西城区2013.7-1(理)期末试题答案

北京市西城区（北区）2012 — 2013学年度第二学期学业测试
高二数学（理科）参考答案及评分标准 2013.7
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. D ；
2. C ；
3. D ；
4. B ；
5. D ；
6. C ；
7. A ；
8.A . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 160； 10.
1
2
； 11. 34；
12. 1-； 13. 90； 14. ○2，○3. 注：第14题多选、少选均不得分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A . ………………………… 1分
因为甲每次投篮命中的概率为
1
3
， 所以甲投篮一次且没有命中的概率为 12
133-
=. ………………………… 2分 同理，乙投篮一次且没有命中的概率为 11
122
-=， ………………………… 3分
所以 111
()(1)(1)323
P A =-⨯-=.
答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为 1
3
． ………………………… 6分
（Ⅱ）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B . ………………………… 7分
因为甲每次投篮命中的概率为
13
， 所以甲投篮3次，且都没命中的概率为 0
3
318
C (1)3
27⨯-=
， ………………………… 9分 甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为1
23114C (1)339
⨯⨯-=. ……………………… 11分
所以 8420()27927
P B =+=. 答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为20
27
. ………………………… 13分
16.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得121
n
n n a a a +=
+， ………………………… 1分
因为 112a =
， 所以 223a =，345a =，48
9
a =. ………………………… 3分
（Ⅱ）解：由1a ，2a ，3a ，4a ，猜想1
1221n n n a --=+. ………………………… 5分
以下用数学归纳法证明：对任何的*
n ∈N ，1
1221
n n n a --=+.
证明：① 当1n =时，由已知，左边12
=
，右边=
11
112=+，所以等式成立. ……………… 7分 ② 假设当()n k k =∈*
N 时等式成立，即1
1221
k k k a --=+， ………………………… 8分
则1n k =+时，1
1111122222212122121
121
k k k k k k k k k
k k a a a -+----⨯+====++++++， 所以 当1n k =+时，猜想也成立. ………………………… 12分
根据 ① 和 ②，可知猜想对于任何n ∈*
N 都成立. ………………………… 13分 17.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为 21()2e 2x f x -'=-. …………………………2分
令 ()0f x '=，解得1
2
x =
. ………………………… 3分 当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：
………………………… 5分 所以函数()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在1(,)2
+∞上单调递增. ………………………… 6分
（Ⅱ）解：当1
12
b +≤时， 因为函数()f x 在(,1)b b +上单调递减，
所以当1x b =+时，函数()f x 有最小值21(1)e 22b f b b ++=--. ………………………… 8分
当1
12
b b <<+时， 因为函数()f x 在1(,)2
b 上单调递减，在1(,1)2
b +上单调递增，
所以当12x =时，函数()f x 有最小值1
()02f =. ………………………… 10分
当1
2
b ≥时，
因为函数()f x 在(,1)b b +上单调递增，
所以当x b =时，函数()f x 有最小值21()e 2b f b b -=-. ………………………… 12分 综上，当12b ≤-
时，函数()f x 在[,1]b b +上的最小值为21(1)e 22b f b b ++=--； 当1122b -<<时，函数()f x 在[,1]b b +上的最小值为1
()02f =；
当12
b ≥时，函数()f x 在[,1]b b +上的最小值为21
()e 2b f b b -=-. ………………… 13分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题意，得取出的3个球都是白球时，随机变量6X =. ………………………… 1分
所以 3434C 2
(6)C 5
m P X +===， ………………………… 3分
即 34C 10m +=，
解得 1m =. ………………………… 5分
（Ⅱ）解：由题意，得X 的可能取值为3，4，5，6． ………………………… 6分
则 3337C 1(3)C 35
P X ===，
213437C C 12
(4)C 35
P X ===，
123437C C 18
(5)C 35
P X ===．
34
37C 4(6)C 35
P X ===
. ………………………… 10分 X 的分布列为：
………………………… 11分
所以 11218433
()3456353535357
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. ………………………… 13分 19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：设空间向量123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b ，且a 与b 的夹角为θ，
因为 ||
||cos θ⋅
⋅a b =a b ,
所以 ||||⋅⋅≤a b a b ， ………………………… 3分 即 112233a b a b a b ++ ………………………… 6分
所以 2222222
112233123123
()()(
)a b a b a
b a a a b b b ++++++≤，
当且仅当0θ=时，等号成立.
………………………… 7分 （Ⅱ）解：设空间向量
(1,1,1),
=
=a
b ，且a 与b 的夹角为θ， …………9分
因为 y
=⋅a b ，
所以
y =
即
y =
………………………… 12分 当且仅当
0θ=（即a 与b 共线，且方向相同）时，等号成立. =2x =时，函数y =
max y = ………………………… 14分
20.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为 2
1()(2)2
f x x f x '=
-， 所以 ()(2)f x x f ''=-, ………………………… 2分
令 2x =，得(2)1f '=， 所以 2
1()2
f x x x =
-. ………………………… 4分 （Ⅱ）解：设()()()ln F x f x g x x x =+=-,
则 1
()1F x x
'=
-. ………………………… 5分 令 ()0F x '=，解得1x =. ………………………… 6分 当x 变化时，()F x 与()F x '的变化情况如下表：
所以当1x =时，max ()(1)1F x F ==-. ………………………… 8分 因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()()a f x g x +≤成立，
所以 1a -≥. ………………………… 9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ），得1()ln F x x x -=-≤，即1ln x x -≤.
令 1
1122
x x a x a x =
+，得 11112211221ln x x a x a x a x a x -++≤，
令 2
1122x x a x a x =
+，得 2211221122
1ln x x a x a x a x a x -++≤， ………………………… 11分
所以 1212
12121122112211221122
1)1)ln ln ((a a x x x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x -+-++++≤+，
因为
121=+a a ，
所以 12
121211221122
ln
ln 10a a x x a a a x a x a x a x --=++≤+， ………………………… 13分
所以 111112222211220ln ln()ln ln()a x a a x a x a x a a x a x -+-+≤+， 即 11221211221122(ln ln )ln()ln()a x a x a a a x a x a x a x ++=+≤+，
所以 12
121122ln()ln()a a x x a x a x ⋅+≤，
所以 12121122a a x x a x a x ⋅+≤. ………………………… 14分。