复变函数第2讲
复变函数第2讲资料
0
21
设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存 在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为
开集
22
平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两 个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用 完全属于D的一条折线连接起来.
w3
18
§4 区域
19
1. 区域的概念
平面上以z0为中心, d(任意的正数)为半径的圆: |z-z0|<d
内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式
0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域.
d
z0
20
包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点 的集合, 其中实数M>0, 称为无穷远点的邻域. 即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M的所有点 称为无穷远点的去心邻域, 也记作M<|z|<.
9
例1 已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i, 求它 的另一个顶点.
[解] 如图所示, 将表示z2-z1的向量绕z1旋转/3(或/3)就得到另一个向量, 它的终点即为所求的顶点
z3(或z3’).
y z3
3
z2=2+i
3
O
x
z3’
10
根据复数乘法, 有
i
z3 - z1 = e 3 (z2 - z1)
复变函数
第2讲
1
§3 复数的乘幂与方根
2
乘积与商 设有两个复数
z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2),
1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
复变函数第一章(第二讲)
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。
复变函数详细讲解
x1 x2 y1 y 2 ix2 y1 x1 y 2
x2 y 2
2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
浙江大学
c) 共轭复数：
z x iy , z x iy
容易 验证
互为共轭复数
2
z z,
zz x y
x
O
z1
3 3 1 3 z3 i 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n zz z r n (cos n i sin n )
复数的方根
设
z re
i
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
wn z
的所有w值为z的n次方根，并且记为
wn z
浙江大学
设
w e i ,
则
n e in re i
r
n
e
in
e
i
n r , n 2k , k 0,1,2,
即
r,
n
2k
n
1 n
,
k 0,1,2,
i sin
w re
n
i
2 k
复数的 模
Arg z
复数的 幅角
浙江大学
讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把
0
的幅角称为Arg z的主值。记为
0 arg z
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为 零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
复变函数_第2讲
31
三、典型例题
例1
在映射 w z 下求下列平面点集在
2
w 平面
上的象 :
( 1 ) 线段 0 r 2 ,
π 4
y
;
还是线段.
v
解
设 z re
i
, ,
w e
则 r ,
2
i
o x o u
wz
24
( 2 ) 函数 w z 构成的映射
2
.
显然将 映射成
z 平面上的点
z1 i , z 2 1 2 i , z 3 1
w 平面上的点
y
w 1 1, w 2 3 4 i , w 3 1 .
w2
v
z3
z1
o
z2
x
w
o
1
w3
u
25
( 2 ) 函数 w z 构成的映射
3
2.去心邻域:
称由不等式 0 z z 0 所确定的点的 .
集合为 z 0 的去心邻域
说明
不包括无穷远点自身在 的所有点的集合 可以表示为 内 , 仅满足 z M 域.
, 称为无穷远点的去心邻
M z .
4
3.内点:
设 G 为一平面点集 存在 z 0 的一个邻域 , z 0 为 G 中任意一点 . 如果 于 G, , 该邻域内的所有点都属
y y
o
x
o
x
28
( 2 ) 函数 w z 构成的映射
2
.
直线 x 的象的参数方程为
复变函数-教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16183703课程名称：复变函数英文名称：Complex Variables课程类别：专业课学时：48学分：3适用对象: 数学与应用数学考核方式：考查先修课程：《数学分析》、《解析几何》、《高等代数》二、课程简介本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课. 课程主要讲授单复变函数的一些基本知识，分别从导数、积分、级数、留数、映射五个方面来刻画解析函数的性质及其应用。
首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法，解析函数的罗朗展式与孤立奇点，留数理论及其应用。
《复变函数论》主要讲单复变中的解析函数理论：内容包括解析函数的概念、性质、柯西一黎曼条件。
柯西积分定理及柯西积分公式。
解析函数的泰勒展式和罗朗展式。
利用留数理论求积分，保形映射等内容。
This course is a specialized elective course in mathematics an applied mathematics. The course mainly introduces some basic knowledge of single complex functions describing the properties and applications of analytical functions from five aspects: derivative, integral, series, residue and mapping, respectively. First of all, from the complex domain, the complex variable function is introduced, and then the concept of analytic function is given. Taking it as the research object, we introduce the derivative, integral, power series representation, Laurent expansions, isolated singularity, residue theory of analytic function and its application. The theory of complex variable mainly focuses on the analytic function theory of simple complex variables: the content includes the concept and property of analytic function, Cauchy-Riemann condition. Cauchy integral theorem and Cauchy integral formula.Taylor Expansion and Roland Expansion of Analytic Functions. Using the theory of residue for integration, conformal mapping and other contents.三、课程性质与教学目的复变函数论是数学系各专业的一门重要课程，同时又是数学分析的后继课。
第二章复变函数
v( x, y) = xy
∂u =0 ∂y ∂v =x ∂y
Q 都是初等函数，在复平面内处处连续；
∂u ∂v ∂x = ∂y 针对柯西 − 黎曼方程 仅在 z = 0处成立 ∂u = − ∂v ∂y ∂x
∂u ∂v 导数： f ' ( z = 0 ) = [ + i ] | z = 0 = ( 2 x + iy ) | x = 0, y = 0 = 0 ∂x ∂x
∂u ∂v |( x, y ) +i |( x, y ) ∂x ∂x
（）∆z 0 2 →
沿虚轴
∆ z = i∆ y
{u ( x, y + ∆y ) + iv ( x, y + ∆y )} − {u ( x, y ) + iv ( x, y )} lim i∆ y ∆y → 0 1 u ( x, y + ∆y ) − u ( x, y ) v ( x , y + ∆y ) − v ( x , y ) + lim lim ∆y i ∆y →0 ∆y ∆y → 0
f 例: f ( z ) = u + iv为解析函数， ' ( z ) ≠ 0, 则曲线u ( x, y) = c1
v( x, y ) = c2必互相正交。
证： ux 曲线 u ( x , y ) = c1 斜率为 k1 = − uy vx 曲线 v ( x , y ) = c 2 斜率为 k 2 = − vy
w = f ( z) = z
2
的可导性。
2 2 ∆ w f ( z + ∆z ) − f ( z ) z + ∆z − z = = ∆z ∆z ∆z
复变函数
第一讲 复数与复变函数复变函数论的出发点是复数．复数的基本定义及结论每个复数z 具有iy x +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，x ,y 分别记作z x Re =，z y Im =．复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等．复数的四则运算定义为：)()()()(21212211b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)()())((122121212211b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++22222112222221212211)()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a +-+++=++复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C ．C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面．复数的模定义为：22||y x z +=；复数的辐角定义为：i x yz π2arctanArg +=；复数的共轭定义为：iy x z -=；复数的三角表示定义为：)sin (cos ||Argz i Argz z z +=；在复平面中，我们可以定义一些基本集合．设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为},,|| |{C z r a z z ∈<-设E a C E ∈⊂,为E 的极限点，若E r a U r ⋂>∀),(,0中有无穷个点；E a ∈为E 的内点，若0>∃r ，使得E r a U ⊂),(．开集：所有点为内点的集合；闭集: 开集的余集我们称为闭集．区域：1、D 是开集；2、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D ．复变函数的定义：设C G⊂，如果对于G 中任意以点z ，有确定的复数w 同它对应，则称在G 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =．注1 此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应；注2 同样可以定义函数的定义域与值域； 注3 复变函数等价于两个实变量的实值函数． 复变函数的极限：设函数)(z f w =在集合E 上确定，0z 是E 的一个聚点，a 是一个复常数．如果任给0>ε，可以找到一个与ε有关的正数0)(>=εδδ，使得当E z ∈，并且δ<-<||00z z 时，ε<-|)(|a z f ，则称a 为函数)(z f 当z 趋于0z 时的极限，记作：)()()(lim 0,0z z A z f A z f Ez z z →→=∈→当或复变函数连续性的定义： 如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续.如果),(),()(y x iv y x u z f +=，000iy x z +=，)(z f 在0z 处连续的充要条件为：，，),(),(lim),(),(lim00,,00,,0000y x v y x v y x u y x u y y x x y y x x ==→→→→复变函数的导数: 设函数)(z f w =在点z 的某邻域内有定义，zz ∆+0是邻域内任意一点，对于)()(00z f z z f w -∆+=∆，如果极限z z f z z f z wz z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，为复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作:)('0z z dz dw z f =或.解析函数： 如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数．导数的四则运算：)(')()()(')]'()([)(')('))'()((z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f +=±=±[]2)]([)(')()()(')()('z g z g z f z g z f z g z f -=.关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析．注解3 闭区间上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析； 注解4 解析性区域；注解5 四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等可以推广到复变函数求导的情形. 关于函数的解析性，有著名的Cauchy-Riemann 条件：函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是：1、实部),(y x u 和虚部),(y x v 在D 处可微；2、),(y x u 和),(y x v 满足：柯西-黎曼条件（简称C-R 方程）x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ ,关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解； 注解2 解析函数的导数形式更简洁. 基本初等函数： 指数函数： 对于复数iy x z+=，定义)sin (cos exp y i y e z e w x z +===为指数函数由此有Euler 公式： y i y e iysin cos +=；指数函数的基本性质：1、函数ze w =在整个复平面内有定义并且解析，z z e e =)'(；2、指数函数ze w =是实指数函数在复平面上的解析推广；3、定义得 ,2,1,02||±±=+==k k y Arge e e z x z ，π4、0≠ze；5、指数函数的代数性质（加法定理）：2121z z z z e e e +=；6、指数函数是周期i π2为的周期函数；7、指数函数的几何性质：对数函数：对数函数的基本性质：定义复对数函数是指数函数的反函数：满足方程)0(≠=z z e w 函数)(z f w =称为对数函数，记为z w Ln =.注解 1、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为i π2 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数；注解 2、0 iArg |z |ln Lnz ≠+==z z,w .多值函数的单值化：、由于iArgz z z +=||ln Ln ，而是Argz 通常正数的自然 对数，Argz 是多值函数，所以对数函数的多值性是由于幅角函数的多值性引起的，每两个函数值相差的整数倍；、象Argz 一样，取主值arg z ，则得到Ln z 的一个单值分支，记为ln z ，也称为Ln z 的主值，即z i z z arg ln ln +=，所以，,...)2,1,0(2ln ln ±±=+=k k z z π注解：当0>=x z 时，主值x z ln ln =就是实变量的对数函数. 对数函数的基本性质：1、对数函数的定义域为整个复平面去掉原点，是一个多值解析函数；2、对数函数的代数性质：Ln Ln )/Ln(2121z z z z -= Ln Ln )Ln(2121z z z z +=3、对数函数的解析性质：对数函数的主值分支在除去原点和负实数轴的复平面上解析，并且有：z zz 1d d ln =4、对数函数的几何性质： 幂函数的定义：利用对数函数，可以定义幂函数：设a 是任何复数，则定义z 的a 次幂函数为：z a ae z Ln =当a 为正实数，且0=z 时，还规定0=az .幂函数的基本性质： 1、对应于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数； 2、当a 是正整数时，幂函数是一个单值函数；3、当n 1=α（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； 4、当n 1=α（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； 5、当q p a =是有理数时，幂函数是一个q 值函数； 6、当a 是无理数时，幂函数是一个无穷值多值函数三角函数三角函数的定义：利用Euler 公式，我们有：y i y eiysin cos +=，y i y e iysin cos -=-，所以定义2iziz e e -+和ie e iziz 2--分别为复变量的余弦函数z cos 和正弦函数z sin .三角函数的基本性质：1、z cos 和z sin 是单值函数；2、z cos 和z sin 是以π2为周期的周期函数；3、z cos 是偶函数，z sin 是奇函数；4、212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±；5、;1cos sin22=+z z6、z cos 和z sin 在整个复平面解析，并且有：.cos )'(sin ,sin )'(cos z z z z =-=第二讲 利用积分研究解析函数----复变函数的积分设C 是复平面一条光滑简单曲线，其起点为A ，终点为B 。
复变函数第二讲
几何意义 复变函数是一个映射(变换)
在复变函数中,用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y之间 的对应关系,以便在研究和理解复变函数 问题时,可借助于几何直观.
以下不再区分函数与映射(变换).
例3 研究 w z 所构成的映射 . 解 设 z r (cos i sin ) re i
(z) z G w f w G *
一个 (或几个 ) z G ) z (w
w G
*
则称z= (w)为w=f (z)的反函数(逆映射).
显然有 w f [ ( w )] w G * 当反函数单值时 z [ f ( z )] z G (一般z [ f ( z )])
当函数 (映射 ) w f ( z )和其反函数 ( 逆映射 ) z ( w )都是单值的,则称函数 (映射 ) w f ( z ) 是一一的.也称集合 G 与集合 G 是一一对应的.
?几何意义复变函数是一个映射变换所构成的映射研究sincos关于实轴对称的一个映射见图1112旋转变换映射sinsinsincossincos实常数所构成的映射研究reresinsinsincos图11图12所构成的映射研究反函数或逆映射例如设zw为多值函数2支
第二讲 复变函数与解析函数
§5 复变函数
若 z 一个 w 值,称 f ( z )是单值函数;
z 多个 w 值,称 f ( z )是多值函数.
G — f (z )的定义集合,常常是平 面区域(定义域)
G * { w w f ( z ) , z G } — 函数值集合
z x iy ( x , y ); w u iv ( u , v ) w f ( z ) f ( x iy ) u ( x , y ) iv ( x , y )
2015复变函数工科第二讲1
D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. C
2
z
C3
C1
(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 D .
23
边界
以上基 本概念 的图示
区域
z 0
邻域
z 1
z 2
P 边界点
7.有界区域和无界区域:
如果一个区域 D 可以被包含在一个以原 点 为中心的圆里面 , 即存在 M 0, 使区域的每一个 点都满足 z M , 那末 D 称为有界的, 否则称为无 界的.
设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 . 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ
z | z | (cos nArgz i sin nArgz )
n n
特别的，当 n=0 时，上式也成立，定义
令z
n
1 n ，则 z n
z
| z | [cos( nArgz ) i sin( nArgz )]
2( n 1)π 2( n 1)π wn1 r cos i sin . n n
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
10
1 n
1 n
例如 k n 时,
2nπ 2nπ wn r cos i sin n n
证明
设 z1 r1e , z2 r2e
i1
i 2
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
Argz=Argz2-Argz1 即：
复变函数第2讲
24
相关性质
定理 1 令 f ( z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0 , z0 x0 iy0 ,
令z(t)=x(t)+i y(t) a≤t≤b ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b
若x' (t )、y' ( t ) C[a, b]且[ x' (t )]2 [ y' ( t )]2 0 则称该曲线为光滑的 .
有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.
11
2.2 重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点. 2.3定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jordan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C 是简单闭曲线或Jordan闭曲线. z(a)=z(b)
外部 边界
13
例 |z|<1是单连通区域；而|z|>1是多连通区域. 注：1. 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或 裂缝. 2. 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部 单连通，外部多连通. 3. 属于单连通区域D内的任何一条简单闭曲线，在D内 可以经过连续的变形而缩成一点.
单连通区域
多连通区域
因此 |z1z2|=r1r2， Arg(z1z2)=Argz1+Argz2. 注意其几何意义.
1
则
z1 r1 (cos1 i si n1 )(cos 2 i si n 2 ) z 2 r2 r1 [cos( 1 2 ) i si n ( 1 2 )], r2 r1 i (1 2 ) e r2 ( r2 0).
复变函数讲义第二章(3)
e iy cos y i sin y
复指数函数
(欧拉公式)
e e
z
x iy
e e e (cos y i sin y )
x iy x
性质:
(1) e e e
z1 z2
z1 z2
dez (e z )' ez dz
复指数函数在复平面内处处可导,处处解析.
或
f (t ) k cos(wt )
Re(e iwt ), ke i
f (t ) a cos(wt ) b sin(wt ) Re(e iwt ), (a ib)e i
振荡电路系统应用
Is
电 源
当电源取如下形式时， 计算电路中的电流s 。 I
I s Re[
e
iwt
Reff
]
(a ib)e
i
3.4 三角函数
iz
e ix e ix e ix e ix sin x cos x 2i 2
iz
定义:
e e sin z 2i
e e cos z 2
iz
iz
性质:(1) 三角恒等式仍成立 例：sin2 z cos2 z 1
(2) sin z, cos z的模可能大于 或者无界。 1
e 1 e 1 例: cos i 2
1
e y e y cos iy ( y ) 2
(3)解析的性质:在复平面内处处可导，处处解析.
(sinz )' cos z
(cosz )' sinz
小
结
熟练掌握：指数函数表达式,解析性,周期性;
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复变函数概述1.1 复数的概念1. 实数与虚数2. 复数的表示方法3. 复数的运算规则1.2 复变函数的定义1. 函数的概念2. 复变函数的表示方法3. 复变函数的运算规则1.3 复变函数的性质1. 解析函数的概念2. 奇函数与偶函数3. 周期函数第二章：复变函数的积分2.1 复变函数的积分概念1. 积分的基本概念2. 复变函数的积分表示3. 积分的性质2.2 复变函数的积分计算1. 柯西积分定理2. 柯西积分公式3. 复变函数的积分计算方法2.3 复变函数的积分应用1. 解析函数的奇偶性2. 解析函数的周期性3. 复变函数的图像与性质第三章：复变函数的级数3.1 复变函数的级数概念1. 级数的基本概念2. 收敛级数与发散级数3. 复变函数的级数表示3.2 复变函数的级数计算1. 泰勒级数展开2. 洛朗级数展开3. 复变函数的级数计算方法3.3 复变函数的级数应用1. 解析函数的逼近2. 解析函数的计算3. 复变函数的图像与性质第四章：复变函数的微分4.1 复变函数的微分概念1. 微分的定义2. 微分的表示方法3. 微分的性质4.2 复变函数的微分计算1. 复变函数的求导法则2. 复变函数的高阶微分3. 复变函数的微分计算方法4.3 复变函数的微分应用1. 解析函数的单调性2. 解析函数的极值3. 复变函数的图像与性质第五章：复变函数的积分变换5.1 复变函数的积分变换概念1. 积分变换的定义2. 积分变换的表示方法3. 积分变换的性质5.2 复变函数的积分变换计算1. 傅里叶积分变换2. 拉普拉斯积分变换3. 复变函数的积分变换计算方法5.3 复变函数的积分变换应用1. 解析函数的变换2. 解析函数的计算3. 复变函数的应用领域第六章：复变函数的方程6.1 复变函数方程的概念1. 方程的定义2. 复变函数方程的表示方法3. 复变函数方程的性质6.2 复变函数方程的求解方法1. 解析函数的方程求解2. 非解析函数的方程求解3. 复变函数方程的求解技巧6.3 复变函数方程的应用1. 复变函数方程在数学分析中的应用2. 复变函数方程在物理学中的应用3. 复变函数方程在其他领域的应用第七章：复变函数的极限7.1 复变函数极限的概念1. 极限的定义2. 复变函数极限的表示方法3. 复变函数极限的性质7.2 复变函数极限的计算方法1. 复变函数的无穷小与无穷大2. 复变函数的极限计算法则3. 复变函数极限的计算技巧7.3 复变函数极限的应用1. 解析函数的连续性2. 解析函数的导数3. 复变函数极限在其他领域的应用第八章：复变函数的泰勒级数8.1 泰勒级数的概念1. 泰勒级数的定义2. 泰勒级数的表示方法3. 泰勒级数的性质8.2 泰勒级数的计算方法1. 泰勒公式的推导2. 泰勒级数的展开与收敛性3. 泰勒级数的计算技巧8.3 泰勒级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 泰勒级数在其他领域的应用第九章：复变函数的洛朗级数9.1 洛朗级数的概念1. 洛朗级数的定义2. 洛朗级数的表示方法3. 洛朗级数的性质9.2 洛朗级数的计算方法1. 洛朗公式的推导2. 洛朗级数的展开与收敛性3. 洛朗级数的计算技巧9.3 洛朗级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 洛朗级数在其他领域的应用第十章：复变函数的选讲10.1 复变函数的解析延拓1. 解析延拓的概念2. 解析延拓的方法3. 解析延拓的应用10.2 复变函数的解析函数族1. 函数族的概念2. 解析函数族的性质3. 解析函数族的应用10.3 复变函数的积分变换及其他1. 其他积分变换的介绍2. 积分变换的应用3. 复变函数在其他领域的应用重点和难点解析重点环节一：复数的概念和运算规则重点：理解实数与虚数的概念，掌握复数的表示方法，熟悉复数的四则运算规则。
复变函数第2讲
| ( u iv ) ( u 0 iv 0 ) | .
即当 0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 时 ,
| u u 0 | ,| v v 0 | ,
即 lim u( x , y ) u0 , lim v ( x , y ) v 0 .
x x0 y y0 x x0 y y0
25
反过来 如果 lim u( x , y ) u0 , lim v ( x , y ) v0 ,
x x0 y y0 x x0 y y0
则任给 0, 存在 0, 使当 0 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 时,
§1.4
区域，单连通，多连通
1、几个基本概念
(1) 邻域： U ( z0 , δ) = z | z - z0 < δ .
0 U 去心邻域： ( z0 , ) = z |0 <| z - z0 |< δ
以下设D为一平面点集.
z0
(2) 内点: z0 D, U ( z0 , ), U ( z0 , ) D.
一 个 ( 或 几 个 )z D w G z f -1 ( w )
当它们都是单射时,称为一一对应.
20
4、 函数的极限
定义 设 w f ( z ), z U ( z0 , ), 若存在数A， 0,
( )(0 ) , 当 0 z z0 时,有 f ( z ) A , 则称A为 f ( z )当z z0时的极限，记作 lim f ( z ) A
这是一 个圆周
z x iy,
1 y ,v . 则 u 2 2 1 y 1 y
2《数学物理方法》第二讲复数的运算&复变函数
相当于 x x 0 ， y y 0 因而，有关复数的极限可归结为
一对实数的极限，，因而，关于实数的和差积商的极限定理，关于实数
的极限存在的判据，全部都适用与复数。
二、复变函数
2、1 复变函数的定义： 若在复平面（或复数球）上存在一个点集E（复数的集合），对于E 的每一点（每一个z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值
实现方法：测地投影； 最后结果：（1）、有限远点和球面上的点一一对应（坐标原点与南极重合），
引入复数球（Riemman空间）
目的：使平面上的点与球面上的点一一对应；
（2）、无限远点和北极对应。
------《数学物理方法》第二讲------
1、5
复数与实数之间的联系： 由 z x iy 和 z 0 x 0 iy 0 可知：
(cos 隶莫弗公式： n i sin n ) cos i sin
------《数学物理方法》第二讲------
n
开方：n z 是个多值函数，共有n个不同的复根。
n
z
n
e
i
n
e
i
n
i
n
(co s
n
i sin
n
)
说明产生n个根的原因：
z e
数学物理方法第二讲
复数的运算&复变函数（2学时）
一、复数与运算
1、1 复数的概念：
定义：表达式 z x iy 叫做复数（或叫做复数的代数式）， 其中：i 叫做虚数单位。
性质： i 2 1
i
2 ( 2 k 1)
i i
3
i 1
华罗庚文集.多复变函数论卷.Ⅱ(华罗庚著)PPT模板
华罗庚文集·多复变 函数论卷Ⅱ·上部
第5讲球几何的基本定理——兼论 狭义相对论的基本定理
5.7空相直 线
5.12H方
01
阵的射影
几 何 学 06
5.8点对
02
5 . 1 1 时 空 05 几何的基
本定理
04
5.10基本定
03 5 . 9 三 维 空相子空 间
理的证明
华罗庚文集·多 复变函数论卷 Ⅱ·上部
华罗庚文集·多复变函 数论卷Ⅱ·上部
第1讲调和函数的几何理论
1 1.7Poisso n公式
2 1.8建议了 些什么？
3 1.9对称原 理
1.10Lapl
4 ace方程的 不变性
1.11Lapl
5 ace方程的 均值公式
1.12Lapl
6 ace方程的 Poisson 公式
华罗庚文集·多复变函数论卷Ⅱ·上部
华罗庚文集·多 复变函数论卷 Ⅱ·上部
第5讲球几何的基本定理— —兼论狭义相对论的基本定 理
01 5 .1 引言
02 5 .2 匀 速直 线运动
03 5 .3 Her mi te 方 阵的 04 5 .4 三 维空 间中使单
几何学
位球不变的仿射变换
05 5 .5 粘 切子 空间
06 5 .6 空 相平 面（或二
7.1实射影平 面
7.2偏微分方 程
7.3特征线
7.4这偏微分 方程与 Lavrentbev 方程的关系
7.5分离变数 法
7.6问题的提 出（虚瞰）
华罗庚文集·多复变函数论卷Ⅱ·上部
第7讲混合型偏微分方程
7.7级数的收敛性
7.9圆内有对数奇点的 函数
复变函数工科第二讲1
3. 扩充复平面的定义
包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.
不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.
对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意
义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
34
关于 的四则运算规定如下:
(1) 加法 : , ( )
的点集称为 z0 的去心邻域。
2.开集与闭集
开集：设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在 z0 的一个邻域, 该邻域内的所 有点都属于G, 则称 z0为G的内点.
如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集 闭集：平面上不属于G的点的全体称为G的余集，
记作 GC ,开集的余集称为闭集。 边界：设D为复平面内的一个区域, 若在点z0的任
z2 z1
Argz2
Argz1 .
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 r1ei1 ,
z2 r2ei2 ,
则 z2 r2 e . i(2 1 ) z1 r1
[证毕]
5
例1
已知
z1
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
i
cos
3
,
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
因为
z1
cos
3
i sin
解
1i
2
1 2
1 2
i
2
cos
4
i
sin
4
1i
2
1 2
1 2
i
2cos
4
i
sin
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闭区域: 区域D和它的边界∂D 的并集称 为闭区域,记为 D 有界(无界)区域: 根据区域D的是否有界区分
9
z1 区域 z2
不连通
10
无界区域的例子 y
角形域:0<ayrg z<ϕ
上半平面:Im z>0
x y
ϕ
x
b
带形域:a<Im z<b
x a
11
平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组
18
例 考察函数 w=z2
令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy)2=x2−y2+2xyi,
因而函数w=z2对应于两个二元函数: u=x2−y2, v=2xy
19
映射的概念 如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另
一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函 数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的 一个点集G(定义域)变到w平面上的一个点集 R(值域)的映射(或变换). 如果G中的点z被映射 w=f(z)映射成R中的点w, 则w称为z的像, 而z称 为w的原象.
a为一复数,
) 必包含E的点,
则称a为E的聚点(或极限点).
注：集合E的聚点不一定属于E
孤立点:若点a 即存在
B∈((Ea,,但δ )a,不使是得EB的((a聚,δ点) ∩,
E
=
∅
定理:集合E为闭集的充要条件是E的聚点 必属于E
8
2. 区域 曲线 连通集: 复平面点集D中任何两点都可以用
完全属 于D的一条折线连接起来,则称D是连 通集.
任意给定的ε > 0 , 相应地必有一正数 δ > 0 ， 使 得当 z − z0 < δ 时有 f (z) − a < ε
则称a为f(z)当z趋向于 z0 时的极限, 记作
lim f (z) = a
z → z0
或记作当z→z0时, f(z)→a
31
注: (i)定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0 的
为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单
曲线C的起点与终点闭合, 即z(a)=z(b), 则曲线
C称为简单闭曲线.
z(b)
z(a)=z(b)
简单,闭
z(a) z(b) z(a)
简单,不闭 z(a)=z(b) 不简单,不闭
不简单,闭
13
如果在区间a≤t≤b上,x '(t)和y '(t)都是连续的, 且对于t的每一个值, 有
充分小的 δ 邻域时, 它的像f(z)就落a的预先给定的ε
邻域中. (ii). 应当注意, z趋向于z0 的方式是任意的,无论
以何种方式趋向于z0 , f(z)都要趋向于同一常数a.
y
z
δ z0
v f(z)
εA
O
xO
u
32
复变函数与二元实变函数的极限的关系
定理1.3 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0,
x=x(t), y=y(t), (a≤t≤b) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令
z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程
z=z(t) (a≤t≤b) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
12
设C:z=z(t)(a≤t≤b)为一条连续曲线, z(a)与
z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足a<t1<b, a≤t2≤b的t1与t2, 当t1≠t2而有z(t1)=z(t2)时, 点z(t1) 称为曲线C的重点. 没有重点的连续曲线C, 称
例3 C : z = (2 + i)t ⎯w⎯=z2⎯→ Γ ?
w = [(2 + i)t]2 = (3 + 4i)t2 ⇒ Γ : v = 4 u
3
例4 C : y = x ⎯w⎯=iz⎯→ Γ ?
w = i( x + ix)
= −x + ix ⇒ Γ : v = −u
复数形式的代数方程与平面几何图形
38
3)定理1.5 设函数f(z)在有界闭集D上连续， 那么f(z)在D上有界. 注：在定理1.5的假设下，连续函数|f(z)|（它 是复变量Z的实值函数）在D上取得它的最大 值和最小值.这两个值分别称为f(z)在D上的最 大模和最小模.
23
举例：曲线在映射下的像
例1 C : x 2 + y 2 = 8 ⎯w⎯=1⎯⎯z→ Γ ?
z = x + iy = 1 = 1 w u + iv
= u − iv u2 + v2
⇒ Γ : u2 + v2 = 1 8
例2 C : z = R ⎯w⎯=2⎯z+b⎯→ Γ ?
w − b = 2z ⇒ Γ : w − b = 2R
而 | f (z) − A |=| (u − u0 ) + i(v − v0 ) |≤| u − u0 | + | v − v0 |
则当0 <| z − z0 |< δ时,有
|
f
(z) −
A |<
ε
2
+
ε
2
=
ε ,即
lim f (z) = A
z→z0
35
复数序列和复变函数极限的性质与二元实 变函数的相同，例如
外点：复数b有邻域 B(b,ε )与E无公共点,则称b为E
的外点.
边界点：若复数c的任意邻域 B(c,δ ) 都同时包含E
和E的补集的点,则称c为E的边界点. 边界：E的全部边界点组成的集合称为E边界.
5
注: (1).给定点集E,复平面所有的点分成 三类: 内点、外点和边界点.
(2). E的内点必属于E, E的外点必不属于E， E的边界点可能属于E可能不属于E.
设 z = x + i y , 那末
y
i + z = x + (1− y)i
O
Im(i + z ) = 1− y
所求曲线的方程为 y = −3 .
x y=−3
4. 复变函数的极限和连续性 (1).复变函数在一点的极限
定义 设函数w=f(z)定义在 z0的去心领域 0 < z − z0 < r 内, 如果有一确定的复数a存在, 对于
定义
如果 lim z→z0
f (z) =
f (z0 )
则说f(z)在z0处连续. 如果f(z)在区域D内处处
连续, 我们说f(z)在D内连续.
定理1.4 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0 处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0) 处连续.
37
定理
1) 在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和, 差, 积, 商(分 母在z0不为零)在z0处连续;
2
无穷远点的邻域：包括无穷远点自身在内且 满足|z|>M的所有点的集合, 其中实数M>0, 即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.
M |z|>M
0
3
无穷远点的去心邻域： 不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M 的所有点，也记作M<|z|<∞.
4
内点：设E为一平面点集, 复数a有邻域 B(a, r) ⊂ E, 则称a为E的内点.
内部 C
外部
15
单连通域: 复平面上的一个区域D, 如果在其中 任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称为单连通域,
多连通域: 不是单连通的区域
单连通区域
多连通区域
16
3. 复变函数
复变函数：设G是非空复数集,对每个G中元 素z, 有确定的复数w与之对应, 则称在G上确 定了一个单值复变函数, 记作 w=f(z) 集合G称为f(z)的定义域,对应于G中所有z对应 的一切w值所成的集合R, 称为f(z)的像集(或值 域).
u0
,
lim
x → x0
v(x,
y)
=
v0 .
y→ y0
y→ y0
34
充分性:
如果
lim
x → x0
u(x,
y)
=
u0 ,
lim
x → x0
v(x,
y)
=
v0
y→ y0
y→ y0
则任给ε > 0, 存在δ > 0,使当
0 < (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ时,
| u − u0 |< ε / 2, | v − v0 |< ε / 2
x2 + ( y +1)2 = 4
y
O
x
−i
28
2) | z − 2i |=| z + 2 |
几何上, 该方程表示到点2i和−2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和−2的线段的垂直
平分线, 方程为 y = − x , 也可用代数的方法求出。
y=−x y
2i
−2 O
x
29
3) Im(i + z ) = 4.
17
注: (1) 这里定义的复变函数是单值的,即对 每个复数z,相应的w是唯一的.
(2) .由于给定了一个复数z=x+iy就相当 于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样 地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自 变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:
u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数.