人教A版高中数学必修五 3-5简单的线性规划问题习题课 测试教师版 精品
高中数学新人教A版必修5练习附答案：第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题练习16.doc
高中数学新人教A 版必修 5 练习附答案3. 3. 2 简单的线性规划问题课后篇 巩固探究A 组1. 已知某线性规划问题中的目标函数为 z=3x-y , 若将其看成直线方程 , 则 z 的几何意义是()A . 该直线的截距B . 该直线的纵截距C . 该直线的纵截距的相反数D . 该直线的横截距解析 由 z=3x-y , 得 y=3x-z , 在该方程中 -z 表示直线的纵截距 , 因此 z 表示该直线的纵截距的相反数 . 答案 C2. 目标函数 z=x-y 在 的线性约束条件下 , 取得最大值的可行解为 ( )A (0,1)B ( - 1, - 1)C (1,0) D. ... 解析 可以验证这四个点均是可行解 , 当 x=0, y=1 时 , z=-1; 当 x=- 1, y=- 1 时 , z=0; 当 x=1, y=0 时, z=1; 当 x=, y=时 , z=0. 排除选项 A,B,D, 故选 C .答案 C3. 若变量 x , y 满足约束条件 目标函数为 z=4x+2y , 则有 ()A. z 有最大值无最小值B. z 有最小值无最大值C.z 的最小值是 8D. z 的最大值是 10解析 由 z=4x+2y , 得 y=- 2x+.作出不等式组对应的平面区域 , 如图阴影部分所示 .平移直线 y=- 2x ,当直线 y=- 2x+经过点 B (0,1) 时 , 直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最小 , 此时 z 最小 , 且 z min =2.当直线 y=- 2x+经过点 C(2,1)时,直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最大, 此时z最大 , 且z max=4×2+2×1=10. 故选D.答案 D4.若直线y=2x上存在点 ( x, y) 满足约束条件则实数m的最大值为()A.- 1B.1C. D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示, 由得交点P(1,2).当直线 x=m经过点 P 时, m取到最大值1.答案 B5.已知实数x, y 满足约束条件则z=2x+y的最小值为.解析因为 z=2x+y,所以 y=- 2x+z. 不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示. 平移直线2x+y=0, 由图形可求得z=2x+y 的最小值是 - 2.答案 -26.已知变量x, y 满足则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域 , 如图阴影部分所示.由图知 , 目标函数z=x+y- 2在点 A 处取得最大值 .易知 (1,2), 故max 1 2 2 1A z = + - = .答案 17.铁矿石 A 和 B 的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格 c 如下表 :b/c/ 百a 万万元吨A 50%1 3B 70%0. 5 6某冶炼厂至少要生产1. 9 万吨的铁 , 若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨 , 则购买铁矿石的最少费用为百万元 .解析设需购买铁矿石 A x万吨 , 铁矿石 B y万吨 , 购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为目标函数为z=3x+6y. 画出约束条件表示的可行域, 如图阴影部分所示.当直线3 6 经过点 (1,2) 时 ,z 取最小值 , 且z最小值 3 16 215x+ y=z = ×+×= .答案 158.导学号04994076已知S为平面上以A(3, - 1), B( - 1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域 ( 含三角形内部及边界) .若点 ( x, y) 在区域S上移动.(1)求 z=3x- 2y 的最值;(2)求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解 .解 (1) z=3x- 2y可化为y=x-x+b,故求 z 的最大值、最小值, 相当于求直线y=x+b 在 y 轴上的截距 b 的最小值、最大值, 即b取最大值 , z取最小值 ; 反之亦然.①如图 ①, 平移直线 y=x , 当 y=x+b 经过点 B 时 , b max =, 此时 z min =-2b=- 5; 当 y=x+b 经过点 A时, b min =- , 此时 z max =- 2b=11. 故 z=3x- 2y 的最大值为 11, 最小值为 - 5.(2) z=y-x 可化为 y=x+z , 故求 z 的最大值 , 相当于求直线y=x+z 在 y 轴上的截距 z 的最大值 .如图② , 平行移动直线y=x , 当直线y=x+z 与直线 重合时 ,max2, 此时线段 上任一点的坐BCz = BC标都是最优解 .②9. 甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产 , 一农民有山地 20 亩 , 根据往年经验 , 若种脐橙 , 则每年每亩平均产量为1 000 千克 ; 若种甜柚 , 则每年每亩平均产量为1 500 千克 . 已知脐橙成本每年每亩 4 000 元, 甜柚成本较高 , 每年每亩 12 000 元 , 且脐橙每千克卖 6 元 , 甜柚每千克卖 10 元 . 现该农民有 120 000 元 , 那么两种水果的种植面积分别为多少 , 才能获得最大收益 ?解设该农民种 x 亩脐橙 , y 亩甜柚时 , 能获得利润 z 元.则 z=(1 000 ×6- 4 000) x+(1 500 ×10- 12 000) y=2 000 x+3 000 y ,其中 x , y 满足条件作出可行域 , 如图中阴影部分所示 .当直线 y=-x+经过点 A (15,5), 即种 15 亩脐橙 ,5 亩甜柚时 , 每年收益最大 , 为 45 000 元 .B 组1 . 若变量 , y 满足约束条件且 5的最大值为 , 最小值为 b , 则 a-b 的值是x z= y-x a( )A.48B.30C.24D.16解析 画出可行域 , 如图阴影部分所示 .由图可知 , 当直线 y=经过点 A 时 , z 有最大值 ; 经过点 B 时, z 有最小值 . 联立方程组解得即 A (4,4) .对 x+y=8, 令 y=0, 则 x=8, 即 B (8,0), 所以 a=5×4- 4=16, b=5× 0- 8=-8, 则 a-b=16- ( - 8) =24, 故选 C . 答案 C2. 已知正数 x , y 满足则 z=22x+y 的最大值为 ()A . 8B . 16C . 32D . 64解析 设 t= 2x+y , 可求得当直线 t= 2x+y 经过 2x-y= 0 与 x- 3y+5=0 的交点 (1,2) 时 , t 取最大值4, 故22x+y的最大值为 16 . z=答案 B3. 已知 x , y 满足约束条件若 z=x- 3y+m 的最小值为 4, 则 m=( )A .6B .8C .10D .12解析 作出满足约束条件的可行域, 如图中的阴影部分所示 . 由 z=x- 3y+m , 得 y=x- , 则由图可知 z=x- 3y+m 在点 A ( - 2,2) 处取得最小值 , 则有 z=- 2- 3×2+m=4, 所以 m=12, 故选 D .答案 D4. 已知变量 x , y 满足约束条件 则 z=3|x|+y 的取值范围为 ()A . [ - 1,5]B . [1,11]C . [5,11]D . [ - 7,11] 解析 画出可行域 , 由可行域可知 ,当 x ≥0时, 3 的取值范围是 [1,11];当0 时, 3的取值范围是 (1,5] . 综z= x+yx<z=- x+y上, z=3|x|+y 的取值范围为 [1,11] .答案 B5. 若变量 x , y 满足约束条件则 z=x+的取值范围为.解析 由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分( △ OAB 及其内部 ), 其中 (0,0), (1,2), (2, 1), 因此当直线经过点 A 时 , z 取得最大值 , 即 z max 12; 当直线 OAB -z=x+= +=z=x+经过点 O 时 , z 取得最小值 , 即 z min =0. 所以 z=x+的取值范围为 [0,2] .答案 [0,2]6. 某公司生产甲、 乙两种桶装产品 , 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克 ;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元 , 每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中 , 要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克 . 通过合理安排生产计划 , 从每天生产的甲、乙两种产品中 , 公司共可获得的最大利润是元.解析 设生产甲产品 x 桶 , 乙产品 y 桶 , 每天利润为 z 元, 则z=300x+400y.作出可行域 , 如图中的阴影部分所示. 作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点 A时, z=300x+400y取最大值.由所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.答案 2 8007.已知z=2y- 2x+4, 其中x, y满足条件求z的最大值和最小值.解作出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 令2y- 2x=t ,则当直线2y- 2x=t 经过点 A(0,2)时, z max=2×2- 2×0+4=8;当直线 2y- 2x=t经过点B(1,1) 时 , z min=2×1- 2×1+4=4.故z 的最大值为 8, 最小值为 4.8. 导学号 04994077 某公司有 60 万元资金 , 计划投资甲、乙两个项目 , 按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对甲项目每投资 1 万元可获得0. 4 万元的利润 , 对乙项目每投资 1 万元可获得 0. 6 万元的利润 , 该公司正确规划投资后 , 在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x 万元,投资乙项目 y 万元,可获得利润为z 万元,则目标函数为z=0. 4x+0. 6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由 z=0. 4x+0. 6y,得 y=-x+z.由得 A(24,36) .由图知 , 当直线y=-x+z经过点A时 , z取得最大值 , 即z取得最大值. 故 z max=0. 4×24+0. 6×36=31. 2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2 万元.。
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同一直线不同的点 2x+y的值一样
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设问：
2、直线y=-2x+3 上点相应2x+y的 值是多少？
3、B，D相应 的z值怎么找？
4、区域内B，D 哪个点x+y值较 大？为什么？
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10. 乡土社会维持秩序是礼，而非法， 亦非人 ，礼是 传统， 可以有 效地应 付其中 的生活 问题。
11. 文章在叙事抒情间穿插的议论警句 频出， 有对生 死的理 解，有 对人生 的领悟 ，这些 议论增 添了文 章的理 性之美 ，使之 更显厚 重。
12. 外婆带给我的种种“安静感”虽然内 涵不尽 相同， 但主要 是外婆 人格所 起的作 用，引 我思索 与成长 ，让我 更为勇 敢
p ( x , y ) 满足条件不等式
x 0
y 0
2
x
y
5
0
x y 3 0
若 z 2 y 3 x , 求 z 的最大值
及其最优解？
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ห้องสมุดไป่ตู้
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自由探究
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化
实际问题 不等式组
函数Z=2x+y 方程Z=2x+y 变：直线Z=2x+y点
人教A版高中数学必修五 3-3-2 简单的线性规划问题 测试教师版 精品
3.3.2 简单的线性规划问题（检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40y B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，z ＝20x ＋40y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝40x ＋20y【解析】 由题意易知选A. 【答案】 A2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2【解析】 作出可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0，得点A ⎝⎛⎭⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52. 【答案】 A3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎡⎦⎤－6，32 【解析】 作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.【答案】 A4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.【答案】 A5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【答案】 D6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5D ．2【解析】 法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.【答案】 B二、填空题（共2小题，每题5分，共10分） 7．满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．【解析】 首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M (0,5)时截距最大，此时z 最大．【答案】 (0,5)8．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是________.【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t 2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0.z ＝3x ＋2y 的最小值为1.【答案】 1三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于多少？【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线 450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z max ＝450×7＋350×5＝4 900. 10．变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，求(x －2)2＋y 2的最小值．【解】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．设P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x－2)2＋y2的几何意义是点P(x，y)与点M(2,0)距离的平方．由图可知，当点P的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|PM|≥22＋1＝5，所以|PM|2≥5，即(x－2)2＋y2的最小值为5.。
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一、本节学习目标1．会利用“数形结合法”求目标函数的最优解；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力． 二、重难点指引重点：线性规划问题的图解法． 难点：建立线性约束条件． 三、学习指导本节最常用的数学思想方法就是：数形结合法，因此，做出的每条直线的相对位置关系必须准确，否则观察结果时就可能有误． 四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．线性约束条件：由y x 、的__________不等式（或方程）组成的条件组； 2．线性目标函数：关于y x 、的__________解析式；3．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的__________或__________的问题，统称为线性规划问题．4．可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的__________叫可行解．由所有可行解组成的__________叫做可行域．5．使目标函数取得_______或________的可行解叫线性规划问题的最优解． ▲ 二读教材1．已知41,31≤≤-≤≤y x ,则y x 23+的取值范围是 ．2．求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>++<++<016340440y x y x x 的整数解()y ,x 是__________．▲ 三读教材1．目标函数y x z -=2,将其看成直线方程时，z 的意义是 ( )A ．该直线的截距B ． 该直线的纵截距C ．该直线纵截距的相反数D ．该直线的横截距 2．设E 为平面上以A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为 .3．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,y x ,y x ,y x 3213则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．234．在约束条件：102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下，求22y x z +=的最小值． 五、典型例析例1 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+,02,1,42x y x y x(Ⅰ)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (Ⅱ)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．例2 要将大小不同甲、乙的两种钢板截成A 、B 、C 三种不同规格的钢板，每种钢板可同甲、乙每张钢板的面积分别为1平方米、2平方米.现在需要A 、B 、C 三种钢板各12、15、27块，问各截甲、乙两种钢板各多少张，能满足需要且使所使用的甲、乙两种钢板面积和最小？ 例3 (2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ,目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)例4 如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( ) A.5－1 B.45－1 C ．22－1 D.2－1六、课后自测 ◆ 基础知识自测1．下列命题正确的是 （ ）A ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或y 的值B ．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D ．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z=2x+4y 的最小值为 ( )A ．5B ．－6C ．10D ．－103．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种4．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x 且84422+--+=y x y x u ，则u 的最小值是 ．5．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 ．◆ 能力提升训练1．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例是2：3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是 ( )A ．⎩⎨⎧∈≤+N y x y x 、532 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+N y x y x y x 、3220004050 C ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+321004050y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x 2．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分包括周界），目标函数z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为（ ） A ．3-B ． 3C ．1-D ．13．4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花 与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花与3枝月季 花的价格比较结果是（ ）A ．2枝牡丹花贵B ． 3枝月季花贵C ．相同D ．不确定 4．△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A （2，4）B （-1，0）C （1，0），当点P （x,y ）在△ABC 的内部及边界上运动时，z=x-y 的最大值与最小值分别是 .5．满足约束条件,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x 的点（x,y ）中使目标函数z=6x+8y 取得最大值的点的坐标是 ．6．设M 为平面上不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+-≥++≤-+020204340634y x y x y x y x 表示的平面区域.求点(x ，y )在M 上变动时，y －2x 的最大值.◆ 智能拓展训练1．设f(x)=ax 2＋bx ，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．2.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x ，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3xyA(1,1)B(5,1)C(4,2)3.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 4.某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B ． （Ⅰ）用x 、y 表示混合物成本C ．（Ⅱ）确定x 、y 、z 的值，使成本最低．5．已知O 为坐标原点，A(2,1)，P(x ，y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ,则| |·cos ∠AOP 的最大值等于______．3.3.2简单的线性规划问题答案▲ 一读教材1．一次；.2．一次；3．最大值、最小值； 4．解（x ,y ）、集合；5．最大值、最小值． ▲ 二读教材 1．[1,17]2．整数解有:(－1,－1)、( －1,－2)、()3,1--( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1) ▲ 三读教材1．C ； 2；14，-18 3． B ； 4．29100． 课后自测◆ 基础知识自测1. D ；2.B ；3.C ；4. 29； 5.9 ． ◆ 能力提升自测1.B ；2.A ；3.A ；4.1,－2 ；5.(0,5) ；6. 724． ◆ 智能拓展训练 1. 解 依题：⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a 而()b a f 242-=-设)()()2(b a n b a m f ++-=-则⎩⎨⎧-=+-=+24n m n m ⎩⎨⎧==∴13n m10)()(31≤++-≤-∴b a b a)2(-∴f 的取值范围是：[]10,1-2. 解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x 所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，∵ABC S ∆＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.答案：D3. 解析：选B.将直线y ＝x ＋1与y ＝2x －1联立解得A (2,3)，据题意即为最优解，又点A 必在直线x ＋y ＝m 上，代入求得m ＝5.4. 解 （Ⅰ）依题意：x 、y 、z 满足x+y+z=100可化为z=100-x-y ∴ 成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）（Ⅱ）依题意⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x∵ y x z --=100∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+0,0130316032y x y x y x作出不等式组所对应的可行域，如图所示． 联立⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 的交点)20,50(A 作直线C y x =++40057则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过)20,50(A 时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元 ∴ x=50千克，z=30千克时成本最低．5. 解析：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图)，由于|OP |·cos ∠AOP＝OAAOPCOS OA OP ∠⋅＝OAOAOP ⋅，而OA ＝(2,1)，OP ＝(x ，y )，所以|OP |·cos ∠AOP ＝2x ＋y5，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值，由⎩⎨⎧=+=+-2553034y x y x 得M (5,2)，这时z ＝12，所以|OP |·cos ∠AOP ＝125＝1255，故|OP |·cos ∠AOP 的最大值等于1255.答案：1255。
高二数学人教A必修5练习：3.3.2 简单的线性规划问题(一) Word版含解析
3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12 B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)， 即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________． 答案 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。
人教A版高中数学必修五练习简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y ,若将其看成直线方程,则z 的几何意义是( ) A .该直线的截距 B .该直线的纵截距 C .该直线的纵截距的相反数 D .该直线的横截距z=3x-y ,得y=3x-z ,在该方程中-z 表示直线的纵截距,因此z 表示该直线的纵截距的相反数.2. 目标函数z=x-y 在{2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x +y ≤1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为( )A .(0,1)B .(-1,-1)C .(1,0)D .(12,12),当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=12,y=12时,z=0.排除选项A,B,D,故选C .3.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤3,x -y ≥-1,y ≥1,目标函数为z=4x+2y ,则有( )A.z 有最大值无最小值B.z 有最小值无最大值C.z 的最小值是8D.z 的最大值是10z=4x+2y ,得y=-2x+z.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示. 平移直线y=-2x ,当直线y=-2x+z经过点B (0,1)时,直线y=-2x+z在y 轴上的截距最小,此时z 最小,且z min =2.当直线y=-2x+z2经过点C (2,1)时,直线y=-2x+z 2在y 轴上的截距最大,此时z 最大,且z max =4×2+2×1=10.故选D .4.若直线y=2x 上存在点(x ,y )满足约束条件{x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为( )A.-1B.1C.32D.2,由{y =2x ,x +y -3=0得交点P (1,2).当直线x=m 经过点P 时,m 取到最大值1.5.已知实数x ,y 满足约束条件{x -y +4≥0,x +y ≥0,x ≤3,则z=2x+y 的最小值为 .z=2x+y ,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y 的最小值是-2.26.已知变量x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=x+y-2的最大值为 .作出可行域,如图阴影部分所示.由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取得最大值. 易知A (1,2),故z max =1+2-2=1.7.铁矿石A 和B 的含铁率a 、冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO 2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.A x 万吨,铁矿石B y 万吨,购买费用为z ,则根据题意得到的约束条件为{x ≥0,y ≥0,0.5x +0.7y ≥1.9,x +0.5y ≤2,目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z 经过点(1,2)时,z 取最小值,且z 最小值=3×1+6×2=15.8. 已知S 为平面上以A (3,-1),B (-1,1),C (1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x ,y )在区域S 上移动. (1)求z=3x-2y 的最值;(2)求z=y-x 的最大值,并指出其最优解.z=3x-2y 可化为y=32x-z 2=32x+b ,故求z 的最大值、最小值,相当于求直线y=32x+b 在y 轴上的截距b 的最小值、最大值,即b 取最大值,z 取最小值;反之亦然.①如图①,平移直线y=32x ,当y=32x+b 经过点B 时,b max =52,此时z min =-2b=-5;当y=32x+b 经过点A 时,b min =-112,此时z max =-2b=11.故z=3x-2y 的最大值为11,最小值为-5.(2)z=y-x 可化为y=x+z ,故求z 的最大值,相当于求直线y=x+z 在y 轴上的截距z 的最大值.如图②,平行移动直线y=x ,当直线y=x+z 与直线BC 重合时,z max =2,此时线段BC 上任一点的坐标都是最优解.②9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益?x 亩脐橙,y 亩甜柚时,能获得利润z 元.则z=(1 000×6-4 000)x+(1 500×10-12 000)y=2 000x+3 000y ,其中x ,y 满足条件{x +y ≤20,4 000x +12 000y ≤120 000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤20,x +3y ≤30,x ≥0,y ≥0,作出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-23x+z3 000经过点A (15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元. 能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z=5y-x 的最大值为a ,最小值为b ,则a-b 的值是( )A.48B.30C.24D.16,如图阴影部分所示.由图可知,当直线y=x 5+z5经过点A 时,z 有最大值;经过点B 时,z 有最小值.联立方程组{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4,即A (4,4).对x+y=8,令y=0,则x=8,即B (8,0), 所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8, 则a-b=16-(-8)=24,故选C .2.已知正数x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=22x+y 的最大值为( )A .8B .16C .32D .64t=2x+y ,可求得当直线t=2x+y 经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t 取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.3.已知x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -y +1≤0,x +2y -2≤0,若z=x-3y+m 的最小值为4,则m=( )A .6B .8C .10D .12,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m ,得y=13x-z 3+m 3,则由图可知z=x-3y+m 在点A (-2,2)处取得最小值,则有z=-2-3×2+m=4,所以m=12,故选D .4.已知变量x ,y 满足约束条件{y ≤2,x +y ≥1,x -y ≤1,则z=3|x|+y 的取值范围为( )A.[-1,5]B.[1,11]C.[5,11]D.[-7,11],由可行域可知,当x≥0时,z=3x+y的取值范围是[1,11];当x<0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5].综上,z=3|x|+y的取值范围为[1,11].5.若变量x,y满足约束条件{2x-y≥0, x+2y≥0, 3x+y-5≤0,则z=x+y2的取值范围为.(△OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+y2经过点A时,z取得最大值,即z max=1+22=2;当直线z=x+y2经过点O时,z取得最小值,即z min=0.所以z=x+y2的取值范围为[0,2].6.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是元.x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则{x+2y≤12,2x+y≤12,x≥0,y≥0,z=300x+400y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由{x+2y=12,2x+y=12得{x=4,y=4,所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.7.已知z=2y-2x+4,其中x ,y 满足条件{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t ,则当直线2y-2x=t 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线2y-2x=t 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4. 故z 的最大值为8,最小值为4.8.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?x 万元,投资乙项目y 万元,可获得利润为z 万元,则{x +y ≤60,x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,目标函数为z=0.4x+0.6y. 作出满足题意的可行域如图阴影部分所示. 由z=0.4x+0.6y ,得y=-23x+53z.由{3x -2y =0,x +y =60,得A (24,36).由图知,当直线y=-23x+53z 经过点A 时,53z 取得最大值,即z 取得最大值. 故z max =0.4×24+0.6×36=31.2(万元), 即一共可获得的最大利润为31.2万元.。
新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习-精选教育文档
简单的线性规划问题知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1.目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值. 2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值. (4)答：写出答案.例题讲解：已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)求2x ＋y 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值；(3)求yx 的最大值和最小值.解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1) (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z max ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z min ＝2×1＋2＝4. ∴2x ＋y 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，32. 点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内，此时可行域内的点M 到原点的距离最大， 点N 到原点的距离最小.又|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13， ∴x 2＋y 2的最小值为92，最大值为13.(3)∵y x 表示可行域内一点(x ，y )与定点O (0，0)连线的斜率，知k OB ≤y x ≤k OA ，即12≤yx ≤2，∴y x 的最大值为2，最小值为12. 题型一：求线性目标函数的最值问题1、 已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0x ＋3≥0y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是3解析 画出可行域(如图阴影部分所示)．画直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，直线l 过点M ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0y ＝2，得点M (－1,2)．∴当x ＝－1，y ＝2时，z 取得最大值，且z max ＝－1＋2×2＝3． 2、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，则z ＝x －2y 的最大值为1解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，1)，B (2，1)，C (1，0)，设z ＝F (x ，y )＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值，∴z 最大值＝F (1，0)＝13、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为4.解析 作出可行域，如图所示.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 当目标函数z ＝3x －y 移到(2，2)时，z ＝3x －y 有最大值4.4、已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为8.解析 由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点A (0，2)处取得最大值8.5、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为－7解析 可行域如图阴影部分(含边界).令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5，3).∴z min ＝3－2×5＝－7. 6、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是[2，6]解析 如图，作出可行域， 作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2，0)时，有最小值2，过点B (2，2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2，6].7、设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求x ＋y 的取值范围.解 如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2，0). z 最小值＝2，z 无最大值， ∴x ＋y ∈[2，＋∞).8、已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是[0，2] 解析 作出可行域，如图所示，因为OA →·OM →＝－x ＋y .所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1，1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0； 过点Q (0，2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， 所以OA →·OM →的取值范围是[0，2].9、设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为__－10__解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．10、在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)、B (－1,2)、C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为__[－1,3]__．解析 画出三角形区域如图，易知k AB ＝23<1，令z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当经过点C 时，z min ＝－1，当经过点B 时，z max ＝3， 题型二：非线性目标函数的最值1、变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为5解析 作出不等式组对应的平面区域，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，2、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为5解析x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域如图：目标函数z ＝4y ＋4x ＋2＝4×y ＋1x ＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝6，可得A (2，4)，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.3、实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是[－1，1)解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1).4、已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是5解析 令z ＝x 2＋y 2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d ＝x 2＋y 2， 即可行域中的点到原点的距离， 由图得d min ＝1＋4＝5，∴z min ＝d 2＝5.5、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |解析 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题． 不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM |的最小值即O 到直线x ＋y －2＝0的距离．故|OM |的最小值为|－2|2＝2．6、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( )解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)，z ＝2y ＋2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0，4)时，斜率最大，最大值为4－（－1）0－（－1）＝5，∴z max ＝2×5＝10.故选D.7、已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围. （3）z ＝|x ＋2y －4|的最大值解析 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3，1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －－表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线的斜率的2倍，因为k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围为⎣⎡⎦⎤34，72. （3）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，此时z max ＝21. 题型三：由目标函数的最值求参数的值1、已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于5解析 作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数为z ＝x －y ，得y ＝x －z ，当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝52、在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0x ≤a (a 为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y 的最大值．解析 由题意得：S ＝12×2a ×a ＝4，∵a >0，∴a ＝2．设z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xx ＝2，得(2,2)，即z 在(2,2)处取得最大值6．3、在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为-3解析 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za 与其中一条边平行，三边斜率分别为13，－1，0与－1a 对照知a ＝－3或a ＝1.又因为z ＝x＋ay 取最小值，则a ＝－3.4、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为1解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝15、若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是(－4,2)解析 作出可行域如图所示，由已知可得：－1<－a2<2，即－4<a <2．6、已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围． 解析 依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ， 若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.7、x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a ＜2时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.] 8、若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝－2解析 如图，画出可行域，l 0：2x ＋y ＝0，当l 0：2x ＋y ＝0运动到过点A (k ，k )时，目标函数取得最小值－6，所以2k ＋k ＝－6，k ＝－2.题型四：线性规划的实际应用1、某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？解 设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x min 和y min ，总收益为z 元. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于错误!作出可行域如图阴影部分所示，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900得M (100，200).所以z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)＝70(万元). 所以该公司在甲电视台做100 min 广告，在乙电视台做200 min 广告，公司收益最大，最大值为70万元.2、某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为2 300元.解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元.。
人教A版数学高三简单的线性规划问题精选试卷练习(含答案)1
30．已知
x,
y
满足约束条件
1 x 1
y 2x
3, y
2.则 x2 y2 的最大值为___________.
试卷第 4页，总 7页
31．设函数
f
(x)
x 2, x ex , x 1
1
，D
是由
x
轴和曲线
y
f
x 及该曲线在 x
0处
的切线所围成的封闭区域，则 z x 2 y 在 D 上的最大值为________.
煤 t
电 kW h
A
3
9
4
B
10
4
5
已知生产1t A 产品的利润是 7 万元，生产1t B 产品的利润是12 万元.现因条件限制，企 业仅有劳动力 300 个，煤 360t ，并且供电局只能供电 200kW h ，则企业生产 A 、B 两
种产品各多少吨，才能获得最大利润？
50．已知关于 x 的一元二次函数 f (x) ax2 4bx 1.
y2
的最大值是_______
y 3
x 2y 1
35．设实数
x，y
满足
x
y
0
，则 z x 4 y 的最小值为______.
y 5
2x y 2 0
36．设 x, y 满足约束条件 8x y 4 0 x 0, y 0
，
则
3y 2x
9 1
的取值范围为____________.
2x 1
，则目标函数
z
4x
3y
的最小值为_____．
y
1
x
4
2
2x y 3
40．已知实数
x,
人教A版高中数学必修五课时作业第一课时简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题[选题明细表]知识点、方法题号线性目标函数的最值1,3,6非线性目标函数的最值2,5,7,8含参数的线性规划问题4,9,10,11,12基础巩固1.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为( B )(A)4和3 (B)4和2 (C)3和2 (D)2和0解析: 作出可行域,通过目标函数线的平移寻求最优解.作出可行域如图阴影部分,作直线2x+y=0,并向右上平移,过点A时z取最小值,过点B时z取最大值,可求得A(1,0),B(2,0),所以z min=2,z max=4.故选B.2.(2019·杭州高二检测)已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为( D )(A) (B)2 (C)8 (D)10解析: 画出可行域(如图所示).(x+3)2+y2即点A(-3,0)与可行域上点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.故选D.3.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是( A )(A)[-,6] (B)[-,-1](C)[-1,6] (D)[-6,]解析:作出可行域如图所示.目标函数z=3x-y可转化为y=3x-z,作l0:3x-y=0,在可行域内平移l0,可知在A点处z取最小值为-,在B点处z取最大值为6.故选A.4.(2019·太原高二检测)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( B )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值,由得所以z min=2-2a=1,解得a=,故选B.5.已知实数x,y满足则z=|3x+4y-5|的最大值为( D )(A)1 (B)2 (C)8 (D)9解析:如图阴影部分为不等式组表示的可行域,z=|3x+4y-5|=×5,其几何意义为可行域内的点到直线3x+4y-5=0的距离的5倍,显然点(0,-1)到直线3x+4y-5=0的距离最大,此时z max=9.故选D.6.(2019·微山高二检测)设x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为.解析: 不等式组表示的平面区域如图所示.把z=3x+y变形为y=-3x+z得到斜率为-3,在y轴截距为z的一族平行直线,由图得当直线l:y=-3x+z过可行域内一点M时,在y轴截距最大,z 也最大.由得即M(3,-2).所以当x=3,y=-2时,z max=3×3+(-2)=7.答案:77.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是.解析: 由不等式组,得可行域是如图阴影部分以A(0,0),B(0,1), C(-0.5,0.5)为顶点的三角形,易知当x=0,y=0时,z′=x+2y取得最小值0,所以z=3x+2y的最小值为1.答案:18.已知求:(1)z=x2+y2-10y+25的最小值;(2)z=的范围.解: 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).(1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是|MN|2=.(2)z=2·表示可行域内任一点(x,y)与定点Q (-1,-)连线的斜率的两倍,因为k QA=,k QB=,故z的范围为[,].能力提升9.(2019·山东临沭期中)已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( B )(A)7 (B)5 (C)4 (D)3解析: 作出不等式组对应的平面区域如图,由目标函数z=x-y的最小值是-1,得y=x-z,即当z=-1时,函数为y=x+1,此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方, 由解得即A(2,3),同时点A也在直线x+y=m上,即m=2+3=5.故选B.10.已知x,y满足约束条件如果(2,)是z=ax-y取得最大值时的最优解,则实数a的取值范围是.解析: 画出可行域如图,将目标函数化为直线的斜截式方程y=ax-z,当目标函数的斜率大于等于3y-x=2的斜率时,直线y=ax-z在点(2,)处截距最小,即a≥时,(2,)是目标函数z=ax-y取得最大值时的最优解.答案:[,+∞)11.(2019·绵阳高二检测)若x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围. 解: (1)作出可行域如图,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0),平移初始直线y=x,当过A(3,4)时z取得最小值-2,当过C(1,0)时,z取得最大值1.所以z的最大值为1,最小值为-2.(2)由ax+2y=z,得y=-x+,因为直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范围为(-4,2).探究创新12.(2019·聊城高二检测)设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,求m的取值范围.解: 根据约束条件画出可行域如图所示,将目标函数化为斜截式y=-x+,结合图形可以看出当目标函数过y=mx 与x+y=1的交点时取到最大值.联立得交点坐标为(,).将其代入目标函数得z max=.由题意可得<2,又m>1,所以1<m<1+.故m的取值范围为(1,1+).。
人教版A版高中数学必修5：简单的线性规划问题(1)
最优解：
使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
模 型
x y
y
2
2x y 12
y y=x
心安 B
C
A
y=2
向远 O
x
y=-2x+12
变式一
变式二
若目标函数为 z 3x y ，
代数
二元一次不等式组 目标函数 z= x+y
z的最值
几何
平面区域
数 形
结
直线 y= -x+z
合
y轴截距的最值
谢谢观看
问题 1.列出有序实数对 (x, y) 满足的二元一次不等式组.
问题 2.画出二元一次不等式组所代表的平面区域？
x y
2yx2y 12
x
0
y 0
y y=x
B
C
A
y=2
O
x
y=-2x+12
x y
2yx2y 12
x
0
y 0
若目标函数为 z 2x+y ，
求 z 的最大值、最小值和取值范围.
求 z 的最大值.
y y=x
B
C
A
y=2
O
x
y=-2x+12
变式三
若目标函数为 z ax y(2 a 4) ，
并且 z 的最大值为 17，求 a 的值;
y y=x
B C
A 2020 y=2
O
x
y=-2x+12
人教A版高中数学必修五 3-5简单的线性规划问题习题课
3.5简单的线性规划问题习题课（检测学生版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱4．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．106．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．8．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳均为6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．。
人教A版高中数学必修五 3-5 简单的线性规划问题习题课
3.5简单的线性规划问题习题课一、教学目标：知识与技能：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。
过程与方法：1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；情感、态度与价值观：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二．重点难点重点：解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
难点：建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。
三、教材与学情分析本节课是在第一节课的基础上，把二元一次不等式提升到二元一次不等式组，也就是两个个区域的公共区域。
增加了内容的难度，让学生慢慢学会画线性规划的可行域，并且准确无误。
通过第一节课的讲解，学生已经了解了二元一次不等式所表示的几何意义，在这个基础上把二元一次不等式提升到二元一次不等式组，也就是两个个区域的公共区域。
四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课练习1:(1)作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域.将z1=x+y变形为y=-x+z1,这是斜率为-1、随z1变化的一簇平行直线. z1是直线在y轴上的截距.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z1=x+y取得最值.由图可见,当直线z1=x+y经过可行域上的点B时,截距z1最小.解方程组得B点的坐标为x=,y=.所以z1的最小值为.同理,当直线z1=x+y与可行域的边界x+y=6重合时,z1最大为6.(2)同理将z2=3x+y化为y=-3x+z2,这是斜率为-3的一簇平行直线.如图所示,当它过可行域上的点A(0,6)时,z2最小为6.(3)同理将z3=x+4y化为y=-x+,它是斜率为-的一簇直线.如图所示,当直线经过可行域上的点C时,最大,即z3最大.解方程组得点C的坐标为x=,y=.所以z3的最小值为.问题1:是目标函数对应的直线的斜率与可行域中边界对应的直线的斜率的大小关系不同导致的.练习2:解:z=ax+y可化为y=-ax+z,因为z=ax+y在可行域中的点B处取得最小值,所以,直线z=ax+y与可行域只有一个公共点B或与边界AB重合,或与边界BC重合.因此-2≤-a≤-.所以实数a的取值范围是.练习3:学生探究一:可以把可行域中的所有“整点”都求出来.求这些最优解时,可根据可行域对x的限制条件,先令x去整数,然后代入到可行域,求出y的范围,并进一步求出y的整数值.学生探究二:由于x,y∈N,则必有x+y∈N.又因为当x=,y=时,z1的最小值为,且直线z1=x+y 应该向上方(或右方,或右上方)移动,所以相应的z1的值大于.所以令z1=x+y=5,即y=-x+5,代入得，即1≤x≤3,所以当或时,z1取得最小值5.问题2:结合等量关系,将“二元”问题转化为“一元”问题求解.当可行域范围较小,包含的整点个数很少时,方法一比较简洁;反之,方法二较为简洁.（二）、运用规律,解决问题【例题】解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分).由题意,得目标函数为z=x+y.可行域如图所示.把z=x+y变形为y=-x+z,得到斜率为-1、在y轴上截距为z的一族平行直线.由图可以看出,当直线z=x+y经过可行域上的点M时,截距z最小.解方程组得点M.而此问题中的x,y必须是整数,所以M不是最优解.经过可行域内整点且使截距z最小的直线是y=-x+12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.z min=12.答:要解得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板张数最小的方法有两种,第一种截法是第一种钢板3张,第二种钢板9张;第二种截法是第一种钢板4张,第二种钢板8张.两种截法都最少要两种钢板12张.问题3:规律:(1)找出实际问题中的数量关系,根据数量关系设出合理的两个变量x,y;(2)用x,y表示实际问题中的数量关系,得到线性约束条件和目标函数;(3)用图解法解答线性规划问题的最优解,必要时要探求“整点”;(4)用最优解作答实际问题.（三）、变式训练,深化提高变式训练1:解:设每天食用x kg食物A,y kg食物B,总成本为z,那么可化为目标函数为z=28x+21y.作出不等式组表示的平面区域,即可行域.平移直线z=28x+21y知,当直线经过表示的点时,z min=28×+21×=16.答:每天食用食物A约143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元.问题4:条件中的不等式组对应平面区域;图形;数形结合;也和图形结合起来;表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;表示可行域内的点(x,y)与点(0,3)的距离.变式训练2:解析:如图所示,可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线是介于直线OC和y轴之间,根据斜率的变化规律,直线OC的斜率最小为,所以的最小值为表示可行域内的点(x,y)与点P(0,3)的距离,所以结合图形可以知道点P到直线AB的距离就是的最小值为.（四）、反思小结,观点提炼问题5:数形结合;平移直线时,要根据目标函数对应直线的斜率确定该直线与可行域边界直线的相对位置关系;在图形变化的过程中,寻求对应的斜率的变化范围,等等.（五）当堂检测：1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是（）. A．50402000x y+=B．50402000x y+≤C．50402000x y+≥D．40502000x y+≤2. 已知,x y满足约束条件0403280,0xyx yx y≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，则25z x y=+的最大值为（）.A．19 B．18 C．17 D．163. 变量,x y满足约束条件232421229360,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩则使得32z x y=+的值的最小的(,)x y是（）.A．（4，5）B．（3，6）C．（9，2）D．（6，4）4.已知实数,x y满足约束条件240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数2z x y=+的最大值为______________5.设变量,x y满足约束条件3023x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则目标函数2x y+的最小值为______________六、课堂小结知识：1、把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法。
高中数学 3.3第3课时 线性规划的应用练习 新人教A版必
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.3第3课时 线性规划的应用练习 新人A 教版必修5一、选择题1．(2015·北京理，2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．32 D ．2[答案] D[解析] 如图，先画出可行域，由于z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋12z ，令z ＝0，作直线y＝－12x ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，z 取得最大值2.2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤44x －y ≥－1x ＋2y ≥2，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32][答案] A[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l 0：3x －y ＝0，将直线平移至经过点A (2,0)处z 有最大值，经过点B (12，3)处z 有最小值，即－32≤z ≤6.3．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[答案] A[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z ＝x －y 即y ＝x －z .经过点A (2,1)时，纵截距最大，∴z 最小．z min ＝1.4．(2015·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14[答案] C[解析] z ＝3x ＋y ＝52(x －2)＋12(x ＋2y －8)＋9≤9，当x ＝2，y ＝3时取得最大值9，故选C ．此题也可画出可行域如图，借助图象求解．5．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．43 B ．83 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝83.6．(2015·哈尔滨质检)已知变量x ，y 满足的不等组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 的值为( )A ．0或－2B ．0或－12C ．－12D ．－2[答案] B[解析] 直线kx －y ＋1＝0过定点(0,1)，由条件可知，直线kx －y ＋1＝0与直线x ＝0或直线y ＝2x 垂直，∴k ＝0或k ＝－12，故选B ．二、填空题7．(2015·全国Ⅰ理，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．[答案] 3[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故y x的最大值为3.8．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0x ＋3≥0x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 25[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．由图知，A (－3，－4)，B (－3,2)，C (3,2)， 则|OA |＝9＋16＝5， |OB |＝9＋4＝13， |OC |＝9＋4＝13.设P (x ，y )是不等式组表示的平面区域内任意一点， 则x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)2＝|OP |2，由图知，|OP |的最大值是|OA |＝5，则x 2＋y 2最大值为|OA |2＝25. 三、解答题9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．[解析]设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y≤1204x＋11y≤4004x＋6y≤240x≥0y≥0，作出可行域如图所示．目标函数为：z＝2x＋y.作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B 型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．[解析]设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x≤8，y≤4，x＋y≤10，4x×6＋3y×10≥180，x≥0，y≥0，目标函数为z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．作出可行域如图所示．由图易知，当直线z ＝320x ＋504y 在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z ＝320x ＋504y 取得最小值，z min ＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出A 型车8辆，B 型车0辆，公司所花成本费最低．拓展应用提能 一、选择题11．(2015·湖南文，4)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[立意与点拨] 考查线性规划的应用；先画出可行域，再平移直线l ：2x －y ＝0确定最优解．[答案] A[解析] 由约束条件作出可行域，然后根据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y －x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，∴A (0,1)，∴z ＝2x －y 在点A 处取得最小值为2×0－1＝－1，故选A ．12．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥02x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28[答案] A[解析] 作出可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，∴y ＝－34x ＋z4求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z4截距的最小值．经讨论知点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M (3,1)． ∴z min ＝9＋4＝13.13．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 800元B ．2 400元C ．2 200元D ．2 000元[答案] C[解析] 设调用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，则0≤x ≤4,0≤y ≤8,20x ＋10y ≥100，即2x ＋y ≥10，设运输费用为t ，则t ＝400x ＋300y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤82x ＋y ≥10，作出可行域如图，则当直线y ＝－43x ＋t300经过可行域内点A (4,2)时，t 取最小值2 200，故选C ．14．(2015·南昌市一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m，若目标函数z ＝2x ＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－12[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0y ＝m得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0y ＝m得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝10－4m ＝2，解得m ＝2.二、填空题15．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ≥0x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．[答案] －1[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示．由图知，z 是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取最小值，此时x ＝－1，y ＝1，则z 的最小值是z min ＝2x ＋y ＝－2＋1＝－1.16．(2015·全国Ⅱ文，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．[答案] 8[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，表示的可行域是以A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)为顶点的三角形区域，z ＝2x ＋y 的最大值必在顶点C 处取得，即x ＝3，y ＝2时，z max ＝8.三、解答题17．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t 和1.5 元/t ，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t 和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？[解析] 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )(万元)即z ＝716－0.5x －0.8y .x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0200－x ≥0260－y ≥0x ＋y ≤280200－x ＋260－y ≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2000≤y ≤260100≤x ＋y ≤280，作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x ＋y ＝280与y ＝260的交点为M ，则M (20,260)．把直线l 0：5x ＋8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M 时，z 的值最小．∵点M 的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．18．某厂有一批长为18m 的条形钢板，可以割成1.8m 和1.5m 长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．[解析] 设割成的1.8m 和1.5m 长的零件分别为x 个、y 个，利润为z 元， 则z ＝20x ＋15y －(x ＋0.6y )即z ＝19x ＋14.4y 且 ⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ≤18x ＋0.6y ≤8x 、y ∈N，作出不等式组表示的平面区域如图，又由⎩⎪⎨⎪⎧ 1.8x ＋1.5y ＝18x ＋0.6y ＝8，解出x ＝207，y ＝607， ∴M (207，607)， ∵x 、y 为自然数，在可行区域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)； 过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．M (207，607)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z ＝19x ＋14.4y 过点(1,10)时，z ＝163；过点(2,9)时z ＝167.6.∴当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值．答：只要截1.5m 长的零件12个，就能获得最大利润．。
人教课标版高中数学必修5《简单线性规划问题》基础训练
《简单线性规划问题》基础训练题组一 简单的线性规划问题1.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，将区域20,0,340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段标记为AB ，则AB =（）B.4D.62.设变量,x y 满足约束条件,22,2,y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则3z x y =-的最小值为（）A.2B.4C.6D.8----1,3.4,271,0,≥⎧⎪+≤=+⎨⎪++≤⎩已知，满足目标函数的最大值为，最小值为，则的值分别为（）x x y x y z x y b cx by c A.1,4B.1,3C.2,1D.1,2------- 4.若满足约束条件1,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（）()()](()A.1,2B.4,2C.4,0D.2,4----28,5.25,04,03,+≤⎧⎪=+≤≤⎨⎪≤≤⎩设函数其中，满足条件求的最大值与最小值.x y z x y x y x z y题组二 非线性目标函数的最值问题()](())10,6.,0,2,A.0,2B.0,2C.2,D.2,-+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩+∞+∞⎡⎣若实数满足约束条件则的取值范围是（）x y y x y x x y7.若实数,x y 满足不等式组330,10,1,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的取值范围是（）[][][][]A.1,3B.1,11C.1,3D.1,11--8.若实数,x y 满足 270,350,0,0,x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则212x y z +⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为（） 1A.321B.161C.81D.49.已知1,10,20,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩则22x y +的最小值是____.10.设,x y 满足条件50,0,3.x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩()()()22125324.u x y y v x z x y =+=-=++求的最大值与最小值；求的最大值与最小值；求的最大值与最小值 题组三 线性规划中的最优整数解问题11.若满足条件0,22,x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,的整点(),x y (整点是指横、纵坐标都是整数的点）恰有9个，则整数a 的值为（）A.3B.2C.1D.0---12.某人有一幢楼房，室内面积共1802180m ，拟分隔成两类房间作 为旅游客房.大客房每间面积为218m ，可住游客5名，每名 游客每天住宿费为40元;小房间每间面积为215m ，可住游 客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需 1 000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元 用于装修，且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各 多少间，才能获得最大收益？参考答案1.C 如图，不等式组表示的平面区域为PMQ △及其内部.因为直线20x y +-=与直线0x y +=平行，又区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成 线段 AB ，所以.AB PQ =由()()()()22340,2,1,1,Q 2,20,0,12123 2.x y x P x y x y AB PQ -+==⎧⎧--⎨⎨+=+=⎩⎩∴==--++=解得由解得2.D 作可行域如图所示，当3z x y =-过点 ()2,2A -时，z 取最小值,2328.z =--⨯=-3.D 由题意知，直线0x by c ++=经过直线27x y +=与直线4x y +=的交点，且经过直线21x y +=和直线=1x 的交点，即经过点（3,1)和点（1，-1),30,10,b c b c ++=⎧∴⎨-+=⎩1,2.b c =-⎧⎨=-⎩()()()4.B 1,0,0,1,3,4,1, 2.2,124 2.222=-==+=-+-<-<-<<可行域如图所示，边界交点由得由得AB AC A B C k k z ax ya z a y x a5.解析在平面直角坐标系xOy 内画出不等 式组所表示的平面区域，即可行域（如图 中阴影部分).把25z x y =+变形为2155y x z =-+得到斜率为25-，在y 轴上的截距为15z 随z 变 化的一族平行直线.由图可以看出，当直线2155y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距15z 最大，即z 最大.解得方程组()28,2,2,33,3,x y x M y y +==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得故此时max 225319z =⨯+⨯=.易知原点到直线250x y +=的距离最小，故min 0.z =6.D 可行域如图阴影部分所示，A (1，2).目 标函数y x可视为可行域内的点(),x y 与原点（0,0)连线的斜率，2OA k =而[),2,.OB k k →+∞∈+∞故7.D 作出不等式组对应的平面区域如图所示，当0x ≥时,2z x y =+，即2y x z =-+，由图 象可知其经过A (0,-1)时，min 1z =-，经过 B (6，-1)时，max z = 11；当x <0 时,2y x z =+ , 由图象可知其经过C (-2,-1)时,max z = 3，经过()min 0,1,1,111.A z z -=-∴-≤≤时8.B 作出不等式组20,350,0,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩所表示的区域,求212x y z +⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值,即求'2z x y =+的最大值，由图可知，'z 在点A (1,2)处 取得最大值4，即212x yz +⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为411=.216⎛⎫ ⎪⎝⎭9.答案 5解析 作出可行域，则目标函数22z x y =+表示可行域内的点到原点的距离的平方，显然当1,2x y ==时，min 5.z =10. 解析画出满足条件的可行域，如图中阴 影部分所示.(l)22x y u +=表示一组同心圆（圆心为原 点0)，且对同一圆上的点22x y +的值都相 等，由图象可知，当(),x y 在可行域内取值 时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过（0， 0)时，u 最小 ，()max min 3,8,73,0.C u u ∴==（2）5y v x =-表示可行域内的点(),P x y 与定点D (5,0)连线的斜率，由图象可知，BD k 最 大，CD k 最小.()()max min 3383,8,3,3,, 4.35235C B v v --∴====--- (3)242455x y z x y ++=++=表示可行域内的点(),P x y 到直线240x y ++=5，由图象知点A 到直线 2x y ++4=0的距离最小，点到直线得距离最大.()min max552422553,,3,8,5,22252384518.5A C zz⎛⎫⨯-++⎪⎛⎫⎝⎭-∴=⨯=⎪⎝⎭⨯++=⨯=11.C 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a= 0时，只有4个整点，分别为（1,1), (0, 0), ( 1,0), (2,0).当a= -l 时，正好增加（-1,-1),(0, —1)，（1,-1),(2，-1)，（3，-1)5 个整点. 故选C.12.解析设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，由题意可1815180,6560,10006008000,5340,,N.2001500,0,,N.4,.3150x y x yx y x y x y z x yx yx yzy x+≤+≤⎧⎧⎪⎪+≤+≤∈=+⎨⎨⎪⎪≥≥∈⎩⎩=-+得即且目标函数为,即且画出可行域如图阴影部分所示直线43y x=-，平移到经过B点时,z取得最大值，但2060,77B⎛⎫⎪⎝⎭并非整点，故要进一步搜索.利用2060,77B⎛⎫⎪⎝⎭附近的网格,可在B附近找到()()()2,92,83,8A C D、、这几个整点.因为斜率为43-，故在直线平移过程中，必先过D点，因此,A C两点被排除，利用网格知（0,12)，（3，8)为最优整点解.所以他隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益.。
人教A版高中数学必修5第三章第3节《简单线性规划》专题训练(含解析)
简单线性规划专题训练一．选择题：共10小题.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x 表示的平面区域为D ，若直线1+=kx y 将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是 A ．31 B ． 1 C ． 32D ． 2 2. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．233. 已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y x 2220确定．若),(y x M 为D上的动点，点A 的坐标为)1,2(，则→→⋅=OA OM z 的最大值为A ．3B ．4C ．23D ．244. 若平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+03203203y x y x y x 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A ．553 B ．2 C ．223 D ．5 5. 已知变量y x ,满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x .若目标函数y ax z +=(其中0>a )仅在点)0,3(处取得最大值，则a 的取值范围为 A ． ),21(+∞ B ．),21(+∞-C ．)21,(-∞D ．)21,(--∞ 6. 已知0>a ， y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x 若y x z +=2的最小值为1，则a 等于A ．41 B ．21C ．1D ．2 7. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0048022y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．48. 设y x +=z ，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002,若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．3-B ．2-C ．1-D ．09. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ,则122++x y 的最大值是A ．5B ．6C ．8D ．1010. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z的最大值为12，则ba 32+的最小值为 A ．625 B ．65 C ．256 D ．56二．填空题.11. 若点)3,1(和)2,4(-在直线02=++m y x 的两侧，则m 的取值范围是_______．12. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则251022+-+=y y x z 的最小值为 ．13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则目标函数11++=x y z 的最大值和最小值分别为 ．三．解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ．（Ⅰ）设xyz =，求z 的最小值； （Ⅱ）设22y x z +=，求z 的取值范围；（Ⅲ）设134622+-++=y x y x z ，求z 的取值范围．15．实系数一元二次方程022=-+b ax x 有两实根，一根在区间)1,0(内，另一根在区间)2,1(内.若1-=a bz ，求z 的取值范围．16． 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x .（Ⅰ）画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积； （Ⅱ）若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为4，求ba 321+的最小值.17．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，求可得最大利润z 的值.简单线性规划同步训练参考答案11．)6,5(- 12．29 13．3和21 1．A 【解析】由题意可得)1,0(A ，)0,1(B ，)3,2(C ．则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x 表示的平面区域为ABC ∆及其内部．直线1+=kx y 过定点A ， 要把ABC ∆分成面积相等的两部分，需过BC 中点M ， 此时12323+⋅=k ，解得31=k . 2．B 【解析】作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，y x z 32+=经过点)1,2(A 时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．B 【解析】由线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y x 2220，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，y x OA OM z +=⋅=→→2，将其化为z x y +-=2，结合图形可知，当目标函数的图像过点)2,2(时，z 最大，将点)2,2(代入y x z +=2，得z 的最大值为4.4．B 【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得)2,1(A ， 由⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得)1,2(B ．由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即2)12()21(22=-+-=AB .5．A 【解析】依据约束条件，画出可行域．∵直线032=-+y x 的斜率211-=k ，目标函数)0(>+=a y ax z 对应直线的斜率a k -=2， 若符合题意，则需21k k >，即a ->-21，得21>a . 6．B 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．易知直线y x z +=2过交点B 时， z 取最小值，由⎩⎨⎧-==)3(1x a y x ，解得⎩⎨⎧-==a y x 21，∴122min =-=a z ，解得21=a . 7．D 【解析】可行域如图所示．y abx z +=可化为z abx y +-=，由图知A 为最优解，∴841=+⋅ab ，即4=ab ；∴42=≥+ab b a 当且仅当2==b a 时取等号，即 4)(min =+b a ．8．A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，由y x +=z ，得z x +-=y ，由图可知当直线z x +-=y 经过点A 时， 直线z x +-=y 在y 轴上的截距最大，此时z 最大为6，由⎩⎨⎧=-=0y x k y ,得⎩⎨⎧==k y k x ,即点),(k k A ，∴6=+=k k z ，得3=k .当直线z x y +-=经过点B 时， z 取得最小值，由⎩⎨⎧=+==023y x k y ，解得⎩⎨⎧=-=36y x ，即点)3,6(-B ，此时z 的最小值为336-=+-.9．D 【解析】画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，11++x y 的几何意义是点)1,1(--M 与可行域内的点),(y x P 连线的斜率，当点P 移动到点)4,0(N 时，斜率最大，最大值为5)1(0)1(4=----，∴1052)122(max =⨯=++x y ． 10．A 【解析】画出可行域如图所示．由⎩⎨⎧=+-=--02063y x y x ，得)6,4(A ． 目标函数在)6,4(A 处取得最大值12， 所以632=+b a ， 从而有)6946(61)32)(326132ba ab b a b a b a +++=++=+（ 6252613)(613)66(61613=⋅+≥++=++=b a a b b a a b b a a b . 当且仅当56==b a 时取等号，所以b a 32+的最小值为625. 11．)6,5(-【解析】依题意有0]2)4(2)[312(<++-⨯++⨯m m ，即0)6)(5(<-+m m ，解得65<<-m ．12．29【解析】作出可行域如图阴影部分(含边界)所示， )3,1(A ， )1,3(B ，)9,7(C .22)5(-+=y x z 表示可行域内任一点),(y x 到点)5,0(M 的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故22323)1(12502==-++-=MN .∴29223(22==）MN ,即z 的最小值为29. 13．3和21【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于)1()1(11----=++=x y x y z ,故z 的几何意义是点),(y x 与点）1-,1(-M 连线的斜率，因此11++x y 的最值是点),(y x 与点）1-,1(-M 连线的斜率的最值， 由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵)2,0(B ， )0,1(C ,∴3max ==MB k z ， 21min ==MC k z . ∴z 的最大值为3，最小值为21. 14．【解析】由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由⎩⎨⎧=-+=025531y x x ，解得)522,1(A ； 由⎩⎨⎧==+-1034x y x ，解得)1,1(C ； 由⎩⎨⎧=-+=+-02553034y x y x ，解得)2,5(B （Ⅰ）因为00--==x y x y z ， 所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知52min ==OB k z ；（Ⅱ）22y x z +=的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知， 2min ==OC d ，29max ==OB d ；即292≤≤z ； （Ⅲ）2222)2()3(1346-++=+-++=y x y x y x z 的几何意义是可行域上的点到点)2,3(-的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到点)2,3(-的距离中，43-1min =-=）（d ， 83-5max =-=）（d . 所以6416≤≤z . 15．【解析】设b ax x x f 2)(2-+=， 因为一元二次方程022=-+b ax x 有两实根，一根在区间)1,0(内，另一根在区间)2,1(内，所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<-+=>-=0224)2(021)1(02)0(b a f b a f b f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+-<020120b a b a b ．作出不等式组表示的可行域，如图中ABC ∆内部的部分．又1-=a b z 表示可行域内的点与点)0,1(P 连线的斜率， 由图形可得过点A 和点P 的直线的斜率最小，过点)(C B 和点P 的直线的斜率最大． 由⎩⎨⎧=+-=+-02012b a b a 得)1,3(--A ， 又可得)0,2(),0,1(--C B ， 所以411301=----=PA k ，0=PC k ，故1-=a b z 的取值范围为)41,0(. 16．【解析】（Ⅰ）不等式表示的平面区域如图所示阴影部分.联立⎩⎨⎧=--=+-06302y x y x 得点C 坐标为)6,4(， 平面区域的面积1042216221=⨯⨯+⨯⨯=s ； （Ⅱ）当直线)0,0(>>+=b a by ax z 过直线02=+-y x 与直线063=--y x 的交点)6,4(C 时,目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 取得最大值4,即464=+b a , 即123=+b a . 所以432232)23)(321(321≥++=++=+ba ab b a b a a a ， 等号成立当且仅当31,21==b a 时取到，故ba 321+的最小值为4． 17．【解析】设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆， 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+<≥+≤+<∈≤≤∈≤≤192072610120,70,80y x y x y x N y y N x x ，设每天的利润为z 元，则y x z 350450+=.画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．)79(50350450y x y x z +=+=，由图可知直线079=+y x 经过点A 时，z 取得最大值． 又由⎩⎨⎧=+=+19212y x y x ，得⎩⎨⎧==57y x ，即)5,7(A∴当5,7==y x 时，z 取到最大值，490053507450max =⨯+⨯=z (元)．。
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3.5简单的线性规划问题习题课
（检测教师版）
时间:40分钟 总分：60分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 800元
答案 B
解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元， 根据题意，得线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪
⎧
20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤8，y ∈N .
求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值， 可行域如图阴影部分(含边界)，
解得当⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝2时，z 有最小值，且z min ＝2 200(元)．
2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2
3，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元
的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元
答案 B
解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤60，
x ≥23
y ，x ≥5，y ≥5，
z ＝0.4x ＋0.6y .可行域如图阴影部分(含边界)，
由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝60，y ＝32x ，得A (24,36)，
∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B
解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤70，
10x ＋6y ≤480，
x ≥0，
y ≥0.
甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y .画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知z 在点M (15,55)处取得
最大值．
4．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，
则OA →·OM →
的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2]
答案 C
解析 作出可行域，如图所示，
因为OA →·OM →＝－x ＋y .
所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0； 过点Q (0,2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，所以OA →·OM →的取值范围是[0,2]． 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥x ，
4x ＋3y ≤12，
则2y ＋2
x ＋1
的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 D
解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，y ＋1
x ＋1
的几何意义是点M (－1，－1)与可行域
内的点P (x ，y )连线的斜率，
当点P 移动到点N (0,4)时，斜率最大，最大值为
4－－
0－－＝5，∴(2y ＋2
x ＋1)max
＝2×5＝10.故
选D.
6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一
次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( ) A ．4 650元 B ．4 700元 C ．4 900元 D ．5 000元
答案 C
解析 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ≤19，
x ＋y ≤12，
10x ＋6y ≥72，
0≤x ≤8，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .
设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y .画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，由图可知直线9x ＋7y ＝0经过点A 时，z 取得最大值．
又由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝7，y ＝5， 即A (7,5)．
∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)． 二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）
7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
5x －11y ≥－22，
2x ＋3y ≥9，
2x ≤11，
x ，y ∈N *
，
则z ＝10x ＋10y 的最大值是________． 答案 90
解析 先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5.5，y ＝4.5，
但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90.
8．已知⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x －y ＋1≤0，
2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．
答案 5
解析 令z ＝x 2＋y 2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
令d ＝x 2＋y 2，即可行域中的点到原点的距离，由图得d min ＝1＋4＝5，∴z min ＝d 2＝5. 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
9．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳均为6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．
解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳(3x ＋6y )个， B 种产品外壳(5x ＋6y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，
x ∈N ，y ∈N ，
所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)，
其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)， 目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5,5)处取得， 此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.
即当甲、乙两种薄钢板各5张，即能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．
10．已知⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
求：
(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝
2y ＋1
x ＋1
的取值范围． 解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．
(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故|MN |＝
|0－5＋2|1＋－
2＝
32
＝322.∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92，∴z 的最小值为92.
(2)z ＝2·
y －⎝⎛⎭
⎫－12x －－
表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝
⎛⎭⎫－1，－1
2连线斜率的2倍， ∵k QA ＝74，k QB ＝3
8，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72.。