高数III(概率论与数理统计)试卷A
概率论与数理统计考试试题及答案
重庆西南大学 2012 至 2013 学年度第 2 期概率论与数理统计 试题（A ）试题使用对象： 2011 级 专业(本科)1.设,,A B C 表示三个随机事件，则,,A B C 中至少有两个事件发生可表示为 ( ) A. A B C ⋃⋃ B. ABC C. AB BC AC ⋃⋃ D. ABC2.设随机事件A 与B 互不相容，且()0,()0P A P B >>，则( ) A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P A B ⋃=D. ()1P AB =3.某射手命中目标的概率为P, 则三次射击中至少有一次命中的概率为( ) A. P 3B. (1－P)3C. 1－P 3D. 1－(1－P)34.设随机变量X 的概率密度为, 02()20, xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩；其它，则(11)P X -≤≤＝( )A. 0B. 0.25C. 0.5D. 15.若随机变量()1D X =，则 (2)D X =( ) A ．2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.设()0.6,()0.5P A P B ==，且()0.4P AB =，求()P A B ⋃= .2.设()0.7P A =，则()P A = .3.有5人排成一排照相，则其中,a b 两人不能相邻照相的概率= .4.5.某工厂每天生产中出现的次品数ξ的概率分布如下表，则平均每天出次品 件.ξ 1 2 3 4P 0.2 0.3 0.4 0.1三、 计算题（本题共6小题，1-5小题每题8分，第6小题6分）1. 有三只同样的箱子，A 箱中有4只黑球1只白球，B 箱中有3只黑球3只白球， C 箱中有3只黑球5只白球，现任取一箱，再从中任取一球，求(1)此球是白球的概率；(2)若为白球，求出自B 箱的概率.2. 设随机变量X 与Y 的分布列为: X 0 1 3 Y 0 1 P12 38 18 , P 13 23求：（1）()E X ;(2)(23)E Y +. 3. 设X 满足如下分布律X k = -1 2 3()P X k = 14 12 14求X 的分布函数，并求135(),(),(23).222P X P X P X ≤<≤≤≤ 4. 设X 是连续性随机变量，其密度函数为2(42), 02,()0, k x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他,试求：（1）常数k 的值；（2）(1).P X > 5. 已知X 的分布律为：X -1 0 1 2k P 18 18 14 12求21221,Y X Y X =-=的分布律. 6. 设随机变量X 的密度函数分别为：2, 01()0, x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他， 求()E X .四、 证明题（共14分，每小题7分）1. 证明：设X 是一个随机变量，若2(),()E X E X 存在，则22()()()D X E X E X =-.2. 证明：设,X Y 是随机变量，若,X Y 相互独立，证明()()()D X Y D X D Y +=+.重庆三峡学院 2012 至 2013 学年度第 2 期 概率与数理统计 课 程 期 末 考 查A 卷 参考答案一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. C二、填空题（每小题4分，本题共20分）1. 0.7；2. 0.3；3.35； 4. 0.6； 5. 2.4 三、计算题（本题共6小题，1-5小题每题8分，第6小题6分）1. 解：设{}B {B }{}A A C ===箱中取球，箱中取球，C 箱中取球，{}D =取白球，则1()()()3P A P B P C ===，（1）()()(|)()(|)()(|)P D P A P D A P B P D B P C P D C =++11131553.353638120=⨯+⨯+⨯= （4分）（2）()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C =++132036.11131553353638⨯==⨯+⨯+⨯（8分）2. 解：(1)1313()013;2884E X =⨯+⨯+⨯= （4分）（2）122()01333E Y =⨯+⨯= ； 213(23)2()(3)2()32333E Y E Y E E Y +=+=+=⨯+= . (8分)3. 解：（1）0,11,124()3,2341,3x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（2分）（2）11();24P X ≤= 35531()()();22222P X F F <≤=-=3(23).4P x ≤≤=（6分）4. 解：（1）利用()1.f x dx +∞-∞=⎰则2201()(42)f x dx k x x dx +∞-∞==-⎰⎰=8,3k 所以3.8k =（4分）（2）2231131(1)()(42).82P X f x dx x x dx >==-=⎰⎰（8分）5. 解：1Y 的分布律为1Y -3 -1 1 3k P 18 18 14 12（4分）2Y 的分布律为：2Y 0 1 4k P 18 3814（8分）6. 解：102()=()2.3E X xf x dx x xdx +∞-∞=⋅=⎰⎰（6分）四、证明题（共14分，每小题7分）1.证明：由方差的定义有2()[()]D X E X E X =-（3分）22[2()()]E X XE X E X =-+22()2()()2()E X E X E X E X =-+22()()E X E X =-. (7分) 2.证明：2222()[()()] [(())(())] =[(()]2[(()][(()][(()]D X Y E X Y E X Y =E X E X Y E Y E X E X E X E X Y E Y E Y E Y +=+-+-+--+--+-(4分)因为,X Y 相互独立，则有 2[(()][(()]0.E X E X Y E Y --=所以()()()D X Y D X D Y +=+. (7分)重庆西南大学 2012 至 2013 学年度第 2 期概率论与数理统计 试题（B ）试题使用对象： 2011 级 专业(本科)1.设,,A B C 表示三个随机事件，则,,A B C 中至少有一个发生可表示为 ( C ) A. A B C ⋃⋃ B. ABC C. AB BC AC ⋃⋃ D. ABC2.设随机事件,A B 相互独立，则( D ) A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P A B ⋃=D. ()1P AB =3.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是( C )A. 33()4B. 231()44⨯C. 213(44⨯D. 2241()4C ⨯4.设随机变量X 的概率密度为, 02()0, x x f x <<⎧=⎨⎩；其它，则(01)P X ≤≤＝( C )A. 0B. 0.25C. 0.5D. 15.若随机变量()2E X =，则 (21)E X +=( D ) A ．2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分重庆西南大学 概率论与数理统计1.设()0.8,()0.3P A P B ==，且()0.2P AB =，求()P A B ⋃= 0.9 .2.若随机事件A 的概率2()3P A =，则()P A = . 3.设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，则(24)P X ≤≤= 0.5 . 4.5.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为 0.25 .五、 计算题（本题共5小题，每小题10分，共50分）1. 设W 表示昆虫出现残翅，E 表示有退化性眼睛，且()0.125,()0.075P W P E ==，()0.025,P WE =求昆虫出现残翅或退化性眼睛的概率. 2. 设X 是连续性随机变量，其密度函数为2(42), 02,()0, k x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他,试求：（1）常数k 的值；（2）(1).P X > 3.且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求P 1，P 2，P 3.4. 设随机变量X 的概率密度函数为：, 04()80, xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求随机变量28Y X =+的概率密度.5. 设连续型随机变量X 的分布函数为：1()arctan ()2F X A x x =+-∞<<∞ 试求：（1）A 的值；（2）X 的密度函数；（3）X 落在[0,1]内的概率.六、 证明题（共10分）证明：设X 是一个随机变量，若2(),()E X E X 存在，则22()()()D X E X E X =-.。
2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100分考试所需数据： 0.05(19)1,7291t = 0.05(20)1,7247t = 一、填空题： （4小题,每空2分，共10分）1、袋中有20个球，其中12只红球，8只黑球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回。
则第2人取得红球的概率为 。
2、若1，2，3，4，5号运动员随机的排成一排，则1号运动员站在中间的概率为 .3、 设随机变量X 与Y 互相独立，且()()2~,2/1~Exp Y Exp X 则随机变量Y 的概率密度函数为()f x = ；(232)E X Y --= .4、设随机变量()()22~,~m n Y X χχ，且X ，Y 相互独立，则随机变量mY nX F //=服从 分布.二、单项选择题：（5小题，每题2分，共10分）1、同时抛掷2枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率( ). A 0.5 B 0.25 C 0.125 D 0.3752、任何一个连续型的随机变量的概率密度()x ϕ一定满足 ( ). A 0()1x ϕ≤≤ B 在定义域内单调不减 C ()0x dx ϕ+∞-∞=⎰ D ()0x ϕ≥3、 已知~()X x ϕ,21x x ϕπ-（）=[(1+)],则2Y X = 概率密度为( ). A 21(1)y π+ B 22(4)y π+ C 21(1/4)y π+ D 21(14)y π+ 4、随机变量X 与Y 满足()()()D X Y D X D Y +=-,则必有( ) .A X 与Y 独立B X 与Y 不相关C DX=0D DX DY 0⋅=5、在假设检验问题中，检验水平α的意义是 （ ）. A 原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率 B 原假设0H 成立，经检验不能被拒绝的概率C 原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率D 原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率.三、（14分）20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为多少？四、（14分）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 与Y 的分布律为试求：（1）二维随机变量(,)X Y 的分布律；（2）随机变量Y X Z +=的分布律.专业班级： 姓名： 学号：装 订 线五、（14分）设二维随机向量(,)X Y 的概率密度为21,01,0(,)20ye x yf x y -⎧≤≤>⎪=⎨⎪⎩，其它 （1）求(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘概率密度；（2）问X 是Y 否相互独立，为什么？六、（14分）设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它试求：（1）E(X)，D(2X-3) ；（3）P{0<X<1.5}七、（14分）设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得样本值1231,2,1x x x ===，试求θ的矩估计值和最大似然估计值.八、（10分）下面列出的是某工厂随便选取的20只部件的装配时间（min ）：9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7设装配时间的总体服从正态分布2(,)N μσ，2,μσ均未知，是否可以认为装配时间的均值显著大于10（取0.05α=）？0.5099s =2020-2021《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A2答案一、填空题1)3/5; 2)1/5; 3)()()21,020,xe xf xelse-⎧≥⎪=⎨⎪⎩;-7; 4)自由度为m,n的F分布.二、选择题1)B; 2)C; 3)D; 4)B; 5)A.三解、18171829142019201910p=⨯+⨯=分五、解()()1211,01,0;720,0,xX Yxe xf x f yelseelse-⎧<<⎧≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩分独立,因为()()(),14X Yf x f y f x y=分六、解()()()4294;2310;0 1.5143916E X D X P x=-=<<=分分分七解、22122131322E X分；所以()332分，E Xθ-=又()^453分；E X X==所以的矩估计为566＝分θ.由521L，则ln5ln ln2ln17L分；令lnd Ld，得596分θ=，所以的最大似然估计为5106＝分θ八解、由题可得0010:10;:102H H分；0.05,20,119,10.24n n x分；；原假设的拒绝域为016/xt nn分；0 1.7541/0.5099/20n0.05(19)1,7291t=，所以在显著性水平为0.05的情况下拒绝原假设10分.。
2020-2021春季概率论与数理统计A卷参考答案
中国农业大学2020 ~2021学年春季学期概率论与数理统计 课程考试试题（A ）一、 填空题 （每空3分，满分15分）1．设A ，B 相互独立，A 与B 都不发生的概率为1/9，A 发生且B 不发生的概率和B 发生且A 不发生的概率相等，则()P A =__ 2/3____ 2．设一个昆虫产i 个卵的概率为,0,1,2,...!i e i i λλ-=，若设每个卵能孵化为虫的概率为p ，且虫卵的孵化是相互独立的，则这个昆虫下一代有k只的概率为()!kpp e k λλ-3.设总体X 的概率密度函数为1,0()0,0xe xf x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，12,,...n X X X 为总体的一个样本，若12min(,,...,)n Z X X X =，则2()E Z =222nθ4．将长度为1米的一根木棍随机的锯成两段，若视这两段的长度分别为随机变量X 和Y ，则相关系数XY ρ=___-1____5. 设12,,...,n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则2niX ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑服从 ___2(1)χ____分布二、选择题 （每题3分，满分21分）1.下列说法一定正确的是（ C ） （A ）若()()P AB P AB =，则A B =（B ）若A 与B 互不相容，则它们相互独立 （C ）若()1P A B =，则()1P B A =（D ）若A 与B 相互独立，则它们互不相容2． 设123,,X X X 是随机变量，且123~(0,1),~(0,4),~(5,9)X N XNX N ，记{}22,1,2,3i i p P X i=-≤≤=，则（ A ） （A ）123p p p >> （B ）213p p p >> （C ）312p p p >> （D ）231p p p >> 3. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式，{}6P X Y +≥≤ （ D ）（A ）1/2 （B ）1/4 （C ）1/6 （D ）1/124. 若221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则下列说法错误的是（ D ）（A ）若=0ρ，则X 与Y 相互独立 （B ）X 和Y 均服从一维正态分布（C ）若X 与Y 相互独立，则=0ρ （D ）221212~(,)X Y N μμσσ--+5. 设12,,...,n X X X 是来自总体~(,)X b n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，若2X kS +是2np 的无偏估计，则k 为（ B ） （A ）1 （B ）-1 （C ）0.5 （D ）-0.56. 设总体2~(,)X N μσ，其中μ未知，2σ已知，若样本容量n 和置信度1-α均不变，则增大样本均值，总体均值μ的置信区间的长度 ( C )（A ）变长 （B ）变短 （C ）不变 （D ）无法确定 7. 设总体X 服从2(,)N μσ，其中2σ未知，μ已知，若在显著性水平α下对总体均值进行双边假设检验，得到的结论是拒绝00:H μμ=，则当α增大时，下列说法正确的是（ A ）（A ）必然拒绝00:H μμ= （B ）必然接受00:H μμ=（C ）拒绝域会变小 （D ）以上说法都不对 三．（10分）四名乒乓球选手的历史战绩如表格所示，若现在丙已经淘汰乙进入决赛，甲与丁将争夺另外一个决赛权，请问在当前情况下，丙最终夺冠的概率是多少？（保留两位小数）注：10:11表示甲与丁在历史上一共进行了21场比赛，其中甲赢10场，丁赢11解：设A 表示丙夺冠，B 1表示半决赛甲获胜，B 2表示半决赛丁获胜，则根据历史数据有：110()21P B =，211()21P B =，117()35P A B =，212()20P A B = 21101711122807()()()0.55213521205145i i i P A P B P A B ===⨯+⨯=≈∑ 四.（10分） 设随机变量X 的概率密度为231,18()30,x x f x -⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）求X 的分布函数F (x ).（2）若随机变量Y =F (X )，求Y 的分布函数()Y F y .解：(1)(){}()x F x P X x f t dt -∞=≤=⎰当1x <时，F (x )=0当8x ≥时，F (x )=1 当18x ≤<时，213311(){}=13x F x P X x t dt x -=≤=-⎰于是130,1(){}1,181,8x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩（2）由于Y =F (X )，Y 在[0,1]上取值 当0y <时，(){}0Y F y P Y y =≤=当1y ≥时，(){}1Y F y P Y y =≤=当01y ≤<时，{}133(){}1(1)Y F y P Y y P X y P X y ⎧⎫=≤=-≤=≤+⎨⎬⎩⎭1333((1))[(1)]1F y y y =+=+-=于是Y 的分布函数为0,0(){},011,1Y y F y P Y y y y y <⎧⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎩五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1,01,02(,)0,x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其他，求2Z X Y =-的概率密度()z f z .解：当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时， ()1Z F z =；当02z <<时，22()(,)d d .4Z x y zz F z f x y x y z -≤==-⎰⎰于是1, 02,()()20,z Z z z f z F z ⎧-<<⎪'==⎨⎪⎩其他.六、（14分）设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为求：（1）{}2P X Y =；（2）关于X 的边缘分布律和关于Y 的边缘分布律；（3）X 和Y 的协方差(,)Cov X Y ； （4）X 和Y 的相关系数XY ρ.解：（1）{}{}{}1120,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+= （2）关于X 的边缘分布律：关于Y 的边缘分布律：（3）关于XY 的边缘分布律：经过计算：2()3E X =，()1E Y =，2()3E XY =， 于是(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-=（4）0XY ρ==七、（10分）设总体X 在区间[,1]θ上服从均匀分布，其中0θ>为未知参数，n X X X 12,,...,是来自总体X 的一个简单随机样本，求： （1）求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量.解：（1）1,1()10,x f x θθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩，其他，，1()2E X θ+= 由1()2X E X θ+==知，θ的矩估计量为ˆ21X θ=- （2）似然函数：1,01,1,2,,(1)()0,i nx i n L θθθ⎧<≤≤=⎪-=⎨⎪⎩，其他，由01,1,2,,i x i n θ<≤≤=，知120min{,,,}n x x x θ<≤因为()L θ是θ的单调递增函数，故θ的最大似然估计值为12ˆmin{,,,}n x x x θ=，则θ的最大似然估计值为12ˆmin{,,,}n X X X θ=八、（10分）（1）设从质量服从正态分布2(,)N μσ的总体X 中随机选取9个样品，称重测量后计算知：6x =，20.33s =.X 和2S 分别为样本均值和样本方差，（1.1）若由以往经验知220.6σ=，求μ的置信度为0.95的置信区间； （1.2）若2σ未知，求μ的置信度为0.95的置信区间.（2）假设某种水果罐头中的维生素C 含量服从正态分布2(,)N μσ，用传统工艺加工的水果罐头中，每瓶维生素C 的平均含量为19毫克，现在改进了加工工艺，随机抽查了16瓶罐头，测量后计算知：20.8x =，221.617s =，给定显著性水平=0.01α，问新工艺下维生素C 的含量是否比旧工艺下维生素C 的含量有显著提高.解：（1.1）若220.6σ=，则μ的置信度为0.95的置信区间为22,X z X z αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所求置信区间为(5.608,6.392)（1.2）若2σ未知，则μ的置信度为0.95的置信区间为22(1),(1)X n X n αα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 所求置信区间为(5.558,6.442) （2）建立假设01:19, :19H H μμ≤>，~(15)X t t=，拒绝域为(15) 2.6025t t α>=，经过计算 4.45(15)t t α≈>，故拒绝原假设，即新工艺下维生素C 的含量比旧工艺下维生素C 的含量有显著提高。
3概率论与数理统计试卷及答案
第1页 第2页概率论与数理统计试卷（20170111）一、单项选择(每小题3分，共30分，答案按左侧学号规则连线成数码数字，不可涂改，否则影响自动评分 ) 1. 设A 与B 相互独立，则下列结论错误的是 （ ）（1）,A B 独立 （2）,A B 独立 （3）()()()=P AB P A P B （4）φ=AB2.有一根长为l 的木棒,任意折成三段,恰好能构成三角形的概率为( )（1）0.3 （2） 1 （3） 0.5 （4）0.253.设随机变量X 的概率密度为(),()(),()-=且是f x f x f x F x X 的分布函数，则对任意实数α，则{}P X a >为 ( ) （1）2()1F a - （2）12()F a - （3）2[()1]F a - （4）2[1()]F a -4.设随机变量Y X ,独立同分布，且X 的分布函数为),(x F 则max(,)Z X Y =的分布函数为（ ） （1）2()F x （2）()()F x F y （3）[1()][1()]F x F y -- （4）12[1()]F x --5.设随机变量X ,Y 的期望分别为-3和3，方差分别为1和4，相关系数为0.25，使用切比雪夫不等式估计(||5)+≥≤P X Y ( ) （1）0 （2）1 （3）256 （4）2519 6. 设总体2~(,)X N μσ，,,123X X X 为来自总体X 的样本，当用21-X X ，X 及121123236+-X X X 作为μ的 估计时，最有效的估计是( )（1）21-X X （2）X （3）121123236+-X X X （4）无法判断7.单个正态总体期望已知时，对取定的样本观察值及给定的(01)αα<<，欲求总体方差的置信度为 1α-的置信区间，使用的样本函数服从 ( )（1） F 分布 （2） t 分布 （3） 2χ分布 （4） 标准正态分布8. 设,,,1234X X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中σ未知，μ已知，则不是统计量的是（ ）（1）max min -X X i i （2）41()i 4i 1μ-∑=X（3）422/i i 1σ∑=X （4）441122()i i 312i 1i 1-∑∑==X X9. 设X 为n 次独立重复试验中A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中的出现概率，ε为大于零的数，则lim {}X P p n n ε->=→∞ ( ) (1) 0 (2) 1 (3) 12 (4) 21ε⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭Φ-n pq 10.设随机变量~(0,1)X N ，~(0,1)Y N ，则（ ）(1)X Y +服从正态分布； (2)2X 和2Y 都服从2χ分布； (3)22X Y +服从2χ分布； (4)22/X Y 服从F 分布．二、填空(每小题3分，共18分，右侧对应题号处写答案)1.设1()()()3===P A P B P C ，且A 、B 、C 相互独立，则A 、B 、C 至少一个发生的概率为① _________________________________________________________________ 2.已知离散型随机变量X 分布律为{},kP X k C==1,2,k N =L ，则=C ② ______ 3.总体2~(,)X N μσ，其中2σ未知，则均值μ的置信度为1α-置信区间为③ ____________________________________________________________________ 4.一商场共有15层楼,设有12位顾客在第一层进入电梯（中途不再有顾客进入电梯）,每位乘客在楼上任何一层出电梯是等可能的，且各乘客是否出电梯相互独立,直到电梯中的乘客出空为止电梯需停次数X 的期望值为④__________________________5.设2~(0,2)~(6)X N Y χ与独立，若Z A Y =服从t 分布(A >0)，则 A =⑤_______6.设二维随机变量),(Y X 的密度6,01(,)0⎧⎨⎩<<<=，其他x x y f x y ，则(1)P X Y +>=⑥_____（7分）三、 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。
安徽大学《概率论与数理统计A三》2016-2017学年第一学期期末试卷A卷
安徽大学2016—2017学年第一学期《高等数学A （三）》（概率论与数理统计）考试试卷考试试卷（（A 卷）（闭卷 时间120分钟分钟）考场登记表序号一、 填空题填空题（（每小题3分，共15分）1． 设A ，B 是随机事件，()0.4P A =，()0.2P AB =，(|)(|)1P A B P A B +=， 则()__________P A B =∪． 2． 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则方程220x x X −+=无实根的概率为______． 3． 设X 服从正态分布(3,4)N ，Y 服从参数12λ=的指数分布，且,X Y 相互独立，又25Z X Y =−+，则DZ =___________．4． 设12,,,n X X X ⋯为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值 和样本方差，若2X kS +为2np 的无偏估计量，则________k =．5． 设总体X 服从正态分布(,8)N µ，µ为未知参数，1232,,,X X X ⋯是取自总体X 的一个 简单随机样本，X 为样本均值，如果以区间()1,1X X −+作为µ的置信区间，则置信水平 为_________． （标准正态分布分布函数值(2)0.977Φ=，(3)0.999Φ≈，(4)1Φ≈）二、单选题选题（（每小题3分，共15分）6． 将一枚均匀硬币连续抛掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件（ ）． （A ）123,,A A A 相互独立 （B ）234,,A A A 相互独立 （C ）123,,A A A 两两独立 （D ）234,,A A A 两两独立题 号 一 二 三 四 五 总分得 分阅卷人分得分院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------得分分7． 设随机变量X 的分布函数为()F x ，概率密度为()f x ，1Y X =−，Y 的分布函数记为()G y ，概率密度记为()g y ，则有（ ）（A ）()(1)g y f y =− （B ）()1()g y f y =−（C ）()(1)G y F y =−（D ）()1()G y F y =− 8． 设随机变量X ，Y 相互独立，且EX ，EY 和DX ，DY 存在，则下列等式中不成 立的是（ ），下列表示式中a ，b 均为常数．（A ）()E aX bY aEX bEY ±=± （B ）()E aX bY abEX EY ⋅=⋅ （C ）22()D aX bY a DX b DY +=+ （D ）22()D aX bY a DX b DY −=− 9． 设12,,,n X X X ⋯是来自总体X 的简单随机样本，EX µ=，1DX =，下列说法)(0,1)X N µ−∼ ()2E Xµ=由切比雪夫不等式可知()211P X n µεε−<≥−（ε为任意正数） ○4 若µ为未知参数，则样本均值X 是µ的矩估计量 中正确的有（ ）个．（A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ）410． 在正态总体的假设检验中，显著性水平为α，则下列结论正确的是（ ）． （A ）若在0.1α=下接受0H ，则在0.05α=下必接受0H（B ）若在0.1α=下接受0H ，则在0.05α=下必拒绝0H （C ）若在0.1α=下拒绝0H ，则在0.05α=下必接受0H（D ）若在0.1α=下拒绝0H ，则在0.05α=下必拒绝0H三、分析计算题分析计算题（（每小题12分，共60分）11．一道单选题有四个答案可供选择．已知60%的考生对相关知识完全掌握，他们可选出正确答案；20%的考生对相关知识部分掌握，他们可剔除两个不正确答案，然后随机选一个答案；20%的考生对相关知识完全不掌握，他们随机选一个答案． （1）现任意挑选一位学生参加考试，求他选得正确答案的概率；（2）已知某位考生选对了答案，求他确实是完全掌握相关知识的概率．分得分第3 页共6 页12．设连续型随机变量X的概率密度函数为20,()0,xAxexfxx−≥=<.求：（1）常数A的值；（2）X的分布函数()Fx；（3）概率(12)PX−≤<．13．设随机变量X与Y的概率分布律分别为：且22()1PXY==，求：（1）(,)XY的联合分布律；（2）ZXY=的分布律；（3）X与Y的相关系数XYρ．答 题题 勿勿 超超 装装 订订 线线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------14． 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为1,1,(,)0,.x y f x y <<=其他 试判断X 与Y的独立性，并给出理由．15． 设总体X 的概率密度函数为(1),01,()0,x x f x θθ +<<= 其他.其中1θ>−是未知参数．设12,,,n X X X ⋯为来自总体X 的简单随机样本，试求参数θ的矩估计量和极大似然估计量． 四、应用题应用题（（每小题5分，共5分）16．某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元．若车丢失，则车主得赔偿1000元．假设车辆丢失率为0. 6%，试利用中心极限定理，求保险公司一年获利润不少于60000元的概率为多少？得分答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------五、证明证明题题（每小题5分，共5分）17． 设1X ，2X ，3X ，4X 分别为来自总体10,2N的简单随机样本，证明：统计量Y =服从自由度为2的t 分布．分得分。
《概率论与数理统计》考试试卷
填空题（每空2分, 2×12=24分）1、 设 A.B.C 为三事件, 事件 A.B.C 恰好有两个事件发生可表示为__________________。
2、 已知 =0.5, =0.3, =0.6, 则 =__________________。
3、 设 , 则 的密度函数为____________________。
4、 设 服从区间 上的均匀分布, 则 ______________, _______________。
5、 设 是X 的一个随机样本, 则样本均值 _______________, 且 服从的分布为_____________________。
6、 若二维连续型随机变量密度函数为 , 则 。
7、 总体 且 已知, 用样本检验假设 时, 采用统计量_________________________。
8、 评选估计量的标准有_______________、_____________和一致性。
9、 切贝雪夫不等式应叙述为_______________判断题（每小题2分, 2×8=16分）1、 互不相容的随机事件一定相互独立。
（ ）2、 若连续型随机变量 的概率密度为 , 则 。
（ ）3、 二维随机变量的边缘分布可以确定联合分布。
（ ）4、 对于任意随机变量 , 有 。
（ ）5、 不相关的两个随机变量一定是相互独立的。
（ ）6、 对任意随机变量 , 若 存在, 则 。
（ ）7、 若 , 则 。
（ ）若 , , 密度函数分别为 及 , 则 。
（ ）概率计算题（每题10分, 4×10=40分）在1-2000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数即不能被4整除又不能被6整除的概率是多少？ (10分)设两台车床加工同样的零件, 第一台车床的优质品率为0.6, 第二台车床的优质品率为0.9, 现把加工的零件放在一起, 且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍, 求: （1）从产品中任取一件是优质品的概率。
概率论与数理统计卷三(附答案)
一、判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件. （ ） 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定. （ ） 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X =. （ ） 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k XP ，则X 的数学期望)(X E 未必存在. （ ）5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类 错误的概率不能同时减少. （ ）二、 选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 . （ａ）rn r r n p p C----)1(11； （ｂ）rn r r n p p C --)1(；（ｃ）1111)1(+-----r n r r n p pC ； （ｄ）rn rp p --)1(.2. 离散随机变量X 的分布函数为)(x F ，且11+-<<k k k x x x ，则==)(k x X P . （ａ）)(1k k x X x P ≤≤-； （ｂ）)()(11-+-k k x F x F ； （ｃ）)(11+-<<k k x X x P ； （ｄ）)()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 . （ａ）是连续函数； （ｂ）恰好有一个间断点； （ｃ）是阶梯函数； （ｄ）至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .（ａ）40； （ｂ）34； （ｃ）25.6； （ｄ）17.6 . 5. 设),,,(21nXX X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .（ａ）)(~/21n t nX -； （ｂ）)1,(~)1(4112n F X ni i∑=-；（ｃ）)1,0(~/21N nX -； （ｄ）)(~)1(41212n X ni iχ∑=-.三、填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才 取到正品的概率为 .2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量XeY 3=的概率密度函数为=)(y f Y.3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X XX )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为 当 时 =)(x y f XY.5. 设)(~m t X , 则随机变量2XY =服从的分布为 ( 需写出自由度 ) .6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方 差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为 .7. 设X 的分布律为X 1 2 3P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为 . 四、计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间4．设总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本. 求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X （单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.五、证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.1. 是. 在几何概型中，命题“0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件” 是不成立的.2. 非. 改变密度函数)(x f 在个别点上的函数值，不会改变分布函数)(x F 的取值.3. 非. 由题设条件可得出82.0)(==Y X P ，根本不能推出Y X =.4. 非. 由题设条件可可以证明∑∞=1k k kp x绝对收敛，即)(X E 必存在.5. 是. 由关系式 σδβα/n z z =+(等式右端为定值) 可予以证明.二. 选择题1.（ａ）2.（ｄ）3.（ｂ）4.（ｃ）5.（ｄ）. 三. 填空题1. 19/396 . 2 . ⎩⎨⎧≤>=00)])3/[ln()(1y y y f y f yY . 3. 0.9772 .4. 当10<<x 时 ⎩⎨⎧<<-=他其)2/(1)(x y x x x y f XY5. ),1(m F ].6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 . 四. 计算题1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件.9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ，.998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P 2. 解一 ⎩⎨⎧>>=+-他其00,0),()(y x e y x f y x μλμλ0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ；0>z 时，⎰⎰⎰⎰---≤+==≤+=2/)3(03/023),()23()(x z yz xzy x Z dy edx edxdy y x f z Y X P z F μλμλzzee322332321λμλμμλμλ-----+=所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ解二 ⎩⎨⎧>=-其他00)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他0)(y e y f yY μμ0≤z 时， 0)(=z f Z ； 0>z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21)(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x eedx e μλμλλμλμλμ-------==⎰所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ解三 设 ⎩⎨⎧=+=YW Y X Z 23 ⎩⎨⎧=-=⇒WY W Z X 3/)2( 3113/23/1=-=J随机变量),(W Z 的联合密度为 w wz eJ w w z f w z g μλλμ---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3231,32),( 所以 ⎰⎰--+∞∞--==2/03132),()(z wZ dw edw w z g z f w z μλλμ0)(232/3/>--=--z eez z μλλμλμ.3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P ， 则一年的销售量为∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D .由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-<-=<<Y P Y P 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=.4. 注意到 nXX X ,,,21 的相互独立性5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z Uα.96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . (2) 要检验的假设为 22122048.0:,048.0:≠=σσH H检验用的统计量 )1(~)(222512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为 488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(12121)(,0)(σnn X X D X X E i i -=-=-⎪⎭⎫⎝⎛--21,0~σn n N X X i dzenn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz enn znn z 22121212σσπ--∞+⎰-=σπnn 122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn 122-=σ令=)1(2-=n n k π41.1=x ， 488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . 证明题 证一 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP 2q pq 2 2p)0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pqZ Y X P ；)0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pqZ Y X P ； )1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pqZ Y X P ；)1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P pZ Y X P .所以 Y X +与Z 相互独立.证二 由题设可得Y X +与Z 的联合分布Y X +Z 0 1 20 3q 22pq q p 21 2pq q p 22 3p联合概率矩阵中任两行或两列元素对应成比例，故概率矩阵的秩等于1，所以 Y X +与Z 相互独立. 是非题（共7分，每题1分）。
概率论与数理统计试题-a_（含答案）
概率论与数理统计试题-a_（含答案）深圳⼤学期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷闭卷A/B 卷 A 课程编号 2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分 3命题⼈(签字) 审题⼈(签字) 年⽉⽇基本题6⼩题，每⼩题5分，满分30分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀（每道选择题选对满分，选0分）事件表达式A B 的意思是 ( ) 事件A 与事件B 同时发⽣ (B) 事件A 发⽣但事件B 不发⽣事件B 发⽣但事件A 不发⽣ (D) 事件A 与事件B ⾄少有⼀件发⽣ D ，根据A B 的定义可知。
假设事件A 与事件B 互为对⽴，则事件A B ( ) 是不可能事件 (B) 是可能事件发⽣的概率为1 (D) 是必然事件 A ，这是因为对⽴事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独⽴，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) ⾃由度为1的χ2分布 (B) ⾃由度为2的χ2分布⾃由度为1的F 分布 (D) ⾃由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独⽴的服从标准正态分布的随机变量的平⽅和服从⾃由度为n 的2分布。
已知随机变量X ,Y 相互独⽴，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)选C ，因为相互独⽴的正态变量相加仍然服从正态分布，⽽E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
样本(X 1,X 2,X 3)取⾃总体X ，E (X )=µ, D (X )=σ2, 则有( ) X 1+X 2+X 3是µ的⽆偏估计(B) 1233X X X ++是µ的⽆偏估计22X 是σ2的⽆偏估计(D)21233XXX+是σ2的⽆偏估计答：选B，因为样本均值是总体期望的⽆偏估计，其它三项都不成⽴。
大学概率论与数理统计试题库及答案a
A） 50
B
） 100 C
17． 设 X 1, X 2 , X 3 相互独立同服从参数
A ） 1.
B
） 9.
C
） 120
D
） 150
3的泊松分布，令 Y 1 (X 1 X 2 X 3) ，则 3
） 10.
D
） 6.
18．对于任意两个随机变量 X 和 Y ，若 E ( XY ) E ( X ) E (Y ) ，则
3．若事件 A 和事件 B 相互独立 , P(A)= , P(B)=0.3 ， P(A U B)=0.7, 则
4. 将 C,C,E,E,I,N,S 等 7 个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词
SCIENCE的概率为
5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为 射中的概率为
0.6 和 0.5 ，现已知目标被命中，则它是甲
9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 _________
80
，则该射手的命中率为
81
10. 若随机变量 在（ 1， 6）上服从均匀分布，则方程 x 2+ x+1=0 有实根的概率是
3
4
11. 设 P{ X 0, Y 0} ， P{ X 0} P{ Y 0} ，则 P{max{ X ,Y } 0}
则第二人取到黄球的概率是
（ A） 1/5
（ B） 2/5
（ C） 3/5
（ D） 4/5
4. 对于事件 A， B，下列命题正确的是
（ A）若 A， B 互不相容，则 A 与 B 也互不相容。
（ B）若 A， B 相容，那么 A 与 B 也相容。
（ C）若 A， B 互不相容，且概率都大于零，则
概率论与数理统计期末试卷及答案(最新6)
华南理工大学期末试卷《概率论与数理统计》试卷A 卷注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.解答就答在试卷上；3.考试形式：闭卷；4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。
注：标准正态分布的分布函数值Φ（2.33）=0.9901；Φ（2.48）=0.9934；Φ（1.67）=0.9525一、选择题（每题3分，共18分）1.设A 、B 均为非零概率事件，且A ⊂B 成立，则 （ ） A. P(A ⋃B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A ︱B)=)()(B P A P D. P(A-B)=P(A)-P(B)2. 掷三枚均匀硬币，若A={两个正面，一个反面}，则有P(A)= ( ) A.1/2 B.1/4 C.3/8 D.1/83. 对于任意两个随机变量ξ和η，若E(ξη)=E ξE η,则有（ ） A. D(ξη)=D ξD η B. D(ξ+η)=D ξ+D ηC. ξ和η独立D. ξ和η不独立 4. 设P(x)=⎩⎨⎧∉∈],0[,0],0[,sin 2ππA x A x x 。
若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A= （ ）A.1/2B.1/3C.1D.3/25. 若ξ1，ξ2，…，ξ6相互独立，分布都服从N(u, 2σ),则Z=∑=-6122)(1i iu ξσ的密度函数最可能是 （ ）A. f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1612/2z z e z z B. f(z)=+∞<<-∞z e z ,12112/2π C. f(z)=+∞<<-∞-z e z,12112/2πD. f(z)= ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00,1612/2z z e z z6.设（ξ，η）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是 （ ） A.（ξ，η）的边际分布仍然是正态分布B.由（ξ，η）的边际分布可完全确定（ξ，η）的联合分布C. （ξ，η）为二维连续性随机变量D. ξ与η相互独立的充要条件为ξ与η的相关系数为0二、填空题（每空3分，共27分）1. 设随机变量X 服从普阿松分布，且P(X=3)=234-e ，则EX= 。
《概率论与数理统计》第三次测试题答案
鲁东大学 2009-2010 学年第一学期2009 级 数学与应用数学，信计，统计 专业 本 科卷课程名称 概率论与数理统计课程号（2102841）考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）一、填空题，本题共7小题，满分20分，其中第1小题6分，第7小题4分，其余每题2分.1、 该商店每天销售电视机的台数；100天电视机销售台数；100，3.85，1.95， 1000,21,2351,342()3,4557,56201,6x x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩ ； 2、2n χ（）；3、11e --；4、21X +；5、2b a n abσ- 二、选择题，本题共9小题，满分18分.1、D;2、C ；3、A ；4、A ；5、C ；6、B ；三、计算题，本题共4小题，满分52分1、（13分）在总体~(12,4)X N 中随机抽取一容量为5的样本，求样本平均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
解： 设125,,...X X X 为来自总体的样本，X 为样本均值，则4~(12,)5X N ……4分则(|12|1)12(||2(12(1(1.12))0.2628....................................................P X X P ->-=>=-Φ=-Φ=分.............................4分2、（13分）在一袋内放有很多的白球和黑球，已知两种球数目为1:3，但不知道哪一种颜色的球多，现从中有放回地抽取3次，取出黑球2次，试求袋中黑球所占比例的极大似然估计值．解：设01X ⎧=⎨⎩，从袋中取出白球，从袋中取出黑球，………………………………………………………………2分 则13~(1,),44X b p p =或…………………………………………………………………………4分..123,,~i i dX X X X则样本的似然函数为 311(1)(1)i i x x nx n nx i L p p p p p --=-=-∏（）=……………………………………………………………..2分 一次观测后，23x =，则 21(1)L p p p =-（）又由21211111(1)444643339(1)44464L L =-==-=（）（）……………………………………………………………………………..2分 所以3ˆ4mle p =…………………………………………………………………………………………….2分 3、（13分）设从均值为μ，方差为2σ 的总体中，分别抽取容量为12,n n 的两个独立样本， 12,X X 分别是两样本的均值，1） 试证：对于任意常数,(1)a b a b +=, 12Y aX bX =+ 都是μ的无偏估计；2） 确定常数,a b ，使()D Y 达到最小．解：因为1212()()()()E Y E aX bX aE X bE X a b μμμ=+=+=+= 所以，12Y aX bX =+为μ的无偏估计．……………………………………………………………..5分 22121222221222121222()()()()21()D Y D aX bX a D X b D X ab n n n n a a n n n n σσσ=+=+=++=-+ 所以当121212,n n a b n n n n ==++时，可以使()D Y 达到最小．……………………………………….5分 4、（13分）初生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测得平均体重为3057， 标准差为375.314，试以95%的置信系数求新生男婴的平均体重μ和方差2σ的置信区间．解：单个正态总体方差未知时，均值μ的置信水平为0.95的置信区间为12((1))x n α-±-……………………………………………………………………………….3分 一次观测后，3057,375.314x s ==，另外0.97512,(11) 2.201n t == 得到置信区间为（2818.5351，3925.4649）．……………………………………………………………..2分 单个正态总体均值未知时，方差2σ的置信水平为0.95的置信区间为 22220.9750.025(1)(1)(,)(11)(11)n s n s χχ--……………………………………………………………………………….3分 一次观测后，3057,375.314x s ==，另外0.97512,(11) 2.201n t ==得到置信区间为（70687.3442，405619.5248）．……………………………………………………………..2分。
概率论与数理统计试题A及其标准答案
概率论与数理统计 C 试题（A ）一、填空题（每小题3分，共24分）1. 设A 、B 、C 表示三个事件，用事件的关系和运算表示下列事件： （1）A 、B 、C 中最多两个发生 。
（2）A 、B 、C 中恰有两个发生 。
（3）A 、B 、C 中至少有一个发生 。
2. 在n 次独立重复试验中，设q p p A P =-=1,)(，那么，事件A 发生k 次的概率为 。
3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧><≤≤=10,010,)(4x x x cx x f 或，则常数c = 。
4. 两口袋，甲袋中有8白、4黑大小全同的球，乙袋有5白3黑个球，现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取一球，问此球为黑球的概率为 .5. 已知3)(,1)(=-=X D X E ，则)]2(3[2-XE = 。
6. 设总体X ～)(λP ，m X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，X 是样本均值，则=)(X E ，=)(X D 。
7.设总体X ～)1,0(N ，nX X X ,,,21 是来自总体X 的样本，则统计量2222121nXXX nXY +++=～ 分布。
8. 设n X X X ,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，♦2为已知常数，要 检验假设H 0:❍=❍0(❍0为已知常数)应用 检验法，检验的统计量是 .二、选择题（每小题3分，共18分）1.设每次试验成功的概率为p (0<p <1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为( ) (A) p 3; (B) 1-p 3 ; (C) (1-p )3 ; (D) (1-p )3+p (1-p )2+p 2(1-p ).2.设θˆ是❑的无偏估计量,且0)ˆ(>θD ,则2ˆθ是❑2的( )(A) 无偏估计量; (B) 有效估计量; (C) 有偏估计量; (D) A 和B 同时成立.3.随机变量X 服从参数为2的泊松分布且Y=2X -3，则Y 的方差D(Y)为（ ） （A ） 1 (B) 4 (C) 8 (D) 164. 设n X X X ,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则有( )(A) μ10)(=X E ; (B)2)(2σ=X D ;(C) )1,0(~N X σμ-; (D))1,0(~/N nX σμ-.5.已知X~B (n , p ),且E(X)=2.4 ,D(X)=1.44,则二项分布n ,p 的值为( ). (A) n =4,p =0.6; (B) n =6,p =0.4; (C) n =8,p =0.3; (D) n =24,p =0.1. 6．设n θ是满足θθ=∞→)(lim n n E 和)(lim =∞→n n D θ的统计量,则下列结论正确的是( )(A) n θ是❑的有效估计量; (B) n θ是❑的一致估计量;(C) n θ是❑的有偏估计量; (D) A 和B 同时成立.三、计算题（共50分）2.(10分)（注意：公办学生做第[1]题，民办学生做第[2]题，选错不给分）[1] 已知随机变量X 的概率密度为其它00)1(2)(2>⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x f π,有XYln =,求Y 的概率密度.[2] 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≤+=其他,020,1)(x Ax x f求（1）A 的值；（2）X 的分布函数）（x F .3.( 10分) （注意：公办学生做第[1]题，民办学生做第[2]题，选错不给分） [1] 设分别从甲、乙两批苗木中各随机抽出6株测其苗高得67.14087.72==甲甲x s ,5.1381.72==乙乙x s 假设两批苗木的高度均服从正态分布,(1)试以90%的可靠性判断,两批苗木的方差是否有显著差异?(2)并以0.05的显著水平检验甲批苗木平均高是否超过了乙批苗木平均高?[2] 设青年人的血压(收缩压mmHg)服从均值为120的正态分布.现对从事某项职业的青年人抽查20人,测得其平均血压为124,标准差为9.05,试在♋=0.05下判断该项职业是否对血压有影响(即平均血压与120是否有显著差异)？4.(10分) （注意：公办学生做第[1]题，民办学生做第[2]题，选错不给分）[1] 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(单位:h)分别为6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0.设干燥时间总体服从正态分布),(2σμN ,求❍的置信水平为0.95的置信区间.[2] 已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布),(2σμN ,2σ未知,从中随机抽取n 个零件,得到样本平均值x ,试求❍的置信度为1-♋的置信区间.5.(10分) 设总体分布为指数分布,其分布密度函数为时当时当0001),(-≤>⎩⎨⎧=x x e x f xλλλ (λ>0)又设n X X X ,,21 为从总体中抽出的简单随机样本,试求参数λ的极大似然估计.四、证明题（8分）设某总体其均值和方差分别为μ,2σ，21,x x 是总体的一个简单随机样本,试验证下列统计量(1)21143+41=ˆx x μ; (2)21232+31=ˆx x μ; (3)21385+83=ˆx x μ均为μ 的无偏估计量,并比较其有效性.附表：注：可带计算器F0.10 (5,5)=3.45 F0.10 (6,6)=3.05 F0.10 (5,6)=3.11F0.05 (5,5)=5.05 F0.05 (6,6)=4.28 F0.05 (5,6)=4.39t0. 05 (10)=1.812 t0.05 (11)=1.796 t0.05 (12)=1.782t0.025(18)=2.101 t0.025 (19)=2.093 t0.025 (20)=2.086t0.025(8)=2.306 t0.025 (9)=2.262 t0.025 (10)=2.2282008年2月25日。
概率论与数理统计考试试题及答案
)0.6B =2.015.0121武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称概率论与数理统计（A 卷）一、选择题（每小题3分，总计15分）1.D ；2.C ；3.C ；4.B ；5.B二、填空题（每小题3分，总计15分）6.；7.；8.；9.；10.三、计算题（共52分）11.解：设A i 分别表示所取产品是由甲、乙、丙车间生产（i=1,2,3）；B 表示所取产品为不合格品.由题设有,%25)(,%35)(,%40)(321===A P A P A P.05.0)(,04.0)(,02.0)(321===A B P A B P A B P ---------4分1)由全概率公式，得345.0)|()()(31==∑=i i iA B P AP B P ---------3分2)4058.06928345.004.035.0)()()|()()()|(2222≈=⨯===B P A P A B P B P B A P B A P --------3分 12.解：1）1210)(02==+=⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞-A dx Ae dx dx x f x ,故A =2 --------- 3分2）.3679.02)5.0(15.02≈==>-+∞-⎰e dx e X P x ----------- 3分3）对100,12<<>-=-y x e y x 时有当. 所以当0≤y 或1≥y 时，0)(=y f Y ； 当10<<y 时，分布函数{}⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=-)1ln(21)1ln(211)(2y F y X P y e P y F XX Y ； 11121)1ln(21)()(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴y y f dy y dF y f X Y Y . ⎩⎨⎧<<=∴其他，,0101)(y y f Y . ―――― 6分 13.解：(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律为————8分由上表可看到，j i ij p p p ..∙≠，所以X 和Y 不相互独立. --------2分14.解：设i X 表示第i 次射击时命中目标的炮弹数,则由题设有:)100,,2,1(5.1)(,2)(2 ===i X D X E i i 。
广州大学2018-2019概率论与数理统计A卷
广州大学2018-2019学年第一学期考试卷课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:___________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:__________警示：《广州大学授予学士学位工作细则》第五条：“考试作弊而被给予记过、留校察看 或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。
”一、选择题（每小题3分，总计15分）1．设总体)2,(~2μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差为2s ，则下列各式中不是统计量的是（ ）。
A. X 2 B. 22σs C.σμ-X D.22)1(σs n -2．设随机事件A 、B 互不相容，P(A)=p, P(B)=q ，则P(AB)＝（ ）。
A. (1−p)q B. pq C. q D. p3．下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）。
A. F (x )=11+x 2,−∞<x <+∞ B. F(x)={x <0x 1+xx ≥0C. F (x )=e −x ,−∞<x <+∞D. F (x )=34+12πarctanx,−∞<x <+∞4．设离散型随机变量X 的概率分布为 P(X =k)=k+110，k =0,1,2,3，则X 的数学期望E(X)＝（ ）。
A. 1.8B. 2C. 2.2D. 2.45．若(X, Y)服从二维均匀分布，则（）。
A．随机变量X, Y都服从一维均匀分布B．随机变量X, Y不一定服从一维均匀分布C．随机变量X或者Y服从一维均匀分布D．随机变量X + Y服从一维均匀分布二、填空题（每空3分，总计15分）6．设A、B为随机事件，P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8，则P(A + B)= 。
7．某射手在四次射击中至少命中一次的概率为8081，则此射手在一次射击中命中的概率为。
临沂大学 2020-2021《概率论与数理统计》期末考试A卷试题附答案
□08分
于是cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.950.150.142510分
6. 设总体X~b(1,p)，X1,X2,,Xn是取自总体X的一个样本，求：
(1)参数p的矩估计pˆ，说明该估计pˆ是否为p的无偏估计;(2)参数p的最大似然估计.
解(1)由于1E(X)p，所以pˆA1X，即pˆX为p的矩估计……2分
………6分
dn
□n
令lnL(p)xi
pnxi(1p)0,
………8分
□
□i1
□
□i1
1n
求X,Y的协方差Cov(X,Y) .
解 得p的 最 大 似 然 估 计 值
pˆxix.
i1
从 而p的 最 大 似 然 估 计 值
1n
解容易求得X的概率分布为P{X0}0.3,P{X1}0.45,
P{X2}0.25;
注意到E( Xi)E( X )p, i1, 2,, n
□11n
1n1
E(p)E(X )E(nXi)nE(Xi)npnnpp,
i1
i1
i1
故pˆ是p的无偏估计量…5分
（2）设x1, x2, , xn是X1, X2, Xn的一个样本值, X的分布律为
P{Xx}px(1p)1x,x0,1,故似然函数为
第3共3
P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.80.90.80.90.988分
f(y)f(x,y)dx11dx1y,
y
□0,
1y0,………8分
其它.
(3) 甲答对乙答概率为
(2)
f(x,y)
fX(x)fY(y),因而X和Y不相互独立10分
P(AB)P(A)P(AB)0.80.720.08.
安徽大学2017-2018高数概率论统计试卷
安徽大学2017—2018学年第一学期《高等数学A （三）》（概率论与数理统计）考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号一、 填空题（每小题2分，共10分）1．设()0.6P A =，()0.4P B =，(|)0.3P A B =，则(|)__________P A B =．2．设随机变量X 的概率密度函数01,()0,.x f x <<=其他，λ是(0,1)内的一个实数，且满足()()P X P X λλ<=>，则λ=____________．3．某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率为___________．4．设X 与Y 是两个独立同分布的随机变量，且1(0)3P X ==，2(1)3P X ==，则min(,)Z X Y =的分布律为________．5．已知2EX =，3EY =，4DX =，16DY =，()14E XY =，则由切比雪夫不等式可得(|32|3)P X Y −≤≥___________．二、选择题（每小题2分，共10分）6． 设A 和B 为随机事件，则()()()P A B P A P B −=−成立的充要条件是（ ）． （A ）B A ⊂ （B ）A B = （C ）()0P B A −= （D ）()0P A B =7．设1()F x 和2()F x 都是随机变量的分布函数，则为了使12()()()F x aF x bF x =−是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）．题 号 一 二 三 四 五 总分得 分阅卷人得分院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------得分（A ）35a =，25b = （B ）23a =，13b =− （C ）12a =−，32b = （D ）12a =，32b =−8．设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，记(,)f x y 表示(,)X Y 的联合概率密度函数；(),()X Y f x f x 分别表示X ，Y 的边缘概率密度函数；||(|),(|)X Y Y X f x y f y x 分别表示Y y =条件下X 的条件概率密度和X x =条件下Y 的条件概率密度．考虑下列式子： •(,)()()X Y f x y f x f y =； ‚()(,)()X Y f x f x y f y =； ƒ|(|)()X Y X f x y f x =； ○4|(|)()Y X Y f y x f y =． 其中正确的个数为（ ）．（A ）1个 （B ） 2个 （C ）3个 （D ）4个9．设随机变量X 和Y 有相同且不为零的方差，则相关系数1XY ρ=−的充要条件为（ ）． （A ）(,)0Cov X Y Y −= （B ）(,)0Cov X Y X −= （C ）(,)0Cov X Y X Y +−= （D ）(,)0Cov X Y Y +=10．设12,,,,n X X X L L 是相互独立的随机变量序列且都服从区间上的均匀分布，记()x Φ为标准正态分布的分布函数，则（ ）．（A）14lim ()n i i n X P x x n =→∞ −≤=Φ ∑ （B）2lim ()n i n X P x x →∞− ≤=Φ∑ （C）lim ()n i n X P x x →∞ ≤=Φ ∑ （D）lim ()n i n X P x x →∞≤=Φ∑三、分析计算题（每小题13分，共65分）11．甲袋中有3件正品2件次品，乙袋中有4件正品4件次品．先从甲袋中任取两件产品放入乙袋，再从乙袋中任取1件产品．（1）求取出的该产品是正品的概率；（2）若已知从乙袋中取出的产品是正品，求从甲袋中取出的是一件正品、一件次品的概率．得分12．设连续型随机变量X 的概率密度函数为()x f x Ce −=，x −∞<<+∞．求：（1）常数C 的值；（2）X 的分布函数()F x ；（3）Y X =的概率密度函数．13．袋中装有5个白球和3个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋中任取两个球，用i X 表示第i 次取到的白球数，1,2i =． （1）求12(,)X X 的联合分布律； （2）求事件12{0}X X =的概率；（3）判断1X 与2X 是否相关，并说明理由．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------14．已知二维随机变量(,)X Y 在以点(0,0)，(1,1)−，(1,1)为顶点的三角形区域内服从均匀分布．求：（1）()Y f y ；（2）|(|)X Y f x y ；（3）102P X Y>>．15． 设总体X 的概率分布为X1 2 3 P2θ2(1)θθ−2(1)θ−其中()01θθ<<是未知参数．利用总体X 的如下样本值1、1、2、1、3、2，求θ的矩估计值和极大似然估计值． 四、应用题（每小题10分，共10分）16．已知一种元件的寿命2~(,)X N µσ，并根据规定其平均寿命为1000小时．现从中随机抽取25个元件，测得样本均值950x =小时，样本标准差150s =小时．分别在下列两种情况：① 己知100σ=小时；② 未知σ下，检验这批元件是否符合规定要求．(0.05)α=（其中0.05 1.65u =，0.025 1.96u =，0.05(25) 1.7081t =，0.05(24) 1.7109t =，0.025(25) 2.0595t =，0.025(24) 2.0639t =）得分答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------五、证明题（每小题5分，共5分）17．设总体X 服从(0,1)N ，()12,,n X X X L 是来自总体的简单随机样本，11ni i X X n ==∑，()22111n ii S X X n ==−−∑分别为样本均值和样本方差，记221T X S n =−． 证明：2(1)DT n n =−．得分。
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一、 选择题（每题3分，共18分）
1、如果（ ）成立，则事件A 与B 互为对立。
（A ）、Φ=AB （B ）、Ω=⋃B A （C ）、Φ=AB 且Ω=⋃B A （D ）、A 与B 互不相容
2、每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
（A ） 2)1(p - （B ）21p - （C ）)1(3p - （D ）以上都不对
3、设随机变量X 的密度函数)(1)(2
+∞<<-∞+=
x x k
x p ，则k 的值是 （ ） （A ）
π
1
（B ）
π
2
（C ）
π
1
（D ）
π
2
4、设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本则（ ）
（A ）n X X X ,,,21 同分布 （B ）n X X X ,,,21 与X 同分布 （C ）n X X X ,,,21 独立同分布 （D ）n X X X ,,,21 与X 同分布且独立
5、 设Y X ,均服从正态分布，则协方差0),(=Y X Cov 是Y X 与相互独立的
（A ）、充分条件 （B ）、必要条件 （C ）、充要条件 （D ） 既不充分又不必要 6、矩估计是 （ ） （A ）点估计 （A ）、极大似然估计 （B ）、区间估计 （D ）、无偏估计
考 试 试 卷
考试课程：高数III(概率论与数理统计) 班 级： 专 业：信管、管理、经济各专业
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二、填空题（每题3分，共21分） 1、B A ,事件，则=⋃B A AB 。
2、已知,1.0)(=A P ,2.0)(=B p 且B A ,相互独立，则=)(AB p ；
)(AB p =
3、设二维随机变量的联合密度函数为其它1
0,10,
0,4)(<<<<⎩⎨
⎧=y x xy x p ，则
=<<)5.00(X p
4、设总体X 的密度函数为)(x p ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，则n X X X ,,,21 的联合密度函数为 。
5、假设检验所依据的原则是 。
6、设51,,X X 为来自于总体)1,0(N 的样本，则
51X X ++ ~ ；2
5
21X X ++ ~ 。
7、设一元线性回归模型),0(~,2σεεN bx a y ++=，如果x 是普通变量,则~y ________
三、（10分）设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨
⎧≤≤=其它
,
01
0,
)(2x ax x f
求：1、a 的值 2、 DX EX , 3、 分布函数)(x F
考 试 试
卷
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四、设n X X ,,1 为来自于总体X 的样本，总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤=-其它
,
00,1)(x e
x f x
θ
θ
，
试求参数θ的矩估计量∧
θ 。
（10分）
五、（10分）二维随机变量（Y X ,）服从区域D ：20,10≤≤≤≤y x 上的均匀分布，
试求：1、Y X ,的联合密度函数),(y x f ，
2、Y X ,的边缘密度函数)(),(y f x f Y X ，
3、)(XY E 。
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六、一台机床有
3
1
的时间加工零件A ，其余的时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率是0.3，加工零件B 时，停机的概率是0.4。
（10分） 1、求这台机床停机的概率；
2、发现停机了，求它是在加工零件B 的概率。
七、袋中有红、黄、白色球各1只，每次任取1只球，进行有放回抽样3次，求取到的3只球中没有红球或没有黄球的概率。
（10）
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八、设某厂生产的100瓦灯泡的使用寿命X ~)100,(2μN （单位：小时）。
现从某批灯泡中抽取5只，测得使用寿命如下：
1455， 1502， 1370， 1610， 1430
试求这批灯泡平均使用寿命的置信度为0.95的置信区间（11分） （已知96.1,64.1025.005.0==u u ）。