15.1.1从分数到分式
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人教版数学-八年级上册15.1.1从分数到分式
(5) 1 x y 3
(10) 2x y x y
.
(2)整式有： (1) (4) (5) (6) (8) (9)
.
分式与整式的区别：分式中分母含有字母；
整式没有分母或者分母中不含有字母.
合作探究
下列式子中，x取哪些值有意义？无意义？
(1) 2 x
有意义： x 0
(2) x + 1 x -1
x 1
2 (3) x2 -1
x 1
(4) 3 x 2
x 1 (5) x2 1
(6) x 2 x 1
有意义：x 2
x为任意实数
x为任意实数
当分母B
0时，分式
A B
有意义；
当分母B = 0时，分式 A 无意义. B
合作探究
下列式子中，x取哪些值分式值为0？
(1) x 1 x
值为0：x 1
(2) 2a 4 a 1
A B
中，
A 叫做分子，B 叫做分母.
①形式： A B
分式 ②A与B表示两个整式
③B中含有字母
合作探究
下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
(1) x 2
(6) 3x 1
2
(2) 4 x2 x
(3) b 2a
2 (7) x2 2x 1(8) 3x2 4 2() y 8 3(9)4a
(1)分式有： (2) (3) (7) (10)
2.下列式子中，分式有________；整式有___.
mn
x2 2x 1
mn
x2 2x 1
① ②③
④
⑤
达标测试
3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
①8
a
15.1.1从分数到分式(教案)
15.1.1从分数到分式（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第15章《分式》的第一节“15.1.1从分数到分式”。教学内容主要包括以下两部分：
1.分式的定义：通过复习分数的概念，引导学生理解分式的定义，即分母不为零的整式比值称为分式。
2.分式的性质：探讨分式的分子、分母与分式值的关系，总结分式的性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、性质和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在数学学习和日常生活中灵活运用分式知识。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：分式2x/(x+1)与2x*2/(x的简单运算：学会分式的加减乘除运算，掌握运算规律。
举例：分式2x/(x+1)加上分式3/(x+1)时，只需将分子相加，分母保持不变，即(2x+3)/(x+1)。
2.教学难点
（1）分式与分数的区别：理解分式与分数在概念上的联系与区别，特别是分式的整式特性。
4.合作与交流：通过小组讨论、分享心得，培养学生团队合作和沟通交流的能力，促进学生共同成长。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）分式的定义：理解分式的概念，明确分母不为零的整式比值是分式的核心。
举例：分数5/6可以看作分式，而表达式(2x+1)/(x-3)也是分式，但(x+2)/0不是分式。
（2）分式的性质：掌握分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第15章《分式》的第一节“15.1.1从分数到分式”。教学内容主要包括以下两部分：
1.分式的定义：通过复习分数的概念，引导学生理解分式的定义，即分母不为零的整式比值称为分式。
2.分式的性质：探讨分式的分子、分母与分式值的关系，总结分式的性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、性质和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在数学学习和日常生活中灵活运用分式知识。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：分式2x/(x+1)与2x*2/(x的简单运算：学会分式的加减乘除运算，掌握运算规律。
举例：分式2x/(x+1)加上分式3/(x+1)时，只需将分子相加，分母保持不变，即(2x+3)/(x+1)。
2.教学难点
（1）分式与分数的区别：理解分式与分数在概念上的联系与区别，特别是分式的整式特性。
4.合作与交流：通过小组讨论、分享心得，培养学生团队合作和沟通交流的能力，促进学生共同成长。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）分式的定义：理解分式的概念，明确分母不为零的整式比值是分式的核心。
举例：分数5/6可以看作分式，而表达式(2x+1)/(x-3)也是分式，但(x+2)/0不是分式。
（2）分式的性质：掌握分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
15.1.1 从分数到分式
D．x＝3
3．已知分式（x－1）（x＋2）的值为 0，那么 x 的值是( ) x2－1
A．－1
B．－2
C．1
D．1 或－2
侵权必究
名校课堂
题组二
4.下列式子中的字母取何值时，使分式有意义？
① 2m 3m 2
②2 x2 1
侵权必究
名校课堂
x2 1 5. x2 x 中的字母取何值时，分式有意义？ 字母取何值时分式无意义？字母取何值时分式为零？
侵权必究
名校课堂
例 当x为何值时，分式 x2 1 的值为零?
x 1
解：当分子等于零而分母不等于零时,
分式的值为零.
则 x2 - 1=0， ∴x = ±1， 而 x+1≠0， ∴ x ≠ -1. ∴当x = 1时分式 x2 1 的值为零.
x 1
侵权必究
名校课堂
题组一
1.整式有：
；分式有：
.
2x 1 1
（B ）
A.xx2+11
x1 B. x2
x2 1 C.x2 1
D.
x2 x1
4.已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零， 3x 2
则k =-10 .
侵权必究
名校课堂
当堂练习
列式表示下列各量：
(1)某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积
40
为 n hm2.
(2)△ABC的面积为S，BC边的长为a, 则高AD为
侵权必究
名校课堂
6. 某市对一段全长1 500米的道路进行改造．原计划
每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所
造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还
多35米，那么修这条路实际用了
教学设计5：15.1.1从分数到分式
15.1.1从分数到分式一、课题：新人教版八年级上册第十五章15.1.1从分数到分式二、课型：新授课三、教材分析：《从分数到分式》的主要内容是分式的概念以及分式有意义、无意义、分式值为0的条件和用分式表示数量关系。
分式是继整式之后对代数式的进一步研究，它以分数知识为基础，类比引出分式的概念。
与整式一样，分式也是表示具体问题情境中的数量关系的一种工具，是解决实际问题的常见模型之一。
本节课的学习为今后学习更为复杂的函数、方程等知识提供重要条件，打下坚实的基础，起到承上启下的作用。
四、教学目标：1、知识与技能：学生通过实际问题中的数量关系，类比、抽象出分式的概念，理解并掌握分式的概念，能求出分式有无意义以及分式值为0的条件。
2、过程与方法：通过对分式与分数的类比，学生亲身经历、探究分式的过程，初步体会运用类比转化的思想方法研究数学问题，培养学生观察、归纳、类比的思想，并体会从特殊到一般的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。
五、教学重难点：重点：理解并掌握分式的概念，体会其内涵；难点：分式有无意义、分式值为0条件的讨论及运用。
六、教法与学法：根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用的教学方法是问题探究法，探究发现法，即学生在教师的正确引导下，积极主动参与探索发现、归纳类比等数学活动获得知识。
教师着眼于引导，学生着眼于探索。
本节课还利用多媒体辅助教学，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，积极参与、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。
这节课学生积极参与到教学活动中，用启发引导的方式学习分式的概念，并在学习中渗透观察、类比、归纳的数学学习思想，体现以学生发展为本的理念，突出学生是学习的主体。
七、教学设计：。
15.1.1从分数到分式
V
面积为S的圆柱形容器中，水面高度为___S ___.
S
V
请大家观察式子 S 和 V , 有什么特点？
a
S
请大家观察式子 1 0 0 和 6 0 ，有什么特点？
20 u
20 u
它们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字 母，那么式子 A 叫做分式.其中A叫做分式的分子，
B
B叫做分式的分母(B≠0).
类比分数、分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数 如: 3 ÷ 5 = 3
5
被除式÷除式=商式
类比 如: (v-v0) ÷ t
=
v-v0 t
整数 整数 分数
整式(A)
整式(B) 分式(
A B
)
注意：分式是不同于整式的另一类有理式，分母中含有字 母是分式的一大特点.
不懂就问
100
20 u
60 20 u
引例1
10
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为__7 __cm;长
S
方形的面积为S,长为a,宽应为___a ___;
S
?
a
引例2
2、把体积为200cm³的水倒入底面积为33cm²的圆柱形 200
容器中，水面高度为__3 _3 _cm；把体积为V的水倒入底
B
当B=0时，分式 A 无意义.
B
当B≠0时，分式
A B
有意义.
（1）当x
时，分式 3 2 x 有意义；
解：分母 3x≠0 即 x≠0
（2）当x
面积为S的圆柱形容器中，水面高度为___S ___.
S
V
请大家观察式子 S 和 V , 有什么特点？
a
S
请大家观察式子 1 0 0 和 6 0 ，有什么特点？
20 u
20 u
它们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字 母，那么式子 A 叫做分式.其中A叫做分式的分子，
B
B叫做分式的分母(B≠0).
类比分数、分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数 如: 3 ÷ 5 = 3
5
被除式÷除式=商式
类比 如: (v-v0) ÷ t
=
v-v0 t
整数 整数 分数
整式(A)
整式(B) 分式(
A B
)
注意：分式是不同于整式的另一类有理式，分母中含有字 母是分式的一大特点.
不懂就问
100
20 u
60 20 u
引例1
10
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为__7 __cm;长
S
方形的面积为S,长为a,宽应为___a ___;
S
?
a
引例2
2、把体积为200cm³的水倒入底面积为33cm²的圆柱形 200
容器中，水面高度为__3 _3 _cm；把体积为V的水倒入底
B
当B=0时，分式 A 无意义.
B
当B≠0时，分式
A B
有意义.
（1）当x
时，分式 3 2 x 有意义；
解：分母 3x≠0 即 x≠0
（2）当x
15.1.1从分数到分式
五、布置作业，专题突破
教科书习题15.1第1、2、3题
七、板书设计
把黑板平均分成三份，左边部分板书课题和分式的概念、分式有意义的条件、分式的值为零的条件和探究，中间部分板书例题，右边部分板书练习．
八、教学反思
授课时间：
教研组检查情况：
组长签字：
年月日
教务处检查情况：
主任（教务员）签字：
年月日
课学内容分析
本课由实际问题引入，通过类比分数的概念得到分式的概念，并进一步研究分式有意义的条件.
二、教学目标
1．知识与技能
了解分式概念.
2．过程与方法
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
3．情感、态度与价值观
培养良好的推理能力，形成灵活的应用能力．
三、学情分析
四、教学策略选择与设计
创设情景，导入新知—范例学习，应用所学—随堂练习—课时小结—布置作业
五、教学重点及难
1.重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
六、教学流程
教学方法：
采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．
三、随堂练习，巩固深化
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4, , , , ，
2.当x取何值时，下列分式有意义？
（1）（2）（3）
3.当x为何值时，分式的值为0？
（1）（2）(3)
四、课堂总结，发展潜能
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）你能举例说明什么是分式吗？
（3）如何确定分式有意义的条件？
二、范例学习，应用所学P5例1.当x为何值时，分式有意义.
教科书习题15.1第1、2、3题
七、板书设计
把黑板平均分成三份，左边部分板书课题和分式的概念、分式有意义的条件、分式的值为零的条件和探究，中间部分板书例题，右边部分板书练习．
八、教学反思
授课时间：
教研组检查情况：
组长签字：
年月日
教务处检查情况：
主任（教务员）签字：
年月日
课学内容分析
本课由实际问题引入，通过类比分数的概念得到分式的概念，并进一步研究分式有意义的条件.
二、教学目标
1．知识与技能
了解分式概念.
2．过程与方法
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
3．情感、态度与价值观
培养良好的推理能力，形成灵活的应用能力．
三、学情分析
四、教学策略选择与设计
创设情景，导入新知—范例学习，应用所学—随堂练习—课时小结—布置作业
五、教学重点及难
1.重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
六、教学流程
教学方法：
采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．
三、随堂练习，巩固深化
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4, , , , ，
2.当x取何值时，下列分式有意义？
（1）（2）（3）
3.当x为何值时，分式的值为0？
（1）（2）(3)
四、课堂总结，发展潜能
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）你能举例说明什么是分式吗？
（3）如何确定分式有意义的条件？
二、范例学习，应用所学P5例1.当x为何值时，分式有意义.
人教版八年级上册数学15.1.1从分数到分式课件
【选自教材P128 练习 第1题】
40
（1）某村有n个人，耕地40hm2，则人均耕地面积为 n hm2.
2S
（2）△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD为 a .
a
（3）一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为 b km/h；
一列火车行驶a km比这辆汽车少用1 h，则它的平均速度为
a
b - 1 km/h.
B. x ≠ 2 D. 以上结果都不对
方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是 几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.
想一想
分式 A 的值为零应满足什么条件？ B
0 0 2
分子为0 分母不为0
A0 B
当A=0，B≠0时，分式 A 0 B
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
针对训练
区别
分子与分母都是整 数，即都不含字母
分母中一定含有 字母
整式 整式（含字母）
S 令S=100，a=7 100
a
7
整数 整数
分式
具体化 一般化
分数
实质：分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具有一般性.
针对训练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
ab2 ； 1 ； a ； x ； x 1 ； 1 x y ； 1 .
面积 = 长×宽
S?
a
体积 = 底面积×高
（2）把体积为200 cm3 的水倒入底面积为33
200
cm2 的圆柱形容器中，则水面高度为 33 cm；
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容
V
器中，则水面高度为 S .
S
同5÷3可以写成
5 3
人教版八年级上册数学课件15.1.1 从分数到分式
33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( 200 )cm；若
33
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水
面高度为( V ).
S
S
V
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计 为（8a+b）元.
讲授新课
一 分式的概念
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
100 100 7a
100 200 V 8a+b a+1 33 S
做一做：
（1）当x 0
时，分式 2 有意义； 3x
（2）当x （3）当b
1 时，分式 x 有意义；
x 1
5 3
时，分式
1 5 3b
有意义；
（4）当
x≠y 时，分式 x y 有意义.
x y
（5）当x 为任意实数 时，分式
x 1 x2 1
有意义；
三 分式值为零的条件
想一想：分式 A 的值为零应满足什么条件？ B
第十五章 分 式
15.1.1 从分数到分式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解分式的概念； 2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件．（重点） 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条 件．（难点）
导入新课
情境引入
第 十 届 田 径 运 动 会
填空：乐乐同学参加百米赛跑
x2 1 C.x2 1
D.
x2 x1
4.已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零， 3x 2
则k =-10 .
5.在分式 x 3 中，当x为何值时，分式有意义？
x3
分式的值为零？
答：当x ≠ 3时，该分式有意义；当x=-3时， 该分式的值为零.
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(2)由（1）得 当x≠-2时，分式有意义
(３)由分子x2-4=0，得 x=±2
而x+2≠０ ∴ x≠-2
∴当x=2时，分式 x2 4 的值为零. x2
练习2.下列分式中的字母满足什么条
件时分式有意义？
2
x 1
2m
a
x 1
3m 2
a≠0
x≠1
m2
3
1
2a b
2
x y
3a b
x2 1
x≠y
b≠3a
第十五章 分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
daguanxiancuihuazhongxue pandashun 2019.12.12
活动一
１.回忆：什么叫式?请你举例说明.
整式 单项式: 3 4x mn
多项式: 2-m Xy+1
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
有意义。
思考 分式 A 在什么条件下值为正？ B
分式 A 在什么条件下值为负？
B
A
归纳 （1）当A、B同号时，分式 B 的值为正；
（2）当A、B异号时，分式 A 的值为负.
B
3x 1 例3（补充）当x 时， x2 的值为负；
当x
时，
3x 1 - x2 -1
的值为正.
思考 分式 A在什么条件下值为正？ B
x≠±1
练习3.填空：
(1)当x ___0__时,分式 2 有意义.
(2)当x ___1__时,分式 3xx 有意义.
(3)当b ___53__时,分式x5113b 有意义.
(4)当x
取全体
_实_数___
时,
分式
x
1
有意义.
x2 1
（5）当x_=___23_时，分式
x 1
2x 3无意义.
(6)当x、y满足关系 _x____y_ 时,
分式的分子等于零 且分母不等于零
小测验
1、⑴在下面四个代数式中,分式为( B )
A、2x 5 B、 1 C、x 8 D、－ 1 + x
7
3x
8
45
⑵ 当x=-1时，下列分式没有意义的是( C )
A、 x 1 B、 x C、 2x
D、 x 1
x
x 1
x 1
x
2、
当x
≠
1 2
时，分式
x2 2x 1
c
3a b
区分整式与分式的标准就是看分母中是否含有 字母,含有字母的是分式，不含字母的是整式。
练习1.判断：下面的式子哪些是分式？
2
3000 2
b s 300 a 7
4
5b c 5
5 π
5x 7
VS S 32
x2 xy y2 2x 1
2x2 1 5
3x2 1
分式:
思考：
1.分式 A的分母有什么条件限制？ B
分式的分子，B为分式的分母.
注意：
1）分式是不同于整式的另一类式子，且分 母中含有字母是分式的一大特点。 2)分式比分数更具有一般性。
例1、下列式子中，哪些是分式？哪些 是整式？两类式子的区别是什么？
1 x 4 2a 5 x
x 3 3b3 5 3 x2 y2
m n x2 2x 1 m n x2 2x 1
x 2 的值是零。 2x 5
解⑵ ：由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。 当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。
| x | 2
所以当x=2时，分式 2x 的4 值是零。
1
1、当x为何值时，代数式 x 1 2 有意义？
X≥1且x≠5
2、当x为何值时，分式
江以最大船速顺流航行90km所用时间,与以最大
航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流
速是多少?
如果设江水的流速为v千米/时.
以最大船速顺流 以最大船速逆流
航行90km所用 航行60km所用
的时间
的时间
90
30 v
60 30 v
请大家观察式子 S 和 a
v，以及 s
90
30和 v
有什么共同特点？
x2
x
1 2x
3
无意义？
x≠3且x≠-1
3、当x为何值时，分式 x2 1 的值为零？ X=1
x 1
4、x为何整数时，分式 12 的值为整数？
x 1
X=-13，-7，-5，-4，-3，-2，0，1，2，3，5，11
5、 请编制一个分式。使它的分子为x+4，且当它在 x≠2时才有意义。
6、 当x取什么值时，下列分式有意义？
当B=0时， 分式 A无意义.
B
当B≠0时，分式 BA有意义.
2.当 A=0时，分子、分母满足什么条件？
B
当A=0而B≠0时，分式
A B
的值为零.
例2. 已知分式
x2 4
,
x2
(13) 当x为何值时，分式无的意值义为?零?
((24))当当xx=为- 3何时值，时分，式的分值式是有多意少义? ?
解：(1)由分母 x+2=0，得 x=-2 ∴当x=-2时，分式 x2 4 无意义. x2
(x 2)( x 1)
12.（枣庄·中考）若 | x | 3 的值为零，则x＝
．
x2 2x 3
【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零，同时
分母不为零，即
x 3 0,
x
2
2x
3
0,
解得 x 3.
答案：－3
•分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
•分式无意义的条件：
分式的分母等于零
•分式的值为零的条件：
分式 A 在什么条件下值为负？
B
A
归纳 （1）当A、B同号时，分式 B 的值为正；
（2）当A、B异号时，分式 A 的值为负.
B
3x 1 例3（补充）当x 时， x2 的值为负；
当x
时，
3x 1 - x2 -1
的值为正.
人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一 种学习的过程，我们应当在这过程中，学习 稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机.
有意义。
3、
当x
=2
时，分式
x2 2x 1
的值为零。
4、 已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于
零，则k =-10 。 3x 2
p mn
B
D
8.分式
x
x 1 2 1
有意义的条件：
x取全体实数
。
当x=
-1时，分式 x
x 1的值为 2 1
1
；
9、 要使分式 x 2 (x 1)(x 2)
有意义，x
的取值满足（
C
）
A. x 1
B. x 2
C. x 1且x 2
D. x 1或x 2
7、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 ？
(1) 解⑴：
x2 2x 5
,
(2) | x | 2 2x 4
由分子x+2=0，得 x=-2。
.
而当 x=-2时，分母 2x－5=0
所以当x=-2时，分式
60 30 v
（分母中都含有字母）
他们与分数 10 , 200 有什么相同点和不同点？
7 33
相同点
不同点
都是 A（即A÷B）的形式 B
分数：分子、分母都是整数
前四个式子：分子、分母都
是整式且分母中含有字母。
分式定义：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且
B中含有字母，那么称 A为分式.其中A叫做 B
分式 x y 有意义. x y
x2 （7）当x__=_±_3___时，分式 x2 9 无意义；
8、
当x
=2 时，分式
x2
的值为零。
2x 1
9、已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于
零，则k =-10 。
3x 2
10、分式 x 3 的值能等于0吗？说明理由．
x2 x 12
11.当x __1___时,分式 | x | 1 的值等于 0.
10
2_为._把__7_体___Sa积___c为_m;2;长00方cm形³的的水面倒积入为底S,长面为积a为,宽33S应cam²?
的圆柱形容器中,水面高度为__2_0_0_cm;把体
积为V的水倒入底面积为S的圆3柱3形容器中S,
V
水面高度为__S____;
V
一艘轮船在静水中的最大航速是30km/h,它沿
x x2
x1 4x 1
2x | x | 3
解⑴：由分母 x－2=0，得 x=2。
所以当
x≠2时，
分式
x
x
有意义。
2
解⑵
：由分母 4x+1=0，得 x= -
所以当 x≠-
1时， 分式
4
1。 4x 1
4x 1
有意义。
解 ⑶ ：由分母|x|－3=0，得 x=±３ 。
所以当x≠ ±３时，分式
2x | x | 3
(３)由分子x2-4=0，得 x=±2
而x+2≠０ ∴ x≠-2
∴当x=2时，分式 x2 4 的值为零. x2
练习2.下列分式中的字母满足什么条
件时分式有意义？
2
x 1
2m
a
x 1
3m 2
a≠0
x≠1
m2
3
1
2a b
2
x y
3a b
x2 1
x≠y
b≠3a
第十五章 分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
daguanxiancuihuazhongxue pandashun 2019.12.12
活动一
１.回忆：什么叫式?请你举例说明.
整式 单项式: 3 4x mn
多项式: 2-m Xy+1
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
有意义。
思考 分式 A 在什么条件下值为正？ B
分式 A 在什么条件下值为负？
B
A
归纳 （1）当A、B同号时，分式 B 的值为正；
（2）当A、B异号时，分式 A 的值为负.
B
3x 1 例3（补充）当x 时， x2 的值为负；
当x
时，
3x 1 - x2 -1
的值为正.
思考 分式 A在什么条件下值为正？ B
x≠±1
练习3.填空：
(1)当x ___0__时,分式 2 有意义.
(2)当x ___1__时,分式 3xx 有意义.
(3)当b ___53__时,分式x5113b 有意义.
(4)当x
取全体
_实_数___
时,
分式
x
1
有意义.
x2 1
（5）当x_=___23_时，分式
x 1
2x 3无意义.
(6)当x、y满足关系 _x____y_ 时,
分式的分子等于零 且分母不等于零
小测验
1、⑴在下面四个代数式中,分式为( B )
A、2x 5 B、 1 C、x 8 D、－ 1 + x
7
3x
8
45
⑵ 当x=-1时，下列分式没有意义的是( C )
A、 x 1 B、 x C、 2x
D、 x 1
x
x 1
x 1
x
2、
当x
≠
1 2
时，分式
x2 2x 1
c
3a b
区分整式与分式的标准就是看分母中是否含有 字母,含有字母的是分式，不含字母的是整式。
练习1.判断：下面的式子哪些是分式？
2
3000 2
b s 300 a 7
4
5b c 5
5 π
5x 7
VS S 32
x2 xy y2 2x 1
2x2 1 5
3x2 1
分式:
思考：
1.分式 A的分母有什么条件限制？ B
分式的分子，B为分式的分母.
注意：
1）分式是不同于整式的另一类式子，且分 母中含有字母是分式的一大特点。 2)分式比分数更具有一般性。
例1、下列式子中，哪些是分式？哪些 是整式？两类式子的区别是什么？
1 x 4 2a 5 x
x 3 3b3 5 3 x2 y2
m n x2 2x 1 m n x2 2x 1
x 2 的值是零。 2x 5
解⑵ ：由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。 当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。
| x | 2
所以当x=2时，分式 2x 的4 值是零。
1
1、当x为何值时，代数式 x 1 2 有意义？
X≥1且x≠5
2、当x为何值时，分式
江以最大船速顺流航行90km所用时间,与以最大
航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流
速是多少?
如果设江水的流速为v千米/时.
以最大船速顺流 以最大船速逆流
航行90km所用 航行60km所用
的时间
的时间
90
30 v
60 30 v
请大家观察式子 S 和 a
v，以及 s
90
30和 v
有什么共同特点？
x2
x
1 2x
3
无意义？
x≠3且x≠-1
3、当x为何值时，分式 x2 1 的值为零？ X=1
x 1
4、x为何整数时，分式 12 的值为整数？
x 1
X=-13，-7，-5，-4，-3，-2，0，1，2，3，5，11
5、 请编制一个分式。使它的分子为x+4，且当它在 x≠2时才有意义。
6、 当x取什么值时，下列分式有意义？
当B=0时， 分式 A无意义.
B
当B≠0时，分式 BA有意义.
2.当 A=0时，分子、分母满足什么条件？
B
当A=0而B≠0时，分式
A B
的值为零.
例2. 已知分式
x2 4
,
x2
(13) 当x为何值时，分式无的意值义为?零?
((24))当当xx=为- 3何时值，时分，式的分值式是有多意少义? ?
解：(1)由分母 x+2=0，得 x=-2 ∴当x=-2时，分式 x2 4 无意义. x2
(x 2)( x 1)
12.（枣庄·中考）若 | x | 3 的值为零，则x＝
．
x2 2x 3
【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零，同时
分母不为零，即
x 3 0,
x
2
2x
3
0,
解得 x 3.
答案：－3
•分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
•分式无意义的条件：
分式的分母等于零
•分式的值为零的条件：
分式 A 在什么条件下值为负？
B
A
归纳 （1）当A、B同号时，分式 B 的值为正；
（2）当A、B异号时，分式 A 的值为负.
B
3x 1 例3（补充）当x 时， x2 的值为负；
当x
时，
3x 1 - x2 -1
的值为正.
人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一 种学习的过程，我们应当在这过程中，学习 稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机.
有意义。
3、
当x
=2
时，分式
x2 2x 1
的值为零。
4、 已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于
零，则k =-10 。 3x 2
p mn
B
D
8.分式
x
x 1 2 1
有意义的条件：
x取全体实数
。
当x=
-1时，分式 x
x 1的值为 2 1
1
；
9、 要使分式 x 2 (x 1)(x 2)
有意义，x
的取值满足（
C
）
A. x 1
B. x 2
C. x 1且x 2
D. x 1或x 2
7、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 ？
(1) 解⑴：
x2 2x 5
,
(2) | x | 2 2x 4
由分子x+2=0，得 x=-2。
.
而当 x=-2时，分母 2x－5=0
所以当x=-2时，分式
60 30 v
（分母中都含有字母）
他们与分数 10 , 200 有什么相同点和不同点？
7 33
相同点
不同点
都是 A（即A÷B）的形式 B
分数：分子、分母都是整数
前四个式子：分子、分母都
是整式且分母中含有字母。
分式定义：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且
B中含有字母，那么称 A为分式.其中A叫做 B
分式 x y 有意义. x y
x2 （7）当x__=_±_3___时，分式 x2 9 无意义；
8、
当x
=2 时，分式
x2
的值为零。
2x 1
9、已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于
零，则k =-10 。
3x 2
10、分式 x 3 的值能等于0吗？说明理由．
x2 x 12
11.当x __1___时,分式 | x | 1 的值等于 0.
10
2_为._把__7_体___Sa积___c为_m;2;长00方cm形³的的水面倒积入为底S,长面为积a为,宽33S应cam²?
的圆柱形容器中,水面高度为__2_0_0_cm;把体
积为V的水倒入底面积为S的圆3柱3形容器中S,
V
水面高度为__S____;
V
一艘轮船在静水中的最大航速是30km/h,它沿
x x2
x1 4x 1
2x | x | 3
解⑴：由分母 x－2=0，得 x=2。
所以当
x≠2时，
分式
x
x
有意义。
2
解⑵
：由分母 4x+1=0，得 x= -
所以当 x≠-
1时， 分式
4
1。 4x 1
4x 1
有意义。
解 ⑶ ：由分母|x|－3=0，得 x=±３ 。
所以当x≠ ±３时，分式
2x | x | 3