初中数学教程二次根式的加减

21.3 二次根式的加减

教学目标

1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；

2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题；

3．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．

教学重难点

【教学重点】

将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.

【教学难点】

运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入

小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？

二、合作探究

探究点一：同类二次根式

例1：已知最简二次根式2a＋b与a＋b3a－4能够合并同类项，求a＋b的值．

解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可．

解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b

3a－4能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，解

得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2.

方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．

探究点二：二次根式的运算

【类型一】 二次根式的加减运算 例2：计算：12－13

－(2)2＋|2－3|. 解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．

解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．

【类型二】 二次根式的四则运算

例3：计算：

(1)12223×9145÷35； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫312－213＋48÷23＋⎝

⎛⎭⎪⎫132

； (3)2－(3＋2)÷ 3.

解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．

解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2； (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13

＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－

3＋23＝2－1－233. 方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

【类型三】 二次根式的化简求值

例4：先化简，再求值：a 2－b 2a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3. 解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出．

解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2

a ＝（a ＋

b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2＝a ＋b a －b

.当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423

＝233. 方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．

【类型四】 二次根式运算在实际生活中的应用

例5：母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的

壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把

壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?

解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带．

方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．

三、板书设计

1．同类二次根式

2．二次根式的加减

一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

3．二次根式的四则运算

先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．

四、教学反思

在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．