复变函数第2讲

任意给定的ε > 0 , 相应地必有一正数 δ > 0 ， 使 得当 z − z0 < δ 时有 f (z) − a < ε
则称a为f(z)当z趋向于 z0 时的极限, 记作
lim f (z) = a
z → z0
或记作当z→z0时, f(z)→a
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注: (i)定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0 的
2
无穷远点的邻域：包括无穷远点自身在内且 满足|z|>M的所有点的集合, 其中实数M>0, 即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.
M |z|>M
0
3
无穷远点的去心邻域： 不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M 的所有点，也记作M<|z|<∞.
4
内点：设E为一平面点集, 复数a有邻域 B(a, r) ⊂ E, 则称a为E的内点.
§1.2 复变函数
1
1. 平面点集 邻域(开圆盘)：B(a, r) = {z | z ∈ C, | z − a |< r} 闭圆盘： B(a, r) = {z | z ∈ C, | z − a |≤ r} 去心邻域：B((a, r) = {z | z ∈ C,0< | z − a |< r}
r z0
z0=x0+iy0是f(z)的定义域D的聚点, 则
lim f (z) = A的充分必要条件是
z → z0
lim
x→ x0
u(
x,
y)
=
u0
,
lim
x→ x0
v(
x,
y)
=
v0
.
y→ y0
y→ y0
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证 必要性:
如果 lim f (z) = A,根据极限的定义有, z→z0
任给ε > 0, 存在δ > 0,
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举例：曲线在映射下的像
例1 C : x 2 + y 2 = 8 ⎯w⎯=1⎯⎯z→ Γ ?
z = x + iy = 1 = 1 w u + iv
= u − iv u2 + v2
⇒ Γ : u2 + v2 = 1 8
例2 C : z = R ⎯w⎯=2⎯z+b⎯→ Γ ?
w − b = 2z ⇒ Γ : w − b = 2R
x=x(t), y=y(t), (a≤t≤b) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令
z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程
z=z(t) (a≤t≤b) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
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设C:z=z(t)(a≤t≤b)为一条连续曲线, z(a)与
z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足a<t1<b, a≤t2≤b的t1与t2, 当t1≠t2而有z(t1)=z(t2)时, 点z(t1) 称为曲线C的重点. 没有重点的连续曲线C, 称
区域: 连通的开集称为连通集.
闭区域: 区域D和它的边界∂D 的并集称 为闭区域,记为 D 有界(无界)区域: 根据区域D的是否有界区分
9
z1 区域 z2
不连通
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无界区域的例子 y
角形域:0<ayrg z<ϕ
上半平面:Im z>0
x y
ϕ
x
b
带形域:a<Im z<b
x a
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平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组
a为一复数,
) 必包含E的点,
则称a为E的聚点(或极限点).
注：集合E的聚点不一定属于E
孤立点:若点a 即存在
B∈((Ea,,但δ )a,不使是得EB的((a聚,δ点) ∩,
E
=
∅
定理:集合E为闭集的充要条件是E的聚点 必属于E
8
2. 区域 曲线 连通集: 复平面点集D中任何两点都可以用
完全属 于D的一条折线连接起来,则称D是连 通集.
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设函数w=z, y
A
B z1
C O
z2
v
w2
x
C' O
u
A'
B'
w1
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设函数w=z2, y
v
w2
z1
z2
α
O 2α
z3 O
x
w1 w3
u
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逆映射:假定函数w=f(z)是从 G到R的双射(即
一一对应),那么存在从R到G的一个映射ϕ(也
是双射),满足
(1). 对任意的w∈R, 有w=f[ϕ(w)], (2).对任意的z∈G, 有z=ϕ[f(z)] 则把 ϕ称为f的逆映射(或反映射)
当0 <| (x + iy) − (x0 + iy0 ) |< δ时, | (u + iv) − (u0 + iv0 ) |< ε.
即当0 < (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ时,
| u − u0 |< ε ,| v − v0 |< ε
这就是说
lim
x → x0
u(x,
y)
=
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3)定理1.5 设函数f(z)在有界闭集D上连续， 那么f(z)在D上有界. 注：在定理1.5的假设下，连续函数|f(z)|（它 是复变量Z的实值函数）在D上取得它的最大 值和最小值.这两个值分别称为f(z)在D上的最 大模和最小模.
2)如果函数h=g(z)在z0处连续, 函数w=f(h)在 h0=g(z0)连续, 则复合函数w=f[g(z)]在z0处连续. 由以上定理, 可以推得有理整函数(多项式)
w=P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn 对复平面内所有的z都是连续的, 而有理分式
函数
w
=
P(z) Q(z)
,
其中P(z)和Q(z)都是多项式, 在复平面分母不为零的 点也是连续的
充分小的 δ 邻域时, 它的像f(z)就落a的预先给定的ε
邻域中. (ii). 应当注意, z趋向于z0 的方式是任意的,无论
以何种方式趋向于z0 , f(z)都要趋向于同一常数a.
y
z
δ z0
v f(z)
εA
O
xO
u
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复变函数与二元实变函数的极限的关系
定理1.3 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0,
内部 C
外部
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单连通域: 复平面上的一个区域D, 如果在其中 任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称为单连通域,
多连通域: 不是单连通的区域
单连通区域
多连通区域
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3. 复变函数
复变函数：设G是非空复数集,对每个G中元 素z, 有确定的复数w与之对应, 则称在G上确 定了一个单值复变函数, 记作 w=f(z) 集合G称为f(z)的定义域,对应于G中所有z对应 的一切w值所成的集合R, 称为f(z)的像集(或值 域).
x2 + ( y +1)2 = 4
y
O
x
−i
28
2) | z − 2ห้องสมุดไป่ตู้ |=| z + 2 |
几何上, 该方程表示到点2i和−2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和−2的线段的垂直
平分线, 方程为 y = − x , 也可用代数的方法求出。
y=−x y
2i
−2 O
x
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3) Im(i + z ) = 4.
26
例 求下列方程所表示的曲线:
1) | z + i |= 2; 2) | z − 2i |=| z + 2 |; 3) Im(i + z ) = 4.
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解：1)
| z + i |= 2
设 z = x + i y , 方程变为
| x + ( y +1)i |= 2 x2 + ( y +1)2 = 2,
设 z = x + i y , 那末
y
i + z = x + (1− y)i
O
Im(i + z ) = 1− y
所求曲线的方程为 y = −3 .
x y=−3
4. 复变函数的极限和连续性 (1).复变函数在一点的极限
定义 设函数w=f(z)定义在 z0的去心领域 0 < z − z0 < r 内, 如果有一确定的复数a存在, 对于
而 | f (z) − A |=| (u − u0 ) + i(v − v0 ) |≤| u − u0 | + | v − v0 |
则当0 <| z − z0 |< δ时,有
|
f
(z) −
A |<
ε
2
+
ε
2
=
ε ,即
lim f (z) = A
z→z0
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复数序列和复变函数极限的性质与二元实 变函数的相同，例如
为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单
曲线C的起点与终点闭合, 即z(a)=z(b), 则曲线
C称为简单闭曲线.
z(b)
z(a)=z(b)
简单,闭
z(a) z(b) z(a)
简单,不闭 z(a)=z(b) 不简单,不闭
不简单,闭
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如果在区间a≤t≤b上,x '(t)和y '(t)都是连续的, 且对于t的每一个值, 有
例3 C : z = (2 + i)t ⎯w⎯=z2⎯→ Γ ?
w = [(2 + i)t]2 = (3 + 4i)t2 ⇒ Γ : v = 4 u
3
例4 C : y = x ⎯w⎯=iz⎯→ Γ ?
w = i( x + ix)
= −x + ix ⇒ Γ : v = −u
复数形式的代数方程与平面几何图形
外点：复数b有邻域 B(b,ε )与E无公共点,则称b为E
的外点.
边界点：若复数c的任意邻域 B(c,δ ) 都同时包含E
和E的补集的点,则称c为E的边界点. 边界：E的全部边界点组成的集合称为E边界.
5
注: (1).给定点集E,复平面所有的点分成 三类: 内点、外点和边界点.
(2). E的内点必属于E, E的外点必不属于E， E的边界点可能属于E可能不属于E.
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注: (1) 这里定义的复变函数是单值的,即对 每个复数z,相应的w是唯一的.
(2) .由于给定了一个复数z=x+iy就相当 于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样 地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自 变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:
u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数.
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例 考察函数 w=z2
令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy)2=x2−y2+2xyi,
因而函数w=z2对应于两个二元函数: u=x2−y2, v=2xy
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映射的概念 如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另
一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函 数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的 一个点集G(定义域)变到w平面上的一个点集 R(值域)的映射(或变换). 如果G中的点z被映射 w=f(z)映射成R中的点w, 则w称为z的像, 而z称 为w的原象.
[x '(t)]2+[y '(t)]2≠0 这曲线称为光滑的, 由几段依次相接的光滑曲 线所组成的曲线, 称为按段光滑曲线.
连续 不连续
光滑 不光滑
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若尔当定理：任意一条简单闭曲线C把整个 复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中 除去C外, 一个是有界区域, 称为C的内区域, 另一个是无界区域, 称为C的外区域, C为它们 的公共边界.
定义
如果 lim z→z0
f (z) =
f (z0 )
则说f(z)在z0处连续. 如果f(z)在区域D内处处
连续, 我们说f(z)在D内连续.
定理1.4 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0 处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0) 处连续.
37
定理
1) 在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和, 差, 积, 商(分 母在z0不为零)在z0处连续;
u0
,
lim
x → x0
v(x,
y)
=
v0 .
y→ y0
y→ y0
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充分性:
如果
lim
x → x0
u(x,
y)
=
u0 ,
lim
x → x0
v(x,
y)
=
v0
y→ y0
y→ y0
则任给ε > 0, 存在δ > 0,使当
0 < (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ时,
| u − u0 |< ε / 2, | v − v0 |< ε / 2
如果 lim f (z) = A, lim g(z) = B,则
z→z0
z→z0
1) lim [ f (z) ± g(z)] = A ± B z→z0
2) lim f (z)g(z) = AB z→z0
3) lim f (z) = A (B ≠ 0) z→z0 g(z) B
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(2). 函数的连续性
6
开集：若集合E的每个点都是它的内点, 则称E为开集
例：邻域 B(a, r )是 开集 闭集：若集合E的所有边界点都属于E,
则称E为闭集 例：闭圆盘 B(a, r )是闭集
有界集：若有邻域 B(0, r) ⊃ E , 则称E为有 界集,否则E称为无界集
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聚若点a的：任设意E去为心一邻平域面点B( (集a, δ,
例 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示.
解 通过点(x1,y1)与(x2 ,y2)的直线可用参数方程表示为
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
t ( x2 t( y2
− −
x1 ), y1 ).
(−∞ < t < +∞)
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2−z1). (−∞<t<+∞)