§4.2 空间计算理论
计算概论知识点总结
计算概论知识点总结一、基本概念1. 计算概论的概念计算概论是一门研究计算的基本理论和方法的学科。
它是计算机科学的基础，包括了算法、数据结构、分析技术、计算复杂性理论等内容。
计算概论的研究对象是计算的过程和方法，它研究计算机问题的抽象和形式化描述、计算机问题的求解方式、计算机问题求解的复杂性以及计算机问题求解的效率等问题。
2. 算法的概念算法是解决问题的一种有序的数学过程，它包括了从问题描述到问题求解的所有步骤。
算法是对问题求解的精确描述，是计算机问题求解的基础，因此算法的设计和分析是计算概论中的重要内容。
3. 数据结构的概念数据结构是一种用来组织和存储数据的方式，它包括了数据的逻辑组织和物理存储。
数据结构是算法的载体，它的设计和选择对算法的效率有很大的影响，因此数据结构的研究也是计算概论的重要内容之一。
4. 复杂性理论的概念复杂性理论是研究计算问题的复杂性和可解性的学科。
它研究计算问题求解的时间和空间资源的需求与问题规模之间的关系，同时也研究计算问题的难解性和不可解性等问题。
二、算法分析1. 时间复杂度算法的时间复杂度是描述算法在求解问题时所需的时间资源的度量。
它通常用算法的基本操作数量与问题规模的关系来描述。
时间复杂度是算法效率的重要指标，它决定了算法在不同规模的问题上所需的时间资源。
2. 空间复杂度算法的空间复杂度是描述算法在求解问题时所需的空间资源的度量。
它通常用算法所需的额外空间与问题规模的关系来描述。
空间复杂度是算法效率的另一个重要指标，它决定了算法在不同规模的问题上所需的空间资源。
3. 算法的渐进分析算法的渐进分析是描述算法复杂度的一种常用方法，它用来描述算法在问题规模趋近无穷时的复杂度情况。
渐进分析包括了最坏情况复杂度、平均情况复杂度和均摊情况复杂度等。
4. 算法的正确性算法的正确性是指算法对于所有输入数据都能得到正确的输出。
算法正确性是算法设计的基本要求，同时也是算法分析的关键内容。
空间度量算法
14
①. 两点定义的直线
《地理信息系统算法基础》
空间度量算法
1
本讲内容
1.直线和距离 2.角度量算 3.多边形面积的量算
2
1.直线和距离
关于两点间距离的定义，使用标准的欧几里得距离L2，它基
于毕达哥拉斯定理。对一个n维的矢量v=(v1，v2，…，vn)，
它的长度|v|为
2 2 1 2 2 2 n
v v v … v v
7
1.2 直线方程
隐式或显式方程定义二维中的一条直线，三维中定义了一个 平面，在n维中，它定义了一个(n-1)维的超平面。 在任意n维的空间中，参数方程是有效的并且是最通用的。 对于一个用两点P0和P1定义的并且带有方向矢量vL的直线， 其方程有以下几种写法： P(t) = P0+ tvL = P0 + t(Pl – P0) = (1-t)P0 + tP1 式中，t为实数。在这个表达中，P(0)=P0, P(1)=P1，P(t)(0<t<1)是线段P0P1上的一点， 其中t = d[P0,P(t)]/d(P0,P1)。 因此P(1/2)=(P0+P1)/2是线段的中点。进一 步看，如果t<0，那么P(t)位于线段之外， 并且是在P0 一边；如果t >1，P(t)也位于线 段之外，但在P1—边，见图6.2。
i 1
2 cos i 1
空间解析几何课程教学大纲
《空间解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
五、教材及参考资料
[1]吕林根、许子道编.解析几何（第四版）.北京：高等教育出版社，2014,ISBN：
9787040193640.
[2]李养成.空间解析几何.北京：科学出版社，2013,ISBN：9787030193520.
[3]丘维声.解析几何（第二版）.北京：北京大学出版社，2008,ISBN：9787301003497.
[4]纪永强.空间解析几何.北京:高等教育出版社，2014,ISBN：9787040365375.
六、教学条件
需要配置有投影屏幕的教室。
授课电脑需要安装WindowS7、OffiCe2010、Mat1ab2015>MathType6.9>几何画板、FIaSh的正版软件。
附录：各类考核评分标准表。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
数学中的空间概念
数学中的空间概念
数学中的空间概念是指用数学语言和方法对空间进行描述和研究的概念。
1. 欧几里得空间（Euclidean space）：欧几里得空间是数学中
最基本且最常见的空间概念，它以几何学为基础，通常用笛卡尔坐标系表示。
2. 向量空间（Vector space）：向量空间是指一组向量构成的
集合，满足一系列定义的运算规则，常用于向量和矩阵的研究。
3. 坐标空间（Coordinate space）：坐标空间是指通过一组坐标系，将点的位置表示为坐标的空间。
常见的坐标空间有二维平面、三维空间等。
4. 线性空间（Linear space）：线性空间是指满足特定运算规
则的向量空间，其中向量的加法和数乘满足线性运算的性质。
5. 拓扑空间（Topological space）：拓扑空间是指在集合上定
义了一种拓扑结构，用来研究集合中的连通性、收敛性以及极限等性质。
6. 测度空间（Measure space）：测度空间是指在集合上定义了一种测度，用来度量集合中的大小或者衡量集合中的某种特性。
7. 平面几何（Plane geometry）：平面几何是指研究二维平面
中图形的性质、关系和构造等内容。
8. 立体几何（Solid geometry）：立体几何是指研究三维空间
中立体图形的性质、关系和构造等内容。
9. 代数拓扑（Algebraic topology）：代数拓扑是将代数学方法
应用于拓扑空间研究的一个分支，研究空间的代数性质和变形等问题。
10. 同调论（Homology theory）：同调论是数学中的一个分支，研究空间中的“洞”和“环”等代数特征，用于研究空间的性质和
分类。
理学线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间．§1.1 线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为)和复数域(记为)，统称数域．一、线性空间的定义及性质定义1 设是一个非空集合，是一数域．如果存在一种规则，叫做的加法运算：对于中任意两个元素,αβ，总有中一个确定的元素与之对应．称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做对于的数乘运算：对于中的任意数及中任意元素，总有中一个确定的元素与之对应，叫做与的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质：对于任意，，V γ∈及，l F ∈，有 1)αββα+=+；2)()()αβγαβγ++=++；3)中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=；6)()()k l kl αα=；(式中是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+．则称为数域上的一个线性空间，也称向量空间．中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘法．在不致产生混淆时，将数域上的线性空间简称为线性空间．需要指出，不管的元素如何，当为实数域时，则称为实线性空间；当为复数域时，就称为复线性空间．线性空间{0}V =称为零空间．例1 任何数域(作为集合)，对于通常的数的加法与乘法(作为数乘)运算，都构成此数域上的线性空间．例2 实数域作为集合，对于通常的数的加法及乘法(作为数乘)运算，不能构成复数域上的线性空间．因为,,a R k i C ka ai R ∈=∈=∉．例 3 以数域上的数为系数的多项式称为数域上的多项式．数域上的、以为变量的全体多项式的集合记为[]F x ；次数小于的全体多项式的集合记为[]n F x ．可以证明，[]n F x 对于通常的多项式加法及多项式数乘运算构成数域上的线性空间．对于多项式(),()[]n f x g x F x ∈，设121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++， 121210()n n n n g x b x b x b x b ----=++++，这里,,0,1,2,,1i i a b F i n ∈=-，于是1211221100()()()()()()[]n n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b F x ------+=++++++++∈，对于任何k F ∈，有121210()[]n n n n n kf x ka x ka x ka x ka F x ----=++++∈．易证明线性空间定义中的八条性质都成立，因此[]n F x 是上的线性空间．类似可证[]F x 对于通常的多项式加法及数乘运算也构成数域上的线性空间．例4 数域上的维列(或行)数组向量的全体所构成集合记为，它对于数组向量加法、数乘运算构成上的线性空间．例5 数域上的m n ⨯矩阵的全体构成的集合记为m n F ⨯，它对于矩阵加法、数乘运算构成数域上的线性空间．例6 定义在[,]a b 上的实函数全体的集合，对于函数加法、数乘运算构成实数域上的线性空间．例7 常系数二阶齐次线性微分方程320y y y '''-+=的解的集合，对于函数加法及数与函数乘法有：若12,y y D ∈，则12y y D +∈，当k R ∈时，则1ky D ∈，即关于这两种运算是封闭的，且满足定义１中的八条性质，故构成了上的线性空间．定理1 设是数域上的线性空间，则 1) 中零元素惟一；2) 中任一元素的负元素惟一；V α∀∈，用表示的负元素； 3) 00k =；特别有00α=，(1)αα-=-； 4) 如果0k α=，那么00k α==或．证 这里仅证明2)，其余的证明留给读者去完成． 假设有两个负元素与，则0αβ+=，0αγ+=，从而0()()0βββαγβαγγγ=+=++=++=+=．二、向量的线性相关性在线性代数中，已讨论了维数组向量的性质：线性表示，等价性，线性相关性等，对于一般的数域上的线性空间也有类似结果．定义2 设是数域上的线性空间，12,,,(1)r r ααα≥是中一组向量，12,,,r k k k 是数域中的数，如果中向量可以表示为1122r r k k k αααα=+++，则称可由12,,,r ααα线性表示(线性表出)，或称是12,,,r ααα的线性组合．定义3 设12,,,r ααα与12,,,s βββ是线性空间中两个向量组，如果12,,,r ααα中每个向量都可由向量组12,,,s βββ线性表示，则称向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表示．如果向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ可以互相线性表示，则称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的．容易证明向量组之间的等价具有如下性质： (1) 自反性 每一个向量组都与它自身等价； (2) 对称性 如果向量组12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么向量组12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价；(3) 传递性 若向量组12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而且向量组12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，则向量组12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价．定义4 设为数域上的线性空间，12,,,(1)r r ααα≥是中一组向量，如果存在个不全为零的数12,,,,r k k k F ∈使得11220r r k k k ααα++=，则称12,,,r ααα线性相关；如果向量组12,,,r ααα不线性相关，就称为线性无关．由定义4可得向量组线性相关定义的另一说法．定理 2 设为数域上的线性空间，中一个向量线性相关的充分必要条件是0α=；中一组向量12,,,(2)r r ααα≥线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合．证 如果一个向量线性相关，由定义4可知，有0k ≠，使0k α=，由定理1 的4)知0α=．反之，若0α=，由对任意数0k ≠都有0k α=．由定义4知，向量线性相关．如果向量组12,,,r ααα线性相关，则存在不全为零的数12,,,r k k k ，使得11220r r k k k ααα+++=，因为12,,,r k k k 不全为零，不妨设0r k ≠，于是上式可改写为121121r r r r rrk kk k k k αααα--=----， 即向量是其余向量121,,,r ααα-的线性组合．反过来，如果向量组12,,,r ααα中有一个向量是其余向量的线性组合，譬如说112211r r r l l l αααα--=+++，上式可写为112211(1)0r r r l l l αααα--++++-=，因为11,,,1r l l --不全为零，由定义4知，向量组12,,,r ααα线性相关．例8 实数域上线性空间22R ⨯的一组向量(矩阵)1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是线性无关的．事实上，如果1112123214220k E k E k E k E +++=，即12340k k k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则12340k k k k ====．因此，满足1112123214220k E k E k E k E +++=的1234,,,k k k k 只能全为零，于是11122122,,,E E E E 线性无关．定理3 设为数域上的线性空间，如果中向量组12,,,r ααα线性无关，并且可由向量组12,,,s βββ线性表示，则r s ≤．证 采用反证法．假设r s >，因为向量组12,,,r ααα可由向量组,s β线性表示，即1,1,,si ji j j a i r αβ===∑，做线性组合11221111()r s s rr r i ji j ji i j i j j i x x x x a a x αααββ====+++==∑∑∑∑，考虑齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.r r r r s s sr r a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为上述齐次线性方程组未知数12,,r x x x 的个数大于方程的个数，从而有非零解12,,,r x x x ，即我们可找到不全为零的数12,,r x x x ，使得11220r r x x x ααα+++=．因此，向量组12,,,r ααα线性相关，这与12,,,r ααα线性无关矛盾，于是r s ≤．由定理3直接可得如下结论．推论1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量． 定理4 设线性空间中向量组12,,,r ααα线性无关，而向量组,r αβ线性相关，则可由12,,,r ααα线性表示，并且表示法是惟一的．证 向量组12,,,,r αααβ线性相关，故存在不全为零的数12,,,k k1,r r k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++=，并且10r k +≠；否则向量组12,,,r ααα线性相关，这与条件矛盾．从而1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----， 即可由12,,,r ααα线性表示．假设可由12,,,r ααα线性表示为11221122r r r r k k k l l l βαααααα=+++=+++，则111222()()()0r r r k l k l k l ααα-+-++-=．因为向量组12,,,r ααα线性无关，从而0(1,2,,)i i k l i r -==．因此，可惟一的表示为12,,,r ααα的线性组合．定义5 设12,,,s ααα是线性空间中一组向量，如果12,,,s ααα中存在个线性无关的向量12,,,(1,1,2,,)r i i i j i s j r ααα≤≤=，并且12,,,s ααα中任一向量都可由向量组12,,,r i i i ααα线性表示，则称向量组12,,,r i i i ααα为向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组，数称为向量组12,,,s ααα的秩，记为{}12,,,s rank r ααα=．一般说来，向量组的极大线性无关组不惟一，但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价．由等价的传递性可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，并且任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价．由推论1知，一个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量，即向量组的秩是惟一的，并且等价的向量组具有相同的秩．三、基与维数现在引入线性空间的基与维数的概念，它是线性空间的重要属性． 定义6 设是数域上的线性空间，如果中存在个向量12,,,n εεε，满足1)12,,,n εεε线性无关；2)中任何向量均可由12,,...,n εεε线性表示．即存在12,,,n k k k F ∈，使得1122n n k k k αεεε=+++，则称12,,,n εεε为的一组基(或基底)，基中向量的个数称为线性空间的维数，记为维或dim V ．若dim V <+∞，称为有限维线性空间，否则，称为无限维线性空间，本书主要讨论有限维线性空间．关于线性空间的基与维数，有(1) 维线性空间中任一向量必可由的基12,,,n εεε线性表示，并且表示法惟一．(2) 线性空间的基(只要存在)必不惟一． (3) 有限维线性空间的维数是惟一确定的．定理5维线性空间中任意个线性无关的向量均可构成一组基． 证 设是维线性空间，12,,,n εεε是的一组基，12,,,n ααα是中一个线性无关的向量组．为证12,,,n ααα是基，只须证明中任一向量可由12,,,n ααα线性表示．此时，向量组12,,,n ααα中每个向量都可由基12,,,n εεε线性表示．这是1n +个向量被个向量线性表示的情况，即知12,,,n ααα，线性相关．再由定理4，便知可由12,,,n ααα线性表示，定理得证．例9 求实数域上线性空间的维数和一组基．解 考虑中向量组1231000,1,0.001E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然满足 1)123,,E E E 线性无关；2)对于中任一向量123(,,)T a a a α=，有112233a E a E a E α=++．由定义6知123,,E E E 为的一组基，从而的维数为3．例10 求数域上线性空间23F ⨯的维数和一组基． 解23F ⨯中向量组111213100010001,,,000000000E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212223000000000,,100010001E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然满足1)111213212223,,,,,E E E E E E 线性无关，2)对于23F ⨯中任一元素111213212223aa a A a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 111112121313212122222323A a E a E a E a E a E a E =+++++，于是知111213212223,,,,,E E E E E E 为23F ⨯的一组基，从而23dim()6F ⨯=．类似可知，线性空间m n F ⨯的维数为，其一组基为,1,2,...,;1,2,...,ij E i m j n ==，其中是m n ⨯矩阵，它的()元素为1，其余全为0．例11 设是二阶实对称矩阵全体的集合，对于通常的矩阵加法、矩阵数乘两种运算构成的实数域上的线性空间，求出的维数和一组基．解中一般元素可表示为a b b c ⎛⎫⎪⎝⎭，,,a b c R ∈，,,a b c 所在位置各体现一个自由度．考虑中向量组123100100,,001001A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足 1)123,,A A A 线性无关；2)对中任一矩阵，a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有123A a A b A c A =++，可见12,,A A 为的一组基，dim()3V =．四、坐标与坐标变换定义7 设是数域上的维线性空间，12,,...,n εεε是的一组基，对于中任一向量，有数域中惟一的一组数12,,...,n a a a ，使1122...n n a a a αεεε=+++，称有序数组12,,...,n a a a 为向量在基12,,...,n εεε下的坐标，记为．如果借用矩阵乘法的形式，记12112212(,,...,)n n n n a a a a a a εεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭， 则的坐标可以方便地用一个维列(数组向量)表示出来12ˆn a aa α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 例12[]n F x 中向量121210()n n n n f x a x a x a x a ----=++++在基21,,,...,x x1n x -下的坐标为011(,,...,)T n a a a -．例13 设是二阶实对称矩阵全体的集合，对于矩阵加法与矩阵数乘运算构成实数域上的线性空间，求中向量1223A ⎛⎫= ⎪⎝⎭在基123200001,,000110εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标．解 因为1231322A εεε=++，所以在基123,,εεε下的坐标为1(,3,2)2T ．引理1 在维线性空间中，对于任一组基，向量为零向量的充分必要条件是的坐标为(0,0,...,0)T ．引理2 设是数域上的维线性空间，在基12,,...,n εεε下，如果的坐标记为，的坐标记为，则1)αβ+的坐标为ˆˆαβ+； 2)的坐标为ˆ()k k F α∈． 证 设1212ˆˆ(,,...,),(,,...,)T T n na a ab b b αβ==，便有 1122n n a a a αεεε=+++， 1122n n b b b βεεε=+++．于是，111222()()()n n n a b a b a b αβεεε+=++++++，可见αβ+的坐标为1122ˆˆn n a b a b a b αβ+⎛⎫ ⎪+ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭． 对任意k F ∈，有1122n n k ka ka ka αεεε=+++，故的坐标为．定理 6 设是数域上的维线性空间，在的一组基12,,...,n εεε之下，向量组12,,...,s ααα线性相关的充分必要条件是它们的坐标12ˆˆˆ,,...,s ααα(作为数域上的维数组向量)线性相关．证 利用引理1，2，便知以下四种说法等价 中向量组12,,...,s ααα线性相关． 有数域中不全为零的数12,,...,s k k k ，使1122...0s s k k k ααα+++= ． 有数域中不全为零的数12,,...,s k k k 使1122ˆˆˆ...0s s k k k ααα+++=，这里0(0,0,...,0)T =． 数域上的维数组向量12ˆˆˆ,,...,s ααα线性相关． 设是数域上的维线性空间，12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''是的两组基，并设 11112121212122221122...,...,....n n n nnn n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε'=+++⎧⎪'=+++⎪⎨⎪⎪'=+++⎩ (1) 若令111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则中第列恰是向量i ε'在基12,,...,n εεε下的坐标，矩阵是惟一确定的，并且是可逆的，把(1)式形式地表达为1212(,,...,)(,,...,)n n A εεεεεε'''=． (2) 把(2)式称为基变换公式，其中的阶矩阵称为由基12,,...,n εεε到基12,,...,n εεε'''的过渡矩阵(或称变换矩阵)．在(2)式两端同时右乘，便得11212(,,...,)(,,...,)n n A εεεεεε-'''=． 这说明由基12,,...,n εεε'''到基12,,...,n εεε的过渡矩阵恰是由基12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵的逆矩阵． 下面研究同一向量在两组基下的坐标间的关系． 设基12,,,εεεn 与12,,,εεε'''n之间的关系如(2)式，向量在这两组基下的坐标分别为12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12nx x x '⎛⎫⎪' ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭， 于是，有11221212(,,...,)(,,...,)n n n nx x x x A x x αεεεεεε''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'' ⎪ ⎪'''== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭．根据向量在取定基下坐标的惟一性，得1122n nx x x x A x x '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭， (3) 或写成11221n n x x x x A x x -'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪' ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭． (3)＇(3)式或(3)＇式叫做坐标变换公式．定理7 在维线性空间中，设向量在两组基12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''之下的坐标分别为12(,,...,)T n x x x 及()12,,...,Tn x x x '''，如果两组基向量的变换公式如(2)，则坐标变换公式为(3)或(3)＇．例14 在线性空间中，求出由基1232121,0,5311ααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的变换公式，并求向量(4,12,6)Tξ=在基123,,ααα下的坐标123(,,)T x x x ．解 首先容易得到由基123,,εεε到基123,,ααα的变换公式为123123(,,)(,,)A αααεεε=，其中 212105311A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，可求得1535222746111222A -⎛⎫- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎪⎝⎭．于是，由基123,,ααα到基123,,εεε的变换公式为1123123(,,)(,,)A εεεααα-=．又因为向量在基123,,εεε下的坐标显然为(4,12,6)T ，依坐标变换公式便有112347121661x x A x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例15 对于数域上的线性空间22F ⨯，证明123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是一组基，并求11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在该基下的坐标．解 取基123410010000,,,00001001εεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则有1124323423,,,.A A A A εεεεεε=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪=-⎩即1234123410000011(,,,)(,,,)00110100A A A A εεεε⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，过渡矩阵10000011,20,00110100B B ⎛⎫⎪⎪==-≠ ⎪- ⎪⎝⎭故1234,,,A A A A 是一组基．因为在1234,,,εεεε下的坐标为11122122(,,,)T a a a a ，则在1234,,,A A A A 下的坐标为()()11111222121112212321112212224a x a a x a B a a x a a a a x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 例16 已知矩阵空间22R ⨯的两组基(Ⅰ) 123410100101,,,01011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 123411111110,,,11100000B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵．解 为了计算简单，采用中介基方法．引进22R ⨯的简单基(Ⅲ) 1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直接写出由基(Ⅲ)到基(Ⅰ)的过渡矩阵1110001100111100C ⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪-⎝⎭，即1234111221221(,,,)(,,,)A A A A E E E E C =．再写出由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵21111111011001000C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，即1234111221222(,,,)(,,,)B B B B E E E E C =．所以有11234123412(,,,)(,,,)B B B B A A A A C C -=． 于是得由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵1121001111121111001111001111101101100221022011010000010C C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． §1.2 线性子空间一、线性子空间的概念在通常的三维几何空间中，考虑过原点的一条直线或一个平面．不难验证这条直线或这个平面上的所有向量对于向量加法及数乘运算，分别形成一个一维和二维的线性空间．这就是说，它们一方面都是三维几何空间的一部分，另一方面它们自身对于原来的运算也都构成一个线性空间．针对这种现象，引入下面定义．定义8 设是数域上的线性空间的一个非空子集合，且对中已有的线性运算满足以下条件(1) 对任意的1,x y V ∈，有1x y V +∈， (2) 对任意的1,x V k F ∈∈，有1kx V ∈， 则称为的线性子空间或子空间．例如，阶齐次线性方程组的解空间是的子空间．值得指出，线性子空间也是线性空间．这是因为为的子集合，所以中的向量不仅对线性空间已定义的线性运算封闭，而且还满足相应的八条运算律．容易看出，每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称后者为零子空间．它们统称为平凡子空间．由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念，亦可应用到线性子空间中去．由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零．因为线性子空间中不可能比整个线性空间中有更多数目的线性无关的向量，所以，任何一个线性子空间的维数不大于整个线性空间的维数，即有1dim dim V V ≤(1)例如，阶齐次线性方程组当其系数矩阵的秩为(1)r r n ≤<时，其解空间的维数n r -小于的维数．下面讨论线性子空间的生成问题． 设12,,,m x x x 是数域上的线性空间的一组向量，其所有可能的线性组合的集合{}111(,1,2,,)m m i V k x k x k F i m =++∈=是非空的，而且容易验证对的线性运算是封闭的，因而是的一个线性子空间．这个子空间称为由12,,,m x x x 生成(或张成)的子空间，记为 {}1211(,,,)m m m L x x x k x k x =++．(或},,,{21m x x x span)(2) 在有限维线性空间中，它的任何一个子空间都可以由式(２)表示．事实上，设是的子空间，当然是有限维的，如果12,,,m x x x 是的一个基，那么有112(,,,)m V L x x x =． (3)特别地，零子空间就是由零元素生成的子空间(0)L ．矩阵的值域和核空间(零空间)的理论，在线性最小二乘问题和广义逆矩阵的讨论中都占有重要地位，现定义如下定义9 设()m n ij A a R ⨯=∈，以(1,2,,)i a i n =表示的第个列向量，称子空间12(,,,)n L a a a 为矩阵的值域(列空间)，记为12()(,,,)n R A L a a a =． (4)由前面的论述及矩阵秩的概念可知()m R A R ⊂，且有dim ()rankA R A =．()R A 还可以这样生成：令12(,,,)T n x ξξξ=，则12121122(,,,)(,,,)T n n n n Ax a a a a a a ξξξξξξ==+++，这表明为的列向量组的线性组合．反之，若为的列向量组的线性组合，则1122n n y a a a Ax ξξξ=+++=．可见所有乘积之集合{}nAx x R ∈与的列向量组的线性组合的集合12(,,,)n L a a a 相同，从而有{}()n R A Ax x R =∈．(5)同样可以定义的值域(行空间)为{}()T T m n R A A x x R R =∈⊂， (6)且有dim ()dim ()T rankA R A R A ==．定义10 设()m n ij A a R ⨯=∈，称集合{}0x Ax =为的核空间(零空间)，记为()N A ，即{}()0N A x Ax ==．(7)显见()N A 是齐次线性方程组0Ax =的解空间，它是的一个子空间．的核空间的维数称为的零度，记为()n A ，即()dim ()n A N A =．例1 已知101011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求的秩及零度．解 记123(,,)A a a a =，显然有1230a a a +-=，即的三个列向量线性相关．但的任何两个列向量均线性无关，故2rankA =．又由0Ax =可求出(1,1,1),T x t t =-为任意参数，从而有()1n A =． 同样可以求得2,()0T T rankA n A ==．由例1可见，()rankA n A A +=的列数，而()()T n A n A -=()A 的列数(A -的)行数．这一事实具有一般性，即若()m n ij A a R ⨯=∈，则有下面的一般公式()rankA n A n += ， (8)()()T n A n A n m -=-．(9)事实上，因为0Ax =的解空间的维数为()n A n rankA =-，从而式(8)成立；又因()T T rankA n A m +=，由式(8)减去上式便得式(9)．值得指出的是，当m n A C ⨯∈时，同样有第一节中定义6和定义7，且式(8)与(9)仍成立．定理８ 设是数域上的线性空间的一个维子空间，12,,,m x x x 是的基，则这个基向量必可扩充为的一个基．换言之，在中必可找到n m -个向量12,,,m m n x x x ++，使得12,,,n x x x 是的一个基．证 对维数差n m -作归纳法．当0n m -=时，定理显然成立，因为12,,,m x x x 已经是的基．现在假定n m k -=时定理成立，考虑1n m k -=+的情形．既然12,,,m x x x 还不是的基，但它又是线性无关的，则由定义6可知，在中至少有一个向量1m x +不能被12,,,m x x x 线性表出，把1m x +添加进去，121,,,,m m x x x x +必定是线性无关的(因为，若12,,,r x x x 线性无关，但12,,,,r x x x x 线性相关，那么可以被12,,,r x x x 线性表出，且表示法惟一)．由式(3)知子空间121(,,,,)m m L x x x x +是1m +维的．因为 (1)()111n m n m k k -+=--=+-=，由归纳法假定知121(,,,,)m m L x x x x +的基121,,,,m m x x x x +可以扩充为的基，归纳法完成．二、子空间的交与和前面讨论了由线性空间的元素生成子空间的方法与理论．这里将要讨论的子空间的交与和，可以视为由子空间生成的子空间．首先证明下面的定理． 定理9 如果12,V V 是数域上的线性空间的两个子空间，那么它们的交集12V V 也是的子空间．证 因为120,0V V ∈∈，所以120V V ∈．于是12V V 是非空的．又若12,x y V V ∈，则12,,,x y V x y V ∈∈．因12,V V 都是子空间，故12,x y V x y V +∈+∈，即12x y V V +∈．又因对任意的k F ∈，12,kx V kx V ∈∈，故12kx V V ∈．所以12V V 是的子空间．称12V V 为子空间12,V V 的交． 由集合的交的定义可以推知，子空间的交满足交换律与结合律，即有1221V V V V =，123123()()V V V V V V =．定义11 设12,V V 都是数域上的线性空间的子空间，12,x V y V ∈∈，则所有x y +这样的元素的集合称为12V V 与的和，记为12V V +，即{}1212,,V V z z x y x V y V +==+∈∈．定理10如果12,V V 都是数域上的线性空间的子空间，那么它们的和12V V +也是的子空间．证 显然12V V +非空．又对任意向量112212,x y x y V V ++∈+，设12,x x 1V ∈，122,y y V ∈，则有1122121212()()()()x y x y x x y y V V +++=+++∈+，111112,()k F k x y kx ky V V ∀∈+=+∈+，这就证明了12V V +是的子空间． 由子空间的和的定义可以推知，子空间的和适合交换律与结合律，即有1221V V V V +=+ ，123123()()V V V V V V ++=++．例如，在线性空间中，表示过原点的直线上所有向量形成的子空间．表示另一条过原点的直线上所有向量形成的子空间．显然12V V 是由与交点(原点)形成的零子空间；12V V +是在由与所决定的平面上全体向量形成的子空间． 子空间的交与和可视为子空间之间的两种运算．如果子空间12,W V W V ⊂⊂，那么12W V V ⊂．这就是说12,V V 的子空间是12V V 的子空间；换言之，12V V 是包含在12,V V 中的最大子空间．如果子空间12,W V W V ⊃⊃，那么12W V V ⊃+．这就是说包含12V V 与的子空间也包含12V V +；或者说12V V +是包含12V V 及的最小子空间．关于两个子空间的交与和的维数，有如下的定理．定理11(维数公式)如果12,V V 是数域上的线性空间的两个子空间，那么有下面公式121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++． (10)证 设112212dim ,dim ,dim()V n V n V V m===．需要证明12dim()V V +12n n m =+-．当1m n =时，由121V V V ⊂知121V V V =，再由122V V V ⊂，可得12V V ⊂，从而122V V V +=，故12212dim()dim V V V n n m +==+-．同理，当2m n =时，式(10)亦成立． 当1m n <，且2m n <时，设12,,,m x x x 为12V V 的基．由定理8，将它依次扩充为12,V V 的基121111,,,,,;,,,,,,m n m m n m x x y y x x z z --只要证明向量组12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --是12V V +的一个基，这样一来，12V V +的维数就等于12n n m +-，则式(10)成立．因为中任一向量可由111,,,,,m n m x x y y -线性表出，所以也可由12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --线性表出．同理中任一向量也可由它们线性表出．于是有1212111(,,,,,,,,)m n m n m V V L x x y x z z --+=． 还须证明这12n n m +-个向量线性无关．假定11221111110m m n m n m n m n m k x k x p y p y q z q z ----++++++++=，令2211111111n m n m m m n m n m x q z q z k x k x p y p y ----=++=------，则由第一等式有2x V ∈；由第二等式有1x V ∈，因此有12x V V ∈，即可由12,,,m x x x 线性表出，令1122m m x l x l x l x =----，则有221122110m m n m n m l x l x l x q z q z --++++++=． 但211,,,,,m n m x x z z -是的基，因此它们线性无关，所以有2110,0m n m l l q q -======，从而0x =．于是又有1111110m m n m n m k x k x p y p y --+++++=，但111,,,,,m n m x x y y -是的基，故它们线性无关，从而又有1110,0m n m k k p p -======．这就证明了12111,,,,,,,,m n m n m x x y y z z --线性无关，因而它是12V V +的基．式(10)表明，和空间的维数往往要比空间维数的和小．给出和空间12V V +时，只知道其任一向量均可表示为12x V y V ∈∈与的和，即z x y =+．但是，一般说来这种表示法并不是惟一的．例如，在中，若表示1(1,0,0)x =与2(1,1,1)x =所生成的子空间；表示1(0,0,1)y =与2(3,1,2)y =所生成的子空间．则其和12V V +中的零向量，一方面可表示为000+=，即中的零向量与中的零向量之和，另一方面，零向量又可表示为12210(2)()x x y y =+--，这就说明零向量的表示法不惟一．针对这种现象，作如下定义．定义12 如果12V V +中的任一向量只能惟一地表示为子空间的一个向量与子空间的一个向量的和，则称12V V +为与的直和或直接和，记为1212()V V V V ∙⊕+或．定理12 和12V V +为直和的充要条件是12(0)V V L =．证 充分性 设12(0)V V L =，对12z V V ∈+，若有121122,,z x x x V x V =+∈∈； 121122,,z y y y V y V =+∈∈，则有1122111222()()0,x y x y x y V x y V -+-=-∈-∈,， 即 112212()()x y x y V V -=--∈ 11220,0,x y x y -=-=也就是1122,x y x y ==，于是的分解式惟一，12V V +为直和．必要性 假定12V V +为直和，如果12V V 不为零空间，则在12V V 中至少有一向量0x ≠．因12V V 是线性空间，故有12x V V -∈．今对12V V +中的零向量既有000+=，又有0()x x =+-．这与12V V +是直和的假定矛盾．推论1设12,V V 都是线性空间的子空间，令12U V V =+，则12U V V =⊕的充要条件为1212dim dim()dim dim U V V V V =+=+． (11)由定理12知，12V V +为直和的充要条件是12(0)V V L =．这与12dim()0V V =等价，也就是与12dim dim dim U V V =+等价．推论2如果1,,k x x 为的基，1,,l y y 为的基，且12V V +为直和，则1,,k x x ，1,,l y y 是12V V ⊕的基． 证1,,k x x ，1,,l y y 是12V V ⊕的k l +个向量，只需证明它们线性无关即可．设一组数1,,k c c ，1,,l d d 使 11110k k l l c x c x d y d y +++++=，则有111112()(0)k k l l c x c x d y d y V V L ++=-++∈= ．故110,0k l c c d d ======，也就是1,,k x x ，1,,l y y 线性无关．子空间的直和概念可以推广到多个子空间的情形：设(1,2,,)i V i s =是线性空间的子空间．如果和1sii V=∑中每个向量的分解式1s x x x =++，(1,2,,)i i x V i s ∈=是惟一的，则称该和为直和，记为12s V V V ⊕⊕⊕．§1.3 线性变换及其矩阵线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，而线性变换则研究线性空间中元素之间的最基本联系，本节介绍线性变换的基本概念，并讨论它与矩阵之间的联系．一、线性变换及其运算定义13 对于线性空间，如果存在一种规则：对于中每个元素，都有中一个确定元素与之对应，则称为线性空间的一个变换，并把这种对应关系记为()σαα'=，称为在变换下的象，称为在变换下的一个原象．1．中所有元素在变换下的象所成的集合称为变换的象集(或值域)，记为()V σ．显然，()V V σ⊆．定义14 设,στ都是线性空间的变换，如果对于任意的V α∈，总有()()σατα=，则说变换与变换相等，记作στ=． 2． 几个特殊的变换恒等变换： *1()αα=，α∈V ； 零变换： *0()0α=，α∈V ；数乘变换*()∈k k F ：*()αα=k k ，α∈V ．3． 设、都是线性空间的变换．可定义与的和变换στ+及乘积变换为：()()()()στασατα+=+，α∈V ；()[()]σταστα=，α∈V ．4． 如果是数域上的线性空间，对于中的数及的变换，可定义的数乘变换为()()(),k k V σασαα=∈定义15 对于线性空间的变换，若有的变换，使*1σττσ==，则称为可逆变换，称为的逆变换，记为．定义16设是数域上的线性空间，是的一个变换．如果对于中任意元素,αβ以及数域中任意的数，总有()()()σαβσασβ+=+， (1)()()k k σασα=， (2) 则称为线性空间的一个线性变换．如果线性空间的线性变换还是可逆变换，则称为的一个可逆线性变换． 5． (数域上的)线性空间的线性变换具有如下一些基本性质(0)0;()(),()V σσασαα=-=-∈． 证(0)(0)0()0σσασα===，()[(1)](1)()()σασασασα-=-=-=-．线性变换保持线性组合关系不变，即对中任何向量12,,...,αααs 及数域中任何数12,,...,s k k k 总有11221122()()()()σααασασασα+++=+++s s s s k k k k k k ．线性变换把线性相关组化为线性相关组．证 若中向量12,,...,αααs 线性相关，则有中不全为零的数12,,...,s k k k 使11220ααα+++=s s k k k ，于是，1122()(0)σααασ+++=s s k k k利用、，上式即为1122()()()0σασασα+++=s s k k k ．说明12(),(),...,()σασασαs 是的一个线性相关组． 若、都是线性变换，则+，，()k k F σ∈也都是线性变换．证 对任意的,V αβ∈及任意的k F ∈，有()()()()()()()()σταβσαβταβσασβτατβ++=+++=+++()()()()()()()()σατασβτβσταστβ=+++=+++；()()()()()()στασατασατα+=+=+k k k k k[()()]()()σαταστα=+=+k k ．所以+为线性变换．类似可以证明为线性变换．再由*()()(())k k σασα=，而是线性变换，可知亦为线性变换．线性变换满足如下运算律：对于线性空间的线性变换，，及数域上的数，，总有;()();()();();();()();();().kl k l k l k l k k k σττσστρστρστρστρστρστσρστρσρτρσσσσσστστ+=+++=++=+=++=+=+=++=+若是可逆线性变换，则是可逆线性变换．证 只需证为线性变换，对于线性空间中的任意向量,,αβ有1111()()()()[()][()]αβσσασσβσσασσβ----+=+=+11[()()]σσασβ--=+．以作用等式两端得111()()()σαβσασβ---+=+．又，对于中任意向量及数域中的任意数，111()()[()][()]k k k k ασσασσασσα---===， 以作用两端得 11()()k k σασα--=． 于是知为线性变换，从而是可逆线性变换．例1 在线性空间中，求微分是一个线性变换，这里用表示，即()(),()n Df t f t f t P '=∀∈事实上，对任意的(),()n f t g t P ∈，及,k l F ∈，有[()g()][()g()]'()g ()D kf t l t kf t l t kf t l t ''+=+=+[()][()]k Df t l Dg t =+．例2 定义在闭区间[,]a b 上的所有实连续函数的集合(,)C a b 构成上的一个线性空间，在(,)C a b 上定义变换，即[()](),()(,)taJ f t f u du f t C a b =∀∈⎰．则是(,)C a b 的一个线性变换．二、线性变换的矩阵表示设是数域上的维线性空间，12,,...,εεεn 是的一组基．首先说明线性空间的一个线性变换，可以由它对基的作用完全确 定．即已知将化为()σεi (1,2,...,)=i n ，则对中任意向量1122αεεε=+++n n k k k ，必有 1122()()()()σασεσεσε=+++n n k k k ．这说明()σα被完全确定．由的任意性，知线性变换被完全确定了． 从另一个角度看，()i σε作为中向量，又可以由基12,,...,εεεn 惟一地线性表示，设11112121212122221122()()()σεεεεσεεεεσεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩n n n nn n n nn na a a a a a a a a (3) 若记 11122121212⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n n n nn a aa a a a A a a a ， 则(3)式可表示为1212((),(),...,())(,,...,)σεσεσεεεε=n n A ． (4)引进记号12(,,...,)σεεεn 用来表示12((),(),...,())σεσεσεn ，故(４)又可表示为1212(,,...,)(,,...,)σεεεεεε=n n A ． (5)(5)式中的阶矩阵称为线性变换在基12,,...,εεεn 下的矩阵．显然，当确定时，它在取定基12,,...,εεεn 下的矩阵是被惟一决定的．事实上，的第列正是()i σε在基12,,...,εεεn 下的坐标．反过来，若给定数域上一个阶矩阵⎡⎤=⎣⎦ij A a ，可以证明上存在惟一的线性变换，使得在基12,,...,εεεn 下的矩阵恰为．证明过程如下：先构造的一个变换，再证明它是线性变换，并且是满足(5)式的惟一的线性变换．记1122,1,2,...,αεεε=+++=i i i ni n a a a i n ．对于中向量1122αεεε=+++n n k k k ，令 1122()σαααα=+++n n k k k ，显然是的一个变换．还满足1)对于中任意向量，，若1122αεεε=+++n n k k k ， 1122βεεε=+++n n l l l ，按的定义应有1122()σαααα=+++n n k k k ， 1122()σβααα=+++n n l l l ，而 111222()()()αβεεε+=++++++nnn k l k l k l ，于是又有 111222()()()()σαβααα+=++++++n n n k l k l k l ，显然满足 ()()()σαβσασβ+=+．2)对于任意的∈k F ，及1122αεεε=+++∈n n k k k V ，便有1122()σαααα=+++n n k k k ， 1122αεεε=+++n n k kk kk kk ，1122()σαααα=+++n n k kk kk kk ．可见()()k k σασα=．。
空间的概念名词解释
空间的概念名词解释空间，是人类认识和感知世界的重要概念之一，它在我们的日常生活中发挥着重要的作用。
在物理学、地理学、建筑学等学科中，空间有着不同的涵义和定义。
本文将分别从物理空间、地理空间和建筑空间三个方面对这一概念进行解释。
一、物理空间物理空间是指物体存在的区域，是宇宙的基本组成单位。
这是一个宏观的概念，涵盖了三维空间中的所有物质。
物理空间可以看作是物体占据的范围，其维度通常被定义为三维空间，包括长度、宽度和高度。
物理空间的特征在于它的无限延伸性和连续性，没有边界的限制。
在物理学中，空间还被用来描述物体之间的相对位置和运动关系。
二、地理空间地理空间是地球表面的存在区域，包括陆地、海洋和大气等各个方面。
它是表达地理现象和研究地理问题的基本概念。
地理空间可以看作是地球表面上的一系列位置点的集合，其中每个位置点都有其特定的地理坐标。
在地理学中，地球表面的地理空间通常被划分为不同的区域，如洲际、国家或城市等，以便进行地理研究和信息描述。
地理空间的特征在于其多样性和相互联系性。
每个地理空间都有其独特的地貌、气候和生态系统等特征，同时它们之间也存在着紧密的相互关系。
地理学家通过研究地理空间的变化和相互作用，揭示了地球上的人文和自然现象之间的相互关系。
三、建筑空间建筑空间是建筑物内外存在的区域，它是建筑学研究和设计的重要对象。
建筑空间可以看作是建筑物所创造的具有特定功能和形式的空间。
它包括了建筑物内部的房间和功能区，以及建筑物外部的庭院、花园等。
建筑空间不仅仅是一个容器，更是人们生活和工作的场所，在其中人们进行各种活动，与周围环境交互。
建筑空间的特征在于其功能性和创意性。
建筑师通过设计和布局，创造出具有特定功能和美学特色的空间，使之适应不同的使用需求。
建筑空间的形式、尺度和比例等都是设计师在创造建筑物时需要考虑的要素。
同时，建筑空间还需要与周围的自然和人文环境相协调，形成和谐的整体。
空间作为一个普适的概念，贯穿了科学、人文和艺术等各个领域。
空间经济学的理论基础以及核心结论
第七讲空间经济学的理论基础以及核心结论一、理论基础与新古典的规模收益递减（不变）和完全竞争不同，空间经济学是以规模收益递增和垄断竞争为主要的理论基础。
虽然早在1933 年张伯伦就提出了垄断竞争思想（1933，1950），但垄断竞争思想与主流经济学所推崇的一般均衡建模技术结合在一起的分析框架，是由迪克希特和斯蒂格利茨在1977 年才完成的。
他们同时指出，最终产品生产者的规模收益递增来自于消费者对多样性产品的偏好。
另一方面，艾瑟尔（1982）①把研究的重点放在多样性中间投人品上，指出最终消费品生产者对中间投入品的多样性偏好决定了中间投人品生产者的规模收益递增。
规模收益递增和某一生产部门出现垄断是紧密联系在一起的。
也就是说，由于规模收益递增的存在，生产者不可能选择多元化战略，而会各自选择具有规模收益递增特征的生产部门进行生产，因此不同的生产者成为在其生产领域的垄断者。
尽管这些厂商都具有垄断特征，但这些生产部门不是自然垄断行业，也不是由政府获得特许权的部门，因此市场上存在许多潜在进入企业。
正因为许多潜在进入企业的进入威胁，这些垄断厂商不能按垄断价格定价，而是按边际成本加成定价法定价。
这就是规模收益递增和垄断竞争的含义。
以迪克希特和斯蒂格利茨的垄断竞争为基础，借鉴国际贸易理论，利用萨缪尔森（1954）的“冰山”交易技术，克鲁格曼把空间概念引人迪克希特一斯蒂格利茨的垄断竞争一般均衡分析框架中，完成了空间经济学的开山之作，即核心一一边缘模型，简称CP模型。
正如滕田、克鲁格曼、维纳布尔斯（1999）在他们的著作《空间经济学》中指出的那样，空间经济学是以“迪克希特——斯蒂格利茨、冰山交易技术、演进、计算机”为标志的。
迪克希特——斯蒂格利茨及冰山交易技术正是空间经济学的理论基础，“演进”指的是核心——边缘模型中存在多重稳定均衡，此时现实经济会选择何种均衡是不确定的。
这时，历史、偶发事件和人们的预期会起到重要的作用。
空间计量
w12 w22 wm 2
w1n w2 n wmn
二、空间权重矩阵与空间效应
空间相关性的根源
(i) 观测数据地理位置接近(geographical proximity)：由于地理位置的接近 而导致的空间相关性是空间相关性最初始的定义, 与地理学第一定律吻合。这 种相关性是环境, 地质等学科中的普遍现象。
二、空间权重矩阵与空间效应
Moran散点图
以（Wz，z）为坐标点的Moran散点图，常来研究局部的空间不稳定性，它对空 间滞后因子Wz和z数据对进行了可视化的二维图示。 全局Moran指数，可以看作是Wz对于z的线性回归系数，对界外值以及对Moran 指数具有强烈影响的区域单元，可通过标准回归来诊断出。 由于数据对（Wz，z）经过了标准化，因此界外值可易由2－sigma规则可视化地 识别出来。
全局空间相关性指标---Geary C
C
n 1 wij xi x j 2
n n i 1 j 1 n
2 wij xi x
i 1 j 1 i 1
n
n
2
式中：C为Geary系数；其他变量同上式。它与Moran指数负相关 Geary 系数 C 的取值一般在 [0 ，2]之间，大于 1表示负相关，等于1表示不相 关，而小于1表示正相关。
二、空间权重矩阵与空间效应
局部空间相关性指标
I i ( xi x ) wij ( x j x ) S2 j
局部空间自相关分析方法包括3种:
空间联系的局部指标LISA： 包括局部Moran指数和局部Geary指数
Gi wij x j / x j
G 统计量
G wij xi x j / xi x j
计算理论定理定义总结
定义1.1：有穷自动机是一个 5 元组 ( Q, ∑, δ, q0, F )，其中(1) Q 是一个有穷集合，称为状态集。
(2) ∑是一个有穷集合，称为字母表。
(3) δ: Q→∑⨯Q是转移函数。
(4) q0∈Q 是起始状态。
(5) F⊆Q 是接受状态集。
定义1.7：如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是正则语言。
DFA和NFA的区别：1、DFA每个状态对于字母表中的每个符号总是恰好有一个转移箭头射出。
NFA一个状态对于字母表中的每一个符号可能有0个1个或多个射出的箭头；2、在DFA中，转移箭头上的标号是取自字母表的符号。
而NFA的箭头可以标记字母表中的符号或ε。
定义1.17：非确定型有穷自动机 (NFA) 是一个 5 元组( Q, ∑, δ, q0, F )，其中(1) Q 是有穷的状态集。
(2) ∑是有穷的字母表。
(3) δ: Q⨯∑ε→P(Q)是转移函数。
(4) q0∈Q 是起始状态。
(5) F⊆Q 是接受状态集。
正则表达式的形式化定义：称 R 是一个正则表达式，如果 R 是(1) a，这里a 是字母表∑中的一个元素；(2) ε；(3) ∅(4) R1∪R2，这里 R1 和 R2 是正则表达式；(5) R1︒R2 ，这里 R1 和 R2 是正则表达式；(6) R1* ，这里 R1 是正则表达式；定义1.33：GNFA M = (Q, ∑, δ, qstart, qaccept)（1）Q 是有穷的状态集。
(2) ∑是输入字母表。
(3) δ:(Q-{qaccept})⨯(Q-{qstart}) →R 是转移函数。
(4) qstart 是起始状态。
(5) qaccept 是接受状态。
其中 R 是正则表达式。
定理1.37（泵引理）：若 A 是一个正则语言，则存在一个数p (泵长度) 使得，如果s是 A 中任一长度不小于p的字符串，那么s 可以被分成 3 段，s = xyz，满足下述条件：(1) 对于每一个i≥0, xyiz∈A ；(2) | y | > 0；(3) | xy | ≢p上下文无关文法：(1) 写下起始变元——第一条规则左边的变元。
空间的物理名词解释
空间的物理名词解释在我们周围的世界中，空间是一个无处不在的存在。
然而，尽管我们每天都在和空间打交道，但对于空间的物理概念了解却并不深入。
本文将为您解释一些关于空间的物理名词，帮助您更好地理解和认识空间的本质和特征。
一、维度（Dimensions）维度是描述空间特性的基本概念。
在物理学中，我们通常将空间分为三个维度，即长度、宽度和高度。
这三个维度构成了我们所处的三维世界。
我们可以用三个坐标轴（x、y、z轴）来表示空间中的点的位置。
这种表示方式使我们能够准确地描述物体在空间中的位置和运动。
二、时空（Spacetime）时空是另一个重要的概念，它将三维空间和时间结合在一起，形成了四维世界。
爱因斯坦的相对论理论将空间和时间看作是一个整体，称之为时空。
在时空中，物体不再只是在三个空间维度上运动，而是在时间维度上也会发生变化。
这种理论在解释物体运动和引力等现象时具有重要意义。
三、坐标系（Coordinate System）坐标系是一种用来表示空间位置的系统。
常见的坐标系有笛卡尔坐标系和极坐标系。
笛卡尔坐标系是一种使用直角坐标系表示空间位置的系统，通过引入三个坐标轴和一个原点来确定一个点的位置。
而极坐标系则使用一个原点和一个角度来确定一个点在空间中的位置。
不同的坐标系可以根据具体问题的需要自由选择，从而更方便地描述问题。
四、向量（Vector）向量是空间中一个具有大小和方向的物理量。
在物理学中，向量经常用来描述力、速度和加速度等物理量。
一个向量通常用一个箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
根据箭头的始点和终点不同，向量可以表示不同的物理量。
向量在三维空间中的位置可以通过坐标轴来表示，从而方便进行计算和分析。
五、场（Field）在物理学中，场表示空间中的某种物理性质在各个点上的数值分布。
常见的场包括电场、磁场和重力场等。
电场是由带电粒子产生的一种力场，磁场是由电流或磁体产生的一种力场，而重力场则是物体由于质量而产生的一种力场。
可测空间与基本测度空间的概念解析
可测空间与基本测度空间的概念解析随着数学的不断发展，研究空间是其重要的研究方向之一。
在现代测度论中，可测空间与基本测度空间是关键概念。
本文旨在对这两个概念进行解析，并探讨其应用。
一、可测空间的概念可测空间是测度论中的一个基本概念，是指带有一个测度函数的空间。
形式化地说，一个可测空间由三部分组成：$X$代表了空间，$\Sigma$代表了包含$X$里所有可测集合的$\sigma$-代数，而$\mu$代表了一个在$\Sigma$上的测度。
因此，我们可以通过一个可测空间来知道相应的对象的大小（体积），从而可以对其性质进行研究。
二、基本测度空间的概念第二个概念是基本测度空间。
与可测空间相似，基本测度空间是定义在一组可测集合上的测度函数。
具体来说，基本测度空间由$X$、$\mathcal{B}$和$\mu$组成。
这里，$X$代表了空间，$\mathcal{B}$代表了$X$上预定义的一组测度集合，$\mu$则代表了一个在$\mathcal{B}$上的测度函数。
比如，二维平面上的基本测度空间可以是由所有矩形所构成的集合类（即$\mathcal{B}$），其范数为矩形的面积（即$\mu$）。
三、可测空间与基本测度空间的关系通过对可测空间和基本测度空间的定义，我们可以发现两者存在着很多的相似之处。
实际上，在某些文献中，两者是等价的。
然而，它们的主要差异在于可测空间包含了所有的可测集合，而基本测度空间则在一定程度上限制了这个集合。
此外，基本测度空间通常包含了一些特定的性质，如可分离性、第一可数等。
这是因为，与可测空间相比，基本测度空间更适合于分析性问题（比如微积分学）。
四、可测空间与基本测度空间的应用可测空间和基本测度空间广泛应用于现代数学和应用数学的研究中。
特别是，它们在概率论、统计学、测度论和分析等领域中得到了广泛的应用，如：概率论：随机过程的研究需要对可测空间的理解，以便构建概率空间模型。
测度论：可测空间是测度论中取多重极限的基本对象，同时基本测度空间也可以用于研究测度论中的测度类。
空间计算概念
空间计算是地理空间基础设施(Geospatial CyberInfrastructure)的计算层面，指的是利用空间原则优化分布式计算性能的计算模式。
空间计算探讨了如何利用空间原则优化地理空间信息分布式计算的原理和方法。
现代科学的研究依赖于地理上分布的空间数据的有效分析和物理现象的大规模模拟。
单个计算机和通用的高性能计算设备都无法胜任日益复杂的物理科学分析和模拟，而分布式计算可能是解决的一个有效途径，如果能够再利用空间的原则，更可以优化分布式计算的效能。
空间计算是地理空间基础设施(Geospatial CyberInfrastructure)的计算层面，指的是利用空间原则优化分布式计算性能的计算模式。
空间原则主导着科学参数之间的时间与空间交互，其关联和制约驱动着物理现象的演化，因此，空间计算的研究可以推动空间原则在物理现象模拟过程中的应用，并进一步推动现代科学的进步。
四度空间的公式-----价格+时间=价值
四度空间的公式-----价格+时间=价值价格+时间=价值，这样一个简单的公式是可以经受长时间的考验，放诸四海而皆准。
四度空间公式中的"时间"，有几种含义，第一，"时间"是一个常数，说明其只有通过单位时间的交易才能维持市场的正常运转，此时的时间没有特别的意义；第二，："时间"是买卖的重要方面，也就是说，处于低于价值的价格的时间，不会太久，因此把握买入的时间，是十分重要的，可以说真正在低位的时间，是先知先觉者大胆入市的良机。
对于处于相对高位价格的时间，更是极短的时间，稍一疏忽，就过去了；第三，："时间"是一种等待，即要等待价格低于价值时间的来临，方可买入，以要等待价格高于价值的时刻而抛出，从某种意义上来说，在股市中心须学会等待，空仓中等待买入良机，满仓时等待抛出时刻。
四度空间公式中的"价格"是经常变化的，在单位时间内，价格是一变化区间，在更长的时间范围内，价格变化的区间也随之变宽，那么成交量较大的价格区间形成了价值中枢，所以四度空间的理论已经在找出价值的同时又找出了成交量较大的部分，换言之，时间+价格=成交量（价值），同时又等于价值。
四度空间公式中的"价值"，是四度空间理论的核心，是解决股市、期货市场中高抛低吸的标准。
高抛低吸以价值为中心，是对期货、股市的传统分析方法的一次革命。
四度空间公式中的价值。
从实战的角度来分析，有两重含义，投资理念的"价值"和投机理念的"价值"。
投资理念的"价值"，是指数股票市场中具体某只股票的内在价值，这个内在价值从四度空间的图形上是看不到的，它是基本分析范围的价值，例如：某一只股票的每股收益很高，但它的价格较低。
投资者认为它值20元，而此时的股价却只有10元左右，如深发展，6元左右的价格是低估了，当时第一波涨到18元左右。
截面内力计算
Ri' =
Ii
n
⋅ P = Ii n
∑ Байду номын сангаасi
∑ Ii
i =1
i =1
(4.7)
(4.8)
式中 n 为主梁根数。
2)偏心力矩M=P˙e=1˙e 的作用
在偏心力矩M=P˙e=1˙e作用下，横梁绕扭转中心o转动一微小的角度ϕ (图 4.6d)，因此
各根主梁产生的竖向挠度可表示为：
wi'' = aitgϕ
(4.5)
主梁所分担的荷载为Ri（见图 4.6c），根据材料力学关于简支梁跨中的荷载与挠度的关 系有：
ω i'
=
Ri'l 3 48EI i
或
Ri'
=
αI
ω'
ii
(4.6)
式中：
α
=
48E l3
=常数(E
为梁体材料的弹性模量)。
由静力平衡条件可得：
∑n Ri′ = P = 1
i =1
联立求解式（4.5）、(4.6)和(4.7)可得：
图 4.6 所示为一座由五片主梁
组成的梁桥的跨中截面，各片主梁
的抗弯刚度Ii、主梁的间距ai都各 不相等，单位竖向集中荷载P=1 作
用在离
截面扭转中心 o 的距离为 e 处。下
面分析荷载在各片主梁上的横向
分布情况。
由于假定横梁是刚体，所以可
以按刚体力学关于力的平移原理
将荷载P移到o点，用一个作用在
扭转中心o上的竖向力P和一个作
车和人群荷载，ηq 和ηr 分别为汽车车轮和每沿米人群荷载集度对应的荷载横向分布影响线
竖标。
杠杆原理法适用于计算荷载位于靠近主梁支点时的荷载横向分布系数，此时主梁的支承刚度 远大于主梁间横向联系的刚度，受力特性 与杠杆原理法接近。此外，该方法也可用 于双主梁桥（见图 4.3b），或横向联系很弱 的无中间横隔梁的桥梁。 （2）计算举例 例 4.1：图 4.4 示—桥面净空为净—7 附 2×0.75m 人行道的钢筋混凝土 T 梁桥， 共设五根主梁。试求荷载位于支点处时 1 号梁和 2 号梁相应于公路—Ⅱ级汽车荷载 和人群荷载的横向分布系数。 解： 当荷载位于支点处时，应按杠杆原理 法计算荷载横向分布系数。
空间几何及空间向量一些基本定理
我是封面[日期]空间几何及空间向量一些基本定理@吃白饭的万琪伟空间点线面四公理1.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面推论：1.一条直线和直线外一点可以确定一个平面。
2.两条平行直线可以确定一个平面。
3.两条相交交直线可以确定一个平面。
2.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
（即直线在平面内）3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
4.平行于同一条直线的两条直线平行。
空间补角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
平行关系的性质定理5.1.如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。
符号表示：а∥αa ∥β a ∥bα∩β＝b平面与平面平行的性质定理5.3如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示： α∥βγ∩α=a a ∥b γ∩β=ba βabαβγb α垂直关系的性质定理6.1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
符号表示：a ∩b=Al ⊥a l⊥α l ⊥b6.2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相平行。
符号表示：a ⊆αa ⊥β6.3 如果两条直线同平行于一个平面，那么这两条直线平行。
符号表示：a ⊥αb ⊥α 6.4如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
符号表示：空间图形面积S圆柱侧=2πrl ，S圆锥侧=πrl （其中r 为底面半径，l 为侧面母线长）l ab A αα⊥ββ aαa ∥ba bα a ⊥ββb αaα⊥β α∩β＝b a ⊆αa ⊥bS圆台侧=（r1+r2）πl（其中r1，r2分别为上，下底面半径，l为侧面母线长）S直棱柱侧=ch（其中c为底面周长，h为高）S正棱锥侧=1/2ch’(其中c为底面周长，h’为斜高，即侧面等腰三角形的高)S正棱台侧=1/2（c+c’）h’（其中c,c’分别为上，下底面周长，h’为斜高，即侧面等腰梯形的高）S球=4πr²空间图形体积V柱体=Sh→V=πr²h（r为底面半径h为圆柱的高）V椎体=1/3Sh→V=1/3πr²h（r为底面半径h为圆柱的高）V台体=1/3h（S上+S下+√S上+S下）V球=4/3πr³空间向量法向量：如果直线线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量叫做平面α的法向量。
空间理论
对于空间一词的解释，开始它是一个地理概念，一般词典上解释为物质存在的一种客观形式，是由长度、宽度、高度等因素表现出来，是物质存在的广延性和伸张性的表现。
它是我们经验可以感知的具体存在的本体。
空间观念在社会学上的意义则是处于历史性的变化之中。
一般认为空间既有具体的物质形式，同时也有精神的建构。
空间既有物质属性，也有它的精神属性，如我们所知道的社会空间、国家空间、日常生活空间、城市空间、经济空间、政治空间等等概念。
比如对城市空间的理解，既可以表达为被物理与经验地意识为形式和过程，意识为都市生活可衡量可标识的形状和实践；同时它也是一种思想性和观念性的领域，在形象性、自足性的思想和符号化的表象中概念化，是一种想象的构想性空间。
即便在日常生活中，不同的群体和人们也是根据不同的社会纽带组成不同的空间联系，这种空间联系既有文化的，又有社会的，也有宗教的。
空间结构的联系显现在人们日常生活的各个层面。
在西方学者空间理论分析中，空间通常分为第一空间、第二空间和第三空间。
所谓第一空间指的是空间形式具象的物质性，它是由经验来描述的事物，而第二空间指的是人类认知形式中的空间性，它是由空间的观念进行再表征的。
第三空间则结合了第一空间和第二空间视角，同时又开展了地理性和空间性想象的范围。
在这一空间中，是既真实又想象化的。
而通常第一空间被认为是真实的，而第二空间被认为是想象的。
西方大多数社会学研究者多将空间作社会文化意义上的设释。
在列斐伏尔看来，空间不仅是物质的存在，也是形式的存在。
主张从政治经济角度对待空间，认为空间是社会的产物，“空间就是(社会)产品”，“它真正是一种充斥着各种意识形态的产物”。
福柯则从观念史的角度来对待空间。
认为空间是权力实施的手段和媒介，权力是借助空间的物理性发挥作用。
一般空间理论家都认为，空间知识的生产主要是通过话语建构式的空间再现、通过精神性的空间活动来完成的。
认为，在日常生活里我们每一个人心目中都会有关于空间的想象，这便是“心目中的地图”。
计算理论课件第一章
例如，V＝{0,1}
V+={0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,…}
V*={,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,…} 六．语言
定义：设V是个字母表, LV*,则称L是V上的一个语言。 例如，V＝{0,1}
Na+A(α2)= Nb+B(α2)。 ② 此派生是对α1中的变元A作代换，必用产生式
A→a|aS|bAA , 显然不论使用哪一个产生式，都能得出结
论Na+A(α2)= Nb+B(α2)。
③ 此派生是对α1中的变元B作代换，必用产生式 B→b|bS|Abb ，显然不论使用哪一个产生式，都能得出
结论：Na+A(α2)= Nb+B(α2)。 综上所述，上述命题成立。
文法不仅作为一个“装置”，给出语言的句子的结构， 而
且本身也是一个数学系统。
例如：前边定义“十进制数”的文法。
G=({F,I,D,N}, {.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, P, F)
F—十进制数、 I—无符号整数、
D—十进制小数、N—数字 于是该文法的产生式集合P中产生式如下： 终极符
例如利用此文法产生3.14:
3.1N3.14
识别法：核心是一个自动机。对于给定的符号串可以
由自动机识别出是否为给定语言中合法的句子。
自动机的具体的例子以后再介绍。
1-1 形式语言基本概念
形式语言必须规定所用基本符号集合，这就是字母表。 一.字母表
字母表：符号的有限集合。通常用V或者表示。 例如 V＝a,b,c 。 二． 符号串 符号串：是由字母表中的符号组成的序列。 例如，aabbcc就是上述字母表V上的一个符号串。 符号串的长度：即是符号串所含符号个数。 例如符号串＝aabbcc 用表示的长度，则 |＝6。 空符号串：不含任何符号的符号串，通常用表示。 显然＝0 。
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I T = cbt
3
IT =
∑c b t
i =1
n
3
i i i
IT =
4Ω 2
∫
ds / t
IT =
4Ω 2
∫ ds / t
+
∑
i =1
n
ci bi ti
3
注：bi——矩形长边的长度； ti——矩形短边的长度； ci ——矩形截面抗扭刚度 系数。
1⎡ t ⎛t⎞ c = ⎢1 − 0 .63 + 0 .052 ⎜ ⎟ 3⎢ b ⎝b⎠ ⎣
2-5-46
4、铰接板桥的荷载横向影响线和横向分布系数
各板块不相同时，必须将半波正弦荷载在不同的板 条上移动计算 各板块相同时，根据位移互等定理，荷载作用在 某一板条时的内力与该板条的横向分布影响线相同
pi1 = a1wi1
p1i = a2w1i
wi 1 = w1i a1 = a2
pi1 = p1i
1 β= nGl 2 I T 1+ 2 12 EI ai
β=
1+ξ
1 GI T ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ EI ⎝ B ⎠
2
∑
ηki =
3、计算横向影响线竖标
Ik
∑ Ii
i =1
n
+β
ai a k I k ai2 I i ∑
i =1 n
4、作最不利荷载布置，计算横向分布系数
五、铰接板（梁）法和刚接梁法 （一）铰接板（梁）法 1、适用场合
ϕ
在M作用下每片主梁除产生不相同的挠度wi″ 外尚转动一个相同的角 由横隔梁的平衡
Ri" ai + ∑ M T j = 1 ⋅ e ∑
i =1 i =1
n
n
由材料力学：
Ri"l 3 ω i" = 48 EI i
ϕ=
lM Ti 4GI Ti
ϕ ≈ tgϕ =
ω i"
ai
任意k号梁的反力为
R =β
" k
≈100 0
1
0.04 0.0214
六、铰接梁法
假定：
（ 1 ） 各主梁除刚
体位移外，还存在 截面本身的变形；
（ 2） （ 3）
适用：无中横隔 梁，仅在翼缘连接 或仅通过桥面铺装 进行连接的装配式 肋梁桥 与铰接板法的区别：变位系数中增加桥面板变形项
七、刚接梁法
假定： （1）各主梁间 除传递竖向剪力外，还 传递横向弯矩（2） 适用：无中横隔梁，翼 缘板采用刚性连接的肋 梁桥（包括整体式和具 有可靠湿接缝的） 与铰接板、梁的区别：未知数增加一倍，力法方程数增加一倍
ea k I k ai2 I i ∑
i =1 n
考虑主梁抗扭刚度后任意k号梁的横向影响线竖标为：
η ki =
Ik
∑I
i =1
n
+β
i
ai a k I k
∑a
i =1
n
2 i i
I
（a）
其中：
β=
1 Gl ⋅ 1+ 12E
2
∑I ∑a I
Ti 2 i
<1
i
我也很重 要哟！
说明：1）注意ai 、ak正、负号； 2）β=1时，为偏心压力法； β<1时，为修正偏心压力法； 3）（a）式针对等截面简支梁的跨中截面而言； 4）主梁截面相同，
（2）修正的偏心压力法
偏心压力法：边梁受力偏大（乘以0.9折减）。
（一）计算原理
k号梁的横向影响线坐标为：
ηki =
Ik
∑
i =1
n
+ Ii
ai a k I k
∑
i =1
n
ai2 I i
第一项：中心荷载P=1引起，无转动，与主梁抗扭无关。 第二项：偏心力矩M=1·e引起，转动 —— 竖向挠度+扭转。 结论：要计入主梁抗扭影响，只需对第二项给予修正。
3、铰接板桥的荷载横向分布
在半波正弦荷载
p ( x ) = p sin
πx
l
作用下
产生缝间铰接力
g ( x ) = gi sin
πx
l
分析时，取跨中单位长度的 截割段，并用峰值gi表示 P=1作用于1#板 一般，n条板梁，（n-1）条 铰缝，（n-1）个gi
一般，n条板梁，（n-1）条铰缝，（n-1）个gi
3、比拟原理
任何纵横梁格系结构比拟成的异性板，可以完全仿照真 正的材料异性板来求解，只是方程中的刚度常数不同
注意：两向的换算厚度不同——结构异性
4、横向分布计算
根据荷载、挠度、 内力的关系
K ki η ki = 2B
Kki 是欲计算的板条位置k、荷 载位置i、扭弯参数α以及 纵、横向截面抗弯刚度之比θ 的函数，已经被制成图表，制 表 人 Guyon 、 Massonnet， 本 方法称G-M法
Guyon，无扭梁格： K 0 = f (α = 0，ϑ，k，i ) Massonnet，有扭梁格：K1 = f (α = 1，ϑ，k，i ) α=0~1间，用下式内插求得
K α = K 0 + ( K1 − K 0 ) α
参 数：
B Jx ϑ= 4 l Jy
α=
G (J Tx + J Ty ) 2E J x ⋅ J y
由变形协调条件，得正则方程：
δ 11 g1 + δ 12 g 2 + δ 13 g 3 + δ 14 g 4 + δ 1 p = 0 ⎫ ⎪ δ 21 g1 + δ 22 g 2 + δ 23 g 3 + δ 24 g 4 + δ 2 p = 0⎪ δ 31 g1 + δ 32 g 2 + δ 33 g 3 + δ 34 g 4 + δ 3 p δ 41 g1 + δ 42 g 2 + δ 43 g 3 + δ 44 g 4 + δ 4 p
-041 -007 -001
5、刚度参数γ的计算
b γ = ϕ w 2
（1）跨中挠度w的计算（ 仅中心荷载引起）：
中心荷载
p( x ) = p sin
πx
l
引起 ====== 〉
pl 4 w= 4 π EI
（2）跨中扭角ϕ的计算（ 仅扭矩引起）：
pbl 2 πx 引起 ϕ = b 偏心扭矩 mT ( x ) = p sin 2π 2 GI T l ====== 2
δ 13 = δ 14 = δ 24 = δ 31 = δ 41 = δ 42 = 0
δ1 p = −w
δ 2 p = δ 3p = δ 4 p = 0
注意：正、负号规定
b ϕ 将常系数代入（2-5-45），并令： = 2 γ w
2(1 + γ )g1 − (1 − γ )g2
=1 ⎫ ⎪ − (1 − γ )g1 + 2(1 + γ )g2 − (1 − γ )g3 = 0⎪ ⎬ − (1 − γ ) g2 + 2(1 + γ )g3 − (1 − γ )g4 = 0⎪ − (1 − γ ) g3 + 2(1 + γ )g4 = 0⎪ ⎭
铰接板6-2
γ 21 0.00 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 167 192 212 239 257 270 278 22 167 190 209 238 259 276 291 23 167 175 182 192 200 206 210 ηij 24 167 157 149 137 127 119 112 25 167 146 129 105 087 074 064 26 167 0.15 140 0.20 119 0.30 090 0.40 069 0.60 055 1.00 044 2.00 γ 21 290 295 295 291 277 250 201 22 319 340 373 399 440 500 593 23 219 226 234 240 246 250 241 ηij 24 098 087 069 054 031 000 25 046 035 021 012 004 000 26 027 017 008 003 001 000
八、比拟正交异性板法
1、计算原理：
将由主梁、连续的桥面板和多横隔梁所组成的梁桥，比 拟简化为一块矩形的平板； 求解板在半波正弦荷载下的挠度 利用挠度比与内力比、荷载比相同的关系计算横向分布 影响线
2、适用场合
由多道主梁、连续的桥面板（与梁肋结合良好）和 多道横隔梁组成的梁桥，当B/l 较大（>0.5）。
基本体系
求得gi后，即可用平衡原理求得Pi1
1# 2# 3# 4# 5# pi1 = 1 − g 1 ⎫ ⎪ p 21 = g1 − g 2 ⎪ ⎪ p31 = g 2 − g 3 ⎬ p 41 = g 3 − g 4 ⎪ ⎪ ⎪ p51 = g 4 ⎭
(2 − 5 − 44)
变形协调
“力法”求解：
5、查表绘影响线
（1）表中只有9点值，若梁位与点位不重合必须通过内插计 算实际梁中间位置的K值
B 3/4B B/2 B/4 0 -B/4 -B/2 -3/4B -B
①
②
③
④⑤ຫໍສະໝຸດ （2） K ki = K ik 利用对称关系，减少查表工作量 （3）欲求中距为b的某一主梁的影响线坐标，应先 求出对于轴线位置处的各点影响线坐标，再乘以b， 即
注意： ik , δ ip 的含义 δ
⎬ = 0⎪ = 0⎪ ⎭
(2 − 5 − 45)
变位系数计算
δ 11 = δ 22 = δ 33 = δ 44 = δ 55