上海市晋元高级中学2019届高三数学上册期中考试题
上海市晋元高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市晋元高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．2． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A5 B4 C3 D23． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.4． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 5． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}6． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.7． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1}D ．{1，3}8． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．9． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.10．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．已知集合2{|20}A x R x x =∈+-<，2{|0}1x B x R x -=∈≤+，则A B =（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．[1,1)- D ．(1,1]-12．若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则参数m 的取值范围为（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.14．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .15．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等. 16．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海市上海中学2019-2020学年高三第一学期数学期中考试卷(简答)
上海中学高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 已知集合，，则 {|42}M x x =-<<2{|60}N x x x =--<M N =I2. 函数的定义域是y =3. 等比数列的公比，且前3项之和等于21，则其通项 {}n a 4q =n a =4. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解()f x (0,)+∞(1)0f =()()0f x f x x--<集为5. 设，，的最小值为0x >0y >25x y +=6. 若不等式的解集为或，则不等式20px qx r -+≥{|2x x ≤-3}x ≥的解集为2()(1)0qx px r x ++->7. 已知等差数列的首项及公差均为正数，令{}n a（，），n b =+*n ∈N 2020n <当是数列的最大项时，k b {}n b k =8. 若命题：“存在整数使不等式成立”是真命题，则实数的取x 2(4)(4)0kx k x ---<k 值范围是9. 集合的容量是指几何中各元素的和，满足条件“，且若时，{1,2,3,4,5,6,7}A ⊆a A ∈必有”的所有非空集合的容量的总和为8a A -∈A 10. 已知是实数，函数，如果函数在区间上有零a 2()223f x ax x a =+--()y f x =[1,1]-点，则的取值范围为a 11. 若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有项12. 设，若的最小值为，则实数的取值范围220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨++->⎩()f x 1a +a 为二. 选择题13. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不归”，其中后一句中“破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 在等比数列中，，公比，若，则的值为（ ）{}n a 11a =||1q ≠12345m a a a a a a =m A. 9B. 10C. 11D. 1215. 若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）[1,2]x ∈|21|20x a ⋅-->a A.B.C.D. 13(,)24-13(,(,)22-∞-+∞U 13(,)44-13(,(,)44-∞-+∞U 16. 给定函数和，令，对以下三个论断：()f x ()g x ()max{(),()}h x f x g x =（1）若和都是奇函数，则也是奇函数；（2）若和都是非奇非()f x ()g x ()h x ()f x ()g x 偶函数，则也是非奇非偶函数；（3）和之一与有相同的奇偶性；()h x ()f x ()g x ()h x 其中正确论断的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题17. 已知实数、满足，.a b 01a <<01b <<（1）若，求的最小值；1a b +=11(1)a b++（2）若，求的最小值.14ab =1111a b +--18. 已知（），.()|1|f x ax =-a ∈R ()1||g x x =-（1）解关于的不等式；x ()1f x ≤（2）若的解集为，求的取值范围.()()f x g x ≥R a19. 若函数与在给定的区间上满足恒成立，则称这两个()y f x =()y g x =()()0f x g x ⋅≥函数在该区间上“和谐”.（1）若函数与在上和谐，求实数的2()(1)22f x x a x a =+--+2()22g x x ax a =+-R a 取值范围；（2）若函数与在上和谐，求实数的取值范围.30()f x a x =-()lg()xg x a=*N a 20. 在数列中，，，其中，.{}n a 10a =21n n a a m +=+m ∈R *n ∈N （1）若、、依次成公差不为0的等差数列，求；2a 3a 3a m （2）证明：“”是“（）恒成立”的充要条件；14m >114n a +>*n ∈N （3）若，求证：存在，使得.14m >*k ∈N 2019k a >21. 已知，其中，.2()||f x x a x b =--0a >0b >（1）若，，写出的单调区间；2a =1b =()f x （2）若函数恰有三个不同的零点，且这些零点之和为，求、的值；()f x 2-a b （3）若函数在上有四个不同零点、、、，求()f x [2,2]-1x 2x 3x 4x 的最大值.1234||||||||x x x x +++参考答案一. 填空题1. 2.3.4. {|22}x x -<<[4,)+∞14n -(1,0)(0,1)-U5. 6. 7. 8. (3,1)(2,)-+∞ 1010[1,4]9. 22410. 11.12. (,[1,)-∞+∞U 89{2[1,1]---U 二. 选择题13. B 14. C15. D16. A三. 解答题17.（1）9；（2）4.18.（1）当，；当，；当，；（2）.0a >2[0,a 0a =x ∈R 0a <2[,0]a[1,1]-19.（1）；（2）.[7,0]{2}- [5,6]20.（1）；（2）证明略；（3）证明略.1m =-21.（1）递减，递增；（2），；（3）4.(,1]-∞-[1,)-+∞4a =1b =。
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 函数f（x）=4 x ﹣1的反函数f ﹣1 （x）=___________ ．2. 设集合A={5，log 2 （a+3）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A ∪ B=___________ ．3. 若tanα=3，则的值等于___________ ．4. 函数f（x）= 的定义域为___________ ．5. 已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为___________ ．6. 若自然数n满足C 6 n =20，则行列式 =___________ ．7. 已知关于x的方程（） x = 有一个正根，则实数a的取值范围是___________ ．8. 已知数列，则a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +…+a 99 +a100 =___________ ．9. 已知P（x，y）是双曲线 =1上任意一点，F 1 是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则的最小值是 ____________________ ．10. 等比数列{a n }首项为sinα，公比为cosα，若（a 1 +a 2 +…+a n ）=﹣，则α= ___________________________________ ．11. 已知下列命题：①若＜0，则与的夹角为钝角；②a，b ∈ C，则“ab ∈ R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件；③一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为；④若n为正奇数，则6 n + + +…+ 被8除的余数是5，其中正确的序号是___________ ．12. 在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是___________ ．13. 已知数列{a n }、{b n }的通项公式分布为a n =（﹣1） n﹣1 a﹣1，b n =（﹣1）n ，切对于一切的正整数n，恒有a n ＜b n 成立，则实数a的取值范围是_________ ．14. （文）在数列{a n }中，a 1 =2，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线y=x﹣上，则 =___________ ．15. 已知△ ABC 中，若sinA=m，sinB=n，当m、n满足条件___________ 时（只需写出满意的一个条件），cosC具有唯一确定的值．16. （文）已知△ ABC 中，cosA=a，sinB= ，当a满足条件___________ 时，cosC具有唯一确定的值．二、选择题17. 抛物线x 2 =4y的焦点坐标为（）A．（1，0）________ B．（﹣1，0）________ C．（0，1）________ D．（0，﹣1）18. 已知，，若k为满足的整数，则使△ ABC 是直角三角形的k的个数为（）A．7________ B．4________ C．3________ D．219. 已知a 2 +c 2 ﹣ac﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．320. （文）已知a 2 + c 2 ﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．321. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x ∈ R恒成立；④存在三个点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ）），C（x 3 ，f（x 3 ）），使得△ ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1________ B．2________ C．3________ D．4三、解答题22. 已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ ABC=90° ，AD ∥ BC ，SA=AB=BC=2，AD=1，SA ⊥ 底面ABCD．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）（理）求SC与平面SAB所成角的大小（文）求异面直线SC与AD所成角的大小．23. 已知△ ABC 中，cosB= ，边c=12 ．（1）若函数y=3cos 2 x+sin 2 x﹣2 sinxcosx，当x=C时取得最小值，求变a，b的长；（2）若sin（A﹣B）= ，求sinA的值和边a的长．24. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y= ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．25. 已知数列{a n }的前n项和S n =﹣a n ﹣（） n﹣1 +2（n ∈ N * ），数列{b n }满足b n =2 n •a n（1）求a 1（2）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（3）设c n =log 2 ，数列{ }的前n项和为T n ，求满足T n ＜（n∈ N * ）的n的最大值．26. 已知两个函数f 1 （x）=ln（|x﹣a|+2），f 2 （x）=ln（|x﹣2a+1|+1），a ∈ R．（1）若a=0，求使得f 1 （x）=f 2 （x）的x的值；（2）若|f 1 （x）﹣f 2 （x）|=f 1 （x）﹣f 2 （x）对于任意的实数x ∈ R恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数F（x）= ﹣的值域．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷(6页)
上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷2019.11一. 填空题度1. 已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N =I2. 函数y 的定义域是3. 等比数列{}n a 的公比4q =，且前3项之和等于21，则其通项n a =4. 设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解 集为5. 设0x >，0y >，25x y +=的最小值为6. 若不等式20px qx r -+≥的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为7. 已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b *n ∈N ，2020n <）， 当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =8. 若命题：“存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是9. 集合的容量是指几何中各元素的和，满足条件“{1,2,3,4,5,6,7}A ⊆，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和为10. 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零 点，则a 的取值范围为11. 若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项12. 设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨++->⎩，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为二. 选择题13. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不归”，其中后一句中“破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠，若12345m a a a a a a =，则m 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 15. 若存在[1,2]x ∈，使得|21|20x a ⋅-->成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13(,)24- B. 13(,)(,)22-∞-+∞U C. 13(,)44- D. 13(,)(,)44-∞-+∞U 16. 给定函数()f x 和()g x ，令()max{(),()}h x f x g x =，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题17. 已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<. （1）若1a b +=，求11(1)(1)ab++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值.18. 已知()|1|f x ax =-（a ∈R ），()1||g x x =-. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤；（2）若()()f x g x ≥的解集为R ，求a 的取值范围.19. 若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x ⋅≥恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”.（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的 取值范围； （2）若函数30()f x a x =-与()lg()xg x a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围.20. 在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，*n ∈N . （1）若2a 、3a 、3a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“114n a +>（*n ∈N ）恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k ∈N ，使得2019k a >.21. 已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >. （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值； （3）若函数()f x 在[2,2]-上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值.参考答案一. 填空题1. {|22}x x -<<2. [4,)+∞3. 14n -4. (1,0)(0,1)-U5.6. (3,1)(2,)-+∞7. 10108. [1,4]9. 224 10.(,[1,)-∞+∞U 11. 89 12. {2[1,1]---U二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A 三. 解答题 17.（1）9；（2）4.18.（1）当0a >，2[0,]a；当0a =，x ∈R ；当0a <，2[,0]a；（2）[1,1]-. 19.（1）[7,0]{2}-；（2）[5,6].20.（1）1m =-±（2）证明略；（3）证明略.21.（1）(,1]-∞-递减，[1,)-+∞递增；（2）4a =，1b =；（3）4.。
上海市上海中学2018-2019学年高三上学期期中数学试题(教师版)
2019届上中高三上期中数学试卷一、填空题1. 设全集I R =，{}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________；【答案】(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 【解析】 【分析】先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案.【详解】{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<<{}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或 ()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力. 2. 不等式2113x x ->+的解是_________； 【答案】(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 【详解】2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为(,3)(4,)-∞-⋃+∞【点睛】本题考查了解不等式，属于基础题型.3. 若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】 【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()x y f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()x y f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 4. 函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2nn b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等差数列定义求得数列{}n a 的前n 项和n S ；由1n n n a S S -=-求得数列{}n a 的通项公式，利用2n n b a =求得数列{}n b 的通项公式，进而求得数列{}n b 的前n 项和n T ；依次代入求解即可得到n 的最小值．【详解】因为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列所以()312nS n n=+-⨯ ，化简得22n S n n =+则()()21211n S n n -=-+- 所以1n n n a S S -=-()()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-当1n = 时，113S a == 所以41n a n =- 因为2n n b a =所以122438416532664,,,,,b a b a b a b a b a b a ======⋅⋅⋅ 所以12481622n n n T a a a a a a -=++++⋅⋅⋅+()()()()()345122*********n n ++=-+-+-⋅⋅⋅-+- 3451222222n n n ++=++⋅⋅⋅++-328n n +=--所以()()241121121810S T +=⨯++--= ()()252222222832S T +=⨯++--= ()()263323323874S T +=⨯++--= ()()2744244248152S T +=⨯++--=()()2855255258348S T +=⨯++--= 所以使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为5【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等差数列前n 项和公式、等比数列前n 项和公式的综合应用，熟练掌握数列的性质和应用，属于难题．6. 如果函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数，则实数a =_________； 【答案】±1 【解析】【分析】讨论定义域包含0和定义域不包含0两种情况，计算得到答案.【详解】函数2()21x xaf x a -=⋅+是奇函数 当定义域包含0时：1(0)011af a a -==∴=+， 此时21()21x x f x ，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++，满足；当定义域不包含0时：即02101a a +=∴=-此时21()(0)21x xf x x =≠-++，2112()()2121x xx x f x f x --+-+-===--+，满足. 综上所述：1a =± 故答案为±1【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数，漏解是容易发生的错误.7. 设函数())f x x =，若,a b 满足不等式()()22220f a a f b b-+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为_________；【答案】10 【解析】 【分析】判断函数为奇函数和单调递增函数，根据不等式得到()()20a b a b -+-≥，画出可行域和目标函数，根据平移得到最值.【详解】())())()()0f x x f x x f x f x =∴-=∴+-=，奇函数；())lnf x x ==，易知y x =单调递增，故()f x 单调递减.()()()()222222022f a a f b b f a a f b b -+-≤∴-≤-+故()()222220a a b b b a b a ∴--++--≥≥()()2014a b a b a ⎧-+-≥⎨≤≤⎩如图所示：画出可行域和目标函数2z a b =-，根据平移得到答案当4,2a b ==-时，有最大值为10【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，线性规划，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.8. 若{}|224xA x ≤≤，1|1xB x a x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围为_________； 【答案】13a ≤- 【解析】 【分析】计算集合{}12A x x =≤≤，AB =∅等价于在[]1,2上11xa x -≥+恒成立，计算 21()1x f x -++=的最小值得到答案. 【详解】{}{}|22412xA x x x =≤≤=≤≤，11xB xa x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭A B =∅，等价于在[]1,2上11x a x -≥+恒成立，即122111x x x a --+=-+++≤ 设21()1x f x -++= 易知函数[]1,2单调递减，min 1()(2)3f x f ==-，故13a ≤- 故答案为13a ≤-【点睛】本题考查了集合的关系求参数，将A B =∅等价于在[]1,2上11xa x -≥+恒成立是解题的关键. 9. 29(2)2x k x -≤+解集为区间,ab ，且2b a -=，则k = ．2 【解析】【详解】试题分析：如图所示，不等式29(2)2x k x -≤+-的解集为[],a b ，且2b a -=，所以必有3b =，又2b a -=，解得1a =，则直线(2)2y k x =+-，过点(1,22)，代入解得2k =．考点：直线与圆的位置关系及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到不等式的解法转化为直线与半圆的位置关系、直线的点斜式方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题能力，以及数形结合、转化思想的应用，本题的解答中把不等式问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．10. 对函数设0()||20f x x =-，()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则函数()n y f x =的零点个数n a 的通项公式为_________； 【答案】()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩【解析】 【分析】先计算124,6a a ==，根据题意得到递推公式114n n a a +-=+或112n n a a +-=+，计算得到答案. 【详解】计算易知：124,6a a ==()*1()()1n n f x f x n N -=-∈，则1()()10()1n n n f x f x f x +=-=∴=±当()1n f x =-时，得到1()()11n n f x f x -=-=-即1()0n f x -=，对应数列为1n a -； 当()1n f x =时，得到1()()11n n f x f x -=-=即1()2n f x -=，（1()2n f x -=-舍去）122()()12()3n n n f x f x f x ---=-=∴=，继续迭代得到()1f x n =即()10()()1201201f x f x n x n x n =-=∴-=+∴=±+ 当18n ≤时：方程的解的个数为4，114n n a a +-=+，22n a n =+； 当19n =时：方程的解的个数为3，2018341a a =+=；当20n ≥时：方程的解的个数为2，112n n a a +-=+，21n a n =+. 综上所述：()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩故答案为()*22192120n n n a n N n n +≤⎧=∈⎨+≥⎩ 【点睛】本题考查了数列的通项公式，函数的零点问题，综合性强，得出数列的递推公式是解题的关键. 11. {}n a 为等差数列，则使等式1212111n n a a a a a a +++=++++++12122223332018n n a a a a a a =++++++=++++++=能成立的数列{}n a 的项数n 的最大值为_________； 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意得到数列项数为偶数设为2n k =，根据关系得到3d >，计算得到关系式22018k d =，计算得到答案.【详解】{a n }为等差数列，则使等式|a 1|+|a 2|+…+|a n |， ＝|a 1+1|+|a 2+1|+…+|a n +1|， ＝|a 1+2|+|a 2+2|+…+|a n +2|， ＝|a 1+3|+|a 2+3|+…+|a n +3|，则：数列{a n }中的项一定满足10n n a a -⎧⎨⎩＞＜或100n n a a -⎧⎨⎩＜＞，且项数n 为偶数，设n ＝2k ，等差数列的公差为d ，首项为a 1， 不妨设100k k a a +⎧⎨⎩＞＜，则：a 1＜0，d ＞0， 且：a k +3＜0， 由1030k k a a +⎧⎨+⎩＞＜，可得d ＞3，所以：|a 1|+|a 2|+..+|a n |＝﹣a 1﹣a 2﹣a 3﹣…﹣a k +a k +1+a k +2+…+a 2k ， ＝﹣2（a 1+a 2+a 3+…+a k ）+（a 1+a 2+a 3+…+a k +a k +1+…+a 2k ） ＝﹣2（()112k k ka d ++）+（()122122k k ka d ++）， ＝k 2d ＝2018， 由于：d ＞3，所以：k 2d ＝2018＞3d 2， 解得：k 2＜672， 故：k ≤25， 故：n ≤50． 故答案为50．【点睛】本题考查了数列的项数的计算，确定项数为偶数和3d >是解题的关键.12.已知20b >>，则232241222c c c a c ++++++的最小值是_________. 【答案】17 【解析】 【分析】根据均值不等式消去b()22228181321(2c c c a c+++≥=，再结合基本不等式的性质以及对勾函数的单调性即可求解．【详解】()22228181321c c c a c+++≥=，当且仅当2b ＝2b 时取等号，则()22322222413212112221c c c c a a c c a c c +++++≥+++++≥=当且仅当()222321c a ca +=，21121c c =+时取等号， 设2t ==≥，当且仅当1c =时取等号，()12488t t t t t ϕ⎛⎫⎪=+=+ ⎪⎪⎝⎭在[)2,+∞上单调递增，所以()min 216117ϕϕ==+=．即232241222c c c a c ++++++的最小值是17，当且仅当12a b c ===时取等号．故答案为：17．【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及转化思想的应用．属于难题．二、选择题13. 设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ） A. ||||||a b a c b c -≤-+-B. 2211a a a a+≥+ C. 1||2a b a b-+≥-≤【答案】C 【解析】 【分析】逐项判断，可得答案. 对于A ，由绝对值三角不等式易得恒成立；对于B ，作差法比较大小，可得B 恒成立；对于C ，对,a b 取一组特殊值，代入可得C 不恒成立；对于D ，作差法证明不等式22≤成立，两端开方，可得D 恒成立.【详解】a ，b ，c 是互不相等的正数.对于A ，()()||||||a c b c a c b c a b -+-≥---=-，当且仅当()()0a c b c --≤时，等号成立，故A 恒成立；对于B ，由()22432222(1)11110a a a a a a a a a a a a-++--+⎛⎫+-+==≥ ⎪⎝⎭，得2211a a a a +≥+，故B 恒成立；对于C ，当2,3a b ==，不等式不成立，故C 不恒成立；对于D ，((222323a a -=++-++2=，又()()()()()()32120,321a a a a a a a a +-++=-<∴+<++，220<∴-<，22,∴<<<D 恒成立.故选：C .【点睛】本题考查绝对值三角不等式、作差法比较大小和基本不等式，属于中档题. 14. 设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案. 【详解】当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.15. 函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A.()1f x +B. ()1f x -C. ()1f x +D. ()1f x -【答案】D 【解析】 【分析】根据平移得到曲线C ：()11fx -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案.【详解】函数()f x 的反函数为()1f x - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选D【点睛】本题考查了反函数的计算，意在考查学生对于反函数知识的掌握情况.16. 已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A. 18B. 9C. 27D. 81【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选C ．【点睛】本题考查了数列的计算，函数性质的应用，构造函数y ＝f （x ）+x 是解题的关键.三、解答题17. 若数列{}n a 是递增的等差数列，其中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}50n a -的前n 项和n S 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）()2250,2525625,26n n n n S n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ 【解析】 【分析】（1）根据中35a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，联立方程组计算得到答案. （2）讨论25n ≤和26n ≥两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）3125a a d =+=；1a ，2a ，5a 成等比数列.，则()()222151114a a a a d a a d =⋅∴+=+ 解得：1a 1,d 2，（15,0a d ==）（舍去），故21n a n =-（2）取*215026,n a n n n N =-≥∴≥∈当25n ≤时：5050512n n a a n -=-=- ，()249512502n n n S n n +-==-当26n ≥时：5050251n n a a n -=-=-，()()()22526125125 (625256252)nn n n S a a n S +--=+++=+=-+综上所述：()2250,2525625,26n n n n S n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了数列的通项公式，绝对值前N 项和，分类讨论计算是解题的关键.18. 对于两个实数a ，b ，{}min ,a b 表示a ，b 中的较小数，已知函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭.（1）请画出函数()f x 的图像； （2）请写出函数()f x 的基本性质.【答案】（1）详见解析；（2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）根据143log x +和2log x 的大小关系，得到1423log ,4()log ,04x x f x x x +≥⎧⎪=⎨⎪<<⎩画出函数图像得到答案.（2）根据函数图像得到函数的定义域，值域，单调区间. 【详解】（1）124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭当1243log log x x +≤时，即2213log log 42x x x -≤∴≥时，14()3log f x x =+；当04x << 时，2()log f x x =综上所述：1423log ,4()log ,04x x f x x x +≥⎧⎪=⎨⎪<<⎩ 画出函数图像，如图所示：（2）根据图像知：()f x 的定义域为()0,∞+；值域为(),2-∞； 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.【点睛】本题考查了函数的图像，函数性质，根据函数值的大小关系得到分段函数是解题的关键. 19. 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为)*21,116,y px p x x N =>≤≤∈，并且前4个月区域外的需求量为20万吨.（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超出油库的容量，试确定m 的取值范围. 【答案】（1）()*1010116,M mx x x x x =--≤≤∈N ；（2）71924m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）先计算50p =，第x 个月共进原油mx ，区域内调出x，区域外调出10吨，计算得到答案.（2）要求剩余油量不超过油库容量，所以030M ≤≤恒成立，转化为恒成立求参数取值问题，再利用换元法求函数最值即可求解．【详解】（1）由条件得202100p ==，所以*16,)y x x =≤≤∈N10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）． （2）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x N mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩恒成立，()*101116,201m x x x N m x ⎧≥-++⎪⎪≤≤∈⎨⎪≤+⎪⎩恒成立，t =，则114t ≤≤， 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号），212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）．故m 的取值范围是71924m ≤≤． 【点睛】本题主要考查的是函数的实际应用问题及利用换元法研究函数的最值、解决恒成立问题，属于难题．20. 已知函数21()(,)4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）求最大的()1mm >使得存在t R ∈，只需[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤.【答案】（1）2111()424f x x x =++；（20c 时，()0,x ∈+∞；1c ≥时，∅；01c <<时，11x c c ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）9m = 【解析】 【分析】（1）根据()1104f a b -=-+=和20b a ∆=-≤联立求解得到答案. （2）讨论0c，1c ≥和01c <<三种情况，分别计算得到答案.（3）假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f （x +t ）≤x ．那么当x ＝1时也成立确定出t 的范围，然后研究当x ＝m 时也应成立，利用函数的单调性求出m 的最值． 【详解】（1）()1104f a b -=-+=，()0f x ≥恒成立，则20b a ∆=-≤ 且0a > 即2221111001,44411()4242f x x x a a a a b ⎛=⎫⎛⎫+-≤∴-≤∴==∴ ⎪⎝+ ⎪⎭+⎝⎭ （2）2131()424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22111131424424x x c x x c ⎛⎫⎛⎫++>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 220cx x c ∴-+<当0c时：解得0x >；当0c >时：244c ∆=-故当1c ≥时：2440c ∆=-≤，不等式无解；故当1c <时：2440c ∆=->，不等式解x <<综上所述：0c 时，()0,x ∈+∞；1c ≥时，∅；01c <<时，x ∈⎝⎭（3）假设存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f （x +t ）≤x ．取x ＝1，有f （t +1）≤1，即14（t +1）212+（t +1）14+≤1，解得﹣4≤t ≤0， 对固定的t ∈[﹣4，0]，取x ＝m ，有f （t +m ）≤m ，即14（t +m ）212+（t +m ）14+≤m ．化简有：m 2﹣2（1﹣t ）m +（t 2+2t +1）≤0，解得1﹣t ≤m ≤1﹣t故m ≤1﹣t ≤1﹣（﹣4）=9 当t ＝﹣4时，对任意的x ∈[1，9]， 恒有f （x ﹣4）﹣x 14=（x 2﹣10x +9）14=（x ﹣1）（x ﹣9）≤0．∴m 的最大值为9．【点睛】本题考查了函数的解析式，解不等式，存在问题和恒成立问题，将不等式转化为对应的方程是解题的关键.21. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，112a =，()22*112n n n n a a a a n N ++-=-∈，设数列的前n 项和为n S .（1）用1n a +表示n S ； （2）求证：1n n a a +<，并且313424n n S -<<； （3）记112n n nb a a +=-，求证：n b ≤【答案】（1）211324n n n S a a ++=-+；（2）详见解析；（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）变换得到()()221122n n n n n a a a a a ++-=--，累加得到答案.（2）根据()()1120n n n n n a a a a a ++=-+->得到证明；计算12nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，234n n n S a a -=+得到证明.（3）先计算1b =112n n nb a a +=-单调递减，得到答案. 【详解】（1）()()22221111222n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++---=-∴=- 累加得到：()()22211111132224n n n n n aa a a a S a ++++=---=-+ （2）()()()()1122112022n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++=-=---+->数列{}n a 的各项均为正数，且都小于1，故120n n a a ++-<，故1n n a a +<()2111133332204444n n n n n S a a a a ++++=-+=-+<+=； 221120n nn n aa a a ++=--<，故1212nn n n a a a +⎛⎫<∴≤ ⎪⎝⎭122133331244442n n n nn n n a a S a a a ++⎛⎫=-+=+>-+≥- ⎪⎝⎭-，故313424n n S -<<（3）112a =，2221122a a a a -=-，解得212a =-，112n n n b a a +=-，则12112b a a =-=22112211111111222122n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++++∴=∴-=----=--- 故11212112n n n n n b a a a a ++=-=--- ()()()222211111112n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++-=∴-=+---=-故()()2112121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++-=<=--+-+()()()()()11211211212212112121122n n n n n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a ++++++++++----=--+=+--------()()()()()11212101122n n n n n n a a a a a a ++++⎡⎤--+<⎢⎥----⎣⎦< 故1n n b b +<故当1n =时，数列最大为n b ≤【点睛】本题考查了数列的单调性，最值，前N 项和，综合性强，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.。
2019届上海市上海中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．设,,a b c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a c b c -≤-+- B ．2211a a a a+≥+C ．1||2a b a b-+≥- D ．312a a a a +-+≤+-【答案】C【解析】根据绝对值三角不等式得到A 正确；将不等式变换为2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭换元判断正确；取2,3a b ==计算知不成立；变换得到32111a a a a≤+++++，判断正确，得到答案.【详解】A. ||||||a b a c b c -≤-+-，根据绝对值三角不等式知不等式恒成立；B. 2211a a a a +≥+等价于2112a a a a ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭，设(][)1,,22,a t t a +=∈-∞-⋃+∞即220t t --≥即()()210t t -+≥，在(][),22,t ∈-∞-+∞恒成立；C. 1||2a b a b-+≥-，取2,3a b ==计算知不满足； D.312a a a a +-+≤+-即321a a a a +-+≤+-即32111a a a a≤+++++ 根据321a a a a +++≥++得证.故选：B 【点睛】本题考查了不等式的判断，利用特殊值法可以快速得到答案，是解题的关键. 2．设A 、B 、C 是三个集合，则“A B A C ⋂=⋂”是“B C =”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】B【解析】先判断必要性，再取A =∅，排出充分性，判断得到答案.【详解】当B C =时，A B A C ⋂=⋂成立，必要性；当A B A C ⋂=⋂时，取A =∅，BC 为任意集合均满足，不充分. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.3．函数()f x 的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．()1f x +B ．()1f x -C ．()1f x +D ．()1f x -【答案】D【解析】根据平移得到曲线C ：()11f x -+，再根据()g x 是()11f x -+的反函数，计算得到答案.【详解】函数()f x 的反函数为()1fx - ，向左平移一个单位得到曲线C ：()11f x -+函数()g x 的图像与曲线C 关于y x =成轴对称，则()g x 是()11f x -+的反函数即1()()1()()1y f x y f x g x f x +=∴=-∴=- 故选：D 【点睛】本题考查了反函数的计算，意在考查学生对于反函数知识的掌握情况.4．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()(3)g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()12927g a g a g a +++=，则129a a a +++=（ ）A ．18B ．9C ．27D ．81【答案】C【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，又由g （x ）＝f （x ﹣3）+x 且g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，可得f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27，结合等差数列的性质可得f （a 1﹣5）＝﹣f （a 9﹣5）＝f （5﹣a 9），进而可得a 1﹣5＝5﹣a 9，即a 1+a 9＝10，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，函数y ＝f （x ）为定义域R 上的奇函数， 则有f （﹣x ）+f （x ）＝0， ∵g （x ）＝f （x ﹣3）+x ，∴若g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 9）＝27，即f （a 1﹣3）+a 1+f （a 2﹣3）+a 2+…+f （a 9﹣3）+a 9＝27， 即f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3）+（a 1+a 2+…+a 9）＝27， f （a 1﹣3）+f （a 2﹣3）+…+f （a 9﹣3））+（a 1﹣3+a 2﹣3+…+a 9﹣3）＝0， 又由y ＝f （x ）+x 为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数， 且（a 1﹣3）+（a 9﹣3）＝（a 2﹣3）+（a 8﹣3）＝…＝2（a 5﹣3）， ∴a 5﹣3＝0，即a 1+a 9＝a 2+a 8＝…＝2a 5＝6， 则a 1+a 2+…+a 9＝9a 5＝27； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的计算，函数性质的应用，构造函数y ＝f （x ）+x 是解题的关键.二、填空题5．设全集I R =，{}2|3100A x x x =--≥，{}2|40B x x =-≤，则()()I I C A C B ⋃=_________；【答案】(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【解析】先计算集合A 得到{}25I C A x x =-<<，再计算集合B 得到{}22I C B x x x =><-或，再计算()()I I C A C B ⋃得到答案. 【详解】{}{}2|3100=|52A x x x x x x =--≥≥≤-或，{}25I C A x x =-<< {}{}2|4022B x x x x =-≤=-≤≤，{}22I C B x x x =><-或()()(,2)(2,)I I C A C B ⋃=-∞-⋃-+∞故答案为：(,2)(2,)-∞-⋃-+∞ 【点睛】本题考查了集合的混合运算，意在考查学生的计算能力. 6．不等式2113x x ->+的解是_________； 【答案】(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】不等式化简得到403x x ->+，计算得到答案. 【详解】2121411004333x x x x x x x --->∴->∴>∴>+++或3x <- 故答案为：(,3)(4,)-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查了解不等式，属于基础题型.7．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________； 【答案】2【解析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)42f a f a a ====∴=；当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：2a =故答案为：2 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 8．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________； 【答案】24(0)x x -+≥【解析】利用函数表达式解得()240x y y =-+≥，得到反函数.【详解】()()22()424(0)240y f x x x x x x y y ==-=--≤∴=-+≥故函数的反函数为1()24(0)f x x x -=-+≥故答案为：24(0)x x -+≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误. 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________. 【答案】5【解析】根据等差数列定义求得数列{}n a 的前n 项和n S ；由1n n n a S S -=-求得数列{}n a 的通项公式，利用2n n b a =求得数列{}n b 的通项公式，进而求得数列{}n b 的前n 项和n T ；依次代入求解即可得到n 的最小值。
上海市晋元高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市晋元高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．582． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ）A ．{3，4}B ．{1，2，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．∅3． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A ．BC D4． 如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个 5． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）6． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三1212111n na a a a a a +++≤+++成立的项，则能使不等式自然数的最大值为（ ）A ．9B ．8 C.7D ．5 7． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（）A．（1，1） B ．（0，3） C ．（，2） D ．（，0）8． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.9．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π10．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．15 B ．16 C ．314D ．1311．已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log zz -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 12．若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．14．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________. 15．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12n n n S λ-+<+｜对一切n N *∈恒成立，则λ的取值范围是___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力． 16．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2020-2021上海晋元高级中学附属学校高中必修一数学上期中一模试卷(带答案)
2020-2021上海晋元高级中学附属学校高中必修一数学上期中一模试卷(带答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<<B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<< D ．20.30.30.32log 2<<4．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．15．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.56．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,47．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞8．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．9．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-11．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是_____.15．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.16．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．17．若4log 3a =，则22a a -+= ．18．已知312ab += 3a b a=__________.19．函数()221,ln 2,0x xf x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______．20．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？ 23．已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 24．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．25．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?26．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.5．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y xx =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．7．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.8．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
2019-2020学年上海中学高三(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = ．2．函数y = ．3．等比数列{}n a 中，公比4q =，且前3项之和是21，则数列的通项公式n a = ． 4．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x --<的解集是 ．5．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．6．若不等式20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为 ．7．已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令*n b n N =∈，2020)n <，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = ．8．若不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，则实数k 的取值范围是 ． 9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1236++=．则满足条件“{1A ⊆，2，3，4，5，6，7}，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是 ．10．a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1-，1]上有零点，则a 的取值范围是 ．11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项．12．设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+=⎨++->⎩…，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为 ．二.选择题13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则(m = ) A ．9B ．10C ．11D ．1215．若存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,)24-B ．13(,)(,)22-∞-+∞ C ．13(,)44-D ．13(,)(,)44-∞-+∞ 16．给定函数()f x 和()g x ，令(){()h x max f x =，()}g x ，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三.解答题17．已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求11(1)(1)a b++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值． 18．已知()|1|()f x ax a R =-∈，()1||g x x =-． （1）解关于x 的不等式()1f x …；（2）若()()f x g x …的解集为R ，求a 的取值范围．19．若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x …恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的取值范围；（2）若函数30()f x a x =-与()()xg x lg a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈．（1）若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“*11()4n a n N +>∈恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k N ∈，使得2019k a >． 21．已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >． （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值；（3）若函数()f x 在[2-，2]上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值．2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = {|22}x x -<< ．【解答】解：集合{|42}M x x =-<<，2{|60}{|23}N x x x x x =--<=-<<，{|22}MN x x ∴=-<<．故答案为：{|22}x x -<<．2．函数y = [4．)+∞ ． 【解答】解：由已知可得2log 20x x ⎧⎨>⎩…，解不等式可得{|4}x x …故答案为：[4，)+∞3．等比数列{}n a 中，公比4q =，且前3项之和是21，则数列的通项公式n a = 14n - ． 【解答】解：因为公比4q =，且前3项之和是21， 所以31(14)2114a -=-，解得11a =，所以11144n n n a a --==， 故答案为：14n -．4．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 (1-，0)(0⋃，1) ． 【解答】解：函数()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- ∴不等式()()0f x f x x--<可转化为：()0f x x <根据条件可作一函数图象： ∴不等式()()0f x f x x--<的解集是(1-，0)(0⋃，1)故答案为：(1-，0)(0⋃，1)5．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，==+；由基本不等式有：64xyxy=；当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，；故答案为：6．若不等式20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为 (3-，1)(2⋃，)+∞ ．【解答】解：20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，所以其对应的方程20px qx r -+=有两个根2-，3，且0p >，22(2)(3)6px qx r p x x px px p -+=+-=--，所以q p =，6r p =-． 2()(1)0qx px r x ++->，即2(6)(1)0p x x x +-->，即(3)(2)(1)0x x x +-->，由穿针引线法，得(3x ∈-，1)(2⋃，)+∞． 故答案为：(3-，1)(2⋃，)+∞．7．已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令*n b n N =∈，2020)n <，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = 1010 ．【解答】x =y =，*n b n N =∈，2020)n <，∴根据基本不等式222222222()22()x y x y xy x y x y x y +=+++++=+…，得222020*********()2(2)4n n n b a a a a -=+==…，当且仅当2020n n a a -=时，n b 取到最大值， 此时1010n =，1010k ∴=． 故答案为：1010．8．若不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，则实数k 的取值范围是 14k 剟 ．【解答】解：设原不等式的解集为A ， 当0k =时，则4x >，不合题意，当0k >且2k ≠时，原不等式化为[(x -4)](4)0k x k +-<，44k k+>， ∴4(4,)A k k =+，要使不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，须45k k+…，解得：14k 剟； 当2k =时，A =∅，合题意，当0k <时，原不等式化为[(x -4)](4)0k x k +->，(A ∴=-∞，4)(4k k+⋃，)+∞，不合题意，故答案为：14k 剟． 9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1236++=．则满足条件“{1A ⊆，2，3，4，5，6，7}，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是 224 ．【解答】解：若满足条件则下列同一括号里的数，同时属于或不属于A ，即(1,7)、(2,6)、(3,5)，4又(1,7)属于集合是一种情况，不属于集合又是一种情况，共两种情况，同理(2,6)，(3,5)，4同(1,7)类似各有两种情况，∴利用乘法原理，可得满足条件的集合个数为42(1,7)、(2,6)、(3,5)，4出现和不出现的次数是相等的， (1,7)∴、(2,6)、(3,5)，4出现的次数均为8， ∴总容量为：8(8884)224⨯+++=，故答案为：22410．a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1-，1]上有零点，则a 的取值范围是 ([1，)+∞ ． 【解答】解：0a =时，不符合题意，所以0a ≠，2()2230f x ax x a =+--=在[1-，1]上有解，2(21)32x a x ∴-=-在[1-，1]上有解∴212132x a x-=-在[1-，1]上有解， 问题转化为求函数22132x y x -=-在[1-，1]上的值域．设32t x =-，[1x ∈-，1]，则23x t =-，[1t ∈，5]， 17(6)2y t t∴=+-，设7()g t t t =+，27()1g t t∴'=-，[1t ∈时，()0g t '<，此函数()g t 单调递减，t ∈，5]时，()0g t '>，此函数()g t 单调递增，y ∴的取值范围是3-，1]，∴13a∈-，1]，1a ∴…或a …．故答案为(-∞[1，)+∞． 11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 89 项．【解答】解：由题可知，数列要想项数最少，需要各项最大；又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1， 所以需要数列前面递增，后面对称递减； 又各项之和是2019，中间可能存在相等的项，设除去相等项后的各项为：1，2，3⋯，(1)n -，n ，(1)n -，3⋯，2，1； ∴令各项和：2(1)[1(1)]123(1)(1)212[123(1)]2(1)20192n n n n n n n n n n n n -+-+++⋯+-++-+⋯++=+++⋯+-+=⨯+=-+=…， 得44n …，当n 为44时，项数为432187⨯+=项， 220194483-=，将83分成小于或等于44的项，最少可以分成两项， 故这个数列至少有87289+=项， 故答案为：89．12．设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+=⎨++->⎩…，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为{2[1---，1] ．【解答】解：（1）若0a -…，即0a …时，22,0()1,0121,1x ax x f x a x x a x ⎧-+⎪=+<⎨⎪+->⎩……， ()f x ∴在(-∞，0]上单调递减，最小值为(0)2f =，在(0,)+∞上最小值为1a +，故只需21a +…即可，解得01a 剟； （2）若01a <-…，即10a -<…时，则22,021,0()1,121,1x ax x x a x af x a a x x a x ⎧-+⎪--+<-⎪=⎨+-<<⎪⎪+-⎩………，()f x ∴在(-∞，0]上先减后增，最小值为2()224a a f =-，在(0,)+∞上最小值为1a +，故只需2214a a -+…即可，解得22a ---+， 又10a -<…，10a ∴-<…；（3）若1a ->，即1a <-时，22,021,01()1,121,x ax x x a x f x a x a x a x a⎧-+⎪--+<⎪=⎨--<<-⎪⎪+--⎩………，()f x ∴在(-∞，0]上先减后增，最小值为2()224a a f =-，()f x 在(0,)+∞上的最小值为10a -->，而()f x 的最小值为10a +<，故只需令2214a a -=+即可，解得2a =--2a =-+（舍)，综上，a的取值范围是{2[1---，1]．故答案为：{2[1---，1]． 二.选择题13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件． 故选：B ．14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则(m = ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：根据等比数列的性质得，215243a a a a a ==， 又12345m a a a a a a =，所以53m a a =， 因为111m m m a a q q --==，2231a a q q ==， 所以125()m q q -=，所以110m -=，即11m =， 故选：C ．15．若存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,)24-B ．13(,)(,)22-∞-+∞C ．13(,)44-D ．13(,)(,)44-∞-+∞ 【解答】解：命题存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立的否定为[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立．由[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立，得2212x a --剟，即1322x xa -剟， 当[1x ∈，2]时，12x -的最大值为14-，32x 的最小值为34． ∴命题[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立为真命题的a 的取值范围为1[4-，3]4， 则命题[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立为假命题的a 的取值范围为13(,)(,)44-∞-+∞，即存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立的实数a 的取值范围是13(,)(,)44-∞-+∞． 故选：D ．16．给定函数()f x 和()g x ，令(){()h x max f x =，()}g x ，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：（1）若()f x x =-，3()g x x =，则3,0(),0x x h x x x -<⎧=⎨⎩…，则()h x 为非奇非偶函数，故（1）错误，（2）若()2xf x =，()2xg x -=，则2,0()2,0x x x h x x -⎧=⎨<⎩…，则()h x 为偶函数，故（2）错误，（3）由（1）（2）知，()f x 和()g x 与()h x 的奇偶性没有关系，故（3）错误， 故正确的个数为0个， 故选：A ． 三.解答题17．已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求11(1)(1)a b++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值．【解答】解：已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<．（1）若1a b +=，11(1)(1)(1)(1)(2)(2)4419a b a b a ba b a b b a ++++=++=++++=…，当且仅当a b =成立，故最小值为9，（2）令11x a =-，11y b =-，所以1x a x-=，1y b y -=，1x >，1y >，所以2x y +>，由14ab =，得1114x y x y --=，化简得234()34()44x y xy x y +=+++…，当且仅当x y =时成立， 解得4x y +…，或者43x y +…（不成立） 故x y +的最小值为4．18．已知()|1|()f x ax a R =-∈，()1||g x x =-． （1）解关于x 的不等式()1f x …；（2）若()()f x g x …的解集为R ，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）()1f x …，|1|1ax ∴-…，111ax ∴--剟，02ax ∴剟，∴当0a >时，20xa 剟；当0a =时，x R ∈；当0a <时，20x a剟， ∴当0a >时，不等式的解集为2[0,]a；当0a =时，不等式的解集为R ； 当0a <时，不等式的解集为2[,0]a；（2）不等式()()f x g x …的解集为R ， 即|1|1||ax x --…的解集为R ． |1|y ax =-经过定点(0,1)， ∴当0a =时，||0x …，满足题意； 当0a ≠时，关于x 的不等式|1|1||ax x --…的解集为R ， 则11a …或11a-…，11a ∴-剟且0a ≠， a ∴的取值范围为[1-，1]．19．若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x …恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的取值范围；（2）若函数30()f x a x =-与()()xg x lg a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-是公共区间上的“和谐函数”，可得在公共定义域上()()0f x g x …， 若()f x ，()g x 对应的方程是同解方程， 则1222a a a a⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩，解得2a =； 此时22(2)(224)0x x x x +-+-…． 若()f x ，()g x 对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x ，函数值乘积均为正， 则需要两个二次函数的判别式均小于或等于0， 即22(1)4(22)042(2)0a a a a ⎧---+⎨-⨯⨯-⎩……， 解得70a -剟， 即a 的取值范围是70a -剟． 当0a =时，函数化为2()2f x x x =-+与2()2g x x =，()g x 大于等于0，()f x 的判别式小于0，()f x 大于0恒成立，函数值乘积恒非负，也满足条件．综上知，实数a 的取值范围是70a -剟或2a =； （2）由定义域可得0xa>，由题意可得0a >， 由()0f x =，可得30x a=，由()0g x =，可得x a =， 由题意可得两零点之间无正整数， 由于5630⨯=，所以当05a <<时，306a>，不满足题意； 当6a >时，3005a<<，不满足题意； 当56a 剟时，3056a剟，满足题意．所以a 的取值范围是[5，6]．20．在数列{}n a 中，10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈． （1）若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“*11()4n a n N +>∈恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k N ∈，使得2019k a >． 【解答】解：（1）10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈． 当1n =时，20a m m =+=， 当2n =时，23a m m =+，当3n =时，224()a m m m m =++=，∴若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，3242a a a ∴=+，得1m =-± （2）证明： 充分性：21n n a a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈．1n a m +∴…，14m >， *11()4n a n N +∴>∈恒成立．∴ “14m >” ⇒ “*11()4n a n N +>∈恒成立”． 必要性：21n n a a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈，1n a m +∴…，又*11()4n a n N +>∈恒成立，14m ∴>， ∴ “*11()4n a n N +>∈恒成立” ⇒ “14m >” （3）221111()()244n n n n n a a a m a a m m +-=+-=-+--…，又14m >，∴令104d m =->， 由1n n a a d --…， 12n n a a d ---…，⋯21a a d -…，将上述不等式相加，得： 1(1)n a a n d --…，即(1)n a n d -…，取正整数20191k d>+，就有 2019(1)()2019k a k d d d->=…． 21．已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >． （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值；（3）若函数()f x 在[2-，2]上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值．【解答】解：（1）2a =，1b =时，2222222,1(1)1,1()2|1|22,1(1)3,1x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎧-+-+=--==⎨⎨+-<+-<⎩⎩厖， ()f x ∴在(-∞，1]-单调递减，在(1,1)-上单调递增，在[1，)+∞单调递增；（2）由题意2()||0f x x a x b =--=有三个解，且他们的和为2-，x b <时，2()0f x x ax ab =+-=必有两个解，x =，x b ∴>时，2()0f x x ax ab =-+=只有一解，△240a ab =-=，4a b =①，2x b =②，联立①②解得4a =，1b =，综上所述4a =，1b =；（3）2()||0f x x a x b =--=即20x ax ab -+=或20x ax ab +-=，设20x ax ab -+=的两根为1x ，2x ，则12x x a +=，10x >，20x >；设20x ax ab +-=的两根为3x ，4x ，则34x x a +=-，340x x ab =-<，23434||||||4x x x x a ab ∴+=-==+，1x ，2x ，3x ，4x 均在区间[2-，2]内，20x ax ab ∴+-=在区间[2-，2]内，∴2-，4a ∴+，1234||||||||4x x x x a ∴+++=+，综上所述1234||||||||x x x x a +++=+的最大值为4；。
2018-2019学年上海市晋元高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市晋元高级中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．,{}1P a =，若21a P +∈，则a 可取的值有 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】由21a P +∈得到211a +=或21a a +=，解出a 的值后分别代入集合P 进行验证即可得到答案. 【详解】由,{}1P a =，21a P +∈，得：211a +=或21a a +=， 若211a +=，解得0a =，此时{0,1}P =； 若21a a +=，解得1a =-，此时,1{}1P =-；. 综上，a 可取的值有2个. 故选：C. 【点睛】本题主要考查集合中元素的特征，属于基础题. 2．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立.故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题. 3．已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】若1122a b a b =，取111a b ==，221a b ==-，则10x +>与10x -->的解集不同，所以“1122a b a b =”不是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的充分条件； 若1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，且110a x b +>与220a x b +>的解集相同，此时必有1212b ba a -=-，所以1122a b a b =成立，所以“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要条件. 综上，“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于常考题. 4．定义,(,),a a bF a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()()F f x g x ，为奇函数： ②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数()()()F f x g x ，为偶函数； ③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数()()()F f x g x ，为增函数；④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数()()()F f x g x ，为减函数． A ．②③④ B ．③④C ．②④D ．①②③④【答案】A【解析】利用函数的奇偶性和单调性分别对四个选项逐一判断即可. 【详解】,(,),a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩，①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()()F f x g x ，不一定为为奇函数，如y x=与3y x =，故为假命题；②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数()()()F f x g x ，为偶函数，故为真命题； ③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数()()()F f x g x ，为增函数，故为真命题； ④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数()()()F f x g x ，为减函数，故为真命题． 故选：A. 【点睛】本题主要考查判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.二、填空题5．已知集合0123{}A =，，，，4{}13B =，，，则A B =_________．【答案】{}1,3【解析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】0123{}A =，，，，4{}13B =，，， ∴{}1,3A B =.故答案为：{}1,3. 【点睛】本题考查交集及其求法，属于基础题.6．一元二次不等式2320x x -+>的解集是__________． 【答案】{|1x x <或}2x >【解析】∵2320x x -+>， ∴(1)(2)0x x -->， 解得1x <或2x >，故不等式2320x x -+>的解集是{|1x x <或}2x >．7．已知集合{}3A =，集合{}2|2 0x x x B a -+==，且A 是B 的真子集，则实数a =_________．【答案】3-【解析】由A 是B 的真子集知，23230a -⨯+=，解得a 的值即可. 【详解】A 是B 的真子集，∴3B ∈，即23230a -⨯+=，解得：3a =-. 故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查真子集的概念，属于基础题.8．已知命题“若0a >且0b >，则0ab >”，那么它的逆命题为_________． 【答案】“若0ab >，则0a >且0b >” 【解析】根据逆命题的定义直接写出即可. 【详解】命题“若0a >且0b >，则0ab >”的逆命题为“若0ab >，则0a >且0b >”. 故答案为：“若0ab >，则0a >且0b >”. 【点睛】本题考查逆命题的定义，属于基础题.9．已知函数()f x =()g x =()()()F x f x g x =⋅=_________．【答案】2x x -(1)x ≥【解析】根据题中所给积函数的定义直接写出答案即可. 【详解】()()()2(1)(1)F x f x g x x x x x x ===-=-≥⋅.故答案为：2x x -(1)x ≥. 【点睛】本题考查函数解析式的定义及其求法，属于基础题.10．若函数2()2(2)5f x x m x =--+在区间(]4-∞，上单调递减，则实数m 的取值范围是_________．【答案】(]2-∞-，【解析】利用二次函数的对称轴，确定单调区间与对称轴之间的关系进行判断即可． 【详解】函数2()2(2)5f x x m x =--+的对称轴为2(2)22m x m --=-=-， 则函数在区间(],2m -∞-上单调递减，所以要使函数在区间(]4-∞，上单调递减， 则有：42m ≤-，解得2m ≤-，所以实数m 的取值范围是(]2-∞-，． 故答案为：(]2-∞-，． 【点睛】本题考查函数单调性的应用以及二次函数的性质，属于基础题.11．若函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]1? 2a a -，，则a b += ．【答案】13【解析】试题分析：因为函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，则0b =，即()23f x ax a =+，且1? 2a a -=-，解得13a =，所以a b +=13.【考点】函数的奇偶性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到函数的定义域、一元二次函数的奇偶性及其应用，二次函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与应用意识，本题的解答中根据二次函数的性质，应用函数的奇偶性是解得的关键，试题比较基础，属于基础题. 12．若不等式对一切成立，则的取值范围是 _ _ .【答案】【解析】当，时不等式即为，对一切恒成立 ①当时，则须 ，∴②由①②得实数的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质，注意对二次项系数是否为0进行讨论；当，时不等式即为，对一切恒成立，当时 利用二次函数的性质列出满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围.13．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=___________.【答案】1【解析】试题分析：∵32()()1f x g x x x -=++，∴(1)(1)1111f g ---=-++=，又∵()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，∴(1)(1)f f =-，(1)(1)g g =--，∴(1)(1)(1)(1)f g f g ---=+，∴(1)(1)1f g +=． 【考点】函数的奇偶性． 14．若0x >，0y >，且82xy x =-，则x y +的最小值为_________． 【答案】18【解析】将式子82xx y x x +=+-适当变形后，利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】0x >，0y >，且802xy x =>-，解得2x >， ∴82xx y x x +=+- ()82162x x x -+=+-162822x x =-+++-，82+… 18=，所以x y +的最小值为18. 故答案为：18. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是对式子82xx y x x +=+-进行适当变形，从而利用基本不等式求最值，属于常考题.15．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，对于系数a 、b 、c ，有如下结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++>；⑤0a b c -+>． 其中正确的结论的序号是______． 【答案】③⑤【解析】根据不等式解集的特征及不等式的解与对应方程的关系可得,,a b c 满足的条件，从而可得正确的选项． 【详解】因为x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-， 所以0a <且20ax bx c ++=的两个根为2,1-，所以02121a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以2,,0c a b a a =-=<．故0,0,0,20c b a b c a b c a >++=-+=-， 故填③⑤． 【点睛】一元二次不等式的解、一元二次方程及一元二次函数的之间的关系是： （1）一元二次不等式的解集的端点是对应方程的根； （2）一元二次不等式的解集的端点是对应函数的零点； 解题中注意它们之间的联系．16．某学习小组在研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集是(12)，，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”．提出如下解决方案：20ax bx c -+>，不等式两边同除2x 得：211()()0a b c x x-+>，令1y x =，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cy by a -+>的解集为1(,1)2，即不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2．参考上述解法，已知关于x 的不等式01k x bx a cx ++>++的解集为()3)12(2--，，，则关于x 的不等式101kx bx ax x c-+>--的解集为_________． 【答案】()111123)2(--，， 【解析】先认真分析题目所给解答的方法，然后按照所给定义解答即可. 【详解】关于x 的不等式01k x bx a cx ++>++的解集为()3)12(2--，，， 用1x -替换x 得：1()10111()()1bk kx bx x ax x c a c x x-+-+=+>---+-+， 所以有1()()2123x --⋃-∈，，，解之得：112x <<或1123x -<<-. 故答案为：()111123)2(--，， 【点睛】本题考查类比推理及不等式的解法，解题关键是用1x-替换x ，从而得到1()()2123x--⋃-∈，，，属于中档题.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}|1A x x a =<-，集合{}|2B x x a =>+，集合0{}4|C x x x =≤≥或，()U A B C ⋃⊆ð﹐求实数a 的取值范围． 【答案】(][) 25-∞-⋃+∞，， 【解析】先求出A 和B 的并集在全集之下的补集，然后再根据子集的定义，列出不等式求出a 的取值范围即可. 【详解】显然12a a -<+，故[]()12U A B a a ⋃=-+，ð ， 要使()U C AB C ⊆成立，须满足：20a +≤或14a -≥，解之得，2a ≤-或5a ≥，综上，(][)25a ∈-∞-⋃+∞，，． 【点睛】本题考查交集、并集、补集的综合运算，考查子集的定义，考查逻辑思维能力，属于常考题.18．已知1a ≠-且a R ∈，试比较11a+与1a -的大小． 【答案】当1a >-且0 a ≠时，111a a >-+；当1a <-时，111a a<-+，当0 a =时，111a a=-+. 【解析】将两式作差后得：21()111a a a a--=++，分类讨论a 的范围，得到两式的大小. 【详解】21()111a a a a --=++ ∴①当1a >-且0 a ≠时，111a a>-+， ②当1a <-时，111a a <-+， ③当0 a =时，111a a=-+. 【点睛】本题考查利用作差法比较代数式大小的问题，解题关键是当作差后符号不能确定时，应分类讨论，属于常考题.19．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=. (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为12x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值． 【答案】（1）见证明；（2）12m =-【解析】(1)方程总有两个不相等的实数根，只需根的判别式>0∆即可；(2)由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，化简121112x x +=-，代入韦达定理即可解出m 的值． 【详解】解：(1)∵22(41)4(21)1650m m m ∆=+--=+>， ∴方程有两个不相等的实根．(2)∵12(41)x x m +=-+，1221x x m =-，1212121112x x x x x x ++==-， ∴(41)1212m m -+=--，∴12m =-.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题. 20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？ 【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【解析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值． 【详解】 设t kx b =+，∴3010{2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-．（1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）g g ， ∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．（2）设售价x （元）时总利润为z （元）， ∴2000200010200702z x x=---（） ，1002000?25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（ 元， 当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号， ∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21．已知函数()||3(,0)m f x x m R x x=+-∈≠ （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）试讨论当m 取不同值（或范围）时，方程()0f x =的解个数. 【答案】（1）详见解析；（2）当94m >或94m <-时，方程()0f x =有一个解； 当94m =或0m =或94m =-时，方程()0f x =有两个解； 当904m <<或904m -<<时，方程()0f x =有三个解． 【解析】（1）对m 进行分类讨论后，根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）由()0f x =，可得()300x x x m x -+=≠，变为()30m x x x x =-+≠，()3g x x x x =-，方程()0f x =解的个数问题可以变为函数()3g x x x x =-和y m =图象交点个数的问题，作出图象观察交点个数即可.【详解】（1）当0m =时，函数()3f x x =-，此时()()f x f x -=，函数是偶函数； 当0m ≠时，() 12f m =-，()12f m -=--，∴()() 11f f -≠±，函数是非奇非偶函数；（2）由()0f x =，可得()300x x x m x -+=≠， 变为()30m x x x x =-+≠，令()223,033,0x x x g x x x x x x x ⎧+<=-=⎨-+>⎩2239,024 39,024x x x x ⎧⎛⎫--+>⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩， 在同一坐标系下，作出函数()y g x =以及y m =的图象，由图象可得：当94m >或94m <-时，有一个交点，方程()0f x =有一个解； 当94m =或0m =或94m =-时，有两个交点，方程()0f x =有两个解； 当904m <<或904m -<<时，有三个交点，方程()0f x =有三个解． 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断以及函数零点的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，考查数形结合思想，属于中档题.。
上海高三高中数学期中考试带答案解析
上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若集合，则________2.函数的值域为3.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是4.已知某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所示，如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么到第年年底该区的绿化覆盖率可超过年份第1年年底第2年年底第3年年底第4年年底5.方程的解是___6.若，则7.根据下图所示的程序框图，最后一个打印出的值应为_________8.若为等比数列的前项的和，，则=___________9.函数的图像与图像关于直线对称，则函数的单调增区间是__________10.已知等差数列的公差为且。
若当且仅当时，该数列的前项和取到最大值，则的取值范围是11.若数列是首项为1、公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是_________12.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________13.已知函数的图像关于点对称，且满足。
当时，，则当时，____________14.个正数排成如右表所示的行列：，其中第一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均相等。
若已知，则二、选择题1.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若成立，则成立；B．若成立，则成立；C．若成立，则当时，均有成立；D．若成立，则当时，均有成立2.下列函数中既是奇函数且又在区间上单调递增的（）A．B．C．D．3.等差数列前项的和为，若为一个确定的常数，则下列各数中也必为常数的是（）A．B．C．D．4.定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示：现有以下命题：（1）方程有且仅有三个解；（2）方程有且仅有三个解；（3）方程有且仅有一个解；（4）方程有且仅有九个解则其中正确的命题是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（3）（4）三、解答题1.（本题12分）已知函数.（1）当不等式的解集为时，求实数的值；（2）若，且函数在区间上的最小值是，求实数的值。
上海市晋元中学2019-2020学年度高二数学第一学期期末考试(详解版)
晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 2020.01一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为4. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h＝ cm ．7．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．8．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．10. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .11. 一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .12. 已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于二．选择题（本大题共4小题，共12分）13．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件14．下列选项中不正确的是（）A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1B．如果方程Ax+By+C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0C．Ax+Bx+C＝0和2Ax+2Bx+C+1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2+B2≠0且C≠1D．（x﹣y+5）+k（4x﹣5y﹣1）＝0表示经过直线x﹣y+5＝0与4x﹣5y﹣1＝0的交点的所有直线15．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）（1）AC⊥BD（2）AC∥截面PQMN（3）AC＝BD（4）异面直线PM与BD所成的角为45°A．1 B．2 C．3 D．416．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段B 1C1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．B．C．D．三．解答题（本大题共5小题，共52分）17.（本题满分8分）已知直线l1：mx+3y+3＝0，直线l2：x+（m﹣2）y+2＝0，求当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：（1）平行；（2）垂直．18. （本题满分8分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．19. （本题满分10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．20. （本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．21.（本题满分14分）已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 2020.01一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 【答案】平行或异面 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为【答案】36π3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为【答案】 5. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为【答案】36π5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件【答案】充要6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h＝ cm ．【答案】67．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．【答案】x +1＝0或x ﹣+4＝08．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．【答案】9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．【答案】1610. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .【答案】2211.一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .12.已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于【答案】222+二．选择题（本大题共4小题，共12分）13．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件D ．“直线a 平行于平面β内的一条直线”是“直线a ∥平面β”的必要非充分条件【答案】D14．下列选项中不正确的是（ ）A ．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1B ．如果方程Ax +By +C ＝0表示的直线是y 轴，那么系数A ，B ，C 满足A ≠0，B ＝C ＝0C ．Ax +Bx +C ＝0和2Ax +2Bx +C +1＝0表示两条平行直线的等价条件是A 2+B 2≠0且C ≠1D ．（x ﹣y +5）+k （4x ﹣5y ﹣1）＝0表示经过直线x ﹣y +5＝0与4x ﹣5y ﹣1＝0的交点的所有直线【答案】D15．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）（1）AC ⊥BD （2）AC ∥截面PQMN（3）AC ＝BD （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45°A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段B 1C 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C三．解答题（本大题共5小题，共52分）17.（本题满分8分）已知直线l 1：mx +3y +3＝0，直线l 2：x +（m ﹣2）y +2＝0，求当m 为何值时，直线l 1与l 2分别有如下 位置关系：（1）平行；（2）垂直．【解析】（1）由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．经过验证可得：m＝3或﹣1都满足两条直线平行．∴m＝3或﹣1．（2）由m+3（m﹣2）＝0，解得m＝．∴m＝时两条直线相互垂直．18. （本题满分8分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．【答案】（1）A（﹣1，0），C（5，﹣6）；（2）x﹣y+1＝0．【解析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，由得，故A（﹣1，0）．由k AC＝﹣k AB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），由，得C（5，﹣6）．（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，所以l所在的直线方程为（x﹣1）﹣（y﹣2）＝0，即x﹣y+1＝0．19. （本题满分10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为30°，AP＝r，所以：，（2）∵，∴∴V C﹣OEF＝V O﹣CEF，∴，∴20. （本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．【答案】（1）arccos；（2）arccos；（3）arccos．【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，A′（2，0，2），F（2，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），＝（0，1，﹣2），＝（2，﹣1，2），设异面直线A′F与CE所成的角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．∴异面直线A′F与CE所成的角的大小为arccos．（2）＝（0，1，﹣2），A（2，0，0），B（2，2，0），D′（0，0，2），＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），设平面ABC′D′的法向量＝（x1，y1，z1），则，取x1＝1，得＝（1，0，1），设直线A′F与平面ABC′D′所成的角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝＝＝，∴直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小为arcsin．（3）A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0），＝（2，﹣1，2），＝（﹣2，2，0），＝（2，﹣1，0），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣），设平面CEF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，2，0），设二面角A﹣CE﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣CE﹣F的大小为arccos．21.（本题满分14分）已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n＝2n+2；（2）b n＝12n﹣6；（3）p＝2，q＝12.【解析】（1）∵点P n（n，S n）都在函数f（x）＝x2+3x的图象上，∴．当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，，当n＝1时，也满足．故a n＝2n+2．（2）∵A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，∴A＝{x|x＝2n+2，n∈N*}，B＝{x|x＝4n+2，n∈N*}∴A∩B＝B，又∵b n∈A∩B，∴b n∈B即数列{b n}的公差是4 的倍数又A∩B中的最小数为6，∴b1＝6，∴b8＝4k+6，k∈N*，又∵88＜b8＜93∴，解得k＝21．等差数列{b n}的公差为d，由b8＝6+7d＝90得d＝12，故b n＝12n﹣6（3）∵，∴若c1，c p，c q成等比数列，则，即．可得，所以﹣2p2+4p+1＞0，从而又p∈N*，∴p＝2，此时q＝12．故当且仅当p＝2，q＝12，使得c1，c p，c q成等比数列．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
晋元高级中学2018-2019学年第一学期期中考试高三年级数学学科试卷考试时间：120分钟 总分：150分一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合，，，，}5321{},,2,1{==B k A 若}5,3,2,1{=B A 则=k ．2．方程3log log 32x x +=的解是=x ． 3．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．4．已知函数)(x f y =是奇函数，若2)()(+=x f x g 且1)1(=g ，则=-)1(g ．5．函数sin y x =和cos y x =均为减函数的区间是 ． 6．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+*()n N ∈，则l i m nn nna S →∞= ． 7．若0x π≤<，则满足方程tan(4)14x π-=的解的集合是 ．8．在无穷等比数列}{n a 中，31=a ，12=a ，则=++++-∞→)(lim 12531n n a a a a ．9．已知函数)(x f y =存在反函数()x f y 1-=，若函数()1y f x =-的图像经过点)2,1(，则函数()11y f x -=+的图像经过点 ． 10．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅ ．11. 已知集合2{(2)10,}A x x p x x R =+++=∈，若A R φ+=，则实数p 的取值范围是 ．12．已知函数π()sin()(0)2f x x +ωϕωϕ=>≤，，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 ．13．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有 个．14．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-)0()1()0(12)(x x f x x f x ，若关于x 方程x a x f =)(有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．二、 选择题（本大题共有4题，每小题5分）15．已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）（A ）最小正周期为π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的奇函数（C ）最小正周期为π的偶函数 （D ）最小正周期为2π的偶函数 16．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，现有下列命题：①M 中的元素都不是P 的元素； ②M 中有不属于P 的元素；③M 中有属于P 的元素； ④M 中的元素不都是P 的元素。
其中真命题的个数为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．已知函数)(x f 是定义R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“)(x f为]4,3[上的减函数”（ ）（A ）既不充分也不必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）充要条件 18．设实数4321,,,a a a a 是一个等差数列，且满足311<<a ，43=a 。
若定义na nb 2=，给出下列命题：①4321,,,b b b b 是一个等比数列；②21b b <；③42>b ；④324>b ；⑤25642=⋅b b 。
其中真命题的个数为 （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
19. （本题满分12分）本题共有2小题，第1小题6分，第2小题6分。
关于x 的不等式22(21)(2)0x a x a a -+++->，223()0x a a x a -++<的解集分别为M 和N （1）试求M 和N ；（2）若φ=N M ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分。
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列． （1）若b ，3a =，求c 的值； （2）设sin sin t A C =，求t 的最大值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分。
由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。
1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为168,0224,24x x y x x x ⎧--+≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩。
只有当河流中碱的浓度不低．．于．1时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。
已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列}{n c 对任意*n N ∈，都有1212222nn n c c c a ++++=成立，求122012c c c +++的值．（3）若1n n na b a +=*()n N ∈，求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成其他两项之积．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。
已知函数|21|1()x a f x e -+=，||12()x a f x e -+=（x ∈R ）。
（1）若2a =，求12()()()f x f x f x =+在[2,3]x ∈上的最小值；（2）若1221()()()()f x f x f x f x -=-对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（3）当16a ≤≤时，求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在[1,6]x ∈上的最小值。
高三数学期中考试卷答案一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合，，，，}5321{},,2,1{==B k A 若}5,3,2,1{=B A 则=k ．3或52．方程3log log 32x x +=的解是=x ．3 3．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．64254．已知函数)(x f y =是奇函数，若2)()(+=x f x g 且1)1(=g ，则=-)1(g ．35．函数sin y x =和cos y x =均为减函数的区间是[2,2],2k k k Z ππππ++∈。
6．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+*()n N ∈，则l i mnn nna S →∞= ． 27．若0x π≤<，则满足方程t a n (4)14x π-=的角的集合是 ．357{,,,}8888ππππ．8．在无穷等比数列}{n a 中，31=a ，12=a ，则=++++-∞→)(lim 12531n n a a a a 233。
9．已知函数)(x f y =存在反函数()x f y 1-=，若函数()1y f x =-的图像经过点)2,1(，则函数()11y f x -=+的图像经过点 ．(3,2) 10．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅ ． 411. 已知集合2{(2)10,}A x x p x x R =+++=∈，若A R φ+=，则实数p 的取值范围是 .4p >-12．已知函数π()sin()(0)2f x x +ωϕωϕ=>≤，，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 ．913．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有 个．1414．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-)0()1()0(12)(x x f x x f x ，若关于x 方程x a x f =)(有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．)1,21[二、选择题（本大题共有4题，每小题5分）15．已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ D ）（A ）最小正周期为π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的奇函数（C ）最小正周期为π的偶函数 （D ）最小正周期为2π的偶函数 16．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，现有下列命题：①M 中的元素都不是P 的元素； ②M 中有不属于P 的元素；③M 中有属于P 的元素； ④M 中的元素不都是P 的元素。
其中真命题的个数为 （ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．已知函数)(x f 是定义R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“)(x f为]4,3[上的减函数” （A ）既不充分也不必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）充要条件 （ D ）18．设实数4321,,,a a a a 是一个等差数列，且满足311<<a ，43=a 。
若定义na nb 2=，给出下列命题：①4321,,,b b b b 是一个等比数列；②21b b <；③42>b ；④324>b ；⑤25642=⋅b b 。
其中真命题的个数为 （ C ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
19. （本题满分12分）本题共有2小题，第1小题6分，第2小题6分。
关于x 的不等式22(21)(2)0x a x a a -+++->、223()0x a a x a -++<的解集分别为M 和N （1）试求M 和N（2）若φ=N M ，求实数a 的取值范围。
19.（1）(,1)(2,)M a a =-∞-++∞；当10a a ><或时，2(,)N a a =； 当01a <<时，2(,)N a a =； 当10a a ==或时，N φ=。