2020届天津市南开中学高三上学期数学统练九试题(解析版)
天津市南开区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
天津市南开区2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共9小题）1.设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（ ）A. {}2B. {}3C. {}4D. {}2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题3.下列函数中是偶函数，且在0∞+（，）上单调递增的是 （）A. 3y x = B. 2y lgx =-C. 2xy = D. y =【答案】D 【解析】 【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件．B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ，()()f x f x -===，该函数为偶函数，当0x >时，y =,满足条件,故选：D ．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.4.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“3542S S S +>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据前n 项和n S 与通项之间的关系化简判断即可. 【详解】等差数列{}n a 的公差为d ,3542S S S +>,345344S S a S a S ∴++>++,540a a d ∴-=>则“0d >”是“3542S S S +>”的充要条件, 故选：C ．【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和n S 的关系与充分必要条件的判断,属于基础题型.5.设0.231012143a b og c lg =-==，，，则a ，b ，c 的大小关系是 （） A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】判断每个数的大致范围再分析即可. 【详解】0.20221,0a >=∴<,331031,13log log b >=∴>, 1410,01lg lg lg c <<∴<<,a cb ∴<<,故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.6.过点A （-1，0），斜率为k 的直线，被圆（x-1）2+y 2=4截得的弦长为23，则k 的值为（ ）A. 3±B.3 C. 3± D. 3【答案】A 【解析】试题分析：设直线为,根据弦长公式,可得：,,解得：,故选A.考点：直线与圆的位置关系 7.函数ππ30966x xy sin cos x =≤≤（）的最大值与最小值之和为 （）A. 13--B. 1-C. 0D. 23-【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式合一变形,再分析 【详解】函数1332662626xxx xy sincossin cos ππππ==-（）263x sin ππ=-（）,由09x ≤≤,得73636x ππππ-≤-≤,所以163x sin ππ≤-≤（）, 所以y的最大值为2,最小值为所以y 的最大值与最小值之和为2-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了辅助角公式应用以及三角函数范围的问题,属于中等题型.8.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A. 2 B. 1:2C. 1:D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C 的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0），∴直线FA 为：x +2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN∴==， :FM MN =9.四边形ABCD 中，129090BC AC ABC ADC ∠∠====，，，，则AC BD ⋅的取值范围是（ ）A. []13-，B. 31--（，）C. ()31-， D.33⎡⎤-⎣⎦， 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为90,90ABC ADC ∠∠=︒=︒,故,,,A B C D 四点共圆.又1,2BC AC ==,易得3,60,30AB ACB CAB =∠=︒∠=︒.AC BD ⋅()32332AC BA AD AC BA AC AD AC AD AC AD ⎛⎫=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.易得当D 在A 时3AC AD -+⋅取最小值3-,当D 在C 时3AC AD -+⋅取最大值2321-+=.故AC BD ⋅的取值范围是()31-，.故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析D 的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型. 二、填空题（本大题共6小题） 10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.曲线21xy x =-在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】20x y +-= 【解析】()()2221212121x x y x x --⋅-=--'=，故切线方程的斜率()211211k -==-⨯-又()111211f ==⨯- ，故曲线21x y x =-在点处的切线方程为()111y x -=--整理得20x y +-= 即答案为20x y +-=12.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，2AB =，则此球的表面积等于______． 【答案】17π 【解析】 【分析】根据该四棱锥内嵌于长方体中,计算长方体体对角线再算外接球表面积即可. 【详解】因为四边形ABCD 是正方形,且PA ⊥平面ABCD , 所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中,因为棱锥体积212433V h h =⨯⨯=⇒=. 则该长方体的长、宽、高分别为2、2、3, 它们的外接球是同一个,设外接球直径为D ,所以222222317D =++=,所以表面积为22417S R D πππ===． 故答案为：17π【点睛】本题主要考查了四棱锥外接球表面积的计算,其中外接球直径为内嵌长方体的体对角线,属于中等题型.13.设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 . 【答案】；【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______． 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y y x y y y y -∴+=+=--,令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111133455241999t t t t x y t t t t t t++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+⋅=（）（）, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案为：1(1)2(2)1【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.对于实数a和b，定义运算“*”：33*a ab a ba bb b a a b⎧-≤=⎨->⎩（），（），，设21*1f x x x=--（）（）（），若函数2g x f x mx m R=-∈（）（）（）恰有三个零点123x x x，，，则m的取值范围是______；123x x x的取值范围是______．【答案】 (1).14（，） (2).13-（，）【解析】【分析】分析21x-与1x-的大小关系,再化简2f x mx-（）画图分析求解即可.【详解】当211x x-≤-时,即30,21x f x x x≤=-（）（）,当211x x->-时,即30,1x f x x x>=--（）（）,所以3321,01,0x x xf xx x x⎧-≤=⎨-->⎩（）（）（）,因为g x（）有三个零点,所以f x（）与2y mx=的图象有三个交点,即21,010x x xk xx x x-≤⎧=⎨-->⎩（）（）（）与函数y m=有三个交点,作出k x（）的图象,如图,其中0x>时，函数()k x最大值为111(1)224--⨯=.所以14m<<,不妨设123x x x<<,易知2x>,且231x x+=,所以22323124x xx x+<<=（）由12140x x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩（）解得x =,所以1104x <<1230x x x <<． 且当m 无限接近14时123x x x当m 无限接近0时123x x x 趋近于0. 故答案为：10,4（）；.） 【点睛】本题主要考查了函数新定义的理解以及数形结合求解零点取值范围的问题等.需要根据题意分析123x x x 随m 的变化情况,属于中等题型. 三、解答题（本大题共5小题）16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为（Ⅰ）求a 及sinC 的值； （Ⅱ）求π26cos A -（）的值． 【答案】（Ⅰ）3a =， 9sinC =（Ⅱ 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且11,,33b c cosA sinA -==∴==ABC的面积为16,3,22233bc bc sinA bc b c ⋅=⋅===∴==, 3a ∴===．再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,9223sinCsinC=∴=．（Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA∴==⨯⨯=）272219cos A cos A=-=-,故734214273 222666992cos A cos Acos sin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，已知直三棱柱111ABC A B C-的底面是直角三角形，1190223ACB AA AB BC DC CD∠=︒====，，．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1A BD；（Ⅱ）求二面角1A BD A--的余弦值；（Ⅲ）求点1B到平面1A BD的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ6）（Ⅲ2）【解析】【分析】(Ⅰ)根据直三棱柱中90ACB∠=︒可以C为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面1A BD 的法向量m并证明1//AB m即可.(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面1A BD的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点1B 到平面1A BD 的距离为112AB ,再求解即可. 【详解】依题意,以C 为原点,CB 为x 轴,1CC 为y 轴,CA 为z 轴,建立空间直角坐标系,则1110,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,3,3C B C B A A （）（）（）（）（）（）, 13DC CD =，10,,02D∴（）, （Ⅰ）证明：1111,2,3,1,2,3,1,,02AB A B BD =-=--=-（）（）（）, 设平面1A BD 的一个法向量为,,m x y z =（）,则123012m A B x y z m BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3z =则1,3m =--（）, 1AB m ∴=-,即1//AB m ,1AB ∴⊥平面1A BD ；（Ⅱ11,0,3,1,,02AB BD =-=-）（）（）, 设平面ABD 的一个法向量为,,n a b c =（）,则3012n AB a c n BD a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3c =,则3,6,3n =（）, 又平面1A BD 的一个法向量为1,3m =--（）,,14m n cos m n m n ⋅∴<>==+⋅,即二面角1A BD A --（Ⅲ）设点1B 到平面1A BD 的距离为d ,则易知112B d A =,而11AB =+=∴点1B 到平面1A BD ．【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明空间中的垂直问题以及二面角的计算方法等.需要根据题意找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再利用对应的公式求解即可.属于中等题型.18.已知椭圆C 的一个顶点为01A -（，），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ．i （）当00k m >≠，时，射线OE 交直线3x =-于点3D n O -（，）（为坐标原点），求22k n +的最小值；ii （）当0k ≠，且AM AN =时，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）（i ）2；（ii ）()0,2.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用点到线的距离公式与222a b c =+求解即可.（Ⅱ）i （）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M ,N 的二次方程与韦达定理,继而得出点E 的坐标,再化简求得22n k +的解析式,利用,n k 的关系换元求最值即可.ii （）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,再表达出斜率的关系式化简利用,n k 的关系求m 的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）,设椭圆的右焦点,0,0c c >（）,由题意得：2221,3b a b c ===+,解得：223,1a b ==,所以椭圆的方程：2213x y +=；（Ⅱ）（i ）设()11,M x y ,()22,N x y ,将直线与椭圆联立整理得：2222222136330,36413330k x kmx m k m k m +++-==-+->（）（）（）,即2213m k <+,且122631km x x k +=-+，()121222231my y k x x m k ∴+=++=+, 所以MN 的中点223,1313km m E k k -++（）, 所以射线OE ：13y x k =-,与直线3x =-的交点13,k -（）,所以1n k =, 所以222212n k k k+=+≥,当且仅当21,0k k =>,所以1k =时22n k +有最小值2．（ii ）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,所以1AE MNk k =-,即22221113,213,2313mk m k m m km kk++=-∴=+∴>-+,解得02m <<, 所以m 取值范围,2（0）．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要联立方程求韦达定理,进而表达出对应的关系式化简求解即可.属于难题.19.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且122538433a b a b a b a ===+=，，，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令23nn a c log =，证明：233411111*2n n n N n c c c c c c +++⋯+<∈≥（，）；（Ⅲ）求1*ni n N =∈）． 【答案】（Ⅰ132n n a -=⋅）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ323223nn +-⋅） 【解析】 【分析】(Ⅰ) 设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,再利用基本量法根据题意求解对应的公比公差即可.(Ⅱ)先求得n c ,再利用裂项相消求和证明即可. (Ⅲ)代入n b ,再利用错位相减求解即可.【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,由12253843,,3,a b a b a b a ===+=,可得231113,433,73b d q b d q b d q +=+=++=,解得12,3,3q d b ===,则132,3313n n n a b n n -=⋅=+-=（）； （Ⅱ）证明：122213n nn a c log log n -===-, 23341111111111111111122312231n n c c c c c c n n n n n+++⋯+=++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯⨯--； （Ⅲ）23n n==,可设1246239273nn n i nT ===+++⋯+, 1124623927813n n nT +=+++⋯+, 相减可得12222223392733n n n n T +=+++⋯+-11111223332113313n n n n n ++-+=⋅-=--（）,化简可得1323223nn i n =+=-⋅．【点睛】本题主要考查了等比、等差数列的综合运用,需要根据题意列式求解对应的基本量,同时也考查了裂项相消以及错位相减等求和方法.属于中等题型.20.已知函数f x lnx ax a R =-∈（）（）． （Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）若2f x x ≤（）对0x ∞∈+（，）恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1a =时，设1f x g x xe x e -=--（）（）（为自然对数的底.）若正实数12λλ，满足12121210x x x x λλ∞+=∈+≠，，（，）（），证明：11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ[1∞-+），）（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后讨论a 的取值范围进行分析即可 （Ⅱ）参变量分离后有lnxa x x≥-恒成立,再设函数求导分析最大值即可. （Ⅲ）先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可. 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为{}10,'x x f x a x=-（）, ①当0a ≤时,'0f x >（）,函数f x （）在0,∞（+）上单调递增； ②当0a >时,令'0f x >（）解得10x a <<,令'0f x <（）解得1x a>,故此时函数f x （）在10,a （）上单调递增,在1,a∞+（）上单调递减；（Ⅱ2f x x ≤）（）对0,x ∈+∞（）恒成立,即为对任意的0,x ∈+∞（）,都有lnxa x x≥-, 设0lnx F x x x x =->（）（）,则22211'1lnx lnx x F x x x ---=-=（）,令210G x lnx x x =-->（）（）,则1'20G x x x =--<（）, G x ∴（）在0,∞（+）上单调递减,且10G =（）,∴当0,1x ∈（）时,0,'0,G x F x F x >>（）（）（）单调递增；当1,,0,'0,x G x F x F x ∞∈+<<（）（）（）（）单调递减,11max F x F∴==-（）（）, ∴实数a 的取值范围为[1,-+∞）．（Ⅲ）证明：当1a =时,111,'100lnx x x lnx x x g x xe x xe x e x g x e x ---=--=--=--=->>（）（）（）（）,不妨设120x x <<,下先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 构造函数211121g x g x Hx g x g x x x x x -=----（）（）（）（）（）（）,显然12H x H x =（）（）,且2121''g x g x H x g x x x -=--（）（）（）（）,则由导数的几何意义可知,存在12,x x ξ∈（）,使得2121''0g x g x H g x x ξξ-=-=-（）（）（）（）,即存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 又'1xg x e =-（）为增函数, 2121121''g x g x g x x g x x x ξ∴-=->-（）（）（）（）（）（）,即21121'g x g x g x x x >+-（）（）（）（）,设31122121x x x λλλλ=++=（）,则1311222322111,1x x x x x x x x λλλλ-=---=--（）（）, []133********''1g x g x g x x x g x g x x x λλ∴>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）①, []23323332211''1g x g x g x x x g x g x x x λλ>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）②,由12λλ⨯+⨯①②得,112231122g x g x g x g x x λλλλ+>=+（）（）（）（）, 即11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【点睛】本题主要考查了导数单调性的分情况讨论以及利用导数分析最值与恒成立的问题等,需要构造函数,代入所给的自变量进行分析证明,属于难题.。
2023-2024学年天津市南开中学高三(上)第二次统练
2023-2024学年天津市南开中学高三（上）第二次统练化学试卷一、单选题（本大题共17小题，共34分）1.下列有关实验室制取气体的反应中，其原理 不属于氧化还原反应的是( )A. 实验室中用稀硫酸与锌粒反应制取H 2B. 实验室中用高锰酸钾加热分解制取O 2C. 实验室中用浓盐酸与二氧化锰加热制取Cl 2D. 实验室中用稀盐酸与石灰石反应制取CO 22.以下反应不属于“同一价态的同种元素既被氧化又被还原”的是( )A. 硫代硫酸钠与稀硫酸B. 硫与热NaOH 溶液C. H 2O 2溶液中加入MnO 2D. KClO 3与盐酸3.24mL 浓度为0.05mol ・L −1的Na 2SO 3溶液，恰好与20mL 浓度为0.02mol ・L −1的K 2Cr 2O 7溶液完全反应，已知Na 2SO 3能被K 2Cr 2O 7氧化为Na 2SO 4，则元素Cr 在还原产物中的化合价为( )A. +2B. +3C. +4D. +54.苹果汁是人们喜爱饮料，由于此饮料中含有Fe 2+，现榨的苹果汁在空气中会由淡绿色变为棕黄色，若榨汁时加入维生素C ，可有效防止这种现象发生。
这说明维生素C 具有( )A. 氧化性B. 还原性C. 碱性D. 酸性5.已知反应KClO 3+6HCl =KCl +3Cl 2↑+3H 2O ，得电子和失电子的原子个数比为( )A. 1：5B. 5：1C. 1：6D. 6：16.下列反应中，水只作氧化剂的是( )A. 2F 2+2H 2O =4HF +O 2B. 2Na +2H 2O =2NaOH +H 2↑C. 2H 2O − 通电 2H 2↑+O 2↑D. Na 2O +H 2O =2NaOH7.用下列方法均可以制得氧气：①2KClO 3−MnO 2△2KCl +3O 2↑ ②2Na 2O 2+2H 2O =4NaOH +O 2↑ ③2HgO − △ 2Hg +O 2↑ ④2KMnO 4 − △ K 2MnO 4+MnO 2+O 2↑若要制得相同质量的氧气，反应中电子转移数目之比为( )A. 3：2：1：4B. 1：1：1：1C. 2：1：2：2D. 1：2：1：1 8.实验室将NaClO 3和Na 2SO 3按物质的量之比2：1倒入烧瓶中，用水浴加热，同时滴入H 2SO 4，产生棕黄色气体X ，反应后测得NaClO 3和Na 2SO 3恰好完全反应，则X 为( )A. Cl 2B. Cl 2OC. ClO 2D. Cl 2O 39.已知Co2O3在酸性溶液中易被还原成Co2+，Co2O3、Cl2、FeCl3、I2的氧化性依次减弱。
天津市南开中学2020届高三数学统练九(含答案)
一、选择题（共 9 小题；共 45 分）
1. 已知集合
A.
൏൏
C.
൏൏
൏൏ ，
2. 设函数
cos sin （ 为常数）， 则“
A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
൏ t ，则
B.
൏൏
D. ൏ ൏
t”是“ 为偶函数”的 B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
，又因为
t ，所以
，当
14. 【解析】解法一：设
时，
min
，则
因为 是定义在 上，以 为周期的函数，则
当
时，
；当
鼠 鼠
时，
max
．
当
时，
t
当
时，
以此类推，当
t 时，
同理，当 依次取 ， ， t ， ， t
时，
的值域依次为 鼠
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所以，当
t t 时， 的值域是上述分段值域的并集，即为
．
解法二：
，由题可得
，
，
在 内的最大值和最小值都比 内的最大值和最小值大 ，即
在 内的值域为
t 上的值域为
，在
在 t t 上的值域为
，同理可得 在
t
内的值域为
．
内的值域为 t ， ，以此类推， 在 ，取以上值域的并集，可得函数
15.
第三部分
16. （1） 由题意知 化简得 sin cos
sin sin cos cos
，
，可得
，解得
．
第 4页（共 10 页）
第二部分 10. 【解析】
sin ，则
2020年天津南开区第九中学高三数学理期末试题含解析
2020年天津南开区第九中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在约束条件下，目标函数z=2x+y的值（）A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2 D．既无最小值，也无最大值参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最值情况．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点B（）时，z取得最大值为2；当平行直线过点B（0，）时，z取得最小，但B点不在可行域内；故选A 2. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕ b=a；当a<b时，a⊕b=b2，函数f（x）=（1⊕x）·x（其中“·”仍为通常的乘法），则函数f（x）在[0，2]上的值域为（）A．[0,4] B．[1,4]C． [0,8] D．[1，8]参考答案：C略3. 函数的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1<x2时，都有，则称函数在D上为非减函数．设函数在[0，l]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0；②；③，则=A． B． C．1 D．参考答案：A4. 设的最大值为A 2BC 1 D参考答案：C解析：因为，5. 某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C略6. 下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的函数是（）A． B． C． D．参考答案：C略7. 如某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（）A、B、C、D、参考答案：A略8. 函数的零点所在的区间是（）A． B． C ．D．参考答案：B9. 设集合={0,1,2,3,4,5},={3,4,5,6}，则满足且的集合的个数是A．64 B． 56 C． 49 D ．8参考答案： B 略10. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A ． 4种B ．10种 C ．18种 D ．20种参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知 且 与 的夹角为 ，k 的值是参考答案：12. 对任意A 中任取两个元素，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意，都有x*m=x ，则称m 是集合A 的“钉子”.集合的“钉子”为 ． 参考答案： 413. 用a ，b ，c 表示空间三条不同的直线，α，β，γ表示空间三个不同的平面，给出下列命题： ①若a⊥α，b⊥α，则a∥b； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若b ?α，b⊥β，则α⊥β；④若c 是b 在α内的射影，a ?α且a⊥c，则a⊥b． 其中真命题的序号是 ．参考答案：①③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线和平面，平面和平面之间垂直和平行的性质分别进行判断即可．解答： 解：①根据垂直于同一平面的两条直线互相平行即可得到若a⊥α，b⊥α，则a∥b 成立，故①正确；②垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故②错误．①③④解：①根据垂直于同一平面的两条直线互相平行即可得到若a⊥α，b⊥α，则a∥b 成立，故①正确；②垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故②错误．③根据面面垂直的判定定理知，若b ?α，b ⊥β，则α⊥β成立，故③正确，④∵c 是b 在α内的射影，∴在b 上一点B 作BC⊥α，则C 在直线c 上， 则BC⊥a，∵a⊥c， ∴a⊥平面BOC ， 则a⊥b，故④正确， 故答案为：①③④点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．14. 已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是.参考答案：略15. D 已知实数满足，则目标函数的最大值是．参考答案：16. 已知点P （x ，y ）满足，的取值范围是 ．参考答案：[，2]【考点】简单线性规划． 【分析】首先画出平面区域，利用的几何意义是可行域内的点到C （﹣1，﹣2）的斜率，只要求出斜率的最值即可．【解答】解：由已知对应的平面区域如图； 而的几何意义为可行域内的点到C （﹣1，﹣2）的斜率，当与O 连接是直线的斜率最大，与B（4，0）连接时，直线的斜率最小，所以，，所以，的取值范围是[，2]；故答案为：[，2]．17. 已知等差数列的公差，若，则_____.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2023届天津市南开中学高三高考模拟数学试题+答案解析
天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )A. B.C.D.2.函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.3.已知a ，，则“”是“函数是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏5.设，，，则 ( )A. B.C.D.6.若向量，满足：，，则在上的投影向量为( )A.B.C.D.7.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线的方程为( )A. B. C. D.8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是( )A. B. C. D.9.直线l：与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：的交点为C，D，给出下面三个结论：，；，；，其中，所有正确结论的序号是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则__________.11.某次体检，7位同学的身高单位：米分别为，，，，，，，则这组数据的第75百分位数是__________米12.的展开式的常数项为_______用数字作答13.海棠同学在参加南开中学陶艺社时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为厘米，则该球的表面积为__________平方厘米．14.已知，函数若对任意恒成立，则a 的取值范围是__________.15.某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛.已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为__________.记所选3人中高一年级学生的人数为X，则随机变量X的数学期望__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
天津市南开中学2022-2023学年高三上学期数学统练试卷(含答案)
2022-2023学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（11）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,3}，B={2,5,6}，则A∩(∁U B)=( )A. {4}B. {1,3}C. {1,2,3,4}D. {1,3,4,5,6}>0”的( )2.设x∈R，则“|x|>1”是“xx−1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=sinx+4x的图象大致为( )e|x|A. B.C. D.4.某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为( )A. 30B. 60C. 70D. 1305.已知a=20.1，b=2ln1，c=ln2，则a，b，c的大小关系为( )2A. c>a>bB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a6. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +6)=f(x)，y =f(x +3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减.则下面结论正确的是( )A. f(10)<f(e 12)<f(ln2) B. f(e 12)<f(ln2)<f(10) C. f(ln2)<f(10)<f(e 12)D. f(ln2)<f(e 12)<f(10)7. 已知函数f(x)=4cos(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向右平移m(m >0)个单位，所得函数为奇函数，则实数m 的最小值为( )A. π12B. π6 C. 5π12D. π48. 若将函数g(x)图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是．( )A. f(x)在[0,π4]上的最小值是12 B. (4π3,0)是f(x)的一个对称中心 C. g(x)在(π4,π2)上单调递减D. g(x)的图象关于点(π6,0)对称9. 已知函数f(x)={2x 2−4|x|+4,x >1e 1−x +x,x ≤1，若不等式12f(x)−|x −m 2|<0的解集为⌀，则实数m 的取值范围为( )A. [14,5−2ln3]B. [13,5−3ln3] C. [14,6−2ln3] D. [12,6−3ln3]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若复数z 满足z(1−i)=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是______．11. 已知(x 2−2x )n 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是______．12. 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 3=7a 3，则使S n >12764成立的n 的最小值为______．13. 已知x >0，y >0，x +y =1，则3yx +1x +1y 的最小值为______．14. 为了抗击新冠肺炎疫情，现在从A 医院200人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出3人作为联络员，则这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自B 医院的概率是______.设3名联络员中A 医院的人数为X ，则随机变量X 的数学期望为______． 15. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若线段EF 上存在一点M ，使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R)，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______；若AN −=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。
南开中学2020届高三数学统练(10)
t
t
t ㌳ ，因此 t
．
当㌳
时， 等价为 t cos t
cos t t cos t
cos ，
令t t
，
则是
在 h 上的最大值，
th t
，
且当 t 时， 取得极小值，极小值为
t
t t럸 t ，（二次函数在对称轴
处取得极值）
令
，得
（舍）或
．因此
t
t
①当 ㌳
时，
t
在
h 内无极值点，
th
t
h
，
t
，
②当
，由
t
．
14. 将函数 体 t sin t π 的图象向右平移 个单位， ㌳，再将图象上每一点的横坐标缩
短到原来的 （纵坐标不变），所得图象关于直线 t π 对称，则 的最小值为
．
15. 已知两个不相等的非零向量 ， ，两组向量
个 和 个 排列而成，记 t
t
能取值中的最小值．则下列命题正确的是
， ， ， ， t 和 ， ， ， ， t 均由
个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 个球，若摸出的白
球不少于 个则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在 次游戏中，
（ⅰ）摸出 个白球的概率；
（ⅱ）获奖的概率；
（2）求在 次游戏中，获奖次数 的分布列及数学期望 ．
17. 设函数
t sin π
π 럸
cos π t ．
（2）求二面角
t 的平面角的余弦值；
（3）求点 h 到平面 t 的距离．
19. 已知函数 t
t．
（1）讨论 的单调性；
天津市2020届高三数学3月九校联考试题 理(含解析)
17.在多面体
中，四边形
是正方形，平面 .
平面 ，
（1）求证： 平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得平面
与平面
所成的锐二面角的大小为 ，若
存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可； (2)在平面 DAE 内，过 D 作 AD 的垂线 DH，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面 FAG 的法向量和平面 EAD 的法向量求二面 角的余弦值即可确定线段 上是否存在点 . 【详解】(1)∵平面 ADE⊥平面 ABCD，平面 ADE∩平面 ABCD=AD，
天津市 2020 届高三数学 3 月九校联考试题 理（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 均为全集
的子集，且
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
,因为
，所以 中必有元素 ，
【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于
由图可得：
.
故选：D. 【点睛】本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题（将答案填在答题纸上）
9.设复数满足
其中为虚数单位，则复数的虚部是_______．
【答案】1 【解析】 【分析】
由题意可得：
，据此结合复数的运算法则计算确定 z 的虚部即可.
12.已知三棱锥
中， 面 ，
天津市南开中学2020届高三数学统练试题(3)(含解析)
天津市南开中学2020届高三数学统练试题（3）（含解析）一、选择题（共9小题；共45分）1.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A. (2,3)B. (2,4]C. (2,3)(3,4]D.(1,3)(3,6]-【答案】C 【解析】 【分析】函数表达式中含有绝对值及对数，分别求出满足的条件【详解】要使函数()f x 有意义，应满足2405603x x x x ⎧-≥⎪⎨-+>⎪-⎩4203x x x ⎧≤∴⎨->≠⎩且则24x <≤，且3x ≠所以()f x 的定义域为()(]2334⋃，， 故选C【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出题目中的限制条件，有根号的要满足根号内大于或等于零，有对数的要满足真数位置大于零．4.函数()14xf x lg x --＝的定义域为( ) A. (1，4)B. [1，4)C. (－∞，1)∪(4，＋∞)D. (－∞，1]∪(4，＋∞)【答案】A 【解析】由题意，104xx ->-，则1040x x ->⎧⎨->⎩或1040x x -<⎧⎨-<⎩，当1040x x ->⎧⎨->⎩，无解；当1040x x -<⎧⎨-<⎩，14x <<，则定义域为()1,4，故选A ．5.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6.已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y x m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A. (0,1][23,)⋃+∞ B. (0,1][3,)⋃+∞ C. 2][23,)⋃+∞ D. 2][3,)⋃+∞【答案】B 【解析】 当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．7.设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ）A. 9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦B. [0,)+∞C. 9[,)4-+∞ D. 9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【详解】当,即,时,或,,其最小值为无最大值为, 因此这个区间的值域为:. 当时,,其最小值为 其最大值为因此这区间的值域为:9[,0]4-. 综合得:函数值域为:9[,0](2,)4-⋃+∞ ，故选D. 8.已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 9.已知函数22,2(){(2),2x x f x x x -≤=->，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由22,2(){(2),2x x f x x x -≤=->，()3(2)g x f x =--所以2222231,0()(){231,0244155,2x x x x x y f x g x x x x x x x x x x +-+=+-≤=-=--+=-<≤-+-+=-+>所以当0x ≤时，零点x =当02x <≤时，无零点，当2x >时，一个，所以零点个数为2个，故选A ． 考点：函数的零点个数的判断．【方法点睛】该题属于考查函数的零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定出函数解析式，根据题中所给的函数()f x 的解析式求得函数()g x 的解析式，从而得到()()f x g x -关于x 的分段函数，通过对每一段上的解析式进行分析，求得相应的函数的零点，注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍，最后确定出该题的答案． 二、填空题（共6小题；共30分） 10.函数y =________.【答案】(1,2]【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于0，二次根号下被开方数大于等于0，即可求出答案.【详解】11221log (1)log 1112110x x x x x -⎧-≤⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨>⎩⎪->⎩ 故答案为：(1,2]【点睛】本题主要考查了函数定义域的求法，属于基础题.11.已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．12.已知0,0,8,a b ab >>=则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4 【解析】试题分析：由题意得，当()22log log 2a b ⋅取得最大值时，2log a 和()2log 2b 都是正数，所以1a >，再利用基本不等式可得()()222222222log log 2log (2)log 16log log 2()()()4222a b ab a b +⋅≤===，当且仅当24a b 时，等号成立，即当4a =时，()22log log 2a b ⋅取得最大值.考点：基本不等式求最值．13.若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ． 【答案】1 【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为 函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=．14.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （），则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】【详解】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<． 15.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 . 【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．三、解答题（共5小题；共65分）16.ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知63,cos 2a A B A π===+， (1)求b 的值； (2)求ABC ∆的面积. 【答案】（1）322322【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解. 试题解析：（1）因0A π<<，故2263sin 1cos 13A A ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭分 因2B A π=+，故6sin sin cos 2B A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.……3分由正弦定理sin sin a bA B=，得63sin 332sin 3a B A b ⨯===.……6分 （2）3cos cos sin 2B A A π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭……8分 ()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦sin cos cos sin A B A B =+3366133333⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭……10分 ABC ∆的面积为11132sin 3322232ab C =⨯⨯⨯=.……12分 考点：诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.17.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ︒∠=.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C-EM-N 的正弦值.（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为3721，求线段AH 的长. 【答案】（1）见解析（2）10521；（3）AH 长为4. 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明平面MFN平面BDE ，再由面面平行的性质定理得出MN ∥平面BDE ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）建立空间直角坐标系，设出点H 的坐标，利用向量法求解即可得出线段AH 的长. 【详解】（1）取AB 中点F ，连接MF ，NF ，因为M 为AD 中点， 所以MFBD ，因为BD ⊂平面BDE ，MF ⊂/平面BDE ， 所以MF 平面BDE. 因为N 为BC 中点 所以NFAC ，又D ，E 分别为AP ，PC 的中点， 所以DEAC ，则NF DE .因为DE ⊂平面BDE ，NF ⊄平面BDE ， 所以NF 平面BDE又MFNF F =，,MF NF ⊂平面MFN所以平面MFN平面BDEMN ⊂平面MFN则MN ∥平面BDE ；（2）因为PA ⊥底面ABC ，90BAC ︒∠=.所以以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系因为4PA AC ==，2AB =，所以(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,1)M ，(1,2,0)N ，(0,2,2)E ， 则(1,2,1)MN =-，(0,2,1)ME =， 设平面MEN 的一个法向量为(,,)m x y z =，由00m MN m ME ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2020x y z y z +-=⎧⎨+=⎩，取2z =，得(4,1,2)m =-.由图可得平面CME 的一个法向量为(1,0,0)n =.所以421cos ,||||21211m n m n m n ⋅〈〉===⨯. 所以二面角C-EM-N 421105； （3）设AH t =，则(0,0,)H t ，(1,2,)NH t =--，(2,2,2)BE =-.因为直线MH 与直线BE 37， 所以2||37|cos ,|21|||523NH BE NH BE NH BE t ⋅〈〉===+⨯，解得：4t =.所以当H 与P 重合时直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为3721，此时线段AH 的长为4. 【点睛】本题主要考查了由面面平行的性质定理证明线面平行以及利用向量法求面面角，由线线角求其他，属于中档题.18.已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.【答案】（1）32n a n =-，2nn b =，*n N ∈；（2）()143283n n +-+，*n N ∈.【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和．【详解】（1）数列{}n b 公比为q ，则2232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q，∴2nn b =，{}n a 的公差为d ，首项是1a ，则41328a a b ==-，411411112176S b ==⨯=，∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，①23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，②①－②得：35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯1218(14)86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，∴14(32)83n n n T +-+=．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等． 19.已知函数()(1e 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭x f x x x（I ）求()f x 的导函数（II ）求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围 【答案】（I ）()()121)2x x e f x x --=>'；（II ）1210,2e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力．（Ⅰ）利用求导法则及求导公式，可求得()f x 的导数；（Ⅱ）令'()0f x =，解得1x =或52，进而判断函数()f x 的单调区间，结合区间端点值求解函数()f x的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为(1x =，()'x xe e --=-，所以'()(1(x xf x e x e --=-1)2x =>． （Ⅱ）由'()0f x ==，解得1x =或52x =． 因为又21()1)02x f x e -=≥， 所以f （x ）在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,]2e -．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出'()f x ，由'()f x 的正负，得出函数()f x 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值． 20.已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见详解；(2) 01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.【解析】 【分析】(1)先求()f x 的导数，再根据a 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据a 的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a ,b 的值.详解】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3af x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增； 当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增.(2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以若0a <，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增； 此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1b =-，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立.若0a =，(,)-∞+∞区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1a b =⎧⎨=-⎩. 若02a <≤，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .即322()()13321a a ab a b ⎧-+=-⎪⎨⎪-+=⎩相减得32227a a -+=，即(0a a a -+=，又因为02a <≤，所以无解.若23a <≤，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .即322()()1331a a ab b ⎧-+=-⎪⎨⎪=⎩相减得3227a =，解得x =23a <≤，所以无解.若3a >，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =⎧⎨-+=-⎩解得41a b =⎧⎨=⎩.综上得01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．。
2020届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
所以 ，即 ，解得 .
故选该艺术课程的共有 人.
(2)因为 ，
所以 的概率分布列为
所以
【点睛】
本题考查集合中容斥原理的应用，组合公式的应用，古典概型，分布列和期望的求法，属于中档题
17．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ．
二、填空题
10．已知 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】可采用拼凑法，令 ，再结合基本不等式求解即可
【详解】
因为 ，所以 ，
，当且仅当 时取到“=”号
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题
11．如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点， ， ，则 的值是_______.
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面 的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】
(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理，将 当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出 ，结合 ，化简得 ，将 表示成 的关系式，再结合基本不等式求解即可
【详解】
，
，
由 ，化简得 ，
则 ，
当且仅当 时取“=”号
故选：A
【点睛】
精品解析：2020届天津市南开中学高三第一学期数学统练八试题(解析版)
南开中学2020届高三数学统练（8）一、选择题（共9小题）1.已知全集U =R ，集合A ={x |x +1＜0}，B ={x |x -4≤0}，则∁U （A ∩B ）=（ ） A. {|1x x ≤-或4}x > B. {|1x x ≥-或4}x < C. {|1}x x ≥- D. {}4x x【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集、补集的运算即可． 【详解】解：A={x|x ＜-1}，B={x|x≤4}； ∴A∩B={x|x ＜-1}； ∴∁U （A∩B ）={x|x≥-1}． 故选C ．【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算． 2.设a ，R b ∈，则“a b <”是“2()0a b a -<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可． 【详解】解：若a ＝0，b ＝1，满足a ＜b ，但（a ﹣b ）a 2＜0不成立， 若“（a ﹣b ）a 2＜0，则a ＜b 且a ≠0，则a ＜b 成立， 故“a ＜b ”是“（a ﹣b ）a 2＜0”的必要不充分条件， 故选B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．3.已知函数()xf x e = ,令3123(sin),(2),(log 3)4a f b f c f π-===，则,,a b c 的大小关系为( ) A. b a c << B. c b a << C. b c a << D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式可判断出函数为偶函数且在[)0,+∞上单调递增；将,,a b c 的自变量都转化到[)0,+∞内，通过比较自变量大小得到,,a b c 的大小关系. 【详解】()f x Q 定义域为R 且()()xxf x ee f x --===()f x ∴为R 上的偶函数当0x ≥时，()xf x e =，则()f x [)0,+∞上单调递增3sin428a f f f π⎛⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()3128b f f -⎛⎫== ⎪⎝⎭； ()()1222log 3log 3log 3c f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭2101log 388<<<<Q ()21log 38f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a b >> 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数性质比较大小的问题，能够通过函数的解析式得到函数的奇偶性、单调性，将问题转化为自变量之间的比较是解决问题的关键.4.已知抛物线()221,,0y ax x a a R a =+--∈≠，恒过第三象限上一定点A ，且点A 在直线3mx ny ++()100,0m n =>>上，则11m n+的最小值为（ ） A. 4 B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】 【分析】由题意可知()1,3A --，代入直线310mx ny ++=，变形整理得331m n +=与11m n+相乘变形整理，再利用均值不等式，求解即可.【详解】由抛物线()()2221121,,0y ax x a a x x a R a =+--=-+-∈≠，令210x -=即1x =±，根据定点A 在第三象限，可知()1,3A --，Q 点A 在直线3mx ny ++()100,0m n =>>上()()31310m n ∴⨯-+⨯-+=，即331m n +=()()331163612m n m n n m m n m n m n ++⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16m n ==时等号成立． ∴11m n+的最小值为12， 故选：B【点睛】本题考查均值不等式，定点A 的求解，是解决本题的关键，属于中档题. 5.已知函数()f x 满足()()()()121f x f x x R f x ++=∈-，()122f =，则()2004f 等于（ ）A.12B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】将2x +代入()()()()121f x f x x R f x ++=∈-，变形整理为()()14f x f x +=，再将4x +代入()()14f x f x +=，变形整理为()()8f x f x +=.可知()f x 是以8为周期的周期函数，求解即可.【详解】()()()()()()()()()11121142211211f xf x f xf x f xf xf x f xf x++++-+=++===⎡⎤⎣⎦+-+--()()()()18444f x f x f xf x+=++==⎡⎤⎣⎦+则()f x是以8为周期的周期函数.所以()()()()()()11122200425084422311212ff f f ff++=⨯+==+===--．故选：D【点睛】本题考查函数的周期性，对于周期的求解，是本题的关键，属于中档题.6.已知函数()()2,0f x ax bx c x R a=++∈>的零点为()1212,x x x x<，函数()f x的最小值为y，且[]012,y x x∈，则函数()y f f x=⎡⎤⎣⎦的零点个数是（）A. 2或3B. 3或4C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意可知，函数()y f f x=⎡⎤⎣⎦的零点个数，等价于方程()1f x x=或()2f x x=的根的个数，等价于函数()()2,0f x ax bx c x R a=++∈>的图象与直线2y x=，1y x=的交点个数，画图求解，即可.【详解】如图所示，因为函数()()20f x ax bx c a=++>的零点为()1212,x x x x<所以240b ac∆=->．因为()()()()20ff x af x bf x c =++=，所以()1f x x =或()2f x x =．因为函数()f x 的最小值为0y ，且[]012,y x x ∈，画出直线2y x =，1y x =． 则直线2y x =与()y f x =必有两个交点，此时()2f x x =有2个实数根. 即函数()()y ff x =由两个零点．直线1y x =与()y f x =可能有一个交点或无交点，此时()1f x x =有一个实数根2bx a=-或无实数根． 综上可知：函数()()y f f x =的零点有2个或3个．故选：A【点睛】本题考查函数零点的个数问题，属于较难题.7.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ） A. 11(,)[,)88-∞-+∞U B. 11[,0)(0,]48-U C. (0,8] D. 11(,][,)48-∞-+∞U【答案】D 【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时，()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时，[]42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时，()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时，()1g x =，不符合题意；当0a <时，()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a -≤．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故本题答案选D ． 点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏． 8.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点B ，且在5(,)1212ππ上单调，把()f x 的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当1224,(,)33x x ππ∈且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=( )A.C. 1-D. 1【答案】B 【解析】 【分析】代入B 点求出ϕ，根据平移关系和在5,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，确定ω，从而得到()f x ；找到24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭区间内()f x 的对称轴，由对称性可得12x x +的值，进而代入求得结果.【详解】()()2sin f x x ωϕ=+过点(B2sin ϕ∴=sin ϕ=又2πϕ<3πϕ∴=()2sin 3f x x πω⎛⎫∴=+⎪⎝⎭又()f x 的图象向右平移π个单位后与原图象重合()2sin 2sin 33x x ππωπω⎡⎤⎛⎫∴-+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 2,k k Z ωππ∴=∈ 2,k k Z ω∴=∈()f x 在5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调 5121232T πππ∴-=≤ 03ω∴<≤ 2ω∴=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭令232x k πππ+=+，k Z ∈，解得212k x ππ=+，k Z ∈ 当2k =时，1312x π=为()f x 的一条对称轴又1324,1233πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴当1224,,33x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠且()()12f x f x =时，1213132126x x ππ+=⨯= ()1213142sin 22sin 633f x x πππ⎛⎫∴+=⨯+== ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.9.已知函数()2x 2x 1,x 2x 2f x 2,x 2-++<-⎧⎪=≥⎨⎪⎩，且存在不同的实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）=f （x 2）=f （x 3），则x 1•x 2•x 3的取值范围是（ ） A. ()0,3 B. ()1,2C. ()0,2D. ()1,3【答案】A 【解析】 【分析】作出y ＝f （x ）的函数图象，设x 1＜x 2＜x 3，f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，1＜t ＜2，求得x 1，x 2，x 3，构造函数g （t ）＝（t ﹣1）（2+log 2t ），1＜t ＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．【详解】函数()2221222x x x x f x x -⎧-++=⎨≥⎩，＜，的图象如图所示：设x 1＜x 2＜x 3，又当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＝2x ﹣2是增函数， 当x ＝3时，f （x ）＝2，设f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，1＜t ＜2， 即有﹣x 12+2x 1+1＝﹣x 22+2x 2+1＝322x -=t ， 故x 1x 2x 3＝（12t --（12t -（2+log 2t ） ＝（t ﹣1）（2+log 2t ），由g （t ）＝（t ﹣1）（2+log 2t ），1＜t ＜2， 可得g ′（t ）＝2+log 2t 12t tln -+＞0，即g （t ）在（1，2）递增，又g （1）＝0，g （2）＝3， 可得g （t ）的范围是（0，3）． 故选A ．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．二、填空题（共6小题）10.已知函数()sin cos f x x x =-，把函数()f x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称轴方程为______． 【答案】11π2π,6x k k Z =+∈ 【解析】 【分析】将函数()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭经过变换后，得函数()1ππ15π234212g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令15πππ2122x k -=+，求解即可.【详解】把函数()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍.得1π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.再向右平移π3个单位.得到函数()1ππ15π234212g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.令15πππ2122x k -=+，求得11π2π,6x k k Z =+∈， 所以函数()g x 的对称轴方程为11π2π,6x k k Z =+∈． 故答案为：11π2π,6x k k Z =+∈ 【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象和性质，三角函数的图象变换是解决本题的关键.属于中档题. 11.对于ABC V ，有如下命题：()1若sin2sin2A B =，则ABC V 一定为等腰三角形． ()2若sin sin A B =，则ABC V 一定为等腰三角形．()3若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC V 一定为钝角三角形． ()4若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC V 一定为锐角三角形．则其中正确命题的序号是______ .(把所有正确的命题序号都填上) 【答案】()2，()3，()4 【解析】 【分析】三角形中首先想到内角和为π，每个内角都在()0，π内，然后根据每一个命题的条件进行判定【详解】()122A B =或22A B π+=，ABC V ∴为等腰或直角三角形() 2正确；()3由2221sin A sin B cos C ++<可得222sin A sin B sin C +<由正弦定理可得222a b c +<再由余弦定理可得0cosC <，C 为钝角，命题()3正确()()()()4tan 11tanA tanB A B tanAtanB tanC tanAtanB +=+-=--Q0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ∴++=>ABC ∴全为锐角，命题()4正确故其中正确命题的序号是()2，()3，()4【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为π，然后代入化简12.已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ）的值域为[)0,+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(),8m m +，则实数c 的值为 ．【答案】16 【解析】 【分析】利用值域为[)0,+∞可得24a b =，从而可得()f x c <的解集，再结合已知的解集可求实数c 的值.【详解】因为函数2()f x x ax b =++（a ，b R ∈）的值域为[)0,+∞，所以判别式240a b ∆=-=，故24a b =．不等式()f x c <即为22a x c ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，其解集为22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为()f x c <的解集为(),8m m +，所以282a m a m ⎧=⎪⎪=+4=即16c =.故答案为：16．【点睛】本题考查一元二次函数的值域以及一元二次不等式的解．注意根据值域得到()f x 的解析式为完全平方式，从而方便地求出不等式的解集，本题属于基础题. 13.在ABC ∆中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为__________．【答案】【解析】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭Q22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭，最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()sin cos a b θθθϕ+=+的形式【此处有视频，请去附件查看】14.已知函数213,1(){log ,? 1x x x f x x x -+≤=>，()1g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为 . 【答案】34k ≤或54k ≥ 【解析】试题分析：对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，即maxmin ()()f x g x ≤.观察213,1(){log ,? 1x x x f x x x -+≤=>的图象可知，当12x=时，函数max()f x=14；因为()1(1)1g x x k x x k x k=-+-≥---=-，所以min()1,g x k=-所以，114k-≥，解得34k≤或54k≥，故答案为34k≤或54k≥．考点：分段函数，对数函数、二次函数的性质.15.已知函数()()21ln10,310,2x xf xx x x，，⎧-+≤⎪=⎨-++>⎪⎩且函数()()2g x f x x m=--在定义域内恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_________.【答案】65ln216m<<或17116m-<<-【解析】【分析】先作出函数()f x图象，再根据函数2y x m=-图象确定满足条件的位置，进而得参数m的取值范围. 【详解】由231(0)2y x x x=-++>与2y x m=-相切得1716m=-由231(0)2y x x x=-++>与2y x m=-+相切得6516m=由()()1ln10y x x=-+≤与2y x m=-+相切得ln2m=作出函数()f x图象，如图，所以要使得函数有三个不同零点，需满足65ln216m<<或17116m-<<-，【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 三、解答题（共5小题）16.已知函数()2πf x 23cos ωxcos ωx 2sin ωx(ω0)2⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π． (Ⅰ)求ω的值和函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)求函数()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】(Ⅰπ2π)?k π,k π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)[]0,3. 【解析】 【分析】(Ⅰ)先对函数化简整理，再由T π=，即可求出ω，进而求出函数的单调增区间；(Ⅱ)先由πx π3，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合(Ⅰ)确定函数单调性，进而可求出其取值范围.【详解】(Ⅰ)因为()πf x 23sin ωxcos ωx 1cos2ωx?=3sin2ωx cos2ωx 12sin 2ωx 16⎛⎫=-+---+=-++ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为2πT π2ω==，所以ω 1.= ()πf x 2sin 2x 16⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭．由ππ3π2k π2x 2k π262+≤+≤+，得π2πk πx k π63+≤≤+， ∴函数()f x 的单调增区间为π2πk π,k π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z.∈ (Ⅱπ)x π3≤≤Q， ()f x ∴在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在区间2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，π5π f 2sin 1036⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，2π3πf 2sin 1332⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()πf π2sin 106=-+=，因此()f x 的取值范围为[]0,3.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，熟记三角函数的图像和性质即可求解，属于基础题型. 17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，122AB AD BC ===，4PA =，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =．（1）求证：DE ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC D --的余弦值；（3）设Q 为棱CP 上的点（不与C ，P 重合），且直线QE 与平面PAC 5，求CQ CP 的值．【答案】（1）见解析；（225；（3）23CQ CP = 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到0DE AC ⋅=u u u r u u u r ，0DE AP ⋅=u u u r u u u r，根据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面PAC 的法向量()2,1,0m =-u r ，确定平面PCD 的法向量()2,2,1n =-r，根据cos ,m n mn m n⋅=⋅u r ru r r u r r ，求解即可.（3）设()01CQCPλλ=<<，确定()22,44,4Q λλλ=--，()2,43,4QE λλλ=--u u u r ，根据直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为5，求解λ，即可. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥ 因为AB AD ⊥则以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,2,0D ，()0,0,4P ，()2,1,0E .所以()2,1,0DE =-u u u r ，()2,4,0AC =u u u r ，()0,0,4AP =u u u r.因为221400DE AC ⋅=⨯-⨯+=u u u r u u u r ，0DE AP ⋅=u u u r u u u r. 所以DE AC ⊥，DE AP ⊥又AP AC A ⋂=，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC . 所以DE ⊥平面PAC ．（2）设平面PAC 的法向量m u r，由（1）可知，()2,1,0m DE ==-u r u u u r 设平面PCD 的法向量(),,n x y z =r因为()0,2,4PD =-u u u r ，()2,4,4PC =-u u u r. 所以00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2402440y z x y z -=⎧⎨+-=⎩不妨设1z =，得()2,2,1n =-r．22120cos ,5m n m n m n ⨯-+-⨯+⋅===-⋅u r rur r u r r 所以二面角A PC D --． （3）设()01CQCPλλ=<<，即()2,4,4CQ CP λλλλ==--u u u r u u u r . 所以()22,44,4Q λλλ=--，即()2,43,4QE λλλ=--u u u r.因为直线QE 与平面PAC 所以cos ,QE m QE m QE m ⋅===⋅u uu r u r u u u r u r u u u r u r 3=解得23λ= 即23CQ CP =． 【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题. 18.已知数列{}n a 前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【答案】(Ⅰ) 2n nna =；(Ⅱ)4. 【解析】【分析】(Ⅰ)利用11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，整理可得数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列，求出{}n b 的通项公式可得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 11122121n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法求得11124212163n n T +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭，解不等式可得结果.【详解】(Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭Q ，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121 (212121)2121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <， 因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.【点睛】本题主要考查利用递推公式求通项以及裂项相消法求数列的和，属于难题. 由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.19.已知f （x ）=log 4（4x+1）+kx 是偶函数．（1）求k 的值；（2）判断函数y =f （x ）-12x 在R 上的单调性，并加以证明； （3）设g （x ）=log 4（a •2x -43a ），若函数f （x ）与g （x ）的图象有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）k =-12(2)见证明；(3) （1，+∞）∪{-3}【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义可得f （-x ）=f （x ），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值； （2）函数h （x ）=f （x ）-12x=log 4（4x +1）-x 在R 上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明；（3）由题意可得log 4（4x +1）-12x=log 4（a•2x -43a ）有且只有一个实根，可化为2x +2-x =a•2x -43a ，即有a =22423x xx -+-，化为a -1=41234223xx x+⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【详解】（1）f （x ）=log 4（4x +1）+kx 是偶函数，可得f （-x ）=f （x ），即log 4（4-x +1）-kx =log 4（4x +1）+kx ，即有log 44141x x -++=2kx ，可得241441x kx x -+=+，即()2124144k x x kx +-+=+由x ∈R ，可得12k =-； （2）函数h （x ）=f （x ）-12x =log 4（4x +1）-x 在R 上递减， 理由：设x 1＜x 2，则h （x 1）-h （x 2）=log 4（4x 1+1）-x 1-log 4（4x 2+1）+x 2 =log 4（4-x 1+1）-log 4（4-x 2+1），由x 1＜x 2，可得-x 1＞-x 2，可得log 4（4-x 1+1）＞log 4（4-x 2+1）， 则h （x 1）＞h （x 2），即y =f （x ）-12x 在R 上递减； （3）g （x ）=log 4（a •2x -43a ），若函数f （x ）与g （x ）的图象有且仅有一个交点， 即为log 4（4x +1）-12x =log 4（a •2x -43a ）有且只有一个实根，可化为2x +2-x =a •2x -43a ，即有a =22423x xx -+-，化为a -1=41234223x x x+⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，可令t =1+43•2x （t ＞1），则2x =334t -，则a -1=21693425tt t -+=1625934t t+-， 由9t +25t -34在（1，53）递减，（53，+∞）递增，可得9t +25t-34的最小值为-34=-4，当a -1=-4时，即a =-3满足两图象只有一个交点； 当t =1时，9t +25t-34=0，可得a -1＞0时，即a ＞1时，两图象只有一个交点， 综上可得a 的范围是（1，+∞）∪{-3}．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查对数的运算性质和函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题．20.已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】（Ⅰ）(0,)+∞；（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的结论来证明，由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．设2()(2)x x g x xe x e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．则当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 试题解析：（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a =-+-=-+．（Ⅰ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（Ⅱ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点．（Ⅲ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞单调递增．又当1x ≤时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，21 所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．【考点】导数及其应用【名师点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.【此处有视频，请去附件查看】。
南开中学2020届高三数学统练(1)(word)
南开中学2020届高三数学统练（1）（word ）一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合 A ={−1,1,2,3,5} ， B ={2,3,4} ， C ={x ∈R∣ 1≤x <3} ，则 (A ∩C )∪B = ( ) A. {2}B. {2,3}C. {−1,2,3}D. {1,2,3,4}2. 设 x ∈R ，则“ x 2−5x <0 ”是“ ∣x −1∣<1 ”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知三棱锥 P −ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E ，F 分别是 PA ，AB 的中点，∠CEF =90∘，则球 O 的体积为 ( ) A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π4. 已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ．若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 ∣AB ∣=4∣OF ∣ （ O 为原点），则双曲线的离心率为 ( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √5 5. 已知 a =log 52 ， b =log 0.50.2 ，c =0.50.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b6. 设 x ∈R ，[x ] 表示不超过 x 的最大整数，若存在实数 t ，使得 [t ]=1，[t 2]=2，⋯，[t n ]=n 同时成立，则正整数 n 的最大值是 ( ) A. 3B. 4C. 5D. 67. 已知函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣<π) 是奇函数，将 y =f (x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g (x ) ．若 g (x ) 的最小正周期为 2π ，且 g (π4)=√2 ，则 f (3π8)= ( ) A. −2B. −√2C. √2D. 28. 已知 a ∈R ，设函数 f (x )={x 2−2ax +2a,x ≤1x −alnx,x >1若关于 x 的不等式 f (x )≥0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为 ( )A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e ]D. [1,e ]二、填空题（共6小题；共30分） 9. (2x −18x 3)8的展开式中的常数项为 ． 10. 设 x >0 ， y >0 ， x +2y =5 ，则√xy的最小值为 ．11. 在四边形 ABCD 中， AD ∥BC ， AB =2√3 ， AD =5 ， ∠A =30∘ ，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AE =BE ，则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ = ．12. 已知直线 l:mx +y +3m −√3=0 与圆 x 2+y 2=12 交于 A ，B 两点，过 A ，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C ，D 两点，若 ∣AB ∣=2√3，则 ∣CD ∣= ．13. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ．14. 已知 a ∈R ，函数 f (x )=∣∣x +4x −a ∣∣+a 在区间 [1,4] 上的最大值是 5，则 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在 △ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 b +c =2a ， 3csinB =4asinC ．（1）求 cosB 的值； （2）求 sin (2B +π6) 的值．16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7:30 之前到校的概率均为 23 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（2）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在 7:30 之前到校的天数恰好多 2 ”，求事件 M 发生的概率．17. 如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB =AD =1，AE =BC =2．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角 E −BD −F 的余弦值为 13，求线段 CF 的长．18. 设椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B ．已知椭圆的短轴长为 4，离心率为√55（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上．若 ∣ON ∣=∣OF ∣（O 为原点），且 OP ⊥MN ，求直线 PB 的斜率．19. 设 {a n } 是等差数列， {b n } 是等比数列．已知 a 1=4 ， b 1=6 ， b 2=2a 2−2 ， b 3=2a 3+4 ．（1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（2）设数列 {c n } 满足 C 1=1 ， C n ={1,2k <n <2k−1b k ,n =2k其中 k ∈N ∗ ． ①求数列 {a 2n(c 2k −1)} 的通项公式；②求 ∑a i c i 2ni=1(n ∈N ∗) ．20. 设函数 f (x )=e x cosx ， g (x ) 为 f (x ) 的导函数．（1）求 f (x ) 的单调区间；（2）当 x ∈[π4,π2] 时，证明 f (x )+g (x )(π2−x)≥0 ；（3）设 x n 为函数 u (x )=f (x )−1 在区间 (2nπ+π4,2nπ+π2) 内的零点，其中 n ∈N ，证明 2nπ+π2−x n <e −2πnsinx0−cosx 0．答案第一部分1. D 【解析】因为A∩C={−1,1,2,3,5}∩{x∈R∣ 1≤x<3}={1,2}，所以(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}．2. B 【解析】由“ x2−5x<0”可得“ 0<x<5”，由“ ∣x−1∣<1”可得“ 0<x<2”，由“ 0<x<5”不能推出“ 0<x<2”，但由“ 0<x<2”可以推出“ 0<x<5”，所以“ x2−5x<0”是“ ∣x−1∣<1”的必要不充分条件．3. D4. D 【解析】由已知易得，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线l:x=−1，所以∣OF∣=1．又双曲线的两条渐近线的方程为y=±bax，不妨设点A(−1,ba )，B(−1,−ba)，所以∣AB∣=2ba=4∣OF∣=4，所以ba=2，即b=2a，所以b2=4a2．又双曲线方程中C2+a2+b2，所以C2=5a2，所以e=ca=√5．5. A【解析】因为y=log5x是增函数，所以a=log52<log5√5=0.5．因为y=log0.5x是减函数，所以b=log0.50.2>log0.50.5=1．因为y=0.5x是减函数，所以0.5=0.51<c=0．50.2<0.50=1，即0.5<c<1．所以a<c<b．6. B 【解析】由[t]=1得1≤t<2；由[t2]=2，得√2≤t<√3；由[t3]=3，得313≤t<413；由[t4]=4，得√2≤t<514；由[t5]=5，得515≤t<615．因为(313)15=35=243，(615)15=63=216，所以313>615．同理可得1<515<212<615<313<514<413<√3<2．以上每一个范围在数轴上的示意图如图所示，由图可知，当n=1，2，3，4时，[t n]=n能同时成立；当n=5时，[t3]=3与[t5]不能同时成立，故n的最大值为4．7. C 【解析】因为f(x)是奇函数（显然定义域为R），所以f(0)=Asinφ=0，所以sinφ=0．又∣φ∣<π，所以φ=0．由题意得g(x)=Asin(12ωx)，且g(x)最小正周期为2π，所以12ω=1，即ω=2．所以g(x)=Asinx，所以g(π4)=Asinπ4=√22A=√2，所以A=2．所以f(x)=2sin2x，所以f(3π8)=√2．8. C 【解析】当x≤1时，由f(x)=x2−2ax+2a≥0恒成立，而二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=a，所以当a≥1时，f(x)min=f(1)=1>0恒成立，当a<1时，f(x)min=f(a)=2a−a2≥0，所以0≤a<1，综上，a≥0．当x>1时，由f(x)=x−alnx≥0恒成立，即a≤xlnx恒成立，设g(x)=xlnx ，则gʹ(x)=lnx−1(lnx)2，令gʹ(x)=0，得x=e，且当1<x<e时，gʹ(x)<0，当x>e时，gʹ(x)>0，所以g(x)min=g(e)=e，所以a≤e．综上，a的取值范围是0≤a≤e，即[0,e]．第二部分9. 28【解析】(2x −18x )8的通项为 T n+1=C 8r (2x )8−r⋅(−18x )r=C 82r8−r(−18)r⋅x 8−4r ．令 8−4r =0 ，得 r =2 ， 所以常数项为 T 3=C 8225(−18)2=28 ．10. 4√3【解析】因为 x >0 ， y >0 ， 所以 √xy >0 ． 因为 x +2y =5 ， 所以√xy=√xy =√xy=2√xy √xy ≥2√12=4√3.．当且仅当 2√xy =√xy时取等号．所以√xy的最小值为 4√3 ．11. −1【解析】如图，因为 E 在线段 CB 的延长线上，所以 EB ∥AD ， 因为 ∠DAB =30∘ ， 所以 ∠ABE =30∘ ． 因为 AE =BE ， 所以 ∠EAB =30∘ ． 又因为 AB =2√3 ， 所以 BE =2 ． 因为 AD =5 ， 所以 EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −25AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．又因为 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −25AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −25AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+25AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =75∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅cos30∘−25×52−(2√3)2=75×5×2√3×√32−10−12=21−22=−1.12. 4【解析】根据直线与圆相交弦长公式有 ∣AB ∣=2√r 2−d 2=2√3，得 r 2−d 2=3，又 r 2=12，得 d =3．因此圆心 O (0,0) 到直线 l:mx +y +3m −√3=0 的距离 d =√3∣√m 2+1=3，解得 m =−√33． 因此直线 l 的方程为 y =√33x +2√3．所以直线 l 的倾斜角为 30∘．如图所示，过点 C 作 CE ⊥BD 于点 E ，则 ∣CD ∣=∣CE∣cos30∘=∣AB∣cos30∘=√3√32=4．13. (4,8)14. (−∞,92]【解析】由题可知 ∣∣x +4x −a ∣∣+a ≤5，即 ∣∣x +4x−a ∣∣≤5−a ， 所以 a ≤5，又因为 ∣∣x +4x−a ∣∣≤5−a ， 所以 a −5≤x +4x −a ≤5−a ， 所以 2a −5≤x +4x ≤5， 又因为 1≤x ≤4，4≤x +4x ≤5， 所以 2a −5≤4，解得 a ≤92．第三部分15. （1） 在 △ABC 中， 由正弦定理 bsinB =csinC ， 得 bsinC =csinB ． 由 3csinB =4asinC ，得 3bsinC =4asinC ，即 3b =4a ．因为 b +c =2a ， 所以 b =43a ， c =23a ．由余弦定理可得 cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a=−14 ．（2） 由（ 1 ）可得 sinB =√1−cos 2B =√154， 从而 sin2B =2sinBcosB =−√158 ， cos2B −cos 2B −sin 2B =−78 ， 故sin (2B +π6)=sin2Bcos π6+cos2Bsin π6=−√158×√32−78×12=−3√5+716.16. （1） 因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立， 且每天 7:30 之前到校的概率均为 23 ，故 X ∼B (3,23) ，从而 P (X =k )=C 3k (23k)(13)3−k， k =0,1,2,3 ．所以，随机变量 X 的分布列为X 0123P1272949827随机变量 X 的数学期望 E (X )=3×23=2 ．（2） 设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为 Y ， 则 Y ∼B (3,23) ，且 M ={X =3,Y =1}∪{X =2,Y =0} ，由题意知事件 {X =3,Y =1} 与 {X =2,Y =0} 互斥，且事件 {X =3} 与 {Y =1} ，事件 {X =2} 与 {Y =0} 均相互独立， 从而由（ 1 ）知P (M )=P ({X =3,Y =1}∪{X =2,Y =0})=P (X =3,Y =1)+P (X =2,Y =0)=P (X =3)P (Y =1)+P (X =2)P (Y =0)=827×29+49×127=20243.17. （1） 依题意，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0) 是平面 ADE 的法向量， 又 BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,ℎ)，可得 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 又因为直线 BF ⊄平面ADE ， 所以 BF ∥平面ADE ．（2） 依题意，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,2)．设 n ⃗ =(x,y,x ) 为平面 BDE 的法向量， 则 {n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {−x +y =0,−x +2z =0, 不妨令 z =−1，可得 n ⃗ =(2,2,1)． 因此有 cos⟨CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=CE ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ∣CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=−49． 所以，直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 49． （3） 设 m ⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 BDF 的法向量， 则 {m ⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {−x 1+y 1=0,2y 1+ℎz 1=0,不妨令 y 1=1，可得 m ⃗⃗ =(1,1,−2ℎ)．由题意，有 cos ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=∣4−2ℎ∣3√2+4ℎ2=13，解得 ℎ=87，经检验，符合题意． 所以，线段 CF 的长为 87．18. （Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，依题意，2b =4，ca =√55， 又 a 2=b 2+c 2，可得 a =√5，b =2，c =1． 所以，椭圆方程为 x 25+y 24=1 .（Ⅱ）由题意，设 P(x p ,y P )(x P ≠0)，M (x M ,0)． 设直线 PB 的斜率为 k (k ≠0)，又 B (0,2)，则直线 PB 的方程为 y =kx +2，与椭圆方程联立 {y =kx +2,x 25+y 24=1,整理得 (4+5k 2)x 2+20kx =0，可得 x P =−20k4+5k 2， 代入 y =kx +2 得 y P =8−10k 24+5k 2，进而直线 OP 的斜率 y Px P=4−5k 2−10k，在 y =kx +2 中，令 y =0，得 x M =−2k . 由题意得 N (0,−1)，所以直线 MN 的斜率为 −k2．由 OP ⊥MN ，得4−5k 2−10k⋅(−k2)=−1，化简得 k 2=245，从而 k =±2√305． 所以，直线 PB 的斜率为2√305 或 −2√305. 19. （1） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ，等比数列 {b n } 的公比为 q ， 依题意得 {6q =6+2d,6q 2+12+4d,解得 {d =3,q =2,故 a n =4+(n −1)×3=3n +1 ， b n =6×2n−1=3×2n ，所以 {a n } 的通项公式的 a n =3n +1 ， {b n } 的通项公式为 b n =3×2n ． （2） ① a 2n (c 2n −1)=a 2n (b n −1)=(3×2n +1)(2×2n −1)=9×4n −1 ． 所以，数列 {a 2n (c 2n −1)} 的通项公式为 a 2(c 2n −1)=9×4n −1 ． ②∑a i c i 2ni=1=∑[a i +a i (c i −1)]2ni=1=∑a i 2i=1+∑a 2(c 2−1)ni=1=(2n ×4+2n (2n −1)2×3)+∑(9×4n−1)n i=1=(3×2n−1+5×2n−1)+9×4(−14n )1−4−n=27×22n−1+5×2n−1−n −12(n ∈N ∗).．20. （1） 由已知，有 fʹ(x )e x (cosx −sinx ) ． 因此，当 x ∈(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k ∈Z ) 时，有 sinx >cosx ，得 fʹ(x )<0 ，则 f (x ) 单调递减；当 x ∈(2kπ−3π4,2kπ+π4)(k ∈Z ) 时，有 sinx <cosx ，得 fʹ(x )>0 ，则 f (x ) 单调递增． 所以， f (x ) 的单调递增区间为 [2kπ−3π4,2kπ+π4](k ∈Z ) ，f (x ) 的单调递减区间为 [2kπ+π4,2kπ+5π4](k ∈Z ) ．（2） 证明：记 ℎ(x )=f (x )+g (x )(π2−x) ， 依题意及（ 1 ），有 g (x )=e x (cosx −sinx ) ， 从而 gʹ(x )=−2e x sinx ． 当 x ∈(π4,π2) 时， gʹ(x )<0 ， 故ℎʹ(x )=fʹ(x )+gʹ(x )(π2−x)+g (x )(−1)=gʹ(x )(π2−x)<0.因此，ℎ(x)在区间[π4,π2]上单调递减，进而ℎ(x)≥ℎ(π2)=f(π2)=0．所以，当x∈[π4,π2]时，f(x)+g(x)(π2−x)≥0．（3）依题意，u(x n)=f(x n)−1=0，即e x⋅cosx n=1．记y n=x n−2nπ，则y n∈(π4,π2 )，且f(y n)=e x⋅cosy n=e x−2nπcos(x n−2nπ)=e−2nπ(n∈N)．由f(y n)=e−2nπ≤1=f(y0)及（1），得y n≥y0．由（2）知，当x∈(π4,π2)时，gʹ(x)<0，所以g(x)在[π4,π2]上为减函数，因此g(y n)≤g(y0)<g(π4)=0．第11页（共11 页）。
天津市天津南开中学等六校2020届高三数学上学期期初检测试题
15 x 天津市天津南开中学等六校2020届高三数学上学期期初检测试题一、选择题（每题 5 分，共 45 分）1. 设全集为 R ，集合 A =x R |0 x 2 ， B =x N | x 1 ，则 A (C R B )7. 在ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c 。
已知ABC 的面积为3 ，3sin AC ， cos B1，则cos2A 的值为2. 命题“ x R ， 2x 2 3x ”的否定是 8. 已知 F ， F 分别为双曲线3x 2 y 23a 2a 0 的左右焦点， P 是抛物线 y2ax 与1 23. 已知 a ln， blg125 ， c 1.3，则a , b , c 的大小关系是双曲线的一个交点，若| PF 1 | | PF 2，则抛物线的准线方程为4. 为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队,教练将二人最近6 次篮球比赛的得分数进行统计,甲乙两人的平均得分分别是,则下列说法9. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足： f (x ) f (x ) e 2 x ， fln 2 4 ，则不等式 f (x e 2 x 的解集为A .B .C . ln 2，D . 2，二、填空题（每题 5 分，共 30 分）正确的是10.二项式 25 3x 的展开式的常数项是A . ,乙比甲稳定,应选乙参加比赛B . ,甲比乙稳定,应选甲参加比赛C .,甲比乙稳定,应选甲参加比赛D .,乙比甲稳定,应选乙参加比赛 5. 已知直线m , n ，平面α ， n ，那么“ m //”是“ m // n ”A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6．函数 f (x )A sin(ωxφ) ，（其中 A 0, ω0,| φ | π）2的一部分图像如图所示，将函数上的每一点的纵坐标不变， 横坐标伸长为原来的2 倍，得到的图像表示的函数可以为11. i 是虚数单位，则=i12．如图，在三棱柱的侧棱 A 1 A 和 B 1 B 上各有一动点 P , Q 且满足 A 1PBQ ， 过 P , Q , C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥 CABQP与三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积比为13. 如图，在ABC 中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE2EA ， AD 与CE 交于点O 。
2020届天津市南开中学高三数学开学统练试题(解析版)
2020届天津市南开中学高三数学开学统练试题一、单选题1．设集合{}{}{}1,1,2,3,5,2,3,4,|13A B C x R x =-==∈≤<，则()A C B =I U （ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】求出A C I 后可求()A C B I U . 【详解】{}1,2A C =I ，故{}()1,2,3,4A C B =I U ，故选:D. 【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题. 2．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 3．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π【答案】D【解析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆Q 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即 364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆Q 为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A ．BC ．2D 【答案】D【解析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率． 【详解】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===． 故选D ． 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度． 5．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小． 【详解】551log 2log 52a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 6．设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B 【解析】因为表示不超过的最大整数．由得，由得， 由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4．【考点】函数的值域，不等式的性质．7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．2- B．CD ．2【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
冲刺2020高考精品试卷解析：天津市南开中学2020届高三数学统练(附答案)
南开中学2020届高三数学统练一、选择题（共9小题；共45分）1. 已知集合 A ={2,3a }，b ={a,b }，若 A ∩B ={3}，则 A ∪B = ( ) A. {0,1,2}B. {0,1,3}C. {0,2,3}D. {1,2,3}2. 为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ỳ=b ̀x +à，已知 ∑x i 10i=1=225，∑y i 10i=1=1600，b ̀=4，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为 ( )A. 160B. 163C. 166D. 1703. 若 a >b >0，且 ab =1，则下列不等式成立的是 ( )A. a +1b <b 2<log 2(a +b )B.b2<log 2(a +b )<a +1bC. a +1b <log 2(a +b )<b2aD. log 2(a +b )<a +1b <b2a4. 设双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一个焦点为 F (c,0)(c >0)，且离心率等于 √5．若该双曲线的一条渐近线被圆 x 2+y 2−2cx =0 截得的弦长为 2√5，则该双曲线的的标准方程为 ( ) A.x 220−y 25=1 B.x 225−y 2100=1C.x 25−y 220=1 D.x 25−y 225=15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD =π3，AB =2，AD =1，若 M ，N 分别是边 AD ，CD 上的点，且满足MD AD=NC DC=λ，其中 λ∈[0,1]，则 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A. [−3,−1]B. [−3,1]C. [−1,1]D. [1,3]6. 如图所示的几何体是由一个三棱锥 P −ABC 与三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 组合而成，现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面 A 1B 1C 1 不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有 ( )A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 36 种7. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ∈(0,+∞) 时，都有不等式 f(x)−xfʹ(x)<0 成立，若 a =f(1)，b =20.4f(2−0.4)，c =(log 412)f (log 4116)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A. a >c >bB. a >b >cC. b >c >aD. c >a >b8. 已知 F 为抛物线 C:y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点，则 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 ( ) A. 16B. 14C. 12D. 109. 汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 ( )A. 消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（共6小题；共30分）10. 若复数 z 满足 (1−2i )z =−12(2+i )，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为 ．11. 设 (x −a)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，若 a 5+a 8=−6，则实数 a 的值为 ．12. 定义 np1+p 2+⋯+p n为 n 个正数 p 1，p 2，⋯，p n 的“均倒数”，若已知数列 {a n } 的前 n 项的“均倒数”为 12n+1，又 b n =a n +14，则 1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b2017b 2018= ．13. 已知下列命题： ①命题：∀x ∈(0,2)，3x >x 3 的否定是：∃x 0∈(0,2)，30x ≤x 03；②若 f (x )=2x −2−x ，则 ∀x ∈R ，f (−x )=−f (x )；③若 f (x )=x +1x+1，则 ∃x 0∈(0,+∞)，f (x 0)=1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB．其中真命题是．（只填写序号）14. 已知函数f(x)在R上满足f(−x)=f(x)，且当x∈[0,+∞)时，f(x)=13x3+23x2．函数g(x)=∣∣sin(3πx2)∣∣，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在R上的零点个数为．15. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题（共5小题；共65分）16. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（1）求角B的大小；（2）若√3sin(A2+π6)cos(A2+π6)−sin2(A2+π6)=1126，求cosC的值．17. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PB=PD=√5，PC=2，E是侧棱PC上的动点．（1）求证：不论点E在何位置，都有BD⊥AE；（2）若PA∥平面BDE，求直线AE与平面BDE所成角的正弦值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D−AE−B的大小．18. 等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32．数列{b n}的前n项和S n=(n+1)b n2，n∈N∗，且b1=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b2n+5b2n+1b2n+3a n，n∈N∗，求证：∑c knk=1<13．19. 已知函数f(x)=x−ax−2lnx，a∈R．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求a的取值范围；（3）在（1）的条件下，证明：f(x2)<x2−1．20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，焦距为2．（1）求椭圆E的方程．（2）如图，该直线l:y=k1x−√32交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=√24，M是线段OC延长线上一点，且∣MC∣:∣AB∣=2:3，⊙M的半径为∣MC∣，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．答案第一部分 1. D 2. C3. B【解析】因为 a >b >0，且 ab =1，所以可取 a =2，b =12． 则 a +1b =52，b2a =1222=18，log 2(a +b )=log 2(2+12)=log 252∈(1,2)，所以 b 2a <log 2(a +b )<a +1b． 4. C 5. A 6. C 7. D8. A【解析】如图，l 1⊥l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点， 要使 ∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，则 A 与 D ，B 与 E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l 2 过点 (1,0)，则直线 l 2 的方程为 y =x −1，联立方程组 {y 2=4x,y =x −1, 则 y 2−4y −4=0，所以 y 1+y 2=4，y 1y 2=−4所以 ∣DE ∣=√1+1k 2⋅∣y 1−y 2∣=√2×√32=8， 所以 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 2∣DE ∣=16．方法二：设直线 l 1 的倾斜角为 θ，则 l 2 的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得 ∣AB ∣=2psin 2θ=4sin 2θ，∣DE∣=2psin2(π2−θ)=2pcos2θ=4cos2θ．所以∣AB∣+DE∣=4sin2θ+4cos2θ=4sin2θcos2θ=16sin22θ．因为：0<sin22θ≤1，所以当θ=45∘时，∣AB∣+∣DE∣最小，最小值为16．9. D 【解析】乙车的燃油效率可以大于5，即消耗1升汽油可以行驶大于5千米的路程，故A错误；以相同的速度行驶相同的里程，甲车的燃油消耗率最高，因此以相同的的速度行驶相同的里程，甲车的消耗汽油最少，B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此在相同的条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，所以D正确．第二部分10. (0,12)11. 1212. 20172018【解析】由题意可得：na1+a2+⋯+a n =12n+1，所以a1+a2+⋯+a n=2n2+n，所以n≥2时，a1+a2+⋯+a n−1=2(n−1)2+n−1，两式相减，得a n=4n−1，n=1时，a1=3，上式也成立．所以a n=4n−1，所以b n=a n+14=n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，则1 b1b2+1b2b3+⋯+1b2017b2018=1−12+12−13+⋯⋯+12017−12018=1−12018=20172018.13. ①②④⑤【解析】对于①，命题：∀x∈(0,2)，3x>x3的否定是：∃x0∈(0,2)，30x≤x03，正确；对于②，若f(x)=2x−2−x，则∀x∈R，f(−x)=−f(x)，正确；对于③，对于函数f(x)=x+1x+1，当且仅当x=0时，f(x)=1，故错；对于④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，72(a1+a7)=72×2a4=7a4=21，故正确；对于⑤，在△ABC中，若A>B，则a>b⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB，故正确．14. 715. 4√15cm3【解析】由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得 OD ⊥BC ，OG =√36BC ， 即 OG 的长度与 BC 的长度成正比， 设 OG =x ，则 BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高 ℎ=√DG 2−OG 2=√25−10x +x 2−x 2=√25−10x ， S △ABC =12×√32×(2√3x)2=3√3x 2，则 V =13S △ABC ×ℎ=√3x 2×√25−10x =√3⋅√25x 4−10x 5， 令 f (x )=25x 4−10x 5，x ∈(0,52)，fʹ(x )=100x 3−50x 4， 令 fʹ(x )≥0，即 x 4−2x 3≤0，解得 x ≤2， 故 f (x ) 在 (0,2] 上单调递增，在 [2,52) 上单调递减， 则 f (x )≤f (2)=80，所以 V ≤√3×√80=4√15 cm 3， 所以体积最大值为 4√15 cm 3． 第三部分16. （1） 因为 2bcosC =2a +c ，所以由余弦定理，得 2b ⋅a 2+b 2−c 22ab=2a +c ， 整理得 b 2=a 2+c 2+ac ，所以 cosB =a 2+c 2−b 22ac=−12，所以 B =2π3．（2） 因为 √3sin (A2+π6)cos (A2+π6)−sin 2(A2+π6)=1126， 所以 √3sin (A +π3)+cos (A +π3)=2413，所以 sin (A +π3+π6)=1213，所以 cosA =1213，所以 sinA =√1−cos 2A =513．因为 B =2π3，所以 cosC =cos (π3−A)=cos π3cosA +sin π3sinA =12+5√326． 17. （1） 因为在 △PBC 中，PB =√5，PC =2，BC =1，所以 PC 2+BC 2=PB 2，从而 PC ⊥BC ， 同理可得 PC ⊥DC ， 因为 BC ∩DC =C ， 所以 PC ⊥底面ABCD ，如图，以点 C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则 A (1,1,0)，B (0,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,2)，从而 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设 E (0,0,a )，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,a )， 因为 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BD ⊥AE ． （2） BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,a )，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2)， 设平面 BDE 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由 {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {x 1−y 1=0,−y 1+az 1=0,取 y 1=1，则 x 1=1，z 1=1a ，从而 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1a )， 因为 PA ∥平面BDE ，所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ ，即 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =2−2a =0，解得 a =1，所以 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，设直线 AE 与平面 BDE 所成角为 θ，则 sinθ=∣∣cos⟨AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3×√3=13，即直线 AE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 13．（3） DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，n 3⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3,z 3)， 由 {n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得 {y 2=0,−x 2+z 2=0, 取 n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 由 {n 3⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 3⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {x 3=0,−y 3+z 3=0, 取 n 3⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 设二面角 D −AE −B 的平面角为 φ，则 ∣cosφ∣=∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 3⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n3⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12， 由图形可知 φ 为钝角， 所以 φ=2π3，即二面角 D −AE −B 的大小为 2π3． 18. （1） 设等比数列 {a n } 的公比为 q ， 依题意，有 2a 4=2a 5+4a 6， 所以 a 4=a 4q +2a 4q 2， 因为 a n >0，所以 q >0，且 2q 2+q −1=0，解得 q =12或 q =−1（舍），因为 a 4=4a 32=4a 2a 4，所以 a 2=14， 所以 a 1=12，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =(12)n(n ∈N ∗)，当 n ≥2 时，b n =S n −S n−1=(n+1)b n2−nb n−12，所以 (n −1)b n =nb n−1，即 bnn =b n−1n−1(n ≥2)，所以数列 {b n n } 是首项为 b11=1 的常数列， 所以 bn n =1，即 b n =n (n ∈N ∗)，所以数列 {b n } 的通项公式为 b n =n (n ∈N ∗)． （2） 由（Ⅰ），得c n =b 2n+5b2n+1b 2n+3a n=2n+5(2n+1)(2n+3)⋅12n=1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n ,所以∑c k n k=1=(13⋅20−15⋅21)+(15⋅21−17⋅22)+⋯+(1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n )=13−1(2n+3)⋅2n <13.19. （1） 函数 f (x )=x −a x−2lnx 的定义域为 (0,+∞)．fʹ(x )=1+a x 2−2x =x 2−2x +ax 2.令 fʹ(x )=0，得 x 2−2x +a =0，其判别式 Δ=4−4a ． (1) 当 Δ≤0，即 a ≥1 时，x 2−2x +a ≥0,fʹ(x )≥0， 此时，f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增． (2) 当 Δ>0，即 a <1 时，方程 x 2−2x +a =0 的两根为 x 1=1−√1−a ，x 2=1+√1−a >1． 若 a ≤0，则 x 1≤0，则 x ∈(0,x 2) 时，fʹ(x )<0，x ∈(x 2,+∞) 时，fʹ(x )>0． 此时，f (x ) 在 (0,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增．若 a >0，则 x 1>0，则 x ∈(0,x 1) 时，fʹ(x )>0，x ∈(x 1,x 2) 时，fʹ(x )<0，x ∈(x 2,+∞) 时，fʹ(x )>0．此时，f (x )在(0,x 1) 上单调递增，在 (x 1,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增． 综上所述，当 a ≤0 时，函数 f (x ) 在 (0,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增；当 0<a <1 时，函数 f (x )在(0,x 1) 上单调递增，在 (x 1,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增； 当 a ≥1 时，函数 f (x )在(0,+∞) 上单调递增．（2） 由（1）可知，函数 f (x ) 有两个极值点 x 1，x 2，等价于方程 x 2−2x +a =0 在 (0,+∞) 有两不等实根，故 0<a <1．（3） 证明：由（1），（2）得 0<a <1，x 2=1+√1−a ，且 1<x 2<2，a =−x 22+2x 2．f (x 2)−x 2+1=x 2−−x 22+2x 2x 2−2lnx 2−x 2+1=x 2−2lnx 2−1.令 g (t )=t −2lnt −1,1<t <2，则 gʹ(t )=1−2t=t−2t．由于 1<t <2，则 gʹ(t )<0，故 g (t ) 在 (1,2) 上单调递减． 故 g (t )<g (1)=1−2ln1−1=0． 所以 f (x 2)−x 2+1=g (x 2)<0 所以 f (x 2)<x 2−1．20. （1） 由题意知，{c a=√22,2c =2,a 2=b 2+c 2,解得 a =√2，b =1． 所以椭圆 E 的方程为x 22+y 2=1；（2） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立 {x 22+y 2=1,y =k 1x −√32,得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0． 由题意得 Δ=64k 12+8>0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1，x 1x 2=−12(2k 12+1)．所以 ∣AB ∣=√1+k 12∣x 1−x 2∣=√2⋅√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意可知圆 M 的半径 r 为 r =23∣AB ∣=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12． 由题意设知，k 1k 2=√24， 所以 k 2=√24k 1． 因此直线 OC 的方程为 y =√24k 1x ． 联立 {x 22+y 2=1,y =√24k 1x,得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k 12．因此，∣OC ∣=√x 2+y 2=√1+8k 121+4k 12．由题意可知，sin∠SOT 2=r r+∣OC∣=11+∣OC∣r．而∣OC∣r =√1+8k121+4k122√23√1+k11+8k11+2k12=√2412√1+4k1√1+k1．令t=1+2k12，则t>1，1t∈(0,1)，因此，∣OC∣r =2√2t2+t−1 =2√2+t−t2 =2√−(1t−12)2+94≥1.当且仅当1t =12，即t=2时等式成立，此时k1=±√22．所以sin∠SOT2≤12，因此∠SOT2≤π6．所以∠SOT的最大值为π3．综上所述，∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．第11页（共11 页）。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)统练数学试题(四)
天津市南开中学2020-2021学年高三（上）统练数学试题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设U =R ，{|21}x A x =>，2{|log 0}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|1}x x >C ．{|01}x x <D ．{|01}x x <2．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ） A ．1BC ．2D．3．设函数f (x )＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f (x )>f (1)的解集是（ ）A ．(－3，1)∪(3，＋∞)B ．(－3，1)∪(2，＋∞)C ．(－1，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，3)4．下列四个函数：①3y x =-；②()120x y x -=>；③2210y x x =+-；④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞ C ．(0,2) D ．13[,2)86．已知函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1，则a 的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．(0,1)C ．1(0,]2D ．(1,)+∞7．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，，B ．(1)(01)-∞-⋃，，C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，，D ．(10)(01)-⋃，， 8．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[2,2]m ∈-，2(3)()0f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞ C ．()3,3-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞9．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有(6)()+(3)f x f x f +=成立，且(6)2f -=-，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-.则给出下列命题：①(2016)2f =-；②6x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴；③函数()y f x =在(9,6)--上为减函数；④方程()0f x =在[9,9]-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题10．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2(1f x f x=，则()f x =_______ 11．已知函数()f x 的定义域为R ，直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，且()01f =，则()()410f f +=________.12．设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n *⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________ 13．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数,若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234____.x x x x +++=15．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数()3f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________.三、解答题16．设函数2()sin cos sin ()4f x x x x π=--.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()6f x π-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 17．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.（1）求证：//AC 平面PDB ； （2）求二面角PAB C 的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CECP的值；如果不存在，请说明理由.18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*11·()3n n n n S S a n N n++=+∈，且11a =. （1）证明：数列{}na n是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19．已知函数()()21ln 3f x t x tx t =+++，t ∈R .（1）若0t =，求证:当0x ≥时，()2112x f x x -≥+； （2）若()4f x x ≥对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求t 的取值范围.20．已知函数()()12f x lnx ax a R x=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln 2- （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式2211lnx m x x>--恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【分析】利用对数函数的性质，求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，利用指数函数的性质确定出集合A ，由全集U =R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合 【详解】易知{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则{|01}U A C B x x ⋂=<， 故选：C . 【点睛】本题属于以考查不等式的解法为平台，考查了交､并､补集的混合运算，是高考中常考的基本题型. 2．B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积 3．A 【分析】先求出(1)f ，再分0x ≥和0x <代入解析式解不等式，求出解集. 【详解】解：f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)． 【点睛】本题考查了对分段函数的理解与应用，一元二次不等式的解法，属于基础题. 4．B 【分析】分别求出所给4个函数的定义域和值域比较是否相同. 【详解】①3y x =-的定义域与值域均为R ， ②()120x y x -=>的定义域为()0,∞+，值域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， ③2210y x x =+-的定义域为R ，值域为[]11,-+∞，④,01,0x x y x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的定义域值域求解，考查学生对于一些简单基本初等函数的掌握情况，较简单. 5．B 【分析】根据题意，由单调性的定义可得22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，求出a 的取值范围，即可得答案.【详解】根据题意，函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，必有22012(2)()12a a -<⎧⎪⎨⨯--⎪⎩，解可得138a ，即13(,]8a ∈-∞； 故选：B. 【点睛】该题考查函数单调性的性质，注意分段函数的单调性的分析方法，属于基础题目. 6．A【分析】对x 进行分类讨论，当2x ≤时，()1f x x 和当2x >时，2log 1a x +≤.由最大值为1得到a 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，()1f x x ，()()21max f x f ∴==,函数1,2()(02log ,2a x x f x a x x -≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的最大值为1 ∴当2x >时，2log 1a x +≤.∴0121a a log <<⎧⎨≤-⎩，解得1[2a ∈，1)故选：A 【点睛】本题考查已知分段函数的最值求参数的范围，涉及对数函数求值域，属于中档题. 7．D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内8．A 【解析】()()f x f x -=-, 且()2cos 30f x x =-<' ，所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a-+>222(3)()()3f ma f a f a ma a⇒->-=-⇒-<-即223123111323a a a a a a a-<<⎧-<-⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--<-⎩⎩ ，选A. 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内 9．D 【分析】①首先判断出函数()y f x =是以6为周期的周期函数，可得(2016)(0)f f =，即可得到答案;②根据函数的周期性可以直接得到结论; ③利用单调性的定义可以得到答案;④根据(3)(3)0f f =-=，以及函数的周期性，得出答案. 【详解】对于①，令3x =-，由(6)()+(3)f x f x f +=得(3)0f -=，又函数()y f x =是R 上的偶函数，∴(3)(3)0f f =-=，∴(6)()f x f x +=，即函数()y f x =是以6为周期的周期函数，∴(2016)(3366)(0)f f f =⨯=；又(6)2f -=-，所以(0)2f =-，从而(2016)2f =-，即①正确；对于②，函数关于y 轴对称，周期为6，∴函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-，故②正确； 对于③，当12x x ，[0,3]∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-设12x x <，则12()()f x f x <，故函数()y f x =在[0,3]上是增函数，根据对称性，易知函数()y f x =在[3,0]-上是减函数，根据周期性，函数()y f x =在(9,6)--上为减函数，故③正确；对于④，因为(3)(3)0f f =-=，又由其单调性及周期性可知在[9,9]-，有且仅有(3)(3)(9)(9)0f f f f =-==-=，即方程()0f x =在[9,9]-上有4个根，故④正确.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的周期性和单调性，做题时要认真审题，属于中档题，1013【分析】根据1()2(1f x f x =，考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x ，用1x代替x 代入 1()2(1f x f x=-，解关于()f x 与1()f x 的方程组，即可求得()f x ．【详解】考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x，故可考虑利用换元法进行求解．在1()2(1f x f x =，用1x代替x ，得1()2(1f f xx=-，将1()1f x =-代入1()2(1f x f x=中，可求得1()3f x =．13+. 【点睛】此题是个基础题．本题主要考查通过给定条件求函数解析式的问题．联立方程求函数解析式是求解析式的一种重要方法． 11．2 【分析】（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，从而可推出()()2f x f x =+，进而可得出答案．（性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2，从而可求出答案． 【详解】解：（定义法）由()y f x =的图象关于直线1x =对称，得()()2f x f x -=+，同理得()()4f x f x -=+，则()()222f x f x +=++⎡⎤⎣⎦，所以()()2f x f x =+，则()()()()410002f f f f +=+=. （性质法）由直线1x =和2x =是曲线()y f x =的对称轴，可得函数()y f x =的周期是2. 又()01f =，则()()()()410002f f f f +=+=. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，考查函数的周期性，属于中档题． 12．8 【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．82 【解析】试题分析：由()3sin 2f x x x =++知当时，()()1222f x f x +=⨯.1120-+=⨯，1919202020-+=⨯，⋅⋅⋅，(1)(1)22f f ∴-+=⨯，1919()()222020f f -+=⨯，⋅⋅⋅，则()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由()3sin 2f x x x =++可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题. 14．8- 【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可. 【详解】解：定义在R 上的奇函数()f x ，所以()()f x f x -=-，(0)0f =，又(4)()f x f x -=-，所以()()(4)8f x f x f x =--=-，8是函数()f x 的一个周期，所以()(4)()4f x f x f x -=-=+，所以2x =-是函数的一条对称轴，函数的对称轴是()42x k k Z =-∈，根据以上性质画出函数的大致图像:有图像知，12344,12x x x x +=+=-，所以12348x x x x +++=-， 故答案为：8- 【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.15．33,4⎛--⎤⎥⎝⎦【分析】根据新定义可得31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】解：设11x -<<，()()()()11111f f f x m --==+--，∴31x mx m +=+在区间()1,1-上有解，∴()311x m x -=-，21m x x =---，()1,1x ∈-.∵2213124y x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在()1,1-的值域为33,4⎛--⎤ ⎥⎝⎦， 所以方程有解实数m 的取值范围是33,4⎛--⎤⎥⎝⎦， 故答案为：33,4⎛--⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查函数在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题．16．（1）最小正周期π；（2）最大值是12，最小值是【分析】（1）由三角恒等变换化简()f x ，利用周期公式即可求最小正周期. （2）求()6f x π-解析式，1()sin(2)632f x x ππ-=--，然后根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出其值域后，，即可得到最大最小值. 【详解】 （1）21()sin cos sin ()sin 242f x x x x x π=--=-，∴函数()f x 的最小正周期T π=；（2）由（1）得1()sin(2)632f x x ππ-=--， [0x ∈，]2π，22333x πππ∴--，sin(2)[3x π∴-∈1]，1()[62f x π∴-∈-，1]2，()6f x π∴-在[0，]2π上的最大值是12，最小值是. 【点睛】本题考查三角函数的周期性和三角函数的值域，以及三角函数平移变换和三角恒等变换，属于中档题.17．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）7-;（Ⅲ）见解析. 【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面PDB 找一线与之平行即可，显然分析//DB AC 即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠，所以PC 与AB 不垂直，故不存在试题解析：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =，所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=， 又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB ⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ， 所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.以,,DB DA DP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则由已知可知()1,0,0B，()A ，()0,0,1P，()C .平面ABC 的法向量()n 0,0,1=，设()m ,,x y z =为平面PAB 的一个法向量，则 由m 0,{m 0BA BP ⋅=⋅=可得令1y =，则x z ==，所以平面PAB的一个法向量(m 3,1,=，所以m n 3cos m,n 7m n⋅===所以二面角PAB C 的余弦值为7-. （Ⅲ）由（Ⅱ）可得()1,AB =，()1PC =-， 因为()()11,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性18．（1）证明见解析；（2）99314423nn n S ⎛⎫ ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭⎭⎪⎝.【分析】（1）利用11n n n S S a ++-=化简，证明n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）可得113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅，再利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）证明：根据题意可得，11·3n n n n S S a n++-=， 11·3n n n a a n ++∴=， ∴11·13n n a an n +=+， 11a =，∴数列{}n a n是以1为首项，以13为公比的等比数列，（2）由（1）可得11()3n n a n -=，11·()3n n a n -∴=，012111111()2()3()()3333n n S n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，∴123111111()2()3()()33333n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅， ∴123111************()()()()()()()()1333333322313n n n n n n S n n n --=++++⋯+-⋅=-⋅=-+⋅-， 9931()()4423n n n S ∴=-+⋅.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式､数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）[)1,+∞． 【分析】（1）将0t =代入解析式得()ln f x x =，从而有()()1ln 1f x x +=+，令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，求导判断函数的单调性，从而求出最值得出结论； （2）由题意得()21ln 340t x tx t x +++-≥，令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，先根据()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，从而可推出函数()x ϕ在[)1,+∞递增，从而得出结论． 【详解】（1）证：当0t =时，()ln f x x =，()()1ln 1f x x +=+，即证()21ln 12x x x -≥+； 令()()()21ln 102g x x x x x =+-+≥，则()201xg x x '=>+，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ≥=， 即()2112x f x x -≥+； （2）解：由()()241ln 340f x x t x tx t x ≥⇒++-≥+， 令()()21ln 34x t x tx t x ϕ=+++-，首先由()101t ϕ≥⇒≥，此时()2241tx x t x xϕ-++'=，令()2241h x tx x t =-++，因为1t ≥所以()16810t t ∆=-+≤， 所以()0h x ≥恒成立，即()0x ϕ'≥，()x ϕ在[)1,+∞递增， 故()()1440x t ϕϕ≥=-≥， 综上：t 的取值范围[)1,+∞． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查恒成立问题，属于难题． 20．（1）()f x 在0,单调递减；（2）(],0-∞.【解析】 试题分析：(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数a 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数b 满足()0g x b >> ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为0 . 试题解析：（1）由题意得()221,0f x a x x x=+->' ∴()324f a '=+， ∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=- 即32214y a x ln ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， ∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-， ∴()()22212110x f x x xx--=--=≤'函数()f x 在()0,+∞单调递减； （2）由题意知0x >且1x ≠，原不等式2211lnx m x x>--等价于21121lnx x m x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，设()()22111211g x lnx x f x x x x⎛⎫=-+= ⎪--⎝⎭， 由（1）得()f x 在()0,+∞单调递减，且()10f =，当01x <<时，()()0,0f x g x >>；当1x >时，()()0,0f x g x ； ∴()0g x >，假设存在正数b ，使得()0g x b >>，若01b <≤，当1x b >时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； 若1b >，当11x b <<时，()22111lnx g x b x x x=+<<-； ∴不存在这样的正数b ，使得()0g x b >>，∴()g x 的值域为()0,+∞ ∴m 的取值范围为(],0-∞.点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．。
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f x 4 f x ,所以周期为 4,所以 f 1003 f 1 f 1 2 ,应选 A.
8．已知函数
设
表示 中的较大值，
表
示 中的较小值，记 得最小值为
得最小值为 ,则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：设
由
得
，此时
，由
得
；由
得
；综上可知
时
，当
（）
，此时
；
，此时
时
，当
时
，所以
A． 2
B．π
C． 3 2
D．2π
【答案】B
【解析】试题分析： f x 2sin（x ） 2co（ s x ） 2sin（2x ）,故最小正
6
6
3
周期T 2 ,故选 B. 2
【考点】三角函数化简，周期公式
【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是
（）
A．2 B．3 【答案】A
C．4
D．6
【解析】因为 y f x 1 的图象关于直线 x 1 对称,所以 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，
所以
f(x) 为 偶 函 数 ， 令
x=-2, 则
f 2 f 2 2 f 2, f 2 f 2 f 2, f 2 0,
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8
f () 0 ，且 f (x) 的最小正周期大于 2 ，则
8
A． 2 ，
3
12
24
B． 2 ，
3
12
D． 1 ， 7
3
24
C． 1 ， 3
【答案】A
【解析】由题意
5 8
2k1
11 8
k2
2
，其中
k1,
k2
Z
，所以
4 3
(k2
2k1)
2 3
，
又T
2
2
，所以 0 1，所以
2 ， 3
2k1
1 12
，由
得
，故选 A． 12
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关 y Asin(x ) 问题，一种为提供函数图象求解析式或某参
数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定
A
，再根据周期或
1 2
周期
或 1 周期求出 ，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条 4
kπ
π 2
,k
Z
；
③因为函数 f x x sin x 的导数 f x 1 cos x 0，所以函数 f x 单调递增．
又易知 f 0 0，所以在同一坐标系中，
函数 y sin x 的图象和函数 y x 的图象只有一个公共点，是原点 0, 0 ；
④把函数
y
3
sin
2x
π 3
的图象向右平移
10．设函数
f
x
x
12 sin
x2 1
x
的最大值为 M
，最小值为 m
，则
m M =___________ .
【答案】2
【解析】
f
x
x
12 sinx
x2 1
1
2x sinx x2 1
，令
g(x)
2x sinx x2 1
，则
g(x)
为奇
函数，
所以 g(x) 的最大值和最小值和为 0，又 g(x) f (x) 1.
再代入对应函数解析式求结果.
详解：由 f (x 4) f (x) 得函数 f x 的周期为 4，所以
f (15)
f (16 1)
f (1)
1
1 2
1 , 因此 2
f
(f
(15))
f (1) cos π
2
4
2. 2
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该
有 M 1 m 1 0 ，即 m M 2.
答案为：2.
11．函数 f (x) 满足 f (x 4) f (x)(x R) ，且在区间 (2, 2] 上，
f
(x)
cos
x 2
,
0
x
2,
x
1
,
2
x
0,
则
f
(
f
(15))
的值为____．
2
【答案】 2 2
【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，
方并利用三角函数的性质即可求解. 【详解】
将原函数化简 f x 1 2sin2 x 6sin x ，
即
f
x
2 sin
x
3 2 2
11 2
，当 sin
x
1时，
f
x 的最大值为
5．
故选：B
【点睛】
本题考查了二倍角的余弦公式以及正弦型的三角函数最值，属于基础题.
6．函数 f（x）=（ 3 sinx+cosx）（ 3 cosx –sinx）的最小正周期是
2020 届天津市南开中学高三上学期数学统练九试题
一、单选题
1．已知集合 M x 4 x 2 ，N {x x2 x 6 0 ，则 M N =
A．{x 4 x 3 B．{x 4 x 2 C．{x 2 x 2 D．{x 2 x 3
【答案】C 【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数 轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据定义域为 R 的函数 为偶函数等价于
进行判断.
【详解】
时，
, 为偶函数；
为偶函数时，
对任意的 恒成立，
，得
对任意的 恒成立，从而 .从而“ ”是“ 为
偶函数”的充分必要条件，故选 C.
【点睛】
本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【考点】1．二次函数值域；2．分情况讨论
9．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) 1 ( x a2 x 2a2 3a2 ) ，若 x R ，都有 f (x 1) f (x) ，则实数 a 的
2
取值范围为 （ ）
A．[ 1 , 1] 66
【答案】B
即
2 ，所以
f
x
3sin
2x
π 6
0
又因为
x
0,
π 2
，所以
2
x
π 6
π 6
,
5π 6
，
当 2x π π 时， f x 3 ；
66
min
2
当
2x
π 6
π 2
时，
f
x max
3．
故答案为：
3 2
,
3
【点睛】 本题考查了三角函数的周期公式、三角函数的最值，属于基础题.
14．设 g(x) 是定义在 R 上、以 1 为周期的函数，若 f (x) x g(x) 在[3, 4] 上的值域
为[2,5] ，则 f (x) 在区间[10,10]上的值域为
．
【答案】[15,11]
【解析】略
15．已知 a R ，函数
f
x
x2 2x a 2，x 0，
x
2
2x
2a，x
若对任意
0．
x∈［–3，+
），f(x)≤
x
恒成立，则 a 的取值范围是__________．
【答案】
1 8
,
2
【解析】由题意分类讨论 x 0 和 x 0 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求
13．已知函数
f
x
3sin x
π 6
0和
g x
2cos2x 1的图象的对称
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轴完全相同．若
x 0,
π 2
，则
f
x 的取值范围是______．
【答案】
3 2
,
3
【解析】根据题意可知两函数周期相同，即 2 ，然后利用三角函数的性质即可求解.
【详解】
由两个三角函数图象的对称轴完全相同知其周期相同，
B．[ 6 , 6 ] 66
C．[ 1 , 1] 33
D．[ 3 , 3 ] 33
【解析】
试题分析：当
时，
，由
是奇函数，可作出
的图像，如下图所示,又
因为
，
，所以
的图像恒在
的图像往右平移一个单位后恒在 图像的下方，所以
图像的下方，即将 ，解得
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．故选 B． 【考点】函数的性质
二、填空题
三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简
函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂
式子的变形能力等.
7．已知函数 f x 对任意 x R 都有 f x 4 f x 2 f 2 ，若 y f x 1 的图
象关于直线 x 1对称，且 f 1 2 ，则
1 8
1 4
1 8
，则 a
1 8
；
②当 3 x 0 时，f x x 即：x2 2x a 2 x ，整理可得：a x2 3x 2 ，
由恒成立的条件可知： a x2 3x 2 3 x 0 ， min
结合二次函数的性质可知：
当 x 3或 x 0 时， x2 3x 2 2 ，则 a 2 ； min