江苏省2020届高三数学教学情况调研试题(一)
2020届徐州高三 一检数学试卷参考答案
徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学I 参考答案与评分标准一、填空题：1．{12}x x −<< 2．2i − 3．45 4．20 5．[4,+)∞ 6．127．48．14 9．135 10．3π 11．22(2)8x y ++= 12．3 13．47 14．34二、解答题： 15．（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分 又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ，所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分 16．（1）在中，由余弦定理2222cos b c bc A a +−=得，2520225255b b +−⨯⨯=，即2450b b −−=， …………………………4分 解得5b =或1b =−（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2）由5cos A =及0A <<π得，22525sin 1cos 1()5A A =−=−=，…8分 所以210cos cos(())cos()(cos sin )42C A B A A A π=π−+=−+=−−=， 又因为0C <<π，所以2210310sin 1cos 1()10C C =−=−=， 从而310sin 10tan 3cos 1010C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===−−−．………………………………………14分 17．（1）在SAO △中，2222534SO SA AO =−=−=， …………………………2分由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R=，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =−，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =−=−<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =−<<，所以24()π(63)9V r r r '=−，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增；ABC △AP NMCB当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减． 所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =． 答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分 18．（1）直线l 的方程为)(a x k y −=，即0=−−ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+−12，故2222b a b k −=． 所以椭圆C的离心率e ==4分（2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=−=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y −=−=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q −，…6分 由⎪⎩⎪⎨⎧−==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=−+−+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +−=，则22222222232)(k a b k ab a k a b ab k a k y p +−=−+−=， 所以)2-2222222223ka b kab k a b ab k a P ++−，（，……………………………………………10分 因为0=⋅，所以02)(222222222232=+−⋅−++−⋅k a b kab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a −=−，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k −=，所以22422222)(2)(ba c ab b b a b a a −−=−−， 所以c a a 22−=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19．（1）()2111()ln f x x a x x x'=+−，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +−=，所以(1)11f a '=−=−，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax x f x x−+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =−+存在两个不相等的零点，则1()g x a x'=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分 ②当0a <时，因为当1(0)x a∈−，时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(+)x a∈−∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1x a =−时，max 11()()ln()2g x g a a=−=−−． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a−−>，解得2e 0a −−<<．………7分因为2e 0a −−<<，所以21e 1a−>>．因为(1)10g a =−<，所以()g x 在1(0)a−，上存在一个零点． …………8分因为2e 0a −−<<，所以211()a a−>−．因为22111[()]ln()1g a a a −=−+−，设1t a=−，则22ln 1(e )y t t t =−−>，因为20t y t−'=<，所以22ln 1(e )y t t t =−−>单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <−−=−<，所以22111[()]ln()10g a a a−=−+−<，所以()g x 在1()a−+∞，上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)−−．…………………………………10分 （3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =−，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x−+'=+−=， 设()21ln g x x x =−+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分 因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =−=−−=−++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈−，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ−≤，即λ的最大值为1−．………16分20．（1）由11n n a ka +=−，13a =可知，231a k =−，2331a k k =−−，因为{1}n a −为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a −=−−，即22(32)2(32)k k k −=⨯−−，即231080k k −+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +−=−，所以3n a =，则12n a −=，所以数列{1}n a −的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +−=−，所以数列{1}n a −的公比1121n n a q a +−==−，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12n n a −=，所以4n n n n b n − , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =−++−+++−−+2(41)(43)[4(21)]444m m =−+−++−−++++144(4)3m m m +−=−+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m −−=−=−+，因为22+1324m m m b b m +=−+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++−+=⨯−>， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S −>，则20m S >，设2210,m t m Sb t S −=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S −时，144(4)3344(4)3m mm m m m +−−+=−−+，化简得2624844m m m −+=−−≤， 即242m m −+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m mm mm m SS m m m m +−−−+==+−−+−−++， 设231244m m m m c −+−=，则211942214m m m m m c c ++−+−=，由①知3m >，当4m =时，545304c c −−=<；当4m >时，10m m c c +−>，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c −=， 所以22130151911024m m S S −<<+<−+，令22214m m S b S −==，则2314312414mm m +=−+−+， 即231240m m −+−=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分（第22BAC xyzB 1 A 1C 1 徐州市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ−−==−−−−−．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =−=，所以2t =．…………5分 所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222−−⎡⎤⎡⎤−⎢⎥⎢⎥⨯−⨯⨯−⨯==⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⨯−⨯⨯−⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分 B ．由:cos sin 120l ρθρϕ+−=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +−=． ………………………………………2分在曲线C 上取点()232sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离 ()4sin 12124sin 23cos 2sin 1233222d ϕϕϕϕππ+−−++−==，…………6分 当6ϕπ=时，d 取最小值428分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x +++++111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++ ………………………………………………………5分 2111(222)9222x y y z z x x y y z z x++++=+++≥， 当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x +++++的最小值为3．………………………………………………………10分 22．（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . ……………………………2分以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线 为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz −.不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒， 所以1(0 1 3)C ，，，所以1( 2 1 3)AC =−，，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α， 则1|3|6sin |cos ,|221AC α=<>==⨯n ，即直线1AC 与平面11AA B B 6………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 3)C −，，，所以()10 2 0CC =，，．设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ，因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ⎧⋅−=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1)=，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，， 所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=−，n ．…………8分设二面角1B AC C −−的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=−<>=−==⋅，n n n n n n所以二面角1B AC C −−10分23．（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x −=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k −−−===−−−，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =−==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k −==−=−∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k kk n k k n nk k n k −−===−∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n −−−==+−∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n −−−−==−∑1121()333n n n −=−+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =−∑的值为23n ．………………………………………………10分。
江苏泰州2020年高三调研考试-【数学】(含答案及评分细则)
江苏泰州2020年高三第二学期调研测试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则A U B ＝ ．2．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则xy ＝ ．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为 ．5．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为 ．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则1x y -=的概率是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为 ．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，则(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为 ．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R ＝ ．11．若函数2()1x a x af x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是 ．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB 3AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=u u u r u u u r u u r u u u r，ED 1=u u u r ，则实数λ的值为 ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BDCD的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．（本小题满分14分）已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）； （2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1xxf x e =-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1． （1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B —DF —C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若n ＝3，求3T ；（2）若n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1. {}1,2,4,82.123. 804. 85.6.518 7. 128. 192 9. 1- 10. 611. (1](0,1]-∞-U 12. - 13. 3 14. (1,2] 二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分 因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面，所以//BC PDE 平面． ……………6分 （2）因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面，所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面， 所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-，所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =- ……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-sin(2)24x π=- ……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x ，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分（2）因为()f α=)4πα-=，即1sin(2)43πα-=， 因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)422πππα-∈-，则cos(2)4πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-13== ……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分 （2）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin ,24cos MB AM θθ==， 24cos 12MD θ=-， 由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分则池内休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分 设()()sin 2cos 1f θθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为 ()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增， 当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减， 即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+ ……………13分 答：（1）池内休息区总面积为2144(2-m ；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.（本题满分16分）解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分 （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2288112122k S k k k k====+++≤所以当且仅当2k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，=，则322220k k k -+-= (0)k >， 令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断， 所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.（本题满分16分）解：（1）函数()1xxf x =-e 是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x =-e ，则1()x xf x -'=e，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()1x x f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e ， 故函数()1x xf x =-e是“YZ 函数”． ……………4分（2）定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-，当0m ≤时，1()0g x m x'=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x'=->，函数单调递增， 当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减， 所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--， 由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e ． ……………10分 （3）证明： 2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ， 因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<， 当10x x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增；当12x x x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分 由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--，因为2a -≤，01b <<， 所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<． 所以函数()h x 是“YZ 函数”． ……………16分 （其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+，当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数 列． ……………5分（2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++L ，所以1121n n n a d d d d ++=++++L ，两式相减得11n n n a a d ++-=，因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=， 所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n n n n b b b b +++=⋅， 即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分 设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分 所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为(sin cos cos sin )44ππρθθ+=， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分 设P点的坐标为()cos αα， ∴点P到直线的距离d ==8分 当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++ ………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤． ………………10分22.（本小题满分10分）解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=， 即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADE ABCD AD =I 平面平面， DE ∴⊥平面ABCD ,由四边形ABCD 为边长为2的正方形,所以,,DA DC DE 两两互相垂直． 以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE u u u r u u u r u u u r 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴（1）()2,0,2AE =-u u u r ,()0,1,2DF =u u u r ，则cos ,AE DF AE DF AE DF ⋅<===⋅>u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v , 所以AE 和DF所成角的余弦值为5. ……………5分（2）()2,2,0DB =u u u r ,()0,1,2DF =u u u r ,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r ， 由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ,取1z =,得)1,2,2(-=n ρ,Q 平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =u r ,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯v v v v v v , 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii) 因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-； ……………8分 又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． ……………10分。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷
江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知i为虚数单位，复数，则＝________．2.已知集合A＝，B＝，若A B中有且只有一个元素，则实数a的值为________．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝________．5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．6.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为________．7.“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列的前n项和为，，，则＝________．9.已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________．10.已知，( ，)，则＝________．11.如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为________.12.在△ABC中，( )⊥( ＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是________．13.若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是________．14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为________．二、解答题（共11题；共100分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝0．（1）求A；（2）已知a＝2 ，B＝，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．19.已知函数(m R)的导函数为．（1）若函数存在极值，求m的取值范围；（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．20.已知数列，，数列满足，n．（1）若，，求数列的前2n项和；（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．21.已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sin q.（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.23.已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A，B 两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG 的面积为S.（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.答案解析部分一、填空题1.【答案】2.【答案】23.【答案】0.084.【答案】35.【答案】6.【答案】67.【答案】必要不充分8.【答案】-2n+19.【答案】y=x-310.【答案】11.【答案】12.【答案】313.【答案】(1，)14.【答案】二、解答题15.【答案】（1）解：∵b cos A﹣a sin B＝0．∴由正弦定理可得：sin B cos A﹣sin A sin B＝0，∵sin B＞0，∴cos A＝sin A，∴tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝（2）解：∵a＝2 ，B＝，A＝，∴C＝，根据正弦定理得到∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝＝616.【答案】（1）证明：连结AC交BD于点O，连结OE因为四边形ABCD为平行四边形∴O为AC中点，又E为PC中点，故AP∥OE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP∥平面EBD（2）证明：∵△PCD为正三角形，E为PC中点所以PC⊥DE因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，又BD平面ABCD，BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD，故PC⊥BD又BD DE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE，所以BE⊥PC17.【答案】（1）解：以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]（2）解：设P( ，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝，，令，，则：，当且仅当即，即，即时取等号；故P( ，)时视角∠EPF最大，答：P( ，)时，视角∠EPF最大18.【答案】（1）解：设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为（2）解：由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D( ，)，E( ，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直线l的方程为19.【答案】（1）解：因为，所以，所以，则，由题意可知，解得（2）解：由（1）可知，，所以因为整理得，设，则，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，设，是关于开口向上的二次函数，则，设，则，令，则，所以单调递增，因为，所以存在，使得，即，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，又由题意可知，所以，解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}20.【答案】（1）解：因为，，所以，且，由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是首项和公比均为4的等比数列，所以（2）解：①证明：设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，当n为偶数时，，，若，则当时，，即，与题意不符，所以，综上，，原命题得证；②假设可以为等比数列，设公比为q，因为，所以，所以，，因为当时，，所以当n为偶数，且时，，即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，所以数列不能为等比数列21.【答案】解：设矩阵M＝，则AM＝，所以，解得，所以M＝，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为22.【答案】（1）解：∵曲线C的极坐标方程为，∴，则,即（2）解：，∴，联立可得，（舍）或，公共点( ，3)，化为极坐标(2 ，)23.【答案】解：因为即，当且仅当，，时，上述等号成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以x+y+z=t＝424.【答案】（1）解：由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40且，，所以，即随机变量X的概率分布为X10 20 40P所以随机变量X的数学期望（2）解：由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，因为60＝20×3＝40＋10＋10，所以25.【答案】（1）解：设，则，抛物线C的方程可化为，则，所以曲线C在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，因为两切线均过点G，所以，所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为（2）解：设点G( ，)，由（1）可知，直线AB的方程为，即，将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，所以，，解得，因为直线AB的斜率，所以，且，线段AB的中点为M ，所以直线EM的方程为：，所以E点坐标为(0，)，直线AB的方程整理得，则G到AB的距离，则E到AB的距离，所以，设，因为p是质数，且为整数，所以或，当时，，是无理数，不符题意，当时，，因为当时，，即是无理数，所以不符题意，当时，是无理数，不符题意，综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．11 / 11。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次教学情况调研数学试题(带答案解析)
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
25．已知抛物线C:x24py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
评卷人
得分
二、解答题
15．在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣ asinB＝0．
（1）求A；
（2）已知a＝2 ，B＝ ，求△ABC的面积．
16．如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次教学情况调研
数学试题
第II卷（非选择题)
评卷人
得分
一、填空题
1．已知i为虚数单位，复数 ，则 ＝_______．
2．已知集合A＝ ，B＝ ，若A B中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．
3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．
19．已知函数 (m R)的导函数为 ．
（1）若函数 存在极值，求m的取值范围；
（2）设函数 （其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不等式 在(0， )上恒成立，求正整数k的取值集合．
20．已知数列 ， ，数列 满足 ，n ．
（1）若 ， ，求数列 的前2n项和 ；
江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题 Word版含答案
南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}， 则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已 知 函 数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。
C04-江苏省常州市2020届高三第一学期期末调研数学试题(PDF解析版)
17．（本小题满分 14 分）
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如图，在平面直角坐标系
sin cos
2 ，即 tan ＝
2
， tan 2
2 tan 1 tan2
＝－2
2
11．答案：2
解析：显然 OA＝ a ，双曲线的渐近线为 y b x ，不妨设过 A 做 x 轴的垂线与 y b x
a
a
交于 B，则 B 点坐标为（ a ，b），即 AB＝b，在直角三角形 OAB 中，OB2＝OA2＋AB2，即
xOy
中，椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ，
椭圆右顶点为 A ，点 F2 在圆 (x 2)2 y2 1 上。
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）点 M 在椭圆 C 上，且位于第四象限，点 N 在圆 A 上，且位于第一象限，已知
AM
12．已知函数 f (x) lg(x 2) , 互不相等的实数 a，b 满足 f (a) f (b) ，则 a 4b xOy 中，圆 C : x2 2ax y2 2ay 2a2 1 0 上存在点 P 到点（0,1）
的距离为 2，则实数 a 的取值范围是
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4 a 2＝ a 2＋b2，解得： b
3a ，所以，离心率为： e c a
2020届江苏省徐州市高三上学期第一次质量抽测数学试题(解析版)
2i
【答案】
【解析】
【分析】
zabia,bR
设
，可知0，利用复数的乘法法则可得出关于实数a、的方程组，解出即可.
bb
2
zabia,bR
abiab2abi4
，
【详解】设
，由题意可知z2
2
2
4
a
2
b
2
a
0
2ab0
b0
2
z
i
则
，解得
b2，因此，
.
2i
故答案为：
求出实数a的值.
【详解】由于函数
yfx
xfx
f
是定义在R上的奇函数，则
，
1xf1x
又该函数的图象关于直线x
1对称，则
f
，
f2xf11xfxfx
f
4xfx2fx
所以，
，则
，
yfx
4
是周期为的周期函数，
所以，函数
a
2020ln2fln2fln2ee
28
a3.
，解得
所以f
ln2
ln2
a
a
3
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数
ABAD
uuuruuur
ACAE
利用基底
表示向量
，结合等式
可得出cosADE
的表达式，
2
然后利用基本不等式可求出cosADE的最小值.
uuuruuuruuur
BDDEEC
【详解】由于D、是
上的两个三等分点，则
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次教学情况调研数学试题(学生版)
2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知i 为虚数单位，复数11i z =+，则z ＝_______．2.已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A I B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为_______．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______． 5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是_____． 6.下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为_______．7.“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝_______． 9.已知点M 是曲线y ＝2lnx ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．10.已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4π，π)，则sin 2α＝_______．11.如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12.在△ABC 中，(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 13.若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是_______．14.如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bcosA 3＝0．（1）求A ；（2）已知a ＝3B ＝3π，求△ABC 的面积． 16.如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE ⊥PC ．17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF )最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12．且经过点(1，32)，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为1：7，求直线l 的方程．19.已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R )的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )x h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．20.已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，n N *∈．（1）若n a n =，2n n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21.已知矩阵1323,2111A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线l的参数方程为22cos 2x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ.（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 公共点的极坐标.选修4—5：不等式选讲23.已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22249x y z ++的最小值为87，求实数t 的值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，.线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S（2）当点G由.的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理。
苏 苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研(一)含答案
苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12n x x x L ，，，的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 球的体积34π3V R =，其中R 表示球的半径． 柱体的体积V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1.已知i 为虚数单位，复数11z i=+，则｜z ｜= ． 2.已知集合A ={x ｜0≤x ≤1}，B ={x ｜a -1≤x ≤3}，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x =，则a = ． 5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 ． 6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 ．7.“直线l 1:ax +y +1=0与直线l 2:4x +ay +3=0平行”是“a =2”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=9，9595S S -＝－4，则a n = ．9.已知点M 是曲线y =2ln x +x 2-3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．10.已知3cos2α＝4sin(π4－α)，α∈(π,π4)，则sin2α= ． 11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．ED CBA （第6题图） （第11题图）12.在∆ABC 中，()AB AC BC λ-⊥u u u r u u u r u u u r（1λ>），若角A 的最大值为π6，则实数λ的值是 ．13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是 ． 14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB=OC ，则∆ABC 面积的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研 数学(含答案)z
苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1.已知i 为虚数单位，复数11z i =+，则｜z ｜=2.已知集合A ={x ｜0≤x ≤1}，B ={x ｜a -1≤x ≤3}，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x=，则a = 5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为7.“直线l 1:ax +y +1=0与直线l 2:4x +ay +3=0平行”是“a =2”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=9，9595S S -＝－4，则a n = 9.已知点M 是曲线y =2ln x +x 2-3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为10.已知3cos2α＝4sin(4π－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为12.在∆ABC 中，，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB =2OC ，则∆ABC 面积的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研数学试题(一)
江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把[答案]直接填写在答题卡相应位置上。
1.已知i为虚数单位，复数11zi=+，则｜z｜=2.已知集合A={x｜0≤x≤1}，B={x｜a-1≤x≤3}，若A⋂B中有且只有一个元素，则实数a的值为3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2221(0)4x yaa-=>的一条渐近线方程为23y x=，则a=5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是6.右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为7.“直线l1:ax+y+1=0与直线l2:4x+ay+3=0平行”是“a=2”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{a n}的前n项和为Sn，a1=9，9595S S-＝－4，则a n=9.已知点M是曲线y=2ln x+x2-3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为10.已知3cos2α＝4sin(4π－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为12.在∆ABC 中，，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB ，则∆ABC 面积的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研数学试题(解析版)
江苏省西亭高级中学2020届高三年级第二学期数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =U ____________. 【答案】{}2,3,5 【解析】 分析】根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集，知A B =U {}2,3,5. 故答案为：{}2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.2.若复数122,2z i z a i =+=-（i 为虚数单位），且12z z 为实数，则实数a =______________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，求出12z z ，由虚部为零，即可求解. 【详解】1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z Q 为实数，4a =.故答案为:4.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题. 3.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ．【【答案】9 【解析】:试题分析：由题意可得，a 是在不断变大的，b 是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;" 考点：算法的流程图的计算4.若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________.【答案】2- 【解析】 【分析】求出y '，并由0|1x y ='=-，建立a 的方程，即可求解. 【详解】,((1)1)xxy y ax e ax a e '=+=++，011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 【答案】14【解析】 【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为14. 故答案为：14【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 6.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．【答案】12【解析】 【分析】根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值.【详解】因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值. 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为__________． 【答案】2. 【解析】分析：利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-：由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果. 详解：设{}n a 的首项1a ，公比为q ，1q =时，264,,S S S 成等差数列，不合题意； 1q ≠时，Q 264,,S S S 成等差数列，()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---：解得1q =-：()222144462112a q a a q a a q q+++∴===：故答案为2. 点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8.已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________． 【答案】1124- 【解析】 【分析】不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得234a b c ==，设234a b c x ===，可得2x a =，3x b =，4xc =，可得A 为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解． 【详解】解：由题意，不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4， 由三角形的面积公式可得：111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，解得：234a b c ==，设234a b c x ===， 则2x a =，3x b =，4xc =，可得a 为三角形最大边，A 为三角形的最大角， 由余弦定理可得：222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯．故答案为：1124-． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2 【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=考点：球的表面积10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=,若C 上存在点P ,使得过点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=︒,则椭圆C 的离心率的取值范围是 .【答案】 【解析】【详解】试题分析：连接OP ，30OPB ∴∠=o ，OB b =Q ， 2OP b ∴= ， 2b a ∴≤，22244a c a ∴-≤，e ∴≥． 考点：求椭圆离心率范围点评：求离心率问题关键是找到关于,,a b c 的齐次方程或不等式．11.在斜三角形ABC 中，AC AB =，D 是BC 中点，E 在边AB 上，2AE BE =，AD 与CE 交与点O .若AB AC AO EC λ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则λ=_____.【答案】152【解析】 【分析】作出图形，利用AB u u u r 、AC u u ur 表示向量AO u u u r 、EC uuu r ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得实数λ的值.【详解】如下图所示，过点D 作//DF CE 交AB 于点F ，则点F 为BE 的中点，2AE BE =Q ，F 为BE 的中点，所以24AE BE EF ==，45AE AF ∴=， //CE DF Q ，45AO AE AD AF ∴==，()()44125525AO AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，()()()2221232325315AO EC AB AC AC AB AC AB AB AC ⋅=+⋅-=-+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v 222223215315AB AB AB AC AB AC ⎛⎫=⨯-+⋅=⋅ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 由215AB AC AO EC AB AC λλ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得152λ=. 故答案为：152.【点睛】本题考查利用平面数量积求参数值，考查平面向量数量积运算律的应用，属于中等题. 12.已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 【答案】19【解析】 【分析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b =时取等号.令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13.设函数()()21f x x a x a x x a =---++：0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤： 则a 的取值范围是____：【答案】[2]- 【解析】 【分析】存在[]01,1x ∈-, 使()00f x ≤：等价于()[]min 0,1,1f x x ≤∈-：化简()f x 的解析式：判断()f x 的单调性：讨论()f x 的单调区间与区间[]1,1-的关系，求出()f x 在[]1,1-上的最小值：令最小值小于或等于零解出a 即可.【详解】Q 存在[]01,1x ∈-, 使()00f x ≤：()[]min 0,1,1f x x ∴≤∈-：当x a ≤时,()()()2221221f x x a a x x a ax a a =--+++=-++,()f x ∴在(],a -∞上单调递减：当0a x <<时,()()2222212221f x x a x a x ax a a =-+++=--++：()f x ∴在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减：在,02a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增：当0x ≥时：()()22221221f x x a x a ax a a =-+++=-+++：()f x ∴在[)0,+∞上单调递增：(1) 若12a≤-：即2a ≤-时：()f x 在[]1,1-上单调递增, ()()2min 1430f x f a a ∴=-=++≤,解得31,32a a -≤≤-∴-≤≤-： (2)若102a -<<：即20a -<<时：()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减： 在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()2min 21022a af x f a ⎛⎫∴==++≤ ⎪⎝⎭：解得2222a a --≤≤-+∴-<≤-+综上：a 的取值范围是3,2⎡--⎣：故答案为3,2⎡--⎣.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性：求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）.14.已知圆22: 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.【答案】 【解析】 【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大.【详解】设M 为PQ 的中点，()22222(2)AP AQAM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min OM ==max PQ =故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥P A .（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE .【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解. 【解析】 【分析】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,利用三角形中位线定理、矩形的性质、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质、面面垂直的判定定理进行证明即可.【详解】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,因为F 是PC 的中点，所以有1//,2HF DC HF DC =,又因为四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形, E 是AB 的中点,所以有 1//,2AE DC AE DC =，因此有//,HF AE HF AE =,所以四边形AEFH 是平行四边形，因此有//EF AH ,AH ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD ；（2）在矩形ABCD 中，设,AC DE 交于点M ，因为E 是AB 的中点,所以2AE =，因为AE DA AD CD ==Rt DAE ∆∽Rt ADC ∆，因此ADE ACD ∠=∠，而 90ADE CDE ︒∠+∠=，所以90ACD CDE AC DE ︒∠+∠=⇒⊥，而DE ⊥P A ， ,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面P AC ，所以DE ⊥平面P AC ，而DE ⊂平面PDE ，因此平面P AC ⊥平面PDE .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了平行四边形的判定和性质，考查了矩形的性质，考查了相似三角形的判定和性质，考查了推理论证能力.16.已知函数2()12sin ()4f x x x π=+--，（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间．（2）若方程()0f x m -=在区间[,]4ππ上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）T π=；7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. （2）(2,1]-.【解析】分析：：1：首先利用余弦倍角公式对2sin ()4x π-进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将函数解析式化简为()2sin(2)3f x x π=+：借助于正弦曲线的性质，利用整体角思维求得结果；：2：研究函数在给定区间上的性质，求得对应的结果.详解：（1）()212sin 4f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭cos 2sin22x x x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴22T ππ== 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为：()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）即()y f x =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y m =有两个不同的交点． 由（1）知：()f x 在7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减，在7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调增，∴()min 7212f x f π⎛⎫==-⎪⎝⎭，14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f π= ∴当21m -<≤时，()y f x =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y m =有两个不同的交点，即方程()0f x m -=在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上两个不同的实数解．∴m 的取值范围为(]2,1-．点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱导公式，辅助角公式，将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二问，注意应用整体角思维，研究对应区间上的函数图像的走向，从而求得结果.17.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且过点(1，32)，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且满足(0)OA OB tOP t +=u u u v u u u v u u u v＞.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若t =，求直线AB 的方程.【答案】(1) 22143x y +=；(2) 1)2y x =±-.【解析】 【分析】（1）3(1,)2代入椭圆方程，结合,,a b c 关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线l 方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出,A B 两点的坐标关系，进而求出P 点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线l 方程. 【详解】(1)由题意可知，c =1，且221914a b += 又因为222a b c =+，解得2a =，b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)若直线AB 的斜率不存在，则易得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()2,02OA OB OP +==u u u r u u u ru u ur ，得P (0)， 显然点P 不在椭圆上，舍去；因此设直线l 的方程为(1)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122834k x x k +=+， 则由()1212,(2)2OA OB x x k x x +=++-=u u u r u u u r u u u r得()12122)P x x x x ++- 將P 点坐示代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=(*)；将2122834k x x k +=+代入等式(*)得234k =∴k = 因此所求直线AB的方程为1)2y x =±-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题. 18.如图是一幅招贴画示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、P A 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H .设弧AD 的长为l ，3()44APH θθππ∠=∈,,.（1）求l 关于θ的函数关系式； （2）定义比值OPl为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角θ满足：的tan()4θθπ=-时，招贴画最优美.【答案】（1）2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，当π3π(,)24θ∈时，点P 在线段GH 上，当 π2θ=时，AP a =.求出半径AP 后可得弦长； （2）由（1）的分类讨论求得sin cos 2OP l θθθ-=.3(,)44ππθ∈，令sin cos ()2f θθθθ-=，用导数的知识求它的最大值即可得．【详解】解：（1）当ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，sin aAP θ=；当π3π(,)24θ∈时，点P 线段GH 上，sin(π)sin a a AP θθ==-；当 π2θ=时，AP a =. 综上所述，sin a AP θ=，π3π(,)44θ∈.所以，弧AD 的长22sin a l AP θθθ=⋅=，故所求函数关系式为2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈. （2）当ππ(,)42θ∈时，cos tan sin a a OP OG PG a a θθθ=-=-=-；当π3π(,)24θ∈时，cos tan(π)tan sin a a a OP OG GH a a a θθθθ=+=+=-=--；当 π2θ=时，OP a =.所以，cos sin a OP a θθ=-，π3π(,)44θ∈.从而，sin cos 2OP l θθθ-=. 记sin cos ()2f θθθθ-=，π3π(,)44θ∈. 则2(cos sin )(sin cos )()2f θθθθθθθ+--'=. 令()0f θ'=，得(cos sin )sin cos θθθθθ+=-. 因为π3π(,)44θ∈，所以cos sin 0θθ+≠，从而sin cos cos sin θθθθθ-=+， 显然π2θ≠，所以sin cos tan 1πtan()cos sin tan 14θθθθθθθθ--===-++. 记满足πtan()4θθ=-的0θθ=，下面证明0θ是函数()f θ的极值点.设()(cos sin )(sin cos )g θθθθθθ=+--，π3π(,)44θ∈.则()g θ'=(cos sin )0θθθ-<在π3π(,)44θ∈上恒成立， 从而()g θ在π3π(,)44θ∈上单调递减，所以，当0π(,)4θθ∈时，()0g θ>，即()0f θ'>，()f θ在0π(,)4θ上单调递增；当03π(,)4θθ∈时，()0g θ<，即()0f θ'<，()f θ在03π(,)4θ上单调递减. 故 ()f θ在0θθ=处取得极大值，也是最大值.所以，当θ满足πtan()4θθ=-时，函数()f θ即OP l取得最大值，此时招贴画最优美.【点睛】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值．解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和OP ．19.设函数()3()()f x x t m x t =---，其中t ，R m ∈.（1）若9m =，求()f x 的极值；（2）若曲线()y f x =与直线()y x t =---m 的取值范围.【答案】（1）极大值为-；（2）()7,+∞ 【解析】 【分析】（1）把9m =代入()f x 后求导，判断()f x 的单调性，进而可以求得极值；（2）将公共点转化为零点问题，构造函数()()31g x x m x =+-+，求导判断()g x 的单调性，结合零点定理即可求出m 的取值范围.【详解】（1）当9m =时，()()()39f x x t x t =---，()()(2393f x x t x t x t '=--=-+-，令()0f x ¢=，解得x t =+x t =当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表；∴()y f x =的极大值为(((39f t =-=极小值为((3f t +=-=-（2）由题意，曲线()y f x =与直线()y x t =---可转化为()()0f x x t +-+=令u x t =-，可得()310u m u +-+=；设函数()()31g x x m x =+-+，即函数()y g x =有三个不同的零点；()()231g x x m '=+-，当1m £时，()0g x ¢³恒成立，此时()g x 在R 上单调递增，不合题意当1m >时，令()0g x ¢=，解得1x =，2x = ()0g x ¢>，解得1x x <，或2x x >， ()0g x ¢<，解得12x x x <<，∴()g x 在()1,x -∞和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，∴()g x 的极大值为())321109m g x g ⎛-==+> ⎝；极小值为())32219m g x g --==+若()20g x ≥，由()g x 的单调性可知，函数()g x 至多有两个零点，不合题意；若()20g x <，即()321m ->7m >2x >，0g=>，1x -，((610g m -=--<从而由零点定理知，()y g x ∴=在区间()1x -，()12,x x ，(2x 内各有一个零点，符合题意；∴m 的取值范围是()7,+∞.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，构造函数和零点定理的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.20.已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为n S ，且数列｛n S n ｝是以12为公差的等差数列· （1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2nn n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为n T ，①求证：数列｛nT n｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得()()m m n n T m S T n S λλ+=+，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ所有可能值．【答案】（1）1n a n =+；（2）①见证明；②当n =2，m =4时，λ=-2，当n =2，m =3时，λ=-1. 【解析】 【分析】（1）先求解等差数列{}nS n 的通项公式，再根据1(2)n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式；（2）①采用错位相减法先求n T ，再根据11(0)n n T n c c T n++=≠，证明{}n T n 为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即m n λ、、取什么值时能满足要求. 【详解】（1）因为12a =，所以121S = 所以1132(1)222n S n n n =+-=+ 即21322n S n n ==+当2n ≥时，2211311(1)(1)12222n S n n n -=-+-=+-∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥当n=1时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *=+∈ (2）①因为1()n a n n N *=+∈，所以2(1)nn b n =+ 所以23222324...2(1)nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅+ 则23412222324...2(1)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+ 两式相减，可整理得12n n T n +=⋅的∴+12n n T n =，+12+1n n T n n T ⋅=，且141T = 所以数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列. ②由①可知，12n n T n +=⋅，且由（1）知21322n S n n ==+，代入()()m m n n T m S T n S λλ+=+可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭整理得22232232m n m m n n λλ++=++即：22323222n m n n m m λλ++++=，设2322n nn n c λ++=，则m n c c = 则222111(1)3(1)23224222n n n n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-=因为2λ≥-，所以当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=＜，即1n n c c +＜ 因为1m n ＞＞，且245143160288c c λλλ+++-=-=≥ 所以2(5)n c c n ≥＞所以24c c =或23c c =，即n=2，m =4或3 当n =2，m =4时，λ=-2， 当n =2，m =3时，λ=-1.【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）⨯（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论. 21.已知矩阵1031⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量18β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求向量α，使得2A αβ=.【答案】12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由矩阵乘法求出2A ，设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由已知等式得出,x y 的方程组，可解得,x y ，得向量α．【详解】解：因为1031⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以2101010313161⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2αβ=⇔A 1061⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=18⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔168x x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦所以1,68x x y =⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，所以12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌握矩阵乘法法则是解题基础．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度. 【答案】（1）22220x y x y +--=；（2【解析】 【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】（1）因为)4πρθ=-，所以()cos cos sin sin 2cos sin 44ππρθθθθ⎫=+=+⎪⎭即()22cos sin ρρθρθ=+.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=（2）因为直线l的参数方程为2112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以)x =-=所以l的直角坐标方程为0x -+=所以圆心()1,1到直线l 的距离12d ==，所以AB ===AB 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．23.如图，在三棱锥P -ABC 中，AC ⊥BC ，且，AC =BC =2，D ，E 分别为AB ，PB 中点，PD ⊥平面ABC ，PD =3.(1)求直线CE 与直线P A 夹角的余弦值； (2)求直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值.【答案】；(2)11. 【解析】 分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出,CE PA u u u r u u u r夹角，即可得结果；（2）求出平面DEC 的法向量，其PC uuu r与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，A(2，0，0)，D (1，1，0)，E (12，32，32)，P (1，1，3)， ()1331,1,3,,,222PA CE ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r设直线CE 与直线P A 夹角为θ，则cos PA CEPA CEθ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r整理得cos 19θ=； ∴直线CE 与直线P A夹角的余弦值19；(2)设直线PC 与平面DEC 夹角为0θ，设平面DEC 的法向量为(,,)m x y z =u r，因为()1,1,0CD =u u u r，133,,222CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r所以有01330222x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取1x =，解得1y =-，23z =， 即面DEC 的一个法向量为2(1,1,)3m =-u r ，()1,1,3CP =u u u r ，0sin 11CP m CP m θ⋅∴===⋅u u u r u r u u u r u r . ∴直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值为11.【点睛】本题考查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.24.设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =L 的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A L ． （1）当4n =时，求集合312,,,nC A A A L 中所有元素之和S ； （2）记i m 为i A 3(1,2,,)n i C =L 中最小元素与最大元素之和，求32018132018C ii mC=∑的值．【答案】（1）30；（2）2019. 【解析】 【分析】：1）当n=4时，因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，从而得到结果； ：2：分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数，从而得到31nC i i m =∑，进而得到结果.【详解】（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个， 于是所求元素之和为()23123430C +++⨯=；（2）集合{}1,2,3,,M n =L 的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个； L L以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个． ∴31nC i i m =∑ 312nC m m m =+++L ()()2221221n n n C C C --=++++L ()()222312331n n n C C C C --=+++++L ()()222312441n n n C C C C --=+++++L()31n n C ==+L ，3131nC ii nm n C=∴=+∑．32018132018201812019C i i mC=∴=+=∑．【点睛】本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出含有相关数字出现的次数是关键．。
江苏省苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三第一次调研考试(期末考试)数学答案
连云港市2020届高三第一学期期末调研考试数学I 参考答案与评分标准一、填空题：1．{12}x x -<< 2．2i - 3．45 4．20 5．[4,+)∞ 6．127．48．14 9．135 1011．22(2)8x y ++= 12．3 13．4714．34二、解答题：15．（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB I 平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分 16．（1）在ABC △中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，220225b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2）由cos A =及0A <<π得，sin A ===，…8分所以cos cos(())cos()sin )4C A B A A A π=π-+=-+=-=又因为0C <<π，所以sin C =， 从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---．………………………………………14分 17．（1）在SAO △中，4SO ==， …………………………2分AP NMCB由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R =，所以143SO r =，……………………4分 所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分 （2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<， 所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分 当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减． 所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =． 答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分 18．（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak=+-12，故2222b a b k -=． 所以椭圆C的离心率e ==4分 （2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2a x c=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c ax a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ， 解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b k ab a k a b ab k a k y p +-=-+-=， 所以)2-2222222223ka b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分 因为0=⋅OQ OP ，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅ka b k ab c ac a k k a b ab k a c a ， 即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分 由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b a c a b b b a b a a --=--，所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分 19．（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分 （2）因为21ln ()ax x f x x-+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x'=+．①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a =-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a -->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减， 所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点． 综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分 （3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x-+'=+-=， 设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分 因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20．（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-， 所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分 （2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数,则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++L L144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m mS S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >， 设2210,mt m S b t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=m m S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分 ②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m mm m mm m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<； 当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分数学Ⅱ参考答案与评分标准21．A ．矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分B ．由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分 在曲线C上取点()2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离124sin 3d ϕπ-+==，…………6分（第22题）当6ϕπ=时，d取最小值8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=， 所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x+++++ 111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分29=≥， 当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x+++++的最小值为3．…………………………………10分 22．（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线 为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B - 不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，所以1(0 1 C ，，所以1( 2 1 AC =-u u u u r，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，则1sin |cos ,|AC α=<>==u u u u r n ，即直线1AC 与平面11AA B B．………………………6分 （2）由（1）可知，(0 1 C -，，所以()10 2 0CC =u u u u r，，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ， 因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u rn n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1⎫=⎪⎭，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ， 因为()2 0 0BA =u u u r ，，，(10 1 BC =u u u u r，，所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=-<>=-==⋅，n n n n n n所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23．（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k na x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k kn n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33nnkk n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333nn k n k k k n k k nn k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nk k k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。
江苏省苏州市2020届高三上学期期初调研数学试题 Word版含解析
2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,3}A =，{3,9}B =，则A B =_____.【答案】{}1,3,9 【解析】 【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】集合{1,3}A =，{3,9}B =， 由并集的运算可得{}1,3,9A B =，故答案为：{}1,3,9.【点睛】本题考查了并集的简单运算，属于基础题. 2.如果复数2()3bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的实部与虚部互为相反数，即可求得b 的值. 【详解】复数2()3bib R i-∈+， 由复数除法运算化简可得()()()()2326233331010bi i bi b bi i i i ----+==-++-， 因为复数的实部与虚部互为相反数， 即62301010b b -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1b =， 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______. 次数 1 2 3 4 5 得分 3330272931【答案】4 【解析】 【分析】根据表格可计算得五次测试得分的均值，由方差公式即可求得五次测试成绩的方差. 【详解】由表格可知，五次测试得分的均值为3330272931305++++=，由方差公式可得()()()()()2222221333030302730293031305s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦ 12045=⨯=， 故这五次测试成绩的方差为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________. 【答案】56【解析】 【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为24C ＝6（种）， 取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为22C ＝1（种）． 所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P ＝1﹣16＝56． 故答案为56．【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5.根据如图所示的伪代码，当输入的,a b分别为2，3时，最后输出的b的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据程序代码，即可求得输出值.【详解】由程序框图可知，当输入的,a b分别为2，3时，235a a b=+=+=，532b a b=-=-=，所以输出的2b=，故答案为：2.【点睛】本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线的方程为2y x=±，则该双曲线的离心率为_______．5【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y＝±2x，得b＝2a，从而225c a b a=+=，即可求出双曲线的离心率．【详解】∵双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线方程是y＝±2x，∴2b a =，即b ＝2a ，∴225c a b a =+=，∴5ce a==． 故答案为5．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 7.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．【答案】4 【解析】 【分析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可.【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1， ∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ， ∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MBAA BSS ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V SAC --==⨯⨯=⨯⨯=4． 故答案为：4．【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为_____. 【答案】-5【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式，结合通项公式及性质即可求得首项和公差，进而代入前n 项和公式即可求得10S 的值.【详解】由等差数列前n 项和公式可得()1151581515302a a S a ⨯+===，则82a =，由等差数列的通项公式可得117261a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得151a d =-⎧⎨=⎩，所以()10109105152S ⨯=⨯-+⨯=-， 故答案为：-5.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.9.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则56f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭_______. 【答案】12【解析】 【分析】根据偶函数性质可知5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数解析式可知当1x ≥时为周期等于1的周期函数，所以566f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】()y f x =是定义在R 上的偶函数， 所以5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩， 即当1x ≥时为周期等于1的周期函数， 即566f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了分段函数的求值，偶函数与周期函数的综合应用，属于基础题. 10.已知在ABC ∆中，1AC =，3BC =.若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅-=，则CO AB ⋅=_____.【答案】4 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律，结合向量的线性运算可得OA OB =，画出几何关系图示，即可由平面向量数量积运算律求得CO AB ⋅. 【详解】因为()()0OA OB CA CB +⋅-=，则()0OA OB BA +⋅=，即()()0OA OB OA OB +⋅-=， 所以220OA OB -=，即OA OB =， 所以O 在AB 的垂直平分线上， 由题意可知1AC =，3BC =. 设AB 中点为M ，如下图所示：由平面向量的线性运算及数量积运算律可得()CO AB CM MO AB ⋅=+⋅ CM AB MO AB =⋅+⋅ ()()12CM AB CA CB CB CA =⋅=+⋅- 221122CB CA =- 221131422=⨯-⨯=, 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及几何中向量的线性运算应用，属于中档题. 11.已知sin222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+=__________． 【答案】1或85【解析】由sin222cos2αα-=得sin 22(1cos 2)0αα-+=，即22sin cos 4cos 0ααα-=，所以cos 0α=或tan 2α=，当cos 0α=时，22sin sin 21cos 2sin cos 1ααααα+=-+=，当tan 2α=时，22222222sin 2sin cos tan 2tan 2228sin sin 2sin cos tan 1215αααααααααα+++⨯+====+++， 故答案为1或85. 【点睛】在已知tan α的值求关于sin ,cos αα的函数值时，有两类问题可通过把待求式转化为tan α的式子快速求值：（1）关于sin ,cos αα的齐次分式：一次齐次式sin cos ()sin cos a b f c d ααααα+=+，二次齐次式2222sin sin cos cos ()sin sin cos cos a b c f d e f ααααααααα++=++；（2）可化为二次齐次式的代数式：22()sin sin cos cos f a b c ααααα=++22sin sin cos cos 1a b c αααα++=2222sin sin cos cos sin cos a b c αααααα++=+． 12.已知点A B 、是圆22:4O x y +=上任意两点，且满足23AB =.点P 是圆22:(4)(3)4C x y +++=上任意一点，则||PA PB +的取值范围是______.【答案】[]4,8 【解析】 【分析】根据题意在坐标系中画出两个圆，结合平面向量的线性运算，由点与圆的位置关系即可判断出取最大值和最小值时的位置，进而求解. 【详解】根据题意，画出图形关系如下图所：取AB 的中点D ，由两个圆的方程可知()()222,435CP CO ==-+-=，则()222431OD OA AD =-=-=，由平面向量线性运算可知2PA PB PD +=，当C P O D 、、、四点共线时，PD 取得最小值，此时5212PD CO CP OD =--=--=， 当C P O D '、、、四点共线时，PD 取得最大值，此时5214PD CO CP OD '=-+'=-+=， 所以[]24,8PD ∈，即||PA PB +的取值范围为[]4,8， 故答案为：[]4,8.【点睛】本题考查了平面向量与圆的综合应用，点和圆位置关系的综合应用，距离最值的求法，属于中档题.13.设实数1a ≥，若不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_____. 【答案】[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据题意，将不等式变形，转化为两个函数在[1,3]x ∈内的位置关系，再对a 分类讨论，画出函数图像即可分析a 的取值范围.【详解】对于实数1a ≥，不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则2a x a x--≥对于任意的实数[1,3]x ∈恒成立， 所以函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，当2a =时，显然成立； 当12a ≤<时，2a y x -=在第四象限，若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，如下图所示：此时在[1,3]x∈时恒成立，因而12a≤<成立；当2a>时，2ayx-=在第一象限；若函数y x a=-的图像在[1,3]x∈时恒在2ayx-=图像的上方，如下图所示：结合图像可知，需满足2233aaa>⎧⎪-⎨-≥⎪⎩，解不等式可得72a≥，综上所述，满足条件的实数a的取值范围为[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了含参数绝对值不等式的解法，不等式与函数的关系综合应用，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.14.在ABC∆中，若tan tan3tan tanA AB C+=，则sin A的最大值为_____.【答案】215【解析】【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值.【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A A B C+=， 则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A C A B A C+=， 通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=， 由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C +=， 所以2sin 3cos sin sin A A B C=， 由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =， 又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号， 则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥， 即221sin 25A ≤，所以21sin A ≤ 则sin A 21. 21. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.（1）求证：1AB //平面1PBC ；（2）求证：平面1PBC ⊥平面11AAC C .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，由中位线定理即可证明1AB //平面1PBC ；（2）根据题意可证明BP AC ⊥及1AA PB ⊥，可得PB ⊥平面11AAC C ，再由面面垂直的判定定理可证明平面1PBC ⊥平面11AAC C .【详解】（1）证明：连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，如下图所示：则OP 为1AB C 的中位线，所以1//OP AB ，因为OP ⊂平面1PBC ,1AB ⊄平面1PBC ，所以1AB //平面1PBC ；（2）证明：在ABC 中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.所以BP AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，而PB ⊂平面ABC ，可得1AA PB ⊥又因为1,AC AA ⊂平面11AAC C ，且1AC AA A =∩，所以PB ⊥平面11AAC C ，而PB ⊂平面1PBC ，所以平面1PBC ⊥平面11AAC C .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用，线面垂直与面面垂直判定定理的应用，属于基础题.16.已知函数7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]x π∈时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值.【答案】（1）2T π=；112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=时，函数()y f x =的3【解析】分析】（1）将函数解析式变形，结合正弦和角公式及辅助角公式变形，即可由正弦函数的性质求得最小正周期及单调递增区间.（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得最大值，结合正弦函数的性质即可求得取最大值时自变量的值.【详解】（1）将函数()y f x =的解析式变形，结合正弦和角公式与辅助角公式化简可得 7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 443x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 33sin cos 2424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 153sin 2x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =的最小正周期为2T π=;由正弦函数的图像与性质可知12522,22k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()y f x =的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为[0,]x π∈，则5517,121122x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当1522x ππ+=时，函数()y f x =的最大值为3， 解得此时12x π=.【点睛】本题考查了正弦和角公式及辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.17.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，在直线上存在点P ,使得PAB △为等边三角形,求k 的值. 【答案】（1）2213x y +=；（2）0k =或1k =-． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，要确定,a b的值，题中已知四个顶点形成的菱形是确定的，而椭圆的顶点为(,0),(0,)a b±±，因此易得,a b；（2）本小题采取解析几何的基本解法，PAB△是等边三角形的条件是三边相等，或两内角为60°，或PO AB⊥且3PO AO=，我们采用PO AB⊥且3PO AO=，由线段AB的中垂线与直线l相交求得点P的坐标，计算PO，直线y kx=与椭圆相交求得A点坐标，计算AO，利用3PO AO=求得k值，由于涉及到AB的垂线．因此对k按0k=和0k≠分类讨论．试题解析：(1)因为椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点, 所以3,1a b==,椭圆C的方程为2213xy+=(2)设()11,A x y,则()11,B x y--（i）当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线的交点为(0,3)P,又3,3AO PO==23AB PA PB⇒===，所以PAB△是等边三角形,所以0k=满足条件；(ii)当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y kx=所以221{3xyy kx+==，化简得解得12331xk=+所以222233313131kAO kk k+=+=++又AB的中垂线为1y xk=-，它l的交点记为00(,)P x y由30{1x yy xk+-==-解得31{31kxkyk=--=-则2299(1)kPOk+=-因为PAB△为等边三角形，所以应有3PO AO=代入得到222299333(1)31k kk k++=-+，解得0k=（舍），1k=-综上可知，0k=或1k=-考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题．18.某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B两点，30BAC︒∠=，小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）（1）若4v=，2AB km=，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进(0)m m t<<小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值.【答案】（1）2；（243【解析】【分析】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，结合余弦定理即可表示出2x ，再由二次函数性质即可求得速度的最小值.（2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定0∆≥，进而求得速度的最大值.【详解】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，由余弦定理可知()()22224224cos30xt t t =+-⨯⨯， 化简可得222483116434x t t t ⎛=-+=-+ ⎝， 因为01t <≤，所以11t ≥，则当13t =33t =时，2x 取得最小值，此时2x =， 所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为2.（2）运动员游泳时间为t m - 小时，运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时， 由余弦定理可知()()()2222424cos30t m m vt m vt -=+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦， 整理化简可得()221284340m m v v t t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 设(),0,1m k k t =∈， 则上式可化为()221284340k v k v +-+-=在()0,1内有解，则()()2284341240v v ∆=--⨯⨯-≥， 解得430v <≤， 当33v =时，代入方程可解得13k =，满足()0,1k ∈，所以小船在能与运动员相遇的条件下v 43. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，二次函数求最值及有解的应用，属于中档题.19.已知函数()(),ln xf x eg x x ==． （1）设()()2h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间； （2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 【答案】（1）()h x 的单调增区间为（0，22]；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出导函数)'(h x ，在函数定义域内由'()0h x >确定其增区间；（2）先求出()g x 在0x 处的切线方程，设这条切线与()y f x =的图象切于点11(,())x f x ，由010101()()'()'()g x f x k g x f x x x -===-，得出关于0x 的方程，然后证明此方程的解在(1,)+∞上存在且唯一． （3）把问题转化为10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解，令()1xH x e ax x =---，则只要min ()0H x <即可．【详解】（1）h （x ）＝g （x ）﹣x 2＝lnx ﹣x 2，x ∈（0，+∞）．令222221()20x x h x x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎝⎭'=-=≥， 解得202x ≤＜．∴函数h （x ）的单调增区间为（02]． （2）证明：设x 0＞1，1()g x x '=，可得切线斜率01k x =， 切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-． 假设此切线与曲线y ＝f （x ）＝e x 相切于点B （x 1，1x e ），f ′（x ）＝e x ．则k=1x e ，∴110010ln 1x x e x k e x x x -===-． 化为：x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1＝0，x 0＞1．下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．令u （x 0）＝x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1，x 0＞1．0001()ln u x x x '=-，在x 0∈（1，+∞）上单调递增． 又u ′（1）＝－1，1'()10u e e=->， ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ，0(1,)x m ∈，0'()0u x <，()u x 递减，0(,)x m ∈+∞时，0'()0u x >，()u x 递增，而(1)20u =-<，∴0()0u x =在(1,)m 上无解，而22()30u e e =->，∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解．∴方程0()0u x =在（1，+∞）上存在唯一解．即：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切． （3）证明：()111x f x e x x x----=，令v （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0．∴v ′（x ）＝e x ﹣1＞0，∴函数v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增，∴v （x ）＞v （0）＝0． ∴()1110x f x e x x x----=＞， ∴不等式()11f x a x--＜，a ＞0⇔e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0， 即H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，由对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立⇔H （x ）min ＜0． H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ，a ，x ∈（0，+∞）．H ′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，令e x ﹣1﹣a ＝0，解得x ＝ln(1)a +＞0，函数H （x ）在区间（0，ln(1)a +）上单调递减，在区间（ln(1)a +，+∞）上单调递增． ∵H （0）＝0，∴min ()(ln(1))0H x H a =+<．∴存在对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化与化归思想，本题难度较大．20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面：当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式.【答案】（1）21n a n =-，41n b n =+；（2）证明见解析；（3）当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023n n n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式，即可由基本量计算求得首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式与前n 项和；根据等比中项定义，结合数列{}n a 的前n 项和，代入化简可求得数列{}n b 的通项公式；（2）根据数列{}n a ，{}n b 的通项公式，即可证明数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）由数列{}n b 的通项公式，代入由裂项求和法可得11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，再对n 分类讨论，即可确定新数列的前n 和n T 的表达式.【详解】（1）{}n a 为等差数列，设公差为d ，1155b a ==，529a b ==，所以151149a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =，所以由等差数列通项公式可得()12121n a n n =+-=-； 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以()21212n n n S n +-==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.所以()212n n n n b S S S +-=⋅-，则()()222212n n n b n ⎡⎤+=⋅-⎣⎦-，即()()212n n b n n -+=-，化简可得41n b n =+，当1,2n n ==时也成立， 所以41n b n =+.（2）证明：由（1）可知21n a n =-，41n b n =+， 则()21412211n n b n n a +=+=+-=， 所以数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）由（1）可知41n b n =+， 则()()111114145414415n n b n b n n n ++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭+， 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()11111145991341455451n nB n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪+++⎝⎭-， ①当2,*n k k N =∈时，()()22254541025n k k k k n nT T S B k k n ==+=+=+++， ②当43,*n k k N =-∈（2k ≥）时，()()()()2243212212212158341023n k k k n k n T T S B k k n ------==+=-+=+-+，经检验当1n =时也成立，③当41,*n k k N =-∈时，()()()()22412121212158541027n k k k n kn T T S B k k n ---+==+=-+=+++， 综上所述，当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023nn n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的求法，等比中项的性质简单应用，裂项求和法的应用，分类讨论求数列的前n 项和的综合应用，属于难题.选做题:本题包括三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换21.设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；（2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程. 【答案】（1）()1,1-；（2）2y x =-.【解析】 【分析】（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.（2）设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00x yy x =⎧⎨=-⎩，因为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，即2y x =-，所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-.【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知直线的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），点P 是圆C 上的任意一点，若点P 21，求实数a 的值.【答案】1a = 【解析】 【分析】根据所给直线参数方程与圆的参数方程，转化为普通方程，结合点与圆的位置关系及距离最值，即可求得a 的值.【详解】直线的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），化为普通方程可得20x y +-=，圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），化为普通方程可得222x y a +=，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为222d -==点P 是圆C 上的任意一点，且点P 21， 212a =，0a >，解得1a =.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，点和圆位置关系的简单应用，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知x 、y 、z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋ 【答案】证明见解析 【解析】【详解】∵x，y ，z 都是为正数，∴12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理，可得2y z zx xy x +≥，2z x xy yz y+≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++． 必做题:第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ． 【答案】（1）6（2）()E X =10.7X1234P23 14 114 184【解析】【详解】（1）设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229nC C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=． 解得6n =或5n =-（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4.62(1)93P X ===；361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为： X1234P2314114184所求数学期望为E （X ）=1⨯23+2⨯14+3⨯114+4⨯184=10.7 25.设集合{}1,0,1M =-，集合 {}12,,,,1,2,,n n i A x x x x M i n =∈=⋯，集合n A 中满足条件 “121n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S .（1）求22S 和42S 值；(2)当m n <时，求证：11322nnm n m S ++<+-.【答案】（1）24228,32S S ==；（2）见解析【解析】试题分析：（1）按照题设条件中的规定和定义进行求解计算；（2）先考虑特殊情形{}{}0,1,1P Q ==-，运用从特殊到一般是数学思想进行推证，进而归纳得到1122222n m mm n n n S C C C =+++，然后运用缩放法进行推证：解(1)24228,32S S ==；（2）设集合{}{}0,1,1P Q ==-. 若121n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，122n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ，若12n x x x m +++=，即123,,,,n x x x x 中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n mm nC -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =+++因为当0k n ≤≤时，故1k n C ≥，所以10kn C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++()()()0011221122221212m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-()()0011221112222222222m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++()()11111222322nn m n n m ++++=+--=-+.。
【数学】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第一次教学情况调研试题(解析版)
【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为 ；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为 ；则所求几何体的体积为
.
12.在△ABC中，( )⊥ ( ＞1)，若角A的最大值为 ，则实数 的值是_______．
【答案】3
【解析】
，解得 ＝3．
故答案为：3.
13.若函数 (a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是_______．
【答案】(1， )
【解析】由题意知： 与 的图像在(1， )上恰有两个交点
考查临界情形： 与 切于 ，
．
故答案为： .
14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝ OC，则△ABC面积的最大值为_______．
（1）求A；
（2）已知a＝2 ，B＝ ，求△ABC的面积．
解：（1）∵bcosA﹣ asinB＝0．
∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣ sinAsinB＝0，
∵sinB＞0，
∴cosA＝ sinA，
∴tanA＝ ，
∵A∈（0，π），
∴A＝ ；
（2）∵a＝2 ，B＝ ，A＝ ，
∴C＝ ，根据正弦定理得到
【解析】由题意A B中有且只有一个元素，所以 ，即 .
故答案为： .
3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
【答案】0.08
【解析】首先求得 ，
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故答案为：0.08.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为 ，则a＝_______．
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期初调研考试试题(含解析)
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期初调研考试试题（含解析）第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{3，9}，则A U B ＝ ． 答案：{1，3，9} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，9}， ∴A U B ＝{1，3，9} 2．如果复数23bii-+(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ． 答案：1 考点：复数 解析：263231010bi b b i i --+=-+，由实部与虚部互为相反数得：6321010b b -+=，解得b ＝1． 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ．次数 1 2 3 4 5 得分3330272931答案：考点：平均数与方差解析：∵3330272931305x ++++==∴2222221[(3330)(3030)(2730)(2930)(3130)]45S =-+-+-+-+-=．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ． 答案：56考点：古典概型解析：4瓶饮料中随机取2瓶共有6种取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料共有5种取法，所以求得概率为56． 5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为 ．答案：2考点：算法语言，伪代码解析：求得a ＝5，b ＝2，所以最后输出的b 的值为2．6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221 x ya b-=(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为．答案：5考点：双曲线的性质解析：由渐近线方程可得2ba=，所以b2＝4a2，即c2﹣a2＝4a2，所以225ca=，e＝5（负值已舍去）．7．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC ＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1—MBC1的体积为．答案：4考点：棱锥的体积解析：根据A1C1＝4，A1B1＝AB＝3，B1C1＝BC＝5，可得∠C1A1B1＝90°，又∠C1A1A＝90°，可得C1A1⊥平面ABB1A1，所以111111234432A MBC C MBAV V==⨯⨯⨯⨯=——．8．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若1530S=，71a=，则10S的值为．答案：﹣5考点：等差数列前n项和解析：由1530S=可得82a=，又71a=，可得6a=，51a=-，所以110105610()5()52a aS a a+==+=-．9．若()y f x=是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞)时，sin[0, 1)()(1)[1,)x xf xf x x∈⎧=⎨-∈+∞⎩，，，则(5)6fπ--＝．答案：12考点：函数的奇偶性、周期性解析：1(5)(5)()sin 66662f f f ππππ--=+===． 10．已知在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝3，若O 是该三角形内的一点，满足(OA OB)(CA +⋅-u u u r u u u r u u u r CB)u u u r＝0，则CO AB ⋅u u u r u u u r＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积解析：设AB 的中点为D ，由(OA OB)(CA +⋅-u u u r u u u r u u u r CB)u u u r ＝0，得DO AB 0⋅=u u u r u u u r所以1CO AB (CD DO)AB CD AB (CA CB)(CA CB)2⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221(CA CB )42=-=u u ur u u u r ． 11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+＝ ．答案：1或85考点：同角三角函数关系式，倍角公式 解析：∵sin 222cos2αα-= ∴2sin 222(2cos 1)αα-=- 化简得cos (sin 2cos )0ααα-= 所以cos 0α=或tan 2α= 当cos 0α=，求得2sinsin 2αα+＝1当tan 2α=，222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin 2sin cos tan 15αααααααααα+++===++．12．已知点A 、B 是圆O ：224x y +=上任意两点，且满足AB ＝P 是圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝4上任意一点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围是 ．答案：[4，16] 考点：圆的方程解析：取AB 中点C ，可得OC ＝1，所以动点C 在以O 为圆心，1为半径的圆上PA PB 2PC 2PC +==u u u r u u u r u u u r u u u r，而PC max ＝5＋1＋2＝8，PC min ＝5﹣1﹣2＝2， PA PB +u u u r u u u r 的最大值为16，最小值为4，取值范围为4≤PA PB +u u u r u u u r≤16．13．设实数a ≥1，若不等式2x x a a -+≥，对任意的实数x ∈[1，3]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．答案：[1，2]U [72，+∞) 考点：函数性质综合解析：①当1≤a ≤2时，显然符合题意 ②当a ＞2时，2x x a a -+≥，2a x a x--≥ ∴2a x a x--≥或2a x a x --≤-化简得221x a x +≤+或221x a x -≥-恒成立求得221x y x +=+在[1，3]的最小值为32，即a ≤32与a ＞2矛盾，舍求得221x y x -=-在[1，3]的最大值为72，即a ≥72符合题意综上所述，a 的取值范围为1≤a ≤2或a ≥72． 14．在△ABC 中，若tan A tan Atan B tan C+＝3，则sinA 的最大值为 ．答案：5考点：基本不等式，正余弦定理解析：222222222222tan A tan A sin A cos B sin A cos C 22tan B tan C sin Bcos A sin cos A 22a c b a b c a aac ab b c a b c a C b cbc bc+-+-+=+=++-+- ＝222223a b c a =+- 所以2223()5a b c =+ cosA ＝222222()2522555b c b c a b c bc bc c b ++-==+≥当且仅当b ＝c 时取“＝”所以A 是锐角，且cosA 的最小值为25，此时sinA．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点．（1）求证：AB 1∥平面PBC 1；（2）求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．16．（本小题满分14分） 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++． （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求实数k的值．18．（本小题满分16分）某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）（1）若v＝4，AB＝2 km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()lng x x =．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图像在点A(0x ，0()g x )处的切线l 与函数()y f x =的图像也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--<成立．20．（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当n ≥3时，1n S +＞n b ，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，n N *∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ． （1）求点P(1，1)在T 作用下的点P ′的坐标；（2）求曲线C ：y ＝x 2在变换T 的作用下所得到的曲线C′的方程．B．选修4—4：坐标系与参数方程己知直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数），圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩（a＞0，θ为参数），点P是圆C上的任意点，若点P到直线的距离的最大值为21+，求实数a的值．解：由直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）可得2y x=-+由圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩可得圆的标准方程为222x y a+=求得圆心O到直线的距离为2，所以a＋2＝21+，求得a的值为1．C．选修4—5：不等式选讲已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z ++≥++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设集合M ＝{﹣1，0，1}，集合A n ＝{}123(,,,,),1,2,,n i x x x x x M i n ∈=L L ，集合A n 中满足条件“1≤12n x x x +++L ≤m ”的元素个数记为n m S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m ＜n 时，求证：11322n n m n m S ++<+-．。
江苏省扬州市2020届高三数学第一次学情调研试题 理(无答案)
高三数学学情调研（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请将答案写在答题卡对应的位置上） 1、函数41log )(2--=x xx f 的定义域为______________. 2、若集合{|228}xA x =≤≤，集合2{|log 1}B x x =>，则集合A B =I ____________. 3、设函数))(12()(a x x xx f -+=是奇函数，则=a ____________.4、如果幂函数122)33(--+-=m mx m m y 的图象不过原点，则实数m 的值是 ．5、若0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 条件.6、已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g ．7、若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则,,a b c 的大小关系为___________. 8、下列数值是函数()f x 在区间[1,2]上的一些点的函数值：由此可判断：方程()0f x =的一个近似解为 （精确到0.1).9、若函数()|2|(4)f x x x =-⋅-在区间(5,41)a a +和单调递减，则实数a 的取值范围是 .10、设函数12)(-=x x f 的定义域和值域都是[]b a ,，则=+b a .11、已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 . 12、设函数11)(--+=x x x f ，则使)2()12(+=+x f x f 成立的x 取值范围是 .13、已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件： ①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②)4,(--∞∈∀x , )(x f 0)(<x g 。
江苏省如皋市2020届高三数学上学期教学质量调研试题一理含解析
【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算得 ,由此可知点 的轨迹是 为圆心, 为半径的圆,然后将问题转化为直线 与圆: 有交点,由圆心到直线的距离小于等于半径列不等式可解得.
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】
【分析】
(1)根据点在椭圆上以及右焦点 到右准线和左顶点的距离相等列方程组可解得;
(2)当直线 轴时,将 用 表示后,代入 不成立,当直线 与 轴不垂直时,设出直线 的方程 ,与椭圆方程联立,利用韦达定理以及 ， ， ,代入 可解得.
【详解】（1）依题意可列方程组: ,所以 ,
所以 ,即 在 上有三个根,
所以函数 的图象与函数 的图象在 上恰有3个交点,
如图:
由图可知: 与 的图象在 上必须恰有一个交点,
所以 ,所以 ,
由图可知: 与 的图象在 上必须有两个交点,
当 的图象与 的图象相切时,只有一个交点,此时设切点为 ,
因为 ,所以根据导数的几何意义得切线的斜率为: ,所以 ,
江苏省如皋市2020届高三数学上学期教学质量调研试题（一）理（含解析）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合 ，则 _______________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简集合 ,再根据交集运算定义计算可得.
【详解】由 得 ,所以 ,
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用 代入已知,可解得 或 ,然后根据 ,可以求得结果.
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高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1.已知i 为虚数单位，复数1
1z i
=
+，则｜z ｜= 2.已知集合A ={x ｜0≤x ≤1}，B ={x ｜a -1≤x ≤3}，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
21(0)4
x y a a -
=>的一条渐近线 方程为2
3
y x =
，则a = 5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
12，乙获胜的概率是1
3
，则乙不输的概率是 6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为
7.“直线l 1:ax +y +1=0与直线l 2:4x +ay +3=0平行”是“a =2”的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 8.已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，a 1=9，
95
95
S S -＝－4，则a n = 9.已知点M 是曲线y =2ln x +x 2
-3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为
10.已知3cos2α＝4sin(
4
π
－α)，α∈(,4ππ)，则sin2α=
11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，
EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为
12.在∆ABC 中，
，若角A 的最大值为
6
π
，则实数λ的值是 13.若函数f (x )=a x
(a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2
，n 2
](1<m <n )，则a 的取值范围是 14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OB =2OC ，则∆ABC 面积的最大值为
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分14分）
在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且满足b cos A 3sin B =0 （1）求A ；
（2）已知a =3B =3
π
，求∆ABC 的面积.
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥BC，∆PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点.
（1）证明：AP∥平面EBD；
（2）证明：BE⊥PC.
17.（本小题满分14分）
某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）.
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标.
18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，
且经过点（1，
3
2
），A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若∆AEF 与∆BDF 的面积比为1:7，求直线l 的方程.
19.（本小题满分16分） 已知函数f (x )=
23
x 3-mx 2+m 2
x （m ∈R ）的导函数'()f x （1）若函数g (x )=f (x )- '()f x 存在极值，求m 的取值范围；
（2）设函数h (x )= '()'(ln )x
f e f x +f '(ln x )（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式h (x )≥m 2
+k 2
在（0，＋∞）上恒成立，求正整数k 的取值集合.
20.（本小题满分16分） 已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足
（1）若a n =n ，b n =2n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；
（2）若数列{a n }为等差数列，且对任意n ∈N *，c n +1>c n 恒成立. ①当数列{b n }为等差数列，求证：数列{a n }，{b n }的公差相等；
②数列{b n }能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n }；若不能，请说明理由.
2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学Ⅱ（附加题）
A .选修4-2；矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵
，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一
个特征向量。
B.选修4-4；坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原点O为
极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ。
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。
C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且
22
2
49
x y
z
++的最小值为
8
7
，求实数t的值。
22.（本小题满分10分）
某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。
抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元. （1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
23.（本小题满分10分）
已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B 两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG 的面积为S.
（1）求点G的轨迹方程；
（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.
参考答案
12、3 13、14、
15、
16、
17、。