2014届高三数学一轮复习精讲精练：9.3双曲线
江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线填空题错误！未指定书签。
．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线243y x =的焦点重合,则该双曲线的方程为____.【答案】 1222=-y x错误！未指定书签。
．（2012年江苏理）在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5,则m 的值为____.【答案】由22214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，.∴24===5c m m e a m++,即244=0m m -+,解得=2m . 错误！未指定书签。
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知点P 是椭圆222212222211,,11x y x y F F a a a a +=-=+-与双曲线的交点是椭圆焦点,则12cos F PF ∠=________________.【答案】0错误！未指定书签。
．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:22143x y -=.设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点,若2AM MB = ,则直线的斜率为_____.【答案】12±错误！未指定书签。
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2-10x =0的圆心重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的标准方程为________.【答案】答案:221520y x -=. 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分引申 错误！未指定书签。
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程为___________________.【答案】1222=+y x错误！未指定书签。
2014高考数学一轮课件双曲线及其标准方程(精)
F1
F2
6
双曲线在实际生活中有广 泛的应用,如热电厂的冷却 塔的外形与轴截面的交线 等等.
7
y
分析推导
方程的推导
求曲线方程的步骤：
1. 建系设点; 2. 写出适合条件的点M的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简.
M (x,y)
F(-C,0) 1 o F2(C,0) x1F2)
x y 2 1(a 0, b 0). 2 a b 2 2 又c 5, a 3, 故b 5 3 4.
2 2
x y 因此, 所求双曲线的标准方程 是 : 1. 9 16
2
2
13
例2 已知双曲线的焦点在y轴上,并且 9 ,5), 双曲线上的两点P1(3, 4 2 ),P2( 4 求双曲线的标准方程. 解 因为双曲线的焦点在y轴上,所以设 2 2 分析 已知双曲线焦点的位置 ,可知双 y x 标准方程为 2 1(a 0, b 0) 曲线标准方程的形式 ,利用曲线上的点 , 2 a b 其坐标满足方程,从而建立a,b的方程, 因为 P1,P2在双曲线上 求出 a,b. 2 2 所以 4 2 3 1 2 2 解 a b 2 2=9 9 得,a2=16,b 2 5 4 1 2 2 2 2 a b y x 所以所求双曲线方程为 1
1
椭圆是如何定义的?其标准方程是什么?
我们把平面内到两个定 点F1 , F2的距离之和等于 常数(大于 F1F2 )的点的集合叫作椭圆 .
x2 y2 2 1 (a b 0)其焦点在x轴上 2 a b
y2 x2 2 1 (a b 0)其焦点在y轴上 2 a b
2
思考 与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆, 那么与两定点的距离的差是非零常数的点的 轨迹是什么样的曲线呢?
高考数学(理)一轮知识点专题讲座：双曲线(含答案)
【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点34 双曲线加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标双曲线的定义、标准方程与几何性质 二.知识梳理 1．双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点②(*)动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e(e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线，这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2．双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶(*)顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c==+⑷(*)焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或⑸(*)两准线间的距离: 2122a K K c=⑹(*)21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212cot2PF F F PF S b ∆∠= ⑺离心率：121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b⑼(*)通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中222b a c +=a PF PF 221=- 3. 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c=22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22b x =1，c=22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4.双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x|≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a by ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y=a b x ，y=－abx ⑸(*)准线：l 1：x=－c a 2，l 2：x=c a 2，两准线之距为2122a K K c =⋅⑹(*)焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）； 当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺(*)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ⑻(*)与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x三.考点逐个突破 1.双曲线的定义例1.(1) 双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 A ．14B ．12C ．D ．解析：双曲线的标准方程为2211y x m-=，所以0m >，且2211,a b m ==，因为24a b =，所以2a b =，224a b =，即41m=，解得4m =，选D （2）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围分析：由|PM|－|PN|=2m ，得||PM|－|PN||=2|m|知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2， 即y=±2x （x ≠0）①因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线， 从而得 ||PM|－|PN||<|MN|=2 ∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上故22m x －221my -=1 ②将①代入②，并解得x 2=22251)1(m m m --，∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0 解得0<|m|<55， 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55） 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义(3) 给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上______________________________________________________ 答案：|PF 2|=17解析：易知P 与F 1在y 轴的同侧，|PF 2|－|PF 1|=2a ，∴|PF 2|=17 2.双曲线的标准方程例2. （1）已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .解析：由双曲线的焦点可知c =，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有2PF x ⊥，且24PF =，点P 在双曲线右支上.所以16PF ===，所以126422PF PF a -=-==，所以2221,4a b c a ==-=，所以双曲线的方程为1422=-y x ，离心率ce a== (2)根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）分析：设双曲线方程为22a x －22by =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22by =1，由题意，得243(3)19b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得a 2=49，b 2=4 所以双曲线的方程为492x －42y =1（2）设双曲线方程为22a x －22by =1由题意易求c=25又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8故所求双曲线的方程为122x －82y =1解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y ＝41（2）设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax ±by=0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0） 3.双曲线的几何性质例3.(1) 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A.45B. 5C. 25D.5【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2ba=,2c e a ====,故选D. 答案:D.【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.(2) 双曲线22133x y -=的渐近线方程为_____；离心率为______.解析：由双曲线的方程可知双曲线的焦点在轴，223a b ==，所以26a b c ===，即c =by x x a =±=±，离心率c e a ===. （3）双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．解析：由双曲线的标准方程可知，2236,45a b ==，所以281,9c c ==，6,a b ==所以双曲线的渐近线方程为b y x x x a =±==，离心率9362c e a === （4）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为，且过点(2,3)，则它的渐近线方程为 .解析：由题意知24c =，所以2c =.又点(2,3)在双曲线上，所以2a =，即1a =，所以b ===.双曲线的渐近线方程为by x a=±=. 4.综合运用例4.(1) 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是解析：双曲线的渐近线为43y x =±，不妨取43y x =，即430x y -=.双曲线的右焦点为(5,0)，圆心到直线430x y -=的距离为4d ==，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为22(5)16x y -+=.（2）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=解析：抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以双曲线中4c =.又2ce a==，所以2,a b ====.所以双曲线飞渐近线方程为b y x x a =±==，选D.(3) 已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C和圆2C ：222x y c +=的一个交点为，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为 ABC ．D1+解析：因为圆的半径为，所以三角形12PF F ∆为直角三角形，又12212PF F PF F ∠=∠，所以126PF F π∠=，所以21,PF c PF ==.又122PF PF c a -=-=，即1c a ==+，选D. (4) 已知双曲线的方程为1422=-y x , 直线l 通过其右焦点F 2，且与双曲线的右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线的左焦点F 1连结起来，求|F 1A|·|F 1B|的最小值解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),A 到双曲线的左准线x= ─c a 2= ─54的距离d=|x 1+54|=x 1+54，由双曲线的定义，d AF ||1=e=25,∴|AF 1|=25(x 1+54)=25x 1+2, 同理，|BF 1|=25x 2+2, ∴|F 1A|·|F 1B|=(25x 1+2)(25x 2+2)=45x 1x 2+5(x 1+x 2)+4 (1) 双曲线的右焦点为F 2(5,0),(1)当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为：y=k(x─5)，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=14)5(22y x x k y 消去y 得 (1─4k 2)x 2+85k 2x─20k 2─4=0,∴x 1+x 2=145822-k k , x 1x 2= ─1442022-+k k ,代入(1)整理得|F 1A|·|F 1B|=1452514402222-++-k k k k +4=1456522-+k k +4=14485)41(6522-+-k k +4=481+)14(4852-k ∴|F 1A|·|F 1B|>481; (2)当直线AB 垂直于x 轴时，容易算出|AF 2|=|BF 2|=21, ∴|AF 1|=|BF 1|=2a+21=29(双曲线的第一定义), ∴|F 1A|·|F 1B|=481 由(1), (2)得：当直线AB 垂直于x 轴时|F 1A|·|F 1B| 取最大值481（5） 已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值试对双曲线C ′：22a x －22by =1写出具有类似特性的性质，并加以证明解：类似的性质为若MN 是双曲线22a x －22by =1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中22a m －22bn =1又设点P 的坐标为（x ，y ），由k PM =m x n y --，k PN =mx ny ++， 得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --，将y 2=22a b x 2－b 2，n 2=22a b m 2－b 2，代入得 k PM ·k PN =22ab。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《双曲线》(知识梳理 典例讲解 习题自测,46ppt)
疑点清源
1. 双 曲 线 的 几 何 性 质 的 实 质 是 围 绕 双 曲 线 中 的 “ 六 点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条 对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构 成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们 之间的相互联系．
考点自测
1.双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. 22，0
B. 25，0
C. 26，0
D．( 3，0)
解析：将双曲线方程化为标准方程为：x2－y12＝1，∴a2＝ 2
1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝ 26，故右焦点坐标为( 26， 0)．
性 质
实虚轴
|A1A2|＝⑱______；线段 B1B2 叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2|＝⑲______；a 叫做
双曲线的实半轴，b 叫做双曲线的虚半轴
Hale Waihona Puke a、b、c 关 系c2＝⑳__________(c＞a＞0，c＞b＞0)
答案：①绝对值 ②焦点 ③焦距 ④x≥a 或 x≤－a ⑤ y≥a 或 y≤－a ⑥x 轴、y 轴 ⑦坐标原点 ⑧x 轴，y 轴 ⑨ 坐标原点 ⑩(－a,0) ⑪(a,0) ⑫(0，－a) ⑬(0，a) ⑭y＝±ba x ⑮y＝±abx ⑯ac ⑰ a2＋b2 ⑱2a ⑲2b ⑳a2＋b2
∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
(2)设以 y＝±32x 为渐近线的双曲线方程为 x42－y92＝λ(λ≠0)． 当 λ＞0 时，a2＝4λ，
∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝94； 当 λ＜0 时，a2＝－9λ，
2014届高考数学一轮复习讲义：8.5双曲线
(4)双曲线的渐近线 经过 A1、A2 任作平行 y 轴的平行线 x＝±a，经过 B1、B2 作 x 轴 的平行线 y＝±b，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线的方程 y ＝±bax，双曲线xa22－by22＝1 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接 近．
我们把 y＝±bax 叫作双曲线的渐近线．
注意：①双曲线有渐近线这是双曲线与椭圆和抛物线的最大不
同．
②画双曲线的图像一般要先画双曲线的渐近线，这样精确．
③在双曲线方程xa22－yb22＝1 中，若 a＝b，那么双曲线的方程为 x2－y2＝a2，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，实轴与虚轴等长，
这样的双曲线称为等轴双曲线．
④渐近线的记法只需把“xa22－ yb22＝ 1”中的“1”换成 “0”即
(6)与双曲线xa22－ yb22＝1(a＞ 0， b＞0)共焦点的圆锥曲线方程为
x2 a2－
λ－b2y＋2
＝ λ
1(λ＜
a2，且
λ≠－b2)．
3．双曲线的几何性质(以标准方程xa22－by22＝1(a，b＞0)为例) (1)双曲线的范围(如图所示)
由双曲线方程xa22－by22＝1 可知xa22≥1，从而 x≤－a 或 x≥a，双曲 线在两直线 x＝a，x＝－a 的外侧，是无限延伸的．需要指出的是， 双曲线在直线 x＝－a 和 x＝a 之间没有图像，当|x|无限增大时，|y| 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线．
∴ac11＝＝51，3，
∴焦距为 2c1＝10， 又∵8＜10，∴曲线 C2 是双曲线，设其方程为xa222－yb222＝1(a2＞0，
b2＞0)，
则 a2＝4，c2＝5，∴b22＝52－42＝32， ∴曲线 C2 的方程为4x22－3y22＝1.
2014届高考数学一轮复习精品课件：9.7 双曲线
[难点正本
疑点清源]
1.双曲线中 a，b，c 的关系 双曲线中有一个重要的 Rt△OAB(如右图)， 它的三边长分别是 a、b、c.易见 c2＝a2＋ c 1 2 b ，若记∠AOB＝θ，则 e＝a＝ . cos θ 2．双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2| ＝2a，其中 2a<F1F2，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值．
变式训练 2
(1)若双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，它的一个焦点是( 10， 0)，求双曲线的方程； 4 (2)已知双曲线的渐近线方程为 y＝± x，并且焦点都在圆 x2 3 ＋y2＝100 上，求双曲线的方程．
y2 解 (1)设双曲线的方程为 x2－ ＝k (k>0)， 9 x2 y2 即 k － ＝1，则 k＋9k＝( 10)2，∴k＝1. 9k
y2 故所求双曲线的方程为 x － ＝1. 9
2
(2)当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为 x2 y2 － ＝1 (a>0，b>0)． a2 b2
4 ∵渐近线的方程为 y＝± x， 并且焦点都在圆 x2＋y2＝100 上， 3 b 4 a＝6， ＝ ， a 3 ∴ 解得 b＝8. a2＋b2＝100， x2 y2 ∴焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 － ＝1. 36 64 y2 x2 当焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为 2－ 2＝1 (a>0， b>0)， a b 4 ∵渐近线的方程为 y＝± x， 并且焦点都在圆 x2＋y2＝100 上， 3 a 4 a＝8， ＝ ， b 3 ∴ 解得 b＝6. a2＋b2＝100， y2 x2 ∴焦点在 y 轴上的双曲线的方程为 － ＝1. 64 36 x2 y2 y2 x2 综上，双曲线的方程为 － ＝1 或 － ＝1. 36 64 64 36
2014届高考数学(苏教版)一轮复习教学案第9章解析几何9.6双曲线
9.6双曲线考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质．2．理解数形结合的思想．3．了解双曲线的简单应用．1．双曲线的概念定义：平面内到两个定点F1，F2(F1F2＝2c＞0)的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫__________．这两个定点叫双曲线的__________，两焦点间的距离叫__________．集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0：①当__________时，点P的轨迹是双曲线；②当a＝c时，点P的轨迹是______________；③当__________时，轨迹不存在．2≥a或x≤－a，y∈∈R，y≤－a或y≥对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标：A1______A______顶点坐标：A1______A2______3.________．1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝__________.2．双曲线方程：x2|k|－2＋y25－k＝1，那么k的取值范围是________．3．(2012江苏常州高三调研)已知双曲线x29－y2b2＝1(b＞0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则b 的值为__________．4．(2012江苏南京高三模拟)已知双曲线x2a2－y2＝1的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率e＝__________.5．已知双曲线x2－y23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为__________．1．如何求双曲线的标准方程？提示：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程要从“定形”“定式”和“定量”三方面考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的双曲线，焦点在哪个坐标轴上要先确定下来．“定式”是根据“形”设相应的方程形式．“定量”就是根据a，b，c，e及渐近线间的关系确定a，b的值．如遇到焦点位置无法确定时，可设双曲线方程为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)的形式．若求与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线的双曲线方程时，可把方程设为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)的形式．2．如何求双曲线的离心率？提示：在双曲线的几何性质中，离心率是考查的重点．求离心率(离心率的取值范围)的方法：(1)求出a ，c 的值，代入离心率公式e ＝ca求得．(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，再根据b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3．双曲线离心率与渐近线斜率有何关系？提示：①已知离心率求渐近线的斜率时，由e 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2可求解，但应注意焦点位置；②已知渐近线y ＝±mx (m ＞0)求离心率时，若焦点不确定，离心率有两种可能性．一、双曲线的定义及其应用【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B ＝__________.方法提炼在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．本题从双曲线的方程中可以确定点A ，C 就是双曲线的焦点，从而根据双曲线的定义可以确定△ABC 的三边的关系，再巧妙应用正弦定理就可以轻松求解．请做针对训练1二、双曲线的标准方程【例2】 已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0. (1)若双曲线经过P (6，2)，求双曲线方程； (2)若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； (3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程． 方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a2－y2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． 请做针对训练2三、双曲线的几何性质及应用【例3】 若过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 与N 两点，以MN 为直径的圆恰与直线x ＝2a 2c相切，求双曲线的离心率e .方法提炼(1)在有关双曲线的几何性质的问题中，双曲线的离心率涉及的比较多．由于e ＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e ＞1.(2)已知e 求a ，b 的关系式或值时常把e ＝c a 转化为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2，进而可利用渐近线的斜率求解．请做针对训练3双曲线是圆锥曲线的内容之一，对它的考查要求较低，填空题可能出现双曲线题，要求学生能结合双曲线的定义或列方程求a ，b ，c 的值，从而确定双曲线的标准方程．求a ，c 的值或列关于a ，c 的齐次方程(不等式)，可求得双曲线的离心率(离心率的取值范围)．由于渐近线是双曲线所独有的性质，所以要引起重视．1．(2012江苏南京金陵中学预测卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M ，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝______.2．(2012江苏苏州高三期末)与双曲线x 29－y 216＝1有公共渐近线，且经过点A ()－3，23的双曲线的方程是__________．3．求适合下列条件的双曲线的离心率：(1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)过焦点且垂直于实轴的弦与双曲线的交点与另一焦点的连线所成角为90°；(3)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l的距离为34c .参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)双曲线 焦点 焦距 ①a ＜c ②两条射线 ③a ＞c2．(－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) ±b a x ±abx 实轴 2a 虚轴 2b a b3．等轴双曲线 y ＝±x e ＝ 2 基础自测1．－14 解析：由题意知a 2＝1，b 2＝－1m ，则a ＝1，b ＝－1m .∴－1m＝2，解得m ＝－14.2．(－2,2)∪(5，＋∞) 解析：由题意知(|k |－2)(5－k )＜0，解得－2＜k ＜2或k ＞5.3．33 解析：由题意知双曲线x 29－y 2b 2＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b 3x ，所以tan π3＝b3＝3.所以b ＝3 3.4.52 解析：由题知双曲线的渐近线方程是y ＝±xa，即x ±ay ＝0. 因为双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以a ＝2.因为b ＝1，所以c ＝5，即e ＝52.5.3 解析：依题意得，双曲线的右焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程是y ＝3x ，即3x －y ＝0，因此焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3. 考点探究突破【例1】 56解析：如图，由条件可知BC －BA ＝10，且AC ＝12，又在△ABC 中，有BC sin A ＝ABsin C＝AC sin B＝2R ， 从而sin A －sin C sin B ＝BC －AB AC ＝56.【例2】 解：由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．(1)∵双曲线过点P (6，2)， ∴69－44＝λ，λ＝－13， 故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.(2)若λ＞0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ. c 2＝a 2＋b 2＝13λ.由题设2c ＝213，∴λ＝1，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1.若λ＜0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ， c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.由2c ＝213，∴λ＝－1，所求双曲线方程为y 24－x 29＝1.所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1.(3)若λ＞0，则a 2＝9λ，由题设2a ＝6， ∴λ＝1.所求双曲线方程为x 29－y 24＝1，若λ＜0，则a 2＝－4λ，由题设2a ＝6，∴λ＝－94，所求双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.【例3】 解：如图，由题意，得以MN 为直径的圆与直线x ＝2a 2c相切于A 点，则AF＝2a2c －(－c )＝2a 2＋c 2c. 将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2＝(c 2－a 2)b 2a 2＝b 4a 2，即|y |＝b 2a，所以MF ＝b 2a. 又因为AF ＝MF ，所以2a 2＋c 2c ＝b 2a ＝c 2－a 2a ，将e ＝ca代入，整理，得e 3－e 2－e －2＝0，解得e ＝2.演练巩固提升 针对训练1.3 解析：如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°，F 1F 2＝2c ，所以MF 1＝2c cos 30°＝433c ，MF 2＝2c ·tan 30°＝233c . 所以2a ＝MF 1－MF 2＝433c －233c ＝233c ，故e ＝ca＝ 3.2.4x 29－y 24＝1 解析：由条件可设所求双曲线方程为x 29－y 216＝k (k ＞0)，将点A (－3,23)代入得k ＝(－3)29－(23)216＝14，所以双曲线的方程为4x 29－y 24＝1.3．解：(1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上，双曲线的离心率为132或133.(2)如图所示，∠AF 1B ＝90°，∴F 1F 2＝12AB ，∴2c ＝b 2a ，即2c a ＝b 2a2， ∴2e ＝e 2－1，即e 2－2e －1＝0， ∴e ＝1＋2(舍去负值)． 因此离心率为1＋ 2.(3)由直线l 过(a,0)，(0，b )两点，得直线l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到直线l 的距离为34c ，得ab a 2＋b 2＝34c .将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，3⎝⎛⎭⎫c 2a 22－16×c 2a2＋16＝0，即3e 4－16e 2＋16＝0.即e 2＝43或e 2＝4，∴e ＝233或e ＝2.∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2＞2，∴离心率为2.。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.5双曲线
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.5双曲线三、双曲线（一）双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。
2．求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：221(0)mx ny mn +=<。
※例题解析※〖例〗已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。
解答：设动圆M 的半径为r则由已知1212|||||||MC r MC r MC MC ==-∴-=。
又1C （-4，0），2C （4，0），∴|1C 2C |=8，∴<|1C 2C |。
根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以1C （-4，0）、2C （4，0）为焦点的双曲线的右支。
222222,4,141(214a c b c a x y M x ==∴=-=∴-=≥点的轨迹方程是 （二）双曲线的几何性质 ※相关链接※1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。
同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线 （2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的斜率与离心率的关系。
2014届高三一轮数学(理)复习第58讲双曲线
【拓展演练 2】
若双曲线 C 的焦点和椭圆2x52 ＋y52＝1 的焦点相同，且过
点(3 2，2)，则双曲线 C 的方程是
.
解析：由已知，c2＝25－5＝20，且焦点在 x 轴上，设双
曲线 C 的方程为ax22－by22＝1，则a32＋a22b22＝－22b022＝1
，
求得ab22＝＝182 ，故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
三 双曲线的几何性质及应用
【例 3】(2013·合肥质检)中心在原点，对称轴为坐标轴
的双曲线 C 的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1 都相切，则双
曲线 C 的离心率是( )
A.
3或
6 2
B．2 或 3
2 C.
3
3或
2
2 D.
3 3或
6 2
解析：由题可知，当双曲线的焦点在 x 轴上时，渐近线 的方程为 y＝±bax，由圆心(2,0)到渐近线的距离得 a|22＋b| b2＝ 1，则 a2＝3b2，易得双曲线的离心率 e＝2 33；当双曲线的 焦点在 y 轴上时，渐近线的方程为 y＝±abx，由圆心(2,0)到渐 近线的距离得 a|22＋a| b2＝1，则 3a2＝b2，易得双曲线的离心 率 e＝2，故选 C.
的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x52－y42＝1
B.x42－y52＝1
C.x32－y62＝1
D.x62－y32＝1
解析：由已知可得圆心 C(3,0)，圆的半径为 2，双曲 线的渐近线方程为 bx±ay＝0，
则 a32＋b b2＝2，即33b＝2，所以 b＝2， 从而 a2＝c2－b2＝32－22＝5， 故所求双曲线的方程为x52－y42＝1，应选 A.
2014高考数学(理)一轮复习总教案：9.2 双曲线
9.2双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4）2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切,求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知｜AE｜＝r＋2，｜BE|＝r－错误!，所以｜AE｜－｜BE｜＝2错误!，又A（－4,0),B(4,0）,所以｜AB｜＝8,2错误!＜｜AB｜。
根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支。
因为a＝错误!，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，故点E的轨迹方程是错误!－错误!＝1（x≥错误!）。
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线错误!－错误!＝1的右支上一点，M，N分别是圆（x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－｜PN|的最大值为( ）A.6 B。
7 C。
8 D.9【解析】选D。
题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a，0）,若C上存在一点P，使PQAP•＝0，求此双曲线离心率的取值范围。
【解析】设P（x,y）,则由PQAP•＝0,得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上,即(x－错误!）2＋y2＝（错误!）2,①又P在双曲线上，得x2a2－错误!＝1,②由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，即[(a2＋b2）x－(2a3－ab2）］(x－a)＝0，当x＝a时，P与A重合,不符合题意，舍去；当x＝错误!时，满足题意的点P存在，需x＝错误!＞a，化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，错误!＜错误!,所以离心率的取值范围是(1，错误!）。
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A。
2014届高考数学一轮复习第9章《双曲线》名师首选学案新人教A版
学案50 双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．双曲线的概念平面内到两个定点F 1、F 2(F 1F 2＝2c >0)的距离的差的绝对值等于常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M ||MF 1－MF 2|＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0； (1)当________时，P 点的轨迹是________； (2)当________时，P 点的轨迹是________； (3)当________时，P 点不存在．为________．自我检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________________________________．2．已知双曲线x 22－y 2b2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝________.3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．4．已知点(m ，n )在双曲线8x 2－3y 2＝24上，则2m ＋4的范围是________．5．已知A (1,4)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，求PF ＋PA的最小值．探究点一 双曲线的定义及应用例1 已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．探究点二 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三 双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝32，求∠F 1PF 2的大小．变式迁移3 已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．方程思想 例 (14分)过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求AB ；(2)求△AOB 的面积；(3)求证：AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1.多角度审题 (1)要求弦长AB 需要A 、B 两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB ；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A 、B 两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解 由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －，x 23－y 26＝1得5x 2＋6x －27＝0.[4分]∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332·x 1＋x 22－4x 1x 2＝43·3625＋1085＝1635.[8分](2)解 直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0.∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|32＋－2＝32.∴S △AOB ＝12AB ·d ＝12×1635×32＝1235.[10分]文档来自于网络搜索(3)证明 如图，由双曲线的定义得AF 2－AF 1＝23， BF 1－BF 2＝23，∴AF 2－AF 1＝BF 1－BF 2，即AF 2＋BF 2＝AF 1＋BF 1.[14分] 【突破思维障碍】 本题利用方程的思想，把过点A 的直线方程与双曲线方程联立，从而转化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求解，这种思想在解析几何中经常用到．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 的大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a 、b 、c ，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知M (－2,0)、N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹是________． 2．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且PF 1∶PF 2＝1∶3，则△F 1PF 2的周长为________．3．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为________．4．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是________．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________________________________________________________________________．6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.7．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________________．二、解答题(共42分)9．(14分)根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．10．(14分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．11．(14分)已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．学案50 双曲线答案自主梳理 1．双曲线 焦点 焦距 (1)a <c 双曲线 (2)a ＝c 两条射线 (3)a >c 3.等轴双曲线 y ＝±x 2自我检测 1．4解析 ∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4. 2．0 3. 3解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故AB ＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)5．解 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知 PF ＝2a ＋PF 1＝4＋PF 1， ∴PF ＋PA ＝4＋PF 1＋PA .∴当满足PF 1＋PA 最小时，PF ＋PA 最小．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足PF 1＋PA 最小，易求得最小值为 AF 1＝5，故所求最小值为9. 课堂活动区例1 解题导引 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上， 所以FA ＋CA ＝2a ，FB ＋CB ＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴)． 所以FA ＋CA ＝FB ＋CB .所以FA －FB ＝CB －CA ＝122＋92－122＋52＝2. 所以FA －FB ＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．变式迁移1 解设动圆M 的半径为r ，则由已知得，MC 1＝r ＋2， MC 2＝r －2，∴MC 1－MC 2＝22，又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴C 1C 2＝8.∴22<C 1C 2.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1 (x ≥2)．例2 解题导引 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x 2a 2－y 2b2＝λ (参数λ≠0)中，当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上．解 方法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 当x ＝4时，y ＝2<y p ＝3， ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上，∴9a 2－164a2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.方法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x2－y ＝0， ∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0.设双曲线方程为x 24－y 2＝λ (λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.变式迁移2y 24－x 212＝1解析 由于在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在y 轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，且c ＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，于是双曲线的方程为y 24－x 212＝1.例3 解题导引 双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解 (1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)|PF 1－PF 2|＝6，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2文档来自于网络搜索＝PF 1－PF 22＋2PF 1·PF 2－F 1F 222PF 1·PF 2文档来自于网络搜索＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.变式迁移3 解 (1)因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0.(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)，λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2.∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]． 课后练习区1．双曲线右支 2.22 3. 2 解析如图所示，在Rt △OPF 中， OM ⊥PF 且M 为PF 的中点，所以△OMF 也是等腰直角三角形， 所以有OF ＝2OM ，即c ＝2a . 所以e ＝c a＝ 2. 4．内切 5.x 25－y 24＝1 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)． 又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.6．16解析 由已知条件有52＝m ＋9，所以m ＝16. 7.163解析 设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝5＋32＝4，代入x 29－y 216＝1，得y 20＝16×79，∴OP ＝x 20＋y 20＝163.8.x 24－y 212＝1 解析 可知双曲线仅与x 轴有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0，即x 2－6x ＋8＝0，∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.∴x 24－y 212＝1.9．解 (1)方法一 由题意可知所求双曲线的焦点在x 轴上，(2分)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－2a2－32b2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4.(4分)所以双曲线的方程为49x 2－y24＝1.(7分)方法二 设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ (λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－y24＝1.(7分) (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由题意c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴22a 2－4b2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.(14分)10．解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ CF 1＝r ＋2，CF ＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧CF 1＝r －2，CF ＝r ＋2，∴|CF 1－CF |＝4.(4分) ∵F 1F ＝25>4.∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(7分)(2)由图知，MP －FP ≤MF ，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，MP －FP 取得最大值MF ，(9分) 且MF ＝355－52＋455－2＝2.(10分)直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255.(12分)∴当|MP －FP |取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．(14分)11．解 (1)设P (x ，y )，则x －2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)．(5分)(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2) (k ≠0)，与双曲线方程x 2－y 23＝1联立消去y ，得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0.(7分)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝k 2[]x 1x 2－x 1＋x 2＋4＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4＝－9k 2k 2－3.因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)．因此M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 1x 1＋，FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 1x 1＋.同理可得FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 2x 2＋.因此FM →·FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9y 1y 2x 1＋x 2＋文档来自于网络搜索＝94＋－81k 2k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－3＋1＝0.(11分)②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)．AB 的方程为 y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.同理可得FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32.因此FM →·FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0.(13分)综上，FM →·FN →＝0，故FM ⊥FN .故以线段MN为直径的圆过点F.(14分)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3课 双曲线【考点导读】1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】1.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则14m =-2. 方程13322=+--k y k x 表示双曲线，则k 的范围是33k k ><-或3．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线的离心率为54. 已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为221916x y -=【范例导析】例 1. (1) 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为9(3,,5)4-，求双曲线的标准方程;（2）求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-，A 点的双曲线方程及离心率．分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程. 解：（1）因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>①； ∵点12,P P 在双曲线上，∴点12,P P 的坐标适合方程①。
将9(3,,5)4-分别代入方程①中，得方程组：22222319()2541b ab -=⎨⎪-=⎪⎩将21a 和21b 看着整体，解得221116119a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22169a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即双曲线的标准方程为221169y x -=。
点评：本题只要解得22,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
（2）解法一：双曲线191622=-y x 的渐近线方程为：x y 43±=当焦点在x 轴时，设所求双曲线方程为12222=-by a x ()0,0a b >>∵()332-，A 在双曲线上 由①－②，得方程组无解当焦点在y 轴时，设双曲线方程为12222=-bx a y ()0,0a b >>∵()332-，A 在双曲线上，∴112922=-ba ④ 由③④得492=a ，42=b ∴所求双曲线方程为：144922=-x y 且离心率35=e解法二：设与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()091622≠=-λλy x∵点()332-，A 在双曲线上，∴41991612-=-=λ ∴所求双曲线方程为：4191622-=-y x ，即144922=-x y ． 点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程()02222≠=-λλby a x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数λ． 例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解：如图:以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x ,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y =－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by a x 上， 依题意得a =680, c =1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y =－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.例3.双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围.解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.【反馈练习】1.双曲线14222-=-y x 的渐近线方程为x y 2±=2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为221412x y -= 3.已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=•PF PF ，则该双曲线的方程是1422=-y x4. 设P 是双曲线222x y 19a －＝上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线左右焦点，若1PF =3,则PF 5.与椭圆221255x y +=共焦点且过点1= 6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．（2）求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．解：（1）设所求双曲线方程为：()0122≠=-k k y k x ，则()1312=--kk ，∴191=-kk ，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为18822=-x y（2）∵⎪⎩⎪⎨⎧-==--+2201042222x y x y x ，∴⎩⎨⎧==23y x 或⎩⎨⎧-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±=当焦点在x 轴上时，由32=a b 且6=a ，得4=b ． ∴所求双曲线方程为1163622=-y x当焦点在y 轴上时，由32=b a ，且6=a ，得9=b ． ∴所求双曲线方程为1813622=-x y 7.设双曲线12222=-by a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线l 的距离为c 43，求双曲线的离心率． 分析：由两点式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而解出ac的值． 解：由l 过两点)0,(a ，),0(b ，得l 的方程为0=-+ab ay bx ．由点到l 的距离为c 43，得c ba ab 4322=+．将22a cb -=代入，平方后整理，得0316)(1622222=+⋅-ca c a ．令x c a =22，则0316162=+-x x ．解得43=x 或41=x ． 而ace =，有x e 1=．故332=e 或2=e ．因b a <<0，故212222>+=+==ab a b a ac e ， 所以应舍去332=e ．故所求离心率2=e ． 说明：此题易得出错误答案：2=e 或332=e ．其原因是未注意到题设条件)0(b a <<，从而离心率2>e ．而2332<，故应舍去．8.已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F ，且过点(4,．（1）求双曲线方程；（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r；（3）对于（2）中的点M ，求21MF F ∆的面积．解：（1）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,，解得6λ=∴ 双曲线方程为226x y -=；（2）由（1）可知，a b ==c =， ∴ ()1F -，()2F又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=，∴ 23m =， 即120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r；（3）121211622S F MF F F m ==⋅=V ∴21MF F ∆的面积为6．。