《计算方法》计算题

8( x − π 4)( x − π 2) 16 × 0.7071x( x − π 2) − 2 2

π

π

cos(π 6) = L2 (π 6) = 0.8508K ，其精确值为 cos(π/6)=0.8660。
3．求 3 次插值多项式，使 P(0) = 3, P(1) = 5, P′(0) = 4, P′(1) = 6 。
b

f ( x)dx ≈

[

]

[

]

[

]

∫−1 f ( x)dx ≈ C [ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 )]
1

（1）

具有三阶代数精度。 解：不妨设 x1 < x2 < x3 。要使求积公式（1）具有 3 阶代数精度，其充分必要条件为： 当 f ( x) = 1 时， 1dx = C [1 + 1 + 1] = 2 ， C =
故 115 ≈ L2 (115) = 10.7228 。 然后作拉格朗日插值多项式 Ln ( x) 。 用 Ln ( x) 2． 将区间[0, π/2] n 等分， 用 y = g ( x) = cos x 产生 n+1 个节点， 计算 cos(π/6) (取四位有效数字)。 （为简单起见，取 n =1, 2） 。 解：若 n=1，则 ( x0 , y0 ) = (0,1), ( x1 , y1 ) = (π 2 ,0) 。由式
2 2 解得 x1 + x1 x3 + x3 =

1 ， x1 x3 ( x1 + x3 ) = 0 ，解得 x1 = 0 或 x3 = 0 或 x1 + x3 = 0 。 2

当 x1 = 0 时，得 x3 =

1 1 ， x2 = − ，与 x1 < x2 矛盾； 2 2

当 x3 = 0 时，得 x1 = −
3Hale Waihona Puke Baidu

] 2 ， 3 + x ]= 0 ，

⎧ x1 + x2 + x3 = 0 2 2 2 ⎧ ⎪ 2 ⎪ x1 + ( x2 + x3 ) + x3 = 1 2 2 即 ⎨ x1 + x2 + x3 = 1 ，Q x2 = − x1 − x3 ，得 ⎨ ， 3 3 3 ⎪ x x x x − ( + ) + = 0 ⎪ 3 2 3 3 ⎩ 1 3 3 ⎩ x1 + x2 + x3 = 0
1

3

5

等均准确成立。

再令它对于 f =1 准确，列出方程 3C＝2，因而 C = 由此可知 − x1 = x3 =
1

2⎡

1 1 ⎤ ) + f ( 0) + f ( ) ⎥ 2 2 ⎦
3

（2）

x5 当 f ( x) = x 时， 公式 （2） 的左边= f ( x ) dx x dx = = ∫−1 ∫−1 5
4
1 1 4

1

=
−1

2⎡ 1 4 1 ⎤ 1 2， ) + 04 + ( ) 4 ⎥ = ， 右边 ⎢(− 3⎣ 2 2 ⎦ 3 5

1 1 ， x2 = ，与 x2 < x3 矛盾； 2 2 1 1 ， x1 = − ， x2 = 0 。 2 2

当 x1 + x3 = 0 时，得 x3 = 将C =

1 1 2 ， x1 = − ， x2 = 0 ， x3 = 代入求积公式（1） ，得 3 2 2 f (− ∫−1 f ( x)dx ≈ 3 ⎢ ⎣

左边 ≠ 右边。所以，求积公式（2）具有三阶代数精度。 法 二 ： 也 可 以 从 考 虑 到 求 积 公 式 内 在 的 对 称 性 出 发 ， 令 x1 = − x3 , x2 = 0 ， 则 原 式 化 为

∫−1 f ( x)dx ≈ C [ f ( x1 ) + f (0) + f (− x1 )] ，这样设计出来的求积公式对于奇函数 f = x, x , x
⎧ p (0) = a0 = −1 ⎪ ′ ⎪ p (0) = a1 = −2 ⎪ ⎨a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 0 ⎪a + 2a + 3a + 4a = 10 2 3 4 ⎪ 1 ⎪ ⎩2a2 + 6a3 + 12a4 = 40
由此解出： a0 = −1, a1 = −2, a2 = 2, a3 = −4, a4 = 5 。 所以，所求多项式为 p ( x) = 5 x 4 − 4 x 3 + 2 x 2 − 2 x − 1 6．确定系数 A−1, A0 , A1 ，使求积公式

′ (0) = 0, ϕ 2 ′ (1) = 1 ϕ 2 (0) = 0, ϕ 2 (1) = 0, ϕ 2
∴ P3 ( x) = 3 + 4 x − 2 x 2 + 6 x 2 ( x − 1) 。
4．已知函数 y =

1 的一组数据(0, 1), (1, 1/2)和(2, 1/5)，求分段线性插值函数，并计算 f(1.5)的近似值。 1 + x2 ~ x −1 x−0 解： x ∈ [0,1], L ( x) = ×1 + × 0.5 = 1 − 0.5 x 0 −1 1− 0 ~ x−2 x −1 x ∈ [1,2], L ( x) = × 0.5 + × 0.2 = −0.3 x + 0.8 1− 2 2 −1

∫− h

h

f ( x)dx = ∫ x 4 dx =
−h

h

x5 5

h −h =

2h 5 / 5 ， （2）式的右边

h (−h) 4 + 4 ⋅ 0 4 + h 4 = 2h5 / 3 ，左边 ≠ 右边； 3
2

[

]

所以，当求积公式（1）中求积系数取为 A−1 = A1 = h / 3, A0 = 4h / 3 时，得到求积公式（2） ，其代数精 度取到最高，此时代数精度为 3。 法二：也可以认为：由于这个公式含有 3 个求积节点，即端点 x = ± h 与中点 x = 0 ，故其代数精度“尽 可能高”的求积公式为 Simpson 公式，即

将 x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144, y0 = 10, y1 = 11, y2 = 12 代入上式，得 x 的抛物插值函数为

( x − 121)(x − 144) ( x − 100)(x − 144) ( x − 100)(x − 121) ⋅10 + ⋅11 + ⋅12 (100 − 121)(100 − 144) (121− 100)(121− 144) (144 − 121)(144 − 121) (115 − 121)(115 − 144) (115 − 100)(115 − 144) (115 − 100)(115 − 121) L2 (115) = ⋅ 10 + ⋅ 11 + ⋅ 12 (100 − 121)(100 − 144) (121− 100)(121− 144) (144 − 121)(144 − 121) L2 ( x) =
h

h

（2）

当 f ( x) = x 3 时， 求积公式 （2） 的左边= 左边=右边；

（2） 式的右边= [(− h)3 + 4 ⋅ 03 + h3 ] = 0 ， ∫− h f ( x)dx = ∫− hx dx = 0 ， 3
h h 3

h

当 f ( x) = x 4 时 ， 求 积 公 式 （ 2 ） 的 左 边 = =

∫− h1dx = A−1 + A0 + A1 = 2h 此题 ∫− hxdx = A−1 (−h) + A0 ⋅ 0 + A1 ⋅ h = 0 ， ∫− hx dx = A−1 (−h)
h 2 2 h

当 f ( x) = x 2 时，

+ A0 ⋅ 0 2 + A1 ⋅ h 2 = 2h 2 / 3 ，

∫−1
1

1

2 ； 3

当 f ( x) = x 时，

∫−1xdx = C [x1 + x2 + x3 ] = 0 ， ∫−1x
−1 1 2 2 2 2 dx = C x1 + x2 + x3 = 3 1 3 + x2 3 3 1 3

[ 当 f ( x) = x 时， ∫ x dx = C [x
当 f ( x) = x 2 时，
《计算方法》计算题样题
1．已知函数表

x
x
试用抛物插值计算 115 的近似值。 解：抛物插值计算公式为：

100 10

121 11

144 12

L2 ( x ) =

( x − x0 )( x − x 2 ) ( x − x 0 )( x − x1 ) ( x − x1 )( x − x 2 ) y0 + y1 + y2 ( x0 − x1 )( x0 − x 2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x 2 ) ( x 2 − x 0 )( x 2 − x1 )

~

解：此题可考虑用待定系数法求解，令所求插值多项式为 p ( x) = a0 + a1x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 ，则有

p′( x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x3 ， p′′( x) = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 。依据所给条件有

∫− h f ( x)dx ≈ 3 [ f (−h) + 4 f (0) + f (h)] ，它有 3 阶精度。
h

h

7．确定下面公式中的 a, b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的阶数：

解：将 1, x, x2, x3 代入

b−a 2 1 b−a 3 3 1 得 (b3 − a 3 ) = a + b 2 + a(b − a ) 2 [2a − 2b] ， (b 4 − a 4 ) = a + b + a(b − a) 2 3a 2 − 3b 2 4 2 3 2

x −π /2 x−0 + 0⋅ = 1 − 2x /π , 0 −π /2 π /2−0 cos( π / 6 ) = L1 (π / 6 ) = 0 .6667 . L1 ( x ) = y 0 l 0 + y 1 l1 = 1 ⋅
若 n=2，则 ( x0 , y0 ) = (0,1), ( x1 , y1 ) = (π 4 ,0.7071), ( x2 , y2 ) = (π 2 ,0) ， 则有： L2 ( x) = y0l0 + y1l1 + y2l2 =
得 a=b=1/2。将 1, x, x2, x3, x4, x5 代入公式的两端，可得该公式具有 4 阶代数精确度。 8．在区间 [−1,1] 上求节点 x1 , x2 , x3 及系数 C，使求积公式

此题作废！
∫a
b

∫a

b−a [ f (a) + f (b)] + a(b − a)2 [ f ′(a) − f ′(b)] 2 b−a [ f (a) + f (b)] + a(b − a)2 [ f ′(a) − f ′(b)] f ( x)dx ≈ 2
1

所以，分段线性插值函数为： L ( x) = ⎨

~

⎧1 − 0.5 x ⎩0.8 − 0.3x

x ∈ [0,1] x ∈ [1,2]

。

因此， f (1.5) ≈ L (1.5) = 0.8 − 0.3 *1.5 = 0.35 5．求作次数 ≤ 4 的多项式 p ( x) ，使满足条件 p (0) = −1, p′(0) = −2, p (1) = 0, p′(1) = 10, p′′(1) = 40 （pp. 46）

′ϕ1 ( x) + p2 ′ ϕ 2 ( x) ，则 解：设 P3 ( x) = p0φ1 ( x) + p1φ2 ( x) + p1 ′(0) = 0, φ1 ′(1) = 0 ， φ1 (0) = 1, φ1 (1) = 0, φ1
′ (0) = 0, φ2 ′ (1) = 0 ， φ2 (0) = 0, φ2 (1) = 1, φ2 ′ (0) = 1, ϕ1 ′ (1) = 0 ， ϕ1 (0) = 0, ϕ1 (1) = 0, ϕ1

⎧ ⎪ A−1 + A0 + A1 = 2h ⎪ 即 ⎨(− A−1 + A1 )h = 0 ，解得 A−1 = A1 = h / 3, A0 = 4h / 3 。代入求积公式（1） ，得 ⎪ 2 ⎪( A−1 + A1 )h 2 = h3 3 ⎩

∫− h f ( x)dx ≈ 3 [ f (−h) + 4 f (0) + f (h)]

∫− h f ( x)dx ≈ A−1 f (−h) + A0 f (0) + A1 f (h)
具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。 解：要使求积公式（1）至少具有 2 阶代数精度，其充分必要条件为 当 f ( x) = 1 时， 当 f ( x) = x 时，
h

h

（1） （pp. 82）