4.4分部积分法
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
4.4- 分部积分法
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
xe x dx ?
e x xe x 设想 ( xe )
x x
可把其中的x看成u, 把e 看成v x x x uv u v uv ( xe ) e xe , x xe uv u v ( xe x ) e x , uv
2t sin t 2cos t C
cos
2 td sin t
2 x sin x 2cos x C .
堂上练习：P115：2（3）
3
1 x
e dx 2
x
1 2 x
x
e dx
x
2 e d x 2e
x
C
2t 5 令t e 1, 则e t 1, x ln t 1 , dx 2 dt . t 1
x arcsin x x 1 x2 1 dx
1 x arcsin x d 1 x2 2 1 x2 1 1 x arcsin x 1 x 2 2 d 1 x 2 2
x arcsin x 1 x
1 2 2
或udv uv vdu x x udv uv vdu xe e dx
xe e c
x x
例1
求积分 x cos xdx .
1 2 解（一） 令 u cos x , xdx dx dv 2 2 2 x x x cos xdx 2 cos x 2 sin xdx u 显然， , v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u x , cos xdx d sin x dv
分部积分法定积分
分部积分法定积分
分部积分法是定积分中比较常见的解决方法之一，也叫做间断积分法，是把一个复杂的定积分分解成若干个相对简单的和关系容易求得的定积分，最后把每一部分的积分值相加，得到总的积分值的方法。
下面以定积分[abx^2e^x/(1-e^2x)]dx为例，来讲解下分部积分法是怎么实现的。
首先，把复杂的定积分分解成几个容易求解的简单积分，比如
([a/2]*x^3+[b/3]*x^4+[d/4]*x^5+[e]*x^2) dx，最后通过对这几个简单积分求解，求出每
一部分的积分值，然后将每一部分的积分值相加即可得到最终的结果。
其次，经过分部积分法处理后，你可以看到，原来复杂的积分变得更加简单，所以可以看
出分部积分法可以帮助我们把复杂的定积分分解成相对简单和容易求解的定积分，从而大
大简化解题的步骤，获得更准确、更快捷的定积分结果。
最后，分部积分法为我们提供了一种解决复杂定积分问题的新思路，从减少计算步骤入手，把复杂的定积分分解为几个比较简单的定积分，没有太多时间和精力来完成一个复杂的定积分，都可以利用分部积分法来辅助传统的积分方法，来实现快速有效的积分解答。
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
分部积分法
分部积分法
是微积分中的一类积分办法。
对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行
换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
定积分的分部积分法公式是（uv）'=u'v+uv'，代入∫u'vdx=uv-∫uv'dx，得u'v=（uv）'-uv'，即∫u'vdx=uv-∫uv'dx。
的定分数就是分数的一种，就是函数在区间上分数和的音速。
一个函数，可以存有不
定积分，而不存有的定分数；也可以存有的定分数，而不存有不定积分。
一个连续函数，
一定存有的定分数和不定积分；若只有非常有限个间断点，则的定分数存有；若存有弹跳
间断点，则原函数一定不存有，即为不定积分一定不存有。
分部积分，integral by parts，是适用于三种情况的积分方法： 1、可以逐步降低
幂次的积分例如：∫x?sinxdx = -∫x?dcosx = -x?cosx + 4∫x3cosxdx + c 这样一来，x 的幂次就降低了，以此类推，就积出来了。
2、可以将对数函数转化成代数函数的积分
例如：∫x3lnxdx = (1/4)∫lnxdx? = (1/4)x?lnx - (1/4)∫x3dx + c 这样一来，lnx
就消失了，就轻而易举地可以积出来了。
3、可以将积分过程当成解代数方程一样解的积
分例如∫(e^x)sinxdx∫(e^x)cosxdx∫(e^-2x)sin3xdx、∫(e^-4x)cosxdx。
分部积分法的原理
分部积分法的原理
嘿，朋友们！今天咱来唠唠分部积分法的原理。
咱就说，积分就像是一场冒险，有时候你会遇到一些特别难啃的骨头。
这时候，分部积分法就像一把神奇的钥匙，能帮你打开那扇紧闭的门。
你看啊，积分不是要找原函数嘛，可有些式子就像调皮的小孩子，藏得特别深。
分部积分法呢，就是让我们把这个式子分成两部分，一部分是我们相对熟悉点的，另一部分呢，就像是个小跟班。
比如说，咱把一个式子分成 u 和 v'，这就好比是把一个大任务拆分成两个小任务。
然后呢，通过一些巧妙的计算，就能找到答案啦！这就好像你要搬一块大石头，自己一个人可能很难，但要是找个人一起帮忙，嘿，就轻松多了。
咱举个例子哈，就像解方程似的。
有时候你光盯着那个方程看，脑袋都大了也不知道咋解。
但用了分部积分法，就像找到了一条隐藏的小路，突然就豁然开朗了。
你想想，要是没有分部积分法，那我们遇到那些复杂的积分不就傻眼啦？它就像我们在积分世界里的秘密武器，关键时刻总能派上用场。
它不是那种生硬的方法，而是很灵活的哦！你可以根据不同的式子，灵活地选择 u 和 v'，这多有意思呀！就好像你在搭配衣服，根据不同的场合选择不同的搭配，总能穿出最适合的风格。
而且哦，分部积分法还能让我们对积分有更深的理解呢！它让我们看到，原来积分还可以这样玩，可以这样巧妙地解决问题。
哎呀，真的是太神奇啦！每次用分部积分法解决一个难题，我心里就特别有成就感，就跟打了一场胜仗似的。
所以呀，大家可千万别小瞧了分部积分法哦！它可是我们在积分世界里闯荡的好帮手呢！一定要好好掌握它，让它为我们的积分之旅增添更多的精彩！。
分部积分法具体步骤
分部积分法具体步骤
嘿，咱今儿就来说说这分部积分法的具体步骤哈！
你看啊，这分部积分法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多积分难题的大门呢！那它到底咋用呢？
首先呢，咱得把被积函数拆分成两部分，就好比把一个大拼图拆成两块。
这两块得选得有讲究，一块要能比较容易地积分，另一块呢，得是它的导数比较简单。
然后啊，咱就按照公式开始操作啦！这公式就像是一个魔法咒语，一念就灵。
把这两块分别对应公式里的 u 和 v'。
接着呢，咱就一步一步地算。
就像走迷宫一样，得小心谨慎，可不能走错路喽！先求出 u 的导数和 v，然后把这些值代进去。
你想想，这是不是挺有意思的？就像搭积木一样，一块一块地往上垒。
举个例子来说吧，比如求∫xcosx dx。
那咱就可以把 x 当作 u，cosx 当作 v'。
然后求出 u 的导数是 1，v 是 sinx。
再代进去算算，是不是就有头绪啦？
这分部积分法有时候得反复用，就像打怪升级一样，一层一层地突破。
可别嫌麻烦呀，数学的乐趣不就在这嘛！
咱再说说，要是第一次没成功咋办？那咱就再来一次呗！就像投篮，一次不进就再来一次，总有投进的时候。
而且啊，这分部积分法还能解决好多看起来很难的问题呢！只要咱
掌握了方法，就不怕它难。
总之呢，分部积分法的具体步骤就是先拆分，再代入公式，然后细
心计算。
就这么简单！学会了它，咱在积分的世界里就能畅游啦！可
别小瞧了它哦，它可是很厉害的呢！咱可得好好把它掌握住，让它为
咱的数学学习添砖加瓦呀！。
最新42换元积分法和分部积分法汇总
42换元积分法和分部积分法4.2换元积分法和分部积分法4.2.1分部积分法定义4.3设«Skip Record If...»具有原函数，«Skip Record If...»可导，则有换元公式«Skip Record If...»证因«Skip Record If...»存在原函数，故设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的一个原函数，则«Skip Record If...»从而«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»于是，«Skip Record If...»故«Skip Record If...»若以«Skip Record If...»表示不定积分«Skip Record If...»，则以上公式成为«Skip Record If...»例1求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»例2求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»运算熟练后，换元变量«Skip Record If...»可以不写出来.例3 求«Skip Record If...»解 «Skip Record If...»例4 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»例5求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»另：«Skip Record If...»4.2.1.2 第二换元积分法定理4.4 设«Skip Record If...»是单调的、可导的函数，且«Skip Record If...»又设«Skip Record If...»具有原函数，则有换元公式«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的反函数.该定理的证明由学生自学.用该定理求不定积分的一般步骤为«Skip Record If...»例6 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»x例7 求«Skip Record If...»自学.例8求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»a2+x2xta例9 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»4.2.3 分部积分法定理4.5 设«Skip Record If...»都是可微函数，若不定积分«Skip Record If...»存在，则«Skip Record If...»也存在，且有«Skip Record If...»证由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»故«Skip Record If...»该公式可以简写为«Skip Record If...»例12 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»例13 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»例14 求«Skip Record If...»解«Skip Record If...»作业 P159 1.（1），（10），（11） 3.（2）.部分习题解答1.利用换元积分法求下列不定积分：（1）«Skip Record If...»；解 «Skip Record If...»（10）«Skip Record If...»；解«Skip Record If...»2.利用分部积分法求下列不定积分：（2）«Skip Record If...»解«Skip Record If...»1.利用换元积分法求下列不定积分：（4）«Skip Record If...»；解 «Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»；解«Skip Record If...»（8）«Skip Record If...»；解 «Skip Record If...»（9）«Skip Record If...»；解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»（14«Skip Record If...»解«Skip Record If...»3．用方法积分法计算下列积分；（3）«Skip Record If...»；解 «Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»；解 «Skip Record If...»。
分部积分法顺序口诀
将分部积分的顺序bai整理为口诀：“反对du幂指三”。
分别代指五类基本函数zhi：反三角函数dao、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型。
扩展资料：
不定积分的公式
1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-1
3、∫1/x dx = ln|x| + C
4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠1
5、∫e^x dx = e^x + C
6、∫cosx dx = sinx + C
7、∫sinx dx = - cosx + C
8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
求不定积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx 这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
高等数学-分部积分法
10
01 分部积分法
例5 求不定积分 cos( ) ．
解
令 = නcos( ) ，则有 ( ) = −() ∙
1
= නcos( ) = cos( ) − න ( )
= ( ) + න( )
2
2
2
转化后的积分 比原来的积分更麻烦，
2
所以正确的选取和 ′ 非常关键！
5
01 分部积分法
例2 求不定积分 2 ．
解
选取 = 2 ， ′ = ，则
2
න 2 = න 2 = 2 −2
4
−
2
2
，
′′ () = ′ − +
=
2
2
+
3 2
+ .
+
13
න
− න
= 2 +2 න
= 2 +2（ − න ）
= 2 +2 − 2 + .
6
01 分部积分法
注 （1）多次使用分部积分时，和 ′ 的选取类型要与
第一次的保持一致，否则将回到原积分.．
（2）解决两个不同类型函数乘积的积分计算.
（3）按 “反、对、幂、三、指”的顺序，把排在
前面的函数选作 ，把排在后面的那个函数选作′.
3
01 分部积分法
例1 求不定积分 ．
解
被积函数为幂函数与三角函数的乘积，
故选取 = ， ′ = ，则
න = න = − න
福州高职高等数学教材目录
福州高职高等数学教材目录第一章：函数及其图像1.1 函数概念及性质1.2 基本初等函数及其性质1.3 初等函数的运算1.4 函数的表示及其应用第二章：极限与连续函数2.1 极限的定义2.2 极限的基本性质2.3 无穷小量与无穷大量2.4 极限存在准则2.5 连续及其基本性质2.6 连续函数的运算和初等函数的连续性2.7 闭区间上连续函数的性质第三章：导数与微分3.1 导数的概念及其几何意义3.2 导数的计算3.3 函数的增减性和单调性3.4 函数的极值3.5 函数的凹凸性与拐点3.6 L'Hospital法则3.7 微分及其应用第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分公式与基本积分法4.3 第一换元法与第二换元法4.4 分部积分法4.5 有理函数的不定积分4.6 反常积分与广义积分概念第五章：定积分5.1 定积分的概念与性质5.2 定积分的计算5.3 定积分的应用5.4 微积分基本定理第六章：微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程6.3 二阶线性齐次微分方程6.4 二阶常系数线性非齐次微分方程6.5 高阶常系数线性非齐次微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的概念与极限7.2 多元函数的连续性与偏导数7.3 多元函数的全微分与全导数7.4 隐函数与参数方程的导数第八章：多元函数积分学8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算8.3 二重积分的应用8.4 三重积分的概念与性质8.5 三重积分的计算8.6 三重积分的应用第九章：常微分方程9.1 常微分方程的基本概念与初值问题9.2 一阶常微分方程的解法9.3 高阶常微分方程的解法9.4 常微分方程的应用第十章：级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判别法10.3 幂级数的概念与性质10.4 幂级数的收敛半径与收敛区间10.5 幂级数的运算与展开以上是《福州高职高等数学教材》的目录，包括了从函数及其图像到级数等内容。
高数分部积分法
举例2：计算 ∫ ln x cos x dx
同样将ln x视为u，cos x 视为dv，通过分部积分 法得到结果。
在这些例子中，分部积 分法展示了其在处理复 杂函数积分时的有效性。 通过选择合适的u和dv， 我们可以逐步简化积分 表达式，最终得到积分 的解析解。
05
分部积分法的注意事项
积分公式的选择
THANKS
感谢观看
举例2：计算 ∫ e^x cos x dx
将e^x视为u，sin x视为 dv，应用分部积分法进行 求解。
同样将e^x视为u，cos x 视为dv，通过分部积分法 得到结果。
对数函数与三角函数的积分
01
02
03
04
05
举例1：计算 ∫ ln x sin x dx
将ln x视为u，sin x视为 dv，应用分部积分法进 行求解。
03
与其他积分方法（如换元法、分式分解法等）结合 使用，提高求解效率。
02
分部积分法的基本原理
微积分基本定理
微积分基本定理建立了定积分与不定 积分之间的联系，为分部积分法提供 了理论基础。
通过微积分基本定理，可以将一个复 杂的积分表达式转化为另一个相对简 单的积分表达式，从而简化计算过程。
分部积分公式
高数分部积分法
• 引言 • 分部积分法的基本原理 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的应用举例 • 分部积分法的注意事项 • 总结与展望
01
引言
分部积分法的定义
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
分部积分法是一种求解不定积分的方 法，通过将被积函数拆分为两个函数 的乘积，并分别对这两个函数进行积 分和微分，从而简化求解过程。
逐步进行分部积分
分部积分法——精选推荐
4．3 分部积分法 一、学习要求1．理解不定积分的分部积分法． 2．掌握分部积分公式.3．熟悉在不定积分计算中一般使用分部积分法的被积函数类型． 二、疑难解析 （一）基本概念1．分部积分的概念所谓分部积分法，是指当不定积分不宜直接求出原函数时，先将其中一部分先“积”出来，将另一部分化为容易“积”出的情形.这种方法往往适用于两种不同类型（一般以基本初等函数的分类为标准）函数的乘积作为被积函数.适用于分部积分法的常见的类型有：（1）幂函数与三角函数之积，即axdx x P n sin )(⎰ 或axdx x P ncos )(⎰（其中n n n x a x a x a a x p ++++= 2210)(）（2）幂函数与指数三角函数之积，即dx e x P c bx n +⎰)(（3）幂函数与反三角函数之积，即axdx x P nln )(⎰或xdx x P n arcsin )(⎰ 或xdx x P n arctan )(⎰（4）指数函数与三角函数之积，即bxdx e c aax sin ⎰+ 或bxdx ecaax cos ⎰+2．分部积分公式设函数)(),(x v v x u u ==具有连续的导数，则由乘积的微分运算法则vdu udv uv d +=)(可得vdu uv d udv -=)(两边积分，得⎰⎰-=vdu uv udv 或 ⎰⎰'-='dx u v uv dx v u这个公式叫做分部积分公式，它的作用在于：把比较难求的⎰udv 化为比较容易求的⎰vdu 来计算，化难为易．如上面常见类型中的（1）、（2）通常是将axdx sin （或axdx cos ）凑成)(cos 1ax d a-（或)(sin 1ax d a ）（0≠a ）、dx e c bx +凑成)(1c bx ed b +（0≠b ）；而对（3）通常是将x 的幂函数凑入微分号内得dv .例1 已知)(x f 的一个原函数是x arcsin ，求⎰'dx x f x )(.分析 理解)(x f 与x arcsin 的关系，掌握分部积分公式⎰⎰'-='dx u v uv dx v u . 解 由已知)(x f 的一个原函数是x arcsin 可知：)(11)(a r c s i n 2x f xx =-='，⎰+=C x dx x f arcsin )(，所以⎰⎰⎰-=='dx x f x xf x xdf dx x f x )()()()(C x xx +--=a r c s i n 12.例2 判断下列不定积分哪些适用于不定积分法计算．（1）⎰+dx x x ln 1 （2）dx xe x⎰-（3）⎰+dx x x )1ln( （4）⎰+dx xx21arctan 分析 关键是看被积函数是否为两个不同类型函数之积！ 解 （1）因为⎰++)1(ln )ln 1(x d x C x ++=2)ln 1(21， 所以此不定积分不必使用分部积分法.（2）因为被积函数一个是一次函数，另一个是指数函数，所以适用于分部积分法 即⎰⎰---=)(x x e xd dx xe ⎰--+-=dx e xe x x C x e x ++-=-)1(. （3）因为被积函数一个是一次函数，另一个是复合型对数函数，所以适用于分部积分法，即⎰+dx x x )1ln(＝⎰+)21()1ln(2x d x ＝))1(ln(21)1ln(2122+-+⎰x d x x x＝dx x x x x ⎰+-+121)1ln(2122 ＝C x x x x x +++--+)1ln 22(41)1ln(2122. （4）因为⎰⎰=+(arctan)arctan 1arctan 2xd dx xx ＝C x +2arctan 21所以此不定积分不必使用分部积分法.（二）基本运算1．应用分部积分法计算不定积分根据分部积分公式，对于上述的几种常见类型，我们可以根据前面讨论的方法求不定积分.例3 求⎰xdx x 3sin分析 因为被积函数是两种不同类型函数的乘积，所以考虑分部积分法．要使分部积分后的不定积分容易“积”出来，所以将x 3sin 先凑入微分号内或者将其看作说v x '=3sin .解 根据分部积分公式，有 )3(cos 313sin x d xdx -=，所以⎰x d xx 3s i n )3(c o s 31x d x ⎰-=⎰--=)3c o s 3c o s (31x d x x x C x x x +--=)3sin 3cos 3(91．例4 求dx e x x ⎰+32)1(．分析 被积函数是我们前面所述的类型（2），我们可以将)(3133x xe d dx e =视作dv . 解 ⎰⎰+=+)()1(31)1(3232x xe d x dx e x dx xe e x x x⎰-+=33232)1(31 ⎰-+=)(92)1(31332x x e xd e x ⎰+-+=dx e xe e x x x x 33329292)1(31 C x x e x++-=)1169(27123． 此题的求解过程告诉我们，分部积分公式还可以是多次使用，只要被积函数仍然符合不定积分公式中的条件.例5 求xdx x ln ⎰．分析 被积函数与我们前面所述的常见类型（3）有相似，但不完全相同.解 根据常见类型（3）分析，设)(3223x d dx x =，则x d x x ln ⎰⎰=)(ln 3223x xd dx x x x ⎰-=32ln 3223C x x +-=)2ln 3(9223.例6 求dx x e x ⎰cos 2分析 此题是我们在分部积分法常见类型中指出的第四种类型，即这是指数函数x e 2和三角函数x cos 乘积的积分，应用分部积分法 (将dx e x 2或xdx cos 看作dv )与应注意的问题（两次分部积分中选为dv 的函数应该是同种类型的函数）.解dx x e x ⎰cos 2⎰=)(cos 212x e xd )(cos cos (2122x d e x e xx ⎰-= )s i n c o s (2122x d x e x e x x ⎰+=⎰+=)(s i n 21c o s (2122x x e xd x e)c o s s i n c o s 2(41222x d xe x e x e x x x ⎰-+= 所以 dx x e x ⎰cos 2C x x e x++=)sin cos 2(512这种通过解积分方程的方法求解不定积分，我们在以后的计算中经常会碰到. 2．＊不定积分方法综合应用在不定积分的计算中，应用什么方法有时也不一定一眼能看出，需要我们对不定积分方法有一定的熟练程度，也需要我们有敢于尝试、实践、探索的精神.以下就不定积分方法综合应用举例.为学有兴趣、学有余力的同学提供一定的帮助和指导.例7dx xx x ⎰-221)(arccos .分析 此题中的被积函数不是典型的分部积分法类型，而被积函数中)1(122x d dx x x --=-考.解dx x x x ⎰-221)(arccos (arccos x -=⎰dx x x x ⎰---=arccos 2)(arcsin 122dx xx x x x ⎰-----=22212arccos 2)(arcsin 1C x x x x +-+---=22212a r c c o s 2)(a r c s i n 1本题涉及了分部积分法与换元积分法，有些题目需要直接积分法与换元积分法综合应用.总之，选择积分方法是求不定积分的难点，所以我们在选择积分方法时，首选应该考虑基本积分公式，对公式中的变量x 应该从深层次加以理解.方能将我们的积分公式、积分方法运用自如.三、自测题自测题（一）Ⅰ、填空题1．已知)(x f 的一个原函数是x tan ，则⎰'dx x f x )( ． 2．已知2x 是)(x f 的一个原函数，则dx x f x )(12⎰ ．3．dx xe x ⎰2．4．⎰dx x x2ln ．5．dx xx⎰2sec ． Ⅱ、单项选择题1． 已知)(x f 的一个原函数是x 2ln ，则⎰='dx x f x )( ( ). A ．C x x +-)1(ln 2 B ．C x x +-2ln ln 2 C ．C x x ++)1(ln 2 D ．C x x ++2ln ln 2 2．下列分部积分中，dv u ,选择正确的是（ ）.A ．⎰xdx x 2sin ，令xdx dv x u 2sin ,==B ．,ln ⎰xdx 令xdx dv u ln ,1== C ．⎰-dx e x x 2 ，令dx x dv e u x 2,==- D ．⎰dx xe x ，令xdx dv e u x ==,3．下列不定积分中，用分部积分法计算的是（ ）. A ．⎰+dx x )12cos( B ． dx x x ⎰-⋅21 C ．⎰xdx x 2sin D ．⎰+dx x x21．4．⎰=dx x2ln（ ）A ．C x x x +-2lnB ．C x x x +-22ln C ．C x x x +-42lnD ．C x xx ++2ln5．⎰xdx arcsin （ ） A ．C x x x ++arcsin 21arcsin B ．C x x x ++arcsin arcsin C ．C x x x ++arcsin 2arcsin D ．C x x x +-+21arcsinⅢ、计算解答题１．⎰+xdx x ln )1( 2．⎰xdx x cos 2 3．．⎰dx x xln ln4. dx x xx ⎰2sin cos 5. ⎰dx x )cos(ln ．自测题（二）Ⅰ、填空题1．已知)(x f 的一个原函数是xxsin ，求⎰'dx x f x )( ． 2．已知x x ln 是)(x f 的一个原函数，则dx x f x)(12⎰3．⎰+xdx x sin )12( ． 4．xdx x arctan 3⎰．5．dx x x⎰2sin sin ln ．Ⅱ、单项选择题1．下列分部积分中，dv u ,选择正确的是（ ）。
4.4积分计算
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经济应用数学
所以
a
a2 x2 dx
π 2
a2 (a sin t)2 a cos tdt
0
0
π 2
a2
cos2
tdt
a2
π
2 (1 cos 2t)dt
0
20
a2 2
(t
1 sin 2t) 2
π
2 0
1 4
πa2
所以，圆的面积为
S 4 1 πa2 πa2 4
24
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解 x2e xdx x2d(ex ) x2ex exd(x2)
1 x2
1 dx d(arctan x)
1 x2
例4.2 求 2 dx 3 2x
解
3
2 2x
dx
1 2
2 3 2x
d(3+2x)
1 u
du
ln u
C
ln 3 2x
C
6
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例4.3 求 2xex2 dx
解 2xex2 dx ex2 d(x2 ) ex2 C
ln 2 x
(1) 含根式 a2 x2 (a 0) 时，可作代换
x asint t ( , )
22
(2) 含根式 a2 x2 (a 0) 时，可作代换
x a tant t ( , )
22
20
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(3) 含根式
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x2 a2 (a 0) 时，可作代换
x asect t (0, )
4.4 积分计算
积分的分部积分法
积分的分部积分法积分是数学中的一项基础技能，可以应用到物理、工程、经济等各个领域中。
其中最常用的积分方法之一是分部积分法。
在本文中，我们将深入探讨分部积分法以及它的应用。
1. 什么是分部积分法？在数学中，分部积分法是一种求解积分的方法，用于将积分式子分解为两个部分，以便更容易求解。
分部积分法的公式为：∫ u(x) *v '(x) dx = u(x) *v(x) - ∫ v(x) *u'(x) dx其中，u(x)和v(x)是两个函数，v'(x)和u'(x)是它们的导数。
2. 分部积分法的应用分部积分法可以应用于各种类型的积分问题，下面将介绍几个例子。
①正弦函数的积分考虑积分∫ sin(x) dx。
我们可以选择 u = sin(x) 和 v' = dx，于是v = x，u' = cos(x)。
将这些值代入分部积分公式中，有：∫ sin(x) dx = -cos(x) *x + ∫ cos(x) dx由于∫ cos(x) dx = sin(x) + C（C为常数），因此∫ sin(x) dx = -cos(x) *x + sin(x) + C即∫ sin(x) dx = cos(x) *(-x) - sin(x) + C②对数函数的积分考虑积分∫ ln(x) dx。
我们可以选择 u = ln(x) 和 v' = dx，于是 v = x，u' = 1/x。
将这些值代入分部积分公式中，有：∫ ln(x) dx = x ln(x) - ∫ x*(1/x) dx化简得∫ ln(x) dx = x ln(x) - ∫ dx由于∫ dx = x + C，因此∫ ln(x) dx = x ln(x) - x + C③正态分布函数的积分考虑积分∫ e^(-x^2) dx，它是正态分布函数中的一个重要积分。
因为该积分的解析表达式不存在，所以我们需要利用分部积分法来解决它。
大学教材高等数学上答案
大学教材高等数学上答案第一章：极限与连续性1.1 极限的概念与性质1.2 无穷大与无穷小1.3 极限存在准则1.4 极限运算法则1.5 两个重要极限1.6 函数连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念2.2 导数的基本公式2.3 常见函数的导数2.4 高阶导数2.5 隐函数与参数方程2.6 微分与微分近似第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 导数的应用3.3 泰勒公式与多项式逼近3.4 曲线凹凸性与拐点3.5 最值与最优化问题第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分公式与常见积分4.3 积分方法与换元积分法4.4 分部积分法与三角函数积分4.5 有理函数的积分4.6 径向函数的积分第五章：定积分5.1 定积分的概念与性质5.2 牛顿-莱布尼茨公式5.3 定积分的计算5.4 反常积分5.5 曲线的弧长与曲面的面积第六章：定积分的应用6.1 几何应用6.2 物理应用6.3 概率统计应用6.4 空间曲线的长度6.5 平面曲线的面积6.6 周期函数的平均值与均值公式第七章：常微分方程7.1 基本概念与术语7.2 可分离变量方程7.3 一阶线性微分方程7.4 高阶常系数线性微分方程7.5 非齐次线性微分方程7.6 二阶常系数线性微分方程7.7 模拟与改进第八章：多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续性8.2 偏导数与全微分8.3 隐函数与逆函数8.4 方向导数与梯度8.5 高阶导数与泰勒展开8.6 多元函数的极值与条件极值第九章：多元函数积分学9.1 二重积分的概念与性质9.2 二重积分的计算9.3 二重积分的应用9.4 三重积分的概念与性质9.5 三重积分的计算9.6 三重积分的应用第十章：曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分10.2 第二类曲线积分10.3 基本的曲线积分计算10.4 曲线积分的应用10.5 第一类曲面积分10.6 第二类曲面积分10.7 张量计算第十一章：向量场与无散场11.1 向量场11.2 梯度场与势函数11.3 散度与无散场11.4 协变导数与无旋场第十二章：级数12.1 数项级数的概念与性质12.2 正项级数的审敛法12.3 一般级数12.4 幂级数与函数展开12.5 函数与级数之间的转换本文是关于大学教材高等数学上的答案整理，按照教材的章节顺序进行内容概述，考虑到篇幅限制，只给出了每一章的主要内容。
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(uv) = u′v + uv′, uv′ = (uv) − u′v,
uv′dx = uv − ∫ u′vdx, ∫
′
′
udv = uv − ∫ vdu. 分部积分公式 ∫
例1 求积分 xcos xdx .
∫
1 2 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 2 x x xcos xdx = cos x + ∫ sin xdx ∫ 2 2
e ∴∫ e sin xdx= (sin x − cos x) + C. 2
x
x
例7 求积分 解
∫ arcsin xdx.
dx = dv
x
2
u = arcsin x
∫ arcsin xdx = x arcsin x − ∫ xd arcsin x
1− x 1 1 2 = x arcsin x − ∫ d (1 − x ) 2 1 − x2 = x arcsin x − ∫ dx
= x arcsin x − 1 − x + C
2
例 7 已知 f (x)的一个原函数是 e
− x2
, 求 ∫ xf ′( x)dx.
解
∫ xf ′( x)dx = ∫ xdf (x)= xf ( x) − ∫ f ( x)dx,
Q ∫ f ( x)dx = f ( x), ∴∫ f ( x)dx = e
求导, 两边同时对 x求导 得
(
)
′
− x2
+ C,
f ( x) = −2xe
− x2
,
∴∫ xf ′( x)dx = xf ( x) − ∫ f ( x)dx
= −2x e − e
2 − x2
− x2
+ C.
小结
合理选择 公式
u, v′，正确使用分部积分
∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx
∫
3
x 解 u = ln x, x dx = d = dv, 4 1 4 1 3 3 ∫ x ln xdx= 4 x ln x − 4 ∫ x dx 1 4 1 4 = x ln x − x + C. 4 16
3
4
例5 求积分
x 解 令 u = arctanx , xdx = d = dv 2 x2 2 x ∫ xarctan xdx = 2 arctan x − ∫ 2 d(arctan x) 2 2 x x 1 dx = arctan x − ∫ ⋅ 2 2 2 1+ x 2 1 1 x )dx = arctan x − ∫ ⋅ (1 − 2 2 2 1+ x
u 选择不当，积分更难进行. 显然， , v′ 选择不当，积分更难进行 显然，
解（二） 令
u = x, cos xdx = d sin x = dv
= xsin x + cos x + C.
∫ xcos xdx = ∫ xdsin x = xsin x − ∫ sin xdx
步骤： 步骤：
①合理选择 u, v′ ，
x2 1 = arctan x − ( x − arctan x) + C. 2 2
∫ xarctan xdx.
2
e x sin xdx. 例6 求积分 ∫
解
e x sin xdx = ∫ sin xde x ∫
= e x sin x − ∫ e xd(sin x) = e x sin x − ∫ e x cos xdx = e x sin x − ∫ cos xde x = e x sin x − (e x cos x − ∫ e xd cos x) = e x (sin x − cos x) − ∫ e x sin xdx 注意循环形式
正确使用分部积分公式. ②正确使用分部积分公式
u
udv = uv − ∫ vdu. ∫
位置在前的选作 u
例2 求积分 解
u = x,
x
xe dx. ∫
x
e dx = de = dvx x
= e (x −1) + C.
x
例4 求积分 x ln xdx.
§3.3分部积分法 3.3分部积分法
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教学目标: 教学目标 会利用分部积分法求不定积分. 会利用分部积分法求不定积分 教学重点: 教学重点 分部积分法 教学难点: 教学难点 怎样找到u 怎样找到
问题
∫ xe dx = ?
x
利用两个函数乘积的求导法则. 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则
第二次时仍应选 u2 = sin x
思考题
在接连几次应用分部积分公式时， 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？ 应注意什么？
思考题解答
应为同类型函数. 注意前后几次所选的 u应为同类型函数 例
e x cos xdx ∫
第一次时若选 u1 = cos x
e x cos xdx = e x cos x + ∫ e x sin xdx ∫