初中数学教程二次根式的加减
初中数学二次根式的运算
初中数学二次根式的运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，通过对二次根式的运算，可以提高学生的数学计算能力和思维能力。
本文将介绍二次根式的运算法则，并以实例来说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数，称为被开方数；√符号称为二次根号。
二次根式可以简化或者进一步运算，下面将介绍常见的二次根式运算法则。
二、二次根式的运算法则1. 同底数的二次根式相加减如果二次根式的底数相同，我们可以将它们相加或相减。
例如：√a + √b = √(a+b)√a - √b = √(a-b)例如，计算√5 + √3：√5 + √3 = √(5+3) = √82. 二次根式的乘法二次根式乘法运算可以使用分配律的性质，例如：√a * √b = √(ab)例如，计算√2 * √3：√2 * √3 = √(2*3) = √63. 二次根式的除法二次根式除法运算可以使用相乘后再开方的方式，例如：√a / √b = √(a/b)例如，计算√8 / √2：√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 24. 二次根式的化简有时候我们可以对二次根式进行化简，将其变为更简单的形式。
例如：√(a^2) = a√(a*b) = √a * √b例如，化简√(9*4)：√(9*4) = √36 = √(6^2) = 6三、实例应用现在我们通过一些实例来进一步理解和应用二次根式的运算法则。
实例1：计算√(2+√7) * √(2-√7)根据乘法运算法则：√(2+√7) * √(2-√7) = √[ (2+√7) * (2-√7) ]= √[ 4 - (√7)^2 ]= √[ 4 - 7 ]= √(-3)实例2：计算√3 + √75 - √27根据加减法运算法则：√3 + √75 - √27 = √3 + √(25*3) - √(9*3)= √3 + 5√3 - 3√3= 3√3实例3：计算√(2 + √3) * √(2 - √3)根据乘法运算法则：√(2 + √3) * √(2 - √3) = √[ (2 + √3) * (2 - √3) ]= √[ 4 - (√3)^2 ]= √[ 4 - 3 ]= √1 = 1综上所述，本文介绍了初中数学中二次根式的运算法则，包括同底数的二次根式相加减、二次根式的乘法和除法以及二次根式的化简。
二次根式的加减法课件
02 二次根式的化简
合并同类二次根式
合并同类二次根式的方法是将具有相同底数的二次根式进行合并，将其系数相加减。 合并同类二次根式时，需要注意根式下的表达式是否相同，以确保合并的正确性。
合并同类二次根式可以简化表达式，使其更易于计算和理解。
二次根式的系数化 简
二次根式的系数化简是指将二次 根式前的系数进行简化，使其更
在日常生活中的应用
二次根式在解决几何问题时经常出现， 如计算图形的面积、周长等。
在解决实际问题时，如计算平均数、 标准差等，也需要用到二次根式的加 减法。
在物理学中的应用
在解决物理问题时，如计算力的合成 与分解、加速度等，也需要用到二次 根式的加减法。
04 二次根式的混合 运算
二次根式与有理数的混合运算
容易进行计算。
化简二次根式的系数时，可以通 过因式分解、提取公因数等方法
进行简化。
化简后的二次根式更易于计算， 也可以更好地理解其数学意义。
二次根式的分母化 简
二次根式的分母化简是指将二 次根式中的分母进行简化，使 其更容易进行计算。
化简二次根式的分母时，需要 注意分母不能为零，并且要确 保化简后的分母有意义。
二次根式的加减法课件
目录
• 二次根式的加减法概述 • 二次根式的化简 • 二次根式的加减运算 • 二次根式的混合运算 • 习题与解答
01 二次根式的加减 法概述
二次根式的定义与性质
总结词
理解二次根式的定义和性质是进行加减法运算的基础。
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中“√”表示平方根运算。二次根式具有非负性，即被开方数必 须是非负数。此外，二次根式还具有非负数的性质，即当a≥0时，√a≥0。
二次根式的加减运算PPT课件
第十五章 二次根式
15.3 二次根式的加减运算
知识要点
1 2
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
CONTENTS
1
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
看一看：
加法符号“＋”：1489年德国数学家魏德曼开始在他所著的数学书中首先 使用．但直到16世纪之后，经过德国数学家韦达的提倡和宣传，“＋”号 才开始普及．减法符号“－”：仍是德国数学家魏德曼 1489 年在他的著 作中首先使用，但直到 1630 年， “－”号才获得大家的公认．两 个二次根式能否相加减呢?如何加 减呢?
1 32 .
(2)
8
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85
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结 二次根式的加减
归纳：二次根式的加减运算的步骤： （1）将每一个二次根式化成最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式．
3
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
1. 下列计算正确的是( D ) A. 2 5 7 B．2 2 2 2 C．3 2 2 3 D. 2 1 2 22
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
2.下列计算是否正确？为什么？ (1) 8- 3= 8 3； (2) 4 9 4 9； (3) 3 2 2 2 2 . 解：(1) 错误；
CONTENTS
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新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
同类二次 根式
二次根式 的加减
经过化简后，各根式被开方数相 同，像这样的几个二次根式被称 为同类二次根式.
《二次根式的加减法》
学习建议
掌握基础知识
01 了解二次根式的定义
二次根式是一种数学表达式，表示对一个数或式 子进行开方运算。
02 理解平方根和算术平方根的概念
平方根是一个数，可以使得这个数的平方等于1； 算术平方根是一个正数，可以使得这个正数的平 方等于这个正数本身。
03 掌握二次根式的性质和运算法则
二次根式的性质包括被开方数是非负数，算术平 方根具有非负性等；运算法则包括加减法、乘除 法、幂运算等。
03
错题纠正
错题原题
错误题目
计算 $\sqrt{12} + \sqrt{18}$
学生错解
$\sqrt{12} + \sqrt{18} = 6 + 3 = 9$
错题原因分析
• 学生没有掌握二次根式加减法的运算法则，直接将同类二次根式相加，忽略了根号内数值的 合并。
正确解题过程
• 正确解答：$\sqrt{12} + \sqrt{18} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$
随堂练习题目
计算 $\sqrt{32} + \sqrt{20}$。 计算 $\sqrt{49} - 3\sqrt{4}$。
计算 $2\sqrt{2} - \sqrt{3}$。 计算 $2\sqrt{12} + \sqrt{3}$。
随堂练习答案
$\sqrt{32} + \sqrt{20} =
01 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$。
知识点回顾
二次根式的加减法运算规则
先化简，再合并同类二次根式。
常见错误纠正方法
牢记运算法则，先进行根号内数值的运算，再进行根号的合并。
04
二次根式的加减法(第二课时)
二次根式的加减法（第二课时）概述在数学中，二次根式是指以根号形式表示的含有平方根的表达式。
二次根式的加减法是对这样的表达式进行求和或求差的操作。
本文将介绍二次根式的加减法的基本概念和步骤，并通过一些例子来帮助读者理解和掌握这个重要的数学技巧。
二次根式的定义二次根式是形如√a或a√b的表达式，其中a和b是实数，且b大于0。
其中，a√b的形式称为含有系数的二次根式，√a的形式称为不含有系数的二次根式。
二次根式的加法二次根式的加法是指对两个二次根式进行求和的操作。
要执行二次根式的加法，需要满足以下两个条件：1.两个二次根式的根号下的数目和根号前的系数必须相同。
2.如果两个二次根式的根号前的系数不同，需要将它们化为相同的琍（即通分），再进行求和。
例子1我们以一个简单的例子来说明二次根式的加法：√3 + 2√3要求这两个根式的和，首先我们注意到根号下的数目都是3，根号前的系数分别是1和2。
由于这两个系数不同，我们需要将它们化为相同的分母。
这里我们可以将第一个根式的系数2改为2的平方，即2√3 = √12，然后再进行求和。
√3 + √12现在根号前的系数相同了，我们可以将根号下的数目相加。
√3 + √12 = 3√3所以，√3 + 2√3 = 3√3我们再来看一个复杂一些的例子：3√5 + 2√7 - √5对于这个表达式，我们首先注意到根号下的数目有两个5和7，根号前的系数分别是3、2和-1。
这里我们需要将这些根式化为相同的分母。
首先，将第一个根式和最后一个根式化为相同的表达式：3√5 - √5 = 2√5现在，我们重新整理一下表达式：2√5 + 2√7因为根号下的数目相同而且根号前的系数也相同，所以将它们相加即可：2√5 + 2√7 = 4√5 + 2√7所以，3√5 + 2√7 - √5 = 4√5 + 2√7二次根式的减法二次根式的减法是指对两个二次根式进行求差的操作。
要执行二次根式的减法，需要满足以下两个条件：1.两个二次根式的根号下的数目和根号前的系数必须相同。
初二数学二次根式的加减运算
初二数学二次根式的加减运算在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，可以用来表示平方根。
初二学生在学习数学时会接触到二次根式的加减运算，这是一项基础且重要的运算。
本文将详细介绍初二数学中二次根式的加减运算，并提供相关的例题和解析，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次根式的基本概念二次根式是指形如√a的数表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，√a表示其平方根；当a为零时，√a等于0；当a为负实数时，√a无意义，记为不存在。
二、二次根式的加减运算规则1.同类项相加减：当二次根式的底数和指数均相同时，可以进行加减运算。
2.不同类项的加减：当二次根式的底数或指数不同，或者二次根式与常数项相加减时，无法进行加减运算，需要进行化简或转换为同类项后再进行运算。
三、二次根式的加减运算步骤与例题分析下面通过具体的例题来说明二次根式的加减运算步骤及注意事项：例题1：计算√5 + √20 - 2√5。
解析：首先将√5和2√5视为同类项，合并得到3√5；然后将√20展开为√4 × √5，进一步化简为2√5；最后进行合并，得到5√5。
例题2：计算√3 - (√2+ √5) 。
解析：这是一个不同类项的减法运算，无法直接计算，需要进行化简。
先将√2 + √5展开为√(2×5) = √10，然后再进行减法运算：√3 - √10 。
由于二次根式√3和√10的底数不同，无法继续进行加减运算，但可以保留原样。
所以最终结果为√3 - √10。
例题3：计算3√(5 + 2√3) - √(5 - 2√3) 。
解析：这是一个较为复杂的二次根式加减运算，需要仔细观察。
首先，要注意括号内的二次根式是一个整体。
我们将5 + 2√3 视为一个二次根式，记为A，将 5 - 2√3 视为另一个二次根式，记为B，然后根据加减运算规则进行计算：3√A - √B 。
将A展开：√(2√3 × 2√3) = √(4×3) = √12 = 2√3 。
初中数学知识归纳二次根式的运算
初中数学知识归纳二次根式的运算初中数学知识归纳：二次根式的运算在初中数学学习中，我们经常会遇到二次根式的运算。
二次根式是形如√a的表达式，其中a表示一个非负实数。
本文将系统地归纳二次根式的运算规则和相关性质，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、二次根式的基本概念和性质1. 根式和指数在数学中，根式是表示以某数为底数的幂的逆运算。
根式的指数决定了根式的次数。
例如，√4表示以4为底数的平方根。
2. 平方根和立方根平方根是二次根式的一种特殊形式，表示以某数为底数的平方根。
立方根是三次根式的一种特殊形式，表示以某数为底数的立方根。
3. 二次根式的化简当二次根式内的数不含有平方数因子时，可以将其化简为最简形式。
化简的方法是提出平方因子并进行运算。
例如，√4=2。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减法当二次根式的底数相同时，可以进行加减运算。
运算时只需保留底数不变，将指数相同的根式合并，并对系数进行加减运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算是指数运算的应用，使用乘法法则。
将二次根式的底数相乘，并将指数相加，最后进行化简。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法二次根式的除法运算类似于乘法运算，将二次根式的底数相除，并将指数相减。
最后进行化简。
例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的乘方运算二次根式的乘方运算是指数运算的应用，使用乘方法则。
将二次根式的底数进行乘方，并将指数与根指数相乘。
最后进行化简。
例如，(√2)^2 = √(2^2) = √4 = 2。
三、二次根式运算的简单应用1. 二次根式的混合运算当二次根式与整数或其他数混合运算时，根据运算法则，首先进行纯粹的二次根式运算，然后再与其他数进行相应的运算。
例如，2√3 + 5 = 2√3 + 5√1 = 2√3 + 5√3 = 7√3。
二次根式的加减
二次根式的加减二次根式是数学中的一个重要概念，涉及到对根号下的数值进行加减运算。
本文将以清晰、准确的语言来介绍二次根式的加减运算方法，并提供相关示例来帮助读者更好地理解。
一、二次根式的定义二次根式是由数字或表达式的平方根组成的表达式。
一般形式为√a或√(a + b)，其中a和b代表实数。
例如，√4、√(9 + 16)都属于二次根式。
二、二次根式的加法运算1. 当两个二次根式的根号下数值完全相同时，可以直接将系数相加。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 当两个二次根式的根号下数值不同但可以化简时，需要根据化简规则来进行计算。
例如，√8 + √18可以化简为2√2 + 3√2，进一步合并得5√2。
3. 当两个二次根式无法化简时，直接写出并对根号下数值进行合并即可。
例如，√3 + √5无法化简，可将其写为√3 + √5。
示例1：计算√7 + √7：由于两个根号下数值相同，可以直接相加，得到2√7。
示例2：计算√3 + √5 + √3 - √5：根据根号下数值不同但可化简的规则，可以将√3 + √3和√5 - √5合并，得到2√3 + 0。
最终结果为2√3。
三、二次根式的减法运算1. 当两个二次根式的根号下数值相同时，可以直接将系数相减。
例如，√6 - √6 = 0。
2. 当两个二次根式的根号下数值不同但可以化简时，需要根据化简规则进行计算。
例如，√8 - √2可以化简为2√2 - √2，进一步合并得√2。
3. 当两个二次根式无法化简时，直接写出并对根号下数值进行合并即可。
例如，√7 - √3无法化简，可将其写为√7 - √3。
示例1：计算√7 - √7：由于两个根号下数值相同，直接相减得0。
示例2：计算√8 - √2 + √5 - √3：按照化简规则，可以将√8 - √2和√5 - √3合并，得到2√2 + √5 - √3。
最终结果为2√2 + √5 - √3。
四、小结本文介绍了二次根式的加减运算方法，特别强调了根号下数值相同或可以化简时的合并原则。
二次根式加减法
二次根式加减法
多项式的根式加减法是一种非常有用的数学方法。
它可以用来求解具有给定根的多项式的根式，也可以用来对多项式的根式进行加减法操作。
下面将介绍二次根式加减法。
首先，我们要明白求解多项式的根式所涉及的知识，即根式方法。
根式方法可以帮助我们找到一个多项式的根。
比如，要求解一个二次根式f(x)=ax^2+bx+c，我们可以使用根式方法来解决。
二次根式加减法有以下两个步骤：
第一步，把多项式写成分数平方根的形式，并调整其系数使其成为完整的分数。
比如，二次式f（x）=ax^2+bx+c（a≠0）可以被写成f（x）=(ax+ω)^2+b^2/(4a)的形式，其中ω就是根式中的根。
第二步，对多项式内的两个分母分别进行加减操作，然后把对应的根式求出。
比如，我们可以把二次式f（x）=x^2-6x+9分解成形如(2x+ω1)^2+(2x+ω2)^2的形式，就可以用求和公式计算出多项式的根式ω1+ω2。
数学中的根式加减法大大简化了多项式的求解，可以有效的拆分多项式，将复杂的数学问题简单化。
二次根式加减法就是帮助求解二次根式的简单有效的多项式加减方法。
如果掌握了二次根式加减法，就可以很容易的求解多种不同形式的多项式的根式了。
二次根式加减ppt课件
答案及解析
计算
化简
$sqrt{27} + sqrt{3} = 3sqrt{3} + sqrt{3} = 4sqrt{3}$
$2sqrt{3} - sqrt{2} = sqrt{3} - sqrt{2}$
比较大小
$sqrt{25} = 5$，因为 $5 > 3$，所以 $sqrt{25} > 3$
判断正误
01
02
03
识别同类二次根式
首先需要识别出表达式中 的同类二次根式，即具有 相同被开方数的二次根式 。
合并同类二次根式
将同类二次根式进行合并 ，即将它们的系数相加减 ，根号下的被开方数保持 不变。
举例说明
将表达式中的 $sqrt{2}$ 和 $sqrt{2}$ 合并为 $2sqrt{2}$。
$sqrt{8} + sqrt{18} = 2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$，不等于 $2sqrt{2}$，所以判 断为错。
THANKS
感谢观看
sqrt{2}}{sqrt{2} times sqrt{2}} = frac{sqrt{6}}{2}$。
二次根式的化简技巧
利用平方差公式
对于形如 $sqrt{a^2 - b^2}$ 的表达式，可以利 用平方差公式进行化简。
利用完全平方公式
对于形如 $sqrt{a + b}$ 或 $sqrt{a - b}$ 的表达 式，可以利用完全平方公式进行化简。
二次根式的加减法规则
总结词
掌握二次根式的加减法规则是进行运 算的关键。
详细描述
二次根式的加减法需先将各项化为最 简二次根式，然后合并同类二次根式 。
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则是将两个二次根式进行加减运算的方法。
1. 相加减分解法：如果两个二次根式的根指数和根号内的表达式完全相同，那么可以直接将它们的系数相加减即可，根指数和根号内的表达式保持不变。
例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0
2. 合并同类项法：如果两个二次根式的根号内的表达式相同，但是根指数不同，可以将它们的系数相加减，并将根号内的表达式保持不变。
例如：2√2 + 3√2 = 5√2，4√5 - 2√5 = 2√5
3. 有理化法：如果两个二次根式的根号内含有分母，可以通过有理化的方法将分母去掉，然后再按照相加减分解法或合并同类项法进行运算。
例如：(1/√2) + (√3/√2) = (√2 + √3)/(√2*√2) = (√2 + √3)/2，(1/√5) - (2/3√5) = (3 - 2√5)/(3√5)
需要注意的是，在进行二次根式加减法运算时，要先将根号内的表达式进行化简，然后再按照以上的运算法则进行运算。
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
专题17 二次根式的加减（含答案）
专题17 二次根式的加减知识解读：1.二次根式加减法则：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并，合并的方法为系数相加，根式不变。
2.二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，要先算括号里面的。
培优学案典例示范一、二次根式的加减例1 计算：（1）11124340.583⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）336436y x xxy x xy x y y ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中x,y >0） 【提示】先将各项化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
【解答】技巧点评二次根式的加减运算的步骤可概括为：①“化”---将每一个二次根式化简；②“找”---找出被开方数相同的二次根式；③“并”---把被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。
跟踪训练1.计算（137222182；（2331112592234ba ba b a b⎛⎝（其中a,b>0）二、二次根式的混合运算例2计算：（1）318+6122⎛⎫÷⨯⎪⎝⎭；（2）1024325623⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭；【提示】（1）中含有二次根式的加法、除法和乘法以及小括号，计算时应先算小括号里面的加法运算，然后再做乘除运算；（2）中是一道二次根式的和（差）乘一个二次根式，解法与整式运算中的多项式乘单项式类似，先用前面乘式中的每一个二次根式乘后面乘式，再把所得的积相加。
【解答】【技巧点评】二次根式的混合运算综合了二次根式的加、减、乘、除、乘方运算，掌握这些运算法则是进行二次根式会混合运算的基础.在进行混合运算时，每一步都要做到有理有据，切忌出现张冠李戴的错误。
跟踪训练2.计算：（1）224315+2223；（2）9149814182502535（312334523235328二、乘法公式在二次根式运算中的应用例3计算： （1）()()32+481843-; （2）222x y x y y x x y x y-+++-+； （3）()()2+36236---； （4）()()2x xy y x y ++÷+；【提示】（1）将32，43根号外的因式移到根号内，然后运用平方差公式计算比较简便，或先把48，18化简，然后利用平方差公式计算；（2）()()()222,2x y x yx y x y y x x y -=+-++=+（3）两个括号里的三项式中，有两项完全相同：2，6-，有一项互为相反数：3与3-.如果把两个完全相同的项结合在一起即()()263263⎡⎤⎡⎤-+--⎣⎦⎣⎦，则可用平方差公式计算；(4)因为x ，y 都有意义，所以x≥0，y≥0，所以()()22,x x y y==，所以()()()22222x xy y xxy yx y++=++=+【解答】跟踪训练3.计算：（1）()(5+65223; (2)ab a aba ab-÷+四、整体代入求代数式的值例4已知21,21x y=-=+，求x yy x+的值。
二次根式的加减法
二次根式的加减法xx年xx月xx日•引言•二次根式的加减法基础•二次根式的加减法应用目录•练习与巩固•重点、难点与注意事项•总结与回顾01引言继学习二次根式的概念及性质之后，进一步学习二次根式的加减法。
为后续学习二次根式的乘除法打下基础。
课程背景了解二次根式的加减法法则。
掌握二次根式的加减法运算技巧。
课程内容学会正确运用二次根式的加减法法则进行计算。
学会解决二次根式加减法运算的常见问题。
学习目标02二次根式的加减法基础二次根式的定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$（a≥0）的式子，其中“√”称为二次根号，表示对a进行开方运算。
二次根式的分类根据a的取值范围，可将二次根式分为一般二次根式和特殊二次根式，其中特殊二次根式包括平方根和算术平方根。
二次根式的概念非负性当a≥0时，$\sqrt{a}$≥0，即二次根式的结果为非负数。
运算性质二次根式可以进行加减、乘除、开方等运算，这些运算的性质与实数的相应运算性质类似。
二次根式的性质1二次根式的加减法规则23对于两个二次根式，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式，可以进行合并。
同类二次根式可以合并合并同类二次根式时，只需将各个二次根式的系数相加即可，被开方数和根指数不变。
合并方法如果两个二次根式的被开方数和根指数都不相同，则它们是异类二次根式，无法进行合并。
异类二次根式无法合并03二次根式的加减法应用在进行二次根式的加减法运算之前，首先需要将二次根式进行化简。
总结词化简二次根式可以通过平方运算、合并同类二次根式等方法进行。
例如，$\sqrt{4} = 2$，$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$等。
详细描述二次根式的化简二次根式的运算总结词二次根式的加减法运算主要包括加法和减法两种。
详细描述在进行加法运算时，直接将两个二次根式相加即可。
在进行减法运算时，需要将被减数的系数和减数的系数相减，再将差开平方。
例如，$\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$，$\sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$。
二次根式的加加减
二次根式的加减知识点一：二次根式的加减运算（重点）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式行合并。
步骤：（1）“化”——化成最简二次根式；（2）“找”——找出被开方数相同的二次根式 ；（3）“并”——把被开方数相同的二次根式进行合并，a n m a n a m )(+=+。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能是同类二次根式。
例1、计算：（1）27135.07523221-+- （2） 3332ab b a b a b a b -+-（3）)3135.1225.43()5.2428118(+--- （4）mn m n m m m -⨯-÷知识点二：二次根式的混合运算（二次根式的加、减、乘、除）其运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如有括号，要先算括号里面的。
注意：（1) 在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用。
(2）运算结果必须化成最简二次根式。
例2：计算（1）)86(3+ （2） 32)6334(÷- （3） )36)(26(-+（4）)75)(75(-+ （5） 2)25(+ （6）2)232(-（7）)0,0)((33≥≥-+b a ab ab b a ab （8）32821()21232(+⨯-（9）)3418()4823(-⨯+ （10）ba b a ab a b a a +----23知识拓展：二次根式混合运算中几种常见的模型及运算方法（1）ad ac ab d c b a ++=++)(（2）bd bc ad ac d c b a +++=++))((（3）b a b a b a b a -=-=-+22)()())((（4）ab b a b a 2)(2±+=±（5）b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a -+=+-++=-+=-÷+))(())(()()( 知识点三、二次根式的大小比较1、比差法（先求出两个根式的差，然后把差与0比较）： 如：比较12-与23-的大小2、比商法（先计算两个二次根的商，然后比较其商与1的大小） 如：比较21++a a 与32++a a 的大小3、平方法（先求出两个二次根式的平方，再比较二次根式的平方的大小）： 如：比较)135(+与)117(+的大小4、有理化法（先把分母或分子有理化，转化为分母相同或分子相同的分数形式，然后进行比较） 如：比较261-与681-的大小5、倒数法（如果b a 11>，那么b a <；如果b a 11<，那么b a >） 如：比较)20142015(-与)20132014(-的大小例3、（1）已知,251-=a 251+=b ，求222++b a 的值。
二次根式的加减(基础)知识讲解.doc
二次根式的加减（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数.(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.（3）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并.要点二、二次根式的加减二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.（2015•浦东新区二模）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A.-1B.0C.1D.2【思路点拨】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【答案】C.【解析】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得x+2=3x，解得x=1．故选：C．【总结升华】同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b 的值是( ) .A.a=2，b=1B.a=1，b=2C. a=1，b=-1D. a=1，b=1【答案】D.根据题意，得解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算：(1)+；【答案与解析】解：(1)+=(2=+=11(332==+-=【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三：【变式】（1）（2015春•建湖县期末）4﹣+．（2）（2015春•文安县期末）．【答案】解：(1) 原式=4×﹣3+2 =2﹣3+2 =． （2）原式=2+3﹣2 =类型三、二次根式的混合运算3.（2016•德州校级自主招生）计算：．【思路点拨】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2 =4+． 【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．【高清课堂：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：巩固练习4-5】4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】22551a b ab ==-=-=10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知x y ==求22x xy y -+的值.【答案与解析】解：22x xy y -+222-2xy+y ()x xy x y xy =+=-+.31x y x y xy =+=∴-==.所以原式=219+=.。
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21.3 二次根式的加减
教学目标
1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；
2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题；
3．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．
教学重难点
【教学重点】
将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.
【教学难点】
运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.
课前准备
无
教学过程
一、情境导入
小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？
二、合作探究
探究点一：同类二次根式
例1：已知最简二次根式2a＋b与a＋b3a－4能够合并同类项，求a＋b的值．
解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可．
解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b
3a－4能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解
得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2.
方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．
探究点二：二次根式的运算
【类型一】 二次根式的加减运算 例2：计算：12－13
－(2)2＋|2－3|. 解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．
解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．
【类型二】 二次根式的四则运算
例3：计算：
(1)12223×9145÷35； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫312－213＋48÷23＋⎝
⎛⎭⎪⎫132
； (3)2－(3＋2)÷ 3.
解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．
解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2； (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13
＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－
3＋23＝2－1－233. 方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
【类型三】 二次根式的化简求值
例4：先化简，再求值：a 2－b 2a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3. 解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出．
解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2
a ＝（a ＋
b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2＝a ＋b a －b
.当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423
＝233. 方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．
【类型四】 二次根式运算在实际生活中的应用
例5：母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的
壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把
壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?
解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带．
方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．
三、板书设计
1．同类二次根式
2．二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
3．二次根式的四则运算
先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
四、教学反思
在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．。