江苏省灌云高级中学期中考试高二数学理科试卷

江苏省灌云高级中学高二年级上学期期中考试数 学 试 卷（理科）注意事项： 2014/11/251、本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间120分钟.2、所有试题的答案均填写在答题纸上，答在试卷上无效.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位．．．．．．． 置上．．． 1.在△ABC 中，135A =︒，15B =︒，1c =，则这个三角形的最大边的长为 ▲ .2.已知关于x 的不等式x a b x+≥的解集是[1,0)-，则a b += ▲ . 3. 等比数列{}n a 前n 项和为221n n S p =++（p 为常数），则p = ▲ .4. 已知2z x y =-，其中,x y 满足条件12y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为 ▲ .5．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ▲ .6. 命题“[1,2]x ∃∈-，20x m ->”为真，则实数m 的取值范围是 ▲ .7. 在△ABC 中，2,3,4a b c ===，则AB 边上的中线CM 长为 ▲ .8. 已知椭圆的右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--，则椭圆的标准方程为 ▲ .9．在平面直角坐标系xOy 中，“ab >0”是“方程221ax by +=的曲线为椭圆”的 ▲ 条 件(填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”和“既不充分也不必要”之一)．10．若ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，且()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆的形状 为 ▲ .11. 已知正实数,x y 满足1x y +=，则12x y-的最大值为 ▲ .12. 数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为 ▲ .13. 已知椭圆2221y x b +=(01)b <<的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，过F 、A 、B 作圆P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ，且0m n +>，则椭圆离心率的范围是 ▲ .14.已知△ABC 的三边长为,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，则b a的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）在△ABC 中，2c =，(sin ,sin ),(cos ,cos )m A B n B A ==，sin 2m n C =（1）求sin sin a b A B++的值； （2）若a b ab +=，求△ABC 的面积S .16. （本题满分14分）命题:p 方程22121x y k k +=--表示双曲线，命题:q 不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立． （1）求命题p 中双曲线的焦点坐标；（2）若命题“p 且q ”为真命题，求实数k 的取值范围．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，已知2514,,a a a 成等比数列，且20400S =（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18．（本题满分16分）如图，ABCD 是长方形海域，其中10AB =海里，AD =事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出tan θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并指出此时θ的值．A BC D P Q设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+（*n N ∈） （1）求12,a a 的值；（2）求证：数列{2}n S +是等比数列；（3）抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，……，第32n -项，……，余下的项顺序不变，组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C 上1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AOB π∠=①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值；②求AB 的最小值.高二期中考试数学（理科）参考答案12、13、1-4、55、156、(,4)-∞ 78、22184x y += 9、必要不充分 10、等边三角形 11、2- 12、12 13、 14、23(,)3215.(1)3C π=, sin sin sin a b c A B C +==+ ………………7分(2)S = …………14分16.(1)(2)(1)0k k --<所以12k <<，2121c k k =-+-=，焦点(0,1)± ………………7分（2）命题P ：12k <<，命题q：k k ><因为P 且q2k << …………14分17.（1）11,2a d ==，21n a n =- ………………7分（2）1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，11(1)22121n n T n n =-=++…………14分18．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=， 11010tan 50tan 2ABP S θθ∆=⨯⨯= 在Rt ADQ ∆中，)4DQ πθ=-，1tan()100tan()244ADQ S ππθθ∆=⨯⨯-=-∴50tan 100tan()4S πθθ=---1tan 50tan 1001tan θθθ-=--⨯+ …5分其中0tan 10tan()42θπθ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得：3tan 1θ-≤≤ （注：观察图形的极端位置，计算出tan θ的范围也可得分．）∴1tan 50tan 1001tan S θθθ-=--⨯+，3tan 1θ-≤≤ ………………8分 （2）∵tan 0θ>，1tan 450(tan 2)50(tan 13)1tan tan 1S θθθθθ-=-+⨯=-++-++3)50≤--=- ……………13分 当且仅当4tan 1tan 1θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 50S =- ∵(0,)2πθ∈ 4πθ∴=答：当4πθ=时，S有最大值50-． ……………16分19.解：（1）12a =，24a = ……………3分（2）由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+得，当2n ≥时，1231123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n --++++-=-+- 两式相减得：11()22n n n n n na n S S S S --=--++，所以122n n S S -=+……………6分 所以111224222n n n n S S S S ---++==++，（2n ≥） 所以数列{2}n S +是以4为首项，以2为公比的等比数列……………9分（3）由（2）得1242n n S -+=⋅，所以1422n n S -=⋅-，所以2n n a =……………11分 抽去数列{}n a 中的第1项，第4项，第7项，……，第32n -项，……，余下的项顺序不变，得到新数列{}n b 为2356892,2,2,2,2,2,它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列。

当*21()n k k N =-∈时， 122113212422()()n k k k T b b b b b b b b b ---=+++=+++++++3113124(18)8(18)101210122218187777nk k k +----=+=⋅-=⋅--- ……………13分 当*2()n k k N =∈时， 1221321242()()n k k k T b b b b b b b b b -=+++=+++++++3324(18)8(18)121212122218187777n k k k --=+=⋅-=⋅--- ……………15分 31231210122,7712122,77nn n n T n ++⎧⋅-⎪⎪=⎨⎪⋅-⎪⎩为奇数为偶数 ……………16分 20.解：（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，则12a c b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩所以2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22154x y += ……………4分 （2）当直线l 的斜率不存在时，设为x m =，由2AOB π∠=得(,)A m m ，代入椭圆方程得22154m m +=，所以m =，所以原点O 到直线AB的距离为d =……………6分 当直线l 的斜率存在时，设为y kx b =+，代入椭圆方程得：222(45)105200k x kbx b +++-=设11(,)A x y ，22(,)B x y 则1221045kb x x k -+=+，212252045b x x k-=+， ……………8分 2212122420()()45b k y y kx b kx b k -=++=+，由2AOB π∠=得12120x x y y +=所以2220(1)9k b += 所以原点O 到直线AB的距离为d ===所以原点O 到直线AB的距离为定值3； ……………10分 （3）作OC AB ⊥则3OC =BOC θ∠=，则2AOC πθ∠=-，(0,)2πθ∈所以tan BC θ=，AC =，所以1)tan AB AC BC θθ=+=+≥当且仅当4πθ=时取得=，所以min ()AB = ……………16分。