山西农大附中2017届九年级数学上学期学业水平测试试卷(一)(含解析)新人教版
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2016-2017学年山西农大附中九年级(上)学业水平测试数学试卷(一)一、单项选择题
1.方程x2=2x的解是()
A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=
2.下列给出的条件中,能判断四边形ABCD是平行四边形的是()
A.AB∥CD,AD=BC B.∠B=∠C;∠A=∠D C.AB=AD,CB=CD D.AB=CD,AD=BC
3.下列命题中,正确的是()
A.梯形的对角线相等
B.菱形的对角线不相等
C.矩形的对角线不能相互垂直
D.平行四边形的对角线可以互相垂直
4.关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是()
A.k≤﹣B.k≤﹣且k≠0 C.k≥﹣D.k≥﹣且k≠0
5.如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是()
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
6.用配方法解方程x2﹣4x+1=0时,原方程可以变形为()
A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=4 C.(x﹣2)2=3 D.(x﹣2)2=15
7.若代数式x2+px+q可分解成(x+2)(x﹣5),则x2+px+q=0的解为()
A.x1=5,x2=﹣2 B.x1=﹣5,x2=﹣2 C.x1=﹣5,x2=2 D.x1=5,x2=2
8.观察下列表格,一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是()
A.0.09 B.1.1 C.1.6 D.1.7
9.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是()
A.方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根D.不能确定
10.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()
A.28° B.52° C.62° D.72°
二、填空题:
11.将一元二次方程3x(x﹣1)=2(x+2)+8转化为一元二次方程的一般形式是.
12.已知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数比为1:2,则较短的对角线长为,面积为.13.若四边形ABCD是矩形,请补充条件(写一个即可),使矩形ABCD是正方形.
14.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式如图,矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为.
16.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2,则x1(x2+x1)+x22的最小值为.
三、解答题(共72分)
17.解下列方程:
(1)x2+2x﹣3=0(用配方法)
(2)2x2+5x﹣1=0
(3)4x(2x﹣3)=3﹣2x
(4)(x+1)(x﹣3)=12.
18.已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣5x+4a﹣2=0的一个根为x=3.
(1)求a的值及方程的另一个根;
(2)如果一个等腰三角形(底和腰不相等)的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长.19.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)请选择一个k的负整数值,并求出方程的根.
20.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少?
21.观察下列一元二次方程,并回答问题:
第1个方程:x2+x=0;
第2个方程:x2﹣1=0;
第3个方程:x2﹣x﹣2=0;
第4个方程:x2﹣2x﹣3=0;
…
(1)第2015个方程是;
(2)直接写出第n个方程,并求出第n个方程的解;
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点.
22.已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:BE=DF;
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM,FM,判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.
23.贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:
①打9.8折销售;
②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?
24.【问题情境】
如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)证明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.
2016-2017学年山西农大附中九年级(上)学业水平测试数学试卷(一)
参考答案与试题解析
一、单项选择题
1.方程x2=2x的解是()
A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=
【考点】解一元二次方程-因式分解法;因式分解-提公因式法.
【专题】因式分解.
【分析】把右边的项移到左边,用提公因式法因式分解,可以求出方程的两个根.
【解答】解:x2﹣2x=0
x(x﹣2)=0
∴x1=0,x2=2.
故选C.
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程,把右边的项移到左边,用提公因式法因式分解,可以求出方程的根.
2.下列给出的条件中,能判断四边形ABCD是平行四边形的是()
A.AB∥CD,AD=BC B.∠B=∠C;∠A=∠D C.AB=AD,CB=CD D.AB=CD,AD=BC
【考点】平行四边形的判定.
【分析】直接利用平行四边形的判定定理求解即可求得答案.注意掌握排除法在选择题中的应用.【解答】解:A、∵AB∥CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形或梯形;故本选项错误;
B、由∠B=∠C,∠A=∠D,不能四边形ABCD是平行四边形;故本选项错误;
C、由AB=AD,CB=CD,不能判断四边形ABCD是平行四边形;
故本选项错误;
D、∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形;故本选项正确.
故选D.
【点评】此题考查了平行四边形的判定.注意掌握举反例的解题方法是关键.
3.下列命题中,正确的是()
A.梯形的对角线相等
B.菱形的对角线不相等
C.矩形的对角线不能相互垂直
D.平行四边形的对角线可以互相垂直
【考点】命题与定理.
【专题】常规题型.
【分析】根据等腰梯形的判定与性质对A进行判断;根据菱形的性质对B进行判断;根据矩形的性质对C进行判断;根据平行四边形的性质对D进行判断.
【解答】解:A、等腰梯形的对角线相等,故A错误;
B、菱形的对角线不一定相等,若相等,则菱形变为正方形,故B错误;
C、矩形的对角线不一定相互垂直,若互相垂直,则矩形变为正方形,故C错误;
D、平行四边形的对角线可以互相垂直,此时平行四边形变为菱形,故D正确.
故选:D.
【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式;有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
4.关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根,则k的取值范围是()
A.k≤﹣B.k≤﹣且k≠0 C.k≥﹣D.k≥﹣且k≠0
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围,进而可以得到关于k的不等式,解得即可,同时还应注意二次项系数不能为0.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac≥0,
即:9+4k≥0,
解得:k≥﹣,
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0,
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0.
故选D.
【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.5.如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是()
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
【考点】菱形的性质.
【专题】几何图形问题;压轴题.
【分析】分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可.
【解答】解:A、∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=AD,
∵AC<BD,
∴△ABD与△ABC的周长不相等,故此选项错误;
B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD,S△ABC=S平行四边形ABCD,
∴△ABD与△ABC的面积相等,故此选项正确;
C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系,故此选项错误;
D、菱形的面积等于两条对角线之积的,故此选项错误;
故选:B.
【点评】此题主要考查了菱形的性质应用,正确把握菱形的性质是解题关键.
6.用配方法解方程x2﹣4x+1=0时,原方程可以变形为()
A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=4 C.(x﹣2)2=3 D.(x﹣2)2=15
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】方程常数项移到右边,两边加上4配方得到结果即可.
【解答】解:方程x2+4x+1=0,
移项得:x2+4x=﹣1,
配方得:x2﹣4x+4=3,即(x﹣2)2=3,
故选C.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
7.若代数式x2+px+q可分解成(x+2)(x﹣5),则x2+px+q=0的解为()
A.x1=5,x2=﹣2 B.x1=﹣5,x2=﹣2 C.x1=﹣5,x2=2 D.x1=5,x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】由代数式x2+px+q可分解成(x+2)(x﹣5),得出方程x2+px+q=0的两个根为x1=﹣2,x2=5,【解答】解:∵x2+px+q=(x+2)(x﹣5),
∴方程x2+px+q=0的两个根为x1=﹣2,x2=5,
故选A.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,利用此方法解方程时,首先将方程右边化为0,左边化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
8.观察下列表格,一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是()
A.0.09 B.1.1 C.1.6 D.1.7
【考点】图象法求一元二次方程的近似根.
【分析】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值,即为最精确的近似解.
【解答】解:∵x=1.7时,x2﹣x﹣1.1的值0.09最小,
∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是1.7.
故选D.
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根,解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值.
9.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是()
A.方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根D.不能确定
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=b2﹣4ac,求出△的符号,由此即可得出方程解的情况.【解答】解:∵在方程x2﹣4x+5=0中,△=(﹣4)2﹣4×1×5=﹣4<0,
∴方程x2﹣4x+5=0没有实数根.
故选C.
【点评】本题考查了根的判别式,根据根的判别式△=b2﹣4ac求出△=﹣4<0是解题的关键.
10.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()
A.28° B.52° C.62° D.72°
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN,利用ASA可得△AMO≌△CNO,可得AO=CO,然后可得BO⊥AC,继而可求得∠OBC的度数.
【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥CD,AB=BC,
∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO,
在△AMO和△CNO中,
∵,
∴△AMO≌△CNO(ASA),
∴AO=CO,
∵AB=BC,
∴BO⊥AC,
∴∠BOC=90°,
∵∠DAC=28°,
∴∠BCA=∠DAC=28°,
∴∠OBC=90°﹣28°=62°.
故选:C.
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质,注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质.
二、填空题:
11.将一元二次方程3x(x﹣1)=2(x+2)+8转化为一元二次方程的一般形式是3x2﹣5x﹣12=0 .【考点】一元二次方程的一般形式.
【分析】把方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式即可.
【解答】解:3x(x﹣1)=2(x+2)+8,
3x2﹣3x=2x+4+8,
3x2﹣3x﹣2x﹣4﹣8=0,
3x2﹣5x﹣12=0
故答案为:3x2﹣5x﹣12=0.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.
12.已知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数比为1:2,则较短的对角线长为10cm ,面积为
50cm2.
【考点】菱形的性质.
【专题】计算题.
【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数,根据勾股定理可求得其对角线的长,根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积.
【解答】解:根据已知可得,
菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm,∠ABC=60°,∠BAD=120°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AC=AB=10cm,AO=CO=5cm,
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:BO==5,
∴BD=2BO=10(cm),
则S菱形ABCD=×AC×BD=×10×10 =50(cm2);
故答案为:10cm,50cm2.
【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合.菱形的面积有两种求法(1)利用底乘以相应底上的高(2)利用菱形的特殊性,菱形面积=×两条对角线的乘积.
13.若四边形ABCD是矩形,请补充条件此题答案不唯一,如AC⊥BD或AB=AD等(写一个即可),使矩形ABCD是正方形.
【考点】正方形的判定.
【专题】开放型.
【分析】由四边形ABCD是矩形,根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形,即可求得答案.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴当AC⊥BD或AB=AD时,矩形ABCD是正方形.
故答案为:此题答案不唯一,如AC⊥BD或AB=AD等.
【点评】此题考查了正方形的判定.此题比较简单,注意熟记定理是解此题的关键.
14.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(2014•安顺)如图,矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点E,AD=8,AB=4,则DE的长为 5 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】设DE=x,则AE=8﹣x.根据折叠的性质和平行线的性质,得∠EBD=∠CBD=∠EDB,则BE=DE=x,根据勾股定理即可求解.
【解答】解:设DE=x,则AE=8﹣x.
根据折叠的性质,得
∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠ADB.
∴∠EBD=∠EDB.
∴BE=DE=x.
在直角三角形ABE中,根据勾股定理,得
x2=(8﹣x)2+16
x=5.
故答案为:5.
【点评】此题主要是运用了折叠的性质、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理.
16.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2,则x1(x2+x1)+x22的最小值为.【考点】根与系数的关系;二次函数的最值.
【专题】压轴题;判别式法.
【分析】由题意可得△=b2﹣4ac≥0,然后根据不等式的最小值计算即可得到结论.
【解答】解:由题意知,方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根,
则△=b2﹣4ac=4m2﹣4(m2+3m﹣2)=8﹣12m≥0,
∴m≤,
∵x1(x2+x1)+x22
=(x2+x1)2﹣x1x2
=(﹣2m)2﹣(m2+3m﹣2)
=3m2﹣3m+2
=3(m2﹣m+﹣)+2
=3(m﹣)2 +;
∴当m=时,有最小值;
∵<,
∴m=成立;
∴最小值为;
故答案为:.
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系,考查了一元二次不等式的最值问题.总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
三、解答题(共72分)
17.解下列方程:
(1)x2+2x﹣3=0(用配方法)
(2)2x2+5x﹣1=0
(3)4x(2x﹣3)=3﹣2x
(4)(x+1)(x﹣3)=12.
【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【专题】计算题.
【分析】(1)利用配方法得到(x﹣1)2=4,然后利用直接开平方法解方程;
(2)先计算判别式的值,然后利用求根公式解方程;
(3)先变形得到4x(2x﹣3)+(2x﹣3)=0,然后利用因式分解法解方程;
(4)先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程.
【解答】解:(1)x2+2x+1=4,
(x﹣1)2=4,
x﹣1=±2,
所以x1=1,x2=﹣3;
(2)△=52﹣4×2×(﹣1)=33,
x=,
所以x1=,x2=;
(3)4x(2x﹣3)+(2x﹣3)=0,
(2x﹣3)(4x+1)=0,
所以x1=,x2=﹣;
(4)x2﹣2x﹣15=0,
(x﹣5)(x+3)=0,
所以x1=5,x2=﹣3.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了公式法和配方法解一元二次方程.
18.已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣5x+4a﹣2=0的一个根为x=3.
(1)求a的值及方程的另一个根;
(2)如果一个等腰三角形(底和腰不相等)的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长.【考点】根与系数的关系;三角形三边关系.
【分析】(1)将x=3代入原方程可得出关于a的一元一次方程,解方程求出a的值,再将a的值代入原方程解一元二次方程即可得出结论;
(2)结合(1)以及等腰三角形的性质和三角形的三边关系,即可找出三角形的腰长,再根据三角形的周长公式即可得出结论.
【解答】解:(1)将x=3代入方程中,得:9(a﹣1)﹣15+4a﹣2=0,
解得:a=2,
∴原方程为x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3)=0,
解得:x1=2,x2=3.
∴a的值为2,方程的另一个根为x=2.
(2)结合(1)可知等腰三角形的腰可以为2或3,
∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8.
∴三角形的周长为8或7.
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及三角形三边关系,将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键.
19.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)请选择一个k的负整数值,并求出方程的根.
【考点】根的判别式;解一元二次方程-公式法.
【专题】开放型.
【分析】(1)因为方程有两个不相等的实数根,△>0,由此可求k的取值范围;
(2)在k的取值范围内,取负整数,代入方程,解方程即可.
【解答】解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴(﹣3)2﹣4(﹣k)>0,
即4k>﹣9,解得;
(2)若k是负整数,k只能为﹣1或﹣2;
如果k=﹣1,原方程为x2﹣3x+1=0,
解得,,.
(如果k=﹣2,原方程为x2﹣3x+2=0,解得,x1=1,x2=2)
【点评】总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
20.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少?
【考点】矩形的判定与性质.
【分析】(1)先由对角线互相平分证明四边形ABCD是平行四边形,再由对角互补得出∠ABC=90°,即可得出结论;
(2)先求出∠FDC=36°,再求出∠DCO=54°,然后求出∠ODC=54°,即可求出∠BDF.
【解答】(1)证明:∵AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)解:∵∠ADC=90°,∠ADF:∠FDC=3:2,
∴∠FDC=36°,
∵DF⊥AC,
∴∠DCO=90°﹣36°=54°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=OD,
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°.
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的判定与性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
21.观察下列一元二次方程,并回答问题:
第1个方程:x2+x=0;
第2个方程:x2﹣1=0;
第3个方程:x2﹣x﹣2=0;
第4个方程:x2﹣2x﹣3=0;
…
(1)第2015个方程是x2﹣2013x﹣2014=0 ;
(2)直接写出第n个方程,并求出第n个方程的解;
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点.
【考点】一元二次方程的解.
【专题】规律型.
【分析】(1)根据前几个方程各项系数的特点可以写出第2015个方程;
(2)根据规律写出第n个方程,并用因式分解法求出第n个方程的解;
(3)根据一次项系数和常数项的特点进行解答即可.
【解答】解:(1)第2015个方程是:x2﹣2013x﹣2014=0;
(2)第n个方程是:x2﹣(n﹣2)x﹣(n﹣1)=0,
解得,x1=﹣1,x2=n﹣1;
(3)这列一元二次方程的解的一个共同特点是:有一根是﹣1.
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义,能够找出各项系数的规律是解题的关键.
22.已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:BE=DF;
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM,FM,判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.
【考点】菱形的判定;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,即证△ABE≌△ADF;
(2)由于四边形ABCD是正方形,易得∠ECO=∠FCO=45°,BC=CD;联立(1)的结论,可证得EC=CF,根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC(即AM)垂直平分EF;已知OA=OM,则EF、AM互相平分,
再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,即可判定四边形AEMF是菱形.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D=90°,
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
∵,
∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)
∴BE=DF;
(2)解:四边形AEMF是菱形,理由为:
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCA=∠DCA=45°(正方形的对角线平分一组对角),
BC=DC(正方形四条边相等),
∵BE=DF(已证),
∴BC﹣BE=DC﹣DF(等式的性质),
即CE=CF,
在△COE和△COF中,
,
∴△COE≌△COF(SAS),
∴OE=OF,又OM=OA,
∴四边形AEMF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∵AE=AF,
∴平行四边形AEMF是菱形.
【点评】本题主要考查对正方形的性质,平行四边形的判定,菱形的判定,平行线分线段成比例定理,全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
23.贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860
元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:
①打9.8折销售;
②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】(1)设求平均每次下调的百分率为x,由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可;(2)分别求出两种优惠方法的费用,比较大小就可以得出结论.
【解答】(1)解:设平均每次下调的百分率为x,由题意,得
6000(1﹣x)2=4860,
解得:x1=0.1,x2=1.9(舍去)
答:平均每次下调的百分率为10%;
(2)由题意,得
方案①优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720元,
方案②优惠:80×100=8000元.
∵9720>8000
∴方案①更优惠.
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,降低率问题的数量关系的运用,解答时列一元二次方程解实际问题是难点.
24.【问题情境】
如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)证明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.
【考点】四边形综合题;角平分线的定义;平行线的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的性质;正方形的性质.
【专题】综合题;压轴题;探究型.
【分析】(1)从平行线和中点这两个条件出发,延长AE、BC交于点N,如图1(1),易证△ADE ≌△NCE,从而有AD=CN,只需证明AM=NM即可.
(2)作FA⊥AE交CB的延长线于点F,易证AM=FM,只需证明FB=DE即可;要证FB=DE,只需证明它们所在的两个三角形全等即可.
(3)在图2(1)中,仿照(1)中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立;在图2(2)中,采用反证法,并仿照(2)中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立.
【解答】方法一:
(1)解:如图1(1)过点E作EF⊥AM交AM于F点,连接EM,
∵AE平分∠DAM
∴∠DAE=∠EAF
在△ADE和△AEF中,
AE=AE
∠D=∠AFE=90°
∴△ADE≌△AEF
∴AD=AF,EF=DE=EC,
在△EFM和△ECM中,
∠EFM=∠C
EM=EM
EF=CE
∴△EFM≌△ECM,
∴FM=MC,AM=AF+FM=AD+MC
方法二:
证明:延长AE、BC交于点N,如图1(2),
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.
∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中,
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
方法一:
证明:将△ADE绕点A顺时针旋转90°,得到新△ABF,如图1(3)∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM
方法二:
证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,如图1(4)所示.∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中,
∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
证明:延长AE、BC交于点P,如图2(1),
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠EPC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.
∴MA=MP.
在△ADE和△PCE中,
∴△ADE≌△PCE(AAS).
∴AD=PC.
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC.
②结论AM=DE+BM不成立.
证明:假设AM=DE+BM成立.
过点A作AQ⊥AE,交CB的延长线于点Q,如图2(2)所示.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.
∵AQ⊥AE,
∴∠QAE=90°.
∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
∴∠Q=90°﹣∠QAB
=90°﹣∠DAE
=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.
∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,
∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,
∴△ABQ≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.
与条件“AB≠AD“矛盾,故假设不成立.∴AM=DE+BM不成立.
【点评】本题考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识,考查了基本模型的构造(平行加中点构造全等三角形),考查了反证法的应用,综合性比较强.添加辅助线,构造全等三角形是解决这道题的关键.。