八年级数学上册2实数7二次根式(第3课时)(新版)北师大版
八年级数学上册 第二章 实数2.7 二次根式说课稿 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册
《二次根式》说课稿一、说教材《二次根式》是北师大版教材数学八年级上册第二章《实数》的第七节，是“数与代数”的重要内容。
这一内容是在平方根的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质。
使学生对算数平方根有更深认识和理解。
因此，教材在编排上就围绕算数平方根这个知识的主轴，以学生熟悉的相关问题展开教学内容。
而本课时的教学内容就是让学生在积极的参与中来学习《二次根式》，丰富对二次根式意义的理解，为学生学会确定被开方数中字母的取值X围打下扎实的基础。
二、说教学目标课标要求：学生要学会学习，自主学习，要为学生的终生学习打下坚实的基础，根据新课程标准的要求和教材所处的地位，以及学生的心理特点和认知规律，我确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：能够理解二次根式的意义，会确定被开方数中字母的取值X围。
2、能力目标：通过动手练习，应用拓展，体验经历知识的形成过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
3、情感目标：通过课堂练习，培养学生解决问题的能力，促进学生勇于面对问题的能力。
为达到以上教学目标，本节课的教学重点为：理解二次根式的意义和基本性质，会求解简单的被开方数中字母的取值X围。
本节课的教学难点是：二次根式的基本性质的灵活运用。
为辅助教学，我制作了多媒体课件。
三、说教法、学法《新课程标准》指出：“学生是学习活动的主体，教师是学习活动的组织者，引导者和合作者”。
在本节课教学方法中，根据学生的年龄特征和已有的知识基础，注重加强知识间的纵向联系，复习引入，揭示课题，让学生体会数学学科知识的联系性和严密性。
在具体的教学活动中，让学生新身经历由具体到抽象的认知过程，解决问题的过程，体验探索成功的快乐。
学生通过自主学习，动手练习，独立思索，完善自己的想法，形成自己独特的学习方法，古语说得好“授人以鱼，不如授之以渔。
”我们教师应当引导学生自主地去认识探究，解决问题，让学生体验学数学，用数学的快乐。
四、说教学过程接下来，我将介绍一下本节课的教学过程。
2.7二次根式(第三课时)(课件)八年级数学上册(北师大版)
分层作业
【能力提升作业】
5.在一个边长为 (6 15 5 5) cm的正方形内部，挖去一个边 长为 (6 15 5 5)cm的正方形，求剩余部分的面积.
解：由题意得，
(6 15 5 5)2 (6 15 5 5)2 (6 15 5 5) (6 15 5 5) (6 15 5 5) (6 15 5 5) 12 15 10 5 600 3(cm2 ).
；
E
直接法--面积公式
解：作DE AB于点E.可得：
DE 3 2; DC 2; AB 5 2.
S梯形ABCD
1（DC 2
AB） DE
1 ( 2 5 2) 3 2 18 2
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， 试求图中梯形 ABCD的面积.
；
间接法--割补--补
如图，构造长方形AEFG.
新课标 北师大版 八年级上册
第二章 实数 2.7二次根式（第三课时）
学习目标
1.进一步理解二次根式的概念，熟练利用二次根式的 性质进行二次根式的化简.
2.熟练进行二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合 运算.
3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题，通过独 立思考，能选择合理的方法解决问题．
复习提问
耐心思想,增强了学习信心和兴趣.
当堂测试
1. 已知a= +1，b= -1，则a2+b2的值为（ B ）
当堂测试
2. 若
等于（ C ）
=0 ，则化简
当堂测试
3.计算： (1) 5 2 25 (3)( 2 4 ) 10 5
(2)2 12 1 48 3
(4)2 80 45 1 5
八年级数学上册第二章实数7二次根式教学课件(新版)北师大版
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
知识讲解
塔座
50 m
?m
am 塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为___a_2 _2_5_0_0_ m.
下球体
【解析】选C. A项中只有当x≤ -2时，才是二次根式， 故A项不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式， 故B项不一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞ 0，所以C项一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二 次根式，所以D项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
1. 4 × 9 = _6_
4 9 _6_
2. 16 25 20
16 25 20
用你发现的规律填空，并用计算器验算： 1. 2 3 _＝__ 6 2. 2 5 _＝__ 10
一般地，对于二次根式的乘法有： a b ab (a≥0,b≥0)
a b ab (a≥0,b≥0)
学习目标
1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单 的二次根式的乘法运算. 2.掌握二次根式的除法运算法则，并能够应用除法法则 进行计算.
温故知新
1.最简二次根式的定义
2. ab a· b (a 0,b 0).
3. a a a 0, b 0
b
b
知识讲解
计算下列各式， 观察计算结果，你发现什么规律？
【例题】 【例例21.化】简化简：： （1）16 81.（2） 4a 2b3 .
【解析解】: (1) 16 81 16 81 4 9 36.
八年级数学上册2.7.3二次根式教案北师大版
课题：2。
7。
3二次根式教学目标：1。
继续理解二次根式的概念，熟练二次根式的化简,熟练进行二次根式的简单四则运算并解决简单的实际问题.2。
利用二次根式的化简解决数学问题的过程中,掌握分析问题、解决问题的一些方法,并通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．3.在运算过程中巩固知识,感受问题解决方法的多样性,在小组交流中总结方法．教学重、难点：重点:熟练地进行简单的二次根式的混合运算.难点：选择合理的方法进行有关二次根式的混合运算.课前准备：多媒体课件.教学过程：一、前置诊断，复习引入活动内容：1．什么是二次根式?它有哪些性质？2．判断下面哪个是二次根式？CA4．下列二次根式中,是最简二次根式是（）AB C D．6．计算:(1）-；（2；(3)-⎝ （4)2．处理方式：教师提问,学生回答．计算题学生板演练习，教师指导点评．在练习过程中,学生可能出现的问题（1）不能正确判断最简二次根式；(2)混合运算是弄错运算顺序;（3) 遇到被开方数相同的二次根式时,不知道合并；（4）不会利用乘法公式简化运算．教师要针对学生出现的问题分析出现的原因，并强调以前学习的有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用，运算结果中出现某些项,在各自化简后被开方数相同时,能合并的合并,这节课我们继续研究二次根式的混合运算及对其结果的处理。
引入新课。
设计意图：通过简单复习之前学过的知识，直接引入本节课题，较为自然,可以使学生迅速的进入到本节课的知识学习中去，帮助学生更快地进入状态.二、例题解析,巩固运用 例6 计算： (1）3223-； （2）81818+-;（3）3)6124(÷-; （4）处理方式：教师板演第一题，其余三个题目学生完成，三位学生黑板练习，对于第（3）题学生可能会出现不同的解法．教师在分析问题时,说明二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减,有括号的先算括号里的，能用运算律和乘法公式简化运算的,可以简化运算．解：(1)3223-=33322223⨯⨯-⨯⨯=631621-=6)3121(-=661；（= （3）3) 6124(÷-= 361324÷-÷= 361324÷-÷= 3618⨯-= 66224⨯-⨯= 26122-= 2611； 或124346366⎛⎫⎛-÷=⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎭126636⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 111163266=÷=; （4）252 +99—182********⨯=+-⨯⨯5299322=+- 12992=-+．设计意图:教师适时的例题练习，有助于学生做题的条理性,仿照整式的加减对二次根式混合运算的结果能合并的合并，不能合并的照抄，不仅提高了学生的计算能力，还培养学生严谨的学习态度．三、巩固练习，挑战自我 计算： （1）10152-； (2）31312+-； (3)8)2118(⨯-； （4)275827+-． 处理方式：教师出示题目，学生练习，四位学生黑板练习,教师指导学生做题,关注学生的解题过程，对出现的错误及时更正．设计意图：题目的设置能及时了解学生对知识的应用程度，帮助学生掌握做题的方法，进一步提高学生综合运算能力．四、探索交流,融会贯通 1．化简：1()b ab a-⨯,其中3a =，2b =,你该怎么做? 2．如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD 的 面积．你认为该如何去做？小组交流． 处理方式:学生分组讨论,小组代表将各组的答案展示，学生的解题方法可能不相同，教师要积极评价学生的不同解法，做好题目的点评，并在此基础上解决问题．（1）解法1: 解法2：2（2）思路1:梯形的面积公式，求出CD、AB的长及梯形的高（CD，AB之间的距离)．思路2：将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD的面积．思路3：将梯形ABCD分割，过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥BE于点F,则梯形ABCD成两个三角形和一个梯形，求其面积和．设计意图:给学生充足的思维空间，养成爱思考的好习惯，结合题目能具体分析问题，提高学生的综合运用能力．五、知识归纳，总结反思总结本节课你运用了哪些知识？哪些数学思想方法？有哪些收获？在解题时需注意哪些问题？处理方式：以学生讨论，小组集中发言的形式进行．设计意图：一方面强化学生对所学知识的理解与运用，另一方面培养学生善于归纳和总结的好习惯．六、达标测试，反馈矫正A组：10的结果为（）A．21 C ．3 D ．52n 等于_____. 3．计算(1)(2)21)2)+； (3）(11115-⎛⎫+- ⎪⎝⎭(4)(((20142015222-+--．4．现有一块长7。
北师大版-数学-八年级上册-2.7《二次根式(3)》教学设计
2.7《二次根式（3）》教学设计教学目标：1．学会二次根式的混合运算，熟练地进行二次根式的运算。
2．借助与已经学过的有关二次根式的化简、计算等知识，继续探索二次根式混合运算。
3．通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性和创新能力。
教学重点：混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用。
教学难点：灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便。
教学过程：一、导入新课活动过程：复习巩固二次根式的化简，为下面学习混合运算做准备。
活动成果：熟练掌握二次根式的化简，将所给二次根式化为最简。
【设计意图】：通过复习巩固，设置二、探究新知活动一：活动过程：类比着实数的运算，对带有字母的二次根式进行化简活动成果：对带有字母的二次根式进行化简，体会数学的讨论思想。
【设计意图】：由数字过渡到字母，提升学生的解题能力。
活动二：活动过程：借助于实数的运算，解决面积问题活动成果：用不同的分割方法，解决实际问题。
【设计意图】：借助于实数的计算方法，在方格纸中求解图形面积，增强学生解体能力。
三、例题精讲讲解过程：运用实数的运算法则及最简根式的要求，对所给题目进行化简。
解题思路：运用实数的运算法则，对所给题目进行化简。
解题方法：演绎法答案：参见教材第46页四、课堂练习课本随堂练习五、课堂总结课时小结本节课继续二次根式的加减乘除运算，但运算的难度有提高，需要大家关注解决问题法方法的多样性，灵活运用法则解决问题。
你还有什么新的收获吗？六、课后作业课本课后习题习题2.11 1、2七、板书设计课题：2.7二次根式（3）1.二次根式运算法则：2.例题讲解：八、教学反思本节课，引导学生运用恰当的方法，使学生学会学习，在探索实数范围内的运算律、运算法则的过程中，使学生经历了类比、猜想、验证、归纳、总结以及由具体到抽象、由特殊到一般的过程，体会到研究问题、解决问题的方法。
个别学生计算时精确程度不够，需要强化训练。
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.教材：确保每位学生都提前准备好北师大版《数学》八年级上册教材，翻到第二章实数7二次根式相关内容，以便课堂上随时翻阅和标注。
2.辅助材料：
-准备与二次根式混合运算相关的教学图片，如含有二次根式的实际应用题目图片，以直观展示数学在生活中的运用。
-制作动态图表，展示二次根式乘除运算的过程，帮助学生理解运算规则。
-设计课堂小测验，测试学生对二次根式混合运算规则的理解程度和运算能力，根据测试结果调整教学策略，针对性地进行辅导。
-利用课堂反馈表，让学生自我评价学习效果，反思学习过程，促进学生的自我管理和自我提升。
2.作业评价：
-对学生的课后作业进行认真批改，点评作业中的亮点和不足，及时反馈学生的学习效果，帮助学生明确自己的学习进步和需要改进的地方。
简要回顾本节课学习的二次根式混合运算内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握二次根式混合运算的规则，包括二次根式的乘除法运算，以及与整数、分数的混合运算。
-学生通过对比、归纳等学习方法，加深了对二次根式混合运算规则的理解，提高了逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：
-学生在学习过程中，逐渐消除了对二次根式混合运算的恐惧和畏难情绪，增强了自信心和耐心。
-学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学以致用的意识，增强了学习数学的兴趣和动力。
-学生通过拓展知识的学习，拓宽了知识视野，激发了探索学科前沿的兴趣，培养了创新精神和探索意识。
核心素养数学学习后，已具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们在知识层面，对二次根式的概念和基本性质有初步了解，但混合运算的掌握程度参差不齐。在能力方面，学生的运算能力和问题解决能力有待提高，特别是将二次根式与整数、分数结合进行混合运算时，需要加强练习以提升熟练度和准确性。
北师版八年级数学上册第二章 实数7 二次根式
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法 两个二次根式相乘，把被开
法则 方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法 两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则 方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2， 则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒
2022秋八年级数学上册 第二章 实数2.7 二次根式 1二次根式及其性质说课稿(新版)北师大版
2.7.1 二次根式及其性质各位评委大家好今天我说课的题目是北师大版八年级上册第二章第七节二次根式，下面我将从说教材，说教法学法、说教学过程。
说作业布置等几个方面谈谈我对这节课的设计一、说教材二次根式这一节主要讲了二次根式的含义和性质。
教材从实际问题引出二次根式的概念，然后对二次根式的性质进行探究。
在八年级的时候学生已学习过了平方根和算术平方根等概念并能用根号表示平方根和算术平方根，知道开方与乘方互为逆运算，这些知识为本节课的学习打下了根底，同时学好本节知识对于后面学习二次根式的运算求解一元二次方程做准备，因此本节知识具有呈上起下的作用。
二、说学情我将要所面对的学生是普通班，学生虽然已经对根式有了一定了解，但是很多学生对于其性质和简单的计算都还存在问题，但是九年级的学生思维能力有了很大开展，抽象概括能力得到很大提高，对于简单的实际问题还是能够很好的解决，因此本节课我从简单的实际问题入手，降低难度，以激发学生的学习兴趣。
结合以上对教材和学情的分析，以及新课标对本节课要求必须掌握等情况，我指定了如下教学目标：知识与技能目标：理解二次根式的概念和非负性。
能够利用非负性求未知量的范围。
方法与过程目标：经历探究、总结、归纳、抽象的过程获得二次根式的概念。
通过教师讲解，学生练习评价的过程掌握二次根式的非负性。
情感态度价值观：培养学生的数学建模能力，培养学生的抽象概括能力和学习兴趣。
一、说教学重难点重点：理解二次根式的概念及非负性难点：二次根式的非负性的应用二、说教法学法。
为了提高本堂课的效率，根据本节课内容和学生特点。
我采用了如下教法：1、发现教学法：通过实际问题总结归纳发现共性，得出二次根式概念。
2、讲解法：通过教师讲解相关知识，学生练习，到达知识应用的目的3、启发教学法：教师课堂上巧设问题启发学生思考加深对概念的理解。
在学法指导上，为了表达学生的主体性，我鼓励学生自主探究学习，同时在教师的引导下进行学习，然学生大胆尝试对知识的应用，通过亲自实践活动的过程，获得相关知识技能。
八年级数学上册第二章实数第七节二次根式时教案北师大版
二次根式教学目标(1).认识二次根式和最简二次根式的概念.(2).探索二次根式的性质．(3).利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．重点七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．难点学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．教学用具教学环节二次备课复习有理数新课导入复习引入新课问题1 ：5，11，2.7，12149，))((bcbc-+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？课程讲授第二环节：探究性质（一）内容：通过探究得出baba•=⋅，baba=．具体过程如下：（1）94⨯＝，94⨯＝；2516⨯＝，2516⨯＝；94＝，94＝；2516＝，2516＝．（2）用计算器计算：76⨯＝，76⨯＝；76＝，76＝ ．问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？ 意图：最终归纳出b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），baba =（a ≥0， b ＞0）．说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．第三环节：知识巩固例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
例2.化简：（1）45；（2）27；（3）31；（4）98；（5）16125． 问题：（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断714是最简二次根式的？（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。
八年级数学上册 第二章 实数 2.7 二次根式(第3课时)教学课件上册数学课件
12/11/2021
第三页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
12/11/2021
第四页，共十一页。
第（ 3 ）题的另解：
24
1 6
3
2
6
6 6
3
2 1 6 3 6
11 2 6
11 2 . 6
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
在上面(第 4)题中，很容易看9出 9化，成最简二次根式后 与 25，18化简后的被开方数能不相可同，因此，结果中
No 切割的方法，先过点B作BE垂直ADCD被分割
为直角三角形ABE、直角三角形BOC和直角梯形(tīxíng)DEOC.。2．二次根式满足加法交换律、加法 结合律、乘法交换律、乘法结合律和分配律.。本课结束
Image
12/11/2021
2 1可 2/11/20以 21 保留99，不必将它化简成二最次简根.式
第五页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
化简1 a b a， b 其 a中 3， b2你 . 是怎么做进 的行 ？.交 与
1 a
b
ab
1 ab b ab a
b ab 2 .
因为 b 2 0，所以原式 b b a .
3乘法交换律： a b b a；
4乘法结合律： a b c a b c ； 5分配律： a b c a b a c.
其中a、b、 12/11/2021 c都是大于或等于 0的实数
第二页，共十一页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
例 计算(jì suàn)：
12/11/202 14 2 7 8 5 2 2 5 7 3 2 2 3 3 2 5 3 3 2 2 7 3 2 2 .
北师大版数学八年级上册2.7二次根式第三课时教学设计
作业要求：
1.学生需认真审题，确保理解题目要求。
2.在解题过程中，注重步骤的规范性和逻辑性，尽量使用简洁明了的语言描述解题思路。
3.完成作业后，认真检查，确保解答正确无误。
4.对于选做题，鼓励学生积极尝试，培养他们挑战困难的勇气和信心。
3.学生通过二次根式的学习，感受数学的简洁与优美，体会数学的规律性，培养对数学的热爱和敬畏之心。
4.学生在小组合作交流中，学会尊重他人，倾听他人意见，培养团队协作精神，提高人际沟通能力。
总而言之，本节课的教学设计旨在让学生在掌握二次根式知识与技能的基础上，培养他们的数学思维能力，提高解决问题的能力，同时形成积极的情感态度和正确的价值观。
（1）通过数形结合的方法，帮助学生形象地理解无理数，如借助正方形和圆的面积计算，让学生直观地感受无理数。
（2）在二次根式化简方面，采用逐步引导、范例演示、合作交流等方式，让学生逐步掌握化简方法，克服难点。
（3）在应用二次根式解决实际问题时，引导学生分析问题的本质，找到问题与数学知识之间的联系，提高问题解决能力。
从认知角度来看，学生对二次根式的理解可能存在一定难度。他们可能对无理数的概念感到抽象，对二次根式的化简和运算规则感到困惑。此外，将二次根式应用于解决实际问题时，学生可能难以找到问题与数学知识之间的联系。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的认知发展，充分调动他们的学习积极性，引导他们通过观察、归纳、合作交流等方法，逐步掌握二次根式的相关知识。同时，教师还需关注学生的情感态度，鼓励他们勇于面对挑战，增强学习信心，使他们在解决问题的过程中感受到数学学习的乐趣和价值。
4.能够运用二次根式解决一些简单的无理数问题，理解无理数的概念及其在数学中的应用。
八年级数学上册第2章习题课件：二次根式(第3课时)(北师大版)
课件目录
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7 二次根式(第3课时)
类型之三 运用乘法公式进行二次根式的计算 计算：
(1)(1＋ 3)(1－ 3)(1＋ 2)(1－ 2)； (2)( 3＋ 2)2( 3－ 2)2； (3)( 3＋3 2－ 6)( 3－3 2－ 6)．
( 2＋ 3)( 2－ 3)＝( 2)2－( 3)2＝2－3＝－1.
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7 二次根式(第3课时)
3．[2018秋·醴陵市期末]若a＝3＋ 5，b＝3－ 5，则代数式 a2－ab＋b2的值
是( C )
A．24
B．±2 6
C．2 6
D．2 5
【解析】∵a＝3＋ 5，b＝3－ 5，∴a＋b＝6，ab＝4，
【解析】 此题运用平方差公式把x2－y2因式分解为(x＋y)(x－y)，再代入计 算．
解：原式＝(x＋y)(x－y) ＝( 3＋1＋ 3－1)[( 3＋1)－( 3－1)] ＝2 3×2＝4 3. 【点悟】 利用乘法公式可以适当地简化一些式子的运算．
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7 二次根式(第3课时)
【变式跟进 3】 [2018秋·武侯区期末]若x＝2＋ 3 ，y＝2－ 3 ，则代数式x2 ＋y2＋xy的值为 15 .
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7 二次根式(第3课时)
【变式跟进 1】 化简 3－ 3(1－ 3)的结果是( A )
A．3
B．－3
C． 3
D．－ 3
【解析】 原式＝ 3－ 3＋3＝3.
【变式跟进 2】 计算( 50－ 8)÷ 2的结果是 3 .
二次根式第3课时课件
二次根混合运算的顺序
我们知道实数的混合运算顺序为：先算乘方和开方，再
算乘法和除法，最后算加减；同级运算按从左到右的顺
序依次运算；有括号的先算括号内的，再算括号外的.
二次根式的混合运算顺序为和实数的运算顺序一样.
教学过程——新知探究
第二章 实数
知识点2 二次根式混合运算的运算法则
加法法则、乘法法则及乘法公式
(−
)
.
= −
(5)原式 = ( ) − × + ( )
= − .
教学过程——典例精析
第二章 实数
听一听
典例2 计算：
−
−
− 273
解：原式 =
− − ( − )
= − − + ).
教学过程——学以致用
第二章 实数
做一做
1. 使式子 − 有意义的的取值范围是（ D ）
A．＞2
B．≥﹣2
C．＜2
D． ≥ 2.
2. 若 + 是整数，则能取的最小整数为（ A ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.若 = − + − − ，则|﹣|的值是（ C ）
A．-1-
B． −1
C． +
D．1-
教学过程——学以致用
做一做
4.视察下列等式：
第1个等式： =
= − ，
+
第2个等式： =
= −
+
第3个等式： =
= − ，
+2
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.拓展资源：
（1）数学杂志：《数学通报》、《数学竞赛》等杂志，其中包含了大量的二次根式混合运算的相关文章和题目，适合学生进行深入研究和挑战。
（2）在线教育平台：可汗学院、网易云课堂等平台上有许多关于二次根式混合运算的教学视频和练习题，可以帮助学生巩固知识点。
（3）数学论坛和博客：数学论坛和博客上有许多数学老师和专家分享的关于二次根式混合运算的教学经验和心得，学生可以从中学习和借鉴。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的混合运算的基本概念。二次根式的混合运算是指……（详细解释概念）。它在数学中扮演着重要的角色，特别是在解决实际问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式混合运算在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学活动设计：
（1）角色扮演：学生分组扮演不同角色，如售货员、顾客等，运用二次根式的混合运算规则计算商品价格，解决实际问题。
（2）实验操作：学生在实验室进行有关二次根式的实验，如测量物体长度、面积等，培养他们的实验操作能力和问题解决能力。
（3）数学游戏：设计有关二次根式混合运算的数学游戏，如卡片游戏、竞赛等，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学运算能力。
难点举例：
（1）加法运算：计算-√5 + √3，先化为同号，即-√5 + √3 = -（√5 - √3），再合并得到-√5 + √3 = -（√5 - √3）。
（2）乘法运算：计算√2 × √15，根据乘法运算规则，底数相乘，指数相加，得到√（2×15）= √30。
（3）混合运算：一个正方形的边长为√5，求该正方形的面积。将实际问题转化为二次根式的混合运算，即√5 × √5 = √（5×5）= √25 = 5。
二次根式(第3课时)课件18张北师大版八年级上册数学
例1：计算: （1） 5 2 5 2 24 6 3
解：（1） 5 2 5 2 24 6 352 22 26 3
6
522 6 63 6
三、典型例题
（2）
32
1 2
2
24 2 3 2
2 3
解：（2）
32
1 2
2
24 2
3 2
2 3
4 242 6 2 332 2
∴ a2b-ab2 = ab(a-b) = -1×（-4）=4
三、典型例题
例3: 阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：
①
2 5
2 5 2 5 5 5 5
;
②
1
1 ( 2 1)
2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1) ( 2)2 1
2 1 等
运算都是分母有理化．根据上述材料，
1
（1）化简： 3 2
xy
y
6 xy 3 xy 4x xy 6 xy y
3
4x y
xy
当x=
3 2
，y=
27，原式
3
6 27
81 25 22
2
【当堂检测】
4.已知：a= 3 2 ，b= 3 2 ，求代数式a2b-ab2的值；
解：∵ a= 3 2 ，b= 3 2
∴ ab=（ 3 2 )( 3 2 )=3-4=-1 a-b= 3 2 3 2 = -4
16 2 2 3 2 2
13 2 3
三、典型例题
归纳总结
在进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数的运算顺序相同，若其 结果是二次根式，则二次根式一定是最简二次根式.
【当堂检测】
1.计算：
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第3课时)教学详案
第二章 实 数7 二次根式第3课时 二次根式的混合运算教学目标1.巩固对二次根式的四则混合运算的掌握.2.进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.3.引导学生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题. 教学重难点重点：会熟练运用公式进行二次根式的运算.难点：会进行二次根式的混合运算.教学过程导入新课1.最简二次根式的概念.2.二次根式化简过程中，你有哪些体会？b a b a ⋅=⋅（a ≥0,b ≥0）；ba b a =（a ≥0,b ＞0）. 当被开方数中含有分母或者含有能开得尽方的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽方的因数时用法则.3.二次根式的混合运算顺序：先__乘方_(或开方)，再_乘除 ，最后加减 ，有括号的先算括号里面的，能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行_简便运算 ． 探究新知【例】计算： (1)3223-; (2)81818+-;(3) (4)1899225-+； 【解】（1=== (2)245241222316222238181822=+-=+⨯-⨯=+-；(3)（4532⎛=- ⎝议一议：化简1b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭·√ab ,其中a =3,b =2.你是怎么做的？与同伴交流. 由题知a >0，b >0，1b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭·√ab =√1a ·√ab -√b ·√ab =√1a ∙ab -√b ∙ab =√b -√a ∙b ·b =√b -b √a ,当a =3,b =2时，原式=√2 −2√3.解二次根式化简求值问题时，直接代入求值往往很麻烦，应先化简已知条件，再用代入求值．做一做：如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD 的面积，你有哪些方法？与同伴交流．(1)直接法．过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE 都是某一个直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB ＝5√2，CD ＝√2，DE ＝3√2，梯形ABCD 的面积是12(5√2+√2)×3√2＝18.（2）间接法(割补法)．将梯形ABCD 补成一个5×7的长方形，用长方形的面积减去3个小直角三角形的面积，得梯形ABCD 的面积是5×7-12×5×5-12×4×2-12×1×1=18． 阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式2√3+1的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：（方法1）2√3+1=2(√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)(√3)2−1=2(√3−1)3−1=√3-1; （方法2）2√3+1=3−1√3+1=(√3+1)（√3−1）√3+1=√3-1.以上两种方法化简二次根式的运算过程，叫做分母有理化.课堂练习1.下列运算错误的是（ ）A.√2×√4=2√2B.1√2=√22C. 2√2+3√2=5√2D.√(√2−√3)2=√2−√32．若二次根式m 与5可以合并，则m 的值可以是（ ）A ．0.5B ．0.2C ．0.3D ．0.43．下列各数中与2）A．2B．2 CD．4．计算3)01-⎛⎝⎭的结果是（）A．1+3B．1+C．1+D5.化简：（1）（7（7﹣1）2；（2）.参考答案1.D2.B3.A4.C5.解：（1）原式=49-12-（27-1）=37-28+=9-（2）原式-+-1++2.课堂小结1.二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.2.化简已知条件和所求代数式.3.分母有理化.布置作业习题2.11第1，2题板书设计7 二次根式第3课时二次根式的混合运算1.二次根式的混合运算；2.化简已知条件和所求代数式；3.分母有理化.。
第3课时PPT课件(北师大版)
14．计算：(1)(3 48－2 27)÷ 3； 解：原式＝6
(2)(2012·大连) 8＋(41)－1－( 5＋1)( 5－1)． 解：原式＝2 2
15．(2013·泰安)化简： 3( 2－ 3)－ 24－| 6－3|＝_－__6_. 16．已知 x＝ 2＋1，y＝ 2－1，则 x2y－xy2 的值为_2___． 17．当 x＝3－ 5时，代数式 x2－6x＋8 的值是__4__．
18．已知 x＝ 5－2，则 x－1x的值等于－__4__．
19．已知 5的整数部分为 x，小数部分为 y，则 x2＋y2＝ 13－4 5 ．
20．下列式子运算正确的是(D ) A. 3－ 2＝1 B. 8＝4 2
C.
1＝ 3
3
D.2＋1 3＋2－1 3＝4
21．计算：
(1)
2×(
2＋ 12)－
解：由题意得：△ADE，△AEB，△BCE 都是等腰直角三角形， 在 Rt△ADE 中，AD＝ A2E2＝ 22，在 Rt△AEB 中，AB＝ 2AE2＝ 2. 长方形的面积为： 22× 2＝1，周长为：2( 22＋ 2)＝3 2
23．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如 m±2 n的化简，只要我们找到两个数 a，b，使 a＋b＝m，ab＝n， 使 得 ( a )2 ＋ ( b )2 ＝ m ， a × b ＝ n ， 那 么 便 有 ： m±2 n ＝ （ a）2＋（ b）2±2 a× b＝ （ a± b）2＝ a± b(a>b)． 由上述例题的方法，化简 13－2 42.
4．下列二次根式中，与 18可以合并的是(A ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
5．(2015·宁波)下列计算正确的是( C ) A．4 3－3 3＝1 B. 2＋ 3＝ 5 C．2 21＝ 2 D．3＋2 2＝5 2
北师大版八年级数学上册.3二次根式的综合运算课件
解：原式＝2 6×3 －
24 3
……①
＝2 18 － 8 ……②
＝(2－1) 18－8 ……③
＝ 10 ……④
(1)老师认为小明的解法有误，请你指出小明是从第__③__步开
始出错的； (2)请写出正确解题过程．
解：原式＝2 6×3 －
24 3
＝2 18 － 8
＝6 2 －2 2
＝4 2 .
课堂小结
5 10
3
3
18 -
1 2
8;
4 2 75 + 8 -
27 .
1 10 ; 2 4 3 ; 3 10 ; 4 2 2 + 7 3 .
10
3
二 次 根 式 混 合 运 算
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
化简已知条件和所求代数式 化简求值
分母有理化
随堂练习
1．下列运算正确的是（ C ）
2．计算：
(1)(2 48 －3 72 )÷ 6 ； 解：原式＝(8 3 －18 2 )÷ 6
＝4 2 －6 3 ； (2)(2 x ＋3 y )(－2 x ＋3 y )； 解：原式＝(3 y ＋2 x )(3 y －2 x )
＝(3 y )2－(2 x )2 ＝9y－4x；
(3) 24－
32＋
23－2
1
6
×
6.
解：原式＝2
6－12
6＋13
6－13
6
×
6
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(2)在运算过程中,每个二次根式都可以看做一 个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“ 多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结 合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完
全平方公式)在算的结果应写成最简形 式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同
（3）（ a b）（ a b）型，即
（ a b）（ a b） ( a )2 ( b )2 a b
(a 0,b 0)，运用平方差公式.
（4）（ a b）2型，即（ a b）2 a 2 ab b
(a 0,b 0)，运用完全平方公式.
(5) a b）（ a b）型，要进行分母有理
化，即
（a
b）（ a
b）
（ （
a a
b） （ b） （
a a
b）（ a b）（ a
b） b）
a
2
a
ab b
b (a
0,b
0,且ab) 牛牛文档分享课堂小结在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几 点:
(1)二次根式的运算顺序与有理数中的运算顺 序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减).
将梯形ABCD补成一个 5×7的长方形
用长方形的面积减去3 个小三角形的面积
则梯形ABCD 的面积
5
7
1 2
5
5
1 2
4
2
1 2
1118 牛牛文档分 享知识拓展二次根式的混合运算几） 28 4
1 2
-（ 7 -
2）
（2） 1 （2 3）2 （ 7 - 3）（ 7 3）
解：（1） 28 4
1 -（ 7 2
2）
2 7 2 2 -（ 7 - 2）
2 72 2反馈
（1）（2 3 3）（2 3 - 3）；（2）（ 3x y）2；
(3)( 2 1) ( 2 1).
解：（1）（2 3 3）（2 3 - 3）
（2 3）2 - 32 12 - 9 3
（2）（ 3x y）2
一、例题讲解
学习新知
例6 计算：
（1） 3 2
2 3
（2） 18
8
1 8
（3）( 24
1 6
)
3
（4） 25 2
99
18
解：（1）23
2 3
32 22
23 1 33 2
61 3
6
(1 1) 23
说一说什么是最简二次根式？
（1） a( b c d )(a 0,b 0,c 0,d 0)
型,运用分配律化简.
（2）（ a b）（ c d）型,可类比多项式乘多
项式进行计算，即 （ a b）（ c d） ac ad bc bd
(a 0,b 3x y ( y )2
3x 2 3xy y 牛牛文档分 享(3)( 2 1) ( 2 1) 2 1 2 1
( 2 1)( 2 1) ( 2)2 2 2 1 ( 2 1)( 2 1) ( 2)2 1
2 2 2 1 3 2 2.
(2)二次根式化简过程中,你有哪些体会?
(3)上节课课后作2业:已1.知414，
3 1.732， 6 2.449，
3计. 算
2
你是怎样解决的? 牛牛文档分 享（2） 18 8
1 8
32 2 22 2 2 16
1 3 22 2
4
5 2 4
2
（3）( 24
（2） 1 （2 3）2 （ 7 - 3）（ 7 3）
1
4
4 4
33
84 4所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形
ABCD的面积，你有哪些方法，与同伴交流．
（1）直接求法
过点D作AB边上的高DE,
可发现边AB,DC及DE都是
某一个直角三角形的斜边.
E
根据勾股定理可求得
AB 5 2 , DC 2 , DE 3 2 .
则梯形ABCD的面 1 (5 2 2) 3 2 ＝18 .
1 6
) 3
24 3
1 6
3
24 3
1 6
3
8
1 63
42
2 66
2
2
1 6
29 18 25 2 911 9 2
2
22
5 2 3 11 3 2 1 2 3