厦门市海沧中学高二上期末数学理科复习讲义 第一讲 解三角形答案

厦门市海沧中学高二上期末数学 第一讲 解三角形详细答案
1.在锐角ABC ∆中，AB=3，AC=4，其面积33ABC S ∆=，则BC=（ ）
A ．5
B ．13或37
C ．37
D ．13
【答案】D
【解析】 试题分析：三角形面积为A AC AB S ABC sin 21⋅⋅=∆，由33ABC S ∆=，可解得2
3sin =A ，因为三角形为锐角三角形，所以有21cos =
A ，利用余弦定理有13cos 222=⋅-+=A AC A
B A
C AB BC ，故正确选项为
D ．
考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理的运用．
2．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）
A ．102海里
B ．103海里
C ．203海里
D ．202海里
【答案】A
【解析】
试题分析：因为AB=20，∠CAB=30 ，∠ABC=105 ，所以∠ACB=45 ，根据正弦定理0020sin 45sin 30
BC =，所以102BC =，故选A ． 考点：1正弦定理；2、方位角．
3.已知向量(sin ,sin ),(cos ,cos ),sin2,m A B n B A m n C ==⋅= 且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角．
（1）求角C 的大小；
（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-= ，求c 边的长．
【答案】（1）3C π=
；（2）6c =．
【解析】 试题分析：（1）先利用数量积公式得：sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+ ，化简得：
sin 2sin C C =，再有二倍角公式化简即可；（2）由（1）可得3C π
=，由
sin ,sin ,sin A C B 成等差数列得：2c a b =+，()18CA AB AC ⋅-= 得：36ab =，利用余弦定理
可得c 的值．
试题解析：（1）()18CA AB AC ⋅-=
对于,,0sin()sin ABC A B C C A B C ππ∆+=-<<∴+=，
sin .m n C ∴⋅= 又sin 2m n C ⋅= ，.3
,21cos ,sin 2sin π===∴C C C C （2）由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+，
由正弦定理得.2b a c +=()18,18CA AB AC CA CB ⋅-=∴⋅= ，
即.36,18cos ==ab C ab 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，
36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c
考点：1、数量积公式；2、等差中项；3、正弦定理；4、两角和正弦公式、二倍角正弦公式；5、余弦定理．
4.如图，在四边形ABCD 中，AB=8，BC=3，CD=5，3A π∠= ，1cos 7
ADB ∠=．
（Ⅰ）求BD 的长；
（Ⅱ）求BCD ∆的面积．
【答案】（Ⅰ）7；（Ⅱ）
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【解析】
试题分析：（Ⅰ）在ABD ∆中，所以(0,π)ADB ∠∈，因为1cos 7ADB ∠=，所以43sin 7ADB ∠=,根据正弦定理，有sin sin BD AB A ADB =∠∠，代入8,,3
AB A π=∠=解得BD 的值； （Ⅱ）在BCD ∆中，根据余弦定理 222cos 2BC CD BD C BC CD +-∠=⋅，求得1cos 2
C ∠=-，所以2π3
C ∠=． 再由三角形面积公式1sin 2
S BC CD C =⋅ ,即可求得BCD ∆的面积 试题解析：（Ⅰ）在ABD ∆中，因为1cos 7
ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈, 所以43sin 7
ADB ∠=． 根据正弦定理，有
sin sin BD AB A ADB =∠∠ , 代入8,,3AB A π
=∠=
解得7BD =．
（Ⅱ）在BCD ∆中，根据余弦定理222
cos 2BC CD BD C BC CD
+-∠=⋅． 代入3,5BC CD ==，得1cos 2C ∠=-，(0,π)C ∠∈所以2π3
C ∠=, 所以1
2π15335sin 234
BCD S ∆=⋅⋅⋅= 考点：1．正弦定理和余弦定理；2．三角形面积．。