求动点的轨迹方程(方法例题习题测验答案)

求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）

在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难 点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中 没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形 状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：

直接法、定义法、相关点法、参数法与

交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”

求动点轨迹的常用方法

动点P 的轨迹方程是指点 P 的坐标（x, y ）满足的关系式。

1. 直接法

（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；

（2 ）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。

例题 已知直角坐标平面上点 Q （2，0）和圆C ： x 2 y 2 1，动点M 到圆C 的切线长等与|MQ ， 求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线. 解：设动点 M （x,y ），直线MN 切圆C 于No

2 2

依题意：MQ MN ，即MQ MN

,. 2 2 2

而MN MO NO ，所以

2 2

MQ MO 1

,C 、2

2 2 2 ,

（x-2） +y =x +y -1

化简得：x= 4。动点M 的轨迹是一条直线。

2. 定义法

分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点 的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出 轨迹方程。

例题：动圆M 过定点P （- 4，0 ），且与圆C ： x 2 y 2 8x 0相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程。 解：设M （x,y ），动圆M 的半径为 r 。 若圆M 与圆C 相外切，则有 I MC I =r +

4

若圆M与圆C相内切，则有I MC I =r-4

而I MP I =r,所以

I MCI - I MP I =±4

动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M的轨迹为双曲线。其中a=2,

c=4。

动点的轨迹方程为：

2 2

0 L 1

4 12

3.相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点

将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,

例题：已知线段AB的端点的中点M的轨

迹方程。

y°)的变动而变动，且x o、y°可用x、y表示，则

P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。

2 2

'y 4上运动，求线段AB

Q(x o，

即得点

(4,3),端点A在圆C ：(x 1)

B的坐标是

解：设M(x,y), A( X A, y B),

3 y A

y= 2

2 2

则：X A=2X-4, y A =2y-3,因为点A( X A , y B )在圆C : (x 1) y 4 上，所以

2 2

(2x 4) (2y 3) 4

4 X A

x=—

2

点M的轨迹方程为:

(x 2)2 (y D

为圆心，1为半径的圆。

N

\

\ M

A

A

\

H

\

P

点P在直线MN上，NP

动点M的轨迹为以(2,|)

4.参数法

例题：已知定点A( -3,0)，M、N分别为x轴、y轴上的动点(M、N不重合)，且AN MN ,

3 MP。求动点P的轨迹C的方程。

4

解：设 N(O,t), P(x,y)

由NP 3 MP ,得

_ 3 t 2

3

x=2(

x

亍),y -t

= 2『

x t 2 y 2t

所以动点P 的轨迹方程为：y 2 4x

5. 交轨法

例题：如图，在矩形 ABCD 中，AB 8,BC 4,E,F,G,H 分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设

OP OF,CQ CF( 0)。求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹 的方程。

x

2，直线GQ 的方程为

即 y+2=虫-

2

x y-2=-

2

直线 AN 的斜率k AM 3 , 因为 AN

MN ，所以直线MN 的斜率k MN

直线 MN 的方程为y-t=

NP (x,y t), MP

3x ,令 y=0 得 x 工

t 3

(x r y)

,所以点M(匕,0) 3 ,0), Q(4,2 2 ),

两式相乘，消去

即得M

2

的轨迹的方程为—

16

2

y 1(x 则直线EP 的方程为y

练习与答案

1. 设圆C 与圆x 2+ (y.3) 2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为 A

A •抛物线

B •双曲线

C .椭圆

D .圆

2 2 2 2

2. 已知圆M i : (x 4) y 25，圆M 2：(x 4) y

1，一动圆与这两个圆外

切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。

2 o 3. 过点A(4 , 0)作圆O : x +y 2

=4的割线，求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹。

2 2

(x-2) +y =4 (0 < x<1)

2 2

4. 已知圆C : (x 3) +(y-4) =1,动点P 是圆外一点，过 P 作圆C 的切线，切点为 M , 且丨PM| = | PO|( O

为坐标原点)。求动点P 的轨迹方程。

2 2 2

提示：| PO| = | PM|

= PC 1

3x+4y-12=0

2 2 2 2

5.已知圆C 1：(x 4) y 1，圆C 2 ：x

(y 2)

1，动点P 到圆G, C 2上点的距离的最

小值相等 .求点P 的轨迹方程。 解：动点 P 到圆C 1的最短距离为|

PC 1 | -1, 动点 P 到圆C 2的最短距离为| PC 2 | -1,

依题意有: | PC 1 | -1= | PC 2 | -1,

即

| PC 11 = | PC 2 |

所以动点 P 的轨迹为线段 C 1C 2的中垂线。所以动点

P 的轨迹方程为

2x+y-5=0

2

x 2

6. 已知双曲线 一 y 1的左、右顶点分别为 A 1, A 2，点P ( x 「y 2), Q(洛，y )

2

是双曲线上不同的两个动点。求直线 A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程。

解：由A,A 为双曲线的左右顶点知，

A( '、2,o ), A>G ，2,0),

x 2

即直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程为 一

2

2

7.已知曲线C : y x 与直线l : x y 2 0交于两点A(X A ,『A )和B(X B ,Y B )，且X A X B .记

2 2

x y 4

12

1 (x>0)

AP:y

y 1

(x .2) , AQ: y

x 1 v2

y j (x

■■■ 2)，两式相乘

2)，

2

因为点

P

(X 1,y 1)在双曲线上，所以

x

1，即

2

X ： 2

2),

2

所以—y 2

1 ,

2