信号与线性系统 第9讲
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x
2
F ( j ) A(e
j
2
e
j
2
1 )( ( ) ) j
2 Aj sin( / 2) ( ) 2 Asin( / 2) / ASa( / 2)
作业：3.13
1 ( j 2)( j 3)
1 1 F ( j ) ( j 2) ( j 3)
f (t ) (e2t e3t ) (t )
二 、延时特性：
f ( t t 0 ) F ( j )e jt
0
F ( j ) e j[ ( )t0 ]
a0 f ( t ) C n cosnt n 2 n 1
C n an bn
2
2
bn n arct an an
振幅频谱： Cn 相位频谱 : n Cn
都是 的函数 n
0
( n)
0
周期信号三角函数形式的频谱为单边频谱
Cn
Cn
0
2
4
傅氏变换
二 密度频谱
j ( ) F ( j ) f ( t )e jt dt F ( j ) e
F ( j ) : 幅度频谱
( j ) : 相位频谱
问题1：何谓密度频谱？
An An l i m F ( j ) lim T 1 / T T f
F ( j ) : 幅 度 频 谱
( ) t 0 : 相 位 频 谱
一个信号延时，幅度频谱不变，只是相频增加一个线性因子。
F（j )
F（j )
( )
t 0
原始图象
付里叶重建图象
幅频特性不变
相频特性不变
例２：
A y
f ( t ) A[ ( t ) ( t )] 2 2
0
0
3
2
4 门函数 AG ( t ) A y
x
2
AG ( t ) A Sa(
2
)
5 阶跃函数
注意：不满足绝对可积条件
1 ( t ) ( ) j
** §3.5
傅立叶变换的基本性质
一 、线性特性： a f1 (t ) b f 2 (t ) a F1 ( j ) b F2 ( j ) 例１：F ( j )
以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽略不计
以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计
4：共轭对称性
F ( jw ) F ( jw )
*
幅度频谱是偶函数;
相位频谱是奇函数;
5、若f(t)实偶，则F(jw)为w的实偶函数；
若f(t)实奇，则F(jw)为w的虚奇函数；
四 常用函数傅立叶变换(4个） 1：冲激函数
An
0
2
4
双边频谱（两谱合一）
§3.4 非周期信号的傅立叶变换及密度频谱
**1 熟练掌握非周期信号傅立叶变换定义
2 深刻理解从周期函数傅氏级数到非周期函 数傅立叶变换的演变
3 区分周期信号的频谱和密度频谱
4 熟练掌握常用函数的傅氏变换
一、非周期信号的傅立叶变换
傅氏变换： F ( j ) f (t )e jt dt
1.e j t dt
3：单边指数函数
f(t)=e-at ε(t) (a>0)
j t
F ( j ) 0 f ( t )e
幅频
1 dt j
2
( 0)
F ( j )
1
1 2
1
2
相频
( ) arctg ( )
( )
振幅频谱： An 相位频谱 : n
都是 的函数
An
0
2
4
0
n 0 1/4 1
2 2
2
4 0 5
4
6
an
幅度
2 10
2 10
2 2
0
0 0
1 12 1 12
相位
y
指数形式：
A
2
x T
A sin(n / 2) jnt f (t ) e T n＝ n / 2
0
2
4
单边幅度频谱
单边相位频谱
当 f(t) 为偶函数， Cn an Cn
0
2
4
两谱合二为一
周期信号指数级数频谱
f ( t ) A n ( n )e jnt
n
An 是复变函数 : An An e j , n ( ,)
n
例：
A y
x
2
F ( j ) ASa( / 2) 幅度： F ( j ) A Sa( / 2)
F ( j)
2 /
(w)
2
0
4
w
例：
A y
x
2
2 /
三 狄利赫利条件绝对可积的条件：
非周期信号f(t)
傅氏变换：
f ( t ) .dt
F ( j ) (t )e j t dt ＝1
根据傅立叶反变换
1 j t (t ) 1 . e d 2 1 j t (t ) 1 . e d 2 1 ( ) 2
2：直流信号
1 2 ( )
傅氏反变换： f (t )
1 j t F ( j )e d 2
f ( t ) An e jnt
n
T
1 f 0 T
1 T /2 An T / 2 f ( t )e jnt dt T
0
定义表示各量相对幅度的函数
An F ( j ) f ( t )e jt dt 1/T
F ( j ) f ( t )e jt dt
称其是非周期信号f(t）的频谱密度函数（简称频谱函数） 傅氏反变换：
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
三 密度频谱的特点
y
A
2
x T
A n jnt 傅立叶级数： f (t ) )e Sa( T n＝ 2
0
y
AFra Baidu bibliotek
2
x T
傅立叶级数： A n jnt f (t ) )e Sa( T n＝ 2
A y
x
2
/2
解1：F ( j )
f (t )e
jt
A j t dt j e
ASa( / 2)
/ 2
解2：F ( j ) lim An ASa( / 2) T 1 / T
An
0 A y
2
4
x
2
F ( j ) ASa( / 2)
1：时域非周期－>频域连续
时域周期－>频域离散
2：包络一致性
An F ( j ) 1/T
n
1 An F ( j ) n T
3：收敛性
同样定义有效频宽
以信号最大幅度的1/10为限，其它部分忽略不计
2
F ( j ) A(e
j
2
e
j
2
1 )( ( ) ) j
2 Aj sin( / 2) ( ) 2 Asin( / 2) / ASa( / 2)
作业：3.13
1 ( j 2)( j 3)
1 1 F ( j ) ( j 2) ( j 3)
f (t ) (e2t e3t ) (t )
二 、延时特性：
f ( t t 0 ) F ( j )e jt
0
F ( j ) e j[ ( )t0 ]
a0 f ( t ) C n cosnt n 2 n 1
C n an bn
2
2
bn n arct an an
振幅频谱： Cn 相位频谱 : n Cn
都是 的函数 n
0
( n)
0
周期信号三角函数形式的频谱为单边频谱
Cn
Cn
0
2
4
傅氏变换
二 密度频谱
j ( ) F ( j ) f ( t )e jt dt F ( j ) e
F ( j ) : 幅度频谱
( j ) : 相位频谱
问题1：何谓密度频谱？
An An l i m F ( j ) lim T 1 / T T f
F ( j ) : 幅 度 频 谱
( ) t 0 : 相 位 频 谱
一个信号延时，幅度频谱不变，只是相频增加一个线性因子。
F（j )
F（j )
( )
t 0
原始图象
付里叶重建图象
幅频特性不变
相频特性不变
例２：
A y
f ( t ) A[ ( t ) ( t )] 2 2
0
0
3
2
4 门函数 AG ( t ) A y
x
2
AG ( t ) A Sa(
2
)
5 阶跃函数
注意：不满足绝对可积条件
1 ( t ) ( ) j
** §3.5
傅立叶变换的基本性质
一 、线性特性： a f1 (t ) b f 2 (t ) a F1 ( j ) b F2 ( j ) 例１：F ( j )
以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽略不计
以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计
4：共轭对称性
F ( jw ) F ( jw )
*
幅度频谱是偶函数;
相位频谱是奇函数;
5、若f(t)实偶，则F(jw)为w的实偶函数；
若f(t)实奇，则F(jw)为w的虚奇函数；
四 常用函数傅立叶变换(4个） 1：冲激函数
An
0
2
4
双边频谱（两谱合一）
§3.4 非周期信号的傅立叶变换及密度频谱
**1 熟练掌握非周期信号傅立叶变换定义
2 深刻理解从周期函数傅氏级数到非周期函 数傅立叶变换的演变
3 区分周期信号的频谱和密度频谱
4 熟练掌握常用函数的傅氏变换
一、非周期信号的傅立叶变换
傅氏变换： F ( j ) f (t )e jt dt
1.e j t dt
3：单边指数函数
f(t)=e-at ε(t) (a>0)
j t
F ( j ) 0 f ( t )e
幅频
1 dt j
2
( 0)
F ( j )
1
1 2
1
2
相频
( ) arctg ( )
( )
振幅频谱： An 相位频谱 : n
都是 的函数
An
0
2
4
0
n 0 1/4 1
2 2
2
4 0 5
4
6
an
幅度
2 10
2 10
2 2
0
0 0
1 12 1 12
相位
y
指数形式：
A
2
x T
A sin(n / 2) jnt f (t ) e T n＝ n / 2
0
2
4
单边幅度频谱
单边相位频谱
当 f(t) 为偶函数， Cn an Cn
0
2
4
两谱合二为一
周期信号指数级数频谱
f ( t ) A n ( n )e jnt
n
An 是复变函数 : An An e j , n ( ,)
n
例：
A y
x
2
F ( j ) ASa( / 2) 幅度： F ( j ) A Sa( / 2)
F ( j)
2 /
(w)
2
0
4
w
例：
A y
x
2
2 /
三 狄利赫利条件绝对可积的条件：
非周期信号f(t)
傅氏变换：
f ( t ) .dt
F ( j ) (t )e j t dt ＝1
根据傅立叶反变换
1 j t (t ) 1 . e d 2 1 j t (t ) 1 . e d 2 1 ( ) 2
2：直流信号
1 2 ( )
傅氏反变换： f (t )
1 j t F ( j )e d 2
f ( t ) An e jnt
n
T
1 f 0 T
1 T /2 An T / 2 f ( t )e jnt dt T
0
定义表示各量相对幅度的函数
An F ( j ) f ( t )e jt dt 1/T
F ( j ) f ( t )e jt dt
称其是非周期信号f(t）的频谱密度函数（简称频谱函数） 傅氏反变换：
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
三 密度频谱的特点
y
A
2
x T
A n jnt 傅立叶级数： f (t ) )e Sa( T n＝ 2
0
y
AFra Baidu bibliotek
2
x T
傅立叶级数： A n jnt f (t ) )e Sa( T n＝ 2
A y
x
2
/2
解1：F ( j )
f (t )e
jt
A j t dt j e
ASa( / 2)
/ 2
解2：F ( j ) lim An ASa( / 2) T 1 / T
An
0 A y
2
4
x
2
F ( j ) ASa( / 2)
1：时域非周期－>频域连续
时域周期－>频域离散
2：包络一致性
An F ( j ) 1/T
n
1 An F ( j ) n T
3：收敛性
同样定义有效频宽
以信号最大幅度的1/10为限，其它部分忽略不计