山西农大附中2017届九年级数学上学期学业水平测试试卷(一)(含解析)新人教版

2016-2017学年山西农大附中九年级（上）学业水平测试数学试卷（一）一、单项选择题
1．方程x2=2x的解是（）
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=
2．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠B=∠C；∠A=∠D C．AB=AD，CB=CD D．AB=CD，AD=BC
3．下列命题中，正确的是（）
A．梯形的对角线相等
B．菱形的对角线不相等
C．矩形的对角线不能相互垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
4．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
5．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
6．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，原方程可以变形为（）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=3 D．（x﹣2）2=15
7．若代数式x2+px+q可分解成（x+2）（x﹣5），则x2+px+q=0的解为（）
A．x1=5，x2=﹣2 B．x1=﹣5，x2=﹣2 C．x1=﹣5，x2=2 D．x1=5，x2=2
8．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是（）
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
9．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根D．不能确定
10．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）
A．28° B．52° C．62° D．72°
二、填空题：
11．将一元二次方程3x（x﹣1）=2（x+2）+8转化为一元二次方程的一般形式是．
12．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为，面积为．13．若四边形ABCD是矩形，请补充条件（写一个即可），使矩形ABCD是正方形．
14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为．
16．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．
三、解答题（共72分）
17．解下列方程：
（1）x2+2x﹣3=0（用配方法）
（2）2x2+5x﹣1=0
（3）4x（2x﹣3）=3﹣2x
（4）（x+1）（x﹣3）=12．
18．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣5x+4a﹣2=0的一个根为x=3．
（1）求a的值及方程的另一个根；
（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．19．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
21．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2+x=0；
第2个方程：x2﹣1=0；
第3个方程：x2﹣x﹣2=0；
第4个方程：x2﹣2x﹣3=0；
…
（1）第2015个方程是；
（2）直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
（3）说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
22．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
23．贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
24．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
2016-2017学年山西农大附中九年级（上）学业水平测试数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单项选择题
1．方程x2=2x的解是（）
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=
【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．
【专题】因式分解．
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根．
【解答】解：x2﹣2x=0
x（x﹣2）=0
∴x1=0，x2=2．
故选C．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的根．
2．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠B=∠C；∠A=∠D C．AB=AD，CB=CD D．AB=CD，AD=BC
【考点】平行四边形的判定．
【分析】直接利用平行四边形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、∵AB∥CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或梯形；故本选项错误；
B、由∠B=∠C，∠A=∠D，不能四边形ABCD是平行四边形；故本选项错误；
C、由AB=AD，CB=CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
故本选项错误；
D、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；故本选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是关键．
3．下列命题中，正确的是（）
A．梯形的对角线相等
B．菱形的对角线不相等
C．矩形的对角线不能相互垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
【考点】命题与定理．
【专题】常规题型．
【分析】根据等腰梯形的判定与性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据平行四边形的性质对D进行判断．
【解答】解：A、等腰梯形的对角线相等，故A错误；
B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，故B错误；
C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，故C错误；
D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．5．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
【考点】菱形的性质．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
∵AC＜BD，
∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；
B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD，S△ABC=S平行四边形ABCD，
∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；
C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；
D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键．
6．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，原方程可以变形为（）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=3 D．（x﹣2）2=15
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果即可．
【解答】解：方程x2+4x+1=0，
移项得：x2+4x=﹣1，
配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3，
故选C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．若代数式x2+px+q可分解成（x+2）（x﹣5），则x2+px+q=0的解为（）
A．x1=5，x2=﹣2 B．x1=﹣5，x2=﹣2 C．x1=﹣5，x2=2 D．x1=5，x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】由代数式x2+px+q可分解成（x+2）（x﹣5），得出方程x2+px+q=0的两个根为x1=﹣2，x2=5，【解答】解：∵x2+px+q=（x+2）（x﹣5），
∴方程x2+px+q=0的两个根为x1=﹣2，x2=5，
故选A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
8．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是（）
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解．
【解答】解：∵x=1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是1.7．
故选D．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值．
9．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根D．不能确定
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=b2﹣4ac，求出△的符号，由此即可得出方程解的情况．【解答】解：∵在方程x2﹣4x+5=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
∴方程x2﹣4x+5=0没有实数根．
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式，根据根的判别式△=b2﹣4ac求出△=﹣4＜0是解题的关键．
10．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）
A．28° B．52° C．62° D．72°
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°﹣28°=62°．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
二、填空题：
11．将一元二次方程3x（x﹣1）=2（x+2）+8转化为一元二次方程的一般形式是3x2﹣5x﹣12=0 ．【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】把方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式即可．
【解答】解：3x（x﹣1）=2（x+2）+8，
3x2﹣3x=2x+4+8，
3x2﹣3x﹣2x﹣4﹣8=0，
3x2﹣5x﹣12=0
故答案为：3x2﹣5x﹣12=0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
12．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为10cm ，面积为
50cm2．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．
【解答】解：根据已知可得，
菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO==5，
∴BD=2BO=10（cm），
则S菱形ABCD=×AC×BD=×10×10 =50（cm2）；
故答案为：10cm，50cm2．
【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．
13．若四边形ABCD是矩形，请补充条件此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等（写一个即可），使矩形ABCD是正方形．
【考点】正方形的判定．
【专题】开放型．
【分析】由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴当AC⊥BD或AB=AD时，矩形ABCD是正方形．
故答案为：此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．
【点评】此题考查了正方形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（2014•安顺）如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为 5 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设DE=x，则AE=8﹣x．根据折叠的性质和平行线的性质，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：设DE=x，则AE=8﹣x．
根据折叠的性质，得
∠EBD=∠CBD．
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB．
∴∠EBD=∠EDB．
∴BE=DE=x．
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得
x2=（8﹣x）2+16
x=5．
故答案为：5．
【点评】此题主要是运用了折叠的性质、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理．
16．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．【考点】根与系数的关系；二次函数的最值．
【专题】压轴题；判别式法．
【分析】由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．
【解答】解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，
则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，
∴m≤，
∵x1（x2+x1）+x22
=（x2+x1）2﹣x1x2
=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
=3m2﹣3m+2
=3（m2﹣m+﹣）+2
=3（m﹣）2 +；
∴当m=时，有最小值；
∵＜，
∴m=成立；
∴最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
三、解答题（共72分）
17．解下列方程：
（1）x2+2x﹣3=0（用配方法）
（2）2x2+5x﹣1=0
（3）4x（2x﹣3）=3﹣2x
（4）（x+1）（x﹣3）=12．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2=4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程；
（3）先变形得到4x（2x﹣3）+（2x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程；
（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2+2x+1=4，
（x﹣1）2=4，
x﹣1=±2，
所以x1=1，x2=﹣3；
（2）△=52﹣4×2×（﹣1）=33，
x=，
所以x1=，x2=；
（3）4x（2x﹣3）+（2x﹣3）=0，
（2x﹣3）（4x+1）=0，
所以x1=，x2=﹣；
（4）x2﹣2x﹣15=0，
（x﹣5）（x+3）=0，
所以x1=5，x2=﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．
18．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣5x+4a﹣2=0的一个根为x=3．
（1）求a的值及方程的另一个根；
（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．【考点】根与系数的关系；三角形三边关系．
【分析】（1）将x=3代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再将a的值代入原方程解一元二次方程即可得出结论；
（2）结合（1）以及等腰三角形的性质和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论．
【解答】解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a﹣1）﹣15+4a﹣2=0，
解得：a=2，
∴原方程为x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）=0，
解得：x1=2，x2=3．
∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．
（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，
∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．
∴三角形的周长为8或7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及三角形三边关系，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键．
19．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【专题】开放型．
【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k的取值范围；
（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，
即4k＞﹣9，解得；
（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；
如果k=﹣1，原方程为x2﹣3x+1=0，
解得，，．
（如果k=﹣2，原方程为x2﹣3x+2=0，解得，x1=1，x2=2）
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
【考点】矩形的判定与性质．
【分析】（1）先由对角线互相平分证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角互补得出∠ABC=90°，即可得出结论；
（2）先求出∠FDC=36°，再求出∠DCO=54°，然后求出∠ODC=54°，即可求出∠BDF．
【解答】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
21．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2+x=0；
第2个方程：x2﹣1=0；
第3个方程：x2﹣x﹣2=0；
第4个方程：x2﹣2x﹣3=0；
…
（1）第2015个方程是x2﹣2013x﹣2014=0 ；
（2）直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
（3）说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】规律型．
【分析】（1）根据前几个方程各项系数的特点可以写出第2015个方程；
（2）根据规律写出第n个方程，并用因式分解法求出第n个方程的解；
（3）根据一次项系数和常数项的特点进行解答即可．
【解答】解：（1）第2015个方程是：x2﹣2013x﹣2014=0；
（2）第n个方程是：x2﹣（n﹣2）x﹣（n﹣1）=0，
解得，x1=﹣1，x2=n﹣1；
（3）这列一元二次方程的解的一个共同特点是：有一根是﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，能够找出各项系数的规律是解题的关键．
22．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；
（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相平分，
再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴BE=DF；
（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形四条边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性质），
即CE=CF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
【点评】本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
23．贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860
元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设求平均每次下调的百分率为x，由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可；（2）分别求出两种优惠方法的费用，比较大小就可以得出结论．
【解答】（1）解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）由题意，得
方案①优惠：4860×100×（1﹣0.98）=9720元，
方案②优惠：80×100=8000元．
∵9720＞8000
∴方案①更优惠．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，降低率问题的数量关系的运用，解答时列一元二次方程解实际问题是难点．
24．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
【考点】四边形综合题；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】综合题；压轴题；探究型．
【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE ≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．
【解答】方法一：
（1）解：如图1（1）过点E作EF⊥AM交AM于F点，连接EM，
∵AE平分∠DAM
∴∠DAE=∠EAF
在△ADE和△AEF中，
AE=AE
∠D=∠AFE=90°
∴△ADE≌△AEF
∴AD=AF，EF=DE=EC，
在△EFM和△ECM中，
∠EFM=∠C
EM=EM
EF=CE
∴△EFM≌△ECM，
∴FM=MC，AM=AF+FM=AD+MC
方法二：
证明：延长AE、BC交于点N，如图1（2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．
（2）AM=DE+BM成立．
方法一：
证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到新△ABF，如图1（3）∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM
方法二：
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（4）所示．∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC．
②结论AM=DE+BM不成立．
证明：假设AM=DE+BM成立．
过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°﹣∠QAB
=90°﹣∠DAE
=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM．
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ和△ADE中，
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．∴AM=DE+BM不成立．
【点评】本题考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．。