–2123423．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务： 【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． （2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为__________．【发现】通过（2）或（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________．【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．24．如图，ABC △外接圆⊙O 半径为r ，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 、BE 交于点K ，AK r =．求BAC ∠的度数．K E OCADB25．如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC △，90A ∠=︒，AB AC =，(2,0)A -、(0,1)B 、(,2)C d ． （1）求d 的值；（2）将ABC △沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B '、C '正好落在某反比例函数图象上，请求出这个反比例函数和此时的直线B C ''的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B C ''交y 轴于点G ．问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图象上的点P ，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBDDBDBBB二、填空题（每空4分，共24分）题号 1112 13 14 15 16 答案 <21y x =--13x -<<2213②④三、解答题（本题共18分，每题6分）17．解：二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点， ∴031423a b a b =++⎧⎨-=++⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴二次函数的解析式为243y x x =-+．18．解：（1）∵(1,2)A -在my x=上， ∴2m =-．∴反比例函数的解析式是2y x =-． ∵点(2,)B n 在2y x=-上， ∴212n =-=-，即(2,1)B -．∵(1,2)A -，(2,1)B -在y kx b =+上， ∴221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式是1y x =-+．（2）由函数图象可知，x 的范围为1x -≤或02x <≤．19．解：（1）由题意得12b a -=-，即2(2)12m +-=-， ∴1m =-．∴抛物线解析式为：2123y x x =+-． 令10y =，得13x =-，21x =． 列表如下：x … 3- 2-1- 0 1 … 1y…3-4-3-…描点画图如图所示：（2）如图所示，易知，当2x -≤或1x ≥时，21y y ≤．1221y xOPB1221y xO20．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴180B D ∠+∠=︒．∵四边形OABC 为平行四边形， ∴AOC B ∠=∠． 又∵2AOC D ∠=∠， ∴60D ∠=︒．连结OD ，可得AO OD =，CO OD =． ∴OAD ODA ∠=∠，OCD ODC ∠=∠．∴60OAD OCD ODA ODC D ∠+∠=∠+∠=∠=︒．21．（1）证明：如图，连接OB ． ∵PB 是⊙O 的切线， ∴90PBO ∠=︒．∵OA OB =，BA PO ⊥于D ， ∴AD BD =，POA POB ∠=∠． 又∵PO PO =， ∴PAO △≌PBO △． ∴90PAO PBO ∠=∠=︒． ∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）解：∵OA OC =，AD BD =，6BC =， ∴132OD BC ==． 设AD x =．∵:1:2AD FD =，∴2FD x =，23OA OF x ==-．在Rt AOD △中，由勾股定理，得222(3)23x x -=+． 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去）． ∴4AD =，235OA x =-=． 即⊙O 的半径的长5．22．（1）证明：∵22()41(1)(2)k k k ∆=--⨯⨯-=-， 又∵2k >， ∴20k ->．∴2(2)0k ->，即0∆>．∴抛物线21y x kx k =-+-与x 轴必有两个交点．（2）解：∵抛物线21y x kx k =-+-与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=． 解得：1x k =-或1x =． ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴(1,0)A ，(1,0)B k -． ∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴(0,1)C k -．∵在Rt AOC △中，tan 3OAC ∠=， ∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==，解得4k =． ∴抛物线的表达式为243y x x =-+．（3）解：当22m <-或22m >+时，x 轴与⊙P 相离． 当22m =-或2m =或22m =+时，x 轴与⊙P 相切． 当222m -<<或222m <<+时，x 轴与⊙P 相交．23．解：（1）将2t =代入抛物线E 中，得：2222(32)(12)(24)242(1)2y x x x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-； （2）点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． （3）∵点(1,)B n -在抛物线E 上，∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中，得：(132)(1)(24)6n t t =+++-+=． 【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+， ∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-． 【应用】不是，理由如下：∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的“再生二次函数”．24．解法一：如图1，连接CO 并延长，交⊙O 于点N ，连接AN ，BN ． ∵CN 为⊙O 直径， ∴90NAC NBC ∠=∠=︒， ∵AD BC ⊥，BE AC ⊥， ∴AN BE ∥，NB AD ∥． ∴四边形ANBK 为平行四边形． ∴NB AK r ==，在Rt NBC △中，2NC r =， ∴1cos 2NB NBC NC ∠==， ∴60BNC ∠=︒， ∴60BAC BNC ∠=∠=︒．解法二：如图2，连接OA ，过点O 作OF AB ⊥于点F ． ∵90AOF OAF ∠+∠=︒，90KAE C ∠+∠=︒， 且AOF C ∠=∠， ∴OAF KAE ∠=∠．又∵OA KA r ==，90AEK AFO ∠=∠=︒， ∴AFO △≌AEK △．图1NK E O CADB F图2K E O CADB∴AF AE =， ∴2AB AE =．∴在Rt ABE △中，60BAC ∠=︒．25．解：（1）作CN x ⊥轴于点N ． 在Rt CNA △和Rt AOB △中， ∵2NC OA ==，AC AB =， ∴Rt CNA △≌Rt AOB △（HL ）．∴1AN BO ==，3NO NA AO =+= 又∵点C 在第二象限， ∴3d =-．（2）设反比例函数为ky x=，点C '和B '在该比例函数图像上， 设(,2)C m '，则(3,1)B m '+． 把点C '和B '的坐标分别代入ky x=，得2k m =；3k m =+， ∴23m m =+，3m =，则6k =， ∴反比例函数解析式为6y x=. ∴点(3,2)C '，(6,1)B '．∴直线B C ''的解析式为133y x =-+．（3）设点M 的坐标为(,0)m ，点P 的坐标为6(,)p p． 当以MP 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p +=+，解得215m =-； 当以MG 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p+=+，解得3m =； 当以MC 为平行四边形对角线时，30m p -=+，6023p+=+，解得3m =-． 综上所述，存在点121(,0)5M -，2(3,0)M ，3(3,0)M -，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形．N C'B'A'GBCAyOx11 北京四中初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为直线1x =．故选A ．2．【答案】D 【解析】∵反比例数k y x =的图象过点(2,1)，∴2k =，易知点1(4,)2在2y x =的图象上．故选D ．3．【答案】B【解析】∵半径OD 过AB 的中点C ，弦AB 的长为8，∴4BC =，90OCB ∠=︒，在Rt OCB △中，2222543OC OB BC =-=-=．故选B ．4．【答案】D【解析】根据“上加下减，左加右减”可得，所求二次函数的解析式为23(2)1y x =++．故选D ．5．【答案】D【解析】由圆周角定理可得，270AOC ABC ∠=∠=︒．故选D ．6．【答案】B【解析】由解析式可知，两个函数均过点(0,)c ；当0a >时，一次函数单调递增，二次函数开口向上；当0a <时，一次函数单调递减，二次函数开口向下．故选B ．7．【答案】D【解析】由k 得几何意义，可知142PAO S k ==△， 又∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴0k <， ∴8k =-，∴反比例函数的解析式为8y x=-．故选D ．8．【答案】B【解析】由二次函数的图象可知，开口向下，∴0a <；抛物线的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(5,0)，故另一个交点为(1,0)-， ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<；又∵抛物线经过点(1,0)-，∴0a b c -+=；当2x >时，y 随x 的增大而减小．故选B ．9．【答案】B【解析】抛物线的对称轴为直线2x =，开口向上，∵抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，12∴当2x =时，48310y t t =-+-=--≤，当0x =时，30y t =->，∴13t -<≤．故选B ．10．【答案】B【解析】连接OE ，OF ．∵60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴90EOF ∠=︒． ∴222EF OE AD ==． ∵弦EF 的最小值为1，∴AD 的最小值为2，即当AD BC ⊥时，2AD =．在Rt ABD △中，60B ∠=︒，∴26cos603AD AB ==︒．故选B ． 二、填空题11．【答案】<【解析】易得13b =-，232b =，∴12b b <．故答案为<．12．【答案】21y x =--【解析】抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，顶点由(0,1)变为(0,1)-，开口方向由向上变为向下，故旋转后抛物线的解析式为21y x =--．故答案为21y x =--．13．【答案】13x -<<【解析】由表格中数据已知，当函数值0y <时，x 的数值范围是13x -<<．故答案为13x -<<．14．【答案】2【解析】设AE x =，则AF x =，又∵CD CF =，BD BE =，∴22024x +=，解得2x =．故2cm AE =．故答案为2．15．【答案】213【解析】设半圆O 的半径为r ．∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵E 为BC 弧中点，∴OE BC ⊥，∴OE AC ∥，∴22(2)AC OD r ==-，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴2224(2)84r r -+=，解得5r =． F EO C D A B13 ∴6AC =，142CD BC ==， ∴22213AD AC CD =+=．故答案 为213．16．【答案】②④【解析】由题意可知，二次函数的图象大致如图所示： 由图可知，0b <，①错误；240b ac ∆=->，∴214ac b <，②正确； ∵1122x ba +-=，121x -<<-， ∴1211222ba --<-<，即01ba <<，∵0a <，∴a b <，③错误． 又∵11cx a ⋅=，121x -<<-， ∴21ca -<<-，∵0a <，∴2a c a -<<-，④正确．故答案为②④．-1-21y x。
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- 第一学期北京四中初三年级数学期中测试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．一元二次方程的解是（）A．B．C．或D．或2．如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为（）A．9B．6C．3D．43．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．120°C．30°D．90°4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．30°C．40°D．50°5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．700m B．500m C．400m D．300m（5题）（6题）6．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．7．如图⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6则⊙O的半径为（）A．6B．13C．D．8．如图(甲)，扇形OAB的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C是上不同于A、B 的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点H在线段DE上，且EH=DE．设EC的长为x，△CEH的面积为y，图(乙)中表示y与x的函数关系式的图象可能是（）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知⊙O的周长等于6cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为_______cm．（9题）（10题）10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．11．如图，圆A、圆B的半径分别为4、2，且AB=12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直线上，且圆C与另两个圆一个外切、一个内切，则圆C的半径长可能为__________．12．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．解关于x的方程：x2+4x-2=0．15．丁丁要制作一个形状如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度．（精确到个位，）图1图2 16．请利用直尺和圆规，过定点A作⊙O的切线，不写作法，保留尺规作图的痕迹．17．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，求tanC的值．18．如图，在平行四边形ABCD中过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点且∠AFE＝∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长．16．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系．设该圆弧所在圆的圆心为点D，连结AD、CD．请完成下列问题：①写出点D的坐标：D___________；②D的半径=_____（结果保留根号）；③若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为__________（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°,∠A=60°，AC=10，试求CD的长．21．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．22．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．（3）若把正方形放在直线上，让纸片ABCD按上述方法旋转，请直接写出经过多少次旋转，顶点A经过的路程是．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此方程总有两个不等的实数根、；（2）设此方程的两个实数根为、，若，求k的值．24．在△ABC中，点D在线段AC上，点E在BC上，且DE∥AB将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△（使＜180°），连接、，设直线与AC交于点O．（1）如图①，当AC=BC时，:的值为______；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值．25．如图，已知点A（0，6），B（4，－2），C（7，），过点B作x轴的垂线，交直线AC于点E，点F与点E关于点B对称．（1）求证：∠CFE=∠AFE；（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FBC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．25．【参考答案】一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. C2. B提示：.3. B提示：四边形AOBP中，∠OAP=∠OBP=90°，∠P＝60°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°4. D提示：∠A=∠BOC.5. B提示：易证图中的两个三角形全等.6. D7. C提示：延长AO交BC于点D. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD⊥BC，且BD=CD=3，AD=BC=3，∴OD=3-1=2，在Rt△BOD中，勾股定理得OB=.8. A提示：连接OC，∵四边形ODCE是矩形，∴DE=OC=6，∴EH=4，再定性分析即可.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 3 .10.11. 5或7.提示：圆C可能与圆A内切，与圆B外切；也可能与圆B内切，与圆A 外切.12. ≤CP′≤提示：如图，连接CP、BP′，易证△APC≌△AP′B则PC=P′B=1，在等腰Rt△ABC 中，AC=2，∴BC=2在△BCP′中，有＜CP′＜，当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.14. 提示：用配方法解得：15. 解：在Rt△BEC中，∠BCE=30º,EC=51，∴BE=≈30，AE=64=CF,在Rt△AFD中，∠FAD=45º,FD=FA=51，∴CD=64—51≈13，∴CD=13cm，BE=30cm.16. 如图：17．提示：连接BD，则EF是△ABD的中位线，所以BD=4，在△BCD中，∵，∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，∴tanC=.18.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED ，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC.（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4，又∵AE⊥BC ，∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=，∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴AF=.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.①D（2，0）②.③.设圆锥的底面半径为r，则，∴r=，∴圆锥的底面面积为④相切.理由：∵CD=，CE=，DE=5∴CD2+CE2=25=DE2∴∠DCE=90°即CE⊥CD∴CE与⊙D相切。
北京四中九年级(上)期中数学试卷
二、填空题（本题共 8 分，每小题 2 分）
9．（2 分）抛物线 y=（x﹣2）2+1 的顶点坐标是
．
10．（2 分）反比例函数 y= 在第一象限的图象如图，请写出一个满足条件的 k
值，k=
．
11．（2 分）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，
问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩
立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）
（1）在图 1 中画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
（2）在图 2 中，以点 O 为位似中心，将△ABC 放大，使放大后的△A2B2C2 与△
ABC 的对应边的比为 2：1（画出一种即可）．直接写出点 A 的对应点 A2 的坐
4．（3 分）若 A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数 y= 的图象上，则 y1
与 y2 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2
B．y1=y2
C．y1＞y2
D．无法确定
5．（3 分）如图，D，E 为△ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC，若 AD：DB=1：3，
AE=2，则 AC 的长是（ ）
标．
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19．（5 分）如图，一次函数 y=x+2 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、B 两 点，且点 A 的坐标
为（1，m）． （1）求反比例函数 y= 的表达式； （2）点 C（n，1）在反比例函数 y= 的图象上，求△AOC 的面积．
20．（5 分）已知抛物线 y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线 y=x﹣3m+3 的一个交点在 y 轴上，求 m 的值． 21．（5 分）青青书店购进了一批单价为 20 元的中华传统文化丛书．在销售的过
北京四中学度初三上期中考试数学试卷含答案
数学试卷（时间： 120 分钟总分： 120 分）姓名：班级：一、选择题 (本题共 30 分，每题 3 分)1．剪纸是国家级非物质文化遗产，以下剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在 Rt△ABC中，∠ C＝°，若 BC＝，AC＝，则sinA的值为（）9012A ．5B．2 5C．1D．2 5523．将抛物线y4x2向右平移1个单位，再向上平移 3 个单位，获取的抛物线是（）．4x 1 23B． y 4 x 123A yC． y 4 x 1 23D． y 4 x 1 234．如图，长 4m 的楼梯 AB 的倾斜角∠ ABD 为 60°，为了改进楼梯的安全性能，准备重新建筑楼梯，使其倾斜角∠ACD为 45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A． 2 m B． 2 m C．（ 2﹣ 2 ） m D．（ 2﹣ 2 ） m5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1x 2经y2过平移获取抛物线 y 1 x22x ，其对称轴与两段抛2物线所围成的暗影部分的面积是()O x A．2 B.4C. 8D.166．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ ABC的正切值是（）A．2B．2 5C．5D．15527．如图，将线段 AB绕点 O顺时针旋转 90°获取线段 A′B′，则 A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（ 5，﹣2）8．某抛物线的极点为（ 2，﹣ 1），与 x 轴相交于 P、 Q 两点，若此抛物线通过（ 1， a ）、（ 3， b）、（﹣ 1， c ）、（﹣ 3， d ）四点，则 a、b、 c、 d 中最大值是（）A． a B ． b C ． c D ． d9.二次函数 y=ax2+bx+c（ a，b，c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值以下表：x﹣1013y﹣1353以下结论：（ 1）ac＜0；（ 2）抛物线极点坐标为（ 1，5）；2（4）当﹣ 1＜x＜3 时， ax2+（b﹣1）x+c＞0．此中正确的个数为（）A．4个B．3 个C．2 个D．1 个10. 二次函数y22x8 x m满足以下条件：当 2 x 1时，它的图象位于x轴的下方；当6x7时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m的值为（）A．8 B．10 C．42 D．24二、填空题（本题共18 分，每题 3 分）11．若090 , tan 1, 则sin. 212．已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与 x 轴的一个交点为（— 1，0），则它与 x 轴的另一个交点为．13．长方体底面周长为50cm，高为 10cm．则长方体体积 y（cm3）关于底面的一条边长 x（cm）的函数分析式是 . 此中 x 的取值范围是 .14．将含有 30°角的直角三角板 OAB如图搁置在平面直角坐标系中， OB 在 x 轴上，若 OA=2，将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75°，则点 A 的对应点 A′的坐标为______.EAFDC B第14题第15题15．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的地址，将此中一个三角尺绕着点 C 按逆时针方向旋转至△ DCE的地址，使点 A 恰好落在边 DE上， AB与 CE订交于点 F．已知∠ ACB=∠DCE=90°，∠ B=30°， AB=8cm，则 CF=_______ cm．16．定义：直线 y=ax+b(a ≠0) 称作抛物线 y=ax2+bx(a ≠0) 的关系直线 .依据定义回答以下问题：(1)已知抛物线 y=ax2+bx(a ≠0) 的关系直线为 y=x+2, 则该抛物线的极点坐标为 _________；(2)当 a=1 时 , 请写出抛物线 y=ax2+bx 与其关系直线所共有的特色（写出一条即可）： ___________________________________.三、解答题（本题共72分，第 23题 6分，第 26题 4分，第 27题 7分，第 28题 7 分，第 29 题 8 分，其他每题 5 分）1102sin°+tan17．计算: 2016 +-°．2456018．如图，在△ ABC中， AB=12，BC=15， AD⊥BC于点 D，∠ BAD=30°．求 tan C 的值．19 ．如图，为丈量一座山岳CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长 AB=800米，BC=200米，坡角∠ BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求 AB段山坡的高度 EF；（2）求山岳的高度 CF．（1.414 ，CF结果精确到米）20．已知：二次函数y x2bx 3 的图象经过点A(2，5) ．（1）求二次函数的分析式；（2）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标；（3）将（ 1）中求得的函数分析式用配方法化成y (x h)2k的形式．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1 个单位长度，△ABC的三个极点的坐标分别为 A（﹣ 1，3）， B（﹣ 4，0）， C（ 0， 0）（1）画出将△ ABC向上平移 1 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后获取的△A1B1C1；（2）画出将△ ABC绕原点 O顺时针方向旋转 90°获取△A2B2O；（3）在 x 轴上存在一点 P，满足点 P 到 A1与点 A2距离之和最小，请直接写出 P 点的坐标．22．已知：如图，四边形 ABCD中，∠ A＝∠ C＝90°，∠ D＝60°，AD 53，AB＝3，求 BC的长．23.某商店经营小孩益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元. 检查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少10 件，但每件玩具售价不可以高于40 元 .设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x为正整数），月销售利润为y 元 .（ 1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520 元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24.设二次函数y1x2 4 x 3 的图象为C1．二次函数y2ax2bx c( a 0) 的图象与 C1关于 y 轴对称．2（ 1）求二次函数y2ax bx c 的分析式；（ 2）当 3 x ≤0时，直接写出 y2的取值范围；（ 3）设二次函数y2ax2bx c(a 0) 图象的顶点为点 A，与 y 轴的交点为点B，一次函数 y3kx m ( k，m为常数，k≠0)的图象经过A，B两点，当 y2y3时，直接写出 x 的取值范围．．如图，设△ ABC和△ CDE都是正三角形，且∠ EBD＝o，2570A求∠ AEB的度数。
北京市北京第四中学2019届人教版九年级上数学期中模拟卷一(解析版)
北京市第四中学2018-2019（上）人教版九年级数学期中模拟卷一一、选择题1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. x2+=5B. 3x2+4xy﹣y2=0C. ax2+bx+c=0D. 2x2+x+1=0【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可.【详解】A、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；B、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项错误；C、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4=0的一个解，则a的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】将x=2代入方程可得关于a的方程，解此方程即可得答案.【详解】由题意可得：4-4a+4=0，解得：a=2，故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，熟知使方程两边成立的未知数的值叫方程的解是解题的关键.3.如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（）A. a＞﹣B. a≥﹣C. a≥﹣且a≠0D. a＞且a≠0【答案】C【解析】由题意得： .故选C.4.用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）A. （x﹣2）2=2B. （x+2）2=2C. （x﹣2）2=﹣2D. （x﹣2）2=6【答案】A【解析】把方程x2-4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=-2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=-2+4，配方得（x-2)2=2，故选：A．5.设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（）A. ﹣4B. 0C. 4D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据方程的系数利用根与系数的关系找出α+β=﹣1，α•β=﹣2，将（α﹣2）（β﹣2）展开后代入数据即可得出结论．∵方程+x﹣2=0的两个根为α，β，∴α+β=﹣1，α•β=﹣2，∴（α﹣2）（β﹣2）=α•β﹣2（α+β）+4=﹣2﹣2×（﹣1）+4=4．故选：C．考点：根与系数的关系．6.如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）.....................A. （﹣a，﹣b）B. （﹣a．﹣b﹣1）C. （﹣a，﹣b+1）D. （﹣a，﹣b﹣2）【答案】D【解析】【分析】关于原点对称的点的坐标规律：横坐标和纵坐标都互为相反数；平移规律：上加下减；左加右减．在此基础上转化求解即可．把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标和A′对应点A2坐标后求解．【详解】把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1），因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2（-a，-b-1），∴A′（-a，-b-2），故选D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，通过平移把问题转化为学过的知识，从而解决问题，体现了数学的化归思想．7.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠OBC=45°，则下列各式成立的是（）A. b﹣c﹣1=0B. b+c﹣1=0C. b﹣c+1=0D. b+c+1=0【答案】D【解析】试题分析：根据∠OBC=45°，有OB=OC，可设点C，B的坐标为（0，c），（c，0），把点B（c，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得c2+bc+c=0，从而求出关系式．解：∵∠OBC=45°，∴OB=OC，∴点C，B的坐标为（0，c），（c，0）；把点B（c，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得c2+bc+c=0，即c（c+b+1）=0，∵c≠0，∴b+c+1=0．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系．8.下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是（）A. 22B. 24C. 26D. 28【答案】C【解析】试题分析：仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用发现的规律解题即可．解：第一个图形有2+6×0=2个三角形；第二个图形有2+6×1=8个三角形；第三个图形有2+6×2=14个三角形；…第五个图形有2+6×4=26个三角形；故选：C．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，发现图形变化的规律．视频9.如图，△ABD内接于圆O，∠BAD=60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB=2，PD=4，则AD 的长为（）A. 2B. 2C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，由DE是⊙O的直径，可得∠EBD=90°，由圆周角定理可得∠BED=∠BAD=60°，继而得∠BDE=30°，可求得BD、DE长，进而可得OA=OD=2，根据相似三角形的判定可得△OPD∽△BED，从而可得∠POD=∠EBD=90°，再根据勾股定理即可求得结论.【详解】连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD=90°，∵∠BED=∠BAD=60°，∴∠EDB=30°，∴DE=2BE，∵PB=2，PD=6，∴BD=6，∵BD2+BE2=DE2，∴DE=4，BE=2，∴OA=OD==2，∵，，∴，又∵∠ODP=∠BDE，∴△ODP∽△BDE，∴∠POD=∠EBD=90°，∴AD=，故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10.△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，将AB绕着点A逆时针旋转m°（0＜m＜360）至AD，连BD，CD，且△DBC为等腰三角形，设△DBC的面积为s，则s的值有（）个．A. 2B. 3C. 4．D. 5【答案】B【解析】【分析】将边AB绕点A逆时针旋转，由△BDC为等腰三角形时，BD、BC、CD均可以为底边，结合图形分情况讨论即可得到s的取值.【详解】如图：分四种情况，由图可知m的取值为：15°，60°，195°，330°，由于当m=60°与330°时，s相同.故△DBC的面积s的值有3个，故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键.二、填空题11.如果x：y=2：3，那么=_____．【答案】【解析】解：∵x：y=2：3，∴设x=2k，则y=3k（k≠0），∴==．故答案为：．点睛：本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．12.有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是____．【答案】2【解析】【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形,这个圆形纸片的边缘即为其外接圆,根据正方形的对角线的长度与其外接圆半径的关系即可求出.【详解】正方形的边长是4,则正方形的对角线的长为这个圆形纸片的最小半径是 .故答案为:【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识.注意正方形的外接圆半径与的关系,这是一个需要熟记的内容. 13.在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）弧AC的长为_____（结果保留π）；（2）点B与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为_____．【答案】(1). (1)(2). （2）（5，1）或（1，3）或（7，0）【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，然后根据弧长的公式即刻得到结论；（2）由弦AB与弦BC的垂直平分线的交点为圆心，找出圆心O′的位置，确定出圆心坐标，过点B与圆相切时，根据切线的判定方法得到∠O′BF为直角时，BF与圆相切，根据网格找出满足条件的F坐标即可．【详解】(1)根据过格点A，B，C作一圆弧，由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′(2,0)，∴半径连接则∴弧AC的长故答案为：(2)∵由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′(2,0)，∴只有时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF=BD=2，∴F点的坐标为：(5,1)或(1,3)或(7,0)，则点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是(5,1)或(1,3)或(7,0)，共3个.故答案为：(5,1)或(1,3)或(7,0).【点睛】考查了由不共线三点确定一个圆，切线的性质,弧长公式等，找出圆心是解题的关键.14.参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____．【答案】x（x﹣1）=45【解析】【分析】利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为x（x-1）解决问题即可．【详解】由题意列方程得，x（x-1）=45．故答案为：x（x-1）=45．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟知x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为x（x-1）这一基本数量关系是解题的关键.15.抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____．【答案】y=3（x﹣1）2﹣2【解析】【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，即可得答案．【详解】抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2，故答案为：y=3（x-1）2-2.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．16.当x=___时，代数式2x2+8x﹣3的最________，（“大”或者“小”）值为_______.【答案】(1). -2(2). 小(3). ﹣11【解析】【分析】把代数式配方，然后借助二次函数的最值问题解答即可．【详解】2x2+8x﹣3=2（x+2）2-11，∵二次项系数为2>0，∴代数式2x2+8x﹣3，当x=-2时有最小值，最小值为-11，故答案为：-2，小，-11.【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把代数式配方写成二次函数顶点式形式是解题的关键．三、解答题17.解方程：x2﹣2x=8．【答案】x1=4，x2=﹣2．【解析】【分析】方程整理为一般式后利用因式分解法进行求解即可得.【详解】方程整理得：x2﹣2x﹣8=0，因式分解得：（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2．【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，根据一元二次方程的系数特点灵活选用恰当的方法求解是解题的关键.18..已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，且过点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线y=﹣2x+1上方．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据对称轴即可求出b的值，根据过点C（0，3），即可求出c的值.（2）设y1=x2﹣4x+3，y2=﹣2x+1，作差，配方，即可证明.【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∴，得，b=﹣4，∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，3），∴c=3，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3；（2）证明：设y1=x2﹣4x+3，y2=﹣2x+1，则y1﹣y2=（x2﹣4x+3）﹣（﹣2x+1）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞0，∴y1＞y2，∴该抛物线恒在直线y=﹣2x+1上方．【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键.19.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（2，0）．【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．【详解】（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）△PAB如图所示，P（2，0）．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=10cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）x=5，阴影部分的面积为（﹣25）cm2．【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形相似；（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解．【详解】（1）∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，又∵OF⊥AC，∴OF∥BC；（2）∵AB⊥CD，AB是直径，∴，∴∠CAB=∠BCD，又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，∴△AFO≌△CEB；（3）连接DO，∵AB⊥CD，∴CE=CD=5cm，在△OCB中，OC=OB=OE+BE=x+5（cm），根据勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2，解得：x=5，即OE=5cm，∴tan∠COE=，∴∠COE=60°，∴∠COD=120°，∴扇形COD的面积是：cm2，△COD的面积是：CD•OE=×10×5=25cm2∴阴影部分的面积是：（﹣25）cm2．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形以及扇形的面积等，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键．21.已知⊙O的半径为5，EF是长为8的弦，OG⊥EF于点G，点A在GO的延长线上，且AO=13．弦EF 从图1的位置开始绕点O逆时针旋转，在旋转过程中始终保持OG⊥EF，如图2．[发现]在旋转过程中，（1）AG的最小值是，最大值是．（2）当EF∥AO时，旋转角α=．[探究]若EF绕点O逆时针旋转120°，如图3，求AG的长．[拓展]如图4，当AE切⊙O于点E，AG交EO于点C，GH⊥AE于H．（1）求AE的长．（2）此时EH= ，EC= ．【答案】发现：（1）10，16；（2）90°或270°；探究：AG=；拓展：（1）AE=12；（2），．【解析】【分析】发现：（1）根据垂径定理得：在Rt△EOG中，根据勾股定理求出OG=3，由旋转知，点G的轨迹是以点O为圆心，OG=3为半径的圆，即可求出AG的最大值与最小值.（2）根据OG⊥EF，EF∥OA，得出OG⊥OA，即可求出旋转角度.探究：过点G作GQ⊥OA于Q，在Rt△OQG中，求出∠GOQ的度数，根据含角的直角三角形的性质求出即可求出AG的长拓展：（1）根据切线的性质得到∠OEA=90°，根据勾股定理即可求出AE的长.（2）过点G作GP⊥OE于P，易证四边形EHGP是矩形，证明△OGE∽△OPG，根据相似三角形的性质得到即可求出的长度，即可求出EH的长度，再根据△AEC∽△AHG，求出EC的长度. 【详解】发现：（1）如图1，连接OE，∵OG⊥EF，∴在Rt△EOG中，OE=5，根据勾股定理得，OG=3，由旋转知，点G的轨迹是以点O为圆心，OG=3为半径的圆，∴AG最大=OA+OG=13+3=16，AG最小=OA﹣OG=13﹣3=10，故答案为：10，16；（2）∵OG⊥EF，EF∥OA，∴OG⊥OA，∴旋转角α=90°或270°，故答案为90°或270°；探究：如图3，过点G作GQ⊥OA于Q，在Rt△OQG中，∠GOQ=180°﹣120°=60°，OG=3，∴∴在Rt△AQG中，拓展：（1）∵AE切⊙O于E，∴∠OEA=90°，在Rt△AEO中，（2）如图4，过点G作GP⊥OE于P，∵HG⊥AE，OE⊥AE，∴四边形EHGP是矩形，∴HG=EP，EH=PG，∵∠OGE=∠OPG=90°，∠GOE=∠POG，∴△OGE∽△OPG，∴∴∴∴∵OE⊥AE，HG⊥AE，∴CE∥HG，∴△AEC∽△AHG，∴∴∴故答案为：【点睛】属于圆的综合题，考查圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等，综合性比较强，难度较大.。
2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学试卷-含详细解析
2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学试卷副标题题号四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y = -2（x - 3尸一 4的顶点坐标（）B. (—3,—4)2.3.4.5. A. (-3,4)C. (3,-4)如图，在中，ZC = 90°. AB = 10, AC = 8,siM 等于（）A・5D. (3,4)如图,在ZMBC 中，DE//BC,。
£分别与施,AC 相交于点若4D = 4, DB = 2.则 DE ： 8C 的值为（）A -3C.-若为（一4,无），3（—1,无），C （2,），3）为二次函数y = —（x + 2）2 + 3的图象上的三点,则无，光，％小关系是（）A. yi<y 2< 无B. y 3< y 2< yiC. y 3 <y±< y 2D・ y 2<yi< >3如图是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平而直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为10也.此时水面到桥供的距离是4小.则抛物线的表达式为（）B.-C.；D •:6.7.A 25 2A. y = —x^B.y = _%2C.y = _&/如图，己知匕1 =匕2,若再增加一个条件不一定能使结论△ADEdABC 成立，则这个条件是（）A. Z.D = l B B・X c・X 己知函^y = ax 2+bx+c （a*0）的图象如图.给出下列4个结论：①abc > 0: @b 2 > 4ac: @4a + 2b + c > 0:④2Q + b=0只中正确的有（）个・A. 1B. 2C. 3D. y D.48.二次函数y = ax 2 +bx 的图象如图所示，若一元二次方程。
亍+ bx +m-l = 0有两个不相等的实数根，则整数力的最小值为（）A.O D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在AtZk/BC 中，ZC = 90°. BC = 4. tanA =贝UC =10.若当 = ：,则？=11.如图是一位同学设计的用手电简来测量某古城瑙高度的示意图.点户处放一水平的平面镜，光线从点A 出 发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，己知CD LBD.测得= 2米.BP = 3米.PD = 12米.那么该古城墙的高度CD 是______米.12.抛物线y = —2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是______13.已知二次函fty = x -x+im- 1的图象与］轴有公共点，则〃，的取值范围是214.如图，抛物线y=a”与直线、=故+。
2019-2020学年北京第四中学初三上册期中考试试卷数学.doc
数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的．#1．已知1sin2A=，则锐角A的度数是（）．A．30︒B．45︒C．60︒D．75︒【答案】A【解析】1sin2A=，则锐角A的度数30︒．#2．二次函数2(+1)2y x=--的最大值是（）．A．2-B．1-C．1D．2【答案】A【解析】二次函数2(+1)2y x=--的最大值是2-．#3．如图，在ABC△中，DE BC∥，:1:2AD DB=，若2DE=，则BC等于（）．A．4B．6C．12D．18【答案】B【解析】∵DE BC∥，∴13 DE AD ADBC AB AD DB===+，∴36BC DE==．#4．把抛物线21y x=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）．A．()231y x=+-B．()233y x=++C．()231y x=--D．()233y x=-+【答案】C【解析】抛物线21y x=+向右平移3个单位得2(3)1y x=-+，12再向下平移2个单位得2(3)1y x =--．#5．如图，在ABC △中，D 为AC 边上一点，若DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD 的长为（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C【解析】∵在ABC △中，D 为AC 边上一点，DBC A ∠=∠，C C ∠=∠， ∴BCD ACB ∽△△，BC 与AC 是对应边，CD 与BC 是对应边， ∵6BC =，3AC =， ∴BCD △与ACB △的相似比是63，623CD BC ==．#6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（ ）．A ．512B ．513C ．1213D ．125【答案】B【解析】由图知90BCD B A B ∠+∠=∠+∠=︒， ∴BCD A ∠=∠，在Rt ABC △中，由勾股定理得：2213AB AC BC =+=． ∴5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==．#7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将BCE △绕点C 旋转得到ACD △，则cos ABC ∠的值等于（ ）．3A ．33 B ．12 C ．13D ．1010 【答案】D【解析】过点C 作CF AB ⊥于点F ， 由旋转的性质知AC BC =， ∴BF AF =．由勾股定理知2AB =，22125BC =+=．∴2102cos 105BF ABC BC ∠===．#8．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列结论：①0a <，0b <②20a b ->③0a b c ++>④0a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④【答案】C【解析】函数开口向下，∴0a <； 对称轴在y 轴右侧，∴02ba->，∴0b >， ∴20a b -<；当1x =，0y a b c =++>； 当1x =-时，0y a b c =-+<； 当1x >时，y 随x 的增大而减小． 故③④⑤正确．#9．若抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点是点M ，直线2y x =+与坐标轴分别交4于点A 、B 两点，则ABM △的面积等于（ ）．A ．6B ．3C ．52D ．32【答案】B【解析】抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点M 坐标为(,1)m m -， 即M 点在直线1y x =-，直线2y x =+与坐标轴交点为(0,2)和(2,0)-， ∵直线1y x =-与2y x =+平行，∴ABM △底边AB 上的高等于平行线间距离， 由图知1132223222ABM S AB BD =⋅=⨯⨯=△．#10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D --在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P '是点P 关于BD 的对称点，PP '交BD 于点M ，若BM x =，OPP '△的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）．【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD DA ===，132OA AC ==，142OB BD ==，AC BD ⊥，①当4BM ≤时，∵点P '与点P 关于BD 对称， ∴P P BD '⊥， ∴P P AC '∥， ∴P BP CBA '∽△△，∴PP BM AC OB '=，即64PP x '=， xyxyxyxyOOOODAB C 4833338484485∴32PP x '=，∵4OM x =-，∴OPP '△的面积21133(4)32224y PP OM x x x x '=⋅=⨯-=-+．∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)．②当4BM ≥时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4,0)和(8,0)；综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为．二、填空题（本题共18分，每小题3分）#11．如果23a b b -=，那么ab=________． 【答案】53【解析】23a b b -=， 则332a b b -=，∴53a b =，∴53a b =．#12．已知抛物线225y x x =-+经过两点1(2,)A y -和2(3,)B y ，则1y 与2y 的大小关系是________． 【答案】12y y >【解析】抛物线225y x x =-+对称轴为直线212x -=-=，开口向上， ∵A 点离对称轴更远， ∴12y y >．#13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为_________m ． 【答案】24【解析】设这栋建筑物的高度为m x ，由题意得，2112x=．6解得24x =．∴这栋建筑物的高度约为24m ．#14．已知在ABC △中，3tan4A =，5AB =，4BC =，那么AC 的长等于_________．【答案】47±【解析】如图，在ABC △中，过点C 作CD AB ⊥于点D ． ∴3tan 4DC A AD ==， 设3DC x =，4AD x =，则225AC AD CD x =+=，54BD AD AD x =-=-， 在Rt BDC △中，222BC BD CD =+， 即2216(54)(3)x x =-+，整理得：22216251640925409x x x x x =+-+=-+． 解得475x ±=， ∴547AC x ==±．#15．若关于x 的一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则t 的取值范围是__________． 【答案】31t -<≤【解析】令241y x x t =-+-， ∴函数对称轴为直线422x -=-=． 一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则22421010t t ⎧-⨯+-⎨->⎩≤，解得31t -<≤．#16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值__________． （2）当AE AF +的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF ．D C D C7【答案】（1）5612+．（2）取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．【解析】（1）根据勾股定理可得：22435DB =+=，因为52BE DF ==，所以可得12.52AF BD ==，根据勾股定理可得：22613 2.52AE =+=，所以615612.522AE AF ++=+=， 故答案为：5612+．（2）如图，首先确定E 点，要使AE AF +最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H 使HBC ADB ∠=∠，其次需要构造长度BP 使4BP AD ==，根据勾股定理可知22345BH =+=，结合相似三角形选出格点K ，根据14HK HP BC BP ==，得445455BP BH DA ==⨯==，易证ADF △≌PBE △，因此可得到PE AF =，线段AP 即为所求的AE AF +的最小值；同理可确定F 点，因为AB BC ⊥，因此首先确定格点M 使DM DB ⊥，其次确定格点G 使3DG AB ==，此时需要先确定格点N ，同样根据相似三角形性质得到23NM MG DC DG ==，得335355DG DM ==⨯=，易证DFG△≌BEA △，因此可得到AE GF =，故线段AG 即为所求的AE AF +的最小值．故答案为：取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）#17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．【答案】12【解析】23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332322⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭1332=+- 12=．#18．如图，在ABC △和CDE △中，90B D ∠=∠=︒，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥．3AB =，2DE =，6BC =．求CD 的长．8【答案】1CD =【解析】∵在ABC △中，90B ∠=︒， ∴90A ACB ∠+∠=︒． ∵AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=︒． ∴A ECD ∠=∠．∵在ABC △和CDE △中，A ECD ∠=∠，90?B D ∠=∠=， ∴ABC CDE ∽△△． ∴AB BCCD DE=． ∵3AB =，2DE =，6BC =， ∴1CD =．#19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，3DC =，3AC =．（1）求B ∠的度数． （2）求AB 及BC 的长．【答案】（1）30B ∠=︒． （2）6AB =，33BC =．【解析】（1）∵在ACD △中，90C ∠=︒，3CD =，3AC =， ∴3tan 3CD DAC AC∠==．∴30DAC ∠=︒．∵AD 平分BAC ∠，∴260BAC DAC ∠=∠=︒． ∴30B ∠=︒．（2）∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =， ∴26AB AC ==．333tan 33AC BC B===．#20．已知：二次函数m (1)(3)y a x x =--中的x 和y 满足下表： 243y x x =-+… 0 1 2 3 4 5 … 03x << … 3 01-1-8…（1）可求得3y <的值为_________．9（2）求出这个二次函数的解析式． （3）当3y >时，x 的取值范围为． 【答案】（1）3． （2）243y x x =-+． （3）0x <或4x >． 【解析】（1）3y <的值为3． （2）二次函数为2(2)1y a x =--， ∵过点(3,0)， ∴1a =，243y x x =-+．（3）当3y >时，x 的取值范围为0x <或4x >．#21．如图，ABC △各顶点的坐标分别为(1,2)A ，(2,1)B ，(4,3)C ，在第一象限内，以原点为位似中心，画出ABC △的位似图形111A B C △，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点1C 坐标．xy1234567891012345678910CABo【答案】(8,6)． 【解析】1C 坐标(8,6)．xy1234567891012345678910A'B'C'C ABo10#22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30︒的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60︒．求山高CD ．【答案】477.12CD ≈（米）．【解析】过C 作CE AD ∥，作BF CD ⊥，BE AD '⊥． 在Rt CBF △中，易得：sin601603CF BC =⨯︒=， 在Rt ABE '△中，易得：sin30200BE AB '=⨯︒=， 故山高1603200477.12CD =+≈（米）．#23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？ 【答案】房间定价为350元时，利润最大．【解析】设房价为（18010x +）元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，22(18010)(50)(50)2010340800010(17)10890y x x x x x x =+---⨯=-++=--+． 故可得当17x =，即房间定价为180170350+=元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．#24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在ABC △内，90CAE CBE ∠+∠=︒．（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：CAE CBF ∽△△．（ii ）若1BE =，2AE =，求CE 的长．（2）如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EFk BC FC==时，若1BE =，2AE =，3CE =，则k 的值等于_________．【答案】（1）（）证明见解析． （ii ）6CE =． （2）104． 【解析】（1）（i ）∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形， ∴::2AC BC CE CF ==， ∴45ACB ECF ∠=∠=︒， ∴ACE BCF ∠=∠， ∴CAE CBF ∽△△． （ii ）∵CAE CBF ∽△△，∴CAE CBF ∠=∠，::AE BF AC BC =， 又∵90CAE CBE ∠+∠=︒， ∴90CBF CBE ∠+∠=︒， ∴90EBF ∠=︒，又∵::2AE BF AC BC ==，2AE =， ∴22BF =， ∴2BF =，∴2223EF BE BF =+=， ∴2226CE EF ==， ∴6CE =．（2）104．#25．抛物线顶点坐标为点(1,4)C ，交x 轴于点(3,0)A ，交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式．（2）设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出ABP △面积的最大值．（3）设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使ABQ S m =△，则m 的值等于__________．【答案】（1）223y x x =-++．（2）当32x =时，ABP △面积的最大值是278．（3）278．【解析】26．有这样一个问题：探究函数11y x x =+-的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数11y x x =+-的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数11y x x =+-的自变量x 的取值范围是_______． （2）下表是y 与x 的几组对应值x… 3-1-12 34 54 32 2 34… y …134- 32- 1-32- 134-21472372m…求m 的值．（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2,3)，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________． 【答案】（1）1x ≠；（2）133m =；（3）（4）增减性，对称性，最值等 【解析】（1）1x ≠．（2）由表格知当0x =时，1y =-． ∴可以设该函数为21y ax bx =+-，代入点3(1,)2--和(2,3)．得3124213a b a b ⎧--=-⎪⎨⎪+-=⎩， 解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴该函数为2112y x x =+-．∴当4x =，21441112y =⨯+-=．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o【解析】27．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =+交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标．（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标．（3）若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （1,2），B （-3,2）；（2）221y x x =+-，顶点（-1，-2）；（3）229a ≤<．#28．如图1，ABC △为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒︒≤≤）得到线段AQ ．@（1）直接写出APPF的值为___________． 【答案】2【解析】连接EF ，∵点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =，∴EFP BAP ∽△△， ∴2AP AB PF EF==． @（2）如图2，当180α=︒时，延长BE 到D 使得ED BE =，连接QD ，证明QD BD ⊥．【答案】证明见解析．【解析】如图，作AH BD ⊥于H ，设2AB BC a ==，则5BE AF a ==， 在AHE △和BCE △中，90AHE C AEH BEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∴AHE BCE ∽△△， ∴EH AE CE BE =， 即5EF a a a=， ∴55EH a =， ∴185315PH PE EF BE EH a =+=+=，453PD PE DE a =+=．∴852155453PH PD ==， 又25PA PD =， ∴在PAH △和PQD △中，QPD APE PA PHPD PD∠=∠⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴PAH PQD ∽△△，∴90PDQ PHA ∠=∠=︒， ∴QD BD ⊥．@（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当A M P △为等腰三角形时，AM P △的底角正切值为___________．【答案】34或，13或3．【解析】①当AM AP =时，此时APE ∠为等腰三角形AM P △的底角，如图所示，作EI AP ⊥于I ，依然设2AC BC a ==，设PI xa =，则25()3AI AP PI x a =-=-，则AE a =，53PE a =， 在Rt AEI △和Rt PEI △中，由勾股定理知：22222EI AE AI PE PI =-=-，即22222255()()()33a x a a xa --=-， 解得4515x =， ∴55EI =，∴3tan 4EI APE PI ∠==． ②如图，当AM PM =时， 此时APE ∠仍为APM △的底角， 由①知3tan 4EI APE PI ∠==． ③当PM PA =时，当M 不与B 点重合时，如图， 此时为M '，作AH BM '⊥， 由（2）知55EH a =， ∴2515M H PM PH a ''=-=， 222255AH AP PH a =-=， ∴tan 3AHAM H M H'∠=='． 当M 与B 点重合时，如图，此时为M ''，作PN AB ⊥于点N ， 则2223PN PB BN a =-=， ∴1tan 3PN PM N NB ''∠==． 综上所述，AM P △的底角正切值为34或，13或3．#29．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++、抛物线③221y x x =++与已知抛物线①是否关联．（2）抛物线211:(9)68C y x =-++，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）A 为抛物线()211:968C y x =-++的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线的顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其直角顶点C 在直线10x =-上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）②．（2）2211(1)2,(17)288y x y x =+-=+-．（3）(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．【解析】（1）∵①抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --， ∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-，∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =-时，2211210y x x =++=-+=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)， 经验算：(1,2)在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的．（2）抛物线1C ：21(9)28y x =-+-的顶点M 的坐标为(9,6)-，∵动点P 的坐标为(,2)t ， ∴点P 在直线2y =上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线2y =的垂线，垂足为E ，F ，则4M E N F ==， ∴点N 的纵坐标为2-，当2y =-时，21(9)628x +-+=-，解得：117x =-，21x =-，①设抛物2C 的解析式为：2(17)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上， ∴26(9)217a =-+-，∴18a =．∴抛物线2C 的解析式为：21()8217y x =+-；②设抛物2C 的解析式为：2(1)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上，∴26(1)29a =-+-，∴18a = ．∴抛物线2C 的解析式为：21()821y x =+-．（3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF △≌CAH △，∴1CF AH ==，6BF CH c ==-，点B 的坐标为(4,1)c c ---，当点B 在抛物线211:(9)68y x C =-++上时，211(49)68c c -=---++，解得：142c =+或142c =-．②当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B '点，过点B '作y 轴的垂线，垂足为D ，同理可得：点B '的坐标为(16,1)c c -++，当点B '在抛物线1C ：21(9)68y x =-++上时，211(169)68c c +=--+++，解得：3c =．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．参考答案一、 选择： 题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10 答案 A ABCCBDCBD二、填空：16．（Ⅰ）5612+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．题号 111213 1415 16答案5312y y ＞2447±31t -≤<5612+。
2019-2020学年北京第四中学初三上册期中考试试卷数学.doc
数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的．#1．已知1sin2A=，则锐角A的度数是（）．A．30︒B．45︒C．60︒D．75︒【答案】A【解析】1sin2A=，则锐角A的度数30︒．#2．二次函数2(+1)2y x=--的最大值是（）．A．2-B．1-C．1D．2【答案】A【解析】二次函数2(+1)2y x=--的最大值是2-．#3．如图，在ABC△中，DE BC∥，:1:2AD DB=，若2DE=，则BC等于（）．A．4B．6C．12D．18【答案】B【解析】∵DE BC∥，∴13 DE AD ADBC AB AD DB===+，∴36BC DE==．#4．把抛物线21y x=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）．A．()231y x=+-B．()233y x=++C．()231y x=--D．()233y x=-+【答案】C【解析】抛物线21y x=+向右平移3个单位得2(3)1y x=-+，再向下平移2个单位得2(3)1y x =--．#5．如图，在ABC △中，D 为AC 边上一点，若DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD 的长为（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C【解析】∵在ABC △中，D 为AC 边上一点，DBC A ∠=∠，C C ∠=∠， ∴BCD ACB ∽△△，BC 与AC 是对应边，CD 与BC 是对应边， ∵6BC =，3AC =， ∴BCD △与ACB △的相似比是63，623CD BC ==．#6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（ ）．A ．512B ．513C ．1213D ．125【答案】B【解析】由图知90BCD B A B ∠+∠=∠+∠=︒， ∴BCD A ∠=∠，在Rt ABC △中，由勾股定理得：2213AB AC BC =+=． ∴5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==．#7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将BCE △绕点C 旋转得到ACD △，则cos ABC ∠的值等于（ ）．A ．33 B ．12 C ．13D ．1010 【答案】D【解析】过点C 作CF AB ⊥于点F ，由旋转的性质知AC BC =， ∴BF AF =．由勾股定理知2AB =，22125BC =+=．∴2102cos 105BF ABC BC ∠===．#8．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列结论：①0a <，0b <②20a b ->③0a b c ++>④0a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④【答案】C【解析】函数开口向下，∴0a <； 对称轴在y 轴右侧，∴02ba->，∴0b >， ∴20a b -<；当1x =，0y a b c =++>； 当1x =-时，0y a b c =-+<； 当1x >时，y 随x 的增大而减小． 故③④⑤正确．#9．若抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点是点M ，直线2y x =+与坐标轴分别交于点A 、B 两点，则ABM △的面积等于（ ）．A ．6B ．3C ．52D ．32 【答案】B【解析】抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点M 坐标为(,1)m m -， 即M 点在直线1y x =-，直线2y x =+与坐标轴交点为(0,2)和(2,0)-， ∵直线1y x =-与2y x =+平行，∴ABM △底边AB 上的高等于平行线间距离， 由图知1132223222ABM S AB BD =⋅=⨯⨯=△．#10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D --在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P '是点P 关于BD 的对称点，PP '交BD 于点M ，若BM x =，OPP '△的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）．【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD DA ===，132OA AC ==，142OB BD ==，AC BD ⊥，①当4BM ≤时，∵点P '与点P 关于BD 对称， ∴P P BD '⊥， ∴P P AC '∥， ∴P BP CBA '∽△△，∴PP BM AC OB '=，即64PP x'=，∴32PP x '=，xyxyxyxyOOOODAB C 483333848448∵4OM x =-，∴OPP '△的面积21133(4)32224y PP OM x x x x '=⋅=⨯-=-+．∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)．②当4BM ≥时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4,0)和(8,0)；综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为．二、填空题（本题共18分，每小题3分）#11．如果23a b b -=，那么ab=________． 【答案】53【解析】23a b b -=， 则332a b b -=，∴53a b =，∴53a b =．#12．已知抛物线225y x x =-+经过两点1(2,)A y -和2(3,)B y ，则1y 与2y 的大小关系是________． 【答案】12y y >【解析】抛物线225y x x =-+对称轴为直线212x -=-=，开口向上， ∵A 点离对称轴更远， ∴12y y >．#13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为_________m ． 【答案】24【解析】设这栋建筑物的高度为m x ，由题意得，2112x=．解得24x =．∴这栋建筑物的高度约为24m ．#14．已知在ABC △中，3tan 4A =，5AB =，4BC =，那么AC的长等于_________．【答案】47±【解析】如图，在ABC △中，过点C 作CD AB ⊥于点D ． ∴3tan 4DC A AD ==， 设3DC x =，4AD x =，则225AC AD CD x =+=，54BD AD AD x =-=-， 在Rt BDC △中，222BC BD CD =+， 即2216(54)(3)x x =-+，整理得：22216251640925409x x x x x =+-+=-+． 解得475x ±=， ∴547AC x ==±．#15．若关于x 的一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则t 的取值范围是__________． 【答案】31t -<≤【解析】令241y x x t =-+-， ∴函数对称轴为直线422x -=-=． 一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则22421010t t ⎧-⨯+-⎨->⎩≤， 解得31t -<≤．#16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值__________． （2）当AE AF +的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF ．【答案】（1）5612+．（2）取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF即为所求．【解析】（1）根据勾股定理可得：22435DB =+=，D CE FD C因为52BE DF ==，所以可得12.52AF BD ==，根据勾股定理可得：22613 2.52AE =+=，所以615612.522AE AF ++=+=， 故答案为：5612+． （2）如图，首先确定E 点，要使AE AF +最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H 使HBC ADB ∠=∠，其次需要构造长度BP 使4BP AD ==，根据勾股定理可知22345BH =+=，结合相似三角形选出格点K ，根据14HK HP BC BP ==，得445455BP BH DA ==⨯==，易证ADF △≌PBE △，因此可得到PE AF =，线段AP 即为所求的AE AF +的最小值；同理可确定F 点，因为AB BC ⊥，因此首先确定格点M 使DM DB ⊥， 其次确定格点G 使3DG AB ==，此时需要先确定格点N ，同样根据相似三角形性质得到23NM MG DC DG ==，得335355DG DM ==⨯=，易证DFG △≌BEA △，因此可得到AE GF =，故线段AG 即为所求的AE AF +的最小值．故答案为：取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）#17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．【答案】12【解析】23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332322⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭1332=+- 12=．#18．如图，在ABC △和CDE △中，90B D ∠=∠=︒，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥．3AB =，2DE =，6BC =．求CD 的长．【答案】1CD =【解析】∵在ABC △中，90B ∠=︒， ∴90A ACB ∠+∠=︒． ∵AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=︒． ∴A ECD ∠=∠．∵在ABC △和CDE △中，A ECD ∠=∠，90?B D ∠=∠=， ∴ABC CDE ∽△△． ∴AB BCCD DE=． ∵3AB =，2DE =，6BC =， ∴1CD =．#19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，3DC =，3AC =．（1）求B ∠的度数． （2）求AB 及BC 的长．【答案】（1）30B ∠=︒． （2）6AB =，33BC =．【解析】（1）∵在ACD △中，90C ∠=︒，3CD =，3AC =， ∴3tan 3CD DAC AC∠==．∴30DAC ∠=︒．∵AD 平分BAC ∠，∴260BAC DAC ∠=∠=︒． ∴30B ∠=︒．（2）∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =， ∴26AB AC ==．333tan 33AC BC B===．#20．已知：二次函数m (1)(3)y a x x =--中的x 和y 满足下表： 243y x x =-+… 0 12 3 4 5 … 03x << …3 0 1-1-8…（1）可求得3y <的值为_________．（2）求出这个二次函数的解析式． （3）当3y >时，x 的取值范围为． 【答案】（1）3． （2）243y x x =-+．（3）0x <或4x >． 【解析】（1）3y <的值为3． （2）二次函数为2(2)1y a x =--， ∵过点(3,0)， ∴1a =，243y x x =-+．（3）当3y >时，x 的取值范围为0x <或4x >．#21．如图，ABC △各顶点的坐标分别为(1,2)A ，(2,1)B ，(4,3)C ，在第一象限内，以原点为位似中心，画出ABC △的位似图形111A B C △，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点1C 坐标．xy1234567891012345678910CABo【答案】(8,6)． 【解析】1C 坐标(8,6)．xy1234567891012345678910A'B'C'C ABo#22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30︒的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60︒．求山高CD ．【答案】477.12CD ≈（米）．【解析】过C 作CE AD ∥，作BF CD ⊥，BE AD '⊥． 在Rt CBF △中，易得：sin601603CF BC =⨯︒=， 在Rt ABE '△中，易得：sin30200BE AB '=⨯︒=， 故山高1603200477.12CD =+≈（米）．#23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？ 【答案】房间定价为350元时，利润最大．【解析】设房价为（18010x +）元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，22(18010)(50)(50)2010340800010(17)10890y x x x x x x =+---⨯=-++=--+． 故可得当17x =，即房间定价为180170350+=元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．#24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在ABC △内，90CAE CBE ∠+∠=︒． （1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：CAE CBF ∽△△．（ii ）若1BE =，2AE =，求CE 的长．（2）如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EFk BC FC==时，若1BE =，2AE =，3CE =，则k 的值等于_________．【答案】（1）（）证明见解析． （ii ）6CE =．（2）104． 【解析】（1）（i ）∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形， ∴::2AC BC CE CF ==， ∴45ACB ECF ∠=∠=︒， ∴ACE BCF ∠=∠， ∴CAE CBF ∽△△． （ii ）∵CAE CBF ∽△△，∴CAE CBF ∠=∠，::AE BF AC BC =， 又∵90CAE CBE ∠+∠=︒， ∴90CBF CBE ∠+∠=︒， ∴90EBF ∠=︒，又∵::2AE BF AC BC ==，2AE =， ∴22BF =， ∴2BF =，∴2223EF BE BF =+=， ∴2226CE EF ==， ∴6CE =．（2）104．#25．抛物线顶点坐标为点(1,4)C ，交x 轴于点(3,0)A ，交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式．（2）设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出ABP △面积的最大值．（3）设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使ABQ S m =△，则m 的值等于__________．【答案】（1）223y x x =-++．（2）当32x =时，ABP △面积的最大值是278．（3）278．【解析】26．有这样一个问题：探究函数11y x x =+-的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数11y x x =+-的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数11y x x =+-的自变量x 的取值范围是_______． （2）下表是y 与x 的几组对应值x… 3-1-12 34 54 32 2 34… y …134- 32- 1-32- 134- 21472372m…求m 的值．（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2,3)，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________． 【答案】（1）1x ≠；（2）133m =；（3）（4）增减性，对称性，最值等 【解析】（1）1x ≠．（2）由表格知当0x =时，1y =-． ∴可以设该函数为21y ax bx =+-，代入点3(1,)2--和(2,3)．得3124213a b a b ⎧--=-⎪⎨⎪+-=⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴该函数为2112y x x =+-．∴当4x =，21441112y =⨯+-=．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o【解析】27．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =+交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标．（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标．（3）若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围． 【答案】（1）A （1,2），B （-3,2）；（2）221y x x =+-，顶点（-1，-2）；（3）229a ≤<．#28．如图1，ABC △为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒︒≤≤）得到线段AQ ．@（1）直接写出APPF的值为___________． 【答案】2【解析】连接EF ，∵点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =，∴EFP BAP ∽△△， ∴2AP AB PF EF==． @（2）如图2，当180α=︒时，延长BE 到D 使得ED BE =，连接QD ，证明QD BD ⊥．【答案】证明见解析．【解析】如图，作AH BD ⊥于H ，设2AB BC a ==，则5BE AF a ==， 在AHE △和BCE △中，90AHE C AEH BEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∴AHE BCE ∽△△， ∴EH AE CE BE =， 即5EF a a a=， ∴55EH a =，∴185315PH PE EF BE EH a =+=+=，453PD PE DE a =+=．∴852155453PH PD ==， 又25PA PD =， ∴在PAH △和PQD △中，QPD APE PA PHPD PD∠=∠⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴PAH PQD ∽△△，∴90PDQ PHA ∠=∠=︒， ∴QD BD ⊥．@（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当AM P △为等腰三角形时，AM P △的底角正切值为___________．【答案】34或，13或3．【解析】①当AM AP =时，此时APE ∠为等腰三角形AM P △的底角，如图所示，作EI AP ⊥于I ，依然设2AC BC a ==，设PI xa =，则25()3AI AP PI x a =-=-，则AE a =，53PE a =， 在Rt AEI △和Rt PEI △中，由勾股定理知：22222EI AE AI PE PI =-=-，即22222255()()()33a x a a xa --=-，解得4515x =， ∴55EI =，∴3tan 4EI APE PI ∠==． ②如图，当AM PM =时， 此时APE ∠仍为APM △的底角， 由①知3tan 4EI APE PI ∠==． ③当PM PA =时，当M 不与B 点重合时，如图，此时为M '，作AH BM '⊥， 由（2）知55EH a =， ∴2515M H PM PH a ''=-=， 222255AH AP PH a =-=， ∴tan 3AHAM H M H'∠=='． 当M 与B 点重合时，如图，此时为M ''，作PN AB ⊥于点N ， 则2223PN PB BN a =-=， ∴1tan 3PN PM N NB ''∠==． 综上所述，AM P △的底角正切值为34或，13或3．#29．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++、抛物线③221y x x =++与已知抛物线①是否关联．（2）抛物线211:(9)68C y x =-++，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）A 为抛物线()211:968C y x =-++的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线的顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其直角顶点C 在直线10x =-上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）②．（2）2211(1)2,(17)288y x y x =+-=+-．（3）(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．【解析】（1）∵①抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --，∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-， ∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =-时，2211210y x x =++=-+=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)， 经验算：(1,2)在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的．（2）抛物线1C ：21(9)28y x =-+-的顶点M 的坐标为(9,6)-，∵动点P 的坐标为(,2)t ， ∴点P 在直线2y =上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线2y =的垂线，垂足为E ，F ，则4ME NF ==， ∴点N 的纵坐标为2-，当2y =-时，21(9)628x +-+=-，解得：117x =-，21x =-，①设抛物2C 的解析式为：2(17)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上， ∴26(9)217a =-+-，∴18a =．∴抛物线2C 的解析式为：21()8217y x =+-；②设抛物2C 的解析式为：2(1)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上，∴26(1)29a =-+-，∴18a = ．∴抛物线2C 的解析式为：21()821y x =+-．（3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF △≌CAH △，∴1CF AH ==，6BF CH c ==-，点B 的坐标为(4,1)c c ---，当点B 在抛物线211:(9)68y x C =-++上时，211(49)68c c -=---++，解得：142c =+或142c =-．②当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B '点，过点B '作y 轴的垂线，垂足为D ，同理可得：点B '的坐标为(16,1)c c -++，当点B '在抛物线1C ：21(9)68y x =-++上时，211(169)68c c +=--+++，解得：3c =．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．参考答案一、 选择： 题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10 答案 A ABCCBDCBD二、填空：16．（Ⅰ）5612+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．题号 111213 1415 16答案5312y y ＞2447±31t -≤<5612+。
2018-2019学年北京四中九年级(上)期中数学模拟试卷(二)含答案解析
2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学模拟试卷（二）一、选择题：1．（3分）（2016•重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：162．（3分）（2018秋•香洲区期末）已知反比例函数y的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．（3分）（2018秋•西城区校级期中）已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则y x的值是（）A．2B．C．4D．84．（3分）（2016•攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4B．﹣1或﹣4C．1或﹣4D．1或45．（3分）（2019•阿城区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．7cos35°C．7tan35°D．6．（4分）（2008•大兴安岭）对于抛物线y（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）7．（3分）（2018秋•西城区校级期中）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，在下面的比例式中，正确的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①③B．①②③C．④⑤⑥D．①③⑤8．（3分）（2018秋•西城区校级期中）黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月9．（3分）（2015•攀枝花）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2C．＜m＜2D．＜m＜2 10．（4分）（2018秋•西城区校级期中）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1二、填空题11．（3分）（2019•朝阳区模拟）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y＝．12．（3分）（2015•岳池县模拟）如果关于x的二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k＝．13．（3分）（2008秋•番禺区期末）小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1＝﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2＝（精确到0.1）．14．（3分）（2009•连云港模拟）如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB＝44米，∠A ＝45°，AC1＝4米，点D2的坐标为（﹣13，﹣1.69），则桥架的拱高OH＝米．15．（3分）（2016•聊城模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是．16．（3分）（2007•丽水）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米．（精确到1米）三、简答题（共8个题，共78分）17．（8分）（2018秋•西城区校级期中）解方程（1）x2﹣2x﹣8＝0（用因式分解法）（2）（x﹣2）（x﹣5）＝﹣2．18．（8分）（2018秋•富顺县期中）.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且过点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．19．（8分）（2014•伊春模拟）已知二次函数y x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．20．（8分）（2012•厦门模拟）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2x+c a ＝0有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为x＝0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，求m的值．21．（12分）（2014秋•横县期中）某商场老板对一种新上市商品的销售情况进行记录，已知这种商品进价为每件40元，经过记录分析发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式．（2）设商场老板每月获得的利润为P（元），求P与x之间的函数关系式；（3）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？22．（5分）（2018秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且，．求证：△ACD∽△ECF．23．（10分）（2019•沂南县模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）（2016•重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．2．（3分）（2018秋•香洲区期末）已知反比例函数y的图象过点P（2，﹣3），则该反比例函数的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【解答】解：∵反比例函数y（k≠0）的图象经过点P（2，﹣3），∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜0，∴该反比例函数经过第二、四象限．故选：C．3．（3分）（2018秋•西城区校级期中）已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则y x的值是（）A．2B．C．4D．8【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3，解得：x＝﹣1，y＝2，则y x＝2﹣1．故选：B．4．（3分）（2016•攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4B．﹣1或﹣4C．1或﹣4D．1或4【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2ax﹣a2＝0，得：4﹣3a﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）＝0，∴a﹣1＝0，或a+4＝0，解得：a＝1或﹣4，故选：C．5．（3分）（2019•阿城区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．7cos35°C．7tan35°D．【解答】解：在Rt△ABC中，cos B，∴BC＝AB•cos B＝7cos35°，故选：B．6．（4分）（2008•大兴安岭）对于抛物线y（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）【解答】解：∵抛物线y（x﹣5）2+3，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．故选：A．7．（3分）（2018秋•西城区校级期中）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，在下面的比例式中，正确的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①③B．①②③C．④⑤⑥D．①③⑤【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∴∵EF∥AB∴△CEF∽△CAB∴∴，∴，则①③⑤正确，②④⑥错误故选：D．8．（3分）（2018秋•西城区校级期中）黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月【解答】解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0时，n＝1，故选：D．9．（3分）（2015•攀枝花）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2C．＜m＜2D．＜m＜2【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，设方程的两根为a、b，则a+b＞0，ab1＞0，而2m+1＞0，∴m﹣2＜0，即m＜2，∴m的取值范围为＜m＜2．故选：D．10．（4分）（2018秋•西城区校级期中）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，﹣2＜0，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），∴y2＞y3＞y1，故选：D．二、填空题11．（3分）（2019•朝阳区模拟）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【解答】解：函数解析式为y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：﹣x2+2（答案不唯一）．12．（3分）（2015•岳池县模拟）如果关于x的二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k＝1．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴有且只有一个交点，∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，∴k＝1．故答案为：1．13．（3分）（2008秋•番禺区期末）小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c＝0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1＝﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2＝2.5（精确到0.1）．【解答】解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x＝﹣1，设函数的另一根为x，则1，解得x＝2.5．14．（3分）（2009•连云港模拟）如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB＝44米，∠A ＝45°，AC1＝4米，点D2的坐标为（﹣13，﹣1.69），则桥架的拱高OH＝7.24米．【解答】解：设抛物线D1OD8的解析式为y＝ax2，将x＝﹣13，y＝﹣1.69代入，解得a∵横梁D1D8＝C1C8＝AB﹣2AC1＝36m∴点D1的横坐标是﹣18，代入y x2里可得y＝3.24又∵∠A＝45°，∴D1C1＝AC1＝4m∴OH＝3.24+4＝7.24m．15．（3分）（2016•聊城模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵2×2﹣1＝3，2×0，∴点A2的坐标是（3，），∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（），∴点A3的坐标是（5，），∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵2×6﹣5＝7，2×0，∴点A4的坐标是（7，），…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×3﹣1，…，∴A n的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1，∵当n为奇数时，A n的纵坐标是，当n为偶数时，A n的纵坐标是，∴顶点A2n+1的纵坐标是，∴△B2n A2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．故答案为：（4n+1，）．16．（3分）（2007•丽水）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是18米．（精确到1米）【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y＝8，把y＝8代入y x2+10得：x＝±4，∴由两点间距离公式可求出EF＝818（米）．三、简答题（共8个题，共78分）17．（8分）（2018秋•西城区校级期中）解方程（1）x2﹣2x﹣8＝0（用因式分解法）（2）（x﹣2）（x﹣5）＝﹣2．【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣4）（x+2）＝0，可得x﹣4＝0或x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）方程整理得：x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得x﹣3＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝3，x2＝4．18．（8分）（2018秋•富顺县期中）.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且过点C（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，∴2，得，b＝﹣4，∵抛物线y＝x2+bx+c过点C（0，3），∴c＝3，∴此抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）证明：设y1＝x2﹣4x+3，y2＝﹣2x+1，则y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣（﹣2x+1）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，∴y1＞y2，∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x+1上方．19．（8分）（2014•伊春模拟）已知二次函数y x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积和周长．【解答】解：（1）把（2，0）、（0，﹣6）代入二次函数解析式，可得，解得，故解析式是y x2+4x﹣6；（2）∵对称轴x4，∴C点的坐标是（4，0），∴AC＝2，OB＝6，AB＝2，BC＝2，∴S△ABC AC•OB2×6＝6，△ABC的周长＝AC+AB+BC＝2+22．20．（8分）（2012•厦门模拟）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2x+c a ＝0有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为x＝0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，求m的值．【解答】解：（1）∵x2x+c a＝0有两个相等的实数根，∴△＝（）2﹣4（c a）＝0，整理得a+b﹣2c＝0 ①，又∵3cx+2b＝2a的根为x＝0，∴a＝b②，把②代入①得a＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形；（2）a，b是方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，∴方程x2+mx﹣3m＝0有两个相等的实数根∴△＝m2﹣4×（﹣3m）＝0，即m2+12m＝0，∴m1＝0，m2＝﹣12．当m＝0时，原方程的解为x＝0（不符合题意，舍去），∴m＝﹣12．21．（12分）（2014秋•横县期中）某商场老板对一种新上市商品的销售情况进行记录，已知这种商品进价为每件40元，经过记录分析发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式．（2）设商场老板每月获得的利润为P（元），求P与x之间的函数关系式；（3）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），由题意得，解得．故y＝﹣4x+360（40≤x≤90）；（2）由题意得，p与x的函数关系式为：p＝（x﹣40）（﹣4x+360）＝﹣4x2+520x﹣14400，（3）当P＝2400时，﹣4x2+520x﹣14400＝2400，解得：x1＝60，x2＝70，故销售单价应定为60元或70元．22．（5分）（2018秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且，．求证：△ACD∽△ECF．【解答】证明：∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，又∵，∴△ACB∽△ECD，∴∠A＝∠E，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠ECD﹣∠BCD，即∠ACD＝∠ECF，∴△ACD∽△ECF．23．（10分）（2019•沂南县模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．【解答】解：（1）如图1，延长EB交DG于点H，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，，∴Rt△ADG≌Rt△ABE，∴∠AGD＝∠AEB，∵∠HBG＝∠EBA，∴∠HGB+∠HBG＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图2，过点A作AP⊥BD交BD于点P，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在△DAG和△BAE中，，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴DG＝BE，∵∠APD＝90°，∴AP＝DP，∵AG＝2，∴PG，∴DG＝DP+PG，∵DG＝BE，∴BE．。
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2019北京四中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1．（2分）下列图标中，是中心对称的是（）A．B．C．D．2．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，3）3．（2分）已知3x＝2y，那么下列式子中一定成立的是（）A．x+y＝5 B．＝C．＝D．4．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD＝6，BD＝2，AE＝9，则EC的长是（）A．8 B．6 C．4 D．35．（2分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAC 的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．（2分）二次函数y＝﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣3x2﹣1 B．y＝3x2C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣17．（2分）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．28．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x＝﹣2时，y取最大值；③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；其中推断正确的是（）A．①②B．①③C．①③④D．②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．10．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac0（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是．12．（2分）点A（﹣1，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象上，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）13．（2分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为18cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm．14．（2分）北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形．若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9：5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为丈．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表，则在实数范围内能使得y ﹣1＞0成立的x的取值范围是．x……﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ……y…… 6 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 ……16．（2分）如图，点A是抛物线y＝x2﹣4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象过点（1，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标．18．（5分）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB＝6，AD＝4，AC＝5，求AE的长．20．（5分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y…﹣5 0 3 4 3 …（1）求此二次函数的解析式；（2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，﹣2）．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′．（1）画出△A′B′C′；（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．22．（5分）已知二次函数y＝x2﹣kx+k﹣1（k＞2）．（1）求证：抛物线y＝x2﹣kx+k﹣1（k＞2）与x轴必有两个交点；（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△OAC的面积是，求抛物线的解析式．23．（6分）如图，在等边△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA上的点，且满足∠DEF＝60°．（1）求证：BE•CE＝BD•CF；（2）若DE⊥BC且DE＝EF，求的值．24．（6分）某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y＝﹣5x+150．（1）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？25．（6分）小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为0.8米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．27．（7分）已知：在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是平面上一点，连结BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连结AE，CD．（1）在图1中补全图形，并证明：AE⊥CD．（2）当点D在平面上运动时，请猜测线段AD，CE，AB，BD之间的数量关系．（3）如图2，作点A关于直线BE的对称点F，连结AD，DF，BF．若AB＝11，BD＝7，AD＝14，求线段DF的长度．28．（7分）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P（a，b）和抛物线y＝x2+ax+b，我们称P（a，b）是抛物线y＝x2+ax+b的相伴点，抛物线y＝x2+ax+b是点P（a，b）的相伴抛物线．如图，已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（1，4）．（1）点A的相伴抛物线的解析式为；过A，B两点的抛物线y＝x2+ax+b的相伴点坐标为；（2）设点P（a，b）在直线AC上运动：①点P（a，b）的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；②当点P（a，b）的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．2019北京四中初三（上）期中数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣3是抛物线的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．故选：B．3．【分析】根据比例的性质即可得到结论．【解答】解：∵3x＝2y，∴＝，故选：C．4．【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例＝，据此可以求得AC的长度，所以EC＝AC﹣AE．【解答】解：∵AD＝6，BD＝2，∴AB＝AD+BD＝8；又∵DE∥BC，AE＝9，∴＝，∴AC＝12，∴EC＝AC﹣AE＝12﹣9＝3；故选：D．5．【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C，∠ACA'＝90°，∠BAC＝∠B'A'C，由直角三角形的性质可得∠AA'C＝∠CAA'＝45°，即可求解．【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，∴AC＝A'C，∠ACA'＝90°，∠BAC＝∠B'A'C，∴∠AA'C＝∠CAA'＝45°，且∠1＝25°，∴∠B'A'C＝20°，∴∠BAC＝20°，故选：B．6．【分析】由于二次函数y＝﹣3x2+1的图象沿x轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，然后写出点（0，1）关于x轴的对称点的坐标，再利用顶点式即可得到新抛物线的解析式．【解答】解：二次函数y＝﹣3x2+1的图象的顶点坐标为（0，1），点（0，1）关于x轴的对称点的坐标为（0，﹣1），又因为二次函数y＝﹣3x2+1的图象沿x轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，所以所得抛物线的解析式为y＝3x2﹣1．故选：D．7．【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与x轴有一个交点得到△＝0，由此求得a的值．【解答】解：新抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣2+a＝x2+2x﹣1+a，∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，∴△＝4﹣4（﹣1+a）＝0，解得a＝2．故选：D．8．【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点B到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．【解答】解：抛物线的解析式为y＝x2﹣1．10．【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．11．【分析】根据三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，进而得出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故答案为：1：4．12．【分析】分别计算自变量为﹣1、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣2x﹣1＝2；当x＝1时，y2＝x2﹣2x﹣1＝﹣2；∵2＞﹣2，∴y1＞y2，故答案为＞．13．【分析】正确理解小孔成像的原理，因为AB∥CD所以△ABO∽△CDO，则有＝而AB的值已知，所以可求出CD．【解答】解：∵△ABO∽△CDO∴＝，又∵AB＝18cm，∴CD＝8．故答案为：8．14．【分析】设三大殿宫院的宽为x丈，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得，x：40＝9：5，解得，x＝72丈，故答案为：72．15．【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y＝1的自变量x的值即可．【解答】解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，∵x＝﹣1时，y＝1，∴x＝3时，y＝1，根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，∴y﹣1＞0成立的x取值范围是x＜﹣1或x＞3，故答案为：x＜﹣1或x＞3．16．【分析】根据抛物线对称轴解析式设点A坐标为（2，m），作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x＝2，证△AOP ≌△AO′Q得AP＝AQ＝2、PO＝QO′＝m，则点O′坐标为（2+m，m﹣2），将点O′坐标代入抛物线解析式得到关于m的方程，解之可得m的值，即可得答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x对称轴为直线x＝﹣＝2，∴设点A坐标为（2，m），如图，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x＝2，∴∠APO＝∠AQO′＝90°，∴∠QAO′+∠AO′Q＝90°，∵∠QAO′+∠OAQ＝90°，∴∠AO′Q＝∠OAQ，又∠OAQ＝∠AOP，∴∠AO′Q＝∠AOP，在△AOP和△AO′Q中，∵，∴△AOP≌△AO′Q（AAS），∴AP＝AQ＝2，PO＝QO′＝m，则点O′坐标为（2+m，m﹣2），代入y＝x2﹣4x得：m﹣2＝（2+m）2﹣4（2+m），解得：m＝﹣1或m＝2，∴点A坐标为（2，﹣1）或（2，2），故答案为：（2，﹣1）或（2，2）．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】首先把点（1，0）代入函数解析式得出b的数值，进一步利用配方法求得二次函数的顶点坐标即可．【解答】解：把（1，0）代入y＝x2+bx﹣3得1+b﹣3＝0，解得b＝2．二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则此二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【点评】此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法求函数解析式以及配方法是解决问题的关键．18．【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA＝BD，从而得到∠A＝∠ADB，根据∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，从而证得结论．【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA＝BD．∴∠A＝∠ADB．∵∠A＝∠BDE，∴∠ADB＝∠BDE．∴DB平分∠ADE．【点评】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．19．【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形可得关于AE的比例式，代入已知数据计算即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB；（2）∵△AED∽△ACB，∴，∵AB＝6，AD＝4，AC＝5，∴，∴AE＝．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．20．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），则可设顶点式y＝a （x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a的值即；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）观察函数函数图象，当﹣4＜x≤1时，函数的最大值为4，于是可得到y的取值范围为﹣5＜y≤4．【解答】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），设y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入得a（0+1）2+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图，（3）当﹣4＜x≤1时，﹣5＜y≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．21．【分析】（1）由以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′，根据位似的性质，可求得点′、B′、C′的坐标，继而画出△A′B′C′；（2）由（1）即可求得B，C两点的对应点B′，C′的坐标．【解答】解：（1）∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A′B′C′，∴A′（4，0），B′（6，4），C′（10，﹣4）；如图画出△A′B′C′：（2）由（1）得：B′（6，4），C′（10，﹣4）．【点评】此题考查了位似图形变换．注意掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．22．【分析】（1）抛物线与x轴有两个交点，通过证明判别式△＝b2﹣4ac＞0即可；（2）根据题意可得A（1，0），C（0，k﹣1），根据三角形面积即可得到k的值，从而得到抛物线的表达式；【解答】解：（1）根据题意有：△＝k2﹣4k+4＝（k﹣2 ）2，∵k＞2，∴△＞0，所以抛物线与x轴必有两个交点．（2）由y＝x2﹣kx+k﹣1（k＞2）知对称轴x＝＞1，∵x＝0时，y＝1；x＝0，y＝k﹣1＞1，∵点A在点B的左侧，∴A（1，0），C（0，k﹣1），∵△OAC的面积是，∴1×（k﹣1）＝，解得k＝，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了三角函数的定义．23．【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠B＝∠C＝60°，再由已知条件和三角形内角和定理可证明∠BDE＝∠FEC，进而证明△DBE∽△ECF．（2）由相似三角形的性质和已知条件得出BD＝CE，由含30°角的直角三角形的性质得出BE＝BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵∠DEF＝60°，∴∠DEF＝∠B，∵∠DEC是△DBE的外角，∴∠DEC＝∠B+∠BDE，即∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CEF，∴，∴BE•CE＝BD•CF；（2）解：∵△BDE∽△CEF，∴，又∵DE＝EF，即，∴BD＝CE，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，∴＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．24．【分析】（1）根据题意和每月销售量y与销售单价x之间的关系为y＝﹣5x+150，可以写出每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式，然后将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求得销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元．【解答】解：（1）由题意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500，即每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式为w＝﹣5x2+200x﹣1500；（2）∵w＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500，∴当x＝20时，w取得最大值，此时w＝500，答：当销售单价定为20元时，每月可获得最大利润，最大利润为500元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．25．【分析】先求出墙上的影高落在地面上时的长度，再设旗杆的高度h米，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【解答】解：设墙上的影高2米落在地面上时的长度为x米，旗杆的高度为h米，∵某一时刻测得长为1米的竹竿影长为0.8米，墙上的影高为2米，∴＝，解得x＝1.6（米），∴树的影长为：1.6+10＝11.6（米），∴＝，解得h＝14.5（米）．答：学校旗杆的高度14.5米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出旗杆的影长，这是此题的易错点．26．【分析】（1）根据点A的坐标结合线段AB的长度，可得出点B的坐标；（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（3）将抛物线的表达式变形为顶点时，依此代入点A，B的坐标求出t的值，再结合图形即可得出：当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度得到点B，∴点B的坐标为（﹣4+6，﹣2），即（2，﹣2）．（2）将A（﹣4，﹣2），B（2，﹣2）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6．（3）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，∴抛物线的顶点坐标为（t，t+2），∴抛物线的表达式可化为y＝﹣（x﹣t）2+t+2．将A（﹣4，﹣2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，得：﹣2＝﹣（﹣4﹣t）2+t+2，解得：t1＝﹣3，t2＝﹣4，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴﹣4≤t＜﹣3；将B（2，﹣2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t+2，得：﹣2＝﹣（2﹣t）2+t+2，解得：t3＝0，t4＝5，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴0＜t≤5．综上可知，t的取值范围为﹣4≤t＜﹣3或0＜t≤5．【点评】本题考查了点的坐标变化、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的变化，找出点B的坐标；（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（3）代入点A，B的坐标求出t值，利用数形结合找出t的取值范围．27．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBD，可得∠BAE＝∠BCD，由外角性质可得结论；（2）由勾股定理可得AD2＝AH2+DH2，CE2＝CH2+HE2，AC2＝AH2+CH2，DE2＝EH2+DH2，可得结论；（3）将AB＝11，BD＝7，AD＝14，代入（2）的等式，可求CE的长，由“SAS”可证△CBE≌△FBD，可得DF＝CE＝12．【解答】解：（1）由题意可得：设AE与CD的交点于H，∵将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，∴BD＝BE，∠EBD＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBD，且AB＝BC，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）∴∠BAE＝∠BCD，∵∠AHD＝∠ACH+∠CAH＝∠ACB+∠BCD+∠CAH，∴∠AHD＝∠BAE+∠CAH+∠ACB＝90°，∴AE⊥CD；（2）如图，连接AD，CE，DE，∵AE⊥CD；∴AD2＝AH2+DH2，CE2＝CH2+HE2，AC2＝AH2+CH2，DE2＝EH2+DH2，∴AD2+CE2＝AH2+DH2+CH2+HE2＝AC2+DE2，∵∠ABC＝90°＝∠DBE，AB＝BC，BE＝BD，∴AC2＝2AB2，DE2＝2BD2，∴AD2+CE2＝2AB2+2BD2．（2）如图，连接CE，由（2）可知AD2+CE2＝2AB2+2BD2．∴196+CE2＝2×121+2×49，∴CE＝12，∵作点A关于直线BE的对称点F，∴AB＝BF＝BC，∠ABN＝∠BFN，∵∠CBE+∠ABN＝90°，∠FBN+∠FBD＝90°，∴∠CBE＝∠FBD，又∵BC＝BF，BD＝BE，∴△CBE≌△FBD（SAS）∴DF＝CE＝12．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用勾股定理证明AD2+CE2＝2AB2+2BD2的关键．28．【分析】（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10；（2）①直线AC的表达式为：y＝2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，顶点为：（﹣m，﹣m2+2m+2），即可求解；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．【解答】解：（1）a＝b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣2，故答案为：y＝x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y＝x2+ax+b并解得：a＝﹣2，b＝﹣10，故答案为：（﹣2，﹣10）；（2）①由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y＝x2+mx+2m+2，顶点为：（﹣m，﹣m2+2m+2），令x＝﹣m，则m＝﹣2x，则y＝﹣m2+2m+2＝﹣x2﹣4x+2，即抛物线Ω的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+2；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，抛物线与直线AC的交点为点E（0，2）；当y＝﹣2时，即y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣2，解得：x＝﹣2，故点F（﹣2，﹣2）；故0＜x＜﹣2+2，由①知：a＝m＝﹣2x，故：4﹣4＜a＜0．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．。