2014届高考数学(理)：曲线与方程 Word版含答案

2014届高考数学理科试题大冲关：曲线与方程一、选择题

1．已知|AB|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP＝1

3

OA＋

2

3

OB，

则动点P的轨迹方程是 ( )

A.x2

4

＋y2＝1 B．x2＋

y2

4

＝1

C.x2

9

＋y2＝1 D．x2＋

y2

9

＝1

2．已知两个定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 ( )

A．πB．4π

C．8πD．9π

3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2 OB (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 ( ) A．直线B．椭圆

C．圆D．双曲线

4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 ( )

A．y2－x2

48＝1(y≤－1) B．y2－

x2

48

＝1(y≥1)

C．x2－y2

48＝1(x≤－1) D．x2－

y2

48

＝1(x≥1)

5．给出以下方程：

①2x＋y2＝0；②3x2＋5y2＝1；③3x2－5y2＝1；④|x|＋|y|＝2；⑤|x－y|＝2，则其对应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是

( )

A．1 B．2

C．3 D．4

6．圆O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O

的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是( )

A．双曲线B．椭圆

C．抛物线D．圆

二、填空题 7．直线x a ＋

y

2－a

＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是____________．

8．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．

9．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2

(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；

③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2

.

其中，所有正确结论的序号是____． 三、解答题

10．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－3

3

x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点．

求动点P 的轨迹C 的方程．

11．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP |

|OM |＝λ，求点M 的

轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .

当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程．

详解答案

一、选择题

1．解析：设A (0，y 0)，B (x 0,0)，P (x ，y )，则由| AB |＝3得x 2

0＋y 2

0＝9，又因为 OP ＝

(x ，y )， OA ＝(0，y 0)， OB ＝(x 0,0)，由 OP ＝13 OA ＋23 OB 得x ＝2x 03，y ＝y 0

3，因此

x 0＝3x 2，y 0＝3y ，将其代入x 20＋y 20＝9得x 2

4

＋y 2

＝1.

答案：A

2．解析：设P (x ，y )，则|PA |2

＝(x ＋2)2

＋y 2

，|PB |2

＝(x －1)2

＋y 2

，又|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2

＋y 2

＝4(x －1)2

＋4y 2，

∴(x －2)2

＋y 2

＝4，表示圆，∴S ＝πr 2

＝4π. 答案：B

3．解析：设C (x ，y )，则 OC ＝(x ，y )， OA ＝(3,1)，

OB ＝(－1,3)，

∵OC ＝λ1 OA ＋λ2 OB ，∴⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝3λ1－λ2

y ＝λ1＋3λ

2

，又λ1＋λ2＝1，

∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．

答案：A

4．解析：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14， 又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，

故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c ＝7，a ＝1，b 2

＝ 48，∴点F 的轨迹方程为y 2

－x 2

48＝1(y ≤－1)．

答案：A

5．解析：所给出的方程中，①2x ＋y 2

＝0是抛物线，②3x 2

＋5y 2

＝1是椭圆，③3x 2

－5y

2

＝1是双曲线，④|x |＋|y |＝2是一个正方形，⑤|x －y |＝2是两条平行直线，只有②④两个方程对应的曲线是封闭曲线，可以放进一个足够大的圆内．

答案：B

6．解析：设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN ，于是|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |.

过O 作OP ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OP 是中位线，故有|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|OP |＝8>4＝|AB |.

根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆． 答案：B 二、填空题

7．解析：(参数法)设直线x a ＋

y

2－a

＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)，B (0,2－a )，A 、B 中点

为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a

2

，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 8．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．

答案：x 2

9－y 2

16

＝1(x ＞3)．

9．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2

对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12

a 2

，即